zbirka zadataka automatsko upravljanje
DESCRIPTION
Zbirka sadrzi zadatke iz predmeta Automatsko upravljanjeTRANSCRIPT
UNIVERZITET U BEOGRADU
FIZIČKI FAKULTET
Doc. dr Stevan Stojadinović
ZBIRKA ZADATAKA
IZ
AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
BEOGRAD, 2008.
SADRŽAJ
1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1
2. PRENOSNA FUNKCIJA
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18
3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76
4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90
5. TAČNOST I STABILNOST
SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115
6. LITERATURA...........................................................................................................138
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
1
1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:
[ ] ∫∞
−==0
stdte)t(f)t(fL)s(F (1)
[ ] dse)s(Fj2
1)s(FL)t(fj
j
st1 ∫∞+σ
∞−σ
−
π== (2)
gde su:
L – operator direktne Laplasove transformacije 1L− – operator inverzne Laplasove transformacije
s = σ + jω – kompleksna promenjiva Laplasove transformacije
F(s) – kompleksni lik funkcije )t(f
f(t) – original funkcije )s(F
Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju
f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu
transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).
Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti σ. Laplasova
transformacija funkcije f(t) postoji samo za oσ>σ . Veličina oσ naziva se apcisa apsolutne
konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto =σ=σ koja
obezbeđuje konvergenciju integrala funkcije f(t):
∫∞
σ− ∞<0
tdte)t(f , oσ≥σ (3)
Laplasove transformacije imaju veliku primenu u analizi i sintezi sistema, u rešavanju
sistema diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima, kao i u nalaženju prenosne
funkcije sistema.
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
2
1.1. Laplasove transformacije osnovnih funkcija
1. Heaviside - ova funkcija
Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična odskočna funkcija. Data je relacijom:
⎩⎨⎧
=01
)t(U 0t0t
<≥
Laplasova transformacija Heaviside - ove funkcije je:
[ ]s1e
s1dte)t(UL
0
st
0
st =−==∞
−∞
−∫
2. Dirac - ova delta funkcija
Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična impulsna funkcija. Data je relacijom:
⎪⎩
⎪⎨
⎧∞=δ
0)t(
0t
0t
≠
=
Pri tome je:
∫∞
=δ0
1dt)t(
Laplasova transformacija Dirac - ove delta funkcije je:
[ ] ∫ ∫∞ ∞
=−− =δ=δ=δ
0 00t
stst 1dt)t(|edte)t()t(L
3. Eksponencijalne funkcije
Za opadajuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom:
)t(Ue)t(f tα−= , α > 0
Laplasova transformacija je:
[ ]α+
=α+
−==∞
α+−∞
−α−α− ∫ s1e
s1dteeeL
0
t)s(
0
sttt
Za rastuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom:
)t(U)e1()t(f tα−−= , α > 0
Laplasova transformacija je:
[ ])s(s
e1L t
α+α
=− α−
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
3
4. Prostoperiodične sinusne i kosinusne funkcije
Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:
[ ]
220
t)sj(t)sj(0
sttj
0
sttjtjtj
sjs1
js1
j21
sje
sje
j21
dtej2
edtej2
ej2
ej2
eL)tsin(L
ω+
ω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
−ω−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−ω−−
−ω=
=−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=ω
∞+ω−−ω
∞−
ω−∞−
ωω−ω
∫∫
Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:
[ ] 22
tjtj
ss
2e
2eL)tcos(L
ω+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=ω
ω−ω
1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije
1. Teorema linearnosti
[ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a ∈R)
2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)
∑=
+−−
+
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
n
1k
)1k(knnn
n)0(fs)s(Fs)t(f
dtdL
)0(f)s(sF)t(fdtdL
3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)
[ ]
s)s(Fdt)t(fL
s
dt)t(f
s)s(Fdt)t(fL
t
0
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
∫
∫∫
+
4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)
[ ]
[ ] )s(Fdsd)1()t(ftL
)s(Fdsd)t(tfL
n
nnn −=
−=
5. Kompleksno integraljenje
∫∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
sds)s(F
t)t(fL
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
4
6. Teorema kašnjenja (realna translacija)
[ ] )s(Fe)at(fL as−=− , a > 0
7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)
[ ] )s(F)t(feL t α+=α−
8. Teorema sličnosti
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
asF
a1)at(fL
9. Teorema o početnoj vrednosti
∞→→=
s0t)s(sFlim)t(flim
10. Teorema o konačnoj vrednosti
0st
)s(sFlim)t(flim→∞→
=
11. Konvolucija originala
Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom
∫ τττ−=t
021 d)(f)t(f)t(f
tada je:
[ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21==
12. Parsevalova teorema
∫ ∫∞ ω
ω−
−π
=0
j
j
2 ds)s(F)s(Fj2
1dt)t(f
1.3. Nalaženje inverzne Laplasove transformacije
Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vrši duž
prave σ=)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim
slučajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se može prikazati u obliku
racionalne razlomljene funkcije:
011n
1nn
n
011m
1mm
m
asa...sasabsb...sbsb
)s(Q)s(P)s(F
++++
+++== −
−
−− (4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
5
gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak
stepenu polinoma u imenitelju )nm( ≤ . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi
funkcije F(s). Pošto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno
nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.
Tada se inverzna Laplasova transformacija može naći razvojem funkcije F(s) u parcijalne
razlomke (Heaviside – ov razvoj) ili primenom Košijeve teoreme ostataka. U mnogim
slučajevima inverzna Laplasova transformacija može se naći u tablicama Laplasovih
transformacionih parova.
1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka
Funkcija (4) može se napisati u obloku:
)ss()ss)(ss(A)s(P
)s(Q)s(P)s(F
n21 −⋅⋅⋅−−== (5)
Mogući su sledeći slučajevi:
a) koreni su međusobno različiti:
Funkcija F(s) može se tada prikazati u obliku:
∑= −
=−
+⋅⋅⋅+−
+−
=n
1k k
k
n
n
2
2
1
1ss
Kss
Kss
Kss
K)s(F (6)
gde su K1, K2,… Kn konstantni koeficijenti. Množenjem jednačine (6) sa )ss( k− i
prelaženjem na graničnu vrednost dobija se:
)s(Q)s(P)ss(lim
ssK)ss(lim k
ss
n
1k k
kk
ss kk
−=−
−→=→
∑ (7)
odnosno:
ksskk )s(Q
)s(P)ss(K
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= (8)
Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) određuje se na taj način što se za svaki
član parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:
∑∑==
− =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
n
1k
tsk
n
1k k
k1 keKss
KL)t(f (9)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
6
Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su
kkk js β+α−= i kk*k1k jss β−α−==+ . Tada se funkcija (6) može prikazati u obliku:
)s(Q)s(P
ssK
ssK
)s(Q)ss)(ss()s(P)s(F
1*k
1k
k
k
1*kk
+−
+−
=−−
= + (10)
Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:
)s(Q2j)s(P
)s(Q)ss()s(P
)s(Q)s(P)ss(K
k1k
k
k1*kk
k
sskk
kβ
=−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
=
(11)
)s(Q2j)s(P
)s(Q)ss()s(P
)s(Q)s(P)ss(K *
k1k
*k
*k1k
*k
*k
ss
*k1k
*k
β−=
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
=+ (12)
Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:
kjkkkk eKjyxK ϕ=+=
kjkkk
*k1k eKjyxKK ϕ−
+ =−==
gde je k
kk x
yarctg=ϕ .
Pri nalaženju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) članovi zbira sa
kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:
)tcos(eK2eeKeeKss
Kss
KL kkt
k)t(jt
k)t(jt
k*k
*k
k
k1 kkkkkkk ϕ+β=+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−α−ϕ+β−α−ϕ+βα−−
b) koreni su višestruki
Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se može napisati u
obliku:
n21 m
nm
2m
1 )ss()ss()ss(A)s(P
)s(Q)s(P)s(F
−⋅⋅⋅−−== (13)
Svaki koren sk multipliciteta mk može se napisati u obliku:
∑=
+−− −=
−+⋅⋅⋅+
−+
−
k
k
k
kk
m
1j1jm
k
kj
k
km1m
k
2km
k
1k
)ss(
Kss
K
)ss(K
)ss(K (14)
odnosno za celu funkciju F(s) dobija se:
∑∑=
+−= −
=k
k
m
1j1jm
k
kjn
1k )ss(
K)s(F (15)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
7
Koeficijenti korena sk određuju se tako što se jednačina (15) pomnoži sa kmk )ss( − i stavi
kss = :
[ ] [ ] 1kss1m
kkm2
k3kk2k1kssm
k K)ss(K)ss(K)ss(KK)s(F)ss(k
k
kk
k =−+⋅⋅⋅+−+−+=−=
−=
Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graničnu vrednost, i smenom kss = ,
dobija se:
[ ] 2kss2m
kkmkk3k2kss
mk K)ss(K)1m()ss(K2K)s(F)ss(
dsd
k
k
k
k
k =−−+⋅⋅⋅+−+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=−
=
Za nalaženje opšteg koeficijenta kjK diferenciranje treba produžiti do (mk-1 )-og izvoda, a
zatim staviti kss = . Tada je:
k
k
ss
mk1j
1j
kj )s(F)ss(dsd
)!1j(1K
=−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−= , j = 1,2, …mk (16)
Sa poznatim koeficijentima Kkj, inverzna transformacija funkcije (13) postaje:
tsjmm
1j k
kjn
1k
kkk
et)!jm(
K)t(f −
==∑∑ −
= (17)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
8
TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIONIH PAROVA
No F(s) f(t) , t ≥ 0
1 1 )t(δ
2 ns1 , ,...3,2,1n =
!−
−
)1n(t 1n
3 n)s(
1α+
t1n
e)1n(
t α−−
!−
4 1n
n
)s(s
+α+ ∑
=
α−
!!−
α−!n
0k
k2
kt t
)k()kn()(ne
5 )s)(s(
1γ+α+
α−γ
− γ−α− tt ee
6 )s)(s(
as oγ+α+
+
α−γγ−−α− γ−α− t
ot
o e)a(e)a(
7 2
o
)s(asα+
+ [ ] t
o e1t)a( α−+α−
8 )s)(s)(s(
1δ+γ+α+
))((
e))((
e))((
e ttt
δ−γδ−α+
γ−δγ−α+
α−δα−γ
δ−γ−α−
9 2s)s(
1α+
2
t 1teα
−α+α−
10 )s)(s)(s(
as oδ+γ+α+
+ ))((
e)a())((
e)a())((
e)a( to
to
to
δ−γδ−αδ−
+γ−δγ−α
γ−+
α−δα−γα− δ−γ−α−
11
s)s(as
2o
α+
+ t
2oo
2o e)
at
a(
a α−
α−
α−α
+α
12 22s
1β+
)tsin(1β
β
13 22s
1β−
)t(sh1β
β
14 22s
sβ+
)tcos(β
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
9
15 22s
sβ−
)t(ch β
16 22)s(
1β+α+
)tsin(e1 t ββ
α−
17 22)s(
sβ+α+
α+ )tcos(e t βα−
18 ])s)[(s(
122 β+α+γ+
)tsin(e)(
1)(
e t2222
tψ−β
β+α−γβ+
β+α−γα−
γ−
α−γβ
=ψ arctg
19 ])s)[(s(
as22
o
β+α+γ+
+ )tsin(e)()a(1
)(e)a( t
22
22o
22
to ψ+β
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
β+α−γ
β+α−β
+β+α−γ
γ− α−γ−
α−γβ
−α−
β=ψ arctg
aarctg
o
20 ase− )at( −δ
21
se as−
)at(U −
22 2
as
se−
)at(U)at( −−
23
α+
−
se as
)at(Ue )at( −−α−
24 2
as
)s(eα+
− )at(Ue)at( )at( −− −α−
25
)s)(s(e as
γ+α+
− )at(Uee )at()at(
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
α−γ− −γ−−α−
26
se1 as−−
)at(U)t(U −−
27
see bsas −− −
)bt(U)at(U −−−
28 2
as
ase)as( −+ )at(U)a
a1t( −−−
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
10
1.1) Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije:
( ) )t(Ut3sin2t2cosete)t(f t t −+= −−
Rešenje:
[ ] [ ] [ ] [ ]
9s6
4)1s(1s
)1s(1
9s32
4)1s(1s
1s1
dsd
t3sinL2t2coseLteL)t(fL)s(F
22222
t t
+−
+++
++
=+
−++
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
=−+== −−
(1.1.1)
1.2) Koristeći integral konvolucije odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s)(1s(
1)s(F++
=
Rešenje:
Prenosna funkcija se može napisati u obliku:
)s(F)s(F)s(F 21= (1.2.1)
gde su:
1s1)s(F1 +
= (1.2.2)
2s1)s(F2 +
= (1.2.3)
Tada je:
[ ] )t(Ue)s(FL)t(f t1
11
−− == (1.2.4)
[ ] )t(Ue)s(FL)t(f 2t 2
12
−− == (1.2.5)
Korišteći integral konvolucije dobija se:
[ ] ( ) )t(Ue1edeedeed)(f)t(f)s(FL)t(f t tt
0
t
o
t
0
t2 )-(t 21
1 −−τ−−τ−τ−− −=τ=τ⋅=τττ−== ∫∫ ∫ (1.2.6)
1.3) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)1s)(5s(
7s)s(F+−
+=
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
11
Rešenje:
Primenom Heaviside – ovog razvoja prenosna funkcija se može napisati u obliku:
1sK
5sK
)1s)(5s(7s)s(F 21
++
−=
+−+
= (1.3.1)
Koeficijenti K1 i K2 su:
[ ] 21s7s)s(F)5s(K 5s5s1 =
++
=−= == (1.3.2)
[ ] 15s7s)s(F)1s(K 1s1s2 −=
−+
=+= −=−= (1.3.3)
Tada je:
1s1
5s2)s(F
+−
−= (1.3.4)
[ ] ( ) )t(Uee2)s(FL)t(f tt51 −− −== (1.3.5)
1.4) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s)(1s(s
1s)s(F2
+++
=
Rešenje:
2sK
1sK
sK
)2s)(1s(s1s)s(F 321
2
++
++=
+++
= (1.4.1)
[ ]21
)2s)(1s(1s)s(sFK
0s
2
0s1 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++
===
= (1.4.2)
[ ] 2)2s(s
1s)s(F)1s(K1s
2
1s2 −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
=+=−=
−= (1.4.3)
[ ]25
)1s(s1s)s(F)2s(K
2s
2
2s3 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
=+=−=
−= (1.4.4)
2s1
25
1s2
s1
21)s(F
+⋅+
+−⋅= (1.4.5)
[ ] )t(Ue25e2
21)s(FL)t(f t2t1 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−== −−− (1.4.6)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
12
1.5) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s2s(s
2s)s(F 2 ++
+=
Rešenje:
[ ][ ] )j1(sK
)j1(sK
sK
)j1(s )j1(ss2s
)2s2s(s2s)s(F 321
2 −−−+
+−−+=
−−−+−−+
=++
+= (1.5.1)
[ ][ ] 1)j1(s )j1(s
2sK0s
1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−+−−
+=
=
(1.5.2)
[ ] 21
)j1(ss2sK
j1s2 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
+=
+−=
(1.5.3)
[ ] 21
)j1(ss2sK
j1s3 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−
+=
−−=
(1.5.4)
)j1(s1
21
)j1(s1
21
s1)s(F
−−−⋅−
+−−⋅−= (1.5.5)
[ ] [ ]
( ) )t(Utcose1)t(U2eee1
)t(Uee21)t(U)s(FL)t(f
tjtjt
t
t)j1(t)j1(1
−−
−
−−+−−
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
=+−==
(1.5.6)
1.6) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)1s)(8s4s(
7s3s)s(F 2
2
+++
++=
Rešenje:
[ ][ ]
1sK
)j22(sK
)j22(sK
)1s()j22(s )j22(s7s3s
)1s)(8s4s(7s3s)s(F
321
2
2
2
++
+++
−+=
=+++−+
++=
+++
++=
(1.6.1)
[ ] 2j
j22s
2
j22s1 e41j
41
)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K
π
+−=+−= =⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++++
=−+= (1.6.2)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
13
[ ] 2j
j22s
2
j22s2 e41j
41
)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K
π−
−−=−−= =⋅−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+++
=++= (1.6.3)
[ ] 18s4s7s3s)s(F)1s(K
1s2
2
2s3 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++=+=
−=−= (1.6.4)
1s1
j22se
j22se
41)s(F
2j
2j
++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
−+⋅=
π−
π
(1.6.5)
[ ]
)t(Uet2sine21)t(Ue
2t2cose
21
)t(Ue2eee
21
)t(Ue)t(Ueeee41)s(FL)t(f
tt2tt2
t)
2t2(j)
2t2(j
t2
tt)j22(2jt)j22(2
j1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+⋅⋅=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
⋅⋅=
=+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅+⋅⋅==
−−−−
−
π+−
π+
−
−+−π
−−−π
−
(1.6.6)
1.7) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
)2s()1s(
s4s3)s(F 2
2
+−
−=
Rešenje:
2sK
1sK
)1s(K
)2s()1s(s4s3)s(F 212
211
2
2
++
−+
−=
+−
−= (1.7.1)
[ ]31
2ss4s3)s(F)1s(K
1s
2
1s2
11 −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
=−==
= (1.7.2)
( )
914
)2s()s4s3()2s)(s83(
2ss4s3
dsd)s(F)1s(
dsdK
1s2
21s
2
1s
212
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−−+−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
=
== (1.7.3)
[ ]922
)1s(s4s3)s(F)2s(K
2s2
2
2s2 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=+=−=
−= (1.7.4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
14
)2s(922
)1s(914
)1s(31)s(F 2 +
−−
−−
−= (1.7.5)
[ ] )t(Ue922e
914te
31)s(FL)t(f t2tt1 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−== −− (1.7.6)
1.8) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
23s)1s(1)s(F
+=
Rešenje:
sK
sK
1sK
)1s(K
)1s(K
s)1s(1)s(F 22
22113
212
311
23 +++
++
++
=+
= (1.8.1)
[ ] 1s1)s(F)1s(K
1s21s
311 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=+=
−=−= (1.8.2)
( ) 2s2
s1
dsd)s(F)1s(
dsdK
1s3
1s2
1s
312 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=
−=−=−= (1.8.3)
( ) 3s6
21
s2
dsd
21)s(F)1s(
dsd
21K
1s4
1s3
1s
32
2
13 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅=
−=−=−=
(1.8.4)
[ ] 1)1s(
1)s(FsK0s
30s2
21 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+==
== (1.8.5)
( ) 3)1s(
3)1s(
1dsd)s(Fs
dsdK
0s4
0s3
0s
222 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
=== (1.8.6)
s3
s1
1s3
)1s(2
)1s(1)s(F 223 −+
++
++
+= (1.8.7)
[ ] )t(U3te3te2et21)s(FL)t(f ttt21 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++⋅== −−−− (1.8.8)
1.9) Primenom Laplasovih transformacija rešiti diferencijalnu jednačinu:
)t(Ut)t(y9dt
)t(dy6dt
)t(yd 32
2=+−
Poznato je: 0)t(y 0t == , 0dt
)t(dy0t =+= .
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
15
Rešenje:
Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednačina postaje:
[ ] 40t0t0t2
s6)s(Y9)t(y)s(sY6
dt)t(dy)t(sy)s(Ys =+−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−
+=+=+= (1.9.1)
odnosno, posle smenjivanja brojnih vrednosti za početne uslove, dobija se:
3sK
)3s(K
sK
sK
sK
sK
)3s(s6
)9s6s(s6)s(Y 22
22114
213
312
411
2424 −+
−++++=
−=
+−= (1.9.2)
gde su:
[ ]32
)3s(6)s(YsK
0s20s
411 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
==
( )94
)3s(12
)3s(6
dsd)s(Ys
dsdK
0s3
0s2
0s
412 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
===
( )92
)3s(36
21
)3s(12
dsd
21)s(Ys
dsd
!21K
0s4
0s3
0s
42
2
13 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
===
( )818
)3s(144
61
)3s(36
dsd
61)s(Ys
dsd
!31K
0s5
0s4
0s
43
3
14 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
===
[ ]272
s6)s(Y)3s(K
3s43s
221 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−==
=
( )818
s24
s6
dsd)s(Y)3s(
dsdK
3s5
3s4
3s
222 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
===
Tada jednačina (1.9.2) postaje:
3s1
818
)3s(1
272
s1
818
s1
92
s1
94
s1
32)s(Y
2234 −⋅−
−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (1.9.3)
Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se rešenje diferencijalne jednačine:
)t(Ue818te
272
818t
92t
92t
91
)t(Ue818te
272
818t
92
!2t
94
!3t
32)t(y
t3t323
t3t323
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+++⋅+⋅=
(1.9.4)
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
16
1.10) Primenom Laplasovih transformacija naći zakon kretanja sistema sa slike 1.10. Poznato
je: M = 25kg, B = 75Nsm−1, K = 50Nm−1, Fo = 12.5N, ω = 4s−1, x ⎢t=0+ = 0, 10t ms2
dtdx −
+= = .
