Journal of Geometry. Vol. i0. 1/2 1977. Birkh~user Verlag Basel

ZUM STUFENAUFBAU DER INZIDENZSTRUKTUREN NIT ~----~NLICHKEITSRELATION

Egbert Brockhaus

LeiBner [2] proved that the class of all incidence structures with similarity-relation coinzides with the class of the alge- braically defined geometries [ F,T] , where F denotes a neardomain over a subdomain T.

In this paper we characterize those geometries, where F is a near-resp. (skew-) field by additional similarity axioms. At first we show that a subdomain T of a neardomain F is itself a near- domain iff -I 6 T and characterize this fact geometrically. As a consequence every subdomain of a near-resp. (skew-)field has to be a near- resp. (skew-)field too. In w we get as a corollary that projective planes admit no sharply twice transitive groups of collineations.

Einleitun~

1974 gab Lei~ner einen axiomatischen Aufbau der lhnlichkeits-

geometrie an. Er ging zunichst yon einem reguliren Inzidenz-

raum aus, in dem zusitzlich drei Axiome dber ~hnlichkeit von

Dreiecken gefordert wurde. Dadurch besaSen diese Strukturen eine

scharf 2-fach transitive Kollineationsgruppe und lieSen sich als

Strukturen ~ber einem Fastbereich darstellen. Zwei weitere Axiome

kennzeichneten den Fall, da5 der iugrundeliegende Fastbereich

ein kommutativer K~rper ist. In dieser Arbeit geben wir Axiome

an, dutch die die Zwischenstufen gekennzeichnet werden, nimlich

da5 der Fastbereich ein FastkSrper bzw. ein Schiefkbrper ist.

AuSerdem wird die Frage behandelt, wann ein Teilbereich T eines

Fastbereichs Unterfastbereich ist. Dies stellt n~mlich einen

weiteren Schritt zur LSsung der bisher offenen Frage dar, ob

es Fastbereiche gibt, die keine FastkSrper sind. In einem Ab-

schnitt ~ber die Passantenrelation~ stellt sich heraus, da~ pro-

jektive Ebenen niemals Inzidenzstrukturen mit ~hnlichkeitsrela-

tion sein kbnnen, als0 auch keine scharf zweifach transitive

Kollineationsgruppe besitzen kSnnen.

106

2 BROCKHAUS

I. Fastbereiche

Ein Fasthereich (F~+,.) ist eine nichtleere Menge F mit zwei

hiniren Operationen "+" und ".", die den folgenden Bedingungen

gen~gt:

(F I) (F,+) ist eine Loop mit neutralem Element O.

(F 2) (F~{O},.) ist eine Gruppe mit neutralem Element I.

(F 3) FUr alle a,b,ceF gilt: (~) (a + b).c = ac + hc

(~) c . o = o

(F 4) FUr alle x,a,beF gilt:

x + (a + b) falls b+a = 0

(x + a) + b = x(b + a)-1(a + b) + (a + b) falls b+a ~ 0

Ist b + a = O, so folgt aus (F 4) mit x := b und der Loopeigen-

schaft yon (F,+) auch a + b = O. Daher stimmen die wegen der

Loopeigenschaft eindeutig bestimmten LSsungen der Gleichungen

a + x = 0 und y + a = 0 Uberein und werden mit -a bezeichnet.

Nach Kerby und Wefelscheid [I] gelten die folgenden beiden Aus-

sagen:

(1.1) Jedes Element eines Fastbereichs erzeugt additiv eine

(abelsche) Gruppe.

(1.2) Jeder Fastbereich besitzt einen Primk~rper P.

Es wird definiert char F := char P

wobei char P die Charakteristik des KSrpers P bezeichnet.

Da im Fall a + b ~ 0 wegen (F 4) fur alle x,a,beF gilt

(1.3) x + (a + b) = (x(a + b)-1(b + a) + a) + b

erh~lt man mit 2 := I + I bei Beachtung von (F3)(~)

(1.4) 2(a + b) = (b + 2a) + b fur alle a,b 6F.

Hieraus folgt

(1.5) Die Gleichung 2(a + b) = 2a + 2b gilt genau dann, w enn

2a + b = b + 2a erfdllt ist.

Ein Fastbereich F heist FastkGrper, wenn (F,+) abelsche Loop

ist. (F 4) geht dann in das gewShnliche Assoziativgesetz Uber.

Die additive Loop eines FastkSrpers ist also eine abelsche Gruppe.

107

BROCKHAUS 3

Mit Aussage (1.5) haben wir schon den Beweis des bekannten Satzes

Satz 1.1 Sei F ein Fastbereich mit char F ~ 2. Fist genau dann

Fastk~rper, wenn f~r alle a,bcF gilt:

2(a + b) = 2a + 2b.

und unter Benutzung der Aussage

(I .6) F~r alle a~F gilt a(-1) = (-1)a = -a (vgl. [3])

dazu das Korollar

(1.7) Jeder Fastbereich mit char F = 3 ist Fastk8r~er.

Weiter folgt aus Satz 1.1 im Fall char F ~ 2 (einen Beweis f~r

char F = 2 findet man in [3])

Satz 1.2 Gilt in einem Fastbereich F auch das zweite Distri-

butiv~esetz, so ist (F,+,-) bereits KSrper.

