บทท�� 1: ระบบเลขฐานต่�างๆเน��อหาสาระ1.1 ต่�วเลขกั�บกัารใช้�งาน

เลขฐานสิ�บ เป็�นตั�วเลขที่��ใช้�งานในช้�ว�ตัป็ระจำ�าว�นหร�อใช้�งานที่��วไป็

เลขฐานอ��นๆ เช้ น เลขฐานสิอง เลขฐานแป็ด เลขฐานสิ�บหก เป็�นตั�วเลขที่��ใช้�ก�บงานเฉพาะหร�อในงานบางช้น�ด

1.2 ความส�มพั�นธ์!ระหว�างเลขฐานส"บและเลขฐานสอง

เลขฐานส"บ

(Decimal)

เลขฐานสอง

(Binary)

0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

1.3 ระบบต่�วเลขฐานส"บระบบเลขฐานสิ�บค่ าจำ�านวนตั�วเลขที่��แสิดงออกมา แสิดงตัาม

ตั�าแหน งของตั�วเลขค่ าน�(นๆ แตั ละตั�าแหน งค่�อค่ าน�(าหน�กซึ่*�งม�ล�าด�บค่วามสิ�าค่�ญแตักตั างก�นไป็ การเร�ยงล�าด�บตั�วเลขจำะเร�ยงล�าด�บค่วามสิ�าค่�ญจำากน�อยไป็หามาก

การเข�ยนค่ าตั�วเลขในแตั ละหล�ก เข�ยนได�เป็�น 2 ล�กษณะ ค่�อเข�ยนออกมาในล�กษณะค่ าป็กตั� และเข�ยนค่ าออกมาในร/ป็เลขยกก�าล�งของ

* เห$นว�าต่�วเลขท��แสดงออกัมาม�ความแต่กัต่�างกั�นแต่�ม�ผลล�พัธ์!เท�ากั�น

เช้ น ในเค่ร��องค่�ดเลข การบวก

ลบ ค่/ณ หาร ตั�องป็0อนข�อม/ลเข�าไป็ เป็�นเลขฐานสิ�บ เม��อผ่ านเค่ร��องค่�ดเลข เลขฐานสิ�บจำะถู/กเป็ล��ยนเป็�นเลขฐานสิองก อนสิ งเข�าวงจำรค่�านวณในเค่ร��องค่�ดเลข เม��อได�ผ่ลล�พธ์4ออกมา เลขฐานสิองจำะถู/กแป็ลงกล�บไป็เป็�นเลขฐานสิ�บอ�ก

สิ�บอย/ ในร/ป็ 10n-1 ของเลขหน�าที่ศน�ยม และอย/ ในร/ป็ 10-n ของเลขหล�งที่ศน�ยม โดยค่ าก�าล�ง n แที่นล�าด�บหล�กของเลขค่ าน�(นๆ แตั ละตั�าแหน งค่ าน�(าหน�กของเลขฐานสิ�บในร/ป็ยกก�าล�ง

- ตัารางค่ าน�(าหน�กของเลขฐานสิ�บในร/ป็เลขยกก�าล�งหล�กหม��น

หล�กพ�น

หล�กร�อย

หล�กสิ�บ

หล�กหน วย

ที่ศน�ยมที่�� 1

ที่ศน�ยมที่�� 2

ที่ศน�ยมที่�� 3

10,000

1,000

100 10 1 0.1 0.01 0.001

104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

 ป็ระกอบไป็ด�วยตั�วเลข ๑๐ ตั�ว ใช้�สิ�ญล�กษณ4 ๐, ๑, ๒, ๓, ๔, ๕,

๖, ๗, ๘ และ ๙ ด�งน�(นฐานของระบบเลขฐานสิ�บค่�อ ๑๐ จำ�านวน เตัAมบวกที่Bกจำ�านวนในระบบเลขฐานสิ�บ สิามารถูเข�ยนแที่นในร/ป็การกระจำายของเลขยกก�าล�งตัามหล�กของ ๑๐ เช้ น ถู�า N = ๘๒๕๓ เข�ยนแที่นด�วย

๘,๒๕๓        = ๘(๑๐)๓ + ๒(๑๐)๒ + ๕(๑๐)๑ + ๓(๑๐)๐

                     = ๘(๑๐๐๐) + ๒(๑๐๐) +๕(๑๐) +๓(๑)

                      = ๘๐๐๐+๒๐๐+๕๐+๓

1.4 ระบบต่�วเลขฐานสองค่�อ ระบบตั�วเลขที่��ม�ค่ าฐานเป็�นสิอง  ม�สิ�ญล�กษณ4 ๒ ตั�ว ค่�อ ๐ ก�บ

๑ ค่ าตัามตั�าแหน งของสิ วนที่��เป็�นจำ�านวนเตัAมของระบบเลขฐานสิอง ค่�อ ๒๐,๒๑,๒๒,๒๓,.....  โดยที่��วไป็แล�วตั�วเลขแตั ละหล�กของเลขฐานสิอง ตั�าแหน งตั าง ๆ จำะเร�ยกว าบ�ตั ถู�าน�บจำากซึ่�ายถู*งจำBดไบนาร�บ�ตัที่างซึ่�ายสิBดจำะม�น�(าหน�กมากที่��สิBด เร�ยกว าบ�ตัที่��ม�ค่วามสิ�าค่�ญที่��สิBด (Most Significant Bit; MSB) สิ วนที่างขวาสิBดจำะม�น�(าหน�กน�อยที่��สิBด เร�ยกว าบ�ตัที่��ม�ค่วามสิ�าค่�ญน�อยที่��สิBด (Least Significant

Bit; LSB) ด�งภาพ

ภาพที่��แสิดงค่ าตั�วเลขป็ระจำ�าตั�าแหน งของเลขไบนาร�ที่��อย/ ในร/ป็เลขยกก�าล�ง

- ตัารางค่ าน�(าหน�กของเลขฐานสิองในร/ป็เลขยกก�าล�งบ�ตัที่�� 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

เลข 2 ยกก�าล�ง

25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

ค่ าน�(าหน�กที่��ได�

32 16 8 4 2 1 0.5 0.25

0.125

0.0625

ต่�วอย่�าง.......

จำงหาค่ าเลขฐานสิอง 10110 2 ว าม�ค่ าเที่ าใดในเลขฐานสิ�บ เน��องจำากเป็�นเลขฐานสิอง เราสิามารถูแยกพ�จำารณาเพ��อหาค่ าได�เป็�น

ว"ธ์�ท(า 1 0 1 1 0 (หล�ก)

2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 (น�(าหน�ก)

ด�งน�(น 10110 = (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)

= (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 2)

= 22 10

1.5 ระบบต่�วเลขฐานแปดเป็�นระบบที่��ม�เลขฐานเป็�น ๘ ฐานแป็ดม�เลขอย/ ๘ ตั�ว ค่�อ ๐, ๑, ๒,

๓, ๔, ๕, ๖, ๗ เพราะว า ๘ = ๒๓ จำ*งได�ว าเลขฐานแป็ดแตั ละตั�วจำะแที่นด�วยเลขฐานสิอง ๓ ตั�ว- ตัารางค่ าน�(าหน�กของเลขฐานแป็ดในร/ป็เลขยกก�าล�งเลขยกก�าล�ง

83 82 81 80 8-1 8-2 8-3

ค่ าที่��ได� 512 64 8 1 0.125

0.015625

0.001953

1

เลขฐานส"บ

(Decimal)

เลขฐานสอง

(Binary)

เลขฐานแปด

(Octal)

0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 7

ตั�วอย าง……..

จำงแสิดงเลขฐานแป็ด 325 8 ให�อย/ ในร/ป็เลขฐานสิ�บ เน��องจำากเป็�นเลขฐานแป็ด เราสิามารถูแยกพ�จำารณาเพ��อหาค่ าได�เป็�นว"ธ์�ท(า

3 2 5 (หล�ก)

8 2 8 1 8 0 (น�(าหน�ก)

ด�งน�(น 325 8 = (3 x 8 2) + (2 x 8 1) + (5 x 8 0)

= (3 x 64) + (2 x 8) + (5 x 1)

= 192 + 16 + 5

= 213 10

1.6 ระบบต่�วเลขฐานส"บหกัระบบเลขฐานสิ�บหก ม�เลข ๑๖ ตั�วป็ระกอบด�วยเลขฐานสิ�บ ๑๐ ตั�ว

