ZIVI KALKULATORI

S vremena na vreme pojavljuju se u svetu osobe koje poseduju neverovatnusposobnost za izvodenje racunskih operacija napamet, bez koriscenja olovke, pa-pira i drugih pomocnih sredstava. Obicno su to cetiri osnovne racunske operacije,zatim korenovanje i stepenovanje. S obzirom da se racunanje izvodi napamet, ,,izglave”, ono se najcece zove mentalno racunanje, a odgovarajuca aritmetika mentalnaaritmetika. Za samo nekoliko sekundi ovi ,,zivi kalkulatori” daju odgovore za kojeje matematicarima potrebno znatno duze vreme i to uz pomoc olovke i papira. Nji-hova sposobnost nije ogranicena samo na mentalnu aritmetiku. Neki od njih uspevalisu da daju odgovore i na mnogo teza pitanja radeci, na primer, sa faktorima bro-jeva, slozenim interesnim racunom, kalendarima, resenjima jednacina, itd. U vecinislucajeva ovi ljudi bili su slabo obrazovani, cak nepismeni, i obicno su u svom radukoristili sopstvene originalne metode. Njihova izvanredna moc racunanja napamet utolikoj meri bi impresionirala posmatrace da su neki od njih pomisljali da oni imajunatprirodnu moc. Ipak, nema osnove za takvo tvrdenje. Osobe sa odlicnom memo-rijom i prirodnom nadarenoscu za aritmetiku, posle stalnog i intenzivnog vezbanjamogu postici odlicne rezultate u mentalnoj aritmetici.

U ovom prikazu bice reci o nekoliko samoukuh ,,zivih kalkulatora”, koji su uvremenu u kome su ziveli istovremeno odusevljavali i zbunjivali svoje savremenike.Jedan od najranije registrovanih fenomena u mentalnoj aritmetici bio jeDzededajaBakston, roden oko 1707. u Elmtonu (Engleska). Mada je bio sin ucitelja, njegovoobrazovanje bilo je zanemarljivo; na primer, on nikada nije naucio da pise. Izuzevnjegove izvanredne sposobnosti da operise sa velikim brojevima, ostale duhovnesposobnosti bile su mu na niskom nivou: bio je neambiciozan i ceo zivot je proveokao radnik na farmi. Umro je 1772. godine.

Bakstonovo druzenje sa brojevima odvijalo se preko materijalnih objekata i nji-hove velicine. Cim bi pronasao predmet svog zanimanja on bi poceo da racunakoliko inca ima u posmatranom objektu, ako se radilo o duzini, ili kolika je njegovazapremina u kubnim incima. Ako se radilo o periodu vremena, on je izracunavao ko-liki broj minuta i sekundi on iznosi. Imao je sposobnost da samo pogledom prilicnoprecizno proceni povrsinu njive nepravilnog oblika. U crkvi, on je jedino razmisljaoo broju reci u svestenikovoj propovedi.

Nema sumnje da se, zahvaljujuci ovim svakodnevnim vezbama, Bakstonova mocu ovim ,,disiciplinama” neprestano uvecavala. Izmedu mnogo pitanja koja su mu bilapostavljena kada je bio veoma mlad, ostala su zabelezena sledeca: Koliko jutara1

ima u pravougaonom polju duzine 351 jardi i sirine 261 jardi?, odgovor dat za 11minuta. Koliko kubnih jardi zemlje treba iskopati da bi se napravio ribnjak dug

1Jutro je mera za povrsinu i ima 4840 kvadratnih jardi, 1 jard (yard)=0.9144 metra.

426 jardi, sirok 263 stopa (1 jard=3 stope) i 212stopa dubok?, odgovor dat za

15 minuta. Kasnije je Bakston odgovarao na mnogo teza pitanja. Godine 1751.on je izracunao koliko kubnih inca ima u kamenom bloku oblika kvadra dimenzije23 145 789 jardi ×5 642 732 jardi ×54 965 jardi; koliko psenicnih zrna je potrebnoda se napuni prostorija oblika kocke cija je zapremina 202 680 000 360 kubnih milja.Samo u vrlo retkim slucajevima Bakston je bio u stanju da objasni svoje metoderada, ali se ipak pouzdano zna da su ovi metodi bili veoma glomazni.

