zbierka ma2

8/14/2019 zbierka MA2

http://slidepdf.com/reader/full/zbierka-ma2 1/117

Katedra matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v KošiciachB. Němcovej 32, 040 02 Košice

Zbierka riešených a neriešených úlohz matematickej analýzy II

Jozef KONDÁŠ - Marcel KUDLÁČ



Jozef KONDÁŠ - Marcel KUDLÁČ

Zbierka riešených a neriešených úloh z matematickej analýzy II

Recenzoval : Prof. RNDr. Jozef Džurina, CSc.

ISBN 80 – 8073 – 428 - 3

15.december 2005



ÚVOD

Táto učebná pomôcka je predovšetkým ur čená študentom prvého ročníka Fakulty

elektrotechniky a informatiky TU V Košiciach. Obsahovo priamo nadväzuje na predmetMatematická analýza 1.

Cieľom tejto elektronickej učebnice je navigovať študentov a ponúknuť im postupnosť krokov pri riešení typových úloh preberaného učiva. Porozumenie a praktické riešeniavyžadujú teoretický aparát, ktorý je podrobne zmapovaný v skriptách Matematická analýza 2.Vzhľadom na rozsah publikácie je teoretickáčasť aplikovaná do názorných postupov riešeniadaných úloh.

Učebná pomôcka je rozdelená do ôsmich kapitol podľa učebných osnov predmetuMatematická analýza 2 z druhého semestra štúdia na FEI TU v Košiciach. Publikácia pozostáva z riešení jednotlivých úloh a pomerne obsiahlej bázy neriešených príkladov, ktoréobsahovo pokrývajú požiadavky na úspešné zvládnutie uvedeného predmetu.

Týmto chceme vyjadriť naše poďakovanie prof. RNDr. Džurinovi, CSc. za cenné radya pripomienky, ktoré prispeli k zlepšeniu predkladanej učebnej pomôcky.

Zároveň sa chceme vopred ospravedlniť za možné jazykovo-štylistické chyby, pretožedaný text neprešiel redak čnou ani jazykovou úpravou.



OBSAH

1 POSTUPNOSTI A RADY........................................................................................................................... 4 1.1 ČÍSELNÉ RADY...................................................................................................................................... 4 1.2 FUNKCIONÁLNE AMOCNINOVÉ RADY. ............................................................................................... 11 1.3 TAYLOROV RAD. ................................................................................................................................. 18 1.4 FOURIEROVE RADY A ICH APLIKACIE.................................................................................................. 18

2 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE N - PREMENNÝCH ............................................................. 23 2.1 PARCIÁLNE DERIVÁCIE FUNKCIE N-PREMENNÝCH.............................................................................. 23 2.2 LOKÁLNE EXTRÉMY FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH.............................................................................. 31 2.3 ZÁKLADY VEKTOROVEJ ANALÝZY...................................................................................................... 36

3 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 1. RÁDU......................................................................... 44 3.1 SEPAROVATEĽ NÁ DIFERENCIÁLNA ROVNICA...................................................................................... 443.2 HOMOGÉNNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA............................................................................................. 46 3.3 LINEÁRNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA1.RÁDU.................................................................................... 48 3.4 BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNA ROVNICA........................................................................................... 51

4 LINEÁRNE DIFERENCIÁLNE ROVNICE N-TÉHO RÁDU ............................................................ 54 4.1 DIFERENCIÁLNA ROVNICA TYPU( ) ( ) x f y n

= ................................................................................... 54 4.2 HOMOGÉNNALINEÁRNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA N-TÉHO RÁDU.................................................... 55 4.3 LDR SO ŠPECIÁLNOU PRAVOU STRANOU............................................................................................ 57 4.4 LDR S NEŠPECIÁLNOU PRAVOU STRANOU.......................................................................................... 63 4.5 SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC................................................................................................. 66

5 VIACROZMERNÉ INTEGRÁLY .......................................................................................................... 70

5.1 DVOJNÝ INTEGRÁL............................................................................................................................. 70 5.2 TROJNÝ INTEGRÁL.............................................................................................................................. 78 6 KRIVKOVÉ INTEGRÁLY...................................................................................................................... 84

6.1 K RIVKOVÝ INTEGRÁL PRVÉHO DRUHU................................................................................................ 84 6.2 K RIVKOVÝ INTEGRÁL DRUHÉHO DRUHU............................................................................................. 86 6.3 GREENOVA VETA................................................................................................................................ 90

7 ZÁKLADY FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ....................................................................... 94 7.1 A NALYTICKÁ FUNKCIA....................................................................................................................... 94 7.2 I NTEGRÁL FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ.................................................................................... 96 7.3 R EZÍDUUM FUNKCIE............................................................................................................................ 98

8 LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA .................................................................................................. 101 8.1 LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA........................................................................................................ 101 8.2 SPÄTNÁLAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA.......................................................................................... 108 8.3 POUŽITIE SPÄTNEJLAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE.......................................................................... 112

POUŽITÁ LITERATÚRA............................................................................................................................... 116



Zbierka riešených a neriešených úloh z matematickej analýzy 2 4

1 P OSTUPNOSTI A RADY

1.1 ČÍSELNÉ RADY

Nech { }∞=1nna je postupnos ť reálnych čísel. Potom výraz .......211

++++=∑∞=

nn

n aaaa

nazývame nekone čný číselný rad (N ČR), kde číslo na nazývame n -tým členom N ČR.

Postupnos ť { }∞=1nn s definovanú nn aaa saaa saa sa s +++=++=+== ...,...,, 213213,21211

nazývame postupnos ť čiasto čných sú čtov

Ak je postupnos ť { }∞=1nn s konvergentná, tak číslo nn s s

∞→= lim nazývame sú čtom radu ∑

∞

=1nna

a hovoríme, že N ČR ∑∞

=1n

na je konvergentný. ( platí ∑∞

=

=1n

na s )

Ak je postupnos ť { }∞=1nn s divergentná hovoríme, že N ČR ∑∞

=1nna je divergentný.

Ak je N ČR ∑∞

=+++++=

1321 ......

nnn aaaaa konvergentný, tak hovoríme, že N ČR

∑∞

=1nna je konvergentný absolútne.

Nutná podmienka konvergencie N ČR : Ak je rad ∑∞

=1nna konvergentný, tak 0lim =

∞→ nna .

D´Alembertovo limitné podielové kritérium: Nech ∑∞

=1nna je N ČR a nech N n∈∀ je

.0≠na Potom ak 1lim 1 <+→∞

n

n

n aa

, tak je rad ∑∞

=1nna absolútne konvergentný. Ak 1lim 1 >+

∞→n

n

n aa

,

tak je rad ∑∞

=1nna divergentný.

Cauchyho limitné odmocninové kritérium : Nech ∑∞

=1nna je N ČR. Potom ak

1lim <∞→n

nn a , tak je rad ∑∞

=1nna absolútne konvergentný. Ak 1lim >→∞

nnn a , tak je rad ∑

∞

=1nna

divergentný.

Cauchyho integrálne kritérium : Nech pre rad ∑∞

=1nna existuje spojitá funkcia ( ) x f

nerastúca na )∞, K a nech ( ) nan f K n =>∀ : . Potom ak existuje ( )∫ ∞

K

dx x f , rad ∑∞

=1nna je

absolútne konvergentný. Ak ( ) ∞=∫ ∞

K

dx x f , tak rad ∑∞

=1nna je divergentný.



Kapitola 1 - Postupnosti a rady5

Leibnitzovo kritérium : Nech ( ) 0,11

1 >−∑∞

=

+n

nn

n aa je rad so striedavými znamienkami.

Nech { }∞=1nna je nerastúca a nech 0lim =∞→ nn

a . Potom rad ( )∑∞

=

+−1

11n

nn a je konvergentný.

Príklad 1: Nájdite sú čet radu ∑∞

= −+12 344

- 6

n nn

Najprv urobíme rozklad kvadratického výrazu v menovateli zlomku na sú čet parciálnych zlomkov

( )( ) ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+=+−=−+ 1112 12

23

3223

3212

- 6344

- 6

nnn nnnnnn

Teraz zapíšeme nieko ľko členov daného radu pre n -tý čiasto čný sú čet

...183

263

143

223

103

183

63

143

23

103 +⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=n s

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−−+24

364

364

324

3104

324

3...

nnnnnn

Po spo čítaní rovnakých zlomkov dostaneme

643

243

63

23

++++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

nn s n

Ak vypo čítame limitu n s pre ∞→n pre sú čet s dostaneme

263

23

643

243

63

23limlim −=−−=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡

++++−−==∞→∞→ nn

s snnn

Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu číselného radu( )∑

∞

=

−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

1 !!1

54

n

n

nn

Použijúc D´Alembertovo kritérium dostaneme

( ) ( )( )( ) ( )!1

!54

!1!11

54

,!

!154

11

1 +⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+

−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =−

⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =

++

+ nn

nn

an

na

nn

n

n

n

( )( ) ( ) ( )

154

1lim

54

!1.!1!.!

54

lim

!!1

54

!1!

54

limlim

1

1 <=+=−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =

−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =∞→∞→

+

∞→+

∞→ nn

nnnn

nn

nn

aa

nnn

n

nn

n

n

Daný číselný rad( )∑

∞

=

−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

1 !!1

54

n

n

nn

je absolútne konvergentný.

Príklad 3: Vyšetrite konvergenciu číselného radu ∑∞

=

+

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+1

52

143

n

n

nn

Použijúc Cauchyho odmocninné kritérium dostaneme




...14

3lim

143

lim14

3limlim

52

5252

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=+

∞→

+

∞→

+

∞→∞→

n

n

nn

nn

n

nn

nn nn

nn

nn

a

1169

1.43

143

lim.143

lim143

.143

lim...

25

25

2

<=⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+= ∞→∞→∞→

n

nn

n

n nn

nn

nn

nn

Daný číselný rad ∑∞

=

+

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+1

52

143

n

n

nn

teda konverguje.


=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−

1

2

2

35

n

n

nn

Použijúc Cauchyho odmocninné kritérium dostaneme

...3

1

51

lim35lim

35lim

35limlim

2

222

22

=⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−+

+=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+=⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+= ∞→∞→∞→∞→∞→

n

n

n

n

n

n

nn

n

nn

nn

n

nnn

nn

nna

1

31lim

51lim

31

51

lim... 4282

1

3

5

21

21

21

21

>==⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

= −

∞→

∞→

∞→ee

ee

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Daný číselný rad ∑∞

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−

1

2

2

35

n

n

nn

teda diverguje.


= +124

3

n n

Položme ( ) 243 x

x f += . Je zrejmé, že pre 1≥∀n je ( ) nan f =

a teda ( ) 243

nn f += je

Pretože ( ) ( ) 04

622 <+−=′

x x x f je funkcia ( ) x f neklesajúca na )∞,1 a možno teda

použi ť Cauchyho integrálne kritérium.

Potom

...

41

141

lim34

1lim3

43

lim4

32222 ∫ ∫ ∫ ∫

∞

∞→

∞

∞→

∞

∞→=

+=+=+=+ k

xk

x

k x

k x

dx x

dx x

dxt

dx x




s) ( ) ( )∑∞

= ++−

1 211

n nnnn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

41

t) ( ) ( )∑

∞

= −−+

3 212

n nnnn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

23

u) ( )∑∞

= ++

122 1n

12n n n

[ ]1

v) ( ) ( )∑

∞

= +−122 1212n

n

n n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

81

w) ( )n

n

n∑∞

=

+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

1

1

32

1- ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

52

x) ( )n

n

n∑∞

=⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

1 75

1- ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−125

1.1.2 Pomocou d´Alembertovho kritéria vyšetrite konvergenciu číselných radov

a) n

n n⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∑

∞

= 83

.21

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

83

lim 1

b) n

n n ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∑∞

= 32.

11

1 ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ =+

∞→ K a

an

nn

,32lim 1

c) n

n n⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

−∑∞

= 75

.13

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

75

lim 1

d) n

n n⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

+∑∞

= 56

.2

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

Da

a

n

n

n,

56

lim 1

e) ( )

n

n n⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

+∑∞

= 43

.!2

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

f) ∑∞=1 3.

1n

nn ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

an

n

n,

31lim 1

g) ∑∞

=1 2nn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

21

lim 1

h) ∑∞

=

+1

2 3.1

nnn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

31

lim 1

i) ∑∞

=1 !1

n n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

j) ( )∑∞

= −+

1 !1.21

nn n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

k) ( )∑

∞

= +1 !1!.10.2

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

l) ( )∑∞

=

−1 !.5

!1.3

nn

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

53

lim 1

m) ( )∑∞

=

−1

2

!1.6

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

n) ( )∑

∞

= +1

2

!2n nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

o) ( )∑∞

=−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1 !

!172

n

n

nn ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ =+

∞→ K a

an

nn

,72lim 1

p) ( )∑

∞

=1 !3!

n nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

q) ( )∑

∞

=1 !23

n

n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

r) ( )( )∑

∞

= ++

1 53.2!22

nn n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=+∞→

Da

a

n

n

n,lim 1

s) ( )( )∑∞=1

2

!2!

n nn ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ =+

∞→K

aa

n

n

n,

41lim 1

t) ∑∞

=1

!

nnn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K ea

a

n

n

n,

1lim 1

u) ( )∑

∞

=12!n

n

n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

v) ∑∞

=1

!.3

nn

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

Dea

a

n

n

n,

3lim 1

w) ( ) ( )( )∑∞

=

+−1 !2

!3!.1.3

n

n

nnn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,

43lim 1

x) ( )∑∞

=

+1

2.10!23

nn n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=+∞→

Da

a

n

n

n,lim 1

y) ( )∑

∞

= +1

.!1

2

n

n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

z) ( )∑

∞

=1

.!2

!.10.2

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1




aa) ( )

( )∑∞

= +⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛

+1

.

!221

!1.3

nn

n

n

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

Da

a

n

n

n,6lim 1

bb) ( )( )∑

∞

= +−

1 !1.1

n

n

nn

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=+

∞→ K aa

n

n

n ,0lim1

cc) ( )∑∞

=−

1

2

.21

nn

n

en

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K ea

a

n

n

n,

1lim 1

dd) ∑∞

=1 !.3nn

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K e

aa

n

n

n,

3lim 1

ee) ( )∑

∞

= −+

1 !121

nn nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

K a

a

n

n

n,0lim 1

ff) ( )∑∞

=+

−1

110!1

nn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=+∞→

Da

a

n

n

n,lim 1

gg) ∑∞

=1

!.5

nn

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∞→

Da

a

n

n

n,5lim 1

hh) ( )∑∞

=+

−1

210.3!2

nn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=+∞→

Da

a

n

n

n,lim 1

1.1.3 Pomocou Cauchyho odmocninného kritéria vyšetrite konvergenciu číselných radov

a) ∑∞

=−

1122

1n

n ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ =∞→ K an

nn,

41lim

b) ∑∞

=− ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

1212 31

21

nnn ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K annn

,3613

lim

c) ∑∞

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−+

1 122

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K annn

,41

lim

d) ∑∞

=

−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+1

12

132

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K annn

,94

lim

e) ∑∞

= ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−+

1 5214

n

n

nn

Dan nn ,2lim =∞→

f) ∑∞

=

+

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−+

1

32

1228

n

n

nn

Dannn

,2lim =∞→

g) ∑∞

=

−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−−

1

22

1423

n

n

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K annn

,169

lim

h) ∑∞

=1

1

n

n

narctg K an

nn,0lim =

∞→

i) ( )

nn

n

n n

n

3.

12

2

1

+∑∞

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=∞→ K e

an nn ,3lim

j) ( )nn

n

n nn

3.2

2

2

1

−∑∞= ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ =

∞→K

ean

nn,

31lim 2

k) 22

1 23

n

n nn

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−+∑

∞

= Dean

nn,lim 10=

∞→

l) 2

25

1

n

n nn

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

−+∑

∞

= Dean

nn,lim 10=

∞→

m) 2

13

1

n

n nn⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−∑

∞

= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K e

annn

,1

lim 4

n) 2

112

2

2

1

n

n nn

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

++∑

∞

= Dan

nn,lim ∞=

∞→

o) 2

11

1

n

n n⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −∑

∞

= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K e

annn

,1

lim

p) 2

11

31

1

n

nn n

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +∑

∞

= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∞→

K e

annn

,3

lim

q) 2

21

5

6

1

nn

n n⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ∑∞

=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ =∞→

De

annn

,5

6lim

2

1.1.4 Pomocou Cauchyho integrálneho kritéria vyšetrite konvergenciu číselných radov

a) ∑∞

= +1 341

n n ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=∫ ∞

Ddx x f ,1

b) ∑∞

= +12

1

n nn ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞<∫ ∞

K dx x f ,1

c) ∑∞

= +123

2

n n ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞<∫ ∞

K dx x f ,1

d) ∑∞

= +121

2

n nn

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=∫ ∞

Ddx x f ,1




e) ∑∞

=22ln.

1

n nn ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞<∫ ∞

K dx x f ,2

f) ∑∞

=2 ln.3

n nn ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ ∞=∫ ∞

Ddx x f ,2

g) ∑∞

=5 ln.5

n nn ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞=∫ ∞

Ddx x f ,5

h) ∑∞

=12

ln

n nn

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞<∫ ∞

K dx x f ,1

i) ∑∞

=13

ln

n n

n ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ ∞=∫ ∞

Ddx x f ,1

j) ∑∞

=

−

1n

n

n

e ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞<∫ ∞

K dx x f ,1

1.1.5 Pomocou Leibnitzovho kritéria vyšetrite konvergenciu číselných radov

a) ( )∑∞

=

+−1

1

2

1

n

n

n K a nn

,0lim =∞→

b) ( )

( )∑∞

=

+

+

−1

1

12ln

1

n

n

n K a n

n

,0lim =∞→

c) ( )∑∞

=

+−1

11

n

n

n K a nn

,0lim =∞→

d) ( ) ( )∑∞

=

+

++−

1

1

121

n

n

nn

Da nn,1lim =

∞→

e) ( )∑∞

=

+−1

2

11

n

n

n K a nn

,0lim =∞→

f) ( )∑∞

=

+

−−

1

1

121

n

n

n K a nn

,0lim =∞→

g) ( )∑∞

=

+

+−

1

1

11

n

n

nn

Da nn,1lim =

∞→

h) ( ) ( )∑∞

=

+ −−1

1

2

131

n

n

n

n⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ =∞→

Da nn

,2

3lim

i) ( )∑∞

=

+−1

1

ln.1

n

n

nn K a nn

,0lim =∞→

j) ( )∑∞

=

+−1

31

31

nn

n n K a nn

,0lim =∞→

k) ( )∑∞

=

+−1

1

2sin.1

nn

n π K a nn

,0lim =∞→




1.2 FUNKCIONÁLNE A MOCNINOVÉ RADY.

Nech pre každé N n∈ sú na neprázdnej množine A definované funkcie n f . Potom

{ }∞=1nn f je postupnos ť funkcií definovaná na množine A .