Wir betrachten nun die Menge der affinen Transformationen eines

Fastbereichs F

[m,b] : xcF ~ x~,~ := xm + b ~ F, meF\~O~, bEF,

die wir mit R(F) bezeichnen. Sofort einzusehen ist der

Satz I. 2 F(F) ist eine scharf 2-fach transitive Untergruppe

der vollen Permutationsgruppe yon F.

Wir setzen fGr alle x~F

:= x[-1,11 = x(-1) + I = -x + I.

Mit (F3)(G) verifiziert man

(1.8) x = x.

F~r sp~tere Zwecke notieren wir noch zwei weitere HilfssRtze.

(1.9) Die Abbildung yon F\{O} x---*x -I besitzt genau die bei-

den (im Fall char F = 2 zusammenfallenden) Fixpunkte

Iund-I. (vgl. [3])

(1.10) Die Involutionen aus P(F) sind alle yon der Form

[-1,a] , asF.

Zum Beweis sei [m,b] eine beliebige Involution aus P(F). Es gilt

0 = O~,b].[m,b] = (Om + b)m + b = bm + b.

Wegen (1.6) ist dann m = -I, falls b ~ O. Sei jetzt b = O. Dann

108

4 BROCKHAUS

nutzen wit aus, da5 auch gilt: I = 1[m,O].[m,O] = m 2

Aussage (1.9) f~hrt jetzt ebenfalls auf m = -I, da die Identi-

t~t keine Involution ist.

Da5 andererseits [-1,a] im Fall (-1,a)W (1,0) immer eine In-

volution darstellt, zeigt die folgende Rechunung:

x[-1,~.[-1,a] = '(-x + a) + a = (x - a) + a = x

2. Teilbereiche

Sei T eine nichtleere Teilmenge des Fastbereichs (F,+,.). Dann

heist T Teilbereich yon F, falls gilt:

(T I) (T~ {01,') ist Untergruppe yon (F- {0~,.).

(T 2) T ~ T

(T 2) folgen die Inklusionen ~ G T G T, was wegen ~ = T auf Aus

die stirkere Aussage

(T~) ~ = T

zu schlieSen gestattet.

T heist normaler Teilbereich, falls (T\ {Of,') Normalteiler von

(F\ ~01,.) ist. Man verifiziert sofort

(2.1) {0,1] ~ T fur jeden Teilbereich T eines Fastbereichs.

Eine zentrale Frage bei der Untersuchung von Teilbereichen ist:

Wann liegt das Element -I in einem Teilbereich? Es gilt n~mlich

der Satz

Satz 2.1 Ein Teilbereich T eines Fastbereichs ist ~enau dann

selbst Fastbereich, ~enannt Unterfastbereich, wenn -I

Element yon T ist.

Ist der Teilbereich T Unterfastbereich, so enth~lt er nat~rlich

das Element -I. Sei umgekehrt -I cT. Dann folgt aus -T = T

fdr alle a&F:

Ta + a = (T + 1)a = (-T + 1)a = Ta = Ta .

109

BROCKHAUS 5

Seien nun a, b ~ 0 Elemente von T. Wir zeigen a - beT:

a - bST - b = T(-b) + (-b) (da -I und b in T liegen)

= T(-b)

= T

Damit ist gezeigt, da5 T Unterfastbereich ist, denn es gilt

(2.2) Sei T ~ ~0~ eine nichtleere Teilmen~e eines Fastbereichs

F. Dann ist (T,+,.) ~enau dann Unterfastbereich von F,

wean mit a,b (b~O) auch a - b und ab -I i_~n T liesen.

Zum Beweis zeigen wit zun~chst, da~ in (T,+,-) die Aussage (F I)

gilt. Liegt a in T, so auch 0 = a - a sT, und daher auch

-a = 0 -aeT. Mit a,b liegt also auch a - (-b) = a + b in T,

weshalb (T,+) Gruppoid ist.

Die L~sbarkeit der Gleichung y + a = b , a,b s T ist klar, denn

y := h- aeT ist eine L~sung. Schwieriger ist es, die L~sbar-

keit von a + x = b , a,b~T in T nachzuweisen. Wir betrachten

dazu die affine Transformation

T: x ~ ((-x - a) + (b + a)) - a

vertauscht die Punkte -a und b (man beachte (F4)) , ist also

nach Satz 1.3 eine Involution. Demnach vertauscht ~ auch 0

und 0 r = (-a + (b + a)) - a =: p. Nach (1.10) l~St sich r des-

halb schreiben als

~:x ~-x+p

und man erh~lt a + p = b.

p ist also LSsung der obigen Gleichung, die in T liegt, da

(T,+) bereits als Gruppoid erkannt ist. Da5 die jeweiligen LS-

sungen eindeutig sind, Hbertr~gt sich aus der entsprechenden

Eigenschaft im Fastbereich F; aus demselben Grund gelten auch

(F 3) und (F 4) in T. Die Eigenschaft (F 2) folgt aus dem Unter-

gruppenkriterium, angewandt auf (T~ (0},.).

Satz 2.2 Ein Teilbereich T ~ {0,1} eines Fastk~rpers resp. K~r-

pers resp. kommutativen K8rpers Fist bereits Unter-

fastkSrper resp. UnterkSrper resp. kommutativer Unter-

kSrper.

ii0

6 BROCKHAUS

Nach Satz 2.1 ist nur zu zeigen, da~ T das Element -I EF enth~It.