Drugi ,,zivi kalkulator” iz osamnaestog veka bio je Tomas Fuler, crnac, roden1710. u Africi. On je bio zarobljen i doveden kao rob u Virdziniju (SAD) 1724.,gde je ziveo do svoje smrti 1790. Fuler nikada nije naucio da cita i pise, ali sunjegove sposobnosti u mentalnoj aritmetici pouzdano utvrdene. On je mogao bezgreske da mnozi dva devetocifrena broja, mogao je da izracuna broj sekundi u datomvremenskom periodu, broj psenicnih zrna u datoj masi, itd.

Krajem osamnaestog veka rodena su dva cuvena matematicara, Amper (AndreMarie Ampere (1775–1836)) i Gaus (Carl Friedrich Gauss (1777–1855)), koji su unajranijoj mladosti pokazivali zapazenu sposobnost u mentalnoj aritmetici. Posebnoje interesantan slucaj Gausa, koji je, osim prirodne obdarenosti, koristio i svojeogromno znanje iz oblasti Teorije brojeva. Kao dete od tri godine on je zapanjiosvog oca ispravljajuci ga u racunici oko nekih novcanih isplata.

Zira Colbern, roden 1804. u Kabotu (SAD), bio je sin farmera. Pre negosto je navrsio sest godina, on je pokazao izvanrednu moc u mentalnoj aritmeticina svojoj turneji po Americi. Dve godine kasnije on je u Engleskoj ispitivan odkompetentnih posmatraca. Kolbern je u trenutku mogao da saopsti proizvod dvacetvorocifrena broja. Za nekoliko sekundi on je odgovorio da je 16. stepen broja 8jednak 281 474 976 710 656. Kolbern je nalazio 10. stepen brojeva 2, 3, . . . , 9 takvombrzinom da je ispitivac morao da ga zamoli da ponovi rezultate kako bi ih zapisao.Kolbern se narocito isticao u rastavljanju velikih brojeva na cinioce. Na primer,vrlo brzo je odgovorio da su 941 i 263 cinioci broja 247 483, a da broj 171 395 imacinioce 5, 7, 59 i 83. Pri mnozenju brojeva Kolbern je rado koristio faktorizacijubrojeva. Jednom prilikom, kada je zamoljen da nade proizvod brojeva 21 734 i 543,on je odmah saopstio rezultat 11 801 562 objasnjavajuci da je do odgovora dosaomnozenjem brojeva 65 202 (= 21 734× 3) i 181 (= 543 : 3). Umro je mlad, u svojoj36. godini.

Kolbernov savremenik, samouki Dzordz Bider, takode je posedovao izvanrednusposobnost za racunanje napamet. On je jedan od najinteresantnijih ,,zivih kalku-latora” jer je u vecini slucajeva svoje odgovore mogao da obrazlozi i objasni metod(najcesce originalan) koji je primenjivao. Tokom svog zivota stekao je solidno obra-zovanje, ali je zadrzao svoju fantasticnu moc racunanja napamet.

Bider je roden 1806. u Moreton Hempstedu (Engleska), gde je njegov otac ra-dio kao kamenorezac. Vrlo rano ispoljio je svoju sposobnost brzog racunanja pri-menjujuci neobican metod grupisanja i predstavljanja brojeva pomocu kamencica

i dugmadi. Bider je i kasnije u svom zivotu pridavao veliki znacaj konkretnompredstavljanju brojeva preko raznih objekata ili podelom u grupe. Vec sa devet go-dina Bider je stekao solidnu reputaciju i njegov otac je resio da njegovu sposobnostunovci na turnejama sirom Engleske. Za vreme predstave u Edinburgu, profesori saEdinburskog univerziteta bili su toliko impresionirani Biderovim odgovorima, ali injegovom opstom inteligencijom, da su ubedili njegovog oca da upise sina na studije.Bider je stekao diplomu gradevinskog inzenjera i postigao zapazene uspehe u ovojstruci. Umro je 1878. godine.

Sa neprestanim vezbama Biderova moc se stalno razvijala. Posle 1819. godineon se, osim osnovnih aritmetickih operacija, oprobao u nalazenju korena iz velikihbrojeva podrazumevajuci da je rezultat ceo broj. Evo nekoliko tipicnih pitanjana koje je Bider odgovarao za vreme svojih egzibicionih predstava (period 1815–1819). Godine 1815., kada je imao devet godina, postavljeno mu je pitanje: Akoje udaljenost Meseca od Zemlje 123 256 milja, i zvuk putuje brzinom od 4 milje uminuti, posle kog vremena ce hipoteticni stanovnik Meseca cuti grmljavinu topova sabojista u Vaterlou?2 Odgovor, 21 dan, 9 sati i 34 minuta, Bider je dao za manje odjednog minuta. Sledece godine, kada je imao deset godina ali jos uvek nije znao dapise brojeve, na pitanje koliki je interes na 11 111 funti za 11 111 dana ako je kamata5% godisnje, Bideru je trebao jedan minut da saopsti tacan odgovor 16 911 funtii 11 silinga. Kvadratni koren broja 119 550 669 121 Bider je nasao za 30 sekundi.Sledece pitanje postavio je cuveni astronom Vilijam Hersel: Pretpostavljajuci dasvetlost putuje od Sunca do Zemlje 8 minuta, i da je udaljenost Sunca od Zemlje98 000 000 milja, odrediti udaljenost najblize zvezde od Zemlje ako se zna da svetlostputuje do nje 6 godina i 4 meseca. Bider je dao odgovor 40 633 740 000 000 miljaza dva minuta.

Treba napomenuti da Bider nije pamtio brojeve preko simbola vec preko speci-jalno aranziranih grupa brojeva. Na primer, broj 984 bio bi razbijen na 24 grupeod kojih je svaka sadrzavala po 41 jedinicu. Zapravo, najveci deo vremena priizracunavanju Bider je trosio za prebacivanje brojeva datih na uobicajen nacin naoblik ,,kvantitativne reprezentacije”.

Johan Martin Zaharijas Daze je jedan od najpoznatijih cudotvoraca u men-talnoj aritmetici. Roden je 1824. godine u Hamburgu. Imao je prosecno obrazovanjeali je koristio svaku priliku da razvija i usavrsava svoju sposobnost. Imao je viseegzibicionih nastupa u Nemackoj, Austriji i Engleskoj. Umro je mlad, u 38. godini.

Posle predstave u Becu 1840. godine, poznati matematicar tog doba Straznickije predlozio Dazeu da svoju sposobnost primeni u naucne svrhe, sto je on sa zado-voljstvom prihvatio. Ovo mu je kasnije omogucilo da se upozna i saraduje sa Gau-som, Sumaherom, Petersenom i Enkeom. Ostalo je malo zapisanih zadataka koje jeresavao Daze. Jedan od njih je Sumaherovo pitanje o proizvodu brojeva 79 532 853i 93 758 479, na koje je Daze odgovorio za 54 sekundi. Gausovo pitanje odnosilo se

2Bitka na Vaterlou upravo je bila 1815. godine, kada i Biderova predstava.

na izvlacenje kvadratnog korena iz stocifrenog broja. Daze je nasao resenje za 52minuta. Kao i svi drugi ,,zivi kalkulatori”, i Daze je posedovao izvanrednu memo-riju. Cak dva sata posle predstave on je mogao da ponovi sve brojeve sa kojim jeprethodno operisao. On je takode imao poseban dar da posle samo kratkog gledanjana zadane objekte ustanovi njihov broj, raspored ili nesto drugo, na primer sumutackica na vise domina, broj slova u zadatom redu, ili da trenutno memorise brojsa deset i vise cifara.

Dazeova izracunavanja sa papirom i olovkom bila su neverovatno brza. Kada jeimao sesnaest godina Straznicki ga je naucio da koristi formulu

π

4= arctg

1

2+ arctg

1

5+ arctg

1

8

sa ciljem izracunavanja broja π. Za dva meseca Daze je pronasao aproksimaciju brojaπ sa 205 decimalnih mesta, od kojih je 200 bilo tacno. Dazeovo sledece dostignucebilo je izracunavanje prirodnih logaritama prvih 1 005 000 brojeva sa 7 decimalnihmesta. Ovaj posao on je zavrsio radeci u svoje slobodno vreme u periodu od 1844. do1847. Sledece dve godine, opet u slobodno vreme, on je sastavio tablice hiberbolickihfunkcija koje su publikovane 1857. od strane austrijske vlade.

Zak Inaudi, roden 1867. u Onoratu (Italija), takode je bio fenomen u mentalnojaritmetici. Kao decak bio je pastir sve dok nije otkrivena njegova izvanredna sposob-nost za racunanje napamet. Vec 1880. on je imao egzibicioni nastup u Parizu, madau to vreme jos nije znao da cita i pise. Neprestanim vezbanjima njegove racunskemogucnosti su stalno rasle. U Lionu 1883. on je mogao da nalazi proizvod trocif-renih brojeva gotovo trenutno. Vec sledece godine on je mnozio sestocifrene brojeve.U Parizu je bio ispitivan od poznatog matematicara Darbua. Za 13 sekundi Inaudije izracunao koliko sekundi se sadrzi u 18 godina, 7 meseci, 21 dan i 3 sata. U mo-mentu je dao odgovor na pitanje koliki je kvadratni koren od sestine razlike kvadratabroja 4 801 i 1. Takode je nalazio cela resenja jednostavnijih jednacina metodomprobe i greske. Njegov veliki podvig bio je predstavljanje brojeva manjih od 100 000u obliku sume kvadrata cetiri prirodna broja.3

