zeitreihenanalyse ws 2004/2005 definition einer zeitreihe, eigenschaften tests und trenderkennung...
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ZeitreihenanalyseWS 2004/2005
• Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften
• Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen
• Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum
• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse
• Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis
• Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden
• Skalierung, (Multi-)Fraktale
• Komplexität und Information von Zeitreihen
• Wavelets
Michael Hauhs / Gunnar Lischeid
Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m)(R. Heer, Uni
Hannover)
Kumulatives Periodogramm
Periodogramm:
Kumulatives Periodogramm:(normiert auf Summe = 1)
2/
11
/N
ll
k
llk IIS
2
)( 22 NbaI kkk
Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1)
=> Signifikanztest gegen weißes Rauschen!
ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden:
mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25
dε 1,63 1,36 1,22 1,02
21N
dCI
Kumulatives Periodogramm: Beispiel
Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f (1/d)
Regen
Nitrat
Temperatur
Abfluss
weisses Rauschen
95% Sig. Linie
Endliches weißes Rauschen
Spektrale Dichte: Varianz der Schätzung
(W.W
.S.
Wei, T
ime S
eri
es
Analy
sis,
Add
ison
Wesl
ey 1
990
)
Periodogramm als Schätzer
Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses:
• positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe
• negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, da neu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt:
• Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile
• Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte.
=> verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden
Prozeßspektrums gesucht
Spektogramm
= Darstellung der Spektraldichten
• erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer
• Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten
• in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster
• in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster
Typische Spektralschätzer: Versatzfenster
Daniell
Bartlett
Tukey
Hamming
Parzen
Fouriertransformation
N
t
tN
t
t
Nk
tNx
iNk
tNx
kF11
2sin2cos)(
Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen:
=> Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter:
•Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile
•Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile
•Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches
Fast Fourier Transformation (FFT)
• Numerisch schnelles Verfahren
• für Werte:
lediglich statt Multiplikationen
erforderlich
• Prinzip:
Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der
Länge N
ist gleich
der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der
Länge N/2
(getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )
pN 2ppNp 2 pN 22 2
Fast Fourier Transformation (FFT)
Ni
uk
kgk
N
jj
NikjN
j
kj
Nikj
N
jj
NjikN
jj
Njik
N
jj
Nijk
eW
FWF
feWfe
fefe
fekF
/2
12/
012
)2//(212/
02
)2//(2
12/
012
/)12(212/
02
/)2(2
1
0
/2)(
Index g: für geradzahlige t
Index u: für ungeradzahlige t
Fouriertransformation
deftx ti
21
)(
Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen
Merkmale:• umkehrbar• existiert für absolut integrierbare Funktionen• zeitglobal• Stationarität prinzipiell erforderlich
k
tik etxf
21
)( Spektrum von tx
Powerspektrum
• = Leistungsspektrum = Power Spectral Density (PSD)
• = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen
• methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion
• übliche Darstellung: doppelt-logarithmischer Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik)
• bitte beachten: im Detail uneinheitliche Nomenklatur (z.B. Art der Normalisierung, Berücksichtigung negativer Frequenzen, etc.)
Powerspektrum = Leistungsspektrum
Def.: Energie eines Signals
k
ktxE2
)(
df
detxf
deftx
txtxtx
k
tik
ti
kk
kkk
kk
2
*
*
*2
2
2
)(
2 fI Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,...
Nachteil: keine Phaseninformation mehr =>Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!
Faltungstheorem
Faltung (Convolution) zweier Funktionen:
s. Orthogonalität / Korrelation! dttgtfh
Anwendung:
gfh Faltungstheorem:
Die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich
dem Produkt der Fouriertransformationen der einzelnen Funktionen.
Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation
(Wiener-Khintchin-Theorem)
Powerspektrum= Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion
-10
0
10
20
30
40
31.12.80 10.04.81 19.07.81 27.10.81
t [Tage]
x(t)
-1
0
1
0 365 730
Time Lag [Tage]
Au
tok
orr
ela
tio
n
0 100 200 300 400 500
Time Lag [Tage]
Sp
ektr
ale
Dic
hte
0 100 200 300 400 500
Time Lag [Tage]
Sp
ektr
ale
Dic
hte
Farbiges Rauschen
Klassifizierung nach Steigung der an den abfallenden Ast der
Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade
= 0 weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur,
frequenzunabhängige spektrale Energiedichte
0 < < 1 rotes Rauschen: größere Varianz der langperiodischen
(niederfrequenten) Anteile => Tiefpassfilter; autokorrelierte
Daten ("Trägheit")
-1 < < 0 blaues Rauschen: größere Varianz der
kurzperiodischen (hochfrequenten) Anteile => Hochpassfilter
1/f Rauschen: spektrale Dichte ist umgekehrt proportional zur
Frequenz
(1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen: = 1 bzw. 0,5 < < 1,5)
Beispiele für Powerspektren I
0 . 1
1
1 0
1 0 0
0 . 0 1 0 . 1
f ( 1 / d )
Regen, β = 0.36
Abfluss, β = 1.15
Lehstenbach/Fichtelgebirge
Beispiele für Powerspektren II
Lange Bramke/Harz
10 -4
10 -3
0.01
0.1
10 -3 0.01 0.1f (1/d)
Regen, β = 0.28
Abfluss, β = 1.53
Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete(Kirchner et al. 2000)
Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete(Kirchner et al. 2000)
Powerspektren für nicht-
äquidistante Daten: Lomb-Scargle-
NormalisierungMessungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten tj :
N
jj
N
jjj
N
jj
N
jjj
LS
t
tx
t
tx
P
1
2
2
1
1
2
2
1
sin
sin
cos
cos
2
1
für und
N
jj
N
jj
N
jj
N
jj
t
t
t
t
1
1
1
1
)2cos(
)2sin(
arctan2
1
2cos
2sin
2tan
= beste (im least squares Sinne) Approximation
1)(
0)(2
x
xEx
Ein ziemlich lückiger Datensatz...
...und sein Spektrum
Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke
Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich
Ausblick auf weitere Fouriermethoden
• Multivariate Fouriertransformationen
• Kreuzspektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen)
• Skalierung, Potenzgesetze
• Behandlung langreichweitiger Spektren
• Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets
Beispiel: Kreuzspektrum(Mercube-Einzugsgebiet; Molénat et al. 1991)
Niederschlag Abfluss
Kreuz-spektrum
Aufgabe
1. Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatzes durch.
2. Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen.
3. Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot.