Zeros Reais de Funes Reais

Consideremos o seguinte problema: Determinar um nmero que somado ao seu quadrado igual a 12 A soluo deste problema envolve uma equao do tipo + = 12 + 12 = 0 tal

Em muitos problemas h a necessidade de se determinar um nmero que ( ) se anule nele. Definio 1:Dada uma funo : . Dizemos que raiz) de se ( )= = 0.

zero (ou

No nosso problema acima temos que 3 e -4 so razes de f. Geometricamente, o zero ou raiz de f o ponto onde a funo intercepta o eixo x. y

-4

3

x

Zero de f

Zero de f

Contextualizao...

Mtodos iterativosSo instrues executadas passo a passo com base num resultado anterior. O procedimento constitudo de duas fases: -Primeira fase: Delimitao dos zeros de uma funo. Obter um intervalo que contenha a raiz de f, atravs dos Mtodos Grfico e Analtico. -Segunda fase: Refinamento. Melhoramento da primeira fase atravs do processo iterativo at que se obtenha uma raiz dentro de uma preciso prefixada, cujo erro seja considerado inferior a um certo valor estabelecido.

Primeira Fase-O Mtodo Grfico: O Mtodo Grfico consiste em: -Escrever f como a diferena de duas funes g e h, ou seja = ,

Onde possamos sem muito esforo esboar os grficos das funes g e h. -Usar ( ) = 0 ( ) = ( )

-Esboar, da melhor maneira possvel, os grficos de g e h e determinar por inspeo os intervalos onde esto os pontos de interseco de g(x) e h(x), ou seja, os pontos onde ( ) = ( ).

Exemplo: Determinar os zeros de funo : dada por a) b) c) ( )= ( )= ( )= 2. + 2. .

Primeira Fase-O Mtodo Analtico:

Um resultado utilizado para a localizao de intervalos que contenham a raiz de f o seguinte teorema:

Teorema (Valor Intermedirio-TVI): Seja : uma funo contnua no intervalo [a,b]. Se ( ). ( ) < 0 ento existe pelo menos um ponto ( , ) tal que ( ) = 0. 90 Graficamente, f(x) f(a) -f(x) f(a) ----

a

c

b

x

a

c1

c2 c3 b x

f(b) ---------------------

f(b) ------------------------

O TVI assegura que se f troca de sinal nos pontos a e b, ento f tem pelo menos um zero entre esses pontos.

Exemplo: Seja : dada por ( ) = No intervalo [0,1] temos (0) = 2 (1) = Logo existe 0 2>0 1 0, crescente

,

`

> 0,

,

decrescente

Exemplo: Seja : dada por No intervalo [0,1] temos =

=

2.

1+

> 0.

Portanto, f tem um nico zero em [0,1]. Exerccio: Seja : dada por = + 2 no intervalo [0,1].

Segunda fase: Refinamento Melhoramento da primeira fase atravs do processo iterativo at que se obtenha uma raiz dentro de uma preciso prefixada, cujo erro seja considerado inferior a um certo valor estabelecido. Existem vrios mtodos para refinamento de raiz. Todos pertencem a classe dos mtodos iterativos. A forma de refinamento o que diferencia os mtodos. Pergunta: Como verificar se a raiz aproximada est suficientemente prxima da raiz exata? Definio: Seja f uma funo com uma raiz exata raiz dita aproximada com preciso se (1) (2) < ou , e Graficamente, f(x) f(a) -no intervalo [a,b]. Uma

< .

a

c

b

x

f(b) --------------------

Observaes: 1. Os mtodos numricos so desenvolvidos de forma a satisfazer pelo menos um dos critrios acima. 2. Devemos reduzir os intervalo que contm a raiz a cada iterao. 3. Em programas computacionais alm do teste de parada usado para cada mtodo, deve-se ter o cuidado de estipular o nmero mximo de iteraes para se evitar que o programa entre em looping. 4. Em (1) a raiz exata deve ser conhecida (o que geralmente no ocorre). 5. Em (2) pode ser qualquer valor no intervalo, ento uma forma reduzir o intervalo que contm a raiz a cada iterao.