Za najveci broj ,,zivih kalkulatora” bilo je tesko ili nemoguce da objasne svojemetode izracunavanja. Ipak, skoro svaki od njih imao je logicne prilaze pri resavanjuizvesnih klasa problema, koje se podudaraju sa uobicajenim metodima koje koristematematicari. Navescemo jedan primer iz Biderove prakse gde je trebalo naci kubnikoren iz broja 188 132 517 (podrazumevajuci da je rezultat ceo broj). Jasno je da jetrazeni koren trocifreni broj. Kako je 53 = 125 i 63 = 216, prva cifra s leva mora biti5. Jedini dvocifreni broj ciji se kub zavrsava sa 17 je 73. Na osnovu ovog odgovorje 573. U slucaju visih korena, proces je cak jednostavniji, i u slucaju 5. korenaveoma lak, jer je poslednja cifra datog broja uvek jednaka poslednjoj cifri 5. korena.Dakle, ako je zadati broj manji od 1010, trazeni koren je dvocifreni broj. Znajuci 5.

3Ovo je tzv. Lagranzov problem.

stepene od 10, 20,. . . , 90, potrebno je, da bismo odredili prvu cifru rezultata, jedinoodrediti izmedu kojih od ovih stepena lezi zadati broj i zatim pridodati poslednjucifru (koja je poznata).

Evo jednog ,,svezeg” i jos uvek aktuelnog primera. Radiger Gam (roden 1971.u Nemackoj) i dan-danas sokira svet svojim mocima racunanja i menja nacin kakorazmisljamo o funkcionisanju ljudskog mozga. Bio je los dak u skoli ali je sada siromsveta poznati ljudski racunar, koji je u stanju da pristupi odredenim delovima mozgakoji su vecini nedostupni. Nije autistican, u stanju je da uvezba mozak za munje-vita izracunavanja. Napamet je izracunao, na primer, koliko je 53 na deveti. 2008.izracunao je 81100 za 2 minuta i 30 sekundi. Moze da racuna pete korene. Takode,on moze da govori unatrag i pogada dane u kalendaru za proizvoljnu godinu. Sveove sposobnosti iskazao je u vise TV emisija koje su uzivo prenosene.

Verovalo se da su za ovako cudesne moci racunanja sposobni samo ,,autisti-cni naucnici”. (Autisticni naucnici cesto imaju nekoliko razvojnih mana, ali is-tovremeno poseduju izuzetne sposobnosti i neverovatno pamcenje.) Gamov dar jeprivukao paznju evropskih istrazivaca koji su snimali njegov mozak skenerom dokje izvodio proracune. Ove frapantne studije otkrile su da je Gam u stanju da ko-risti delove mozga koji su obicno odgovorni za dugorocno pamcenje, da bi vrsiosvoja izracunavanja. Naucnici pretpostavljaju da Gam povremeno koristi ove de-love mozga da ,,zadrzi” cifre u takozvanoj ,,radnoj memoriji”, mozdanoj privremenojzoni. Gam u sustini radi isto sto i racunari kada prosiruju i povecavaju svoje moci,koristeci promenljivi prostor na hard disku. Naucnici nisu sigurni kako je Gamstekao ovu moc, s obzirom na to da se zainteresovao za matematicka izracunavanjatek u svojim dvadesetim godinama i da je, po sopstvenom tvrdenju, bio najgori daku razredu iz matematike.

Zadivljujuca memorija je cesta osobina velikih matematicara. Tesko je reci koje imao najbolju memoriju: Ojler, Hamilton, Kejli, Kosi, Poenkare, Pontrjagin, fonNojman ili Ejtken. Takode su dobro poznate mentalne sposobnosti i zapanjujucamemorija Gausa. Pomenucemo trojicu od njih bez namere da je to ulimativan izbor.