Nech { }∞=1nn f je postupnos ť funkcií na množine A . Nech pre A x∈∀ je postupnos ť

( ){ }∞=1nn x f konvergentná. Ozna čme ( ) ( ) x f x f nn ∞→= lim . Potom hovoríme, že postupnos ť { }∞=1nn f

konverguje bodovo na k funkcii f R A f →: , čo môžeme zapísa ť v tvare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε ε <−>∈∀∈∃>∀∈∀ x f x f nn N n N n A x n:,0 00

Nech { }∞=1nn f je postupnos ť funkcií na množine A a nech R A f →: je funkcia.

Potom hovoríme, že postupnos ť { }∞=1nn f konverguje na A rovnomerne k funkcii ( ) x f

R A f →: , ak platí( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε ε <−∈∀>∈∀∈∋>∀ x f x f A xnn N n N n n:,0 00

Nech { }∞=1nn f je postupnos ť funkcií na A . Potom výraz ∑∞

=1nn f nazývame nekone čným

radom funkcií na A .

Funkciu ∑=

=+++=n

k k nn f f f f s

121 ... nazývame n -tým čiasto čným sú čtom ∑

∞

=1nn f .

Ak postupnos ť { }∞=1nn s konverguje na A bodovo k funkcii R A s →: , tak hovoríme, že

rad ∑∞

=1nn f konverguje na A bodovo k funkcii s a platí ∑

∞

== 1nn f s na množine A .

Hovoríme, že rad funkcií ∑∞

=1nn f konverguje na A rovnomerne k funkcii R A s →: ,

ak postupnos ť čiasto čných sú čtov { }∞=1nn s konverguje na rovnomerne k funkcii s .

Ak postupnos ť spojitých funkcií { }∞=1nn f rovnomerne konverguje na A k funkcii

R A f →: , tak aj f je spojitá. Podobne ak ∑∞

=1nn f je rad spojitých funkcií rovnomerne

konvergujúci na k funkcii R A s →: , tak aj funkcia s je spojitá.

Nech ∑∞

=1nn f je rad spojitých funkcií na ba , , nech ∑

∞

=1nn f rovnomerne konverguje

k funkcii Rba s →,: , nech ba x ,0∈ . Potom platí

( ) ( )∑ ∫ ∫ ∑∞

=

∞

= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

1100

n

x

xn

x

x nn dt t f dt t f ... integrovanie člen po člene

Nech ∑∞

=1nn f je rad spojite diferencovate ľných funkcií na ba , , nech ba x ,0∈ , nech

( )0

1

x f n

n∑∞

=

je konvergentný. Potom platí




( )∑∑∞

=

∞

=′=

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

11 nn

nn f f ... derivovanie člen po člene

Pre konvergenciu funkcionálnych radov môžeme použi ť upravené d´Alembertovo

a Cauchyho odmocninné kritérium. Ak ( )( ) 1lim1

<+

∞→ x f x f

n

n

n

resp. ( ) 1lim <∞→n

nn x f , tak

funkcionálny rad ( )∑∞

=1nn x f konverguje v .

Rad ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...... 03

032

0201000

+−++−+−+−+=−∑∞

=

nn

n

nn x xa x xa x xa x xaa x xa ,

kde Raaa x n∈,...,,, 100 , { }0∪∈ N n nazývame mocninovým radom. Číslo 0 x nazývame stred

mocninového radu, naaa ,...,, 10 sú koeficienty mocninového radu. Konvergenciamocninového radu je analogická ako u radov funkcií.

Pre každý mocninový rad ( )n

nn x xa 0

0−∑

∞

=nastáva jeden z prípadov:

Rad konverguje len v bode 00 =⇒= ρ x x Rad konverguje R x∈∀ ∞=⇒ ρ 0>∋ρ , že na ( ) ρ ρ +− 00 , x x daný rad konverguje a na množine ρ ρ +− 00 ,/ x x R

daný rad divergujeČíslo ρ nazývame polomer konvergencie, ( ) ρ ρ +− 00 , x x ozna čuje interval konvergencie.

Ak existuje λ =+→∞

N

n

n aa 1lim resp. λ =

∞→n

nnalim , tak polomer konvergencie

mocninového radu ( )n

nn x xa 0

0

−∑∞=

je :

λ

ρ 1= pre ∞<<λ 0

∞= ρ pre 0=λ 0= ρ pre ∞=λ

V prípade, že 1=λ treba na ur čenie konvergencie mocninového radu v krajných bodoch(pre konkrétnu hodnotu x z mocninového radu dostávame rad číselný) použi ť niektoréz kritérií konvergencie číselných radov.

Príklad 1: Vyšetrite konvergenciu radu( )

( )( )∑∞

= +++

1 2132

nn

n

nn x

Použijeme D´Alembertovo kritérium pre konvergenciu funkcionálnych radov

( )( )( )

( )( )( )323

2,

2132

1

1

1 +++=++

+= +

+

+ nn x

f nn

x f n

n

nn

n

n

( )( )( )( )

( )( )

( )( )( ) 2

31

233

1lim

213

2323

2

limlim1

1

1 +=+++=

++

+++

+=

∞→

+

+

∞→+

∞→x x

nn

nn

xnn

x

f f

n

n

n

n

n

nn

n

n




Pod ľa D´Alembertovho kritéria je rad konvergentný vtedy, ak platí 1lim 1 <+∞→

n

n

n f f

.

Pre rad( )

( )( )∑∞

= +++

1 2132

nn

n

nn x

teda musí by ť splnená podmienka 1231 <+ x

a teda 153231231 <<−⇔<+<−⇔<+ x x x

Pre všetky ( )1,5−∈ x teda rad( )

( )( )∑∞

= +++

1 2132

nn

n

nn x

konverguje.

Pre vyšetrenie konvergencie radu v krajných hodnotách použijeme kritériakonvergencie číselných radov

Pre 5−= x dostaneme číselný rad( )

( )( )( )

( )( )∑∑∞

=

∞

= ++−=++

−11 21

1213

3

n

n

nn

n

nnnn. Pod ľa

Leibnitzovho kritéria je( )( )

021

1lim

=++∞→ nnna teda daný číselný rad konverguje.

Pre 1= x dostávame číselný rad( )( ) ( )( )∑∑

∞

=

∞

= ++=++ 11 211

2133

nnn

n

nnnn. Daný číselný

rad má sú čet21= s a je teda konvergentný.

Potom obor konvergencie radu( )

( )( )∑∞

= +++

1 2132

nn

n

nn x

je 1,5−

Príklad 2: Vyšetrite konvergenciu radu ( )∑∞

= −1

2

5n

n

x Použijeme Cauchyho kritérium pre konvergenciu funkcionálnych radov

( ) 22 55limlim x x f nn

nn

nn−=−=

→∞→∞

Pod ľa Cauchyho kritéria je rad konvergentný vtedy, ak platí 1lim <→∞

nnn

f .

Pre rad ( )∑∞

=−

1

25n

n x teda musí by ť splnená podmienka 15 2 <−x

a teda 4615115 222 >>⇔<−<−⇔<− x x x

Pre všetky ( ) ( )6,22,6 ∪−−∈ x teda rad ( )∑∞

=−

1

25n

n x konverguje.

Pre vyšetrenie konvergencie radu v krajných hodnotách použijeme kritériakonvergencie číselných radov

Pre 6−= x a 6= x dostaneme číselný rad ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝ ⎛ −−

11

2165

n

n

n

n

. Pod ľa

Leibnitzovho kritéria je 11lim =∞→n

a teda daný číselný rad diverguje.

Pre 2−= x a 2= x dostaneme číselný rad ( )( ) ∑∑∞

=

∞

=

=−−11

2 125n

n

n

n. Pretože daný

číselný rad nemá kone čný sú čet, je divergentný.




Potom obor konvergencie radu ( )∑∞

=−

1

25n

n x je ( ) ( )6,22,6 ∪−−∈ x

Príklad 3: Nájdite obor konvergencie mocninového radu( ) ( )∑

∞

=

−−1

1!1

n

nn x

n

n

Použijeme D´Alembertovo kritérium pre konvergenciu mocninových radov( ) ( )

( ) ( ) 1111!

1!11

,!1

+++ +=

+−+=−= nnnnn

nn

nn

an

na

( )( )

( )( ) ( ) ( )

...1

lim1

lim!11

!1lim

!11!

limlim1

1

1

1

11 =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=+

=−+

−=−+==

+

∞→+

+

∞→+∞→

+

∞→+

∞→

n

nn

n

nn

n

n

n

n

nn

n

n nn

nn

nnnnn

nn

nn

aa

λ

ee

n

n

n

1

1

11lim... 1

1

==⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

+

−+= −+

∞→

Potom polomer konvergencie e==λ

ρ 1

, stred radu je 10 = x a teda rad konverguje

pre všetky ( )ee x +−∈∀ 1,1 .

Pre obidve krajné hodnoty rady ( ) ( )!111

−−∑∞

=n

ne

nn

nn a ( )!1

1

−∑∞

=n

ne

nn

n

konvergujú a teda

obor konvergencie radu( ) ( )∑

∞

=−−

1

1!1

n

nn x

nn

je ee +− 1,1

Príklad 4: Vyšetrite konvergenciu radu ∑∞=1

4n

nn

nn x

Použijeme Cauchyho kritérium pre konvergenciu mocninových radov

41

lim44

lim4

limlim23

23

23 =====

∞→∞→∞→∞→n

nn

nn

n

nn

nn

nnnaλ

Potom polomer konvergencie411 ==

λ ρ , stred radu je 00 = x a teda rad konverguje

pre všetky ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∈∀ 4

1,41 x . Pre obidve krajné hodnoty rady ( )∑

∞

=−

1

1n

n

nna ∑

∞

=1

1n nn

konvergujú

a teda obor konvergencie radu ∑∞

=1

4

n

nn

nn x

je41

,41−∈∀ x

Príklad 5: Nájdite sú čet radu( )( )∑

∞

=

++0 2

21

nn

nn

Rad( )( )∑

∞

=

++0 2

21

nn

nnmožno prepísa ť do tvaru ( )( ) n

n

xnn∑∞

=++

0

21 pre21= x .




( )( )( ) ( )32

22

0

2

0 12

12

121

x x x x

x x

x xnnn

nn

n −=

′⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

−−=

″⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

−=″⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =++ ∑∑

∞

=

+∞

=

Pre21= x je sú čet radu

( )( )8

21

1

22

213

0

=

⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −

=++∑∞

=nn

nn

Úlohy :

1.2.1 Nájdite obor konvergencie daného funkcionálneho radu

a) ( )∑

∞

=

−

−1

1

!1n

n

n x

( )[ ]∞∞− ,

b) ∑∞

=1

.!n

n xn { }[ ]0

c) ∑∞=1 3.n

n

n

n x )[ ]3,3−

d) ∑∞

=1

2

9.

nn

n xn ( )[ ]3,3−

e) ∑∞

=1n

n

nn

x [ ]1,1−

f) ( )∑∞

=1

sin

nnnnx

( )[ ]∞∞− ,

g) ∑∞

=

⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1

2

sin

n nn x

( )[ ]∞∞− ,

h) ( )∑∞

=

+1

2 3

n

n

n x

[ ]0

i) ( )∑∞

=

−1

!1

nn

n

n xn

( )[ ]ee,−

j) ( )∑∞=

−1

23n

n x ( ) ( )2,22,2 ∪−−

k) ( )∑∞

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

1n

n

nn x x

( )[ ]1,1−

l) ∑∞

=

−

1

.n

nxen ( )[ ]∞,0

m) ∑∞

=

−

1

.n

nxenx )[ ]∞,0

1.2.2 Dokážte, že dané rady rovnomerne konvergujú na danej množine

a) ∑∞

=1nn

n

n x

[ ]2,2−

b)

∑∞

=

−

1

2

.n

nx

e x )[ ]∞,0

c) ( )∑∞

=

−1

2 2.ln.2

nn

n

nn x

[ ]4,0−

d) ∑∞

= +124

1

n n x ( )[ ]∞∞− ,

e) ∑∞

=1 2cos

nn

nx ( )[ ]∞∞− ,

f) ∑∞

=+

1

22

1

n

xen ( )[ ]∞∞− ,

g) ( )∑∞

= +−

1 21

nn

n

x, 2≥n ( )[ ]∞− ,2

h) ( )

∑∞

= +−

2 sin1

n

n

xn [ ]π 2,0

i) ∑∞

=1

sin

n nn

nx ( )[ ]∞∞− ,

j) ( )∑∞

= +−

1

1

n

n

n x ( )[ ]∞,0




1.2.3 Určte polomer konvergencie mocninového radu:

a) ( )∑

∞

= +1 3.1.2

n

nn

n

xn

n ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

23

b) ( ) ( ) ( )∑∞

=+++1

13.2.1

1n

nn x

nn [ ]3

c) ∑∞

= +1 1

100

n

nn

xn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1001

d) ( )∑∞

=1 !n

nn

xn

nx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

e1

e) ( )∑∞

=

−−−1

115.1n

nn xn ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

51

f)

∑∞

=1 .!n

n

xn [ ]0

g) ( ) ( )∑

∞

=

−

−−1

12

12.!121

n

n xnn

[ ]∞

h) ∑∞

=1 2

3

n

n

n

n

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

32

i) ( )( )∑∞= −−1

112

1n

n xn

[ ]1

j) ( )∑∞

=−

1

2!

n

n

n xnn

[ ]e

k) ( )∑∞

=

−−−−1

2211 21n

nnn x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

22

l) ( )( )∑

∞

=1 .!2!3

n

nn x

nnn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

274e

1.2.4 Nájdite obor konvergencie mocninových radov

a) ( ) 1

1

1 .5.1 −∞

=

−∑ − n

n

n xn ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

51

,51

b) n

n

xn∑

∞

=1 2

1

[ ]1,1−

c) n

n

n

xn∑

∞

=1

2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞−

21

,21

d) ∑∞

=1 !n

n

n x

( )[ ]∞∞− ,

e) ( )∑

∞

=

−

−1

1

!1.5

n

nn

n x

( )[ ]∞∞− ,

f) n

n

xn∑∞

=1

.! { }[ ]0

g) ( ) n

nn x

nn∑

∞

=

−1

!1 [ ]ee,−

h) 2

1

2

3 n

n

n x∑∞

= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −31

,31

i) n

n

k

xnn∑

∞

=1 ! ( )[ ]∞∞− ,

j) n

n

n

xn

∑∞

=1

10 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎜⎜⎝ ⎛ −

101

,10

1

k) ( )∑∞

= −1 !!12!

n

n

n xn

( )[ ]2,2−

l) ( )( )∑

∞

=1

2

!2!

n

n

n xn

( )[ ]4,4−

m) ∑∞

=12

n

n

n x

[ ]1,1−

n) ∑∞

= −1 12n

n

n x

( )[ ]2,2−

o) ( )∑

∞

=+

1

3.n

nn xn { }[ ]3−

p) n

n

n

xn∑

∞

=1

5 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎜⎜⎝ ⎛ −

51

,51

1.2.5 Derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdite sú čet daného radu na

vhodnom intervale




a) ( ) n

n

xn∑∞

=+

0

1 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 21

1

x

b) ( )( ) n

n

xnn 210

++∑∞

=

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

− 312 x

c) n

n

xn∑∞

=0

2 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

3

2

1 x

x x

d) ( )( )( )n

n

xnnn∑

∞

=

+++0 !3

321

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

− 41

1

x

e) 1

1 5−

∞

=∑ n

nn x

n

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

− 25

5

x

f) ( ) n

n

xn

∑

∞

=+

1

12 ( )( )⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+22

2

1

1

x

x

g) 1

1

−∞

=∑ n

n

xn ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 21

1

x

h) ( ) n

n

xn

2

1

321 −∑

∞

=( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−− 231ln21

x




1.3 TAYLOROV RAD.

Ak existuje mocninový rad ( )n

nn x xa 0

0 −∑∞

= so stredom v bode 0 x taký, že konvergujev nejakom okolí bodu 0 x k funkcii f , a ak má funkcia f v čísle 0 x všetky derivácie, tak ho

môžeme rozvinú ť v okolí bodu 0 x do Taylorovho radu.. Mocninový rad

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )∑∞

=−=+−++−′′+−′+

00

00

020

00

00 !

...!

...!2!1 n

nn

nn

x xn

x f x x

n x f

x x x f

x x x f

x f

nazývame Taylorov rad funkcie f v čísle 0 x .Taylorove rady niektorých funkcií

...

!

...

!3!2!1

132

++++++=n

x x x xe

n x pre ( )1,1,00 −∈= x x

( ) ( )...

!121...

!5!3!1sin

121

53

+−−+++−=−

−

m x x x x

xm

m pre ( )1,1,00 −∈= x x

( ) ( )...

!221...

!4!21cos

221

42

+−−+++−=−

−

m x x x

xm

m pre ( )1,1,00 −∈= x x

( ) ( )( ) ...1...432

1ln 1432

+−++−+−=+ −

n x x x x

x xn

n pre ( )1,1,00 −∈= x x

Príklad 1: Rozvi ňte funkciu ( ) x x x f 2sin.= do mocninového radu so stredom 00 = x

Pretože platí

( ) ( )...

!121...

!5!3!1sin

121

53

+−−+++−=−

−

m x x x x

xm

m pre ( )1,1,00 −∈= x x ,

stačí, ak v danom rade nahradíme v poslednom rade x2 za x a dostaneme

( ) ( )( )

...!12

21...

!532

!38

!12

2sin12

153

+−−+++−=−

−

m x x x x

xm

m pre ( )1,12,00 −∈= x x

Rozvoj funkcie ( ) x x x f 2sin.= do Taylorovho radu teda môžeme zapísa ť v tvare

( )( )

( )...