Sei c ~ 0,1 ein Element yon T. Dann gilt nach (T I) auch c-le T

und somit (da F mindestens FastkSrper ist)

-1 c-1 )c-1 c = -I + + I = (-c + I + I = ~c-I+ I ~T.

Daraus folgt ~c-I~ T - I = -T = -T.

Wir haben demnach ~ ~-Tc = -T und wegen (T 2) au~erdem ~ gT.

Also gibt es tl, t2g T mit -t I = ~ = t2, woraus man die Behauptung

-I = t2t~1~ T

gewinnt.

Die Frage, ob es Fastbereiche gibt, die keine FastkSrper sind,

ist demnach positiv beantwortet, wenn man einen Fastbereich fin-

det, der einen Teilbereich T ~ ~0,I~ besitzt, der selbst kein

Unterfastbereich ist, oder, was ja gleichwertig ist, der nicht

das Element -I enth~lt. Weitere hierzu ~quivalente Aussagen gibt

der folgende Satz an.

(2.3) Sei F Fastbereich, T Teilbereich yon F. Dann sind ~qui-

valent: (i) -I ~T.

(ii) 2 E T.

(iii) -2 ~T.

(iv) 2-I~T, falls char F ~ 2.

Wir zeigen nut die ~quivalenz von (i) und (iii), da die Ubrigen

trivial sind. Liegt -I in T, so auch 2 =--TcT, also auch

-2 = (-1).2eT. Ist umgekehrt -2 eT, so enth~lt T auch (-2)(-2) =

(-I)(-I).2.2 = 1.2(I + I) = I + I + I + I =: 4. Wegen (T 2) liegt

dann auch 4 = -4 + I = -(I + I + I) =: -3 in T. Andererseits ist

auch 3 = -(-2) + I = -~ET und somit haben wit (-3)3 -I = -I eT,

falls char F ~ 3. Im Fall char F = 3 ist F abet nach (1.7) bereits

FastkSrper, soda~ nach Satz 2.2 auch dann -I ~T gilt.

Satz 2.~ Ein normaler Teilbereich T ~ ~0,I} eines Fastbereichs F

ist bereits Unterfastbereich.

In Anwendung von (2.3) zeigen wir, da~ 2 in T liegt. Im Fall

char F = 2 ist nichts zu zeigen. Sei also char F ~ 2 und die

Existenz eines t~T\~0,1} vorausgesetzt. Wie in [~gezeigt wird,

gilt:

iii

BROCKHAUS 7

(2.4) Enthalten Tm I + a Iund Tm 2 + a 2 beide zwei verschiedene

Elemente u und v, so gilt: Tm I + a I = Tm2 + a2"

Wit zeigen, da5 T2 -I und -T2 "I + t beide die verschiedenen

Elemente 2 -I und -2 -I + t enthalten.

I) -2 -I + t = 2-1"2(-2 -I + t) = 2-I((t - I) + t) (nach (1.4))

= 2-I(-~ + t) ~ 2-I(-T + t) = 2-IT = T2 -I.

2) -2 -I + t e -T2 -I + t ist klar, da I e T.

3) 2 "I a T2 -I folgt ebenso.

4) 2 "I a -T2 -I + t folgt aus I).

Also haben wir nach (2.4) T2 -I = -T2 -I + t und demnach liegt

0 in -T2 -I + t, woraus t cT2 -I bzw. 2 ~t-IT = T folgt.

~, Inzidenzstrukturen [F,T]

Gegeben sei eine Menge yon Punkten P := ~a,b,c, ...] und eine

Teilmenge der Potenzmenge yon P, die Menge der Geraden G :=

(g,h, ...]. Ein nicht kollineares Punktetripel (a,b,c) heist

Dr eieck, was wit im folgenden mit D(a,b,c) ausdr~cken. Das Paar

(P,G) heist regulire Inzidenzstruktur, wenn gilt:

(I I) Dutch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.

(I 2) Jede Gerade enth~lt wenigstens zwei verschiedene Punkte.

(I 3) Es gibt ein Dreieck.

Die nach (I I) eindeutig bestimmte Gerade durch die Punkte

a und b bezeichnen wit mit ab.

Weiterhin sei auf der Menge der Dreiecke eine ~quivalenzrela-

tion "~" gegeben, genannt lhnlichkeitsrelation, die folgenden

Axiomen gen~gt:

(At) Zu jedem Dreieck D(al,a2,a3) und b I # b 2 existiert genau

ein Punkt b 3 mit D(al,a2,a3 )~D(bl,b2,b3).

(A 2) Aus D(al,a2,a 3)~D(bl,b2,b 3) folgt fdr jede Permutation v

von [1,2,3~ D(a~1,av2,a~3 )~D(bvl,bv2,b~3).

112

8 BROCKHAUS

(A 3) Aus D(al,a2,a3)~D(bl,h2,b3) und D(a1~a2,a4)ND(bl,b2,h 4)

folgt D(a2,a3,a 4)~D(b2,b3,b4) , fa l ls (a2,a3,a 4) und (b2,b3,b 4) Dreiecke sind.

Das Tripel (P,G,N) heist Inzidenzstruktur mit ~hnlichkeits-

relation. Es gilt der Satz (vgl. [2])

Satz ~.I Sei T ein echter Teilbereich des Fastbereichs F.