Rešenje:
Diferencijalna jednačina kretanja sistema sa slike 1.10 je:
tsinF)t(Kxdt
)t(dxBdt
)t(xdM o2
2ω=++ (1.10.1)
Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednačina (1.10.1) postaje:
[ ]22
o
0t0t0t2
sMF
)s(XMK)t(x)s(sX
MB
dt)t(dx)t(sx)s(Xs
ω+
ω⋅=
=+−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−
+=+=+= (1.10.2)
Posle smenjivanja brojnih vrednosti i početnih uslova dobija se:
16s34s2)s(X)2s)(1s()s(X)2s3s( 2
22
+
+=++=++ (1.10.3)
odnosno:
j4sK
j4sK
2sK
1sK
)16s)(2s)(1s(34s2)s(X 4321
2
2
++
−+
++
+=
+++
+= (1.10.4)
Konstante K1, K2, K3 i K4 su:
[ ]1736)s(X)1s(K
1s1 =+=−=
[ ]1021)s(X)2s(K
2s2 −=+=−=
[ ]5440e)s(X)j4s(K
j
j4s3
ϕ−
==−=
[ ]5440e)s(X)j4s(K
j
j4s4
ϕ
−==+=
LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
17
gde je: 67arctg=ϕ . Tada je:
j4s1
5440e
j4s1
5440e
2s1
1021
1s1
1736)s(X
jj
+⋅+
−⋅+
+⋅−
+⋅=
ϕ+ϕ− (1.10.5)
Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se:
[ ] )t(Uee55401)t(Ue
1021)t(Ue
1736)t(x )t4(j)t4(jt2t ϕ−−ϕ−+−− +⋅+⋅−⋅= (1.10.6)
odnosno:
)t(U)t4cos(027.0e1021e
1736
)t(U2
ee13601)t(Ue
1021)t(Ue
1736)t(x
t2t
)jt4(j)t4(jt2t
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ−⋅+⋅−⋅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅+⋅−⋅=
−−
ϕ−−ϕ−+−−
(1.10.7)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
18
2. PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Sistem automatskog upravljanja je aktivna mreža sačinjena od pasivnih i aktivnih
komponenata različite prirode (električne, mehaničke, termičke, pneumatske, hidraulične
itd.). Dinamičko ponašanje pojedinih komponenata sistema automatskog upravljanja opisuje
se integro – diferencijalnim jednačinama. Dinamičko ponašanje sistema sa jednom ulaznom
promenjivom x(t) i jednom izlaznom promenjivom y(t) dato je linearnom diferencijalnom
jednačinom sa konstantnim koeficijentima:
011n
1n
1nn
n
n011m
1m
1mm
m
m bdtdyb
dtdxb
dtdxba
dtdya
dtdya
dtdya ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++
−
−
−−
−
− (1)
Prelaskom u Laplasov domen, pod uslovom da su svi početni uslovi nula, jednačina (1)
postaje:
)s(X)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011n
1nn
n011m
1mm
m ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ −−
−− (2)
Prenosna funkcija sistema je:
)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(
Kasasasa
bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G
m21
n21
011m
1mm
m
011n
1nn
n
−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−
=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
==−
−
−− (3)
Kod fizički ostvarljivih sistema stepen polinoma u brojitelju manji je od stepena polinoma
u imenitelju n < m. Nule polinoma u brojitelju su nule prenosne funkcije, a nule polinoma u
imenitelju su polovi prenosne funkcije.
Prenosna funkcija linearnog sistema automatskog upravljanja obično se može prikazati u
obliku:
011k
1kk
kD
IP sscscsc
1)sKs
KK()s(X)s(Y)s(G
+⋅⋅⋅++⋅++==
−−
(4)
gde su:
KP – proporcionalna konstanta sistema
KI – integralna konstanta sistema
KD – diferencijalna konstanta sistema
Vrednost koeficijenta ck ≠ 0 određuju red sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
19
2.1. Algebra prenosnih funkcija
Algebra prenosnih funkcija predstavlja skup pravila koja omogućavaju da se nađe
prenosna funkcija složenog sistema automatskog upravljanja ako su poznate prenosne
funkcije njegovih komponenata. U strukturnom blok dijagramu promenjive sistema
predstavljene su linijskim segmentima, a funkcije prenosa između pojedinih promenjivih
blokovima (Slika 1).
2.1.1. Pravila algebre prenosnih funkcija
1) Redna veza
2) Paralelna veza
3) Povratna sprega
4) Premeštanje bloka iz direktnog kola
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
20
5) Premeštanje bloka iz povratnog kola
6) Pomeranje povratne sprege ispred bloka
7) Pomeranje povratne sprege iza bloka
8) Pomeranje diskriminatora ispred bloka
9) Pomeranje diskriminatora iza bloka
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
21
2.2. Graf toka signala
Graf toka signala je drugi način predstavljanja prenosnih funkcija složenog sistema
automatskog upravljanja. U grafu toka signala promenjive sistema predstavljaju se čvorovima
grafa, a funkcije prenosa orijentisanim granama (Slika 2).
2.2.1. Ekvivalentne transformacije grafa toka signala
1) Redna veza
2) Paralelna veza
3) Povratna sprega
4) Eliminacija petlje
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
22
2.1) Odrediti signal na izlazu blok dijagrama sa slike 2.1.
Rešenje:
Primenom principa superpozicije dobija se:
0XX0XX0XX 213132YYYY ====== ++= (2.1.1)
Za X2 = X3 = 0 strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 32Y == je:
12121
210XX X
HHGG1GG
Y32 −
=== (2.1.2)
Za 0XX 31 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 31Y == je:
22121
20XX X
HHGG1G
Y31 −
=== (2.1.3)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
23
Za 0XX 21 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 21Y == je:
32121
1210XX X
HHGG1HGG
Y21 −
=== (2.1.4)
Izlazni signal Y je:
2121
3121221210XX0XX0XX HHGG1
XHGGXGXGGYYYY213132 −
++=++= ====== (2.1.5)
2.2) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa
slike 2.2.
Rešenje:
Primenom pravila za paralelnu vezu na blokove G4 i G5 strukturni blok dijagrama sa
slike 2.2.1 je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
24
Pomeranjem diskriminatora iza bloka G1 strukturni blok dijagram sa slike 2.2.1 postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.2 postaje:
Primenom pravila rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.3
postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
25
2.3) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa
slike 2.3.
Rešenje:
Pomeranjem povratne sprege iza bloka G3 strukturni blok dijagram sa slike 2.3 postaje:
Korišćenjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa
slike 2.3.1 postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
26
2.4) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blok dijagram sa
slike 2.4 i odrediti prenosnu funkciju. Dobijeni rezultat analitički proveriti.
Rešenje:
Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4 postaje:
Pomeranjem povratne sprege iza bloka G2 strukturni blok dijagram sa slike 2.4.1 postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
27
Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4.2
postaje:
Primenom pravila za povratnu spregu dobija se prenosna funkcija kola slike 2.4.3:
1
34521
1
21
G1)GG)(GG1(G
1
G1GG
)s(G
+−+
+
+= (2.4.1)
Analitički se dobijeni rezultat može dobiti na sledeći način. Sa slike 2.4 se vidi da je:
22XGY = (2.4.2)
[ ]3341
12 X)GG(X
G1GX −−+
= (2.4.3)
2522522523 X)GG1(XGGXYGXX +=+=+= (2.4.4)
Iz jednačina (2.4.3) i (2.4.4) dobija se:
XG1
GG1
)GG)(GG1(G1X
1
1
1
345212 +
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−++ (2.4.5)
Iz jednačina (2.4.2) i (2.4.5) dobija se prenosna funkcija kola sa slike 2.4:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
28
1
34521
1
21
G1)GG)(GG1(G
1
G1GG
)s(X)s(Y)s(G
+−+
+
+== (2.4.6)
2.5) Naći prenosnu funkciju sistema čiji je graf toka signala dat na slici 2.5.
Rešenje:
Koristeći ekvivalentne transformacije za paralelnu vezu i povratnu spregu graf toka
signala sa slike 2.5 postaje:
Koristeći ekvivalentne transformacije za rednu vezu i povratnu spregu graf toka signala sa
slike 2.5.1 postaje:
Koristeći ekvivalentne transformacije za rednu vezu graf toka signala sa slike 2.5.2
postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
29
2.6) Na slici 2.6 prikazan je strukturni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.
Formirati graf toka signala. Primenom Mejsonovog pravila izračunati prenosnu funkciju
sistema.
Rešenje:
Na slici 2.6.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.6.
Mejsonovo pravilo omogućava da se odredi prenosna funkcija od proizvoljnog čvora X
tipa izvora (čvor tipa izvora je čvor iz koga grane samo izviru) do proizvoljnog čvora Y tipa
ponora (čvor tipa ponora je čvor u koga grane samo poniru) i definisano je izrazom:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
30
)s(
)s()s(P
)s(X)s(Y)s(G
n
1iii
∆
∆==∑= (2.6.1)
gde su:
n – broj direktnih putanja između čvorova od izvora do posmatranog ponora (direktna putanja
je niz sukcesivno povezanih i u istom smeru orijentisanih grana koje spajaju navedene
čvorove i duž kojih se svaki čvor pojavljuje samo jedanput);
Pi – pojačanje i – te direktne putanje, koje se formira kao proizvod pojačanja grana koje
sačinjavaju putanju;
∆ - determinanta grafa toka signala (karakteristična funkcija grafa) koja je definisana
relacijom:
∑ ∑∑∑ ∑ ⋅⋅⋅+−+−=−−=∆ +
j j3j2j
k j j1jjk
1k PPP1P)1(1 (2.6.2)
gde su:
∑j
1jP – zbir kružnih pojačanja svih zatvorenih putanja grafa;
∑j
2jP – zbir svih proizoda kružnih pojačanja od po dve zatvorene putanje koje se međusobno
ne dodiruju;
∑j
3jP – zbir svih proizoda kružnih pojačanja od po tri zatvorene putanje koje se međusobno
ne dodiruju;
∑j
4jP , ∑j
5jP , … - definisane su na analogan način;
∆i je ∆ koja se dobija primenom jednačine (2.6.2), ali samo za zatvorene putanje koja ne
dodiruju i – tu direktnu putanju;
Graf toka signala sa slike 2.6.1 ima:
Dve direktne putanje sa pojačanjima:
P1 = G1G2G3 , P2 = G4;
Četiri zatvorene putanje kružnih pojačanja:
P11 = G1G5, P21 = G4G5G6G7, P31 = G2G6, P41 = G3G7;
Putanje P11 i P41 međusobno se ne dodiruju, pa je proizvod kružnih pojačanja ovih putanja:
P12 = P11P41 = G1G3G5G7,
Determinata grafa toka signala je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
31
753173627654511241312111 GGGGGGGGGGGGGG1P)PPPP(1 +−−−−=++++−=∆ Direktna putanja P1 dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je ∆1 = 1. Direktna putanja P2 ne
dodiruje zatvorenu putanju P31 i ∆2 = 1 – P31 = 1 – G2G6.
Prenosna funkcija sistema na osnovu jednačine (2.6.1) je:
75317362765451
624321
2211
GGGGGGGGGGGGGG1)GG1(GGGG
)s()s()s(P)s()s(P
)s(X)s(Y)s(G
+−−−−−+
=
=∆
∆+∆==
(2.6.3)
2.7) Za multivarijabilni sistem sa dva ulaza i dva izlaza čiji je strukturni blok dijagram
prikazan na slici 2.7 formirati graf toka signala i odrediti Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) primenom
Mejsonovog pravila.
Rešenje:
Na slici 2.7.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.7.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
32
Pošto je graf linearan, funkcije Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) se mogu odrediti superpozicijom.
Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:
P11= − G1G3, P21= − G4G5, P31= − G4G5G6, P41= G1G2G4G7.
Proizvodi kružnih pojačanja od po dve kružne putanje koje se ne dodiruju međusobno su:
P12= P11P21=G1G3G4G5 i P22= P11P31=G1G3G4G5G6
Determinanta grafa toka signala je:
65431543174216545431 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1 ++−+++=∆
Od ulaza X1 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 3111 GGP = , koja ne
dodiruje zatvorene putanje P21 i P31 Tada je:
65454312111 GGGGG1)PP(1 ++=+−=∆
Od ulaza X2 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 43212
1 GGGGP = , koja
dodiruje sve zatvorene putanje zatvorene putanje i 121 =∆ .
Superpozicijom se dobija da je:
∆+++
=∆
∆+∆= 24321165454312
21
211
11
11
211XGGGGX)GGGGG1(GGXPXP)X,X(Y
Od ulaza X1 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 7654112 GGGGGP = , koja
dodiruje sve zatvorene putanje i 112 =∆ .
Od ulaza X2 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 65422 GGGP = , koja ne
dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:
311122 GG1P1 +=−=∆
Superpozicijom se dobija da je:
∆++
=∆
∆+∆= 2316541765412
22
221
12
12
212X)GG1(GGGXGGGGGXPXP)X,X(Y
Zavisnost izlaznih veličina Y1 i Y2 od ulaznih veličina X1 i X2 može se prikazati u
matričnom obliku:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆+
∆
∆∆++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
3165476541
43216545431
2
1
X
X
)GG1(GGGGGGGG
GGGG)GGGGG1(GG
Y
Y (2.7.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
33
2.8) Za kolo sa slike 2.8 formirati graf toka signala i primenom Mejsonovog pravila odrediti
prenosnu funkciju.
Rešenje:
Na osnovu slike 2.8 mogu se napisati sledeće jednačine:
)]s(U)s(U[sC)s(I 211 −= (2.8.1)
)]s(I)s(I[R)s(U 212 −= (2.8.2)
)]s(U)s(U[sC)s(I 322 −= (2.8.3)
)]s(I)s(I[R)s(U 323 −= (2.8.4)
)]s(U)s(U[sC)s(I 433 −= (2.8.5)
)s(RI)s(U 34 = (2.8.6)
Na osnovu jednačina od (2.8.1) do (2.8.6) može se formirati graf toka signala za kolo sa
slike 2.8.
Od )s(U1 do )s(U4 postoji samo jedna direktna putanja pojačanja:
3331 CRsP = (2.8.7)
Postoje ukupno 5 zatvorenih putanja istih kružnih pojačanja −sRC. Tada je:
∑ −=j
1j sRC5P (2.8.8)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
34
∑ =j
2222j CRs6P (2.8.9)
∑ −=j
3333j CRsP (2.8.10)
Na osnovu jednačina (2.8.8), (2.8.9) i (2.8.10) sledi da je:
∑ ∑∑ +++=−+−=∆j j
2223333j2j
j1j sRC5CRs6CRs1PPP1)s( (2.8.11)
Ne postoji ni jedna zatvorena putanja koja se ne dodiruje se sa direktnom putanjom i ∆1=1 .
Prenosna funkcija kola sa slike 2.8 je:
sRC5CRs6CRs1CRs
)s()s()s(P
)s(U)s(U)s(G 222333
33311
1
4
+++=
∆∆
== (2.8.12)
2.9) Za nelinearni sistem automatskog upravljanja koji je opisan diferencijalnom jednačinom:
)t(xdt
)t(dx2)t(y)t(ydt
)t(dy)t(ydt
)t(yd 232
2+=−++
napraviti linearni model u okolini tačke ravnotežnog stanja )2,6()y,x( QQ = . Odrediti
prenosnu funkciju linearizovanog modela.
Rešenje:
Linearni model se dobija Tejlorovim razvojem prvog reda jednačine u okolini tačke
ravnotežnog stanja:
[ ] yyfx
xf)y,x(f)t(y),t(xf
Q
Q
Q
Q
yyxx
yyxxQQ ∆⋅
∂∂
+∆⋅∂∂
+≅==
== (2.9.1)
Za xx)t(x Q ∆+= i yy)t(y Q ∆+= , dobija se:
[ ]dt
)t(ydydt
)t(dy)t(y Q∆
≅ (2.9.2)
3Q
2Q
3 y)t(yy3)t(y +∆⋅= (2.9.3)
2QQ
2 x)t(xx2)t(x +∆⋅= (2.9.4)
[ ] [ ]
[ ] 2QQ
Q3Q
2QQ2
2
x)t(xx2dt
)t(xd2
y)t(yy)t(yy3dt
)t(ydydt
)t(yd
+∆⋅+∆
=
=−∆−+∆⋅+∆
+∆
(2.9.5)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
35
odnosno:
[ ] [ ] [ ] )t(x62dt
)t(xd2)t(y11dt
)t(yd2dt
)t(yd2
2∆⋅+
∆=∆+
∆+
∆ (2.9.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije na jednačinu (2.9.6) dobija se prenosna
funkcija linearizovanog modela:
11s2s62s2
)s(X)s(Y)s(G 2 ++
+=
∆∆
= (2.9.7)
2.10) Rezervoar konstantne površine poprečnog preseka A sa slike 2.10 prazni se po zakonu
hK)t(q2 = , gde je h – visina nivoa tečnosti u rezervoaru, a K – konstanta. Odrediti zakon
promene visine nivoa tečnosti u rezervoaru. Napraviti linearni model u okolini nominalne
visine hQ. Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.
Rešenje:
Zapremina tečnosti u rezervoaru je:
)t(hAV ⋅= (2.10.1)
Zakon promene zapremine je:
)t(hK)t(q)t(q)t(qdt
)t(dhAdt
)t(dV121 ⋅−=−== (2.10.2)
Zakon promene visine nivoa tečnosti u rezervoaru je:
)t(qA1)t(h
AK
dt)t(dh
1⋅+⋅−= (2.10.3)
Za )t(hh)t(h Q ∆+= i ),t(qq)t(q 1Q11 ∆+= linearni model postaje:
[ ] )t(qA1q
A1)t(h
h1
A2Kh
AK
dt)t(hd
1Q1Q
Q ∆⋅+⋅+∆⋅⋅−⋅−=∆ (2.10.4)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
36
odnosno:
[ ] )t(qA1)t(h
h1
A2K
dt)t(hd
1Q
∆⋅=∆⋅⋅+∆ (2.10.5)
Primenom direktne Laplasove transformacije na jednačinu (2.10.5) dobija se prenosna
funkcija linearizovanog modela:
Q
1hA2
Ks
A1
)s(Q)s(H)s(G
+=
∆∆
= (2.10.6)
2.11) Serijsko RLC kolo i analogni mehanički sistemi, translacioni i rotacioni, prikazani su
na slici 2.11. Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovih
sistema i odrediti analogne fizičke promenjive i parametre.
Rešenje:
a) Primenom Kirhofovog zakona o naponima na serijsko RLC kolo dobija se:
∫++=++= dt)t(iC1
dt)t(diL)t(Ri)t(u)t(u)t(u)t(u CLR (2.11.1)
Kako je dt
)t(dq)t(i = , jednačina (2.11.1) postaje:
)t(qC1
dt)t(dqR
dt)t(qdL)t(u 2
2++= (2.11.2)
b) Primenom zakona dinamike na translacioni mehanički sistem dobija se:
)t(f)t(f)t(f)t(f MBK ++= (2.11.3)
gde su:
∫== dt)t(vK)t(Kx)t(fK
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
37
)t(Bvdt
)t(dxB)t(fB ==
dt)t(dvM
dt)t(xdM)t(f 2
2
M ==
jednačina (2.11.3) postaje:
∫++= dt)t(vK)t(Bvdt
)t(dvM)t(f (2.11.4)
)t(Kxdt
)t(dxBdt
)t(xdM)t(f 2
2++= (2.11.5)
Poređenjem jednačina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednačinama (2.11.4) i (2.11.5) vidi se da su
matamatički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RLC kola i analognog translacionog
mehaničkog sistema identični, i analogne fizičke promenjive i parametri su:
)t(x)t(q)t(v)t(i)t(f)t(u
⇔⇔⇔
K1C
BRML
⇔
⇔⇔
Na slici 2.11.1.a prikazani su simboli za masu M, elastičnost K, trenje B i silu f(t), a na
slici 2.11.1.b analogna mehanička mreža translacionog mehaničkog sistema.
c) Primenom zakona dinamike na rotacioni mehanički sistem dobija se:
)t(M)t(M)t(M)t(M JBK ++= (2.11.6)
gde su:
∫ω=θ= dt)t(K)t(K)t(MK
)t(Bdt
)t(dB)t(MB ω=θ
=
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
38
dt)t(dM
dt)t(dJ)t(M 2
2
Jω
=θ
=
jednačina (2.11.6) postaje:
∫ω+ω+ω
= dt)t(K)t(Bdt
)t(dJ)t(M (2.11.7)
)t(Kdt
)t(dBdt
)t(dJ)t(M 2
2θ+
θ+
θ= (2.11.8)
Poređenjem jednačina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednačinama (2.11.7) i (2.11.8) vidi se da su
matamatički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RLC kola i analognog rotacionog
mehaničkog sistema identični, i analogne fizičke promenjive i parametri su:
)t()t(q)t()t(i
)t(M)t(u
θ⇔ω⇔
⇔
K1C
BRJL
⇔
⇔⇔
Na slici 2.11.2.a prikazani su simboli za moment inercije J, elastičnost K, trenje B i
moment sile M(t), a na slici 2.11.2.b analogna mehanička mreža rotacionog mehaničkog
sistema .
Poređenjem analognih mehaničkih mreža sa serijskim RLC kolom može se izvesti
sledeće pravilo: Mehaničkim elementima u paralelnoj vezi odgovaraju analogni električni
elementi vezani serijski, a mehaničkim elementima u serijskoj vezi odgovaraju analogni
električni elementi vezani paralelno.
2.12) Na slici 2.12 prikazan je translacioni mehanički sistem sa dva stepena slobode.
Koristeći analogiju koja postoji između električnih i mehaničkih elemenata formirati
mehaničku i analognu električnu mrežu. Izračunati prenosnu funkciju sistema smatrajući da
je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
39
Rešenje:
Masa M2, opruga K2 i prigušnica B2 vrše isti pomeraj x2(t). Zato su ovi elementi
mehanički u paralelnoj vezi, a u analognoj električnoj mreži u serijskoj vezi. Opruga K1
izložena je pomeraju x1(t) – x2(t) i zato je mehanički serijski elemenat, a u analognoj
električnoj mreži paralelan. Masa M1 i prigušnica B1 vrše isti pomeraj x1(t) i ovi elementi su
mehanički u paralelnoj vezi, a u analognoj električnoj mreži u serijskoj vezi. Na slici 2.12.1
prikazane su mehanička mreža (a) i analogna električna mreža (b) sistema sa slike 2.12.