!12

21...

!5

32

!3

8

!1

22sin.

121

642

+−

−+++−=−

−

m

x x x x x x x

mm pre

( )1,12,0

0−∈= x x

1.4 FOURIEROVE RADY A ICH APLIKACIE

Fourierove rady ( FR ) sú funkcionálne rady, ktorými popisujeme periodicky saopakujúce deje. Ak ( ) x f je perodická funkcia s periódou T , tak ( ) f D x∈∀ platí

( ) ( )∫ ∫ +

=T T a

a

dx x f dx x f 0

.

Fourierovým radom funkcie po častiach spojitej, periodickej funkcie ( ) x f s periódou

ω π 2=T nazývame trigonometrický rad




( ) ( )∑∞

=++≈

1

0 sincos2 n

nn xnb xnaa

x f ω ω , kde

( ) ( ) ( ) dx xn x f T

bdx xn x f T

adx x f T

aT

n

T T

n ∫ ∫ ∫ ===000

0 sin2

,cos2

,2

ω ω

nn baa ,,0 sú Fourierove koeficienty, ...,2,1,0=n

Ak naviac funkcia ( ) x f je párna, l T 2= al π

ω = , tak hovoríme o kosínusovom FR

( ) ∑∞

=+≈

1

0 cos2 n

n xnaa

x f ω ,

kde pre ...,2,1,0=n je ( ) ( ) dxl xn

x f l

dx xn x f T

al

l

T

nπ

ω cos2

cos4

0∫ ∫ −

== , 0=nb .

Ak naviac funkcia ( ) x f je nepárna, l T 2= al π

ω = , tak hovoríme o sínusovom FR

( ) ∑∞=

≈1

sinn

n xnb x f ω ,

kde pre ...,2,1=n je ( ) ( ) dxl xn

x f l

dx xn x f T

bl

l

T

nπ

ω sin2

sin4

0∫ ∫ −

== , 0=na .

Niekedy je treba pomocou FR vyjadri ť aj neperiodickú, po častiach spojitú funkciu( ) x f definovanú na l aa +, . Najskôr ju ale musíme periodicky pred ĺžiť (rozšíri ť).

Pred ĺženie je bu ď párne, alebo nepárne.Pre párne pred ĺženie z l ,0 na l l ,− je potom

( ) ( )( )⎩

⎨⎧ −∈− ∈=0,

,0l x pre x f l x pre x f x f P

Pre nepárne pred ĺženie z l ,0 na l l ,− je potom

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∈−−=∈

=0,

00

,0

l x pre x f

x pre

l x pre x f

x f N

Príklad 1: Nájdite FR funkcie ( ) x x f = na intervale π π ,−∈ x

Podľa zadania je 12 =⇒=⇒= ω π π T l

022

1122

0

2020

00 =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +==

−− −∫ ∫ ∫

π

π

π

π π

π

π π π x x

dx xdx xdx xa

0......cos1

cos22 =−=== ∫ ∫

−− partés per dxnx xdxnx xa n

π

π

π

π π π

...sincos1

......sin1

sin22

2 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−====−−−−

∫ ∫ π

π

π

π

π

π

π

π π π π nnx

nnx x

ppdxnx xdxnx xbn




( ) ( ) ( ) ( )112

12

111

... +−=−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−= nnnn

nnnnπ π

π pre ...,2,1=n

Výsledok zapíšeme v tvare

( ) ( )∑∞

=

+−≈1

1 sin12

n

n nx

n

x f

Príklad 2: Nájdite FR funkcie ( ) 2 x x f = na intervale π π ,−∈ x

Podľa zadania je 12 =⇒=⇒= ω π π T l

32

3311

22 2

0

3030

0

220

π π π π

π

π

π

π π

π

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +==

−− −∫ ∫ ∫ x x

dx xdx xdx xa

......2...sin1

sin22 22 ==== ∫ ∫

−−

partés per krát dxnx xdxnx xa n

π

π

π

π π π

...sin2cos2sin1

... 32

2

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−−−

π

π

π

π

π

π π nnx

nnx x

nnx x

( ) ( ) ( )nnn

nnn1

41

21

21... 222

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−= π π

π pre ...,2,1=n

0...2...cos1

cos22 22 =−=== ∫ ∫

−− partés per krát dxnx xdxnx xbn

π

π

π

π π π


( ) ( )∑∞

= −+≈ 12

2

cos14

3 n

n

nxn x f π

Príklad 3: Rozšírte funkciu ( ) x x f −=4 , π ,0∈ x do kosínusového FR.

Pretože h ľadáme kosínusový FR musíme funkciu ( ) x f najprv dodefinova ť tak, aby bola na rozšírenom intervale párna. Dostávame teda párnu funkciu

( )⎩⎨⎧

−∈+∈−=

0,4

,04

π

π

x pre x

x pre x x f P

Pod ľa zadania je 12 =⇒=⇒= ω π π T l

( ) π π

π π π π

π π

−=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−= ∫ 82

42

24

24

24 2

0

2

00

x xdx xa

( ) ( ) ...sin2sin

42

......cos424

000

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −==−= ∫ ∫ π π π

π π π dx

nnx

nnx

x ppdxnx xa n

( )( )n

nnnn

nnx

1120coscos2cos2

... 2220

2−−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=π

π π π

π

pre ...,2,1=n

0=nb pre ...,2,1=n





g) ( )( )( )

{ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∈∈

−∈−=

π π

π

π

,0,0

,0cos

0,cos

x

x x

x x

x f ( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++∑∞

=12 sin11

12

n

n nxn

nπ

1.4.2 Rozviň te funkciu )( x f do kosínusového radu:

a) 2

)(x

x f = ( )π ,0∈ x ( )

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−

− ∑∞

=12 12,12cos

12

124 k

k n xk k π

π

b) x x f =)( π π ,−∈ x ( )[ ]

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

−− ∑∞

=12 12,

12

12cos42 k

k nk

xk π

π

1.4.3 Rozviň te funkciu )( x f do sínusového radu:

a) 2

)(x

x f = , ( )π ,0∈ x ( )

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −∑∞

=

+

nxnn

n

sin1

1

1

b) 24

)(x

x f −=π , ( )π ,0∈ x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =∑∞

=1

2,2sin21

k

k nkxk



Kapitola 2 - Diferenciálny po č et funkcie n-premenných23

2 DIFERENCIÁLNY PO ČET FUNKCIE N - PREMENNÝCH

2.1 PARCIÁLNE DERIVÁCIE FUNKCIE N-PREMENNÝCH

Majme funkciu f ( X ), )...,,,( 21 n x x x X = definovanú v okolí O( A) bodu

)...,,,( 21 naaa A = . Nech )( ii x g je parciálna funkcia ),...,,,,...,,()( 1121 niiiii aa xaaa f x g +−= ,

i = 1, 2, ..., n, definovaná na množine )(),...,,,,...,,( 1121 AOaa xaaaM niiii ⊂= +− . Parciálnou

deriváciou funkcie f ( X ) pod ľa premennej xi v bode A nazývame deriváciu funkcie )( ii x g

v čísle ii a x = a ozna čujeme ju jedným zo znakovi x

A f ∂

∂ )(,

Ai x f ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ ∂∂

, )( A f i x′ .

Zložená funkcia. Nech ( )),...,(,...),,...,(),...,( 1111 mnmm x x g x x g f x x F = je zložená

funkcia. Nech funkcie ),...,( 1 mi x x g , i = 1, 2, ..., n sú diferencovate ľné v bode Aaaaa m ∈= )...,,,( 21 . Nech funkcia f je diferencovate ľná v bode ( ) Ba g a g b n ∈= )(,...),(1 .

Potom zložená funkcia F je diferencovate ľná v bode a , pri čom pre jej parciálne derivácie platí:

i

n

niii xa g

g b f

xa g

g b f

xa g

g b f

xa F

∂∂⋅∂

∂+⋅⋅⋅+∂∂⋅∂

∂+∂∂⋅∂

∂=∂∂ )()()()()()()( 2

2

1

1

, i = 1, 2, ..., m.

Implicitná funkcia. Nech F ( x, y) je spojitá funkcia dvoch premenných. Ak existujespojitá funkcia )( x f y = taká, že pre každé x z oboru definície funkcie )( x f y = platí

[ ] 0)(, = x f x F , potom funkciu f ( x) nazývame funkciou ur čenou implicitne rovnicou

0),( = y x F . Nech F ( x, y) je spojitá na okolí bodu ),( 00 y x A = a má na danom okolí spojité parciálne

derivácie až do n-tého rádu. Nech v bode A je F ( x, y) = 0 a 0),( 00 ≠∂

∂ y

y x F , potom existuje

kladné číslo ξ také, že funkcia f ( x) má na intervale ),( 00 ξ ξ +−= x x I spojité derivácie až do

n-tého rádu. Pre prvú deriváciu funkcie f ( x) platí: ′′

−=′ y

x

F

F x f )( , kde

x F

F x ∂∂=′ a

y F

F y ∂∂=′ .

Rovnica dotykovej roviny ku grafu funkcie z = f(x,y). Nech funkcia z = f ( x, y) jespojitá a diferencovate ľná v okolí bodu ),,(

000z y x A = . Potom rovnica dotykovej roviny ku

grafu tejto funkcie v bode A je:

0)()()(

)()(

000 =−−−∂∂+−∂

∂ z z y y

y A f

x x x A f

.

Rovnica dotykovej roviny ku grafu funkcie z = f ( x, y) danej implicitne rovnicou 0),,( = z y x F v bode ),,( 000 z y x A = je:

0)()(

)()(

)()(

000 =−∂∂+−∂

∂+−∂∂

z z z A F

y y y A F

x x x A F

Príklad 1 : Nájdime parciálne derivácie funkcie y x y x y x f 234 112),( +−= .




Počítajme f ∂∂

, premennú y považujeme za konštantu a f derivujeme ako funkciu

jednej premennej x, dostaneme

xy x x f

224 3 +=∂∂

.

Analogicky vypo čítame y f ∂∂ , teraz považujeme premennú x za konštantu a f

derivujeme ako funkciu jednej premennej y, dostaneme22 116 x y

y f +−=∂∂

Príklad 2 : Nájdime parciálne derivácie funkcie f ( x, y, z ) v bode A=(1,-2,1), ak

x z

z y

y x

z y x f −+=),,( .

Nájdeme parciálne derivácie z f

y f

x f ∂∂∂∂∂∂ ,, :

x z y

z f

z y x

y f

x z

y x f 1

,1

,1

222−−=∂

∂+−=∂∂+=∂

∂.

Pre h ľadané parciálne derivácie v bode A dostávame

,43

1411

,21

1211

22=+−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂=+−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∂∂

A A A A z y x

y f

x z

y x f

1121

2=−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ∂∂

A A x z y

z f

Príklad 3 : Vypo čítajmedt dz

, ak y x z .= , kde t e yt x +== 1,ln .

Daná funkcia z je zložená funkcia premennej t . Funkcia t t x ln)( == je

diferencovate ľná na množine A = (0, ∞) a funkcia t et y +== 1)(ψ je diferencovate ľná namnožine B = (-∞,∞). Funkcia z je diferencovate ľná v každom bode ( x, y). Deriváciu funkcie z ur číme zo vz ťahu

dt dy

y z

dt dx

x z

dt dz

⋅∂∂+⋅∂

∂=

a dostanemet

t

t t e

e

t t

ee

y x

t y

dt dz

⋅+

++=⋅⋅+⋅=12

ln1

2

11

Príklad 4 : Vypo čítajmev

z u z

∂∂

∂∂

, , ak y

x z

2

= , kde uv yvu x 2,2 +=−= .

Daná funkcia z je zložená funkcia premenných u a v, je definovaná v každom bode( x, y)∈ D = { y≠0, teda v≠-2u }. Funkcie vuvu x 2),( −== , uvvu y 2),( +== majúspojité parciálne derivácie v každom bode ( u,v) 2 E ∈ . Funkcia z je diferencovate ľná v každom

bode ( x, y)∈ D. Parciálne deriváciev

z u z ∂∂∂∂ , ur číme zo vz ťahov




u y

y z

u x

x z

u z

∂∂⋅∂

∂+∂∂⋅∂

∂=∂∂

,

v y

y z

v x

x z

v z

∂∂⋅∂

∂+∂∂⋅∂

∂=∂∂

,

pri čom dostaneme

2

2

22

)2()2(2

2)2(2

21

.12

uvvu

uvvu

y x

y x

u z

+−−+

−=⋅−+⋅=∂∂

,

2

2

22

)2()2(

2)2(4

11

.)2(2

uvvu

uvvu

y x

y x

v z

+−−+

−−=⋅−+−⋅=∂∂

Príklad 5 : Vypo čítajme deriváciu funkcie )( x f y = zadanej implicitne, ak

[ ] 052:)(, 2 =−+−− ye xy x x f x F y .

Pre deriváciu funkcie )( x f ′ platí: ′

′

−=′=′ y

x

F

F x f y )( , kde x

F F x ∂

∂=

′a y

F F y ∂

∂=

′.

Najskôr vypo čítame parciálne derivácie funkcie F( x, y):

y x x F

22 −=∂∂

, 12 +−−=∂∂ ye x y F

.

A teda dostaneme

1222

1222

−+−=

+−−−−=′

y y e x y x

e x y x

y

Príklad 6 : Nájdime rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie danej rovnicou2214 y x z −−= v bode A = (3,1,2).

Pre rovnicu dotykovej roviny ρ ku grafu funkcie ),( y x f z = v bode ( )000 ,, z y x A = platí

ρ : 0)()()(

)()(

000 =−−−∂∂+−∂

∂ z z y y

y A f

x x x A f

(1).

Najprv ur číme x A f

∂∂ )(

a y A f

∂∂ )(

:

2

3

14

)(22

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=∂

∂

A y x

x

x

A f ,

2

1

14

)(22

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=∂

∂

A y x

y

y

A f .

Dosadením do rovnice (1) dostaneme

ρ : 0)2()1(21

)3(23 =−−−−−− z y x

a rovnicu následne môžeme upravi ť na tvar ρ : 01423 =−++ z y x .

Rovnicu normály ur číme zo vz ťahu

n: t x A f

x x ∂∂+= )(

0 , t y A f

y y ∂∂+= )(

0 , t z z −= 0 , t ∈R

a dostaneme

n: t x233 −= , t y

211 −= , t z −=2 , t ∈R .




Príklad 7 : Nájdime rovnicu dotykovej roviny ρ a normály n ku grafu funkcie danejimplicitne rovnicou 03 =−+− xy z e z v bode A = (2,1,0).

Pre rovnicu dotykovej roviny ρ ku grafu funkcie 0),,( = z y x F v bode( )000 ,, z y x A = platí

ρ : 0)()()()()()( 000 =−∂∂+−∂∂+−∂∂ z z z A F y y

y A F x x

x A F (2).

Ur číme x A F

∂∂ )(

, y A F

∂∂ )(

, z A F

∂∂ )(

:

1)()( ==∂

∂ A y

x A F

, 2)()( ==∂

∂ A x

y A F

, ( ) 01)( =−=∂

∂ A

z e z A F

.

Dosadením do rovnice (2) dostanemeρ : 0)0.(0)1.(2)2( =−+−+− z y x ,

resp. po úpraveρ : 042 =−+ y x .

Rovnicu normály ur číme zo vz ťahu

n: t x A F

x x ∂∂+= )(

0 , t y A F

y y ∂∂+= )(

0 , t z A F

z z ∂∂+= )(

0 , t ∈R

a dostanemen: t x += 2 , t y 21 += , 0= z , t ∈R

Príklad 8 : Nájdime rovnicu dotykovej roviny ρ k elipsoidu F : 2123 222 =++ z y x , ktorá jerovnobežná s rovinou α: 046 =++ z y x .

Nech T = ),,( 000 z y x je dotykovým bodom elipsoidu a roviny ρ . Ur číme x

T F ∂∂ )( ,

yT F

∂∂ )(

, z T F

∂∂ )(

:

06)(

x x

T F =∂∂

, 04)(

y y

T F =∂∂

, 02)(

z z T F =∂

∂.

Keďže α je rovnobežné s ρ, tak ),4,6(. k k k nk n == α ρ . Zárove ň platí rovnos ť

)2,4,6(),4,6( 000 z y xk k k = , z ktorej pre súradnice bodu T dostaneme

2,, 000

k z k yk x === .

Neznámu k ur číme dosadením súradníc bodu T do rovnice elipsoidu

0214

232

22 =−++ k k k

a máme242 ±=⇒= k k .

Dostali sme dva dotykové body )1,2,2(1 =T a )1,2,2(2 −−−=T . Použitím vz ťahu (2)z Príkladu 7 a po následnej úprave pre h ľadané roviny dostaneme

02146:

02146:

2

1

=+++=−++

z y x

z y x

ρ

ρ




Úlohy :

2.1.1 Určte parciálne derivácie funkcií pod ľ a jednotlivých premenných :

a)

xy y x y x f 15),(33

−+= ⎢⎣

⎡

−=∂∂

y x x f

1532

, ⎥⎦

⎤

−=∂∂

x y y f

1532

b) )84ln(),( 2 +−= x y y x f ⎢⎣

⎡

+−−=∂

∂84

42 x y x

f , ⎥

⎦

⎤

+−=∂

∂84

22 x y

y y f

c) 9

),(22 y x

arctg y x f += ⎢

⎣

⎡

++=∂

∂222 )(81

18 y x

x x f

, ⎥⎦

⎤

++=∂

∂222 )(81

18 y x

y y f

d) x y x y x f 3sin)52(),( += ⎢⎣

⎡ ++=∂∂

x y x x x f

3cos)52(33sin2 , ⎥⎦

⎤=∂∂

x y f

3sin5

e)

22

22

),( y x y x

y x f +−

= ⎢⎣

⎡

+=∂∂

222

2

)(4

y x xy

x f

, ⎥⎦

⎤

+−

=∂∂

222

2

)(4

y x y x

y f

f) z x

y z

x y

z y x f ++=),,( ⎢⎣

⎡ +−=∂∂

z x y

x f 1

2 , 2

1 y z

x y f −=∂∂

, ⎥⎦

⎤−=∂∂

2

1 z x

y z f

g) y y x

xe y x f +=),( , x >0⎢⎢

⎣

⎡+=∂

∂ −11 y y x

yxe y x

f ,

⎥⎥

⎦

⎤+−=∂

∂ x xe

y x

y f y y

x

ln2

h) y x xye y x f 2),( += ⎢⎣

⎡ +=∂∂ + )1(2 x ye x f y x , ⎥

⎦

⎤+=∂∂ + )21(2 y xe y f y x

2.1.2 Nájdite parciálne derivácie danej funkcie pod ľ a jednotlivých premenných v bode A :

a) y x

arctg y x f =),( , A = ( 0;1) [1;0]

b) )ln(),,( 222 z y x z y x f ++= , A = ( 3; 2; 1 ) ⎢⎣

⎡

73

;72

; ⎥⎦

⎤

71

c) xye y x y x f += 23),( , A = ( 1; 2 ) [ ]22 3,212 ee ++

d) x y

e y x f sin

),( = , A = ( 1; 0 ) [ ]1,0

2.1.3 Vypočítajte dt dz

:

a) y x z = ; t x ln= , t e y +=1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ t e

y

xt

y2

1

b) y x z ln= ; t x sin= , t y cos= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+− t x x y

t y x y y sin.ln1

cos.ln lnln1

c) )arcsin( y x z −= ; t x 3= , 34t y = ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−−

2

2

)(1

123

y x

t




d) y

x z sinln= ; 23t x = , 12 += t y

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−

1)(cot

6)(cot

23 t

t

y

x

y

x g

y

t

y

x g

2.1.4 Vypoč ítajtedx

dz :

a) y

xarctg z

1+= , x y ln= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++−

++ x x y x

x y y 1

.)1(

1)1( 2222

b) y xe z = , x y sin= [ x xee y y cos+ ]

2.1.5 Vypoč ítajteu z ∂∂

,v

z ∂∂

:

a) x y y x z 22 −= ; vu x cos= , vu y sin=

⎢⎣

⎡ −+−=∂∂ v xy xv y xyu z

sin)2(cos)2( 22 , ⎥⎦

⎤−+−−=∂∂ vu xy xvu y xy

v z

cos)2(sin)2( 22

b) y x z ln2= ;vu

x = , vu y 23 −=

⎢⎣

⎡ +⋅=∂∂

y x

v y x

u z 2

31

ln2 , ⎥⎦

⎤−⋅−=∂∂

y x

vu

y xv

z 2

2 2ln2

c) y x

xe z = ; 22 vu x += , uv y =

ve y x

u y x

eu z

y

x

y

x

2

2

2).1( −+=⎢⎣

⎡

∂∂

,⎥⎥⎦

⎤

−+=∂∂

ue y x

v y x

ev z

y

x

y

x

2

2

2).1(

d) y

x z

2

= ; vu x 2−= , uv y 2+= ⎢⎣

⎡ −=∂∂

2

222 y x

y x

u z

, ⎥⎦

⎤−−=∂∂

2

24 y x

y x

v z

e) )ln( 22 y x z += ; uv cos= , vu y cos=

v y x

yuv

y x x

u z

sin2

sin2

2222 ++

+−=⎢

⎣

⎡

∂∂

, ⎥⎦

⎤

++

+=∂

∂vu

y x y

u y x

xv

z cos

2cos

22222

f) )( y xarctg y x

z += ; uv= , vu y +=

⎢⎣

⎡

++++−

++++=∂

∂222 )(1

1.)(

)(1.)(

y x y x

y xarctg y x

y xv

y x

y xarctg yv

u z

,

⎥⎦

⎤

++++−

++++=∂

∂222 )(1

1.)(

)(1.)(

y x y x

y xarctg y x

y xu

y x

y xarctg yu

v z

2.1.6 Dokážte, že funkcia :

)ln( 22 y x z += vyhovuje rovnici 0=∂∂−∂

∂ y z

x x z

y .

)sin( 222 y x y z −= vyhovuje rovnici xz y z xy

x z y 22 =∂∂+∂∂ .




22 y x z += , kde t a x sin= , t b y cos= , vyhovuje rovnici xyab

badt dz )(2 22 −= .

y x

arctg z = , kde vu x += , vu y −= , vyhovuje rovnici 22 vuvu

v z

u z

+−=∂

∂+∂∂

.

2

223 sin y z xu += , vyhovuje rovnici: u

z u z

yu y

xu x 3=∂∂+∂∂+∂∂ .

zo stavovej rovnice ideálneho plynu nRT pV = , kde p je tlak, V-objem, T-termodynamická teplota, n-látkové množstvo, R-mólová plynová konštanta; vyplýva:

1−=∂∂⋅∂

∂⋅∂

∂ pT

T V

V p

.

2.1.7 Nájdite y y ′′′, funkcie ( ) y x F , zadanej implicitne:

a) 0162 22 =−−− y xy x ⎢

⎣

⎡

+

−=′ y x

y x y ; ⎥

⎦

⎤

+

−+=′′3

22

)(

242

y x

x xy y y

b) 08ln 2 =+−− y y x ⎢⎣

⎡

+=′

221 y y

y ; ⎥⎦

⎤

+−=′′

32

2

)21()21(

y y y

y

c) 01lnln =−++ x y xy ⎢⎣

⎡ −=′ x y

y ; ⎥⎦

⎤=′′2

2 x

y y

d) 03 =++− y xe y ⎢⎣

⎡

+=′′

11

ye y ; ⎥

⎦

⎤

+−=′′

3)1( y

y

ee

y

2.1.8 Vypoč ítajte y ′(A) funkcie zadanej implicitne:a) 1lnln =− x y y x , A = ( 1, ? ) [ ])1( −ee

b) y y y x cos2cossin2 =+ , A = ( ?,2π

) ⎢⎣

⎡ −=′ 2)2

,1(π

y , ⎥⎦

⎤=−′ 2)2

,1(π

y

2.1.9 Nájdite všeobecnú rovnicu doty čnice a normály v bode A ku grafu funkcie zadanejimplicitne:

a) 01ln =−+ y xy , A = ( 1; 1 ) [ :t 032 =−+ y x , n: 012 =−− y x ] b) 0255 =−+ xy y x , A = ( 1; 1 ) [ :t 02 =−+ y x , n: 0=− y x ] c) x y e xye −=+ , A = ( 0; ? ) [ :t 0=+ y x , n: 0=− y x ] d) 032 =+− y xe xy , A = ( 0; ? ) [ :t 033 =−− y x , n: 013 =++ y x ] e) 1lnln =++ x y xy , A = ( 1; 1 ) [ :t 02 =−+ y x , n: 0=− y x ]

f) 0log = y x

x , A = ( 1; 1 ) [ :t 0=− y x , n: 02 =−+ y x ]

g) 2

.. sinsin2 π =+ x y e ye x , A = ( 0;2π

) [ :t 02 =−+ π π y x , n: 02

22

=+− π π y x ]

2.1.10 Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie z = f(x; y) v dotykovombode A:

a) 2

)2(),( −−= x y y x f , A = ( 1; 1; ? )[ ρ: 0444 =+−− z y x , n: t x 41 += , t y 41 −= , t z −=4 ; ∈t R ]




b) 2214),( y x y x f −−= , A = ( 3; 1; ? )[ ρ: 01423 =−++ z y x , n: t x 33 += , t y +=1 , t z 22 += , ∈t R ]

c) 22 42),( y x y x f −= , A = ( 2; 1; ? )[ ρ: 0488 =−−− z y x , n: t x 82 += , t y 81 −= , t z −=4 , ∈t R ]

d) x yarctg y x f =),( , A = ( 1; 1; ? )

[ ρ: 02

2 =−+− π z y x , n: t x +=1 , t y −=1 , t z 2

4+=π

, ∈t R ]

e) xy y x y x f −+= 22),( , A = ( 3; 4; ? )[ ρ: 06051117 =−++ z y x , n: t x 173 += , t y 114 += , t z 57 +−= , ∈t R ]

f) y x

y x f sin),( = , A = ( π; 1; ? )

[ ρ: 0=+− z y x π , n: t x +=π , t y π −=1 , t z = , ∈t R ]

g) xe y x f y sin.),( 2= , A = (4π

; 0; ? )

ρ: 0)4

1(22222 =−+−+ π z y x , n: t x 2

4+=π

, t y 22= , t 222 − , ∈t R ]

2.1.11 Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie F zadanej implicitnev dotykovom bode A:

a) F: 04 222 =−−−+++ z y x z y x , A = ( 2; 3; 6 )

ρ: 02845 =−++ z y x , n: t x 52 += , t y 43 += , t z +=6 , ∈t R ] b) F: 03 =−+− xy z e z , A = ( 2; 1; 0 )

ρ: 042 =−+ y x , n: t x +=2 , t y 21 += , 0= z , ∈t R ] c) F: 0)(2)( 2222222 =+−−++ z y x z y x , A = ( 1; 0; 1 )

ρ: 02 =−+z x , n: t x +=1 , 0= y , t z +=1 , ∈t R ]

d) F: 0822 =−+ z y

z x

, A = ( 2; 2; 1 )ρ: 04 =−+ z y x , n: t x +=2 , t y +=2 , t z 41 −= , ∈t R ]

Nájdite rovnicu dotykovej roviny k elipsoidu v bode A: 364 222 =++ z y x , [ ]?,2,1 A

[ 036198:2,1 =−±+ z y x ρ ]

2.1.12 Napíšte rovnicu dotykovej roviny ku grafu danej funkcie, pri čom dotyková rovina jerovnobežná s danou rovinou σ:

a) 224 y x z += , σ: 0122 =+−+ z y x [ 05488: =−−+ z y x ρ ] b) 224 y x z −−= , σ: 022 =−+ z y x

[ 0622: =+−+ z y x ρ ] c) 142 222 =++ z y x , σ: 0142 =−+− z y x [ 0742:2,1 =±+− z y x ρ ] d) 02132 222 =−++ z y x , σ: 064 =++ z y x [ 02164:2,1 =±++ z y x ρ ]

Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie22

2 y x z += , ktorá je kolmá na priamku Rt t z t yt x p ∈−−==−= ,22,2,1: [ ]0316168: =++− z y x ρ




2.1.13 Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie 224 y x z += , ktorá je kolmá napriese čnicu rovín α a β: α: 01 =−++ z y x , β: 0122 =−+− z y x

[ ]05361248: =−−− z y x ρ

2.2 LOKÁLNE EXTRÉMY FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH

Nech bod A je stacionárnym bodom funkcie f ( X ) a nech v bode A je funkcia f ( X ) dvarazy diferencovate ľná. Potom:

funkcia f ( X ) má v bode A ostré lokálne minimum [ maximum ], ak druhý diferenciál),(2 X A f d pre každý bod X ≠ A je kladný [ záporný ],

funkcia f ( X ) nemá v bode A lokálny extrém, ak existujú body 21 , X X také, že

),( 12 X A f d a ),( 2

2 X A f d majú rôzne znamienka.

Nutná a posta čujúca podmienka, aby bolo 0),(2 > X A f d 0),(2 < X A f d pre každý bod X ≠ A, je

011 >a , 02221

1211 >aa

aa, ... , 0

...

.....................

...

...

21

22221

11211

>

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

<>< ...,0,0,0

333231

232221

131211

2221

121111

aaa

aaa

aaa

aa

aaa ,

pričomk i

kiik x x A f aa ∂∂

∂== )(2.

Viazané extrémy. Nech funkcia z = f ( x, y) je definovaná na množine M a množinu N nech tvoria všetky body z M , ktoré vyhovujú rovnici g ( x, y) = 0. Lokálne extrémy funkcie

f ( x, y) na množine N nazývame viazanými lokálnymi extrémami a podmienku g ( x, y) = 0, ktoráur čuje množinu N , nazývame väzbou.

Pri h ľadaní extrémov môžu nasta ť dva prípady: Väzba g ( x, y) = 0 ur čuje jedinú funkciu )( x y = .

V takomto prípade viazaný extrém danej funkcie h ľadáme ako lokálny extrém funkcie jednej premennej )](,[ x x f z = .

Väzba g ( x, y) = 0 neur čuje jedinú funkciu )( x y = .V tomto prípade postupujeme tzv. Lagrangeovou metódou neur čitých koeficientov.

Zostrojíme Lagrangeovu funkciu),(.),(),( y x g y x f y x L λ +=

a hľadáme lokálne extrémy tejto funkcie s väzbou g ( x, y) = 0. Toto vedie k riešeniu sústavyrovníc

0),(),(),( =∂

∂⋅+∂

∂=∂∂

x y x g

x y x f

x y x L

λ , 0),(),(),( =∂

∂⋅+∂

∂=∂∂

y y x g

y y x f

y y x L

λ , 0),( = y x g ,

z ktorého ur číme neznáme x, y, λ. Charakter extrému ur číme pod ľa popisu v predošlomodseku.




Príklad 1 : Nájdime lokálne extrémy funkcie y x xy x y x f 24513),( 23 −−+= .

Vypo čítame parciálne derivácie x f ∂∂

, y f ∂∂

a položíme ich rovné nule. Dostaneme

05133 22 =−+=∂∂ y x x f , 0246 =−=∂∂ xy

y f .

Riešením danej sústavy rovníc dostaneme stacionárne body A = (1, 4), B = (-1, -4), C= (4, 1), D = (-4, -1). V stacionárnych bodoch môže ma ť funkcia f lokálne extrémy.Vypo čítame parciálne derivácie druhého rádu a ur číme ich hodnoty v stacionárnych bodoch.

Dostaneme

x f

62

2

=∂∂

242466 −==−== DC B A

x y

f 62

2

=∂∂

242466 −==−== DC B A

y y x f

62

=∂∂∂ 662424 −==−== DC B A

V bode A extrém neexistuje, pretože 0540)(2 <−=∆ A .V bode B extrém neexistuje, pretože 0540)(2 <−=∆ B .V bode C je lokálne minimum - [ ] 152)1,4( −==C f , pretože 024)(1 >=∆ C a

0540)(2 >=∆ C .V bode D je lokálne maximum - [ ] 152)1,4( =−−= D f , pretože 024)(1 <−=∆ D a

0540)(2 >=∆ D

Príklad 2 : Nájdime viazané extrémy funkcie xye y x f =),( , ak 2=+ y x .Z funkcie 0),( = y x g ( 02 =−+ y x ) predstavujúcej väzbu môžeme jednozna čne

vyjadri ť ľubovo ľnú z dvoch premenných, napr. x y −=2 . Takto vyjadrené y dosadíme dofunkcie ),( y x f a dostaneme funkciu jednej premennej:

22)( x xe x f −= .Vypo čítame deriváciu )( x f ′ a položíme ju rovnú nule. Dostaneme

0)22(22 =−=′ − xe f x x .

Riešením danej rovnice dostaneme stacionárny bod A = (1, 1). Vypo čítame deriváciudruhého rádu )( x f ′′ a ur číme jej hodnotu v stacionárnom bode. Dostaneme

02)284( 22 2 <−=+−=′′ − e x xe f A x x .

A teda funkcia ),( y x f s väzbou 2=+ y x má v bode A lokálne maximum,[ ] e A f == )1,1(

Príklad 3 : Nájdime viazané extrémy funkcie y x y x f 2),( += , ak 522 =+ y x .

Keďže z funkcie 0),( = y x g ( 0522 =−+ y x ) predstavujúcej väzbu nemôžeme jednozna čne vyjadri ť žiadnu z dvoch premenných, zostrojíme Lagrangeovu funkciu

)5.(2),( 22 −+++= y x y x y x L λ , ∈λ R




a hľadáme jej extrémy. Vypo čítame parciálne derivácie x L∂∂

, y L∂∂

, položíme ich rovné nule a

stacionárne body ur číme so sústavy rovníc

021 =+=

∂

∂ x

x

Lλ

022 =+=∂∂

y y L

λ

0522 =−+ y x .Postupujeme nasledovne: z prvej rovnice vyjadríme x, z druhej y a takto vyjadrené x, y

dosadíme do tretej rovnice. Dostaneme

051

41

22=−+

λ λ .

Riešením danej rovnice dostaneme21

2,1 ±=λ a ur číme stacionárne body A = (-1, -2),

B = (1, 2). Ďalej postupujeme podobne ako v Príklade 9. Vypo čítame parciálne deriváciedruhého rádu a ur číme ich hodnoty v stacionárnych bodoch. Dostaneme

λ 22

2

=∂∂ x L

11 −== B A

λ 22

2

=∂∂ y

L11 −== B A

02

=∂∂∂

y x L

.

V bode A je lokálne minimum - [ ] 5)2,1( −=−−= A f , pretože 01)(1 >=∆ A a

01)(2 >=∆ A .V bode B je lokálne maximum - [ ] 5)2,1( == B f , pretože 01)(1 <−=∆ B a

01)(2 >=∆ B

Úlohy :

2.2.1 Nájdite lokálne extrémy funkcie ),( y x f z =

a) y x y x z 2222 −+−= [ ]extrémynemá

b) ( ) y x y x

z −−++= 12loglog26

log3 [ ]2log5)4,6(),(max == f y x f

c) y x xy x z 24513 23 −−+= ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−===−−=

±±

152)1,4(),(min

,152)1,4(,max

,)4,1(

f y x f

f y x f

extrémynemá f

d) 168 33 +−+= xy y x z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ == 0)21

,1(),(min,)0,0( f y x f extrémnemá f

e) xy y x z 42 24 ++= [ ]1)1,1()1,1(),(min −=−=−= f f y x f

f) x xy x z 2162 23 −+= [ ]864)0,6(),(max,864)0,6(),(min =−=−== f y x f f y x f

g) y x y y x z 30183 32 −−+= [ ]72)3,1(),(min,)1,3( −==±± f y x f extrémynemá f

h) )( 22 y xe z x

+= [ ]12)0,2(),(min −−=−= e f y x f




i) )2( 22 y y xe z x ++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−=2

)1,21

(),(mine

f y x f

j) y x y x y z 62 +−−= [ ]12)4,4(),(max == f y x f

k) 8823 2 +−+−= x y y x x z [ ]0)4,2(),(min == f y x f

l) 0,,8255 ++= y x y x

xy z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ == 30)54,

25(),(min f y x f

m) 0,,8 ≠++= y x y

y x

x z [ ]6)2,4(),(min == f y x f

n) 516642 2 +−+−= y x x y y z [ ]43)6,4(),(min −== f y x f

o) 208124 24 +−+−= y y x x z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=±= 5)2,49

(),(min,)0,49

( f y x f extrémnemá f

p) 2251643 23 −−−+= x y xy x z

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=−−=

−==

±±

91136

)23

,34

(),(max

,9

362)

23

,34

(),(min

,)2,1(

f y x f

f y x f

extrémynemá f

q) 2224 244223 x x xy xy y y z −−−+++−= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

==−−=

−

4)2,2()1,1(),(max

,)21

,85

(

f f y x f

extrémnemá f

r) )1( 2 ++= + y xe z y x ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −=−=−

47

)

4

9,

2

1(),(min e f y x f

s) xy y x y x z 648242 23 ++−+= [ ]extrémnemá f f y x f )12,4(,1507)45,7(),(min −−−=−=

t) )24( 22 y x xe z y ++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−= 3)23

,2(),(min e f y x f

u) y y x

x z 4

227 ++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ == 18)23

,29

(),(min f y x f

v) y

x x y

z 9

3 +−= [ ]3)3,1(),(max =−= f y x f

w) )16ln(2

ln4

ln2 y x y x z −−++= [ ]2ln5)4,8(),(max == f y x f

x) y x

xy z 649

3 −−= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−−= 36)3

16,

43

(),(min f y x f

y) x y

xy z 14

2 ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ == 6)2,21

(),(min f y x f

z) y xy y x y x x z 1612164472 2224 +−+++= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=−−= 2)2

1,1(),(min f y x f




aa) x y xy y x y x x z 434461112 2224 −+−+++= [ ]27)3,2()2,1(),(min −=−−=−−= f f y x f

bb) 23 46 x y xy z −+= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−−=6

27)

23

,89

(),(max,)0,0( f y x f extrémnemá f

cc) 2223 52 y x xy x z +++=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

==±−

27500

)0,35

(),(max

,0)0,0(),(min

,)2,1(

f y x f

f y x f

extrémynemá f

dd) 233 2223 +−++= x y y x y z [ ]6)2,0(),(max,)0,0( =−= f y x f extrémnemá f

2.2.2 Nájdite lokálne extrémy funkcie ),,( z y x f u =

a) 324 222 +−−−−= x z y x yu [ ]8)0,2,1(),,(max =−= f z y x f

b) 122222 −++−+= y x z y xu [ ]extrémy Nemá

c) 5462222 ++−−++= z y x z y xu [ ]5)4,3,1(),,(min −=−= f z y x f

d) 2436226168491411 222 +−+−−−−++= y z x yz xz xy z y xu [ ]4)1,2,1(),,(min −== f z y x f

e) )18ln(4

ln23

ln42

ln2 z y x z y x

u −−−+++=

[ ]3ln42ln15)4,8,4(),,(max −== f z y x f

f) x x y

z z yu 293 2 +−+−= [ ]8)1,3,1(),,(max −=−= f z y x f

g) y x z y

xz xy yu 614

223 2 −+++++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ == 4)1,1,21

(),,(min f z y x f

h) z y x x z x y yz z yu 1616644432 22 −−+−−++=

[ ]48)0,6,4(),,(min −== f z y x f

i) 18121246104 222 +−−−++= z yz xy z y xu [ ]0)3,2,1(),,(min == f z y x f

j) x z xz z y xu 44223 222 −++−−−= [ ]4)2,0,0(),,(max == f z y x f

k) 5418233

+−+−+= z z xy y xu ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−== 213)2,6,6(),,(min

,)2,0,0(

f z y x f

extrémnemá f

l) 12841456 222 +−−+++= yz xz xy z y xu [ ]1)0,0,0(),,(min == f z y x f

m) )4( z y x xyz u −−−= [ ]1)1,1,1(),,(max == f z y x f

n) 1741415123 2223 ++++++++= z y x xy z y x xu

[ ]6913)2,145,23(),,(min −=−−= f z y x f

o) 222

)22( z y xe z y xu −−−++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ==−

21

223

)62

,32

,32

(),,(max e f z y x f




p) )2( 22 y z y xeu y x +++= + ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−=−

43

)0,21

,41

(),,(min e f z y x f

2.2.3 Nájdite viazané extrémy funkcie

a) 122,42822

=+−−= y xak y x z [ ]20)2,2(max,4)2,2(min =−−−= f f b) 5,2 22 =++= y xak y x z [ ]5)2,1(min,5)2,1(max −=−−= f f

c) 2111

, 22=++=

y xak y x z [ ]4)2,2(max,4)2,2(min −=−−= f f

d) 211

,11

22=++=

y xak

y x z [ ]2)1,1(min,2)1,1(max −=−−= f f

e) 1, 22 =++= y xak y x z [ ]2)22

,22

(min,2)22

,22

(max −=−−= f f

f) 10,3 22 =++= y xak y x z [ ]10)3,1(max,10)3,1(min =−=−− f f

g) 511

,21

22=++=

y xak

y x z ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−=−− 5)21

,1(max,5)21

,1(min f f

h) 1, +=+= + xyeak y x z y x [ ]0)0,0(max = f

i) 1,22 222 =+++−= z y xak z y xu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−−=−− 3)32

,32

,31

(max,3)32

,32

,31

(min f f

j) 7111

,421

222=++++=

z y xak

z y xu

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ =−=−−−

3317)

43,

23,3(max,

3317)

43,

23,3(min f f

k) 22, z x yak z y xu −=++= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−21

)21

,21

,21

(min f

l) 0)(ln,22 =+++= y xak y x xy z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =43

)21

,21

(min f

m) 4811

, 222=++++=

z y xak z y xu [ ]4)2,1,1(max,4)2,1,1(min −=−−−= f f

n) 1,22222 =++= ++ z y xeak z y xu

[ ]0)0,0,0(min = f

o) 1, +++=++= ++ yz xz xyeak z y xu z y x [ ]0)0,0,0(max = f

2.3 ZÁKLADY VEKTOROVEJ ANALÝZY

Gradient. Derivácia v smere. Nech je f ( X ) diferencovate ľná funkcia v bode A.Gradientom funkcie f ( X ) v bode A nazývame vektor grad f ( A), pre ktorý platí:

grad k z A f

j y A f

i x A f

A f rrr⋅∂

∂+⋅∂∂+⋅∂

∂= )()()()( .




Ak f je diferencovate ľná funkcia troch premenných f ( x, y, z ) v bode A a pre vektor I v pravouhlom súradnicovom systéme v priestore platí I = )cos,cos,(cos γ β α , potom prederiváciu f v bode A v smere vektora I platí

γ β α cos)(

cos)(

cos)()(

z A f

y A f

x A f

I d Adf

∂∂+

∂∂+

∂∂=r ,

resp. = I d Adf r

)(grad

I

I A f r

r

⋅)( .

Divergencia. Rotácia. Majme pri zvolenom pravoto čivom pravouhlomsúradnicovom systéme vektorovú funkciu troch premenných

k X f j X f i X f X f rrrr

)()()()( 321 ++= , pri čom funkcie ),,(),(),(),( 321 z y x X X f X f X f = majú parciálne derivácie na nejakej množine M priestoru E 3.

Divergenciou vektorovej funkcie f ( X ) nazývame funkciu

div f z f

y f

x f

∂∂+∂

∂+∂∂= 321 .

Rotáciou vektorovej funkcie f ( X ) nazývame funkciu

rot f k y f

x f

j x f

z f

i z f

y f rrr

⋅⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂+⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂+⋅⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂= 123123 .

Príklad 1 : Nájdime grad f v bode A, ak 432 2),,( z xz xy y x z y x f ++−= , A = (1, 2, -1).Gradient f ( x,y,z ) v bode A ur číme pod ľa vz ťahu

grad k z A f

j y A f

i x A f

A f rrr⋅∂

∂+⋅∂∂+⋅∂

∂= )()()()( .

Vypo čítame x A f

∂∂ )(

, y A f

∂∂ )(

, z A f

∂∂ )(

:

( ) 1322)( 3 −=+−=∂

∂ A z y xy

A f

( ) 236)( 22 −=−=∂

∂ A xy x

y A f

( ) 34)( 3 −=+=∂

∂ A z x

z A f

.

A dostanemegrad k ji A f

rrr32313)( −−−=

Príklad 2 : Nájdime deriváciu funkcie f ( x, y, z ) v bode A = (0, 1, 1) v smere po ľa l, ak

xyz z y x z y x f 3),,( 333 −++= a l zviera s osami z y x ooo ,, uhly:4

,3

,3

π π π .

Deriváciu f v smere vektora l ur číme zo vz ťahu

γ β α cos)(

cos)(

cos)()(

z A f

y A f

x A f

l d

Adf ∂

∂+∂∂+∂

∂=r .

Vypo čítame x A f

∂∂ )(

, y A f

∂∂ )(

, z A f

∂∂ )(

:

( ) 333)(

2 −=−=∂∂

A yz x x A f




( ) 333)( 2 =−=∂

∂ A xz y

y A f

( ) 333)( 2 =−=∂

∂ A xy z

z A f

.

A dostaneme

223)(⋅=

l d

Adf r

Príklad 3 : Nájdime deriváciu funkcie f ( x, y, z ) v bode A = (2, 1, 3) v smere po ľa l, ak xz yz xy z y x f ++=),,( a l = AB , A = (2, 1, 3), B = (5, 5, 15).

Deriváciu f v smere vektora l ur číme zo vz ťahu

=l d

Adf r

)(grad

l

l A f r

r

⋅)( (3).

Najprv nájdime súradnice l a hodnotu l :k ji A Bl rrrr

1243 ++=−= ,

13144169 =++=l r

.

Na ur čenie gradientu potrebujeme vypo čítať x A f

∂∂ )(

, y A f

∂∂ )(

, z A f

∂∂ )(

:

( ) 4)( =+=∂

∂ A z y

x A f

( ) 5)( =+=∂

∂ A z x

y A f

( ) 3)( =+=∂∂ A y x z A f .

Dosadením do vz ťahu (3) dostaneme

1368

131243

)354()( =++

⋅++= k jik ji

l d

Adf rrr

rrrr

Príklad 4 : Nájdime divergenciu vektorovej funkcie f ( x) k z x

y j z xi xy

rrr

++−+= )(. 22 v

bode A = (1, 1, 2).Pre div f platí:

div f (A) z A f

y A f

x A f

∂∂+

∂∂+

∂∂= )()()( 321 .

Vypo čítame x A f

∂∂ )(1 ,

y A f

∂∂ )(2 ,

z A f

∂∂ )(3 :

( ) 1)(1 ==∂

∂ A y

x A f

0)(2 =

∂∂

y A f

91

)()(

23

−=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+−

=∂∂

A z x y

z A f

.




A pre div f (A) dostaneme

div f (A)98

91

01 =−+=

Príklad 5 : Nájdime rotáciu vektorovej funkcie f ( x) k x z

j z y

i y x rrr

⋅+⋅+⋅= v bode [ ]1,1,1 A .Pre rot f platí:

rot f (A) k y f

x f

j x f

z f

i z f

y f rrr

⋅⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂+⋅⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂+⋅⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂∂−∂

∂= 123123 .

Vypo čítame y A f

∂∂ )(1 ,

z A f

∂∂ )(1 ,

x A f

∂∂ )(2 ,

y A f

∂∂ )(2 ,

x A f

∂∂ )(3 ,

y A f

∂∂ )(3 :

,0)(

,1)( 1

21 =∂

∂−=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −=∂

∂ z A f

y x

y A f

A

,1)(,0)( 222 −=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=∂∂=∂∂ A z

y z A f

x A f

0)(

,1)( 3

23 =∂

∂−=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=∂

∂ y A f

x z

x A f

A

.

A pre rot f (A) dostanemerot f (A) k jik ji

rrrrrr++=+++++= ).10().10().10(

Úlohy :

2.3.1 Nájdite gradient funkcie ( ) y x f , v bode A , ak:

a) ( ) xy y x y x f 3, 33 −+= , [ ]1,2 A ( )[ ] ji A f grad rr

39 −=

b) ( ) xy y x y x f 63, 32 −+= , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1,

31

A ( )[ ] ji A f grad rr

54 +=

c) ( ) 22, y x y x f += , A[4,3] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += ji A f grad rr

53

54

d) ( ) 224, y x y x f ++= , A[1,2] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += ji A f grad rr

32

31

e) ( ) 323, y x y x f = , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1,21

A ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= ji A f grad rr

49

3

f) ( ) 1174326, 22 −+−+= y x y x y x f , [ ]3,2− A ( )[ ] ji A f grad rr

1627 +−=

g) ( ) 22

22

, y x

y x xy

y x y x f

−++= , [ ]1,3 − A ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣


271

h) ( ) 2

12,

x y x

y x f +−= , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

417

,1 A ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ji A f grad rr

29

i) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ += y

x y x f 1

ln, , ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −

4

3,

3

7 A ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −= ji A f grad rr

9

16




j) ( ) ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=

x xy

y x f 1

ln, , [ ]3,2 A ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣


72

141

2.3.2 Nájdite gradient funkcie ( ) z y x f ,, v bode A , ak:

a) ( ) 433 4,, z y x z y x f ++= , ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ 2

1,1,2 A ( ) k ji A f grad rrr

2312 ++=

b) ( ) xyz z y x f =,, , A[1,2,3] ( ) k ji A f grad rrr

236 ++=

c) ( ) 432 2,, z xz xy y x z y x f ++−= , A[1,2,-1] ( )[ ]k ji A f grad rrr

32313 −−=

d) ( ) 433 4,, z y x z y x f ++= , A[2,1,-1] ( ) k ji A f grad rrr

16312 −+=

e) ( ) 222,, z y x z y x f ++= , A[3,-1,2] ( ) k ji A f grad rrr

426 +−=

f) ( ) 222

1,,

z y x z y x f ++= , A[2,-1,-2] ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−= k ji A f grad rrr

814

812

814

g) ( ) 222

1,, z y x z y x f ++= , A[2,-1,-2] ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

++= k ji A f grad rrr

272

271

272

h) ( )222

1ln,,

z y x z y x f

++= , A[2,-1,-2] ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= k ji A f grad rrr

92

91

92

i) ( )22

arcsin,, y x

z z y x f

+= , A[-3,4,2] ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−= k ji A f grad rrr

51

1258

1256

2.3.3 Nájdite uhol gradientov funkcií ( ) z y x f ,, , ( ) z y x g ,, v bode A , ak :

a) ( ) yz xz xy x z y x f +++= 223,, , ( ) yz xz z y z y x g ++−= 22,, , [ ]1,1,0 − A

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

22223

arccosϕ

b) ( ) 222,, z y x z y x f −+= , g(x,y,z) = ( ) y x

x z y x g +=arcsin,, , 7,1,1 A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =2π

ϕ

c) ( ) 22, y x xy y x f −= , g(x,y) = ( ) xy xy

y x g += 1, , [ ]2,1 A

[ ]°=0

d) ( ) z y x z y x f sincoscos,, ++= , ( ) z y x z y x g cossinsin,, −−= , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4,

3,0

π π A

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ += 15

1532

arccosϕ

e) ( ) 222,, z y z x z y x f ++= , ( ) z y x z y x

z y x g ++−−= ln,, , [ ]1,3,2− A

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =78

78arccosϕ




2.3.4 Vypoč ítajte deriváciu funkcie ( ) z y x f ,, v bode A v smere vektora ur

:

a) ( ) ,,133, 223 B Au xy y x x y x f rr =++−= [ ] [ ]5,6,1,3 B A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =0ud Adf r

b) ( ) ,,,, 222 B Au z y x z y x f rr == [ ] [ ]1,1,0,3,1,1 B A −

( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −= 22ud

Adf r

c) ( ) ,,,, B Au zx yz xy z y x f rr =++= [ ] [ ]15,5,5,3,1,2 B A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =1368

ud Adf r

d) ( ) ( ) ,2,,,3222 k ju z y x z y x f

rrr +=++= [ ]1,1,1 A ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =5159

ud Adf r

e) ( ) iu y xy x y x f rr −=−+−= ,71065, 32 , [ ]1,0 A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =6ud Adf r

f) ( ) ,,575,, 222 B Au xyz z xy yz x z y x f rr =+−= [ ] [ ]7,7,8,1,1,1 B A

( )⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ =8

ud

Adf r

g) ( ) ,,243,, 432 B Au z y x z y x f rr =+−= [ ] [ ]4,4,5,1,2,2 − B A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=50

504ud Adf r

h) ( ) ( ) ( )3

,,6

,,3, 2324 π π ==+−= y x ouuo y y x x y x f r

pr

p , [ ]1,1 − A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=25

37ud Adf r

i) ( ) ( ),cos,cos,cos,,, 32 γ β α =−+= u xyz z xy z y x f r

[ ]2,1,1 A ,

3,4,3π

γ π

β π

α === ( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=5ud

Adf r

j) ( ) iu y xy x y x f rr −=−+−= ,7265, 2 , [ ]1,0 A

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =10

103ud Adf r

2.3.5 Nájdite súradnice bodu, v ktorom gradient funkcie ⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +=

y x z

1ln je rovný ji

rr

916− .

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡−

4

3,

3

7,

4

3,

3

121 A A

2.3.6 V rovine nájdite všetky body, v ktorých ( ) A f grad z funkcie ( ) ( )23

22, y x y x f += sarovná 2.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =+∈32

: 22 y xk body




2.3.7 Nájdite deriváciu funkcie ( ) 22 63,, y xy x z y x f +−= v smere ľ ubovo ľ ného

jednotkového vektora ur

v bode ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−21

,31

A tak, aby bola :

i) rovná nule ii) minimálna iii) maximálna

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=22

,22

,2

2,

22

),2

2,

22

,22

,2

2) maxmin21 uuiiuui

rrrr

2.3.8 Vypoč ítajte divergenciu vektorovej funkcie ( ) z y x f ,,r

v bode A , ak :

a) k z j yi x z y x f rrrr

++=),,( , A [ ]1,1,1 ( ) 3= A f divr

b) k x z

j z y

i y x

z y x f rrrr

++=),,( , A [ ]1,1,1 ( ) 3= A f divr

c)

( )k ji z xy z y x f rrrr

−+= 32),,( 32 , A [ ]1,2,1 ( ) 8= A f divr

d) k z y x

z j

z y x

yi

z y x

x z y x f

rrrr

222222222),,(

+++

+++

++= , A [ ]3,2,1

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =714

A f divr

e) 222

),,( z y x

k x j z i y z y x f

++++=

rrrr

, A [ ]2,1,1 − ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =18

6 A f div

r

f) ( ) ( ) ( )k z y x j z y xie z y x f xyz rrrr

++++= lnsin.sin.sin),,( , A [ ]1,2,0 −

g) ( ) 1−= A f divr

h) ( ) ( ) ( )k z xy j y xz i yz e z y x f x

rrrr

ln.sin),,( 2 ++= , A [ ]3,,2 π

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++=

34

612 2e A f div π r

i) ( ) k z x

y j z xi xy z y x f

rrrr

++−+= 22),,( , A [ ]2,1,0 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =43

A f divr

j) k z y

xz j

x y yz

i z x

xy z y x f

rrrr

+++++=),,( , A [ ]3,1,2− ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=817

A f divr

k) k z y x j z y xi z y x z y x f rrrr

33223232

32),,( ++= , A ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡3,2

1,3

1 ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= 825

A f divr

2.3.9 Vypoč ítajte rotáciu vektorovej funkcie ( ) z y x f ,,r

v bode A , ak :

a) k xz j yz i xy z y x f rrrr

++=),,( , A [ ]1,1,1 ( ) k ji A f rot rrrr

−−−=

b) k x z

j z y

i y x

z y x f rrrr

++=),,( , A [ ]3,1,2 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= k ji A f rot rrrr

243

91

c) ( )k ji z xy z y x f rrrr

−+= 32),,( 32 , A [ ]1,2,1 ( ) k ji A f rot rrrr

42032 ++−=

d) k z y x

z j

z y x

yi

z y x

x z y x f

rrrr

222222222

32),,(

+++

+++

++= , [ ]3,2,1

e)




( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−= k ji A f rot rrrr

9814

196143

14143

f) 222

),,( z y x

k x j z i y z y x f

++++=

rrrr

, A [ ]2,1,1 −

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−−−= k ji A f rot rrrr

1961414

19614613

1965142

g) ( ) ( ) ( )k z y x j z y xie z y x f xyz rrrr

++++= lnsin.sin.sin),,( , A [ ]1,0,2 −

( ) k ji A f rot rrrr

2+−=

h) ( ) ( ) ( )k z xy j y xz i yz e z y x f xrrrr

ln.sin),,( 2 ++= , A [ ]1,,2 π

( ) k e je A f rot rrr

44 −=π

i) ( ) k

z x

y j z xi xy z y x f

rrrr

++−+= 22),,( , A [ ]2,1,1 − ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ +−= k ji A f rot rrrr

9

1

2

9

j) k z y

xz j

x y yz

i z x

xy z y x f

rrrr

+++++=),,( , A [ ]3,1,2− ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= k ji A f rot rrrr

24

118

11

k) k z y x j z y xi z y x z y x f rrrr

33223232 32),,( ++= , A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3,

21

,31

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= k j A f rot rrr

47

920

2.3.10 Vypoč ítajte :

a) ( ) z y x f grad div ,, v bode [ ]3,2,1 A , ak ( ) z y x xyz z y x z y x f 4532,, 222 ++++++= ( )[ ]98= A f grad div

b) ( ) z y x f grad div ,, v bode [ ]3,2,1 A , ak ( ) xyz z y x

z y x f 32

,,++

=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =54

289 A f grad div

c) ( ) z y x f grad rot ,, v bode [ ]3,2,1 A , ak ( ) z y x xyz z y x z y x f 4532,, 222 ++++++= ( )[ ]0= A f grad rot

d) ( ) z y x f grad rot ,, v bode [ ]3,2,1 A , ak ( ) xyz

z y x z y x f

32,,

++=

( )[ ]0= A f grad rot

e) ( ) z y x f rot div ,, v bode [ ]2,1.2 A , ak ( ) xyz z y x z y x f 543,, ++=

( )[ ]0= A f rot div

f) ( ) z y x f div grad ,, v bode [ ]3,2,1 A , ak ( ) k zx j z yi y x z y x f rrr

+−= 223,,

( ) k ji A f div grad rrr

4613 −+=




3 OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 1. RÁDU

Diferenciálnou rovnicou (DR) nazývame každú rovnicu, ktorá obsahuje výrazy typu( ) ( ) ( )n y y y y yg x f ,...,,,,, ′′′′′′ ., prič om n udáva rád diferenciálnej rovnice. Ak teda DR

obsahuje iba ( ) ( ) x f yg y ,,′ hovoríme teda o DR prvého rádu. Podobne pre ( ) ( ) x f yg y y ,,, ′′′ hovoríme o DR druhého rádu, pre( ) ( ) ( ) x f yg y y y n ,,,,..., ′′′ o DR n -tého rádu. Pod

označ ením y ′ resp. x&rozumieme deriváciedxdy resp.

dt dx a teda :

( )n

nn

dx yd

ydx

yd dxdy

dxd

ydxdy

y ==⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =′′=′ ,...,, 2

2

resp. ...,,,, 2

2

2

2

dx yd

ydt dy

ydt

xd x

dt dx

x ==== &&&&&&

Riešiť DR znamená nájsť jej riešenie na obore riešiteľnosti danej DR.

3.1 SEPAROVATE ĽNÁ DIFERENCIÁLNA ROVNICA

Separovateľ nou DR nazývame každú DR ktorú možno vo všeobecnosti zapísať v tvare( ) ( ) yg x f y .=′ . Daný typ DR riešime metódou separácie premenných, t.j. obyč ajne naľ avú

stranu DR presunieme všetky výrazy s premennou y a na pravej strane ponecháme zvyšok.

Ak teda nahradímedxdy

y =′ dostávame ( ) ( ) yg x f dxdy .= . Po separácii premenných sa dá DR

zapísať v tvare( ) ( )dx x f yg

dy = . Následným integrovaním DR dostávame

( )( )∫ ∫ = dx x f dy

yg

dy . Po zintegrovaní už dostávame riešenie danej DR, ktoré môžeme

vyjadriť v explicitnom( y je jednoznač ne vyjadrené) alebo implicitnom tvare ( y nie jemožné jednoznač ne vyjadriť ). Posledným krokom je vypoč ítanie konkrétnej hodnotykonštanty c v prípade, že je daná poč iatoč ná podmienka ( dosadením za x resp.y vovšeobecnom riešení DR).Príklad 1 : Nájdite riešenie DR

111

2 +=′

x y

x

Prepísaním DR do všeobecného tvaru dostaneme

12

+=′

x

x y pre 0≠ x prič om ( ) ( ) 1,

12

=+

= yg x

x x f

Po nahradení y ′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx x

xdy

12 += resp. ∫ ∫ +

= dx x

xdy

12

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie DR v tvare

c x y ++= 1ln21 2 , kde c je integrač ná konštanta

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR ( ) x x e y ye =′+1




Kapitola 3 - Obyčajné diferenciálne rovnice 1. rádu 45

x

x

ee

y y +=′

1. pre R x∈ prič om ( ) ( ) y yg

ee

x f x

x

=+

= ,1


dxe

edy y x

x

+=

1. resp. ∫ ∫

+= dx

e

edy y x

x

1


ce y x ++= 1ln2

2

, kde c je integrač ná konštanta

Príklad 3 : Nájdite riešenie DR y y y x ln..cos2 =′ , ak e y =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

4π


x y y

y 2cosln.=′ pre cos 0≠ x prič om ( ) ( ) y y yg

x x f ln.,

cos1

2==


dx x

dy y y 2cos

1ln.1 = resp. ∫ ∫ = dx

xdy

y y 2cos1

ln.1

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie DR v tvarec xtg y +=lnln , kde c je integrač ná konštanta

Dosadením za y x, z poč iatoč nej podmienky e y =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

4π dostávame

ctge +=4

lnln π resp. c+=10 1−=⇒ c

a teda riešenie DR zapíšeme v tvare 01lnln=+−

xtg y Úlohy

3.1.1 Riešte následujúce diferenciálne rovnice metódou separácie premenných.a) 0)1()1( 22 =+++ dy xdx y [ ]c yarctg xarctg =+ b) 0)1( 2 =++ dy xydx y c y x =+ )1( 22 c) 0)1(2)1( 2 =+−+ dxe xdy xe y y [ ])1(1 2 xce y +=+ d) 0)()( 22 =−++ dy y x ydx x xy [ ])1(1 22 xc y −=+

e)

1=+′ x y y 2

)1( −−= xc y f) 011 22 =+′++ x y y y x c y x =+++ 22 11

g) 0.cos)1(sin 23 =′++ y ye ye x x ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=+ c

yearctg x

2sin21

h) 0cos.cos.sin =′+ x ytg y y x ce x y =−cos.cos

i) 02 =′+− y x y y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−=

cx y

11

j) 012)( 2 =−−′+ y y x x ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

+=

2

1

)1(22

2

x

cx y




3.1.2 Nájdite partikulárne riešenie rovnice, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienkua) 0)1(,0)1( 2 ==−+ ydy xydx y 122 =− y x

b) 1)2

(,0cos.sin ==−′ π y x y x y [ ] x y sin=

c)

1)1(,0ln. ==+ ydy xdx y y [ ]1= y d) 1)0(,)1( ==′+ ye y ye x x

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡+= )1(2 2

2

x y

eee

e) 1)0(,011

2

2==′−

++

y y x y ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −= )4

( xarctgtg yπ

f) 1)0(,011

==+

′−

+ y x

y y y

x 052323 3232 =+−−+ y y x x

3.2 HOMOGÉNNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA

Homogénnou DR nazývame každú DR ktorú možno vo všeobecnosti zapísať v tvare

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =′ x y

f y . Daný typ DR riešime substitúciou x y

z = , kde ( ) x z z = . Z uvedenej rovnosti

potom pre 0≠ x platí z x y .= a po zderivovaní z x z y ′+=′ . , kdedxdz

z =′ . Po prepísaní DR

pomocou substitúcie už dostávame predchádzajúci typ DR pre premennú z .

Príklad 1 : Nájdite riešenie DR y x y x +=′.

Predelením DR výrazom 0≠ x dostaneme DR v tvare

x y

y +=′ 1

Použitím substitúcie x y

z = a jej derivácie dostávame separovateľ nú DR

z z x z +=′+ 1.Po nahradení z ′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx x

dz1= resp. ∫ ∫ = dx

xdz

1

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie DR v tvarec x z += ln , kde c je integrač ná konštanta

Vrátením sa k pôvodným premenným (dosadením za z zo substitúcie)dostávame

c x x y += ln resp. xc x x y .ln. +=

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR xy

y x y

22 +=′

Prepísaním DR dostávame DR v tvare




x y

y x

y +=′



z z z x z +=′+ 1.Po nahradení z ′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx x

dz z1. = resp. ∫ ∫ = dx

xdz z

1


c x z += ln2

2

, kde c je integrač ná konštanta


c x x

y += ln2 2

2

resp. 222 .2ln.2 xc x x y +=

Príklad 3 : Nájdite riešenie DR 22. y x y y x ++=′

Predelením DR výrazom 0≠ x dostaneme DR v tvare

2

2

1 x y

x y

y ++=′



21. z z z x z ++=′+

Po nahradení z ′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx x

dz z

11

12

=+

resp. ∫ ∫ =+

dx x

dz z

11

12

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie DR v tvarec x z z +=++ ln1ln 2 , kde c je integrač ná konštanta

Zapísaním konštantyc v tvare logaritmu C ln dostávame

C x z z lnln1ln 2 +=++ resp. C x z z .ln1ln 2 =++

Využitím vlastnosti súč tu logaritmov môžeme rovnicu prepísať do tvaruC x z z .1 2 =++


C x x y

x y .1 2

2=++

Úlohy

3.2.1 Riešte homogénne diferenciálne rovnice.

a) x y y y x 2cos+=′ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ = cx x ytg ln




b) 0)( =+− xdydx y x [ ])ln( xc x y −=

c) x y

xe y y x =−′ ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−=

− x y

ecxln

d) y x y x

y +−

=′ [ ]c y xy x =−−22

2

e) x y

y x

y +=′ [ ]cx x y ln2 22 =

f) xydydx y x 2)( 22 =+ )( xc x y += g) )ln(ln x y y y x −=′ [ ]cx xe y += 1

h) 0coscos =′+− x y

y x x y

y x ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ = )ln(arcsin xc

x y

3.3 LINEÁRNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA 1. RÁDU

Lineárnou DR 1. rádu budeme nazývať každú DR, ktorú môžeme vo všeobecnostizapísať v tvare ( ) ( ) xq y x p y =+′ . . Ak je výraz na pravej strane DR ( ) 0= xq hovoríme, žedaná DR je homogénna, má nulovú pravú stranu. Ak je( ) 0≠ xq hovoríme, že DR jenehomogénna.

Lineárnu DR 1. rádu riešime metódou variácie konštánt. Najprv vyriešime DR bez pravej strany ( t. j. položíme pravú stranu rovnú nule) a nájdeme riešenie homogénnej DR v tvare ( ) x f c y .= , kde c je integrač ná konštanta. Teraz použijeme metódu variáciekonštánt, t. j. konštantuc nahradíme funkciou( ) xc a hľ adáme riešenie nehomogénnej DR v tvare ( ) ( ) x f xc y .* = . Výraz pre * y zderivujeme a dostávame ( ) ( ) ( ) ( ) x f xc x f xc y ′+′=′ ..* .Obidva výrazy dosadíme do pôvodnej DR a dopoč ítame všeobecné riešenie nehomogénnejDR. V prípade, že DR bola zadaná pomocou poč iatoč nej podmienky ur č íme konštantuc a zapíšeme partikulárne riešenie DR.

Príklad 1 : Nájdite riešenie homogénnej DR 03 =−′ y y

Po nahradení y′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dxdy y 31 = resp. ∫ ∫ = dxdz y 31 Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie homogénnej DR v tvare

c x y += 3ln resp. xeC y 3.= , kde ceC = je integrač ná konštanta

Príklad 2 : Nájdite riešenie nehomogénnej DR x y y 25 =−′

Najprv vyriešime homogénnu DR 05 =−′ y y Po nahradení y′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dxdy y

51 = resp. ∫ ∫ = dxdz y

51




Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie homogénnej DR v tvarec x y += 5ln resp. xeC y 5.=

Teraz použijeme variáciu konštánt a hľ adáme riešenie nehomogénnej DR v tvare( ) xe xC y 5

* .= a po zderivovaní ( ) ( ) x x e xC e xC y 55* 5.. +′=′

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostávame( ) ( ) ( ) xe xC e xC e xC x x x 2.55.. 555 =−+′

Odtiaľ po úprave( ) xe x xC 5.2 −=′ resp. ( ) ∫ −= dxe x xC x5.2

Po zintegrovaní oboch strán DR potom

( ) k x

e xC x +⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−= −

251

52 5 , kde k je integrač ná konštanta

Všeobecné riešenie nehomogénnej DR teda zapíšeme v tvare x x x ek

xek

xe y 555

* .252

52.

251

52 −− ++−=⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=

Príklad 3 : Nájdite riešenie nehomogénnej DR 12 +=−′ x y y x

Najprv vyriešime homogénnu DR 02 =−′ y y x Po nahradení y′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx x

dy y

21 = resp. ∫ ∫ = dx x

dz y

21

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie homogénnej DR v tvarec x y lnln2ln += odkiaľ 2.lnln xc y = resp. 2. xc y =

Teraz použijeme variáciu konštánt a hľ adáme riešenie nehomogénnej DR v tvare( ) 2

* . x xc y = a po zderivovaní ( ) ( ) x xc x xc y 2.. 2* +′=′

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostávame( ) ( )( ) 1.22... 22 +=−+′ x xc x xc x xc x

Odtiaľ po úprave

( ) 31

x x

xc+=′ odkiaľ ( ) 32

11 x x

xc +=′ resp. ( ) ∫ += dx x x

xc 3211


( ) k x x

xc +−−=22

11 , kde k je integrač ná konštanta

Všeobecné riešenie nehomogénnej DR teda zapíšeme v tvare22

2* .21.

211

xk x xk x x

y ++−=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−−=

Príklad 4 : Nájdite riešenie nehomogénnej DR ( )2

2

11

11

++=

++′

x x

y x

y pre 1−≠ x

Najprv vyriešime homogénnu DR 01

1 =+

+′ y x

y

Po nahradení y′ , separácii premenných a následným integrovaním platí




dx x

dy y 1

11+

−= resp. ∫ ∫ +−= dx

xdz

y 111

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie homogénnej DR v tvare

c x y ln1lnln ++−= odkiaľ

1

lnln+

=

x

c y resp.

1+

=

x

c y

Teraz použijeme variáciu konštánt a hľ adáme riešenie nehomogénnej DR v tvare( )

1* +=

x xc

y a po zderivovaní ( ) ( ) ( )( )2* 1

1.+

−+′=′

x

xc x xc y

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostávame( ) ( ) ( )

( )( )

( )2

2

2 11

1.

11

11.

++=

+++

+−+′

x

x x

xc x x

xc x xc

Odtiaľ po úprave

( )112

++=′

x x

xc resp. ( ) ∫ ++= dx

x x

xc112

odtiaľ ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

++−= dx

x x xc

121


( ) k x x x

xc +++−= 1ln22

2

, kde k je integrač ná konštanta

Všeobecné riešenie nehomogénnej DR teda zapíšeme v tvare

1

1ln22

2

* +

+++−=

x

k x x x

y

Úlohy

3.3.1 Riešte diferenciálne rovnice

a) xe y y −=+′ 2 [ ] x x ece y −− += 2

b) 3)1(1

2 +=+

−′ x y x

y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +++=4

)1()1(2

2 x xc y

c) x x y

y =−′ 3 [ ]23 xcx y −=

d) x

e x y

y x2

2 −

=+′

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ −=−

22

2

xec

y x

e) x x y x y 2sinsincos. =−′ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −= x

xc y

cos2cos

f) 22 x y x y =+′ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡+=

−3

3

1 x

ce y

g) x x y

y =−′ [ ]2 xcx y +=

h) xtgx y y 2cos2=−′ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−= x

c xtgx y

cos)sin3(23 2




i) )1(

11 22 x x x

xy y +

=+

+′ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ ++−++

= )11ln(1

1 2

2 x x

c x

y

j) x xe y y x1

2−

=−′ ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡+=

−)(

12 ce x y x

k) 1sincos =+′ x y x y [ ] x xc y sincos. += l) xe y y 232 =−′ [ ] xec x y 2)3( += m) 122 2 +−=+′ x x y y [ ]762 2 +−+= − x xce y x

n) 322 )1(1

14

+=

++′

x x xy

y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

++

+=

2222 )1()1( xarctgx

xc

y

3.3.2 Riešte diferenciálne rovnice s danou počiatočnou podmienkou.

a) 0)0(,2sin.cos ==−′ y x x y x y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

x

x y

cos

2

b) 0)0(,cos

1. 3==−′ y

xtgx y y ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡ = x

x y 2cos

sin

c) 1)0(,coscos. ==+′ y x x y y [ ]1= y

d) 1)0(,2)1(2 2

==−

−′ y y

x x xy

y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−= 112 22 x x y

e) 2)0(,2 2 ==+′ y y y y

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

= x

e

y

23

2

1

3.4 BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNA ROVNICA

Bernoulliho DR nazývame každú DR ktorú možno vo všeobecnosti zapísať v tvare( ) ( ) α y xb y xa y .. +=′ , kde ( ) ( ) xb xa , sú spojité funkcie. Pre 0≠ y môžeme danú DR

prepísať do tvaru ( ) ( ) xb y xa y y +=′ −− α α 1.. . Tento typ DR riešime substitúciou α −= 1 y z a po jej zderivovaní ( ) y y z ′−=′ −α α 1 , odkiaľ si vyjadríme y′ . Naviac zo substitúcie α −= 1 y z si

vyjadrímeα −

=1

z y . Použitím týchto substitúcií vylúč ime premennú y . Dosadením obochvýrazov do pôvodnej DR dostaneme jeden z predchádzajúcich typov DR pre premennú z ,ktorý už vieme riešiť .

Príklad 1 : Nájdite riešenie DR 3 xy xy y =+′

Prepísaním DR dostávame DR v tvare3 xy xy y +−=′ , kde ( ) ( ) 3,, ==−= α x xb x xa

Použijeme substitúciu 2−= y z a jej derivácia ( ) y y z ′−=′ −32

Zo substitúcie vyjadríme vyjadríme21−

= z y , z derivácie 2

3

−′

=′z y

y Dosadením do pôvodnej DR dostávame




23

212

3

..2

−−−

=+−

′ z x z x

z z

Úpravou poslednej rovnice dostávame

23

23

23

21

.2.2 −

−

−

−

−=′ z

z x z

z x z

a po zjednodušení dostávame separovateľ nú DR pre premennú z x z x z 22 −=′ resp. ( )12 −=′ z x z

Po nahradení z ′ , separácii premenných a následným integrovaním platí

dx xdz z

21

1 =−

resp. ∫ ∫ =− dx xdz

z2

11

Po vypoč ítaní integrálov dostávame riešenie DR v tvarec x z +=− 21ln resp. c xe z +=− 2

1 resp.2

.1 xeC z += , kde ceC =

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR y x y y =+′

Prepísaním DR dostávame DR v tvare21

y x y y +−=′ , kde ( ) ( )21,,1 ==−= α x xb xa

Uvedenú DR môžeme prepísať do tvaru

x y y y +−=′−

21

21

Použijeme substitúciu 21

y z = a jej derivácia y y z ′=′−

21

21

Zo substitúcie vyjadríme vyjadríme 21

z y = , z derivácie z y y ′=′

−22

1

Dosadením do DR x y y y +−=′−

21

21

dostávame LDR x z z +−=′2 resp. x z z =+′2

Pre homogénnu DR 02 =+′ z z dostaneme riešenie x

ec z 21

.−

= Po variácií konštanty hľ adáme riešenie nehomogénnej LDR v tvare

( )x

e xc z21

.−

= a derivácia ( ) ( )x x

e xce xc z21

21

.21

.−−

−′=′ Po dosadenía následným integrovanímdostávame

( ) k ee x xc x x +−= 2

121

42a pre premennú z

x x xek ee x z 2

121

21

.42−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−= resp.

xek x z 2

1

42−

+−=

Ak sa vrátime k pôvodnej premennej y dostávame riešenie v tvare2

21

42

−−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+−=x

ek x y




Úlohy

3.4.1 Riešte Bernoulliho diferenciálne rovnice

a) 2

22 xy xy y=+′

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+=

211

xce y b) x y

x y

y ln2=+′ 02)(ln2 =++ c x xy

c) y x y y =+′ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−+=

− 22 )( c xce y x

d) 23 xe y xy y −−=−′

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=

c xe

y x

2

2

2

e) y

x

x

y x y

cosln2 =+′ [ ] xc x y sinln2 +=

f) x y x y y sinsin.31 4−=−′ ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+=

3 cos31

xce y x ytgx y y cos. 4=−′

x x xc y 233 cos.sin3cos. −=−




4 L INEÁRNE DIFERENCIÁLNE ROVNICE N -TÉHO RÁDU

Diferenciálnymi rovnicami vyšších rádov nazývame DR, ktoré možno vo všeobecnostivyjadriť v tvare ( )( ) 0...,,,,,, =′′′′′′ n y y y y y xF . Riešenie DR závisí od typu a charakteru jednotlivých funkcií. Podobne ako pri DR 1. rádu môžeme DR vyšších rádov rozdeliť nahomogénne ( majú nulovú pravú stranu) a nehomogénne ( na pravej strane DR je nenulovývýraz ).

4.1 DIFERENCIÁLNA ROVNICA TYPU ( ) ( ) x f y n =

Diferenciálne rovnice uvedeného typu riešime postupným n-násobným integrovaním.Postup je uvedený v následujúcich príkladoch.

Príklad 1 : Nájdite riešenie DR x y 2cos=′′

Po zintegrovaní oboch strán DR dostávame

dx xdy y ∫ ∫ =′′ 2cos resp. 122sin

c x

y +=′

Po ď alšom integrovaní máme DR v tvare

∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=′ dxc

xdy y 12

2sin

a riešenie môžeme zapísať v tvare

21.42cos

c xc x

y ++−=′ , kde 21, cc sú integrač né konštanty

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR xe y 2−=′′′ , ak ( ) ( ) ( ) 20,10,10 =′′=′= y y y

Po zintegrovaní oboch strán DR dostávame

dxedy y x∫ ∫ −=′′′ 2 resp. 1

2

2c

e y

x

+−

=′′−

Po ď alšom integrovaní máme DR v tvare

∫ ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

−=′′

−

dxce

dy y x

1

2

2resp. 21

2

.4

c xce

y x

++=′−

Ak ešte raz integrujeme obe strany DR dostaneme∫ ∫ ++=′

−

21

2

.4

c xce

dy y x

a riešenie môžeme zapísať v tvare

32

2

1

2

.2

.8

c xc x

ce

y x

+++−

=−

, kde 321 ,, ccc sú integrač né konštanty

Po dosadení poč iatoč ných podmienok platí

8428

22

−+−−

=−

x xe

y x

Úlohy



55 Kapitola 4 - Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu


a) xe x y −=′′ 2 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++−= 21

3

3c xce

x y x

b) xy x

y cos42

−=′′ [ ]21

cosln4 c xc x x y +++−=

c) x y 2sin8=′′′ [ ]322

12cos c xc xc x y +++=

d) 4612 3 +−=′′′ x x y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++++−= 32

21

346

32

410c xc xc

x x x y

e) x x xee y +=′′′ 3 322

1 c xc xc xe y x +++=

4.2 HOMOGÉNNA LINEÁRNA DIFERENCIÁLNA ROVNICA N -TÉHORÁDU

Pod lineárnou DR rádu n-tého rádu rozumieme DR každú DR v tvare( ) ( ) ( ) ( ) x f ya ya ya ya n

nnn =++++ −− ...22

110 , kde 00 ≠a .

Nech ( ) 0= x f , t.j. majme homogénnu lineárnu DR n-tého rádu( ) ( ) ( ) 0...2

21

10 =++++ −− ya ya ya ya nnnn .

Riešenie ( koreň ) lineárnej DR budeme hľ adať v tvare xr e y = , kde r je riešenímcharakteristickej rovnice DR 0...2

21

1 =++++ −−n

nnn ar a yar . Charakteristickú rovnicudostaneme z DR tak, že príslušné derivácie y nahradíme mocninami premennejr . Funkcia

xr e y = sa nazýva charakteristickým koreň om DR,r je koreň charakteristickej rovnice DR.Ak nr r r ,...,, 21 sú rôzne reálne korene charakteristickej rovnice, tak všeobecné riešenie

DR zapíšeme v tvare xr n

xr xr nececec y +++= ...2121 .

Ak 1r je −k násobným koreň om charakteristickej rovnice, tak všeobecné riešenie DR zapíšeme v tvare xr k

k xr xr xr e xce xce xcec y 1111 12

321 ... −++++= .Ak ir β α += je −k násobným komplexným koreň om charakteristickej rovnice, tak

všeobecné riešenie DR zapíšeme v tvare ( ) ( ) ( ) xik k

xi xi e xce xcec y β α β α β α +−++ +++= 121 ... resp.

( ) ( ) ( ) x xe xc x xe xc x xec y xk k

x x β β β β β β α α α sincos...sincossincos 121 ++++++= −

Príklad 1 : Nájdite riešenie DR 056 =+′−′′ y y y Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR

0562 =+− r r Jej koreň mi sú 1,5 21 == r r , ktorým odpovedajú riešenia x x ec yec y 22

511 , ==

Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare x x ecec y 2

51 +=

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR 096 =+′−′′ y y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR 0962 =+− r r




Jej 2-násobným koreň om je 31 =r a potom riešenia DR x x e xc yec y 322

311 , ==

Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare x x e xcec y 3

23

1 += Príklad 3 : Nájdite riešenie DR 022 =+′−′′ y y y


Jej koreň mi sú komplexné združené ir ir −=+= 1,1 21 s odpovedajúcimi riešeniami xec y xec y x x sin,cos 2211 ==

Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare xec xec y x x sincos 21 +=

Príklad 4 : Nájdite riešenie DR 04 =′+′′ y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR 042 =+ r r

Jej koreň mi sú komplexné združené 4,0 21 −== r r s odpovedajúcimi riešeniami xec yc y 4

2211 , −== Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare

xecc y 421

−+=

Príklad 5 : Nájdite riešenie DR 04 =+′′ y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR 042 =+r

Jej koreň mi sú komplexné združené ir ir 2,2 21 −== s odpovedajúcimi riešeniami xc y xc y 2sin,2cos 2211 ==

Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare xc xc y 2sin2cos 21 +=

Príklad 6 : Nájdite riešenie DR 0128 =+′−′′−′′′ y y y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR

012823

=+−− r r r Jej koreň mi je 2-násobný 21 =r a 33 −=r s odpovedajúcimi riešeniami x x x ec ye xc yec y 3

332

222

11 ,, −=== Všeobecné riešenie DR môžeme teda vyjadriť v tvare

x x x ece xcec y 33

22

21

−++=

Úlohy

Úlohy k danému typu diferenciálnych rovníc sú súčasť ou ď alších podkapitol, stačí pravústranu rovnice nahradiť nulou. Naviac vyriešenie homogénnej DR je prvým krokom pri riešení

nehomogénnych diferenciálnych rovníc.




4.3 LDR SO ŠPECIÁLNOU PRAVOU STRANOU

Pod pojmom lineárna diferenciálna rovnica so špeciálnou pravou stranou rozumiemediferenciálnu rovnicu

( ) ( ) ( ) x f ya ya ya ya nnnn =+′+++ −

−1

110 ... ,

kde ni Ra i ,...,1, =∈ a ( ) x f je funkcia v špeciálnom tvare.I. Ak ( ) ( ) x

m e xP x f α = , kdeα je k -násobným charakteristickým koreň om homogénnejDR, 0≥k , tak riešenie LDR má tvar

( ) xm

k e xQ x y α =∗

II. Ak ( ) ( )( ) ( )( )( ) x xP x xPe x f nn x β β α sincos 2

211 += , kde ( )( ) ( )( ) xP xP nn

22

11 , sú polynómy stupň a

2,1 nn , R∈ β α , , 0≠ β , k je násobnosť charakteristického koreň a príslušnejhomogénnej DR , 0≥k , tak riešenie LDR má tvar

( )( ) ( )( )( ) x xQ x xQe x y mm xk β β α sincos 21 +=

∗ ,

kde( )

( )( )

( ) xQ xQ mm21

, sú polynómy stupň a { }2,1max nnm = III. Ak ( ) ( ) ( ) x f x f x f 21 += a ∗∗

21 , y y sú riešenia DR s pravými stranami( ) ( ) x f x f 21 , , tak potom ∗∗∗ += 21 y y y ( princíp superpozície ).

Príklad 1 : Nájdite riešenie DR xe x y y y 242 −=−′−′′

Najprv vyriešime homogénnu DR, ktorú dostaneme z pôvodnej v tvare02 =−′−′′ y y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR 022 =−− r r

Jej koreň mi sú 1,2 21 −== r r , ktorým odpovedajú riešenia x x ec yec y −== 222

11 ,Všeobecné riešenie homogénnej DR môžeme zapíšeme v tvare

x x ecec y −+= 22

1 Riešenie pôvodnej DR budeme hľ adať v tvare

21* PSPS y y y y ++= PrePS1 ( polynóm 1. stupň a ) hľ adáme riešenie v tvare polynómu

B x A yPS+=1 ⇒ A yPS

=′ 1 ⇒ 01 =′′PS y

Dosadením do DR prePS1 dostávame( ) x B Ax A 42 =+−− a odtiaľ 1,2 =−= B A ⇒ 121 +−= x yPS

Podobne prePS2 ( exponenciálna funkcia ) hľ adáme riešenie v tvare exponenciály x

PS eC y =2 ⇒ xPS eC y =′ 2 ⇒ x

PS eC y =′′ 2 Dosadením do DR prePS2 dostávame

x x x x CeeC eC eC 22 −=−− a odtiaľ 1=C ⇒ xPS Ce y =2

Všeobecné riešenie DR teda zapíšeme v tvare x x x e xecec y ++−+= − 122

21

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR xe y y yx

2sin17452+=+′+′′ −

PS1 PS2

PS1 PS2




( ) x x x e xe xcec y 242

41 1

41 +++=

Príklad 4 : Nájdite riešenie DR x x y y cossin2 −=+′′

Najprv vyriešime homogénnu DR, ktorú dostaneme z pôvodnej v tvare0=+′′ y y

Nahradením derivácií mocninamir zapíšeme charakteristickú rovnicu DR 012 =+r

Jej koreň mi sú ir ir −== 21 , , ktorým odpovedajú riešenia xc y xc y sin,cos 2211 == Všeobecné riešenie homogénnej DR môžeme zapíšeme v tvare

xc xc y sincos 21 += Riešenie pôvodnej DR budeme hľ adať v tvare

1* PS y y y += PrePS1 (goniometrická funkcia ) hľ adáme riešenie v tvare goniometrickej funkcie

násobenej x , pretože ir ir −== 21 , sú súč asne riešeniami homogénnej LDR a výrazu na pravej strane DR.

( )x x N x M yPS .sincos2 += ⇒ ( ) ( ) x N x M x x N x M yPS sincoscossin2 +++−=′ ⇒

( ) ( ) ( ) x N x M x N x M x x N x M yPS cossincossinsincos2 +−++−+−−=′′

Dosadením do DR prePS1 a porovnaním koeficientov dostávame21,1 −=−= N M a

všeobecné riešenie prePS1 v tvare x x

x yPS ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−=

2sincos1

Všeobecné riešenie DR teda zapíšeme v tvare

x x

x xc xc y ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−+=

2sincossincos 21*

Úlohy


a) xe y y −=′+′′ ´2 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+−−=

−−

2

21

2c

ece y

x x

b) x

e y y2

32 =′−′′ ( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+−+

= 2

221

43

23

ce

ec x

y

x x

c) 122 2 +−=′′+′′′ x x y y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++++−= −

321

23

4

27

6c xcec

x x

x y x

4.3.2 Riešte diferenciálne rovnice )(65 x f y y y =+′−′′ ,a) ( ) ( )16 += xe x f x ( )533

22

1 +++= xeecec y x x x b) ( ) 1212 2 +−= x x x f [ ]232 23

22

1 ++++= x xecec y x x

c) ( ) 25

x

e x f = ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

++= 34 2

32

21

x

x x eecec y

PS1




d) ( ) x x f sin39= ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−+=2

3cos53sin32

21

x xecec y x x

e) ( ) xe x f 23= [ ] x x x eecec y 232

21 3−+=

f) ( )

x xe x f 3= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −++= x x x e x x

ecec y 32

3

2

2

1 2

4.3.3 Riešte diferenciálne rovnice ( ) x f y y y =−′−′′ 12 , ak

a) ( ) 4= x f ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −+= −

313

24

1 x x ecec y

b) ( ) x x f 2cos= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−+= −

1302sin2cos83

24

1 x x

ecec y x x

c) ( ) ( )15 2 −=−

xe x f x ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−+=

−−x x x e

x xecec y 100

9103

2

2

3241

d) ( ) xe x f 47= x x x xeecec y 432

41 ++= −

e) ( ) x xe x f 37 −= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−+= −− x x x e x x

ecec y 32

32

41 72

f) ( ) x x x f cossin −= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −++= −

85sin6cos73

24

1 x x

ecec y x x

4.3.4 Riešte diferenciálne rovnice ( ) x f y y y =+′+′′ 56 ,a) ( ) 15 += x x f xecec y x x +−+= −− 15

21

b) ( ) xe x f 520= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++= −− 3

55

21

x x x eecec y

c) ( ) xe x f 5−= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−+=

−−− 4

55

21

x x x xeecec y

d) ( ) x x f 5sin10= ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+= −−

135sin25cos35

21 x x

ecec y x x

e) ( ) xe x f x cos17 −= ( ) x xeecec y x x x cossin4521 −++= −−−

f) ( ) ( )34 += − xe x f x ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +++= −−−

215

21 x

xeecec y x x x

4.3.5 Riešte diferenciálne rovnice ( ) x f y y =′+′′ 4 , ak

a) ( ) x x f sin= ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+= −

17sincos44

21 x x

ecc y x

b) ( ) 233 2 ++= x x x f ( )⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ ++++= −