Celog svog zivota Leonard Ojler (1707–1783) je imao neverovatnu memoriju.Znao je Virgilijevu Aeneidu napamet. Posedovao je fantasticnu sposobnost da racunanapamet i to ne samo aritmeticke izraze vec i komplikovana izracunavanja koja suzahtevala infinitezimalni racun i visu algebru. Sve vazne matematicke formule kojesu postojale u Ojlerovo vreme bile su memorisane u njegovoj glavi. Veliki francuskimatematicar Nikola Kondorse (Nicolas Condorcet, 1743–1794) navodi situaciju kadasu dva studenta racunala zbir prvih 17 clanova nekog komplikovanog konvergentnognumerickog reda. Kako su se njihovi rezultati razlikovali na petnaestoj decimali,Ojler je izvrsio izracunavanje sam i to napamet i pronasao tacnu sumu. Ova Ojlerovasposobnost omogucila mu je da nastavi da radi i tokom poslednjih 17 godina zivotakada je bio potpuno slep.

NovozelandaninAleksander Ejtken (Alexander Craig Eitken, 1895–1965) je bione samo jedan od najvecih ,,zivih kalkulatora”, vec i veoma poznat matematicar:autor je cetiri knjige i oko 70 radova. Ejtken je roden 1895. u Dunedinu (NoviZeland), ali se preselio u Edinburg 1923. Njegova fenomenalna moc brzog racunanjanapamet bila je jednim delom zasnovana na njegovoj fantasticnoj memoriji. Onje mogao da ponavlja duge pasuse iz dela Virgilija ili Miltona. Jednom prilikom jeistakao da je morao da vodi racuna o tome sta cita jer je imao teskoce da to zaboravidugo posle toga. Ejtken je skoro trenutno izvrsavao mnozenja, deljenja, vadenjekvadratnih i kubnih korena. Jednom je na tabli (,,iz glave”) napisao 707 decimalabroja π koje je izracunao Senks 1853. Kada je Ferguson pokazao 1946. godineda postoji greska od 528. decimale pa nadalje, Ejtken je sa lakocom memorisaoaproksimaciju sa 1000 (proverenih) decimala.

Veliki francuski matematicar Anri Poenkare (1854–1912), poslednji univerza-lista u matematici, takode je imao izuzetnu memoriju. U dobrom pamcenju mogaoje da se poredi i sa legendarnim Ojlerom. Mogao je da cita neverovatnom brzinomi sve sto bi procitao samo jednom trajno bi upamtio i godinama kasnije bio je ustanju da se priseti svake stranice i reda knjige iz koje je nesto citirano. Drugakarakteristika Poenkareove memorije, koju je razvio zahvaljujuci losem vidu, bila jeta sto je on matematicke formule pamtio uglavnom po sluhu a ne vizuelno kao sto tocini vecina matematicara. Kao student nikada nije nista zapisivao, vec je zbog vrloslabog vida sedeo u poslednjim redovima i pazljivo slusao. Profesori su kasnije bilizapanjeni znanjem ovog neupadljivog studenta. Za vreme naucnog rada, ceo procesbio bi zavrsen dok se setao gore-dole po sobi a na kraju bi sedao za sto i gotovo bezikakve ispravke zapisivao dobijene rezultate. Kejli i Ojler imali su isti nacin rada.

ZADACI ZA RESAVANJE

Z-67 • NELA ALEN. Potrebno je resiti sledeci kriptaritm (aritmeticki izraz sanepoznatim ciframa izrazenim pomocu slova ili simbola)

NELA×M = ALEN

Svakom slovu treba dodeliti odgovarajucu cifru iz skupa {1, 2, . . . , 9} tako da gornjemnozenje bude tacno. Primetimo da se proizvod pise u obrnutom poretku u odnosuna mnozenik, sto ovaj zadatak cini jos lepsim.

Z-68 • PODELA UKRADENIH ZLATNIKA. Dvanaest pirata napalo je brod koji jeprenosio blago i zaplenilo tovar u kome je bilo izmedu 28 000 i 70 000 zlatnika. Posleove pljacke pirati su se iskrcali na malo ostvo i resili da odmah podele blago. Prideobi plena svi su dobili isti broj zlatnika, ali je jedan zlatnik ostao nepodeljen.U svadi oko tog zlatnika jedan pirat je ubijen. Kad je ostalih 11 pirata ponovo

pokusalo da podele plen, ispostavilo se da je opet ostao jedan zlatnik nepodeljen.Ponovo je doslo do zucne rasprave i jos jedan pirat je ubijen. Malo priglupi i svakakonezajazljivi pirati nastavili su sa podelom zlatnika medu desetoricom prezivelih.Ponovila se ista prica, jedan zlatnik je ostao nepodeljen i u neizbeznoj svadi josjedan pirat je izgubio zivot, itd. Kad je u zivotu ostalo samo sest pirata, jedan odnjih, malo pametniji od ostalih, uzviknuo je: ,,Stanite braco, ne budimo toliko glupi,i dalje ce biti isto i jos ce neko nastradati. Bolje je da date meni taj jedan prokletizlatnik a ostale cemo podeliti na jednake delove.” Pirati su ga poslusali, dali su mujedan zlatnik a ostatak su podelili tako da je svako dobio isti broj zlatnika. Kolikosu zlatnika zaplenili pirati?