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.12.1.b dobija se:
)t(f)t(xK)t(xKdt
)t(dxB
dt)t(xd
M 21111
121
2
1 =−++ (2.12.1)
0)t(x)KK(dt
)t(xB
dt)t(xd
M)t(xK 2212
222
2
211 =++++− (2.12.2)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine (2.12.1) i (2.12.2) postaju:
( ) )s(F)s(XK)s(XKsBMs 2111112 =−++ (2.12.3)
( ) 0)s(XKKsBMs)s(XK 221222
11 =++++− (2.12.4)
Iz jednačine (2.12.4) sledi da je prenosna funkcija translacionog mehaničkog sistema:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
40
21222
1
1
2
KKsBMsK
)s(X)s(X
)s(G+++
== (2.12.5)
2.13) Električna mreža diferencijalnog tipa i analogna mehanička mreža prikazane su na
slici 2.13. Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovih mreža,
izvesti prenosnu funkciju sistema i odrediti analogne fizičke promenjive i parametre.
Rešenje:
a) Za električnu mrežu sa slike 2.13.a važi:
)t(u)t(u)t(u 2C1 += (2.13.1)
)t(i)t(i)t(i 21 += (2.13.2)
Jednačina (2.13.2) može se napisati u obliku:
dt)t(duC
R)t(u
R)t(u C
1
C
2
2 += (2.13.3)
Iz jednačine (2.13.1) sledi da je:
)t(u)t(u)t(u 21C −= (2.13.4)
Iz jednačina (2.13.3) i (2.13.4) dobija se:
[ ]dt
)t(u)t(udCR
)t(u)t(uR
)t(u 21
1
21
2
2 −+
−= (2.13.5)
odnosno:
)t(uR1
dt)t(duC)t(u
R1
R1
dt)t(duC 1
1
12
21
2 +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ (2.13.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.13.6) postaje:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
41
)s(UR1)s(sCU)s(U
R1
R1)s(sCU 1
112
212 +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ (2.13.7)
Prenosna funkcija električne mreže sa slike 2.13.a je:
21
21
1
21
2
21
1
1
2
RRRRsC1
sCR1RR
R
R1
R1sC
R1sC
)s(U)s(U)s(G
++
+⋅
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+== (2.13.8)
b) Za mehaničku mrežu sa slike 2.13.b. važi:
[ ] )t(xK)t(x)t(xKdt
)t(dxdt
)t(dxB 2221121 =−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ − (2.13.9)
odnosno:
( ) )t(xKdt
)t(dxB)t(xKKdt
)t(dxB 111
2212 +=++ (2.13.10)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.13.10) postaje:
( ) ( ) )s(XKsB)s(XKKsB 11221 +=++ (2.13.11)
Prenosna funkcija mehaničke mreže sa slike 2.13.b je:
21
1
21
1
21
1
1
2
KKBs1
KBs1
KKK
KKsBKsB
)s(X)s(X)s(G
++
+⋅
+=
+++
== (2.13.12)
Iz jednačina (2.13.8) i (2.13.12) sledi da su analogne fizičke promenjive i parametri:
11 K
1R
)t(x)t(u
⇔
⇔
22 K
1R
BC
⇔
⇔
2.14) Za rotacioni mehanički sistem sa tri stepena slobode sa slike 2.14 napisati diferencijalne
jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovog sistema. Formirati mehaničku i analognu
električnu mrežu. Izračunati prenosnu funkciju sistema uzimajući da je θ1(t) ulazna
promenjiva, a θ3(t) izlazna promenjiva.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
42
Rešenje:
Primenom zakona dinamike za rotaciono kretanje na kolo sa slike 2.14 dobijaju se
diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema:
[ ] )t(M)t()t(K 211 =θ−θ (2.14.1)
[ ] [ ] 0)t()t(Kdt
)t()t(dBdt
)t(dBdt
)t(dJ 12132
32
122
2
1 =θ−θ+θ−θ
+θ
+θ (2.14.2)
[ ] 0)t(Kdt
)t()t(dBdt
)t(dBdt
)t(dJ 3223
33
223
2
2 =θ+θ−θ
+θ
+θ (2.14.3)
Na slici 2.14.1 prikazana je mehanička mreža (a) i analogna električna mreža (b) sistem.
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.14.1.b dobija se:
[ ] )s(M)s()s(K 211 =Θ−Θ (2.14.4)
( )[ ] 0)s(sB)s(KBBsJs)s(K 3321311
211 =Θ−Θ++++Θ− (2.14.5)
( )[ ] 0)s(KBBsJs)s(sB 31311
223 =Θ++++Θ− (2.14.6)
Rešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
43
( )( )
( )( ) ( )( )[ ]23
22322
21311
2
23222
3
313112
1
1
BsKBBsJsKBBsJs)s(M
KBBsJssB0sBKBBsJs00K)s(M
−++++++=
=+++−
−+++−
=∆
(2.14.7)
( ) 31
3
13112
1
11
3 BsK)s(M0sB00KBBsJsK
)s(MKK⋅=
−+++−
−=∆ (2.14.8)
Prenosna funkcija rotacionog mehaničkog sistema sa slike 2.14 je:
( )( ) ( )( )[ ]23
22322
21311
231
1
3
1
3
BsKBBsJsKBBsJs
BsK)s()s(
)s(G−++++++
=∆∆
=ΘΘ
= (2.14.9)
2.15) Na rotacioni mehanički sistem na slici 2.15 dejstvuje mehanički momenat M(t).
Prenosni odnos reduktora određen je brojem zubaca n1 i n2. J1 i J2 su momenti inercije
zamajaca čija su obrtna kretanja izložena viskoznom trenju koeficijenata trenja B1 i B2.
Koeficijenat torzione elastičnosti osovine čiji je ugaoni pomeraj θ1(t) je K1. Izračunati
prenosnu funkciju sistema smatrajući da je M(t) ulazna promenjiva sistema, a ugaoni pomeraj
θ2(t) izlazna promenjiva sistema.
Rešenje:
Diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema sa slike 2.15 su:
)t(M)t(M)t(Kdt
)t(dB
dt)t(d
J 1111
121
2
1 −=θ+θ
+θ
(2.15.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
44
)t(Mdt
)t(dB
dt)t(d
J 22
222
2
2 =θ
+θ
(2.15.2)
gde je M1(t) otporni moment, a M2(t) pokretački moment predat reduktoru.
Između pomeraja pre i posle redukcije postoji veza:
)t(n)t(n 2211 θ=θ (2.15.3)
odnosno:
)t(N)t(nn)t( 22
1
21 θ=θ=θ (2.15.4)
gde je 1
2nnN = . Oba zubčanika moraju da izvrše isti rad. Zato je:
)t()t(M)t()t(M 2211 θ=θ (2.15.5)
Iz jednačina (2.15.4) i (2.15.5) se dobija odnos između momenata pre i posle redukcije:
N)t(M)t(M 2
1 = (2.15.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
( ) )s(M)s(M)s(KsBJs 111112 −=Θ++ (2.15.7)
( ) )s(M)s(sBJs 22222 =Θ+ (2.15.8)
)s(N)s( 21 Θ=Θ (2.15.9)
N)s(M)s(M 2
1 = (2.15.10)
Iz ovih jednačina sledi da je prenosna funkcija sistema:
12
212
2122
2
KN)BBN(s)JJN(sN
)s(M)s(
)s(G++++
=Θ
= (2.15.11)
2.16) Pneumatski sistem koji se sastoji od dovodne cevi i komore sa gasom pod pritiskom
prikazan je na slici 2.16. Sa Pi i Po označene su stacionarne vrednosti pritiska gasa u ulaznoj
cevi i komori, a sa pi(t) i po(t) male varijacije pritiska gasa u ulaznoj cevi i komori u odnosu
na vrednosti u stracionarnom stanju. Protok gasa q(t) direktno je proporcionalan razlici
pritisaka gasa pi(t) u dovodnoj cevi, kao ulazne promenjive, i pritiska gasa po(t) u komori, kao
izlazne promenjive sistema. Definisati pneumatsku otpornost R prigušnog prstena i
pneumatski kapacitet C komore. Izračunati prenosnu funkciju pneumatskog ventila. Koristeći
analogiju koja postoji između električnih i pneumatskih elemenata, za dva kaskadno vezana
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
45
sistema sa slike 2.16, formirati analognu električnu mrežu i izračunati funkciju prenosa
sistema.
Rešenje:
Pneumatska otpornost R prstena definisana je relacijom:
)t(q)t(pR ∆
= (2.16.1)
Pneumatski kapacitet komore definisan je relacijom:
)t(qdt
)t(dpC = (2.16.2)
Iz definicija za otpornost prstena R i kapacitet komore C dobija se:
)t(q)t(p)t(p
R oi −= (2.16.3)
)t(qdt
)t(dpC o = (2.16.4)
Iz jednačina (2.16.3) i (2.16.4) sledi da je:
)t(p)t(pdt
)t(dpRC io
o =+ (2.16.5)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.16.5) postaje:
)s(P)s(P)sRC1( io =+ (2.16.6)
Prenosna funkcija pneumatskog sistema je:
sRC11
)s(P)s(P
)s(Gi
o+
== (2.16.7)
Na slici 2.16.1 prikazana je ekvivaletna električna mreža pnematskog sistema sa
slike 2.16. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.16.1 dobija se:
)t(udt
)t(duRC)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(u CC
CCR +=+=+= (2.16.8)
gde je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
46
dt)t(duC)t(i C= (2.16.9)
Poređenjem jednačina (2.16.4) i (2.16.5) sa jednačinama (2.16.8) i (2.16.9) vidi se da su
matematički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RC kola i analognog pneumatskog
sistema identični, i da su analogne fizičke promenjive i parametri:
)t(q)t(i)t(p)t(u
⇔⇔
CCRR
⇔⇔
Na slici 2.16.2 prikazan je pneumatski sistem koji se sastoji od kaskadne veze dva
pneumatska sistema sa slike 2.16.
Analogna električna mreža pneumatskog sistema sa slike 2.16.2 prikazana je na
slici 2.16.3.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
47
Na osnovu slike 2.16.3 mogu se napisati sledeće jednačine:
)t(qR)t(p)t(p 11i =− (2.16.10)
)t(qR)t(p)t(p 22o =− (2.16.11)
)t(q)t(qdt
)t(dpC 211 −= (2.16.12)
)t(qdt
)t(dpC 2
o2 = (2.16.13)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)s(QR)s(P)s(P 11i =− (2.16.14)
)s(Q)s(Q)s(PsC 211 −= (2.16.15)
)s(QR)s(P)s(P 22o =− (2.16.16)
)s(Q)s(PsC 2o2 = (2.16.17)
Na osnovu jednačina od (2.16.14) do (2.16.17) može se formirati graf toka signala za kolo
sa slike 2.16.3.
Od Pi(s) do Po(s) postoji samo jedna direktna putanja pojačanja:
212121
RRCCs1)s(P =
Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:
1111 RsC
1)s(P −= , 21
21 RsC1)s(P −= ,
2231 RsC
1)s(P −= .
Kružne putanje P11(s) i P31(s) se međusobno ne dodiruju. Tada je:
2121212 RRCCs
1)s(P =
Determinanta graf toka signala je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
48
21212
21212
111222
21212
222111
RRCCsRRCCsRsCRsCRsC1
RRCCs1
RsC1
RsC1
RsC11)s(
++++=
=++++=∆
Direktna putanja dodiruje sve zatvorene putanje. Zbog toga je ∆1 = 1.
Prenosna funkcija sistema sa slike 2.16.2 je:
21212
111222
11
i
o
RRCCsRsCRsCRsC11P
)s(P)s(P
)s(G++++
=∆∆
== (2.16.18)
2.17) Termički sistem sa toplotnom izolacijom rezervoara prikazan je na slici 2.17. Smatrati
da nema akumulirane energije u izolatoru i da se tečnost u rezervoaru idealno meša, odnosno
da su temperature tečnosti u rezervoaru i tečnosti na izlazu iste i da je toplotni kapacitet
metalnog grejača G zanemarljivo mali. Promenjive sistema su:
θ1 – temperatura hladne tečnosti na ulazu rezervoara (oC);
θ2 – temperatura zagrejane tečnosti na izlazu rezervoara (oC);
q – toplotni protok koji obezbeđuje grejač (J/s);
q1 – toplotni protok koji je posledica uticaja hladne tečnosti na ulazu rezervoara (J/s);
q2 – toplotni protok koji je posledica isticanja tople tečnosti na izlazu rezervoara (J/s);
Definisati termičku otpornost i termički kapacitet. Formirati strukturni blok dijagram i
izračunati prenosnu funkciju sistema, smatrajući temperaturu θ1(t) i toplotni protok q(t) za
ulazne promenjive, a temperaturu θ2(t) za izlaznu promenjivu sistema. Toplotni protoci q1(t) i
q2(t) su: )t(cn)t(q 11 θ= i )t(cn)t(q 22 θ= , gde je c – specifični toplotni kapacitet tečnosti, a
n – maseni protok tečnosti.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
49
Rešenje:
Termička otpornost R definisana je relacijom:
)t(q)t(R θ∆
= (2.17.1)
Termički kapacitet definisan je relacijom:
)t(qdt
)t(dC =θ (2.17.2)
Iz definicije za termičku otpornost izolacije R može se naći toplotni protok u jedinici
vremena kroz izolaciju:
R)t()t()t(q 12
iθ−θ
= (2.17.3)
Iz definicije za termički kapacitet C može se naći toplotni protok u jedinici vremena kroz
tečnost:
dt)t(dC)t(q 2
Tθ
= (2.17.4)
Jednačina ravnoteže toplotnog protoka tečnosti u jedinici vremena je:
)t(q)t(q)t(q)t(q)t(q Ti21 ++=+ (2.17.5)
odnosno:
dt)t(dC
R)t()t()t(cn)t(q)t(cn 212
21θ
+θ−θ
+θ=+θ (2.17.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.17.5) postaje:
)s()cnR1()s(RQ)cnRsRC1)(s( 12 Θ++=++Θ (2.17.7)
odnosno:
)s(cnRsRC1
cnR1)s(QcnRsRC1
R)s( 12 Θ++
++
++=Θ (2.17.8)
Na osnovu jednačine (2.17.8) može se formirati sledeći strukturni blok dijagram sistema:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
50
2.18) Za hidraulični sistem sa slike 2.18 promenjive sistema su:
Q – stacionarna vrednost ulaznog i izlaznog protoka fluida (m3 / s)
q1 – mala varijacija protoka fluida na ulazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)
q2 – mala varijacija protoka fluida na izlazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)
h – mala varijacija nivoa fluida u odnosu na stacionarnu vrednost (m)
Definisati hidrauličnu otpornost R ventila u slučaju laminarnog strujanja fluida i hidraulični
kapacitet C rezervoara. Izvesti prenosnu funkciju sistema. Koristeći dobijene jednačine, za
dva kaskadno povezana sistema sa slike 2.18, formirati strukturni blok dijagram i njegovom
sukcesivnom redukcijom odrediti funkciju prenosa sistema.
Rešenje:
Između protoka fluida i nivoa fluida u rezervoaru, kod laminarnog kretanja, postoji veza:
)t(Kh)t(q = (2.18.1)
Hidraulična otpornost ventila definisana je relacijom:
)t(q)t(h
K1
)t(dq)t(dhR === (2.18.2)
Na osnovu relacije (2.18.2) sledi da je hidraulična otpornost izlaznog ventila:
)t(q)t(hR
2= (2.18.3)
Hidraulični kapacitet rezervoara je:
R)t(h)t(q)t(q)t(q
dt)t(dhC 121 −=−= (2.18.4)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.18.4) postaje:
)s(RQ)s(H)sRC1( 1=+ (2.18.5)
Prenosna funkcija hidrauličnog sistema sa slike 2.18 je:
sRC11
)s(QR
)s(H
)s(Q)s(Q)s(G
11
2+
=== (2.18.6)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
51
Na slici 2.18.1 prikazana je ekvivaletna električna mreža kola sa slike 2.18.
Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.18.1 dobija se:
)t(i)t(idt
)t(duC 21
C −=+ (2.18.7)
)t(i)t(u
R2
C= (2.18.8)
Poređenjem jednačina (2.18.3) i (2.18.4) sa jednačinama (2.18.7) i (2.18.8) vidi se da su
matematički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RC kola i analognog hidrauličnog
sistema sa slike 2.18 identični, i da su analogne fizičke promenjive i parametri:
CCRR
⇔⇔
)t(q)t(i
)t(h)t(uC
⇔⇔
Na slici 2.18.2 prikazana je hidraulični sistem koji se sastoji od kaskadne veza dva
hidraulična sistema sistema sa slike 2.18.
Na osnovu definicije hidraulične otpornosti mogu se napisati sledeće jednačine:
)t(q)t(h)t(hR 21
1−
= (2.18.9)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
52
)t(q)t(hR
2
22 = (2.18.10)
Na osnovu definicije hidrauličnog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledeće
jednačine:
)t(q)t(qdt
)t(dhC 11
1 −= (2.18.11)
)t(q)t(qdt
)t(dhC 22
2 −= (2.18.12)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)s(H)s(H)s(QR 211 −= (2.18.13)
)s(H)s(QR 222 = (2.18.14)
)s(Q)s(Q)s(HsC 111 −= (2.18.15)
)s(Q)s(Q)s(HsC 222 −= (2.18.16)
Na osnovu prethodnih jednačina mogu se formirati sledeći blok dijagrami koji su
prikazani na slici 2.18.3:
Na osnovu slike 2.18.3 može se formirati strukturni blok dijagram sistema sa slike 2.18.4.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
53
Premeštanjem povratne sprege iza bloka 2R
1 i diskriminatora isped bloka 1sC
1 , dijagram
sa slike 2.18.4. postaje:
Korišćenjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu blok dijagram sa slike 2.18.5
postaje:
Sa slike 2.18.7 se vidi da je prenosna funkcija sistema sa slike 2.18.2:
21212
212211
2122111
2
RRCCsRsCRsCRsC11
RsC)RsC1)(RsC1(1
)s(Q)s(Q)s(G
++++=
=+++
==
(2.18.17)
Analogna električna mreža hidrauličnog sistema sa slike 2.18.2. prikazana je na
slici 2.18.8.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
54
Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.18.8 dobija se:
0)s(QsC
1)s(QsC
1sC1R)s(Q
sC1
2221
111
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++− (2.18.18)
0)s(QsC
1R)s(QsC
12
22
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− (2.18.19)
Iz jednačina (2.18.18) i (2.18.19) dobija se prenosna funkcija:
21212
212211 RRCCsRsCRsCRsC11)s(G
++++= (2.18.20)
2.19) Na slici 2.19 prikazan je prigušivač koji se koristi u sistemu regulacije. Odrediti
funkciju prenosa sistema ako je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.
Poznato je: A – površina klipa prigušivača, ρ – gustina fluida, K – koeficijenat elastičnosti
opruge, R – hidraulična otpornost. Promenjive sistema su: A[p2(t) – p1(t)] – sila pritiska koja
deluje na klip prigušivača, q(t) – maseni protok fluida.
Rešenje:
Iz definicije za hidrauličnu otpornost ventila dobija se:
)t(q)t(p)t(p
R 12 −= (2.19.1)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
55
Iz uslova ravnoteže sile koja deluje na klip prigušivača i sile napregnute opruge dobija se:
[ ] )t(KxA)t(p)t(p 212 =− (2.19.2)
Maseni protok q(t) može se izraziti preko zapreminskog protoka dt
)t(dV)t(qV =
jednačinom:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ρ=ρ=
dt)t(dx
dt)t(dxA)t(q)t(q 21
V (2.19.3)
Iz prethodnih jednačina dobija se:
)t(xARK
dt)t(dx
dt)t(dxA
R)t(p)t(p)t(q 2
2112 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −ρ=
−= (2.19.4)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.19.4) postaje:
[ ] )s(XARK)s(X)s(XAs 221 =−ρ (2.19.5)
Prenosna funkcija sistema je:
RAKs
s
RAsK1
1)s(X)s(X)s(G
221
2
ρ+
=
ρ+
== (2.19.6)
Na osnovu jednačine (2.19.6) može se formirati strukturni blok dijagram sistema:
2.20) Realizacija proporcionalnog pneumatskog regulatora prikazan je na slici 2.20. Gas
konstantnog pritiska p1 uvodi se kroz prigušni prsten konstantnog pneumatskog otpora u cev
na čijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle
prolaska gasa kroz prigušni prsten dolazi do pada pritiska i izlazni pritisak p2(t) je manji od
pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja između mlaznika i zazora menja se izlazni
pritisak. Izračunati prenosnu funkciju sistema smatrajući pritisak p2(t) za izlaznu promenjivu,
a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da između izlaznog pritiska
p2(t) i pomeraja zazora važi linearna zavisnost.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
56
Rešenje:
Kako je sistem linearan važi:
)t(Kx)t(p2 = (2.20.1)
gde je K – konstanta proporcionalnosti.