Nennt man die Elemente yon F Punkte, die Teilmengen

Tm + b m~F~ {0}, bEF

Geraden, und setzt D(al,a2,a 3)ND(bl,b2,b3), wenn eine affine Abbildun~ [m,b] des Fastbereichs existiert ,

die fNr i = 1,2,3 den Gleichungen aim + b = b i genNgt,

so stellt (F,{Tm + h I ms F~ {0}, b ~FT, ,v ) eine mit

[F,T] bezeichnete Inzidenzstruktur mit ihnlichkeits-

relation dar, deren Automorphismen~ruppe mit der af-

linen Gruope r(F) Hbereinstimmt.

Um~ekehrt stellt jede Inzidenzstruktur mit ~hnlich-

keitsrelation be i geeigneter EinfHhrung yon Opera-

tionen "+" und "." auf der Menge der Punkte eine Struk-

tur IF,T] dar.

Durch ein weiteres Axiom

(A 4) Aus D(a,b,c) ~D(a,b',c') und a_~b = ab' folgt a__~c = a__~c'.

kennzeichnet LeiSner in [2] den Fall, daS der Teilbereich T

normal ist.

Der Sachverhalt -I g T, der sich im vorigen Abschnitt als wichtig

herausstellte, list sich ebenfalls geometrisch durch ein zusitz-

liches Axiom (B I) charakterisieren.

(B I) Aus D(a,b,c)ND(b,a,c') folgt c ~ c'.

c' b

a 113

BROCKHAUS 9

Satz 2.2 Die Klasse der re~uliren Inzidenzstrukturen (P,G,~),

die zusitzlich dem Axiom (B I ) gen~gen, stimmen ~ber-

ein mit den Strukturen [F,T], F Fastbereich, T Unter-

fastbereich yon F.

Wir zeigen, da5 -I in T liegt, falls (B l) erfdllt ist. Im Fall

char F = 2 gilt dies immer. Wire im Fall char F ~2 -I kein Element

von T, so w~re nach (2.3) (0,7,2 -I ) ein Dreieck, und man h~tte

D(0,I,2 -I)~D(I,0,2"I), da die Abbildung [-1,1] die entsprechen-

den Punkte ineinander ~berfdhrt. Das wire aber ein Widerspruch

zu (B I ).

Sei nun -I e T. Wir weisen (B I ) nach, indem wir die Aussage

speziell fdr a := 0 und b := I beweisen, was wegen Satz 1.3

und Satz 3.1 gen~gt. D(O,1,c)~D(1,0,c') und c = c' wdrde bei

char F = 2 heiSen, da5 die Abbildung [-1,1] einen Fixpunkt be-

sitzt, also c = c + I, was unm~glich ist. Im Fall char F ~ 2

w~re c = 2 -I , was nach (2.3) in T liegt. Also w~re (0,I,c)

kein Dreieck.

4. Passantenrelation in Strukturen [ F,T].

Zwei @eraden g und h heiSen Passanten genau dann, wenn g= h

oder g nh = ~; in Zeichen gllh.

Satz 4.1 In ~eder Inzidenzstruktur mit ~hnlichkeitsrelation,

die nicht nur aus drei Punkten besteht, gilt

(P) Z__uu ~eder Geraden gibt es durch jeden Punkt

(wenigstens) eine Passante.

Aufgrund der S~tze 1.3 und 3.1 gen~gt es wieder zu zeigen,

da5 es speziell zur Geraden T dutch jeden Punkt a ~ F \ T wenig-

stens eine Passante gibt.

1.Fall: -I # T, insbesondere also char F ~ 2.

Ist a ~ 2 -I also a ~ a, so ist aa eine wohldefinierte Gerade.

Wit zeigen TII a_~a. Beide Geraden sind Fixgeraden der Involution

[-1,1]. Wiren sie nicht Passanten, soware ihr Schnittpunkt der

Fixpunkt von [-1,1], also 2 -I . Dann lige also 2 -I in T, was

114

10 BROCKHAUS

mit (2.3) ein Widerspruch zu -I ~ T ist.

Sei jetzt a = 2 -I. Ist T = ~0,I~, so gilt z.B. fur den vierten

in P existierenden Punkt b: T[lab. Andernfalls existiert ein

c r 0,1 in T, und wir setzen F:= [-I,c]. Dann ist a_~a ~ eine

wohldefinierte Gerade, die Uberdies Fixgerade yon ~ ist. Da

aueh T = O__cc = 00._ w Fixgerade ist, folgt wie oben T[[aa ~, da

sonst der Fixpunkt 2-Ic von ~ in T lige, was auf 2-I~ T fdhren

wUrde. - In jedem Fall finden wir also eine Passante zu T

durch a.

2.Fall: -I CT.

Es ist jetzt THT + a. Andernfalls gibe es nimlich tl,t 2r T

mitt I = t 2 + a, woraus der Widerspruch aET folgt, da T wegen

-I eT Unterfastbereich von Fist.

Als Korollar erhalten wit zusammen mit Satz 3.1

Satz 4.2 Ein____~e projektive Ebene besitzt keine scharf zweifach

transitive Kollineationsgruppe.

Ist T Unterfastbereich von F, so list sich aus obigem Beweis

(2.Fall) entnehmen, da5 das Bild von T unter einer Involution

aus ~(F) Passante zu T seln muS: da Involutionen alle vonder

Form ~ = [-1,a] sind, so ist nimlich T ~ = -T + a = T + a, und

es folgt im Fall aST T nT ~ = ~ und im Fall a~ T T = T ~.