RESENJA ZADATAKA IZ PRETHODNOG SAJT-IZDANJA

Z-65 • TEMPERATURE NA EKVATORU. Pokazati da na Ekvatoru postoje dve dijametralnosuprotne tacke u kojima su temperature jednake.

RESENJE: Posmatrajmo na Ekvatoru medusobno suprotne tacke A i B u ko-jima je temperatura redom TA i TB, slika 1. Bez gubljenja opstosti mozemo dapretpostavimo da razlika TA−TB ima pozitivnu vrednost. Pustimo sada da tacke Ai B rotiraju istovremeno po ekvatorskoj liniji zadrzavajuci njihovu opoziciju, sve dokne zamene mesta. Temperature TA i TB tacaka A i B se sve to vreme menjaju i unovom polozaju imamo da je TA−TB < 0 jer tacka A je zauzela mesto tacke B (kojaje hladnija). S obzirom da je razlika TA−TB od pozitivne vrednosti (pre pocetka kre-tanja po ekvatorskoj liniji) postala negativna posle zavrsenog polukruznog kretanja,zbog kontinualne promene temperaturne razlike, u nekom momentu ova razlika jemorala da bude jednaka nuli. Taj momenat odreduje pozicije suprotnih tacka naEkvatoru u kojima je temperatura jednaka.

A

B

Sl. 1 Temperature na Ekvatoru

Z-66 • LOKACIJA DREVNE PIRAMIDE. Dvojica arheologa nalaze se na poluostrvu Jukatanu Srednjoj Americi sa namerom da pronadu Drevnu piramidu boga Sunca koju su nekada davnosagradile Maje. Teren na kome se nalaze je ravan ali pokriven sumom tako da nemaju mogucnostza dobro osmatranje. Posle vise dana uspeli su da dodu do Male piramide sa malom unutrasnomprostorijom P u koju su se sklonili od kise. Na zidu ove prostorije pronasli su zapis na jezikuplemena Maja i posle desifrovanja saznali su da je to putokaz za Drevnu piramidu opisan sledecimrecima:

Na ovom podrucju nalaze se cetiri piramide koje leze u temenima kvadrata. Najveca od njih jeDrevna piramida. Piramida A udaljena je 1 km od Male piramide, piramida B, koja je susednapiramidi A i sa njom gradi pravac Jug-Sever, daleko je 2 km od Male piramide, a piramida C,koja lezi istocno od piramide B, udaljena je 3 km od Male piramide (sl. 2). Drevna piramida bogaSunca nalazi se u cetvrtom temenu D kvadrata.

A

B C

D

P

1

2

3

Sl. 2 Potraga za Drevnom piramidom

Arheolozi su sa sobom imali GPS uredaj i kompas tako da su mogli da se krecu kroz sumu uzeljenom pravcu i da mere daljinu. Kada su sve podatke stavili na papir, zakljucili su da je najveciproblem sto ne znaju koliko su susedne piramide udaljene jedna od druge, tj. kolika je stranicapomenutog kvadrata. Jedan od njih, nekada dobar matematicar narocito u oblasti geometrije,ipak je posle pola sata racunanja i pravljenja skica dosao do nacina kako mogu da dodu do Drevnepitramide. Kako je to uradio arheolog?

RESENJE: Rotirajmo temena kvadrata A, C, D i tacku P oko temena B

za 90◦ u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Na taj nacin kvadaratABCD je rotiran u novu poziciju A′BAD′ (teme C se poklopilo sa ranijom pozicijomtemena A), kao sto je prikazano na slici 3. Duz BP sa rotiranom duzi BP ′ formirajednakokraki pravougli trougao △P ′BP, sto znaci da je ]P ′PB = 45◦.

1

D

A B C

DA

P

P'

'

'

3

1

32

2

Sl. 3 Potraga za Drevnom piramidom – resenje

Pomocu Pitagorine teoreme nalazimo

|P ′P | =√22 + 22 =

√8.

Kako je |P ′A| = |PC| = 3, dobijamo

|AP |2 + |P ′P |2 = 1 + 8 = 32 = |P ′A|2.

Ovim smo pokazali da za trougao △APP ′ vazi Pitagorina teorema, odakle proizilazida je ]APP ′ = 90◦. Odavde je

]APB = 90◦ + 45◦ = 135◦.

Sada primenjujemo kosinusnu teoremu4 na trougao △APB i nalazimo

|AB| =√

|PA|2 + |PB|2 − 2|PA||PB| cos ]APB

=√1 + 4− 2 · 1 · 2 · cos 135◦ =

√5 + 2

√2 ≈ 2.798 km.

Kada je poznata stranica kvadrata a =√

5 + 2√2, mozemo odrediti ugao ]BAP

iz kosinusne teoreme:

cos]BAP =|AP |2 + a2 − |PB|2

2a≈ 0.86285,

odakle je ]BAP = 30◦ 21′ 37′′. Komplementarni ugao u odnosu na pravac Jug-Sever je 90◦ − ]BAP = 59◦ 38′ 23′′. Koristeci GPS istrazivaci idu pod ovim uglomsve dok ne naidu na grad A. Zatim idu direktno na Istok i posle predenog rastojanjaa ≈ 2.798 km dolaze do trazenog grada D.

4Ako su a, b i c stranice trougla i γ ugao naspram stranice c, tada vazi kosinusna teorema

a2 = b2 + c2 − 2ab cos γ.

MATEMATICKE ZANIMLJIVOSTI

• ,,Sto je i trebalo dokazati.” Svi dokazi teorema u Euklidovim Elementimazavrsavaju se recenicom oπει εδει δειξαι (ili skracenicom OE∆) sto u prevodu sagrckog znaci: Sto je i trebalo dokazati. Preved sa grckog na latinski daje recenicuQuod erat demonstrandum. Iz pocasti prema Euklidu bilo je uobicajeno da se krajdokaza oznaci slovima Q.E.D. kao skracenica od Quod Erat Demonstrandum, i ovatradicija je dugo postovana, posebno u udzbenicima iz geometrije. Simbol �, kojise danas cesto koristi kao oznaka za kraj dokaza, predlozio je Pol Halmos, americkimatematicar madarskog porekla. Osim ove, koriste se i druge oznake, na primer 2.U engleskom jeziku posebno je dovitljiva oznaka w5, sto je skracenica od ,,which waswhat was wanted” (,,sto je ono sto se trazilo”), ali nije nasla svoje mesto u knjigamai naucnim radovima.

• Mocni abakus. Abakus je preteca danasnjih racunara i uglavnom se koristiza brzo sabiranje i oduzimanje, mada su eksperti bili u mogucnosti da brzo izvodei operacije mnozenje, deljenje i izracunavanje kvadratnog korena. Moderni abakussa perlama i zicama ima svoje korene u drevnim sredstvima kao sto je, na primer,Salamis ploca, najstarija sacuvana tabla za racunanje koju su koristili stari Vaviloncioko 3000 P. N. E. .

Racunaljka – abakus Trijumf abakusa: takmicenje u rucnom

racunanju i pomocu abakusa u XVI veku

Abakus, kakav danas poznajemo, bio je koriscen oko 1200. godine u Kini, gdeje bio poznat pod imenom suan-pan. U Japanu se abakus naziva soroban. OsimJapana i Kine, koristi se i danas u Africi i nekim delovima bivseg Sovjetskog Saveza.

Kada su Amerikanci okupirali Japan 1945. godine, zapazili su da japanski tr-govci i deca u skolama koriste jedan cudan instrument za izvrsavanje aritmetickihoperacija – soroban. Ovaj instrument delovao im je primitivno i kostao je u to

vreme 25 centi. Amerikanci su raspolagali savremenim elektricnim masinama zaracunanje po ceni od $700. U zelji da demonstriraju svoju superiornost nad poko-renim ratnim protivnikom, Amerikanci su organizovali javno takmicenje u brziniracunanja. Japance je predstavljao 22-godisnji Kijosi Macuzuki sa obicnim abaku-som a Amerikance, takode 22-godisnak, porucnik Tomas Jan Vud sa elektricnommasinom. Pred oko 3000 gledalaca Macuzuki je demonstrirao takvu brzinu baratanjaabakusom da je dobio nadimak ,,ruke” i ubedljivo porazio Vuda u kategorijama sabi-ranja, oduzimanja, deljenja i kombinovanih zadataka. Vud je uspeo da bude boljisamo u mnozenju, sto nije mnogo popravilo utisak neocekivanog teskog poraza.