Veza između pomeraja leptira x(t) i pomeraja zazora e(t) je:
)t(eba
b)t(x+
= (2.20.2)
Iz jednačina (2.20.1) i (2.20.2) sledi da je:
)t(eba
Kb)t(p2 += (2.20.3)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.20.3) postaje:
)s(Eba
Kb)s(P2 += (2.20.4)
Prenosna funkcija sistema je:
baKb
)s(E)s(P
)s(G 2+
== (2.20.5)
2.21) Realizacija proporcionalnog – integralno – diferencijalnog pneumatskog regulatora
prikazan je na slici 2.21. Gas konstantnog pritiska pi uvodi se kroz prigušni prsten
konstantnog pneumatskog otpora u cev na čijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram
koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle prolaska gasa kroz prigušni prsten dolazi do pada
pritiska i izlazni pritisak po(t) je manji od pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja
između mlaznika i zazora menja se izlazni pritisak. Ova promena se kroz ventil konstantnog
pneumatskog otpora R1 prenosi na pritisak p1(t) u mehu 1 kapaciteta C1, a kroz ventil
konstantnog pneumatskog otpora R2 prenosi na pritisak p2(t) u mehu 2 kapaciteta C2, što
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
57
dovodi do rezultujećeg pomeraja x2(t) njihove zajedničke površine A. Ovaj pomeraj se preko
leptira prenosi na promenu rastojanja x1(t) zazora od mlaznika. Formirati strukturni blok
dijagram i odrediti parametre regulacije sistema uzimajući pritisak po(t) za izlaznu
promenjivu, a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da između izlaznog
pritiska po(t) i pomeraja zazora važi linearna zavisnost.
Rešenje:
Kakoje sistem linearan važi:
)t(Kx)t(p 1o = (2.21.1)
gde je K – konstanta proporcionalnosti.
Veza između pomeraja leptira i pomeraja zazora može se naći sa slike 2.21. Za male
pomeraje )t(x1∆ važi:
)t(x)t(xb
)t(eba
11 ∆+≅
+ (2.21.2)
)t(xa
)t(xba
12 ∆≅
+ (2.21.3)
Iz jednačina (2.21.2) i (2.21.3) sledi da je:
)t(xba
a)t(eba
b)t(x 21 +−
+= (2.21.4)
Iz definicija za otpornost ventila dobija se:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
58
)t(q)t(p)t(pR
1
1o1
−= (2.21.5)
)t(q)t(p)t(pR
2
2o2
−= (2.21.6)
Iz definicije za kapacitet komore dobija se:
)t(qdt
)t(dpC 11
1 = (2.21.7)
)t(qdt
)t(dpC 22
2 = (2.21.8)
Iz uslova ravnoteže sile pritiska koja deluje na površinu A meha [ ]A)t(p)t(p 12 − i sile
elastičnosti meha )t(xK 2m , gde je Km – koeficijenat elastičnosti omotača meha, sledi da je:
[ ] )t(xKA)t(p)t(p 2m12 =− (2.21.9)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)s(PK1)s(X o1 = (2.21.10)
)s(Xba
a)s(Eba
b)s(PK1)s(X 2o1 +
−+
== (2.21.11)
1
1o1 R
)s(P)s(P)s(Q −= (2.21.12)
2
2o2 R
)s(P)s(P)s(Q −= (2.21.13)
1
1o111 R
)s(P)s(P)s(Q)s(PsC −== (2.21.14)
odnosno:
)s(PCsR1
1)s(P o11
1 += (2.21.15)
2
2o222 R
)s(P)s(P)s(Q)s(PsC −== (2.21.16)
odnosno:
)s(PCsR1
1)s(P o22
2 += (2.21.17)
[ ] )s(PCsR1
1CsR1
1KA)s(P)s(P
KA)s(X o
1122m12
m2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+
=−= (2.21.18)
Iz jednačina (2.21.11) i (2.21.18) sledi da je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
59
)s(P)RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baa)s(E
bab)s(P
K1
o2211
2211
mo ++
−⋅⋅
+−
+= (2.21.19)
odnosno:
)s(Eba
Kb)s(P)RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baKa1 o
2211
2211
m +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−⋅⋅
++ (2.21.20)
Prenosna funkcija sistema je:
)RsC1)(RsC1(RsCRsC
KA
baKa1
baKb
)s(E)s(P)s(G
2211
2211
m
o
++−
⋅⋅+
+
+== (2.21.21)
Na osnovu jednačine (2.21.21) može se formirati strukturni blok dijagram sistema:
U normalnom režimu rada sistema važi: )RsC1)(RsC1(
RsCRsCKA
baKa1
2211
2211
m ++−
⋅⋅+
+ >>1, i
jednačina (2.21.21) postaje:
1211
2211moRsCRsC
)RsC1)(RsC1(aA
bK)s(E)s(P
)s(G−++
⋅≅= (2.21.22)
Ako se R1 i R2 podese tako da je R1>>R2, tada je R1C1>>R2C2. Jednačina (2.21.22)
postaje:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⋅=
++⋅≅ 22
11
22
11
m
11
2211m RsCRCRC
1RsC
1aA
bKRsC
)RsC1)(RsC1(aA
bK)s(G (2.21.23)
Kako je 0RCRC
11
22 ≅ , prenosna funkcija sistema je:
s1KsKK
s1s1k
RsC1RsC1
aAbK
)s(G IDPI
D11
22m ++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ
+τ+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅≅ (2.21.24)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
60
gde su:
aAbKk m=
22D CR=τ – diferencijalna vremenska konstanta sistema
11I CR=τ – integralna vremenska konstanta sistema
bAaKK m
P = – proporcionalna konstanta regulatora
22m
DD CRaA
bKkK ⋅=τ= – diferencijalna konstanta regulatora
11
m
II CR
1aA
bKkK ⋅=τ
= – integralna konstanta regulatora
Iz jednačine (2.21.24) sledi da pod navedenim uslovima sistem sa slike 2.21 predstavlja
proporcionalno – integralno – diferencijalni regulator (PID) nultog reda.
2.22) Realizacija diferencijalnog regulatora preko idealnih operacionih pojačavača prikazana
je na slici 2.22. Odrediti prenosnu funkciju sistema i parametre regulacije uzimajući napon
u1(t) za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.
Rešenje:
Prenosna funkcija kola sa slike 2.22 je:
)s(U)s(U)s(G
1
2= (2.22.1)
Sa slike 2.22 se vidi da je:
R)s(U
R2)s(U a1 −= (2.22.2)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
61
R)s(U
)s(sCU2R
)s(U)s(U aa
ab +=−
(2.22.3)
Iz jednačina (2.22.2) i (2.22.3) sledi da je:
)s(U)sRC1()s(U 1b +−= (2.22.4)
Izlazni operacioni pojačavač igra ulogu sabirača. Izlazni napon je:
)s(sRCU)s(U)s(U)s(U 1b12 =−−= (2.22.5)
Iz jednačine (2.22.5) sledi da je prenosna funkcija sistema:
sKsRC)s(G D ⋅== (2.22.6)
gde je RCK D = – diferencijalna konstanta regulatora
2.23) Elektronsko izvođenje proporcionalno – diferencijalnog sistema prikazano je na slici
2.23. Izračunati prenosnu funkciju i formirati strukturni blok dijagram uzimajući napon u1(t)
za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.
Rešenje:
Sa slike 2.23 se vidi da je:
[ ])t(u)t(uK)t(u 312 −= (2.23.1)
)t(udt
)t(duRCdt)t(i
C1)t(Ri)t(u 3
32 +=+= ∫ (2.23.2)
gde je:
dt)t(duC)t(i 3= (2.23.3)
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine (2.23.1) i (2.23.2) postaju:
[ ])s(U)s(UK)s(U 312 −= (2.23.4)
( ) )s(UsRC1)s(U 32 += (2.23.5)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
62
Eliminacijom napona U3(s) iz jednačina (2.23.4) i (2.23.5) dobija se:
)s(KUsRC1K1)s(U 12 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++ (2.23.6)
Prenosna funkcija sistema sa slike 2.23 je:
1KRCs1
sRC11K
K
sRC1K1
K)s(U)s(U)s(G
1
2
++
+⋅
+=
++
== (2.23.7)
Na osnovu jednačine (2.23.7) može se formirati sledeći strukturni blok dijagram sistema:
2.24) Za jednosmerni motor sa opterećenjem sa slike 2.24 izračunati:
a) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G
s
oΘ= , kada se motor upravlja strujom u statoru
b) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G
r
oΘ= , kada se motor upravlja strujom u rotoru
Rs i Ls su otpornost i induktivnost statorskog kola, a Rr i Lr otpornost i induktivnost namotaja
rotora. Jm i Bm su moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja osovine rotora, a Jo i Bo
moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja opterećenja. Sa N je označen prenosni odnos
mehaničkog reduktora.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
63
Rešenje:
Pokretački momenat motora je Mm(t) je:
)t(Mdt
)t(dBdt
)t(dJ)t(M *o
mm2
m2
mm +θ
+θ
= (2.24.1)
gde je )t(M*o momenat opterećenja posmatran ispred mehaničkog reduktora. Između ugaonih
brzina i momenata opterećenja pre i posle mehaničke redukcije postoji veza:
dt)t(d
Ndt
)t(d om θ=
θ (2.24.2)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ θ+
θ==
dt)t(dB
dt)t(dJ
N1)t(M
N1)t(M o
o2o
2
oo*o (2.24.3)
Iz prethodnih jednačina dobija se:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ θ++
θ+=
dt)t(d
)BNB(dt
)t(d)JNJ(
N1)t(M o
m2
o2o
2
m2
om (2.24.4)
odnosno:
dt)t(dB
dt)t(dJ)t(NM)t(M o
2o
2
mθ
+θ
== (2.24.5)
gde su:
m2
o JNJJ += – ukupan momenat inercije sveden na osovinu motora
m2
o BNBB += – ukupno viskozno trenje svedeno na osovinu motora
M(t) – momenat opterećenja sveden na osovinu motora
Prema jednačini (2.24.5) sistem sa slike 2.24 može se zameniti ekvivalentnim sistemom
prikazanim na slici 2.24.1.
Fluks proizveden strujom statora u prostoru između namotaja statora i rotora je:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
64
)t(iK)t( s1=φ (2.24.6)
Pokretački momenat motora Mm (t) je linearno zavisi od proizvoda između fluksa )t(φ i
struje rotora )t(ir , odnosno:
)t(i)t(iKK)t(i)t(K)t(M rs21r2m =φ= (2.24.7)
a) Ako se motor upravlja strujom statora, tada je struja rotora ir konstantna. Pokretački
momenat motora je tada:
)s(IK)s(M ssm = (2.24.8)
odnosno, prema jednačini (2.24.5)
)s(NIK)s(M ss= (2.24.9)
Jednačine električne ravnoteže ulaznog kola i mehaničke ravnoteže izlaznog kola su:
)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.24.10)
0)s()BsJ(s)s(NIK oss =Θ++− (2.24.11)
Jednačina (2.24.11) izražava mehaničku ravnotežu pokretačkog momenta motora i
ekvivalentnog momenta opterećenja na izlaznoj osovini motora. Prenosna funkcija sistema je:
)1s)(1s(sK
)BsJ)(RsL(sNK
)s(U)s()s(G
mess
s
s
o+τ+τ
=++
=Θ
= (2.24.12)
gde su:
)BNB(RNK
BRNKK
m2
os
s
s
s
+== – pojačanje sistema
s
se R
L=τ – električna vremenska konstanta sistema
m2
o
m2
om BNB
JNJBJ
+
+==τ – mehanička vremenska konstanta sistema
b) Ako se motor upravlja strujom rotora, tada je struja statora is konstantna. Pokretački
momenat motora je tada:
)s(IK)s(M remm = (2.24.13)
odnosno, prema jednačini (2.24.5):
)s(NIK)s(M rem= (2.24.14)
Za razliku od slučaja kada se motor upravlja strujom statora, kod koga se prenosi samo
uticaj od električnog ka mehaničkom kolu, kod motora koji se upravlja strujom u rotoru,
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
65
postoji i uticaj mehaničkog kola na električno preko elektromotorne sile um(t) koja se, usled
prisustva fluksa proizvedenog konstantnom strujom statora, pri obrtanju rotora indukuje u
rotorskom namotaju. Elektromotorna sila )t(um proporcionalna je ugaonoj brzini rotora:
)s(NsK)s(sK)s(U omemmem Θ=Θ= (2.24.15)
Jednačine ravnoteže su:
)s(U)s(NsK)s(I)RsL( romerrr =Θ++ (2.24.16)
0)s()BsJ(s)s(NIK orem =Θ++− (2.24.17)
Prenosna funkcija sistema je:
)1s2s(sK
]NKK)BsJ)(RsL[(sNK
)s(U)s()s(G 222
meemrr
em
r
o
+ξτ+τ=
+++=
Θ= (2.24.18)
gde su:
2meemm
2or
em
2meemr
em
NKK)BNB(RNK
NKKBRNK
K
++=
=+
=
– pojačanje sistema
2meemm
2or
o2
or2
meemr
r
NKK)BNB(R)BNJ(L
NKKBRJL
++
+=
+=τ –vremenska konstanta sistema
]NKK)BNB(R)[JNJ(L2
)JNJ(R)BNB(L
)NKKBR(JL2
JRBL
2meemm
2orm
2or
m2
orm2
or
2meemrr
rr
+++
+++=
=+
+=ξ
– koeficijenat prigušenja
2.25) Jednosmerni motor upravljan Vard – Leonardovom grupom prikazan je na slici 2.25.
Upravljački napon us (t) priključen je na krajeve pobudnog kola generatora G čiju osovinu
pokreće pomoćni motor (nije prikazan na slici) konstantnom ugaonom brzinom ω. Napon na
krajevima generatora ug(t) priključen je na krajeve rotora upravljanog strujom u rotoru.
Napon na krajevima generatora direktno je proporcionalan struji u pobudnom kolu, tj.
)t(iK)t(u sgg ω= . J i B predstavljaju ekvivalentan moment inercije i koeficijenat viskoznog
trenja na izlaznoj osovini motora. Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajući us(t) za
ulaznu promenjivu, a )t(oθ izlaznu promenjivu sistema.
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
66
Rešenje:
Vard – Leonardova grupa je skup mašina koju čine generator G, motor M i pomoćni
motor koji okreće osovinu generatora konstantnom ugaonom brzinom. Jednačine električne
ravnoteže sistema sa slike 2.25 su:
)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.25.1)
0)s(sK)s(I)]RR()LL(s[)s(IK mmerrgrgsg =Θ+++++Ω− (2.25.2)
Jednačine mehaničke ravnoteže sistema sa slike 2.25 su:
0)s()BsJ(s)s(NIK orem =Θ++− (2.25.3)
)s(N)s( om Θ=Θ (2.25.4)
Iz jednačina (2.25.2), (2.25.3) i (2.25.4) dobija se:
[ ] )s(sNKNK
)BsJ(s)RR()LL(sK
1)s(I omeem
rgrgg
s Θ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++
+++Ω
= (2.25.5)
Iz jednačina (2.25.1) i (2.25.5) dobija se:
[ ] )s(U)s(KKsN)BsJ(s)RR()LL(sNKK
RsLsoemme
2rgrg
emg
ss =Θ+++++Ω+ (2.25.6)
Prenosna funkcija sistema je:
emme2
rgrgss
emg
s
o
KKN)BsJ)](RR()LL(s[ )RsL(s
NKK)s(U)s(
)s(G++++++
Ω=
Θ= (2.25.7)
Kako je mehaničko opterećenje motora relativno veliko, induktivnosti električne konture
u kojoj postoji struja ir (t), mogu se zanemariti, tj. Lg ≅ Lr ≅ 0 i prenosna funkcija postaje:
[ ] )1s)(1s(sK
KKN)RR(B)RR(sJ)RsL(s
NKK)s(G
21emme2
rgrgss
emg
+τ+τ=
+++++
Ω= (2.25.8)
gde su:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
67
[ ]emme2
rgs
emg
KKN)RR(BR
NKKK
++
Ω= – pojačanje sistema
s
s1 R
L=τ ,
emme2
rg
rg2 KKN)RR(B
)RR(J
++
+=τ – vremenske konstante
2.26) Servomehanizam sa slike 2.26 sastoji se iz pojačavača A1, A2 i A3 , Vard – Leonardove
grupe sa motorom M koji se upravlja strujom u rotoru, mehaničkih reduktora prenosnog
odnosa N1 i N2 i i obrtnih potenciometara sa konstantom KP. Odrediti matricu kolonu funkcija
prenosa sistema smatrajući pomeraj )t(1θ za ulaznu promenjivu, a pomeraje )t(2θ i )t(3θ za
izlazne promenjive sistema.
Rešenje:
Napon na izlazu pojačavača A1 je:
[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.26.1)
Napon na izlazu pojačavača A2 je:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+Θ−=
sRC1K)s()s(UA)s(U P
3122 (2.26.2)
Za deo sistema pojačavač A3 – generator mogu se napisati sledeće jednačine:
)s(I)RsL()]s(U)s(U[A)s(U sss2,123s +=−= (2.26.3)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
68
)s(IK)s(U sgg = (2.26.4)
Za Vard – Leonardovu grupu može se nacrtati ekvivalentna električna mreža koja je
prikazana na slici 2.26.1.
Primenom metode konturnih struja na mrežu sa slike 2.26.1 dobija se:
)s(U)s(RI)s(RI2 gmg =− (2.26.5)
)s(U)s(RI2)s(RI mmg −=+− (2.26.6)
Rešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se:
2R3R2RRR2
=−
−=∆
)s(RU)s(RU2R2)s(UR)s(U
mgm
g1 −=
−−
=∆ (2.26.7)
)s(RU)s(RU2)s(UR
)s(UR2gm
m
g2 +−=
−−=∆
Napon U1,2(s) između tačaka 1 i 2 je:
[ ])s(U)s(U31R)s(U mg
212,1 +⋅=
∆∆−∆
⋅= (2.26.8)
Jednačine jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru su:
)s(U)s(sK)s(RI 2,1mmem =Θ+ (2.26.9)
)s(M)s(M)s()BsJ(s)s(IK *2
*1mmmmem −−=Θ++− (2.26.10)
gde su:
( ) ( ) )s(BsJsN1)s(BsJs
N1)s(M m112
1211
1
*1 Θ+=Θ+= (2.26.11)
( ) ( ) )s(BsJsNN
1)s(BsJsNN1)s(M m222
221
32221
*2 Θ+=Θ+= (2.26.12)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
69
Iz jednačina (2.26.10), (2.26.11) i (2.26.12) sledi da je:
0)s()BsJ(s)s(IK meemem =Θ++− (2.26.13)
gde su:
22
21
221
1me NN
JNJJJ ++=
22
21
221
1me NN
BNBBB ++=
ekvivalentni moment inercije i koeficijenat trenja preslikani na strani motora. Iz jednačina
(2.26.9) i (2.26.13) sledi da je prenosna funkcija motora:
emmeee
em
2,1
mm KK)BsJ(R
K)s(U)s(sG
++=
Θ= (2.26.14)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati strukturni blok dijagram sistema:
Strukturnom blok dijagramu sa slike 2.26.2 odgovara graf toka signala sa slike 2.26.3:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
70
Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:
31K
RsL1AP g
ss311 ⋅⋅
+⋅−=
mme
21 G3
KP ⋅=
sRC1K
NsN1G
31K
RsL1AAP P
21mg
ss3231 +
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅−=
P1
mgss
32141 KsN
1G31K
RsL1AAAP ⋅⋅⋅⋅+
⋅−=
Determinanta grafa toka signala je:
sRC1K
NsN1G
31K
RsL1AAK
sN1G
31K
RsL1AAA
G3
K31K
RsL1A1)PPPP(1
P
21mg
ss32P
1mg
ss321
mme
gss
341312111
+⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅+
+⋅−⋅⋅+
⋅+=+++−=∆
Od ulaza )s(1Θ do izlaza )s(2Θ postoji samo jedna direktna putanja:
1mg
ss321P1 sN
1G31K
RsL1AAAKP ⋅⋅⋅⋅+
⋅=
koja dodiruje sve zatvorene putanje i 11 =∆
Od ulaza )s(1Θ do izlaza )s(3Θ postoji samo jedna direktna putanja:
21mg
ss321P2 NsN
1G31K
RsL1AAAKP ⋅⋅⋅⋅+
⋅=
koja dodiruje sve zatvorene putanje i 12 =∆
Matrica kolona funkcije prenosa sistema je:
)s(
N1
1sN
1G31K
RsL1AAAK
)s(
)s(1
2
1mg
ss321P
3
2Θ⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅∆
⋅⋅⋅⋅+
⋅=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ (2.26.15)
2.27) Sistem sa slike 2.27 koji se sastoji od pojačavača A1, A2, motora M koji se upravlja
strujom u rotoru, mehaničkog reduktora prenosnog odnosa N, obrtnih potenciometara sa
konstantom KP i potenciometra R faktora slabljenja a, vrši pozicioniranje tereta mase m koje
je sa jedne strane vezano za kotur poluprečnika r zanemarljive mase, a sa druge strane za
oprugu koeficijenta elestičnosti K. Formirati strukturni blok dijagram ovog sistema
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
71
smatrajući pomeraj )t(1θ i masu tereta m za ulazne promenjive, a pomeraj )t(2θ za izlaznu
promenjivu sistema. Primenom Mejsonovog pravila odrediti matricu vrstu funkcije prenosa.