เป็�นอ�กษรภาษาอ�งกฤษอ�ก ๖ ตั�วแรก ได�แก ๐,๑,๒,๓,๔,๕,๖,๗,๘,๙ A(๑๐),B(๑๑),C(๑๒),D(๑๓),E(๑๔),F(๑๕)

เพราะว า ๑๖  = ๒๔ ที่�าให�เลขฐานสิ�บหก ๑ ตั�วสิามารถูแที่นรห�สิด�วยเลขฐานสิองได� ๔ ตั�ว

- ต่ารางค�าน(�าหน�กัของเลขฐานส"บหกัในร*ปเลขย่กักั(าล�งเลขย่กักั(าล�ง

163 162 161 160 16-1 16-2

ค�าท��ได� 4096 256 16 1 0.0625

0.003906

เลขฐานส"บ

(Decimal)

เลขฐานสอง

(Binary)

เลขฐานแปด

(Octal)

เลขฐานส"บหกั

(Hexadecimal)

0 0000 0 01 0001 1 12 0010 2 23 0011 3 34 0100 4 45 0101 5 56 0110 6 67 0111 7 78 1000 10 8

9 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F16 1000

020 10

ตั�วอย าง........9B616 =

== 2304 + 176 + 6= 248610

0.3E16 =

=

= 0.1875 + 0.0546875= 0.242187510

1.7 กัารเปล��ย่นเลขฐานส"บไปเป,นเลขฐานอ��นๆที่�าได�โดยเอาเลขฐานสิ�บตั�(ง แล�วหารด�วยเลขฐานที่��ตั�องการเป็ล��ยน

หารไป็เร��อย ๆ  จำนกระที่��งผ่ลล�พธ์4เป็�น “ศ/นย4 ” ในการหารน�(นตั�องเข�ยนเศษไว�ที่Bกค่ร�(ง จำากน�(นน�าตั�วสิBดที่�ายมาเข�ยนเป็�นเลขฐานที่��ตั�องการ ตั�วแรกเร�ยงก�นไป็จำากล างไป็บนจำนหมดที่Bกตั�ว

1.8 กัารเปล��ย่นเลขฐานสองเป,นเลขฐานแปดและเลขฐานส"บหกั1.8.1 การเป็ล��ยนเลขฐานระหว างเลขฐานสิองก�บเลขฐานแป็ด

ที่�าได�โดยการจำ�ดกลB มเลขฐานสิองเป็�นกลB ม กลB มละ ๓ บ�ตั เร��มตั�นที่��บ�ตัขวาม�อสิBด  แล�วจำ*งค่ อย ๆ เป็ล��ยนที่�ละกลB มจำนค่รบจำ�านวน

 ถู�าไม สิามารถูจำ�ดจำ�านวนตั�วเลขฐานสิองแตั ละกลB มให�ค่รบ ๓

บ�ตัไม ได� ให�เพ��มเลข ๐  เข�าไป็  โดยหากเป็�นเลขจำ�านวนเตัAมให�น�บจำากขวามาซึ่�ายจำนค่รบ ๓ บ�ตัในช้BดสิBดที่�าย หากเป็�นเลขที่ศน�ยมให�แบ งกลB มจำากซึ่�ายไป็ขวาและเพ��มในช้BดสิBดที่�าย   ด�งตั�วอย าง

1.8.2 การเป็ล��ยนเลขฐานระหว างเลขฐานสิองก�บเลขฐานสิ�บหกที่�าได�โดยแบ งกลB มของเลขฐานสิองเป็�นกลB ม  กลB มละ ๔ บ�ตั 

จำากน�(นจำ*งเป็ล��ยนแตั ละกลB มเป็�นเลขฐานสิ�บหก กรณ�ที่��ไม สิามารถูจำ�ด

กลB มเลขฐานสิองแตั ละกลB มให�ค่รบ ๔ บ�ตัได�  ตั�องเพ��มเลข ๐ เข�าไป็เหม�อนการเป็ล��ยนเลขฐานสิองเป็�นฐานแป็ด

1.8.3 การเป็ล��ยนเลขฐานระหว างเลขฐานแป็ดก�บเลขฐานสิ�บหกตั�วอย าง..... 6105.1348 = 6 1 0 5 . 1 3

4= 110 001 000 101 . 001 011

100= 110,001,000,101 .001011 1002

= 1100 0100 0101 .0010 1110 0000= 12 4 5 . 2 14 0= C 4 5 . 2 E 0= C45.2E16 Ans……