Ubertrigt man diese Uberlegung auf beliebige Geraden g ~G~ so

erhilt man

Satz 4.3 I st T Unterfastbereich des Fastbereichs F ~nd ~E P(F)

ein~ Invo!ution, s_~o gilt i_.~n [F,T] f~r ~ede Gerade g

gIIg

5. Strukturen IF,T] fdr FastkSrper

Ein geordnetes Punktefdnftupel [a,a',b,b',c] nennen wir eine

Fanofisur, wenn es den folgenden Bedingungen gendgt:

i15

BROCKHAUS 11

(I) a ~ a'

-(2) D(a,b,c) ~ D(a',b',c)

(3) D(a,b',c)~D(a',b,c)

a a'

Ist char F ~ 2, so stellt [1,-1,b,-b,O] f~r jedes bgF\T eine

Fanofigur dar, wie man mit Hilfe der affinen Abbildung x ~-x

unmittelbar verifiziert.

Dagegen kann im Fall char F = 2 keine solche Figur existieren:

Sind n~mlich die Bedingungen (2) und (3) einer Fanofigur er-

fdllt und ~ resp. ~2 die affinen Abbildungen, die das Drei-

eck D(a,b,c) in D(a',b',c) resp. D(a,b',c) in D(a',b,c) dber-

fdhren, so folgt aus a ~I = a' = a ~2 und c ~7 = c = c~2 zunichst

= ~2 =: ~und welter b ~ = b' sowie b '~ = b. Die Abbildung

ist also eine Involution und daher yon der Form [1,r]. Da sie

einen Fixpunkt, nimlich c, besitzt, mu5 r = 0 gelten, was

a' = a ~ = a zur Folge hat. Damit haben wir den

Satz 5.1 F~___r eine Inzidenzstruktur [F,T] sind iquivalent:

(i) char F = 2

(ii) E_~s existi@rt keine Fanofigur i_.nn [F,T].

Um den Fall zu charakterisieren, da5 (F,+,.) in der Struktur

IF,T] FastkSrper ist, ben~tigen wir - entsprechend den voran-

gegangenen Uberlegungen - zwei verschiedene Axiome fdr die

F~lle char F ~ 2 und char F = 2.

(s 2 ) (fdr char F ~ 2)

Sei D(c,a,b)ND(h,c',c)

und [a,a',b,b',c] eine Fanofigur. b c'

I st (a',c,c') ein Dreieck, ~ //~\

so folgt O(c,a~b)~O(a',c,c'). / \ ~></ \

~ \ Ist (a ,c,c') ein Dreieck, ~ \

so folgt D(c,a,b)ND(a ,c,c'). ~//b'

116

12 BROCKHAUS

Satz 5.2 Sei IF,T] eine Inzidenzstruktur mit ihnlichkeits-

relation. Dann ist im Fall char F ~ 2 die GUltigkeit

yon (B2) , im Fall char F = 2 die G~ltigkeit YOn (B~)

damit aquivalent, da5 d er Fastbereich F ein FastkSrper

ist.

Wir beweisen bier den Satz nur fur den Fall char F ~ 2; der

Beweis fur char F = 2 kann analog gef~hrt werden und list sich

sogar bei Beachtung yon a = -a stark verkdrzen.

Zunichst sei die G~ltigkeit yon (B 2) vorausgesetzt. Wit zeigen

fur Elemente a,bEF: a + b = b + a.

Dies gilt sicher, wenn a oder b gleich 0 ist; sei also ab ~ O.

Wir unterscheiden vier F~lle:

1.Fall: b ~Ta und br

Dann sind (O,a,b) und (Ot-a,b) Dreiecke, und mit Hilfe der

Abbildung [-1,0] g P(F) erhilt man

D(-a,b,O) N D(a,-b,O)

D(-a,-b,O ) N D(a,b,O ).

Da a ~ -a, ist also [-a,a,b,-b,O] eine Fanofigur.[-1,b] zeigt

D(O,-a,b) N D(b,a+b,O),

soda5 uns (B 2) auf D(O,-a,b) ~ D(a,O,a+b) zu schlieSen ge-

stattet, falls (a,O,a+b) ein Dreieck ist, also falls a + b @Ta.

Mit der affinen Transformation [1,a] erhilt man andererseits

D(O,-a,b) ~ D(a,O,b+a),

woraus mit (A I) folgt:

(+) Sind (O,a,b) und (O,-a,b) Dreiecke und ist a + b@Ta,

s go ig~ a + b = b + a.

Sei jetzt a + b~Ta, also asTa - b. Dann gilt a - b STa, da

wit sonst a, a - b c Ta

und a, a - b ~ Ta - b

erhalten w~rden. Dann w~re abet Ta = Ta - b, was auf den Wider-

spruch -beTa f~hrte. Well auch (O,a,-b) und (O,-a,-b) Dreiecke

sind, gilt daher nach (+): a - b = -b + a. Es folgt mit (F4):

117

BROCKHAUS 13

(a + b) - b = a

= (b - b) + a

= b + (-b + a) (beachte (F4))

= b + (a - b)

= (b + a) - b (beachte (I .3))

Unter Beachtung yon (F I) erh~it man daraus a + b = b + a. Zu-

sammenfassend gilt also

(*) sin~ (O,a,b) und (O,-a,b) Dreiecke , s_~o 6ilt a + b = b + a.

2.Fall: beTa und b r

Man hat also jetzt Ta = Tb und daher auch b@-Tb, was -I @ T

bedeutet. Nach (2.3) folgt daraus

2b #Tb = Ta

und 2b@-Tb =-Ta

Es bilden also (O,a,2b) und (O,-a,2b) Dreiecke, sodas mit (*)

gilt a + 2b = 2b + a

und auf gleiche Art b + 2a = 2a + b.

Dann folgt 2(a + b) = 2a + 2b (wegen (1.5)

= a + (a + 2b) (beachte (F4))

= a + (2b + a)

= (a + 2b) + a (beachte (1.3))

= 2(b + a) (wegen (1.4))

Da char F # 2 vorausgesetzt ist, erhilt man hieraus

a+b=b+a.

3.Fall: b STa und b e-Ta.

Dies ist mit -b eTa und -br gleichwertig, was wie soeben

gezeigt auf a - b = -b + a und daher wie im ersten Fall auf

a + b = b + a

fUhrt.

4.Fall: beTa und b e-Ta.

Man hat jetzt auSer Ta = Tb auch Ta = - Ta, also -I s T. Wir

wihlen gemaS (I 3) einen Punkt c eTa = Tb, fur den nach dem

bisher Bewiesenem gilt:

a + c = c + a

und b + c = c + b.

AuSerdem ist c + b 4 Ta = Tb, da c ~-Tb = Tb - b (beachte (T~)),

118

14 BROCKHAUS

sodaB man ebenso schlieSen kann

a + (c + b) = (c + b) + a.

Es folgt daher mit (F 4)

(a + b) + c = a + (b + c)

= (b + c) + a

= b + (c + a)

= b + (a + c)

= (b + a) + c,

also wieder a + b = b + a.

Damit ist gezeigt, dab F Fastk~rper ist.

Sei nun umgekehrt F FastkSrper mit char F ~ 2. Wegen Satz 1.3

und Satz 5.I gen~gt es, (B 2) speziell fdr c:= 0 und a := I

nachzuweisen. Sei also

(~ ) D(O,7,b) ~O(b,c',0)

und [1,a',b,b',0] eine Fanofigur, d.h. a' ~ Iund

(2) D(1,b,0) N D(a',b',O)

(3) D(1,b',0)~D(a',b,0).

Die nach (2) und (3) existierende Abbildung ~ aus V(F), die

0 festli~t und t nach a' ~berf~hrt, hat die Form ~ = [a~O~.

Es folgt b' = b ~ = ba' und b = b '~ = bfa'~ also ba'a' = b bzw.

a' = a '-I, was mit (1.9) wegen a' ~ I auf

a ! = -I

fdhrt. Mit (I) folgt ebenso unter Verwendung yon ~ := [-1,b]

c' : I ~ : -I + b = b - I.

Die Forderung von (B 2) lautet daher D(O,1,b)~D(-1,0,b-1),

was man mit Hilfe der Abbildung [I,-I] tatsichlich als richtig

erkennt.

Der Satz 5.2 gibt zur ungel~sten Frage, ob es Fastbereiche gibt,

die keine FastkSrper sind, ein geometrisches ~quivalent an, nim-

lich die Frage, ob es Strukturen [F,T] gibt, die nicht dem Axiom

(B 2) bzw. (B~) genHgen. Die Suche nach einer solchen Geometrie

wird dadurch erleichtert, da5 sich in (B 2) bzw. (B~) jetzt die

Forderung "Ist (a',c,c') ein Dreieck" aus den Hbrigen Voraus-

setzungen beweisen li~t, und daher nut die stirkere Aussage (~2)

bzw. (~) widerlegt zu werden braucht.

119

BROCKHAUS 15

(B2) Sei D(c,a,b)~D(b,c',c) und [a,a',b,b',c] eine Fanofigur,

so folgt, da5 (a',c,c') ein Dreieck ist

mit D(c,a,b)ND(a',c,c').

(~) Sei D(c,a,b)~O(b,c',c), sO folgt, daS (a ,c,c') ein Dreieck ist

mit D(c,a,b)ND(a ,c,c').

Wir setzen die G~ltigkeit yon (B 2) resp. (B~) voraus und zei-

gen, da5 dann (B2) resp. (B~) gilt.

Zunichst zum Fall char F ~ 2, d.h. es gelte (B2).

Ist T = {0,13, so bilden je drei verschiedene Punkte ein Dreieck.

Wit zeigen, da5 a', c und c' verschieden sind. a' ~ c und c' ~ c

ist trivial, da (a',b',c) und (h,c',c) laut Voraussetzun~ Drei-

ecke sind. Wire a' = c', so folgte aus D(c,a,b)~D(b,c',c) die

Beziehung D(c,a,b)~D(b,a',c), also da5 die Involution, die b

und c vertauscht, a nach a' abbildet, und diese hat aufgrund der

Fanoeigenschaft den Fixpunkt c, was auf b = c fdhren w~rde.

Ist T ~ {0,13, so wissen wir, da5 a_~a' Fixgerade einer Involution

~= [-1,r~, r~ F, mit dem Fixpunkt c ist, was aus der Fanoeigen-

schaft folgt. Da F wegen Satz 5.2 FastkSrper ist, s da5 T

Unterfastbereich ist, also nach (2.3) das Element 2 -I enth~lt.