Rešenje:
Napon na izlazu pojačavača A1 je:
[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.27.1)
Napon na izlazu pojačavača A2 je:
[ ])s(U)s(UA)s(U a122 −= (2.27.2)
Primenom metode konturnih struja na mrežu sa slike 2.27.1 dobija se:
)s(U)s(RI)s(I)RR( 2m1 =−+ (2.27.3)
)s(U)s(I)RRsL()s(RI mmmm −=+++− (2.27.4)
Rešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se:
)RsL(R)RRsL(RRRsLR
RRR)s( mmmm1
mm
1 +++=++−
−+=∆ (2.27.5)
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
72
)s(RU)s(U)RRsL(RRsL)s(U
R)s(U)s( m2mm
mmm
21 −++=
++−−
=∆ (2.27.6)
)s(RU)s(U)RR()s(UR
)s(URR)s( 2m1
m
212 ++−=
−−+
=∆ (2.27.7)
Napon U1,2(s) između tačaka 1 i 2 je:
)RsL(R)RRsL(R)s(UR)s(U)RsL(RR)s(U
mmmm1
m12mm212,1 ++++
++⋅=
∆∆−∆
⋅= (2.27.8)
odnosno:
)s(U)s()s(U)s()s(U m22,1 β+α= (2.27.9)
gde su:
)RsL(R)RRsL(RRsLR)s(
mmmm1
mm++++
+⋅=α
)RsL(R)RRsL(RRR)s(
mmmm1
1++++
⋅=β
)s(sK)s(U mmem Θ=
Napon Ua(s) je:
)]s(U)s()s(U)s([a)s(aU)s(U m22,1a β+α== (2.27.10)
Jednačine jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru su:
)s(U)s(sK)s(I)RsL( 2,1mmemmm =Θ++ (2.27.11)
[ ] 2m
2
22
mmmmemsN
)s(sKrN
mgr)s(KrmgrN1)s()BsJ(s)s(IK
Θ−−=Θ+−=Θ++− (2.27.12)
Iz jednačina (2.27.11) i (2.27.12) sledi da je:
mG)s(UGm
sNKrBsJ)RsL(KK
grN1)RsL(
)s(U
sNKrBsJ)RsL(KK
K)s(s
22,11
2
2
mmmmmeem
mm
2,1
2
2
mmmmmeem
emm
⋅−⋅=⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
⋅⋅+−
−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=Θ
(2.27.13)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati strukturni blok dijagram sistema:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
73
Strukturnom blok dijagramu sa slike 2.27.2 odgovara graf toka signala sa slike 2.27.3:
Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:
aAP 211 α−=
me121 KGP β=
sN1GAKAP 12P131 ⋅α−=
Determinanta grafa toka signala je:
me112P12312111 KGsN1GAKAaA1)PPP(1 β−⋅α+α+=++−=∆
Od ulaza )s(1Θ do izlaza )s(2Θ postoji samo jedna direktna putanja:
sN1GAKAP 12P11 ⋅α=
koja dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je 11 =∆
Od ulaza m do izlaza )s(2Θ postoji samo jedna direktna putanja:
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
74
sN1GP 22 ⋅−=
koja ne dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:
aA1P1 2112 α+=−=∆
Matricu vrsta funkcije prenosa je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡Θ⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆α+−
∆
⋅α=Θ
m
)s()aA1(GsN
1GAKA)s(
122
12P12 (2.27.14)
2.28) Potenciometarski sistem sa slike 2.28 sastoji se iz pojačavača A1 i A2, jednosmernog
motora upravljanog strujom u rotoru, mehaničkog reduktora prenosnog odnosa N,
tahogeneratora konstante osetljivosti KTG i obrtnih potenciometara sa konstantom KP.
Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajući pomeraj )t(1θ za ulaznu promenjivu, a
pomeraj )t(2θ za izlaznu promenjivu sistema.
Rešenje:
Napon na izlazu pojačavača A1 je:
[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.28.1)
Napon na izlazu pojačavača A2 je:
[ ])s(U)s(UA)s(U TG122 −= (2.28.2)
Napon tahogeneratora UTG proporcionalan je ugaonoj brzini )s(s mΘ :
PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
75
)s(sK)s(U mTGTG Θ= (2.28.3)
Jednačine jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru su:
)s(U)s(sK)s(I)RsL( 2mmemmm =Θ++ (2.28.4)
0)s()BsJ(s)s(IK meemem =Θ++− (2.28.5)
gde su:
2o
me NJJJ +=
2o
me NBBB +=
ekvivalentni moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja preslikani na strani motora. Iz
jednačina (2.28.4) i (2.28.5) sledi da je prenosna funkcija motora:
emmeeemm
em
2
mm KK)BsJ)(RsL(
K)s(U)s(sG
+++=
Θ= (2.28.6)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati sledeći strukturni blok dijagram
sistema:
Prenosna funkcija sistema je:
)GAK1(sNKGAA1
)GAK1(sNKGAA
)s()s(
)s(G
m2TG
Pm21
m2TG
Pm21
1
2
++
+=
ΘΘ
= (2.28.7)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
76
3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISIKE SISTEMA
AUTOMATSKOG UPRAVLJNJA
3.1. Vremenske karakteristike
Vremenske karakteristike sistema automatskog upravljanja opisuju vremensku zavisnost
odziva sistema y(t) za definisani oblik pobude x(t) pri nultim početnim uslovima. Kao ulazni
signali najčešće se koriste signali predstavljeni Heaviside – ovom jediničnom funkcijom U(t):
⎩⎨⎧
=01
)t(U 0t0t
<≥
(1)
ili Dirac – ovom delta funkcijom δ(t) (impulsna funkcija) δ(t):
⎪⎩
⎪⎨
⎧∞=δ
0)t(
0t
0t
≠
= (2)
Odziv sistema na jediničnu funkciju naziva se prelazna karakteristika sistema i obeležava
se sa h(t). Odziv sistema na impulsnu funkciju naziva se impulsna karakteristika sistema i
obeležava se sa g(t).
Prelazna i impulsna karakteristika sistema su međusobno povezane, tj.:
dt)t(dh)t(g = (3)
odnosno:
td)t(g)t(ht
0∫= (4)
3.2. Frekventne karakteristike
Frekventne karakteristike sistema automatskog upravljanja opisuju ponašanje odziva
sistema u zavisnosti od frekvencije pobude sistema. Pri proračunu frekventne karakteristike
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
77
polazi se od prenosne funkcije električnog kola, koja predstavlja odnos kompleksnih funkcija
odziva sistema Y(s) i pobude X(s), pri nultim početnim uslovima.
)s(X)s(Y)s(G = (5)
gde je s = σ + jω kompleksna promenjiva. Prenosna funkcija većine sistema automatskog
upravljanja se može prikazati u obliku:
011n
1nn
n
011m
1mm
m
asa...sasa
bsb...sbsb)s(Q)s(P)s(G
++++
+++==
−−
−− (6)
pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak stepenu polinoma u imenitelju
(m ≤ n). Smenom s = jω prenosna funkcija postaje identična prenosnoj funkciji sistema u
ustaljenom sinusoidnom režimu:
[ ])()(j QPe)j(Q)j(P
)j(Q)j(P)j(G ωϕ−ωϕ⋅
ωω
=ωω
=ω (7)
gde su:
)j(Q)j(P)j(G
ωω
=ω (8)
amplitudno frekventna karakteristika sistema i
)()()( QP ωϕ−ωϕ=ωϕ (9)
fazno frekventna karakteristika sistema.
Kod crtanja grafika frekventnih karakteristika frekvencija se prikazuje u logaritamskoj
razmeri (log ω). Jedinica nove promenjive se naziva dekada, jer jediničnom intervalu
odgovara promena frekvencije od deset puta. Kod crtanja logaritamske amplitudno
frekventna karakteristika sistema moduo funkcije G(jω) se transformiše pomoću jednačine:
)j(Glog20)dB()j(G ω=ω (10)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
78
3.1) Izračunati impulsnu karakteristiku g(t) sistema čija je prenosna funkcija:
)2s)(1s(
2s2s)s(G2
+++−
=
Rešenje:
Impulsna karakteristika g(t) sistema je:
[ ])s(GL)t(g 1−= (3.1.1)
gde je:
)2s)(1s()KK2K2()KKK3(sKs
)2s)(1s()3s(K)2s(K)2s3s(K
)2s(K
)1s(KK
)2s)(1s(2s2s)s(G
32132112
322
1
321
2
++++++++
=
=++
++++++=
=+
++
+=+++−
=
(3.1.2)
Iz jednačine (3.1.2) dobija se sledeći sistem jednačina:
1K1 =
2KKK3 321 −=++ (3.1.3)
2KK2K2 321 =++
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se da su koeficijenti: K1 = 1, K2 = 5, K3 = –10.
Tada je:
)2s(10
)1s(51)s(G
+−
++= (3.1.4)
Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsna karakteristika postaje:
[ ] ( ) )t(Ue10e5)t()s(GL)t(g 2t t1 −−− −+δ== (3.1.5)
3.2) Izračunati prelaznu karakteristiku h(t) sistema čija je prenosna funkcija:
)2s2s)(5.0s(
1)s(G 2 +++=
Rešenje:
Prelazna karakteristika h(t) sistema je:
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡== −− )s(Gs1L)s(HL)t(h 11 (3.2.1)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
79
gde je:
[ ][ ])j1(s )j1(s)5.0s(s1
)2s2s)(5.0s(s1)s(H 2 −−−+−−+
=+++
= (3.2.2)
Rastavljanjem racionalne funkcije (3.2.2) na proste razlomke dobija se:
)j1(sK
)j1(sK
5.0sK
sK
)s(H 4321−−−
++−−
++
+= (3.2.3)
Koeficijenti Ki (i = 1,2,3,4) su:
[ ][ ] 1)j1(s )j1(s)5.0s(
1K0s
1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−+−−+
==
[ ][ ] 6.1)j1(s )j1(ss
1K5.0s
2 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−+−−
=−=
[ ]ϕ
+−=
=+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−+
= j
j1s3 e
101
10j3
)j1(s)5.0s(s1K
[ ]ϕ−
−−=
=−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+
== j
j1s
*34 e
101
10j3
)j1(s)5.0s(s1KK
gde je:31arctg=ϕ . Tada je:
)j1(se
101
)j1(se
101
5.0s6,1
s1)s(H
jj
−−−⋅+
+−−⋅+
+−=
ϕ−ϕ (3.2.4)
Primenom inverzne Laplasove transformacije prelazna karakteristika postaje:
( )
( )
)t(U)tcos(e102e6.11
)t(Ueee101e6.11
)t(Ueeee101e6.11)t(h
tt5.0
)t(j)t(jtt5.0
t)j1(jt)j1(jt5.0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ϕ++−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅+−=
−−
ϕ+−ϕ+−−
−−ϕ−+−ϕ−
(3.2.5)
3.3) Izračunati prenosnu funkciju sistema G(s) čija je prelazna karakteristiku h(t):
)t(Ut2sin23t2cosee)t(h tt
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= −
Rešenje:
Prenosna funkcija sistema je:
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
80
)s(sH)s(G = (3.3.1)
gde je:
[ ] [ ] [ ] [ ]
)5s2s)(1s(3s5
4)1s(2
23
4)1s(1s
1s1
t2sineL23t2coseLeL)t(hL)s(H
222
t tt
++−
+=
++⋅+
++
+−
−=
=+−== −−
(3.3.2)
Iz jednačine (3.3.1) i (3.3.2) sledi da je prenosna funkcija sistema:
)5s2s)(1s()3s5(s)s(sH)s(G 2 ++−
+== (3.3.3)
3.4) Izračunati prenosnu funkciju sistema G(s) čija je impulsna karakteristiku g(t):
)t(Ueetee2t)t(g t2t 2t 2t
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−−−= −−−−
Rešenje:
Prenosna funkcija sistema je:
[ ]
)1s()2s(1
1s1
2s1
)2s(1
)2s(1
1s1
2s1
2s1
dsd
2s1
dsd
21
eetee2tL)t(gL)s(G
323
2
2
t2t 2t 2t 2
++=
++
+−
+−
+−=
=+
++
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−−−== −−−−
(3.4.1)
3.5) Nacrtati logaritamske frekventne karakteristike (Bode – ove dijagrame ) za sistem sa
slike 3.5.
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
81
Rešenje:
a) Prenosna funkcija kola sa slike 3.5 je:
p
z
p
z
i
os1
s1a
ss
CR2s
CR1s
RsC1R
R)s(U)s(U
)s(G
ω+
ω+
=ω+ω+
=+
+=
+== (3.5.1)
gde su:
CR1
z =ω , RC2
p =ω , 21a
p
z =ωω
= .
Smenom ω= js jednačina (3.5.1) postaje:
p
z
j1
j1a)j(G
ωω
+
ωω
+=ω (3.5.2)
Iz jednačine (3.5.2) sledi da je:
2
p
2
z
1
1a)j(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ωω
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+=ω (3.5.3)
Kako se kod crtanja logaritamske amplitudno frekventne karakteristike moduo funkcije
G(jω) transformiše pomoću jednačine:
)j(Glog20)dB(G ω= (3.5.4)
jednačina (3.5.3) se piše u obliku:
)dB(G)dB(G)dB(G
1log201log20alog20)dB(G
210
2
p
2
z
++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ωω
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
++=
(3.5.5)
gde su:
( ) dB6alog20)dB(G0 −== (3.5.6)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
=z
1 log20dBG , zωω
>>1 (3.5.7)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
82
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ωω
−=p
2 log20dBG , pωω
>>1 (3.5.8)
Na slici 3.5.1 prikazana je logaritamska amplitudno frekventna karakteristika. Jednačina
(3.5.6) predstavljena je pravom linijom povučenom na nivou 20log(a). Jednačina (3.5.7)
predstavljena je pravom linijom povučenom sa nagibom 20 dB/dec u odnosu na liniju
20log(a). Jednačina (3.5.8) predstavljena je pravom linijom povučenom sa nagibom
– 20 dB/dec u odnosu na liniju 20log(a).
Logaritamska fazna frekventna karakteristika koja je:
pzarctgarctg)(
ωω
−ωω
=ωϕ (3.5.9)
odnosno:
⎪⎩
⎪⎨⎧π=ωϕ
2
0)(1
z
z
10
1,0
ω≥ω
ω≤ω
⎪⎩
⎪⎨⎧
π−
=ωϕ
2
0)(2
p
p
10
1,0
ω≥ω
ω≤ω
(3.5.10)
Na slici 3.5.2 prikazana je logaritamska fazna karakteristika.
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
83
3.6) Nacrtati logaritamsku amplitudno frekventnu karakteristiku za kolo sa slike 3.5 koje je
realizovano pomoću idealnog operacionog pojačavača. Poznato je: R=110kΩ, C=1µF.
Rešenje:
Kako je u kolu primenjena negativna povratna sprega, a operacioni pojačavač je idealan
važi:
)s(U)s(U)s(U 2== −+ (3.6.1)
Sa slike 3.6 se vidi da je:
[ ] [ ] [ ]R
)s(U)s(U)s(U)s(UsC)s(U)s(UsC2 2a
2aa1−
+−=− (3.6.2)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
84
[ ]R
)s(U)s(U)s(UsC 22a =− (3.6.3)
Iz prethodnih jednačina sledi da je prenosna funkcija kola sa slike 3.6:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==
RC1s
RC21s
s)s(U)s(U
)s(G2
1
2 (3.6.4)
Smenom s = jω jednačina (3.6.4) postaje:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+
ω=ω
21
2
j1j1K)j(G (3.6.5)
gde su: 024.0C2RK 22 −=−= , 4.542RC
1ω1 == , 9.08RC1ω2 == . Tada je:
2
2
2
1 ωω120log
ωω120log40logωK20logdBG ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+= (3.6.6)
Na slici 3.6.1 prikazana je logaritamska amplitudno frekventna karakteristika kola sa
slike 3.6.
3.7) Nacrtati logaritamsku amplitudno frekventnu karakteristiku sistema čija je prenosna
funkcija:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⋅=
3P2P1P
z
2
s1s1s1
s1sK)s(G
gde su: 40K −= , 21P =ω , 05.02P =ω , 1133P =ω , 23z =ω .
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
85
Rešenje:
Smenom ω= js prenosna funkcija sistema postaje:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⋅ω−=ω
3P2P1P
z2
j1j1j1
j1K)j(G (3.7.1)
Tada je:
2
3P
2
2P
2
1P
2
z2
111
1K)j(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+
⋅ω⋅=ω (3.7.2)
2
3P
2
z
2
2P
2
1P
1log201log20
1log201log20log40Klog20dBG
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+−ω+=
(3.7.3)
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
86
3.8) Nacrtati amplitudno faznu karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija:
o
o ssG)s(Gω+
=
Rešenje:
2o
o
oo
o
oo
oojs
1
j1G
j1
j1
j1
1Gj
jG)s(G
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
ωω
+=
ωω
+
ωω
+⋅
ωω
−=
ω+ωω
=ω= (3.8.1)
odnosno:
)(jG)(G
1
Gj
1
G)j(G 212o
oo
2o
o ω+ω=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
ωω
⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
=ω (3.8.2)
gde su:
2o
o1
1
G)(G
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
=ω (3.8.3)
)(G
1
G)(G 1
o2
o
oo
2 ωωω
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
ωω
=ω (3.8.4)
Jednačine (3.8.3) i (3.8.4) predstavljaju parametarske jednačine tražene karakteristike. Iz
jednačine (3.8.3) sledi da je:
1)(G
G
1
oo −ω
=ωω (3.8.5)
Iz jednačina (3.8.4) i (3.8.5) sledi da je:
0)(G1)(G
G)(G 21
1
o22 =ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ω=ω (3.8.6)
odnosno: 2
o22
2o
1 2G)(G
2G)(G ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=ω+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −ω (3.8.7)
Jednačina (3.8.7) je jednačina kruga sa centrom u tački (G0/2 , 0). U polarnim
koordinatima jednačina (3.8.1) postaje:
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
87
[ ]ϕ+ϕω=ω=ω ωϕ sinjcos)j(Ge)j(G)j(G )(j (3.8.8)
gde su:
2o
o
oo
1
Gj
jG)j(G
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
+
=ω+ω
ω=ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−π
=ωϕo
arctg2
)(
Amplitudno fazna karakteristika se crta u ravni G1(ω) i jG2(ω) za vrednosti kružne
učestanosti 0 ≤ ω < ∞ . Položaj bilo koje tačke u toj ravni određen je vrhom fazora G(jω) čija
je dužina jednaka )j(G ω , a koji sa pozitivnim smerom G1(ω) ose zaklapa ugao ϕ(ω). Iz
jednačina (3.8.2) i (3.8.8) sledi da su: ϕω=ω cos)j(G)(G1 i ϕω=ω sin)j(G)(G2 .
Karakteristične tačke funkcije G(jω) su date u tablici.
ω 0 oω ∞
)(G1 ω 0 2
Go oG
)(G2 ω 0 2
Go 0
)j(G ω 0 2
Go oG
)(ωϕ 2π
4π
0
Amplitudno fazna karakteristika sistema je prikazana na slici 3.8.1.
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
88
3.9) Nacrtati amplitudno faznu karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija:
1ss
1)s(G 2 ++=
Rešenje:
)(jG)(G)1(
j)1(
j)1(j)1(
j)1(1
1j1)s(G
21222
2
2
2
22js
ω+ω=ω+ω−ω−ω−
=
=ω−ω−ω−ω−
⋅ω+ω−
=+ω+ω−
=ω=
(3.9.1)
gde su:
222
2
1)1(
1)(Gω+ω−
ω−=ω (3.9.2)
2222 )1()(G
ω+ω−ω
−=ω (3.9.3)
U polarnim koordinatima jednačina (3.9.1) postaje: )(je)j(G)j(G ωϕω=ω (3.9.4)
gde su:
( ) 2221
1)j(Gω+ω+
=ω
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ω−
ω−=ωϕ 21
arctg)(
Neke od tačaka funkcije G(jω) su date u tablici.
ω 0 0.5 1 2 ∞
)(G1 ω 1 0.923 0 –0.231 0
)(G2 ω 0 –0.615 –1 –0.154 0
)j(G ω 1 1.109 1 0.227 0
)(ωϕ 0 33.7o –90o –146.3o –180o
Amplitudno fazna karakteristika sistema je prikazana na slici 3.9.1.
VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE
89
METOD PROSTORA STANJA
90
4. METOD PROSTORA STANJA
Reprezentacija sistema u prostoru stanja sastoji se u izražavanju trenutnih relacija između
signala ulaza u(t) i signala izlaza y(t) u obliku:
)t(BU)t(AXdt
)t(dX+= (1)
)t(DU)t(CX)t(Y += (2)
gde su:
X(t) – n x 1 dimenzioni vektor stanja, a njegove n koordinate su promenjive stanja;
U(t) – m x 1 dimenzioni ulazni vektor, a njegove m koordinate su ulazne promenjive;
A – n x n matrica prelaza;
B – n x m matrica ulaza;
Y(t) – p x 1 dimenzioni vektor, njegove p koordinata su izlazne promenjive;
C – p x n matrica izlaza;
D – p x m izlazno – ulazna matrica;
Reprezentacija sistema u prostoru stanja je pogodna kod složenijih sistema automatskog
upravljanja, kada se traže rešenja više promenjivih, naročito ako su one uslovljene
unutrašnjim ponašanjem sistema. Ovaj prilaz obično koristi matrični račun. Korišćenjem
promenjivih stanja sistem se opisuje sistemom linearnih diferencijalnih jednačina prvog reda,
odnosno problem se rešava rešavanjem sistema linearnih diferencijalnih jednačina, umesto
jedne diferencijalne jednačine višeg reda. Takođe, metoda prostora stanja uspešno se
primenjuje i kod sistema sa više ulaznih i izlaznih promenjivih sistema, kao i kod većine
nelinearnih, vremenski promenjivih, stohastičkih i sistema sa diskretnom promenjivom.
METOD PROSTORA STANJA
91
4.1) Za električni sistem sa slike 4.1 napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko
ponašanje sistema u prostoru stanja. Za ulazne promenjive uzeti napone generatora v1(t) i
v2(t), a za izlazne promenjive napone na zavojnicama L1 i L2.