• Suma reciprocnih vrednosti kvadrata. Italijanski matematicar i svestenikPjetro Mengoli (1626–1686) postavio je 1644. godine pitanje da li je suma svihreciprocnih vrednosti kvadrata prirodnih brojeva

1 +1

22+

1

32+

1

42+

1

52+ · · ·

konacan ili beskonacan broj. Ovim pitanjem najvise su se bavili clanovi matematickeporodice Bernuli i Leonard Ojler, svi iz Bazela (Svajcarska), tako da je ovaj zadatakpostao poznat kao Bazelski problem. Posle desetogodisnjeg rada Ojler je 1735. daoodgovor: suma je konacna i jednaka je π2/6. Vlada opste misljenje da je formula

1 +1

22+

1

32+

1

42+

1

52+ · · · = π2

6(≈ 1.64493)

jedna je od najlepsih u citavoj matematici.

Ojler je do rezultata dosao mukotrpnim desetogodisnjim radom prostim racuna-njem. Najpre je izracunavanjem jednog integrala dobio rezultat 1.644934 sa sestdecimala, a u drugom koraku povecao je tacnost sume na 17 decimala. Mora sepriznati da je to bio pravi podvig, bez kalkulatora ili racunara. U drugom korakuprepoznao je da rezultat iznosi π2/6. Zatim je bilo potrebno da zaista dokaze pret-postavljeni rezultat, sto mu je oduzelo vise godina rada. Kao sto je bilo uobicajeno uto vreme, Ojler je vise godina drzao u tajnosti da zna rezultat, cime je sebi obezbedioprednost nad svojim konkurentima.

Neosporna sposobnost Ojlera da ,,rukuje” sumama reciprocnih vrednosti na geni-jalan nacin bila je demonstrirana u njegovom monumentalnom delu Introductio inanalysin infinitorum publikovanom 1748. godine, gde su date sume reciprocnihvrednosti parnih stepena od n = 2 do n = 26. Tako je

∞∑k=1

1

k4=

π4

90 !,

∞∑k=1

1

k6=

π6

945 !, pa sve do

∞∑k=1

1

k26=

224 · 76977927π26

27 !.

(n! = 1 · 2 · 3 · · ·n).A sta je sa zbirom reciprocnih vrednosti neparnih stepena, recimo cemu je jednaka

suma trecih stepena

1 +1

23+

1

33+

1

43+

1

53+ · · · ?

Numericku (pribliznu) vrednost znamo i ona iznosi 1.2020569031... . Ali sta ovajbroj znaci i moze li se izraziti preko π ili drugih poznatih konstanti, za sada niko nezna. Ne samo za n = 3, vec i za bilo koji neparan prirodan broj u ulozi eksponenta.

MATEMATICKI HUMOR

• Na putu prema kabinetu, cuvenog matematicara Dzona fon Nojmana pre-sreo je student s knjigom u ruci i obratio mu se: ,,Profesore, imam jedan prob-lem s odredenim integralom, ne znam kako da ga resim.” ,,Daj da vidim, mada sejako zurim,” kazao je fon Nojman, pogledao kako glasi integral, pa posle kratkograzmisljanja rekao: ,,Rezultat je π na kvadrat podeljeno sa 5.” ,,Da, znam, rezultatse nalazi na kraju knjige. Ali ne znam kako da dodem do rezultata.” uzvratio jestudent. ,,Hm, daj da opet pogledam,” rekao je profesor i posle kratkog razmisljanja,rekao: ,,Rezultat je π na kvadrat podeljeno sa 5.” ,,Ma, znam koliki je rezultat, alija ne znam postupak kojim bi dosao do rezultata,” nastavio je student. ,,Kako neznas, pa ja sam dosao do ovog rezultata koristeci dva razlicita postupka,” zavrsio jeprofesor fon Nojman i nastavio prema kabinetu.

• Farmer je angazovao inzenjera, fizicara i matematicara da mu pomognu daogradi najvecu mogucu povrsinu sa minimalnim utroskom ograde.

Inzenjer je nacinio krug i izjavio da je to najefikasnija konstrukcija.

Fizicar je formirao dugu, pravu liniju i objavio: ,,Mozemo pretpostaviti da jeova ograda beskonacne duzine,” i pokazujuci da je podelio Zemlju na dve jednakepolovine, izjavio da smatra da je to najefikasnije resenje.

Matematicar se nasmejao na to: ,,Ne, ne, ne” rekao je i zatim napravio vrlouzanu ogradu oko sebe. ,,Proglasavam da se ja nalazim spolja.”

• Koji mesec ima 28 dana?

Svi.