La actualidad de las Aporas de Zenn de

Elea (II)

Lisardo Garca R.

Zenn de Elea (siglo V a.C.), filsofo presocrtico, discpulo de Parmnides, adopt

para la Filosofa un nuevo mtodo de conocimiento: la Dialctica, mediante la

postulacin de las denominadas aporas o mal llamadas paradojas.

A) LAS APORAS DEL MOVIMIENTO Los argumentos contra el movimiento, segn nos indica Aristteles en su Fsica, y

amplan los comentaristas griegos, son cuatro, y constituyen el entramado bsico de sus

aporas que resumimos a continuacin:

1) La dicotoma.- El movimiento es imposible porque un mvil entre dos puntos

cualesquiera A y B tendra siempre que cubrir la mitad de la distancia (C) antes de

llegar al final. Pero antes de cubrir la mitad de la distancia (C), tendra que cubrir la

mitad de la mitad, y as ad infinitum. De este modo para recorrer completamente

cualquier distancia tendra que cubrir un nmero infinito de puntos, lo cual es imposible

en un tiempo finito.

2) Aquiles y la tortuga.- Aquiles el de los pies ligeros, smbolo de la rapidez, tiene que

alcanzar a la tortuga, smbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces ms rpido que la

tortuga y le otorga diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga

corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decmetro; Aquiles corre ese

decmetro, la tortuga corre un centmetro; Aquiles corre ese centmetro, la tortuga un

milmetro; Aquiles el milmetro, la tortuga una dcima de milmetro, y as

infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Tal es la

paradoja inmortal. Como en el caso de la dicotoma, Aquiles tendr que recorrer un

nmero infinito de puntos para alcanzar a la tortuga, lo que resulta imposible.

3) La flecha voladora.- Las dos aporas anteriores partan del supuesto de que una

dimensin espacial no poda reducirse a unidades mnimas, sino que era infinitamente

divisible. Ahora bien, el que abordamos ahora slo tiene sentido partiendo de la premisa

de que el tiempo se compone de instantes mnimos indivisibles. El texto que presenta

Aristteles es oscuro en el detalle pero es posible recomponerlo con las exposiciones

ms completas de los comentaristas griegos.

Zenn parece haber argumentado que, si bien una flecha poda dar la impresin de que

se alejaba volando, est realmente inmvil, porque todo lo que ocupa un espacio igual a

s mismo tiene que estar en reposo en ese espacio, y, en cualquier instante dado de su

vuelo, una flecha slo puede ocupar un espacio igual a s mismo. Consecuentemente,

estar inmvil en cada instante de su vuelo.

4) El estadio.- En el estadio hay tres filas, en cada una de las cuales hay un nmero de

cuerpos u objetos de igual tamao, dispuestos inicialmente como sigue: Los cuerpos A

no se mueven, estn en reposo, y los B y C comienzan a moverse en direcciones

opuestas, al mismo tiempo y con igual velocidad, hasta que las tres filas coincidan entre

s:

AAAA

BBBB

CCCC

El B de cabeza ha pasado ahora a dos de los A, mientras que el primer C ha pasado a

cuatro cuerpos B. Ahora bien, dice Zenn, los objetos que se mueven con igual

velocidad tienen que emplear el mismo tiempo en sobrepasar a un nmero igual de

objetos del mismo tamao. En consecuencia (dado que los cuatro cuerpos A, B y C son

completamente iguales), 4A = 2A. Dicho de otra forma, la mitad de un tiempo dado es

igual al doble del mismo, es decir, al todo. La conclusin, como la de los otros

argumentos, es una reiteracin de la tesis parmendea de la no existencia o irrealidad del

movimiento.

B) LA APORA DEL ESPACIO Zenn se desembaraza, asimismo, de la nocin de lugar o espacio, adems de las de

pluralidad y movimiento, a travs de la siguiente apora. Todo lo que existe est en un

lugar y ocupa un espacio. En consecuencia, el propio lugar, si existe, estar tambin en

un lugar, y as ad infinitum. Esto es absurdo, luego el espacio no existe.

C) LA APORA DE LA PERCEPCIN SENSIBLE Aunque existen dudas sobre la forma exacta en que Zenn plante este argumento, su

autora est atestiguada por Aristteles. Parece ser una ampliacin, a otro campo

diferente, de su ataque contra los infinitesimales, que sirve aqu al propsito adicional

parmendeo de desacreditar la percepcin sensorial. Segn l, una cosa, o tiene

magnitud, o no la tiene. De un modo semejante, o produce un sonido, o no lo produce.

Ante la cuestin que plantea Zenn respecto a si produce algn sonido un solo grano de

mijo al caer, su interlocutor responde afirmativamente. Zenn contina preguntando Y

medio grano, produce algn sonido? hasta que al fin la respuesta es negativa. No hay

entonces una relacin entre medio grano de mijo y un grano? Si es as, y si un grano de

mijo produce un sonido, tambin lo producir medio, y la milsima parte de un grano.