Rešenje:
Za sistem sa slike 4.1 se primenom metode konturnih struja mogu napisati sledeće
jednačine:
)t(v)t(vdt
)t(diL)t(iR 11
111 =++ (4.1.1)
)t(v)t(vdt
)t(diL)t(iR 22
222 −=−+ (4.1.2)
)t(i)t(idt
)t(dvC 21 −= (4.1.3)
Prethodni sistem jednačina može da se napiše u sledećem obliku:
)t(v0)t(vL1)t(v
L1)t(i0)t(i
LR
dt)t(di
2111
211
11 ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.1.4)
)t(vL1v0)t(v
L1)t(i
LR)t(i0
dt)t(di
22
12
22
21
2 ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= (4.1.5)
)t(v0)t(v0)t(v0)t(iC1)t(i
C1
dt)t(dv
2121 ⋅+⋅+⋅+⋅−⋅= (4.1.6)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)t(v)t(v
00L10
0L1
)t(v)t(i)t(i
0C1
C1
L1
LR
0
L10
LR
dt)t(dv
dt)t(di
dt)t(di
2
1
2
1
2
1
22
211
1
2
1
(4.1.7)
odnosno:
METOD PROSTORA STANJA
92
)t(UB)t(XAdt
)t(dX⋅+⋅= (4.1.8)
gde su:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)t(v)t(v
)t(U2
1 – ulazni vektor i ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
)t(v)t(i)t(i
)t(X 2
1
– vektor stanja
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
0C1
C1
L1
LR0
L10
LR
A22
211
1
i
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
00L10
0L1
B2
1
Za napone na zavojnicama, kao izlaznim promenjivim, mogu se napisati sledeće
jednačine:
)t(v0)t(v)t(v)t(i0)t(iRdt
)t(diL)t(v 212111
11L ⋅++−⋅+⋅−== (4.1.9)
)t(v)t(v0)t(v)t(iR)t(i0dt
)t(diL)t(v 212212
22L −⋅++⋅−⋅== (4.1.10)
U matričnom obliku predhodni sistem jednačina izgleda:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)t(v)t(v
1001
)t(v)t(i)t(i
1R010R
)t(v)t(v
2
12
1
2
1
2L
1L (4.1.11)
odnosno:
)t(UD)t(XC)t(Y ⋅+⋅= (4.1.12)
gde su:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)t(v)t(v
)t(Y2L
1L – izlazni vektor,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=
1R010R
C2
1 i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=10
01D
4.2) Za hidraulični sistem sa slike 4.2 napisati diferencijalne jednačine koje opisuju
dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja. Za ulazne promenjive uzeti protoke q1i(t) i
q2i(t), a za promenjive stanja h1(t) i h2(t).
METOD PROSTORA STANJA
93
Rešenje:
Na osnovu definicije hidraulične otpornosti mogu se napisati sledeće jednačine:
)t(q)t(h)t(hR
o1
211
−= (4.2.1)
)t(q)t(hR
o2
22 = (4.2.2)
Na osnovu definicije hidrauličnog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledeće
jednačine:
)t(q)t(qdt
)t(dhC o1i11
1 −= (4.2.3)
)t(qq)t(qdt
)t(dhC o2i2o12
2 −+= (4.2.4)
Iz jednačina (4.2.1) i (4.2.3) sledi da je:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
1
21i1
1
1R
)t(h)t(h)t(q
C1
dt)t(dh (4.2.5)
Iz jednačina (4.2.1) i (4.2.2) i (4.2.4) sledi da je:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−=
2
2i2
1
21
2
2R
)t(h)t(q
R)t(h)t(h
C1
dt)t(dh (4.2.6)
Za promenjive stanja:
)t(h)t(x 11 = i )t(h)t(x 22 =
i ulazne promenjive
)t(q)t(u i11 = )t(q)t(u i22 =
prethodne jednačine postaju:
(t)uC1(t)x
CR1(t)x
CR1
dt(t)dx
11
211
111
1 ⋅+⋅+⋅−= (4.2.7)
METOD PROSTORA STANJA
94
)t(uC1)t(x
CR1
CR1)t(x
CR1
dt)t(dx
22
22211
121
2 ⋅+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅= (4.2.8)
Odnosno, u matričnom obliku:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
(t)u
(t)u
C10
0C1
(t)x
(t)x
CR1
CR1
CR1
CR1
CR1
dt(t)dx
dt(t)dx
2
1
2
1
2
1
221121
1111
2
1
(4.2.9)
4.3) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:
5ss3s2s
3)s(U)s(Y)s(G 234 ++++==
Koristeći direktan postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema
u prostoru stanja. Formirati simulacioni blok dijagram.
Rešenje:
Iz prenosne funkcije sistema G(s) proizilazi da je diferencijalna jednačina sistema:
)t(u3)t(y5dt
)t(dydt
)t(yd3dt
)t(yd2dt
)t(yd2
2
3
3
4
4=++++ (4.3.1)
Ako se za promenjive stanja usvoje:
)t(y)t(x1 = (4.3.2)
dt)t(dx
dt)t(dy)t(x 1
2 == (4.3.3)
dt)t(dx
dt)t(yd)t(x 2
2
2
3 == (4.3.4)
dt)t(dx
dt)t(yd)t(x 3
3
3
4 == (4.3.5)
diferencijalna jednačina (4.3.1) prelazi u sledeći sistem diferencijalnih jednačina:
)t(xdt
)t(dx2
1 = (4.3.6)
)t(xdt
)t(dx3
2 = (4.3.7)
METOD PROSTORA STANJA
95
)t(xdt
)t(dx4
3 = (4.3.8)
)t(u3)t(x2)t(x3)t(x)t(x5dt
)t(dx4321
4 +−−−−= (4.3.9)
Odnosno, u matričnom obliku:
)t(u
3000
)t(x)t(x)t(x)t(x
2315100001000010
)t(x)t(x)t(x)t(x
dtd
4
3
2
1
4
3
2
1
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
(4.3.10)
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅=
)t(x)t(x)t(x)t(x
0001)t(y
4
3
2
1
(4.3.11)
Simulacija linearnih sistema sa koncentrisanim parametrima može se izvršiti standardnih
elementa čiji su simboli i prenosne funkcije prikazani na slici 4.3.1.
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati simulacioni blok dijagram sistema:
METOD PROSTORA STANJA
96
4.4) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:
32s5s3s
52sU(s)Y(s)G(s) 23 +++
+==
Koristeći direktan postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema
u prostoru stanja. Formirati simulacioni blok dijagram.
Rešenje:
Prenosna funkcija sistema se može napisati u obliku:
)s(G)s(G)s(Z)s(Y
)s(U)s(Z
)s(U)s(Y)s(G 21=⋅== (4.4.1)
gde su:
32s5s3s1
U(s)Z(s)(s)G 231
+++== (4.4.2)
5s2)s(Z)s(Y)s(G 2 +== (4.4.3)
Iz jednačina (4.4.2) i (4.4.3) dobijaju se sledeće diferencijalne jednačine:
u(t)3z(t)dt
dz(t)2dtz(t)d5
dtz(t)d3 2
2
3
3=+++ (4.4.4)
)t(y)t(z5dt
)t(dz2 =+ (4.4.5)
Ako se za promenjive stanja usvoje:
)t(z)t(x1 = (4.4.6)
METOD PROSTORA STANJA
97
dt)t(dx
dt)t(dz)t(x 1
2 == (4.4.7)
dt)t(dx
dt)t(zd)t(x 2
2
2
3 == (4.4.8)
diferencijalna jednačina (4.4.4) prelazi u sledeći sistem diferencijalnih jednačina:
)t(xdt
)t(dx2
1 = (4.4.9)
)t(xdt
)t(dx3
2 = (4.4.10)
)t(u31)t(x
35)t(x
32)t(x
dt)t(dx
3213 +−−−= (4.4.11)
Odnosno, u matričnom obliku:
)t(u
3100
)t(x)t(x)t(x
35
321
100010
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (4.4.12)
Jednačina (4.4.5) postaje :
)t(x2)t(x5)t(y 21 += (4.4.13)
Odnosno, u matričnom obliku:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅=
)t(x)t(x)t(x
025)t(y
3
2
1
(4.4.14)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati simulacioni blok dijagram sistema:
METOD PROSTORA STANJA
98
4.5) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:
)4s)(3s)(1s(
5)s(U)s(Y)s(G
+++==
Koristeći serijski postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema u
prostoru stanja.
Rešenje:
Prenosnoj funkciji sistema G(s) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:
Sa slike 4.5.1 se vidi da je:
1s5
)s(U)s(X3
+= (4.5.1)
odnosno:
)s(U5)s(X)s(sX 33 =+ (4.5.2)
3s1
)s(X)s(X
3
2+
= (4.5.3)
odnosno:
)s(X)s(X3)s(sX 322 =+ (4.5.4)
4s1
)s(X)s(X
2
1+
= (4.5.5)
odnosno:
)s(X)s(X4)s(sX 211 =+ (4.5.6)
Primenom inverzne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)t(x)t(x4dt
)t(dx21
1 +−= (4.5.7)
)t(x)t(x3dt
)t(dx32
2 +−= (4.5.8)
)t(u5)t(xdt
)t(dx3
3 +−= (4.5.9)
METOD PROSTORA STANJA
99
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:
)t(u500
)t(x)t(x)t(x
100130014
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (4.5.10)
4.6) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:
)5s)(4s)(2s(
)3s)(1s(2)s(U)s(Y)s(G
+++++
==
Koristeći serijski postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema u
prostoru stanja.
Rešenje:
Prenosnoj funkciji sistema G(s) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:
Sa slike 4.6.1 se vidi da je:
2s2
)s(U)s(X3
+= (4.6.1)
odnosno:
)s(U2)s(X2)s(sX 33 =+ (4.6.2)
2U(s)(s)2X(s)sX 33 +−= (4.6.3)
4s1s
)s(X)s(X
3
2++
= (4.6.4)
odnosno:
)s(U2)s(X)s(X)s(U2)s(X2)s(X)s(sX)s(X4)s(sX 3333322 +−=++−=+=+ (4.6.5)
)s(U2)s(X)s(X4)s(sX 322 +−−= (4.6.6)
5s3s
)s(X)s(X
2
1++
= (4.6.7)
odnosno:
)s(X3)s(U2)s(X)s(X4)s(X3)s(sX)s(X5)s(sX 2322211 ++−−=+=+ (4.6.8)
METOD PROSTORA STANJA
100
)s(U2)s(X)s(X)s(X5)s(sX 3211 +−−−= (4.6.9)
Primenom inverzne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)t(u2)t(x)t(x)t(x5dt
)t(dx321
1 +−−−= (4.6.10)
)t(u2)t(x)t(x4dt
)t(dx32
2 +−−= (4.6.11)
)t(u2)t(x2dt
)t(dx3
3 +−= (4.6.12)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:
)t(u222
)t(x)t(x)t(x
200140115
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (4.6.13)
4.7) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:
)4s)(2s)(1s(
1s)s(U)s(Y)s(G
2
++++
==
Koristeći paralelni postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema
u prostoru stanja.
Rešenje:
Prenosna funkcija sistema se može napisati u obliku:
4sK
2sK
1sK
)4s)(2s)(1s(1s
)s(U)s(Y)s(G 321
2
++
++
+=
++++
== (4.7.1)
gde su koeficijenti Ki (i = 1,2,3):
[ ]32)s(G)1s(K 1s1 =+= −=
[ ]25)s(G)2s(K 2s2 −=+= −=
[ ]6
17)s(G)4s(K 4s3 =+= −=
Iz jednačine (4.7.1) sledi da je:
METOD PROSTORA STANJA
101
)s(U4s
16
17)s(U2s
125)s(U
1s1
32)s(Y
+⋅+
+⋅−
+⋅= (4.7.2)
Jednačini (4.7.2) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:
Sa slike 4.7.1 se vidi da je:
)s(U1s
1)s(X1 += (4.7.3)
odnosno:
)s(U)s(X)s(sX 11 =+ (4.7.4)
)s(U2s
1)s(X2 += (4.7.5)
odnosno:
)s(U)s(X2)s(sX 22 =+ (4.7.6)
)s(U4s
1)s(X3 += (4.7.7)
odnosno:
)s(U)s(X4)s(sX 33 =+ (4.7.8)
Iz jednačne (4.7.2) sledi da je:
)s(X6
17)s(X25)s(X
32)s(Y 321 +−= (4.7.9)
Primenom inverzne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)t(u)t(xdt
)t(dx1
1 +−= (4.7.10)
)t(u)t(x2dt
)t(dx2
2 +−= (4.7.11)
METOD PROSTORA STANJA
102
)t(u)t(x4dt
)t(dx3
3 +−= (4.7.12)
)t(x6
17)t(x25)t(x
32)t(y 311 +−= (4.7.13)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:
)t(u111
)t(x)t(x)t(x
400020001
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (4.7.14)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
)t(x)t(x)t(x
617
25
32)t(y
3
2
1
(4.7.15)
4.8) Odrediti prenosnu funkciju sistema koji je opisan sistemom diferencijalnih jednačina u
prostoru stanja:
)t(BU)t(AXdt
)t(dX+=
)t(CX)t(Y =
gde su:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
300320010
A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
200
B [ ]001C =
Rešenje:
Primenom direktne Laplasove transformacije, uz uslov da su svi početni uslovi nula,
sistem jednačina koji opisuje dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja postaje:
)s(BU)s(AX)s(sX += (4.8.1)
)s(CX)s(Y = (4.8.2)
Iz jednačine (4.8.1) sledi da je:
[ ] )s(BU)s(XAsI =− (4.8.3)
odnosno:
[ ] )s(BU AsI)s(X 1 −−= (4.8.4)
gde je I – jedinična matrica. Inverzna matrica:
METOD PROSTORA STANJA
103
[ ] [ ][ ]AsIdet
AsIadj AsI 1 −−
=−=Φ − (4.8.5)
naziva se rezolventna matrica. Iz jednačina (4.8.2) i (4.8.4) sledi da je:
[ ] )s(BU AsIC)s(Y 1 −−= (4.8.6)
Iz jednačine (4.8.6) se dobija prenosna funkcija sistema:
[ ] B AsIC)s(U)s(Y 1 −−= (4.8.7)
Iz prethodnih jednačina sledi da je:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=−
3s0032s0
01sAsI (4.8.8)
[ ] )3s)(2s(sAsIdet −−=− (4.8.9)
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
=−)2s(s00
s3)3s(s033s)3s)(2s(
AsIadj (4.8.10)
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−−−
=−= −
3s100
3)2)(s(s3
2s10
3)2)(ss(s3
2)s(s1
s1
AsIΦ(s) 1 (4.8.11)
Iz jednačina od (4.8.7) do (4.8.11) sledi da je prenosna funkcija sistema:
[ ]3)2)(ss(s
6
200
3s100
3)2)(s(s3
2s10
3)2)(ss(s3
2)s(s1
s1
001(s)BCU(s)Y(s)G(s)
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−−−
⋅=Φ==
4.9) Dinamičko ponašanje sistema sa dva ulaza i dva izlaza opisano je sledećim
diferencijalnim jednačinama:
METOD PROSTORA STANJA
104
)t(u)t(y3)t(y2dt
)t(dy4
dt)t(yd
1211
21
2=−++
dt)t(du3
dt)t(du2)t(u)t(y)t(y4
dt)t(dy 21
2122 ++=+−
Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja.
Formirati simulacioni blok dijagram.
Rešenje:
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje
sistema postaju:
)s(U)s(Y3)s(Y2)s(sY4)s(Ys 121112 =−++ (4.9.1)
)s(sU3)s(sU2)s(U)s(Y)s(Y4)s(sY 212122 ++=+− (4.9.2)
Iz jednačine (4.9.2) sledi da je:
[ ])s(Y)s(Y4)s(Us1)s(U3)s(U2)s(Y 122212 −+++= (4.9.3)
Ako se za promenjive stanja usvoje:
)s(Y)s(X 11 = (4.9.4)
)s(sX)s(X 12 = (4.9.5)
[ ])s(Y)s(Y4)s(Us1)s(X 1223 −+= (4.9.6)
jednačina (4.9.3) postaje:
)s(X)s(U3)s(U2)s(Y 3212 ++= (4.9.7)
Iz jednačina (4.9.1), (4.9.4), (4.9.5) i (4.9.7) sledi da je:
)s(Y3)s(X2)s(X4)s(U)s(sX 21212 +−−= (4.9.8)
Odnosno, iz jednačina (4.9.7) i (4.9.8) sledi:
[ ])s(X)s(U3)s(U23)s(X2)s(X4)s(U)s(sX 3211212 ++⋅+−−= (4.9.9)
Iz jednačina (4.9.4), (4.9.6) i (4.9.7) sledi da je:
[ ] )s(X)s(X)s(U3)s(U24)s(U)s(sX 132123 −++⋅+= (4.9.10)
Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.9.5), (4.9.9) i (4.9.10) postaju:
)t(u0)t(u0)t(x0)t(x1)t(x0dt
)t(dx21321
1 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.11)
METOD PROSTORA STANJA
105
)t(u9)t(u7)t(x3)t(x4)t(x2dt
)t(dx21321
2 ⋅+⋅+⋅+−⋅−= (4.9.12)
)t(u13)t(u8)t(x4)t(x0)t(x1dt
)t(dx21321
3 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−= (4.9.13)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina u prostoru stanja postaje:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)t(u)t(u
1389700
)t(x)t(x)t(x
401342010
)t(x)t(x)t(x
dtd
2
1
3
2
1
3
2
1
(4.9.14)
Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.9.4) i (4.9.7) postaju:
)t(u0)t(u0)t(x0)t(x0)t(x1)t(y 213211 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.15)
)t(u3)t(u2)t(x1)t(x0)t(x0)t(y 213212 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.16)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina u prostoru stanja postaje:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)t(u)t(u
3200
)t(x)t(x)t(x
100001
)t(y)t(y
2
1
3
2
1
2
1 (4.9.17)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati simulacioni blok dijagram sistema:
METOD PROSTORA STANJA
106
4.10) Dinamičko ponašanje sistema sa dva ulaza i tri izlaza opisano je sledećim
diferencijalnim jednačinama:
0yydt
dy21
1 =−+
dtduu2y4
dtdy3
dtyd
dtdy 2
132
22
21 −−=−−−
133 uy2
dtdy
=+
Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja.
Formirati simulacioni blok dijagram.
Rešenje:
Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje
sistema postaju:
)s(Y)s(Y)s(sY 121 −= (4.10.1)
)s(sU)s(U2)s(Y4)s(sY3)s(sY)s(Ys 2132122 ++−−= (4.10.2)
)s(Y2)s(U)s(sY 313 −= (4.10.3)
Iz jednačine (4.10.2) sledi da je:
s)s(Y2)s(U
2)s(U)s(Y3)s(Y)s(sY 312212
−++−= (4.10.4)
Iz jednačine (4.10.3) sledi da je:
s)s(Y2)s(U)s(Y 313
−= (4.10.5)
Iz jednačina (4.10.4) i (4.10.5) sledi da je:
)s(Y2)s(U)s(Y3)s(Y)s(sY 32212 ++−= (4.10.6)
Ako se za promenjive stanja usvoje:
)s(Y)s(X 11 = (4.10.7)
)s(Y)s(X 22 = (4.10.8)
)s(Y)s(X 33 = (4.10.9)
primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.10.1), (4.10.3) i (4.10.6) postaju:
)t(u0)t(u0)t(x0)t(x1)t(x1dt
)t(dx21321
1 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−= (4.10.10)
METOD PROSTORA STANJA
107
)t(u1)t(u0)t(x2)t(x3)t(x1dt
)t(dx21321
2 ⋅+⋅+⋅+−⋅= (4.10.11)
)t(u0)t(u1)t(x2)t(x0)t(x0dt
)t(dx21321
3 ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅= (4.10.12)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina u prostoru stanja postaje:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)t(u)t(u
011000
)t(x)t(x)t(x
200231011
)t(x)t(x)t(x
dtd
2
1
3
2
1
3
2
1
(4.10.13)
Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.10.7), (4.10.8) i (4.10.9)
postaju:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
)t(y)t(y)t(y
)t(x)t(x)t(x
3
2
1
3
2
1
(4.10.14)
Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati simulacioni blok dijagram sistema:
4.11) Na slici 4.11 prikazan je simulacioni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.
Odrediti model u prostoru stanja. Ispitati kontrolabilnost i observabilnost modela u zavisnosti
od parametra K.
METOD PROSTORA STANJA
108
Rešenje:
Sa slike 4.11 se vidi da su jednačine koje dinamičko ponašanje sistema:
)t(x)1K()t(x2dt
)t(dx21
1 ++−= (4.11.1)
)t(u)t(xdt
)t(dx2
2 +−= (4.11.2)
)t(xdt
)t(dx2
3 = (4.11.3)
)t(x)t(x)t(y 31 += (4.11.4)
U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:
)t(UB)t(XA)t(u010
)t(x)t(x)t(x
01001001K2
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅+⋅=⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (4.11.5)
[ ] )t(XC)t(x)t(x)t(x
101)t(y
3
2
1
⋅=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅= (4.11.6)
Sistem je kontroabilan (upravljiv) ako postoji takav upravljački vektor U(t) koji u
konačnom vremenu može prevesti sistem iz proizvoljnog početnog stanja u neko unapred
odabrano krajnje stanje. Kontrolabilnost stanja se verifikuje na osnovu izračunavanja matrice
kontrolabilnosti:
[ ]BA...ABBQ 1nc
−=
Ako je rang[Qc] = n, stanja su potpuno kontrolabilna (Matrica A ima rang r ako među
njenim kvadratnim submatricama postoji bar jedna nesingularna matrica reda r, dok su sve
submatrice reda višeg od r, ako postoje singularne. Kvadratna matrica je nesingularna ako i
samo ako je determinanta matrice različita od nule).
Matrica kontrolabilnosti kola sa slike 4.11 je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−+=
110111
3K31K0Qc (4.11.7)
Sistem je potpuno kontrolabilan ako je rang[Qc] = 3, odnosno ako je:
0)1K(2]Qdet[ c ≠+−= (4.11.8)
Iz jednačine (4.11.8) sledi da je sistem potpuno kontrolabilan za svako K koje je različito
od − 1.