Aufgrund folgender Rechnung liegt daher c auf a a':

c = 2-Ir = (2-Ir - a) + a 6 T'2(2-1r - a) + a (da 2-I~ T)

= T((-a + r) - a) + a (beachte (1.4))

= T(a ~ - a) + a

= aa ~ = aa'

Wire nun (a',c,c') kein Dreieck, so lige c' auf a'c = ac, und

b.~c' wire als Bild von a ccunter der inv. Abb., die b mitc ver-

tauscht keine Passante zu ac, im Widerspruch zu Satz 4.3.

Sei jetzt char F = 2 und die G~ltigkeit von (B~) vorausgesetzt.

Aus D(c,a,b)~D(b,c',c) folgt, da5 die Involutions, - sie sei

vonder Form It,r], r~F - die c und b vertauscht, auch die

Punkte a und c' vertauscht. Daher sind cb und a__cc' Fixgeraden

yon ~. Wiren jetzt a, c' und c kollinear, so wire c Fixpunkt

yon ~, und demnach c = c ~ = c + r, was auf r = 0 fdhren wdrde.

wire also die Identitit, was auf den Widerspruch c = b f~hrt.

120

1 6 BR0 CKHAUS

Es gilt also der Satz

Satz 5.) Se i [F,T]eine Inzidenzstruktur mit ~hnlichkeits-

relation. Dann ist im Fall char F ~ 2 (B 2) iquiva-

lent zu (B2) und im Fall char F = 2 (B~) iquivalent

z~ (~).

6. Strukturen IF,T] f~r K~rper

Das folgende Axiom kennzeichnet den SchiefkSrperfall:

(B 3) Sei D(z,a,a')ND(z,b,b')~D(z,c,c')

und D(z,a,b) N D(b,c,z).

Sind (z,a',b') und (b',c',z) Dreiecke,

so folgt D(z,a',b')~D(b',c',z). b'

i / _A ', a ~

(6.1) Ist (P,G,~) eine normale Inzidenzstruktur mit ~hnlich-

k eitsrelation, so list sich in (B 3) die Bedingung "sind

(z,a',b') und (h',c',z) Dreiecke" aus den Nbrigen Vor-

aussetzungen beweisen.

W~ren nimlich z, a' und b' kollinear, so wiren es auch wegen

D(z,a,a')ND(z,b,b') die Punkte z, a und b, da in (P,G, ~) ja

das Axiom (A 4) gilt (vgl. Abschnitt 3). Den gleichen Wider-

spruch erhilt man, wenn (b',c',z) kein Dreieck wire.

Satz 6.1 Sei IF,T] eine normale Inzidenzstruktur mit ~hn~ich-

keitsrelation. Der Fastbereich Fist genau dann

SchiefkSrper, wenn in IF,T] auger (A I) - (A4) noch

das Axiom (B3) gilt.

121

BROCKHAUS 17

Wir zeigen zun~chst, da5 F bei Forderung yon (B 3) Schiefk~rper

ist. Gem~5 Satz 1.2 mu~ fGr beliebige Elemente a,b,c eF

a(b + c) = ab + ac

nachgewiesen werden. Sei abc ~ 0 und b + c ~ 0, da sonst nichts

zu zeigen ist. Wir betrachten drei F~lle:

1.Fall: aS T und c %-Tb.

Mit dem Hilfsdreieck D(0,1,a) erh~lt man

D(0,I,a)N D(0,-b,-ab) mit [-b,O]

D(0,I,a)ND(0, c, &c) mit [ c,OJ

D(0,1,a)~D(0,b+c,a(b+c)) mit [b+c,O~,

zusammenfassend also D(0,-b,-ab)ND(0,c,ac)ND(0,b+c,a(b+c)).

Mit der affinen Transformation [-I,c] verifiziert man auSerdem

D(0,-b,c)~D(c,b+c,0).

Da nach (6.1) (O,-ab,-ac) und (ac,a(b+c),0) Dreiecke sind,

folgt jetzt aus (B 3) D(0,-ab,ac)~D(ac,a(b+c),O).

Die Abbildung [-1,ac] fdhrt aber andererseits auf

D(0,-ab,ac) ~ D(ac,ab+ac,0),

was wegen (A I) auf a(b + c) = ab + ac f~hrt. Wir halten fest:

(+) F~r alle aeF\T und alle b,c @F mit c#-Tb ~ilt

a(b + c) = ab + ac.

2.Fall: a# T und cs-Tb.

Es ist also jetzt Tc = -Tb. Wir wihlen ein beliebiges Element

d~ F\-Tc. Ist d + c e-Tb = Tc = -Tc + c, so l~ge d in -Tc. Also

(I> d + c ~-Tb.

Weiterhin gilt

(a) (b + e) + d # Td,

Sonst w~re n~mlich b + c eTd - d = -Td, also d e-T(b + c).

Nun ist -T(b + c) = -Tb - c, da beide Geraden die Punkte 0

und -(b + c) enthalten, soda5 also d~-Th - C, was im Wider-

spruch zu (I) steht. K~nnen wit auSerdem zeigen~ da5

(3) c + d = t(d + c) mitt ~{I,-I~

122

18 BROCKHAUS

gilt, so liSt sich folgende Rechnung durchfUhren:

a(b + c) = a((b + c) + (d - d))

= a(((b + c) + d) - d)

= a((b + c) + d) - ad

= a(tb + (c + d)) - ad

= (tab + a(c + d)) - ad

= (tab + (ac + ad)) - ad

= ((ttab + ac) + ad) - ad

= ab + ac

(wegen (+) und (2))

((F 4) mit (3))

((+) und (I) mit (3))

((+) und d ~-Tc)

((1.3) mit (3))

( t 2 = 1)

Wir haben also noch Aussage (3) zu beweisen. Der Nachweis er-

folgt in mehreren Schritten.

(4) axa -I = a~a LI fdr alle a,xgF\T.

Unter Anwendung yon (+) gilt nimlich

-I -I a-1 --I axa = -axa + I = a(-x + I) = axa .

Z1 --I --I -I (5) x x x = x x x f~r alle xeF\T.

Sei a,beF~T. Ist ab = ba, so gilt mit (4) auch ~ = aba -I =a~a- I

also ab = ba. Da nun x, x-leF\T, ist also x mit x -I vertausch-

bar, und da x-leF\T ist auch ~ mit x -I, also auch mit x x

vertauschbar, was zur Behauptung f~hrt.

( 6 ) x x -I r T falls x~Tu{2}.

S o n s t w / r e x x -1 = x - l x = ( - x -1 + 1 ) x = -1 + x 6 T , a l s o

l e-T + x D[-1 + x, x}, was wegen x ~ 2 auf I ~-I + x und da-

her auf -T + x = T und somit auf x 6T fdhren wdrde.

(7) x -I x -I r T falls x$Tu<2}.

Diese Aussage list sich sofort auf (6) zurdckf~hren.

FUr die f01gende Rechnung ben8tigen wit auSerdem noch zwei

Formeln, die, wie Lei~ner in [3] gezeigt hat, in jedem Fast-

bereich gelten.

. . . . I -- (8) xa = x a a f~r alle xcF und acF~{lJ.

(9) x -I --I = x f~r alle xeF~{0,1}.

123

BROCKHAUS 19

Die Formeln (4) - (9) erm~glichen es uns jetzt, unter Durchf~h-

rung der gleichen Rechnung, wie LeiSner sie in [3] angibt, fol-

gendes f~r alle x6F\(TU[2}) zu schlie~en:

-I --I f(x) := x x x

-I -I --I = X XX X X

-I -I --I = X XX X X

-I ----=--I -- X X X X

(wegen (4) und (6))

((8) angew.auf xx -I)

-I --I --I = X X X ((8) f~r x -I x ~)

-I --I --I --I - = x x x x x ((8) fur ~-I ~-I)

-'1 -1 -1 -I _---~- 1 = x x x x x (wegen (9))

-i -i i -i -:T-I -I = x x x x x (wegen (4) und (7))

----] - i - I _ I _--~- I = X X X X

= (~-I x-i x)-1

= (x -I x ~-I)-I (wegen (5))

= (f(x)) -I

Trivialerweise gilt f(x) = (f(x)) -I auch fHr x = 2~ soda5 man

erh~it:

--I I (6.2) FHr alle x E F \ T gilt f(x) := x -I x x = (f(x))- .

Unter Ber~cksichtigung yon (1.9) bedeutet dies f(x) = t f~r

t E {I,-I}, was nach einiger Umformung auf I - x =-t(-x + I)

fur alle xeF\T fdhrt.

Da nach Voraussetzung d~-Tc, also -dc -IE F~T, folgt (3) jetzt

folgendermaSen: c + d = (I + dc-1)c

=-t(dc -I + I)c

=-t(d + c)

3.Fall: aeT.

Wir wihlen ein d~F\T. Es gilt ad-1% T, also k~nnen wir gemaS

124

20 BROCKHAUS

den bisherigen Ergebnissen aus Fall I und 2 schlie~en:

a(b + c) = ad-ld(b + c)

= ad-1(db + dc)

= ad-ldb + ad-ldc

= ab + ac.

Damit ist vollst~ndig bewiesen, daS F Schiefk6rper ist.

Der Beweis fur die Umkehrung braucht wieder nut fGr den Spe-

zialfall z := 0 und a := I gefGhrt zu werden. Sei also

D(O,l,a') ~ O(O,b,b') ~ O(0,c,c')

D(O,l,b) N D(b,c,O)

Bei der ersten Khnlichkeit liegt die Abbildung [b,O], bei der

zweiten [c,O] und bei der dritten [-1,b ] zugrunde, sodas wit

jeweils erhalten b' = a'b resp. c' = a'c resp. c = -I + b.

Dies fGhrt mit dem 2. Distributivgesetz auf -a' + b' = c',

soda~ mit Hilfe der Abbildung [-l,b'] tats~chlich die Forderung

O(0,a',b')N O(b',c',O)

verifiziert werden kann.

Literatur

[I] Kerby, W.; Wefelscheid, H.: Bemerkungen Gber Fastbereiche

und scharf zweifach transitive Gruppen, Abh. Math. Sem.

Univ. Hamburg 37 (1971) 23 - 32.

[2] LeiSner, W.: Ein axiomatischer Aufbau der ~hnlichkeits-

geometrie, J. Geometrie 5 (1974) 117 - 146.

[3] Lei~ner, W.: Ein Stufenaufbau der Fastbereiche, Fastk6rper

und K~rper aus ihrer multiplikativen Gruppe, Abh. Math.

Sem. Univ. Hamburg 46 (1977) 57 - 91.

Egbert Brockhaus

Dachsring 13

D 4030 Ratingen 6

(Eir~gegangen am 18.10.1976)

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