De este modo sostiene la argumentacin de Parmnides la desconfianza en torno a la

percepcin de nuestros sentidos.

3.- LA PERMANENTE ACTUALIDAD DE LA CONTROVERSIA Ya desde Aristteles se han intentado refutar las aporas de Zenn, en especial las

relacionadas con el movimiento y en particular la de Aquiles y la tortuga. Aristteles

critica la apora de Zenn, advirtiendo que el vocablo infinito tiene dos sentidos: ser

infinito en divisibilidad no es lo mismo que ser infinito en extensin. Todo continuum

es infinitamente divisible, y esto se aplica tambin al tiempo y al espacio. Es

perfectamen- te posible, por ello, recorrer en un tiempo finito un espacio que es

infinitamente divisible, aunque no de extensin infinita. En su Fsica retoma la cuestin

y admite que, aunque es suficiente este argumento contra Zenn, no explica los hechos

de un modo pleno y satisfactorio.

Si se deja a un lado la distancia y la cuestin de si es posible recorrer un nmero

infinito de distancias en un tiempo finito, y se plantean las mismas cuestiones sobre el

tiempo en s (ya que el tiempo contiene un nmero infinito de divisiones), esta solucin

ya no sera la adecuada.

Siguiendo estas refutaciones aristotlicas, asumidas tambin por Thomas Hobbes, Stuart

Mill, en su sistema de lgica, sintetiza ambas indicando que las paradojas de Zenn son

slo un ejemplo de la falacia de la confusin. En la conclusin del sofisma -dice Mill-

Aquiles estar corriendo infinitamente y para siempre; esto quiere decir en cualquier

imaginable lapso de tiempo y significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el

cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y no encontrarn fin las

subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza, pero un

ilimitado nmero de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado.

El argumento no prueba otra infinitud de duracin que la contenible en cinco minutos.

Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y

otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que

la duracin total sea de cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio

finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito.

Estas refutaciones de Mill, en palabras de Borges, no son otra cosa que una nueva

exposicin de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro

para establecer el tiempo que necesita, teniendo en cuenta que Aquiles corre diez veces

ms rpido que la tortuga:

10 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10.000... El lmite de la suma de esta infinita progresin

geomtrica es doce (ms exactamente, once y un quinto, o ms exactamente an, once

con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del hroe

ser infinito y ste correr para siempre y su eternidad no ser la terminacin de doce

segundos.

Otra refutacin relevante fue la planteada en 1.910 por Henry Bergson, en el notorio

Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia. En resumen, Bergson plantea que

es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el acto del movimiento, es

decir, el tiempo.

Finalmente, para no hacer ms extenso el amplio espectro de refutaciones a la apora

Zenoniana (seal por otra parte inequvoca de su actualidad), nos detendremos en la

formulada por Russell, segn la cual la operacin de contar consiste en equiparar dos

series. Por ejemplo, si los primognitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por

el ngel, salvo los que habitaban en las casas donde tenan en la puerta una seal roja,

es evidente que tantos se salvaron como seales rojas haba, sin que importe enumerar

cuntos fueron. Aqu es indefinida la cantidad pero hay otras operaciones en que es

infinita tambin. Por ejemplo, la serie natural de los nmeros es infinita, pero podemos

demostrar que son tantos los impares como los pares, lo que nos llevara a indicar que la

parte, en esas elevadas latitudes de la numeracin, no es menos copiosa que el todo: la

cantidad precisa de puntos que hay en el Universo es la que hay en un metro del

Universo, o en un decmetro, o en la ms honda trayectoria estelar. Por ello, cada sitio

ocupado por la tortuga guarda proporcin con otro de Aquiles; no quedara ningn

remanente peridico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto,

el ltimo en el trayecto de Aquiles y el ltimo en el tiempo de la carrera, son trminos

que matemticamente coinciden.

Filsofos, matemticos, literatos e incluso poetas han tenido la tentacin de resolver

esta eterna maratn que parece ubicarse en la misma esencia de la dicotoma

parmendea de Nous y Doxa. As, Paul Valery, tras muchas refutaciones a la apora,

escribe:

Zenn, cruel Zenn, Zenn de Elea! Me has traspasado con la flecha alada. Que,

cuando vibra volando, no vuela. Me crea el son y la flecha me mata. Oh sol, oh sol!

Qu sombra de tortuga Para el alma: si en marcha Aquiles, quieto! La lista de

pensadores que se han acercado a las aporas de Zenn es extensa, prueba de su

relevancia y actualidad para el pensamiento contemporneo. Con independencia de los

citados cabe mencionar a Toms de Aquino, Leibnitz, Tannery, Guthrie, Brochard,

Noel, Taylor, Ross, Corn-ford y Frnkel entre otros.