METOD PROSTORA STANJA
109
Sistem je observabilan (osmotriv) ako se na osnovu merenja izlaznog vektora Y(t) u
konačnom vremenu mogu dobiti podaci za rekonstrukciju vektora stanja X(t). Stanje X(t) je
kompletno opservabilno ako je rang matrice observabilnosti:
[ ]T1nTTTTo C)A(...CACQ −=
jednak rang[Qo] = n.
Matrica observabilnosti kola sa slike 4.11 je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−+
−=
0014K32K0
421Qc (4.11.9)
Sistem je potpuno observabilan ako je rang[Qc]=3, odnosno ako je:
0K2]Qdet[ o ≠= (4.11.10)
Iz jednačine (4.11.10) sledi da je sistem potpuno observabilan za svako K koje je različito
od nule.
4.12) Ispitati kontrolabilnost i observabilnost sistema koji je opisan sistemom diferencijalnih
jednačina u prostoru stanja:
)t(BU)t(AXdt
)t(dX+=
)t(CX)t(Y =
gde su:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
122232
627A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=0111
11B ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=
111211
C
Rešenje:
Sistem je potpunu kontrolabilan ako je rang matrice kontrolabilnosti sistema Qc jednak
redu sistema, odnosno 3. Matrica Qc sistema je:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−==
0903012595311
2595311BAABBQ 2
c (4.12.1)
Kako je rang[Qc] = 2 < 3 sistem nije potpuno kontrolabilan.
Sistem je potpuno observabilan ako je rang matrice opservabilnosti sistema Qo jednak
redu sistema, odnosno 3. Matrica Qo sistema je:
METOD PROSTORA STANJA
110
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
==923212
913111913111
CAACACQ TTTTTTo (4.12.2)
Kako je rang[Qo] = 2 < 3 sistem nije potpuno kontrolabilan.
4.13) Dinamičko ponašanje sistema automatskog upravljana je opisan sistemom
diferencijalnih jednačina u prostoru stanja:
)t(BU)t(AXdt
)t(dX+=
)t(CX)t(Y =
gde su:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
300130001
A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
101
B ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
41
21
41C
odrediti prenosnu funkciju i ispitati kontrolabilnost i observabilnost sistema.
Rešenje:
Da bi se odredila prenosna funkcija sistema potrebno je izračunati rezolventnu matricu:
[ ] [ ][ ]AsIdet
AsIadj AsI 1 −−
=−=Φ − (4.13.1)
gde su:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+
+=−
3s0013s0
001sAsI (4.13.2)
[ ] 2)3s)(1s(AsIdet ++=− (4.13.3)
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++
+=−
)3s)(1s(001s)3s)(1s(0
00)3s(AsIadj
2
(4.13.4)
Rezolventna matrica je:
METOD PROSTORA STANJA
111
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
+
=−= −
3s100
3)(s1
3s10
001s
1
AsIΦ(s) 21 (4.13.4)
Prenosna funkcija sistema je:
22 3)1)(s(s2s
101
3s100
3)(s1
3s10
001s
1
41
21
41(s)BC
U(s)Y(s)G(s)
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
+
⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=Φ==
Matrice kontrolabilnosti sistema Qc je:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−==
931610
111BAABBQ 2
c (4.13.4)
Sistem je potpunu kontrolabilan ako je rang matrice kontrolabilnosti sistema Qc jednak
redu sistema, odnosno 3. Kako je det[Qc] =−4, rang[Qc] =3 i sistem je potpuno kontrolabilan.
Matrica observabilnosti sistema Qo je:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
==
421
45
41
29
23
21
41
41
41
CAACACQ TTTTTTo (4.13.5)
Sistem je potpuno observabilan ako je rang matrice observabilnosti sistema Qo jednak
redu sistema, odnosno 3. Kako je det[Qo] =0.25, rang[Qc] =3 i sistem je potpuno
observabilan.
4.14) Odrediti fundamentalnu matricu za sistem automatskog upravljanja čiji je matrični
model u prostoru stanja:
METOD PROSTORA STANJA
112
)t(XA)t(x)t(x)t(x
100120013
)t(x)t(x)t(x
dtd
3
2
1
3
2
1
⋅=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
pomoću: a) rezolventne matrice; b) razvijanjem u red.
Rešenje:
a) Fundamentalna matrica sistema je:
[ ])s(L)t( 1 Φ=Φ − (4.14.1)
gde je Φ(s) rezolventna matrica sistema:
[ ] [ ][ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++−
−−+−−−
=−−
=−=Φ −
1s100
)2s)(1s(1
2s10
)3s)(2s)(1s(1
)3s)(2s(1
3s1
AsIdetAsIadj AsI)s( 1 (4.14.2)
Da bi se odredila fundamentalna matrica sistema neophodno je odrediti inverznu
Laplasovu transformaciju od Φ(s). Inverzna Laplasova transformacija za svaki član
rezolventne matrice je:
t3111
111 e
3s1L)]s([L)t( =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=φ=φ −−
t2t31112
112 ee
2s1
3s1L
)3s)(2s(1L)]s([L)t( −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=φ=φ −−−
t3t2t1
113
113
e41e
31e
121
3s1
41
2s1
31
1s1
121L
)3s)(2s)(1s(1L)]s([L)t(
+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−⋅+
−⋅−
+⋅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+
=φ=φ
−−
−−
t2122
122 e
2s1L)]s([L)t( =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=φ=φ −−
t2t1123
123 e
31e
31
2s1
31
1s1
31L
)2s)(1s(1L)]s([L)t( −−−−− +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+⋅+
+⋅−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=φ=φ
t133
133 e
1s1L)]s([L)t( −−− =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
=φ=φ
Sada je fundamentalna matrica sistema data:
METOD PROSTORA STANJA
113
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−
=Φ
−
−−
−
t
t2tt2
t3t2tt2t3t3
e00
e31e
31e0
e41e
31e
121eee
)t( (4.14.3)
b) Fundamentalna matrica se dobija razvijanjem eksponencijalne funkcije u red:
kk
0k
nn22At tA!k
1...tA!n
1...tA!2
1AtIe)t( ∑∞
=
=+++++==Φ (4.14.4)
Fundamentalna matrica je:
...
2t002t
2t40
2t
2t5
2t9
t00tt20ttt3
100010001
e)t( At +
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==Φ (4.14.5)
4.15) Dinamičko ponašanje sistema automatskog upravljana je opisan sistemom
diferencijalnih jednačina u prostoru stanja:
)t(BU)t(AXdt
)t(dX+=
)t(CX)t(Y =
gde su:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
200010000
A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
111
B ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
211
21C
odrediti kretanje promenjivih stanja X(t) i ponašanje izlaza sistema Y(t). Ulaz je u(t) = 2h(t),
dok je vektor početnih uslova: [ ]T011)0t(X −== +
Rešenje:
Kretanje promenjivih stanja određuje se pomoću relacije:
∫ τττ−Φ+=⋅Φ= +
t
0
d)(Bu)t()0t(X)t()t(X (4.15.1)
METOD PROSTORA STANJA
114
Prvi sabirak sa desne strane predstavlja kretanje promenljivih stanja usled dejstva
početnih uslova. Drugi sabirak sa desne strane predstavlja kretanje promenljivih stanja usled
dejstva spoljne pobude. Fundamentalna matrica sistema je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Φ
−
−
t2
t
e000e0001
)t( (4.15.2)
Izraz za kretanje promenljivih stanja usled dejstva početnih uslova je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==⋅Φ −
−
−+
0e1
01
1
e000e0001
)0t(X)t( t
t2
t (4.15.3)
Izraz za kretanje promenljivih stanja usled dejstva spoljne pobude određuje se primenom
teoreme o konvoluciji originala, uzimajući da je F1(s) = Φ(s), a F2(s) = BU(s).
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=Φ
)2s(s2
)1s(s2s2
s2
1
1
1
2s100
01s
10
00s1
)s(BU)s(
2
(4.15.4)
Tada je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=τττ−Φ
−
−∫)e1(2)e1(2
t2d)(Bu)t(
t2
tt
0
(4.15.5)
Konačan izraz koji opisuje kretanje promenljivih stanja sistema je:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
−
−
−
−−
)e1(2e321t2
)e1(2)e1(2
t2
0e1
)t(x)t(x)t(x
)t(Xt2
t
t2
tt
3
2
1
(4.15.6)
Izraz koji opisuje ponašanje izlaza sistema je:
t2t
t2
t ee327t
e1e321t2
211
21)t(CX)t(y −−
−
− −−+=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡== (4.15.7)
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
115
5. TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.1. Tačnost sistema automatskog upravljanja
Sistemi automatskog upravljanja su uglavnom sistemi sa negativnom povratnom spregom
(slika 1). Pod tačnošću sistema automatskog upravljnja podrazumeva se odstupanje između
neke unapred zadate vrednosti ulazne – upravljačke promenjive x(t) i ostvarene vrednosti
izlazne – upravljene promenjive y(t).
Greška odstupanja e(t) je:
)t(y)t(x)t(e −= (1)
Tačnost sistema je veća kada je ova razlika manja. Tačnost upravljanja zavisi od sistema
upravljanja i oblika ulazne promenjive. Greške sistema se definišu za unapred usvojene
ulazne promenjive i to u stacionarnom stanju. Sa slike 1 se vidi da je:
)s(W1)s(X)s(E
+= (2)
Na osnovu teoreme o konačnoj vrednosti određuje se greška u stacionarnom stanju:
)s(W1)s(sXlim)s(sElim)t(elim
0s0st +==
→→∞→ (3)
Kao standardne ulazne promenjive koriste se uglavnom:
1. jedinična funkcija s
x)s(X)t(Ux)t(x o
o =→=
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
116
2. nagibna funkcija 2o
osx
)s(Xtx)t(x =→=
3. parabolična funkcija 3o
2o
sx
)s(X2tx
)t(x =→=
1. Greška u stacionarnom stanju na jediničnu ulaznu promenjivu je:
p
o
o
0s0st K1x
)s(W1s
xslim)s(sElim)t(elim
+=
+
⋅==
→→∞→
Kp je konstanta položaja i data je jednačinom:
)s(WlimK0sp
→=
2. Greška u stacionarnom stanju na nagibnu ulaznu promenjivu je:
[ ] v
oo0s
2o
0s0st Kx
)s(W1sxlim
)s(W1sxs
lim)s(sElim)t(elim =+
=+
⋅==
→→→∞→
KV je brzinska konstanta i data je jednačinom:
)s(sWlimK0sv
→=
3. Greška u stacionarnom stanju na paraboličnu ulaznu promenjivu je:
[ ] a
o2
o0s
3o
0s0st Kx
)s(W1sxlim
)s(W1sxs
lim)s(sElim)t(elim =+
=+
⋅==
→→→∞→
Ka je konstanta ubrzanja i data je jednačinom:
)s(WslimK 2
0sa→
=
5.2. Stabilnost sistema automatskog upravljanja
Linearni, kontinualni i vremenski invarijantan sistem sa koncentrisanim parametrima je
stabilan ako i samo ako u njemu komponente prelaznog režima iščezavaju kada t → ∞.
Sistem je nestabilan ukoliko jedna ili više promenjivih stanja, kada t → ∞ imaju beskonačno
velike vrednosti ili postaju oscilatorne funkcije vremena sa beskonačno velikim amplitudama.
Sistem je granično stabilan ukoliko jedna ili više promenjivih stanja, kada t → ∞ imaju
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
117
ograničene konstantne vrednosti ili postaju oscilatorne funkcije vremena ograničenih
amplituda.
Da bi utvrdilo da li je sistem čija je prenosna funkcija data jednačinom (4):
)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(
Kasasasa
bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G
m21
n21
011m
1mm
m
011n
1nn
n
−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−
=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
==−
−
−− (4)
stabilan ili nije, dovoljno je odrediti korene karakteristične jednačine
0asasasa 011m
1mm
m =++⋅⋅⋅++ −− (5)
i utvrditi da li svi koreni imaju negativne realne delove. Ako imaju onda je sistem stabilan.
Potreban uslov da karakteristična jednačina ima sve korene sa negativnim realnim delom je
da su svi koeficijenti karakterističnog polinoma pozitivni, odnosno istog znaka. Ovaj uslov je
i dovoljan samo za sisteme prvog i drugog reda. Za sisteme višeg reda koriste se razni
kriterijumi. Sistem je nestabilan ako karakteristična jednačina ima jedan ili više korena sa
pozitivnim realnim delom ili jedan ili više višestrukih korena sa realnim delom koji je nula.
Sistem je granično stabilan ako karakteristična jednačina ima nema korene sa pozitivnim
realnim delom, a ima barem jedan prost koren sa realnim delom koji je nula.
5.2.1. Rausov kriterijum stabilnosti
Rausovog kriterijum određuju da li svi koreni karakteristične jednačine imaju negativan
realan deo. Postupak čini raspodela koeficijenata prema tablici:
sm am am-2 am-4 am-6 . . .
sm-1 am-1 am-3 am-5 am-7 . . .
sm-2 c1 c2 c3 c4 . .
sm-3 d1 d2 d3 d4 .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
s2 k1 k2
s1 l1
s0 m1
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
118
Prve dve vrste sadrže sve polinome karakteristične jednačine. Koeficijenti treće vrste c1,
c2,.., dobijaju se unakrsnim množenjem koeficijenata iz prethodne dve kolone, odnosno:
1m
3mm2m1m1 a
aaaac
−
−−− −=
1m
5mm4m1m2 a
aaaac
−
−−− −=
.................................................
Na analogan način dodijaju se koeficijenti d1, d2, ..,
1
21m3m11 c
caacd −− −
=
1
31m5m12 c
caacd −− −
=
.................................................
Sa formiranom tablicom Rausov kriterijum se definiše u obliku: Neophodan i dovoljan
uslov da realni delovi korena karakteristične jednačine sistema budu negativni je da svi
koeficijenti prve kolone Rausove tablice imaju isti znak. Ukoliko svi koeficijenti nemaju isti
znak, tada broj korena koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka u
prvoj Rausovoj koloni. Ukoliko je neki koeficijenat u prvoj Rausovoj koloni nula, tada se
zamenjuje sa nekim malim pozitivnim brojem ε i postupak formiranja Rausove kolone se
nastavlja.
5.2.2. Hurvicov kriterijum stabilnosti
Pri formulisanju Hurvicovog kriterijumu polazi se od Hurvicove determinante date
jednačinom (6). Pri formiranje determinante Dm koeficijenti sa indeksom većim od stepena
polinoma karakteristične jednačine ili manjim od nule, zamenjuju se nulama.
024
13
2mm
3m1m
4m2mm
5m3m1m
m
aaa..0000aa..0000.......0.......0....aa00....aa00....aaa0....aaa
D −
−−
−−
−−−
= (6)
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
119
Sa formiranom Hurvicovom determinantom kriterijum se definiše u obliku: Neophodan i
dovoljan uslov da realni delovi korena karakteristične jednačine sistema budu negativni je da
su svi dijagonalni minori determinante veći od nule.
5.2.3. Nikvistov kriterijum
Nikvistov kriterijum je grafo analitički metod koji omogućava da se ispita stabilnost
sistema automatskog upravljanja u zatvorenoj sprezi na osnovu amplitudno fazne
karakteristike sistema u otvorenoj povranoj sprezi. Nikvistov kriterijumu polazi od funkcije
povratnog prenosa sistema W(s) (slika 1):
)s(Q)s(P)s(W = (7)
Karakteristična jednačina sistema je:
)s(Q)s(D
)s(Q)s(P)s(Q
)s(Q)s(P1)s(W1)s(F =
+=+=+= (8)
Polinom D(s) jednak je karakterističnom polinomu zatvorenog sistema, dok je polinom
Q(s) jednak karakterističnom polinomu otvorenog sistema. Zato se potrebni i dovoljni uslovi
stabilnosti sistema svode na uslov da funkcija F(s) nema nula u desnoj poluravni s − ravni.
Uočimo konturu C (slika 2) koja se sastoji iz imaginarne ose i polukruga beskonačnog
poluprečnika, pri čemu funkcija F(s) nema nule i polove na konturi C.
Prema Košijevoj teoremi argumenata proizilazi da će, kada konturu C obiđemo jedan put u
smeru kazaljke na časovniku, priraštaj argumenta funkcije F(s) u stabilnom sistemu biti:
π⋅=∆ 2P)s(FargC (9)
gde je P broj polova funkcije povratnog prenosa W(s) koji se nalaze u desnoj poluravni s −
ravni. Kako su realni polinomi u brojiocu i imeniocu funkcije W(s) istog stepena, duž
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
120
polukruga beskonačnog poluprečnika, F(s) je jednaka nekoj realnoj konstanti i priraštaj
njenog argumenta duž ovog dela konture C jednak je nuli. Zato u stabilnom stanju važi:
∞≤ω≤∞π⋅=ω∆ - ,2P)j(Farg
∞≤ω≤π⋅=ω∆ 0 ,P)j(Farg
[ ] ∞≤ω≤π⋅=ω+∆ 0 ,P)j(W1arg
Ako se za razne vrednosti ω od 0 do ∞ izračunaju realni i imaginarni delovi od W(jω),
tada se u ravni W(jω) dobija kriva koja se naziva Nikvistovom krivom, i koja predstavlja
amplitudno faznu karakteristiku sistema u otvorenoj povratnoj sprezi. Nikvistov kriterijum se
može definisati na sledeći način: Da bi sistem sa povratnom spregom bio stabilan potrebno je
i dovoljno da amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema obuhvata kritičnu tačku sa
koordinatama (–1, j0) u pozitivnom smeru (suprotno od kretanja kazaljke na časovniku) P/2
puta, gde je P broj polova funkcije povratnog prenosa sistema koji imaju pozitivne realne
delove. Ako je sistem u otvorenoj povratnoj sprezi stabilan (P = 0), tada se Nikvistov
kriterijum može definisati na sledeći način: Zatvoren sistem je stabilan ako amplitudno fazna
karakteristika otvorenog sistema, pri promeni ω od nule do beskonačno velike vrednosti, ne
obuhvata kritičnu tačku sa koordinatama (–1, j0).
Kada je oblik karakteristike u ravni W(jω) složen, mogu se javiti teškoće u određivanju
obuhvata ove karakteristike oko kritične tačke. Tada se Nikvistov kriterijum može definisati
na sledeći način: Zatvoren sistem je stabilan ako je razlika između broja pozitivnih i
negativnih prelaza amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema na delu ravni (−∞,−1),
pri promeni ω od nule do beskonačno velike vrednosti jednak P/2, gde je P broj polova
funkcije povratnog prenosa sistema koji imaju pozitivne realne delove. Pozitivan prelaz je
ako amplitudno fazna karakteristika seče osu na delu (−∞,−1) odozgo na dole, a negativan
ako je seče odozdo na gore. Ako amplitudno fazna karakteristika počinje na delu realne ose
(−∞,−1) za ω = 0 ili se na ovom delu završava pri ω → ∞, tada se smatra da karakteristika
čini jedan poluprelaz.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
121
5.1) Za sistem sa jediničnom povratnom spregom sa slike 5.1 odrediti:
a) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) = U(t) i konstantu položaja Kp
b) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) = tU(t) i brzinsku konstantu Kv
c) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) =21 t2U(t) i konstantu ubrzanja Ka
Rešenje:
Greška sistema je:
)s(E)2s(s
1s)s(X)s(Y)s(X)s(E 2 +
+−=−= (5.1.1)
odnosno:
)s(X
)2s(s1s1
1)s(E
2 +
++
= (5.1.2)
a) Greška sistema na jediničnu pobudu je:
1ss2s)2s(s
s1
)2s(s1s1
1)s(E 23
2+++
+=⋅
+
++
= (5.1.3)
Greška sistema u stacionarnom stanju na jediničnu pobudu je:
01ss2s
)2s(slim)s(sElim)t(elim 23
2
0s0st=
+++
+==
→→∞→ (5.1.4)
Konstanta položaja Kp je:
∞=+
+=
→ )2s(s1slimK 20s
p (5.1.5)
b) Greška sistema na nagibnu pobudu je:
1ss2s2s
s1
)2s(s1s1
1)s(E 232
2+++
+=⋅
+
++
= (5.1.6)
Greška sistema u stacionarnom stanju na nagibnu pobudu je:
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
122
0)1ss2s(s
2slim)s(sElim)t(elim 230s0st=
+++
+==
→→∞→ (5.1.7)
Brzinska konstanta Kv je:
∞=+
+⋅=
→ )2s(s1sslimK 20s
v (5.1.8)
c) Greška sistema na paraboličnu pobudu je:
)1ss2s(s2s
s1
)2s(s1s1
1)s(E 233
2+++
+=⋅
+
++
= (5.1.9)
Greška sistema u stacionarnom stanju na paraboličnu pobudu je:
2)1ss2s(s
2slim)s(sElim)t(elim 230s0st=
+++
+==
→→∞→ (5.1.10)
Konstanta ubrzanja Ka je:
21
)2s(s1sslimK 2
20s
a =+
+⋅=
→ (5.1.11)
5.2) Sistem automatske regulacije nivoa tečnosti u rezervoaru sa proporcionalnim
pneumatskim regulatorom prikazan je na slici 5.2. Odrediti grešku sistema u stacionarnom
stanja pri jediničnom ulaznom signalu jedinične amplitude. Takođe, odrediti grešku
stacionarnog stanja ako se umesto proporcionalnog koristi integralni regulator. Smatrati da su
sve varijacije promenjivih u sistemu male u odnosu na njihove vrednosti u stacionarnom
stanju tako da se sistem može aproksimativno opisati linearnim matematičkim modelom.
Rešenje:
Kako se radi o proporcionalnom regulatoru važi:
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
123
)t(eKK)t(pK)t(q PVV1 ⋅== (5.2.1)
gde su:
KV – konstanta proporcionalnosti ventila
KP – konstanta proporcionalnosti dejstva
Signal greške je:
)t(h)t(x)t(e −= (5.2.2)
Iz definicije za otpornost ventila R sledi da je:
)t(q)t(hR
2= (5.2.3)
Iz definicije za kapacitet rezervoara C sledi da je:
)t(q)t(qdt
)t(dhC 21 −= (5.2.4)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)s(EKK)s(Q PV1 = (5.2.5)
)s(H)s(X)s(E −= (5.2.6)
R)s(H)s(Q2 = (5.2.7)
R)s(H)s(EKK)s(Q)s(Q)s(sCH PV21 −=−= (5.2.8)
odnosno:
)s(EKRK)s(H)sRC1( PV=+ (5.2.9)
Iz jednačina (5.2.6) i (5.2.9) sledi da je:
)s(EsRC1
KRK)s(X)s(E PV
+−= (5.2.10)
odnosno:
)s(X
s1K1
1)s(X
sRC1KRK
1
1)s(EPV
⋅
τ++
=⋅
++
= (5.2.11)
gde su: RKKK PV= i RC=τ
Za jedinični ulazni signal jedinične amplitude:
s1)s(X = (5.2.12)
signal greške je:
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
124
s1
s1K1
1)s(E ⋅
τ++
= (5.2.13)
Greška sistema u stacionarnom stanju je:
1K1
s1K1
1lim)s(sElim)t(elim0s0st +
=
τ++
==→→∞→
(5.2.14)
Ako se umesto proporcionalnog uvede integralni regulator, tada je:
)s(Es
K)s(Q I1 = (5.2.15)
gde je KI – konstanta integralnog dejstva. Na osnovu jednačina (5.2.7), (5.2.8) i (5.2.15) sledi
da je:
[ ])s(E)s(XRK
)sRC1(s)s(HRK
)sRC1(s)s(EII
−+
=+
= (5.2.16)
odnosno:
)s(X
)sRC1(sRK
1
1)s(EI
++
= (5.2.17)
Za jedinični ulazni signal jedinične amplitude signal greške je:
s1
)sRC1(sRK
1
1)s(EI
⋅
++
= (5.2.18)
Greška sistema u stacionarnom stanju je:
0
)sRC1(sRK
1
1lim)s(sElim)t(elim)(eI0s0st
=
++
===∞→→∞→
(5.2.19)
5.3) Sistem automatske regulacije nivoa tečnosti sa proporcionalnim regulatorom prikazan je
na slici 5.3. Odrediti grešku sistema u stacionarnom stanja pri jediničnom poremećaju male
amplitude no. Pokazati da je grešku sistema u stacionarnom stanja nula ako se primeni
regulator integralnog tipa. Pretpostaviti da je prenosna funkcija pneumatskog ventila jednaka
jedinici. Takođe pretpostaviti da su varijacije svih promenjivih sistema veoma male u odnosu
na njihove vrednosti u stacionarnom stanju.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
125
Rešenje:
Kako se radi o proporcionalnom regulatoru važi:
)t(eK)t(eKK)t(pK)t(q PPVV1 =⋅== (5.3.1)
gde su:
KV – konstanta proporcionalnosti ventila, pri čemu je 1KV =
KP – konstanta proporcionalnosti dejstva
Signal greške je:
)t(h)t(h)t(x)t(e 22 −=−= (5.3.2)
Iz definicije za otpornost ventila i kapacitet rezervoara sledi da je:
)t(q)t(hR 1
1 = (5.3.3)
)t(q)t(hR
2
22 = (5.3.4)
)t(q)t(qdt
)t(dhC 11
1 −= (5.3.5)
)t(n)t(q)t(qdt
)t(dhC 22
2 +−= (5.3.6)
Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:
)s(EK)s(Q P1 = (5.3.7)
)s(H)s(E 2−= (5.3.8)
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
126
1
11 R
)s(H)s(Q = (5.3.9)
22
22 R
)s(ER
)s(H)s(Q −== (5.3.10)
)s(Q)s(Q)s(HsC 111 −= (5.3.11)
)s(N)s(Q)s(Q)s(HsC 222 +−= (5.3.12)
Iz jednačina (5.3.7), (5.3.9) i (5.3.11) sledi da je:
)s(ECsR1
K)s(QCsR1
1)s(Q11
P1
11 +=
+= (5.3.13)
Iz jednačina (5.3.8), (5.3.10), (5.3.12) i (5.3.13) sledi da je:
)s(N)s(ER1)s(E
CsR1K)s(EsC)s(HsC
211
P222 ++
+=−= (5.3.14)
odnosno:
)s(NRRsC1
KRRsC1)s(E 211
P222 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++ (5.3.15)
Kada na objekat deluje step poremećaj male amplitude no imamo da je:
)t(Un)t(n o= (5.3.16)
odnosno:
sn)s(N o= (5.3.17)
Iz jednačina (5.3.15) i (5.3.17) sledi da je signal greške:
s1
RsC1RKRsC1
Rn)s(E
11
2P22
2o ⋅
+++
−= (5.3.18)
Greška sistema u stacionarnom stanju je:
2P
2o0st RK1
Rn)s(sElim)t(elim
+−==
→∞→ (5.3.19)
Ako se umesto proporcionalnog uvede integralni regulator, jednačina (5.3.18) postaje:
s1
)RsC1(sRKRsC1
Rn)s(E
11
2I22
2o ⋅
+++
−= (5.3.20)
Greška sistema u stacionarnom stanju tada je:
0)s(sElim)t(elim0st
==→∞→
(5.3.21)
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
127
5.4) Ispitati stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom:
02s2s3ss 234 =++++
primenom Hurvicovog kriterijuma
Rešenje:
Hurvicova determinanta je:
2310021002310021
D4 = (5.4.1)
Iz jednačine sledi da je D1 = 1, D2 = 1, D3 = 0 i D4 = 2D3 = 0. Pošto nisu svi dijagonalni
minori determinante veći od nule sistem nije stabilan. Kako je D3 = 0, karakteristični polinom
ima par konjugovanih korena sa realnim delom koji je nula i sistem se nalazi na granici
oscilatorne stabilnosti.
5.5) Primenom Hurvicovog kriterijuma ispitati stabilnost sistema čiji je strukturni blok
dijagram prikazan na slici 5.5, u zavisnosti od parametra K.
Rešenje:
Blok dijagramu sa slike 5.5 odgovara graf toka signala sa slike 5.5.1.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
128
Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:
)2s)(75.0s(1P11 ++
−= i )2s)(1s(
KP12 −+−=
Determinanta grafa toka signala je:
)2s)(1s(K
)2s)(75.0s(11)PP(1 1211 −+
+++
+=+−=∆
Od ulaza X(s) do izlaza Y(s) postoji samo jedna direktna putanja:
)2s)(75.0s(1P1 −+
=
koja dodiruje obe zatvorene putanje i 11 =∆
Prenosna funkcija sistema je:
)5K5.1(s)8K75.2(s)25.2K(s75.1s)2s)(1s(
)2s)(1s(K
)2s)(75.0s(11
)2s)(75.0s(1
P)s(X)s(Y)s(G
234
11
−+−+−++
++=
=
−++
+++
−+=
∆∆
== (5.5.1)
Karakteristična jednačina sistema čija je prenosna funkcija data jednačinom (5.5.1) je:
0)5K5.1(s)8K75.2(s)25.2K(s75.1s 234 =−+−+−++ (5.5.2)
Hurvicova determinanta je:
5K5.125.2K1008K75.275.1005K5.125.2K1008K75.275.1
D4
−−−−−
−
= (5.5.3)
Da bi sistem bio stabilan, prema Hurvicovom kriterijumu potrebno je da:
0K0625.4)8K75.2()25.2K(75.125.2K1
8K75.275.1D2 >−=−−−=
−−
= (5.5.4)
[ ]0)77.1K)(53.3K(75.21875.17K578.14K75.2
)8K75.2()5K5.1(75.1)8K75.2)(25.2K(75.1
8K75.275.105K5.125.2K1
08K75.275.1D
2
2
3
>−−−=−+−=
=−−−−−−=
=−−−
−=
(5.5.5)
0D)5K5.1(D 34 >−= (5.5.6)
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
129
Iz jednačine (5.5.4) sledi da je potrebno da K < 4.0625. Iz jednačine (5.5.5) sledi da je
potrebno da K ∈ (1.77,3.53). Iz jednačine (5.5.6) sledi da je potrebno da K > 3.33. Takođe je
potrebno da svi koeficijenti karakterističnog polinoma (5.5.2) budu pozitivni, odnosno da
K > 2.25, K > 909.275.28
= i K > 33.35.1
5= .
Kako je potrebno da svaka od navedenih nejednakosti bude zadovoljena, traženi opseg
parametra K koji obezbeđuje stabilnost sistema se dobija presekom ovih oblasti, odnosno
K ∈ (3.33; 3.53).
5.6) Ispitati stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom:
012s6s)4K(s 23 =++++
u zavisnosti od parametra K primenom Rausovog kriterijuma.
Rešenje:
Karakterističnom polinomu odgovara sledeća Rausova tablica:
s3
1
6
s2
K+4
12
s1
4K12)4K(6
+−+
0
s0
12
Prema Rausovom pravilu da bi sistem bio stabilan potrebno je da:
K + 4 > 0, odnosno K> −4
6(K+4) – 12 > 0, odnosno K> −2
Pošto obe nejednakosti treba da bude zadovoljena, traženi opseg pojačanja K koji
obezbeđuje stabilnost sistema dobija se presekom ovih oblasti, odnosno za K > −2.
5.7) Ispitati stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom:
04s8s6s2s 234 =++++
primenom Rausovog kriterijuma.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
130
Rešenje:
Karakterističnom polinomu odgovara sledeća Rausova tablica:
s4 1 6 4 s3 2 8 0 s2 2 4 s1 4 s0 4
Svi koeficijenti prve kolone Rausove tablice imaju isti znak i sistem je stabilan.
5.8) Ispitati stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom:
01s2s5s5ss 2345 =+++++
primenom Rausovog kriterijuma.
Rešenje:
Karakterističnom polinomu odgovara sledeća Rausova tablica:
s5 1 5 2 s4 1 5 1 s3 ε 1 0 s2
ε−ε 15
1
s1
15152
−ε−ε+ε−
s0 1
Za ε→0 Rausova tablica postaje:
s5 1 5 2 s4 1 5 1 s3 0 1 0 s2 – ∞ 1 s1 1 s0 1
U graničnom slučaju postoje dve promene znaka, sa 0 na – ∞ i sa – ∞ na 1. Sistem je
nestabilan sa dva korena karakteristične jednačine sa pozitivnim realnim delom.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
131
5.9) Ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:
)s5.01)(s1)(s101(
5)s(W+++
=
primenom Nikvistovog kriterijuma.
Rešenje:
Smenom s = jω funkcija povratnog prenosa postaje:
)55.11(j)5.151(5
)j5.01)(j1)(j101(5)j(W 32 ω−ω+ω−
=ω+ω+ω+
=ω (5.9.1)
2
3
5.15155.11arctg)(ω−ω−ω
−=ωϕ (5.9.2)
Jednačina (5.9.1) se može napisati u obliku:
[ ] [ ])j(WImj)j(WRe
)55.11()5.151()55.11(5j
)55.11()5.151()5.151(5
)55.11(j)5.151()55.11(j)5.151(
)55.11(j)5.151(5)j(W
2322
3
2322
2
32
32
32
ω+ω=
=ω−ω+ω−
ω−ω−
ω−ω+ω−ω−
=
=ω−ω−ω−ω−ω−ω−
⋅ω−ω+ω−
=ω
(5.9.3)
gde su:
[ ] 2322
2
)55.11()5.151()5.151(5)j(WRe
ω−ω+ω−ω−
=ω
[ ] 2322
3
)55.11()5.151()55.11(5)j(WIm
ω−ω+ω−ω−ω
−=ω
Karakteristične tačke funkcije W(jω) su:
[ ] 5)j(WRe 0 =ω =ω [ ] 0)j(WRe =ω ∞→ω
[ ] 0)j(WIm 0 =ω =ω [ ] 0)j(WIm =ω ∞→ω
[ ] 0)j(WRe 1 =ω gde je: 254.05.15
11 ==ω . Tada je: [ ] 72.1)j(WIm 1 −=ω
[ ] 0)j(WIm 2 =ω gde je: 52.15
5.112 ==ω . Tada je: [ ] 144.0)j(WRe 2 −=ω
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
132
Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama je dat na slici 5.9.1.
Na osnovu dijagrama se vidi da je sistem stabilan pošto ne obuhvata tačku sa
koordinatama (-1,0).
5.10) Ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:
)5s)(2s)(1s(
)10s)(2s(K)s(W+−−
++=
u zavisnosti od parametra K primenom Nikvistovog kriterijuma.
Rešenje:
Funkcija povratnog prenosa je:
10s13s2s20s12sK)s(W 23
2
+−+
++= (5.10.1)
Smenom s = jω funkcija povratnog prenosa (5.10.1) postaje:
)13(j)210(j12)20(K)j(W 32
2
ω+ω−ω−
ω+ω−=ω (5.10.2)
odnosno:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
=+ω+ω+ωω+ω−ω−
++ω+ω+ω
+ω−ω−=
ω+ω+ω−ω−ω+ω+ωω−
+ω+ω+ω−
ω+ωω−ω−ω−=
=ω+ω+ω−ω+ω+ω−
⋅ω+ω−ω−
ω+ω−=
ω
K)j(WImj
K)j(WRe
1001293038017j
1001293020020610
)13()210()210(12)13)(20(j
)13()210()13(12)210)(20(
)13(j)210()13(j)210(
)13(j)210(j12)20(
K)j(W
246
35
246
24
2322
232
2322
322
32
32
32
2
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
133
gde su:
1001293020020610
K)j(WRe 246
24
+ω+ω+ω
+ω−ω−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
1001293038017
K)j(WIm 246
35
+ω+ω+ω
ω+ω−ω−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
Karakteristične tačke funkcije K
)j(W ω su:
2K
)j(WRe0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
=ω 0
K)j(WRe =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω
0K
)j(WIm0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
=ω 0
K)j(WIm =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω
0K
)j(WRe 1 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω gde je: 964.01 =ω . Tada je: 42.1
K)j(WIm 1 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
0K
)j(WIm 2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω gde je: 573.32 =ω . Tada je: 466.0
K)j(WRe 2 −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama nacrtan je na
slici 5.10.1.
Funkcija povratnog prenosa ima dva pola sa pozitivnim realnim delovima (s = 1 i s = 2),
odnosno P = 2. Sa slike 5.10.1. se vidi da je neophodno da K bude veće od 466.01 , da bi
amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema, pri promeni ω od nule do beskonačno
velike vrednosti, obuhvatala jedan put (P/2 = 1) kritičnu tačku sa koordinatama (–1, j0).
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
134
5.11) Ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:
3
2
s)1s(K)s(W +
=
u zavisnosti od parametra K primenom Nikvistovog kriterijuma.
Rešenje:
Funkcija povratnog prenosa ima polove u koordinatnom početku s – ravni (poseduje
astatizam). Da bi se izbegle teškoće koje nastaju kada funkcija W(s) poseduje singlularitet
tipa pola, on se zaobilazi polukrugom čiji poluprečnik teži nuli (slika 5.11.1). Za analizu
stabilnosti neophodno je amplitudno faznu karakteristiku W(jω), dobijenu pri promeni ω od
0+ do ∞, odnosno pri promeni od tačke B do beskonačnosti duž pozitivnog dela imaginarne
ose, dopuniti krivom u W(s) – ravni, koji odgovara vrednostima za s na luku od tačake A do
tačke B.
Na luku od tačke A do tačke B, s je jednako θjre , gde r → 0, a θ∈[0,π/2]. Tada je:
θ−θθ
θθ
∞=≅+
= 3j3j33j3
2jje
er1
er)1re(
K)re(W (5.11.1)
U tački A ugao θ = 0, i toj tački u W(s) ravni odgovara tačka A’ u beskonačnosti na
pozitivnom delu realne ose. U tački B ugao θ = π⁄2, i toj tački odgovara tačka B’ u
beskonačnosti na pravoj koja prolazi kroz koordinatni početak i zaklapa ugao θ = −3π⁄2 u
odnosu na pozitivan deo realne ose. Luk od tačke A do tačke B iz s – ravni preslikava se u
W(s) − ravan u odgovarajući luk na centralnom krugu beskonačno velikog poluprečnika. Taj
luk polazi u negativnom smeru iz tačke u beskonačnosti na pozitivnom delu realne ose i
obuhvata onoliko kvadranata u W(s) − ravni, koliki je red astatizma posmatranog sistema.
Od tačke B do tačke C, s = jω. Tada je:
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
135
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
=ω
ω−+ω−=
ω−ω+ω−
=ω+ω
=ω
K)j(WImj
K)j(WRe)1(j2
jj2)1(
)j()1j(
K)j(W
3
2
3
2
3
2
gde su:
22
K)j(WRe
ω−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
3
21K
)j(WImωω−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
Karakteristične tačke funkcije K
)j(W ω su:
0K
)j(WRe =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω
0K
)j(WIm =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω
0K
)j(WIm 1 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω gde je: 11 =ω . Tada je: 2
K)j(WRe 2 −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama nacrtan je na
slici 5.11.2.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
136
I slučaj:
Ukoliko je 2K1
−<−<∞− , odnosno: 21K0 << , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ ,
a broj negativnih prelaza 1=Σ− . Sistem će biti stabilan ukoliko je 2P
=Σ−Σ −+ . Kako je
P = 0 i 01 ≠−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.
II slučaj:
Ukoliko je 0K12 <−<− , odnosno: ∞<< K
21 , tada je broj pozitivnih prelaza 1=Σ+ , a
broj negativnih prelaza 1=Σ− . Kako je 0=Σ−Σ −+ , sistem je stabilan.
5.12) Ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:
)3s(s
2sK)s(W+−
=
u zavisnosti od parametra K primenom Nikvistovog kriterijuma.
Rešenje:
Na luku od tačke A do tačke B (slika 5.11.1), s je jednako θjre , gde r → 0, a θ∈[0,π/2].
Tada je:
)(jjjj
jje
re32
)3re(re2re
K)re(W θ+π−
θθθ
θθ
∞=−≅+
−= (5.12.1)
U tački A ugao θ = 0, i toj tački u W(s) ravni odgovara tačka A’ u beskonačnosti na
negativnom delu realne ose. U tački B ugao θ = π⁄2, i toj tački odgovara tačka B’ u
beskonačnosti na pravoj koja prolazi kroz koordinatni početak i zaklapa ugao θ = −3π⁄2 u
odnosu na pozitivan deo realne ose.
Od tačke B do tačke C, s = jω. Tada je:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
=
=ω+ω
ω−ω+ω=
ω+ω−ω+ω−
⋅ω+ω−
−ω=
+ωω−ω
=ω
K)j(WImj
K)j(WRe
9)6(j5
j3j3
j32j
)3j(j2j
K)j(W
24
22
2
2
2
gde su:
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
137
95
K)j(WRe 2 +ω
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
)9(6
K)j(WIm 2
2
+ωωω−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
Karakteristične tačke funkcije K
)j(W ω su:
95
K)j(WRe
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ω
=ω
0K
)j(WRe =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω 0
K)j(WIm =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
∞→ω
0K
)j(WIm 1 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω gde je: 45.261 ==ω . Tada je:
31
K)j(WRe 2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω
Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama nacrtan je na
slici 5.12.1.
I slučaj:
Ukoliko je 0K1<−<∞− , odnosno: ∞<< K0 , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ , a
broj negativnih prelaza 21
=Σ− . Sistem će biti stabilan ukoliko je 2P
=Σ−Σ −+ . Kako je
P = 0 i 021≠−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.
TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
138
II slučaj:
Ukoliko je 31
K10 <−< , odnosno: 0K3 <<− , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ , a
broj negativnih prelaza 21
21+=Σ− . Kako je 1−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.
III slučaj:
Ukoliko je ∞<−<K1
31 , odnosno: 3K −<<∞− , tada je broj pozitivnih prelaza 1=Σ+ ,
a broj negativnih prelaza 21
21+=Σ− . Kako je 0=Σ−Σ −+ , sistem je stabilan.
LITERATURA
139
6. LITERATURA
1. Boško Ćirilov, Aleksandar Žikić, Automatsko upravljanje, CLIO, Beograd, 1996.
2. Milić Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga Beograd,
1998.
3. Branko Kovačević, Željko Đurović, Sistemi automatskog upravljanja − zbornik
rešenih zadataka, 1996.
4. Stevan A. Milinković, Dragutin Lj. Debeljković, Zbirka rešenih zadataka iz analize i
sinteze sistema automatskog upravljanja, Beograd, 1996.
5. Dragutin Lj. Debeljković, Ljubomir A. Jacić, Milorad V. Rančić, Tomislav M.
Peruničić, Linearni sistemi automatskog upravljanja − zbirka rešenih zadataka,
Beograd, 1997
6. Dušan Simić, Osnovi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd, 1987.
7. Milivoje Sekulić, Osnovi teorije automatskog upravljanja − servomehanizmi, Naučna
knjiga, Beograd, 1982.
8. Borislav R. Milojković, Ljubomir T. Grujić, Automatsko upravljanje, Beograd 1977.
9. Paul E. Pfeiffer, Linear systems analysis, Mcgraw −Hill Book Company, Inc., 1961.
10. Dragoslav S. Mitrinović, Dragomir Ž. Đoković, Polinomi i matrice, Naučna knjiga,
Beograd, 1991.