321368 2

421

x x xecc y x




e) ( ) 2sin x

x f = ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−++= −−−

250sin2cos1122

32

22

1 x x

e xc xecec y x x x

f) ( ) xe x f 22 −−= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−++=

−−−−

3

2322

32

22

1

x x x x e x

e xc xecec y

4.3.10 Riešte diferenciálne rovnice ( ) x f y y y y =−′+′′−′′′ 254 , ak a) ( ) x x f cos10= x xec xecec y x x x sin2cos2

321 ++++= b) ( ) xe x f 2= [ ] x x x x xeec xecec y 22

321 +++= c) ( ) xe x f 2= [ ] x x x x e xec xecec y 22

321 −++=

4.3.11 Riešte diferenciálne rovnice ( ) x f y y =′+′′′ 9 , ak

a) ( ) ( )833 −= − xe x f x ( )⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −−++=−

18

23sin3cos3

321 xe

xc xcc y x

b) ( ) 39 x x f = ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−+++=

343sin3cos

24

321 x x

xc xcc y

c) ( ) x x x f 3sin33cos6 −= ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−++=6

3sin3cos23sin3cos 321 x x x

xc xcc y

4.3.12 Riešte diferenciálne rovnice )(6 x f y y y =−′−′′ ,

a) ( ) xe x x x f 22 786 +−+= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−+−−+= −

41

222

23

1

x x x e

x xecec y

b) ( ) xe x x f 352sin52 −= [ ] x x x xe x xecec y 322

31 2sin52cos −−++= −

c) ( ) x x xee x f 3210 += − ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −+−+= −−

5252

2322

23

1 x xe

xeecec y x

x x x

d) ( ) x x x f 2cos52sin5012 −+= 22sin2cos5sin7cos2

23

1 −++−++= − x x x xecec y x x


a)

( )x x

ee x y y ++=′

−′′ −

15 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−+

++=−

4361365

21

x x x e

e x

ecc y

b) x x xee y y 55 25255 −−=′−′′ ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡−−+=

5

525

21

x x e x

xecc y

c) xe x x y y 213 −−=+′′ ( )[ ]116sincos 321 −−−−++= xe x x xc xc y x

d) x x x y y sincos ++−=+′′ ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −+−+=2

cossinsincos 21 x x x

x xc xc y

e) xe y y y x cos454 2 +=+′−′′ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −+++=2

sincossincos 222

21

x xe xec xec y x x x




Variáciou konštánt v riešení homogénnej DR dostaneme riešenie pôvodnej DR v tvare( ) ( ) x xc x xc y sin.cos. 21* +=

Pre jednotlivé wronskiány dostávame

1sincoscossinsincos 22 =+=

−= x x

x x

x xW ,

1cossin

1sin0

1 −== x

x

xW , xg

x x

xW cot

sin1sin0cos

2 =−=

Odtiaľ potom

( ) 11

1 1 k xdxdxW W

xc +−=−== ∫ ∫

( ) 22

2 sinlnsincoscot k xdx

x x

dx xgdxW W

xc +==== ∫ ∫ ∫


( ) ( ) xk x xk x y sinsinlncos 21* +++−=

Príklad 2 : Nájdite riešenie DR xe

y y y x

=+′−′′ 2

Najprv vyriešime homogénnu DR, ktorú dostaneme z pôvodnej v tvare02 =+′−′′ y y y


Jej dvojnásobným koreň om je 11 =r , ktorému odpovedajú riešenia x x e x ye y == 21 , a ich derivácie x x x e xe ye y +=′=′ 21 ,

Všeobecné riešenie homogénnej DR môžeme zapíšeme v tvare x x e xcec y 21 +=

Variáciou konštánt v riešení homogénnej DR dostaneme riešenie pôvodnej DR v tvare( ) ( ) x x e x xce xc y .. 21* +=

Pre jednotlivé wronskiány dostávame x x x x

x x x

x x

ee xe xee xee

e xeW 2222 =−+=

+= ,

x x x

x

x

ee xe

xe

e xW 2

10 −=

+= ,

xe

xe

e

eW

x x

x

x 2

20

==

Odtiaľ potom

( ) 12

21

1 k xdxdxee

dxW W

xc x

x

+−=−=−== ∫ ∫ ∫

( ) 22

22

2 ln1k xdx

xdx

e xe

dxW W

xc x

x

+==== ∫ ∫ ∫


( ) ( )x x

e xk xek x y 21* ln +++−=




Príklad 3 : Nájdite riešenie DR 1

22 2 +=+′−′′

xe

y y y x

Najprv vyriešime homogénnu DR, ktorú dostaneme z pôvodnej v tvare02 =+′−′′ y y y


Jej dvojnásobným koreň om je 11 =r , ktorému odpovedajú riešenia x x e x ye y == 21 , a ich derivácie x x x e xe ye y +=′=′ 21 ,

Všeobecné riešenie homogénnej DR môžeme zapíšeme v tvare x x e xcec y 21 +=

Variáciou konštánt v riešení homogénnej DR dostaneme riešenie pôvodnej DR v tvare( ) ( ) x x e x xce xc y .. 21* +=

Pre jednotlivé wronskiány dostávame x x x x

x x x

x xee xe xe

e xeee xeW 2222 =−+=

+= ,

1.2

120

2

2

21 +

−=+

+=

xe x

e xe x

ee x

W x

x x x

x

,1

2

120

2

2

22 +

=+

= x

e

xe

e

eW

x x

x

x

Odtiaľ potom

( ) 12

21

1 1ln1

2k xdx

x x

dxW W

xc ++−=+

−== ∫ ∫

( ) 22

22 2

1

12 k xarctgdx x

dxW

W xc +=

+==

∫ ∫

Všeobecné riešenie DR teda zapíšeme v tvare) ( ) x x e xk xarctge xk y 2

21* 21ln +++−=

Úlohy

4.4.1 Riešte diferenciálne rovnice ),(2 x f y y y =+′−′′ pre

a) ( )12 +

= x

e x f

x

( )

( )⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+++−

= xarctgce x xc

e y x x2

21

21ln

b) ( ) xe x f x ln= ( ) ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−++−+= x x xce x

x x xce y x x ln

4ln2

2

221

4.4.2 Riešte diferenciálne rovnice ),(44 x f y y y =+′+′′ a) ( ) xe x f x sin2−= ( ) ( ) xce x x x xce y x x cossincos 2

21

2 −+−+= −−

b) ( ) x

e x f

x2−

= ( ) ( )[ ] xce x xce y x x ln22

12 ++−= −−




c) ( ) 2

2

1 xe

x f x

−=

−

( )

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

−++

+−+

= −−

211ln

21ln 2

22

12 x x

ce x

xce y x x

4.4.3 Riešte diferenciálne rovnice ),( x f y y =+′′

a) ( ) x

x f sin

1= ( ) ( )[ ] x xc x xc y sinsinlncos 21 ++−=

b) ( ) x

x f 3cos1= ( ) ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ++⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −= x xtgc x

xc y sincos

cos21

221

c) ( ) x

x f 3sin2= ( ) ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −++= x

xc x xgc y sin

sin1coscot2 221

d) ( ) xg x f cot=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

−+−++−= x

x x

xc x xc y sincos1cos1ln

21coscossin 21

4.4.4 Riešte diferenciálne rovnice )( x f y y =′−′′ ,

a) ( ) x

x

ee

x f +=

1 )21 1ln1ln ce xeec y x x x ++−++−=

b) ( ) x

x

ee

x f ++=

11 2

)21 1ln21ln2 c xeeee xec y x x x x x +−+++−−++= −

4.4.5 Riešte diferenciálne rovnice )(52 x f y y y =+′+′′ ,

a) ( ) x

e x f

x

2sin

−

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ++⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −= −−

42cosln2sin

22cos 21

xc xe

xc xe y x x

b) ( ) xe

x f x cos1= ( ) ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

−+−+++= −−

x x

xc xe xc xe y x x

sin1sin1ln

41sin2sincos2cos 21

4.5 SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC

Na riešenie systému ( sústavy ) obyč ajných DR využívame tzv. eliminač nú metódu. Jej podstata spoč íva v eliminovaní (až na jednu ) premenných v systéme a následnej transformáciísystému DR na jedinú lineárnu DR vyššieho rádu. Pre systém dvoch DR to bude LDR druhého rádu, pre systém troch DR dostaneme LDR tretieho rádu. Stač í jednu DR zderivovať a vhodným dosadenímz druhej DR získame LDR, ktorú už vieme riešiť .

Pri systémoch obyč ajných DR sa pridržiavame označ enia

dt dy

ydt dx

x == && , ,dxdz

zdxdy

y =′=′ ,

Príklad 1 : Nájdite riešenie sústavy DR: ( )( )**43

*2 y x y

y x x+=+=

&&

Ak si z rovnice (*) vyjadríme x x y 2−= & a dosadíme do rovnice (**) dostaneme




( ) x x x y 243 −+= && resp. ( )***54 x x y −= && Zderivovaním rovnice (*) podľ a premennejt dostaneme

( )****2 y x x &&&& += Dosadením y′ z rovnice (***) do rovnice (****) máme homogénnu LDR

056=+−

x x x&&&

Jej riešením je výraz t t ecec x 25

1 += a jeho derivácia t t ecec x 25

15 +=& Dosadením do (*) za x x &, získame t t ecec y 2

513 −=

Riešenie sústavy DR môžeme teda zapísať v tvare

t t

t t

ecec y

ecec x

25

1

25

1

3 −=+=

Príklad 2 : Nájdite riešenie sústavy DR: ( )( )**

*42 z y z

z y y−=′+=′

Ak si z rovnice (*) vyjadríme4

2 y y z

−′= a dosadíme do rovnice (**) dostaneme

42 y y

y z−′

−=′ resp. ( )***4

6 y y z

′−=′

Zderivovaním rovnice (*) podľ a premennej x dostaneme( )****42 z y y ′+′=′′

Dosadením z′ z rovnice (***) do rovnice (****) máme homogénnu LDR 06 =−′−′′ y y y

Jej riešením je výraz x x ecec y 22

31

−+= a jeho derivácia x x ecec y 22

31 23 −−=′

Dosadením do (*) za y y ′, získame x x

ecec z 22

31

4−−=

Riešenie sústavy DR môžeme teda zapísať v tvare

x x

x x

ecec

y

ecec y2

2

31

22

31

4−

−

−=

+=

Úlohy

4.5.1 Riešte systémy diferenciálnych rovníc

a) y x y x y x

+=−=

&& 8

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=−=

−

−

t t

t t

ecec yecec x3

23

1

3231 42

b) x y y

y x x

23 −=+=

&&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++−=+=

)sin(cos)sin(cossincos

22

21

22

21

t t ect t ec x

t ect ec xt t

t t

c) y x y

y x x−=−=

43

&&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+=+=

)12(2 21

21

t ecec x

tecec xt t

t t

d) y x y

y x x

53

−=−−=

&&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=+=

−−

−−

t t

t t

ecec y

ecec x4

2

2

1

42

213





a) z y z

z y y−=′

+=′ 42

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+=−=

−

−

x x

x x

ecec z

ecec y2

23

1

22

314

b) z y z

z y y−−=′

+−=′ 3 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=−+=

−−

−−

x x

x x

xecec z

xecec y2

22

1

22

21 )1(

c) z y z

z y y+=′

−=′2

2

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−=+=

xec xec z

xec xec y x x

x x

2cos2sin2sin2cos

21

21


a) y x y

te y x x t

−=+−= −

&& 22

⎥⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+++=

++=

−

−

t t

t t

et ecc y

eecc x

)4

3

2

1(

212

21

21

b) t y x y

y x x+−=

−=&& 22

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++=++++=

t t ecc y

t t ecc xt

t

221

221 122

c) t y x y

e y x x t

cos22−−=

−−=&&

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+−−+=

−−−−+=

)sin3(cos21

sincos22

21

21

t t teecc y

t t teeecc x

t t

t t t

d) y x y

y x x

314

−=−−=

&&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+=−++=

−−

−−

13)12(2

21

21t t

t t

tecec y

t ecec x

e) t e y x y y x x −+−= −= 234&

&

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡−+=

−−−++= −−−

−−−−−

t t t

t t t t t

et tecec yet teet ecec x

221

221

2442)12(2

f) 2324t y x y

y x x

+−=+−=

&

&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+−+=−+−++=

−−

−−

8618164)12(2

221

221

t t tecec y

t t t ecec xt t

t t

g) t

t

e y x y

e y x x2

2

3243

−

−

−−=+−=

&

&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++=++=

−−

−−

t t t

t t t

eecec y

eecec x22

21

2221

434

h) t y x y

t y x x

cos2

sin43

+−=

+−=

&

&

⎥⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+++=

−−+=

−

−

)sin3cos9(101

)cos20sin3(1014

221

221

t t ecec y

t t ecec x

t t

t t

i) y x y

t e y x x t

2sin1043

−=−−=

&&

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++=+++=

−

−

)sin3(cos)cos6sin8(4

221

221

t t eecec y

t t eecec xt t t

t t t


a) x z y z

z y y

sin2232

+−=′−=′

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−++=++=

−

−

x xecec z

xecec y x x

x x

cossin2sin33

21

21

b) z y ze z y y

x

2 432−=′+−=′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=+++=

−

−

x x x

x x x

xeecec z

xeecec y

2)13(23

21

21




c) 2232

x z y z

x z y y

−−=′+−=′

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+−+=−−−+=

−

−

427233

221

221

x xecec z

x xecec y x x

x x

d) z y z

z y y+−=′

++=′ 523

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+=−+−−=

1sincos1)cos(sin)cos(sin

2

2

2

1

22

21

xec xec z

x xec x xec y x x

x x




5 VIACROZMERNÉ INTEGRÁLY

5.1 DVOJNÝ INTEGRÁL

Nech je funkcia f ( x, y) integrovateľná na elementárnej oblasti A danej nerovnosťami:b xa ≤≤ , )()( x y x ψ ϕ ≤≤ .

Nech pre každé >∈< ba x , existuje ∫ )(

)(

),( x

x

dy y x f ψ

ϕ

, potom platí:

∫ ∫ ∫∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

b

a

x

x A

dxdy y x f dxdy y x f )(

)(

),(),(ψ

ϕ

.

Nech je funkcia f ( x, y) integrovateľná na elementárnej oblasti A danej nerovnosťami:)()( y x y ψ ϕ ≤≤ , d yc ≤≤ .

Nech pre každé >∈< d c x , existuje ∫ )(

)(),(

y

y

dx y x f ψ

ϕ

, potom platí:

∫ ∫ ∫∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

d

c

y

y A

dydx y x f dxdy y x f )(

)(

),(),(ψ

ϕ

.

Transformácia dvojného integrálu pomocou polárnych súradníc. Nech zobrazenieΦ priradí každej dvojicičísel ( ρ,φ) bod ( x, y) podľa vzťahov

ϕ ρ cos= x , ϕ ρ sin= y , jakobián zobrazeniav ρ = J Toto zobrazenie je regulárne pre 0> ρ , π ϕ 20 << .

Aplikácie dvojného int egrálu. Nech A je merateľná množina v E 2. Potom pre jej obsah platí:

∫∫ = A

dxdy P .

Nech B je uzavretá merateľná množina z E 2 a funkcie f , g sú také spojité funkciedefinované na množine B, že )()( X g X f < vo vnútri množiny B. Ak množina A trojrozmerného priestoru pozostáva zo všetkých bodov, pre pravouhle súradnice ktorých platí B y x ∈),( ,

),(),( y x g z y x f ≤≤ , nazývame ju valcovitým telesom. Valcovité teleso A je merateľnátrojrozmerná množina a pre jeho objemV platí:

[ ]∫∫ −= B

dxdy y x f y x g V ),(),( .

Ak je plochaS ur čená rovnicou ),( y x f z = , A y x ∈),( , pričom x f ∂∂ ,

y f ∂∂ sú na množine

A spojité funkcie, potom pre obsah plochyS platí:

dxdy y

y x f x

y x f S

A∫∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂+=

22 ),(),(1 .

Príklad 1 :Vypočítajte∫∫ + I

dxdy y

x2

2

1, kde interval 1,01,0 ×= I .

Interval I je elementárna oblasť daná nerovnosťami:



Kapitola 5 - Viacrozmerné integrály71

10 ≤≤ x 10 ≤≤ y .

Daný integrál môžeme počítať nasledovne:

[3

1

1

1

3

1

)1.(311

1

02

1

0

1

02

31

0

1

02

2

2

2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ =+

=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

+=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+=

+dy

y

dy

y

xdydx

y

xdxdy

y

x

I

arctg ] =10 y

120

431 π π =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⋅=

Príklad 2 :Vypočítajte ∫∫ M

dxdy y x

2

2

, kdeM je oblasť ohraničená priamkami x = 2, y = x a

krivkou x.y = 1. Najskôr odporúčamečitateľovi graficky znázorniť oblasť M . Na ur čenie oblastiM

pomocou nerovností potrebujeme nájsť priesečník priamky y = x s krivkou x.y = 1. Daný priesečník nájdeme riešením sústavy rovníc

x y = , x y 1= a dostaneme 1±= x .

Zadaniu úlohy vyhovuje x = 1, pretože x = -1∉ M . MnožinaM je elementárna oblasť daná nerovnosťami:

21 ≤≤ x , x y ≤≤1

Pre daný integrál platí:

( ) 49

42

2

1

422

1

3

1

2

1

22

1 1 2

2

2

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−=+−=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−=⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ x x

dx x xdx y x

dxdy y x

dxdy y x

x

x

x

xM .

Príklad 3 :Vypočítajte dxdy y x y x

M ∫∫ +

+22

22 )(ln , kdeM je medzikružie dané nerovnosťou

2221 e y x ≤+≤ . Zavedieme polárne súradnice ϕ ρ cos= , ϕ ρ sin= y , ρ = J . Ich dosadením do

vzťahu medzikružia dostaneme2222 )sin(cos1 e≤+≤ ϕ ϕ ρ , resp. 221 e≤≤ ρ .

A teda oblasť M môžeme popísať takto:e≤≤ ρ 1 , π ϕ 20 ≤≤ .Pre daný integrál platí:

[ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

++=

++ π π

ϕ ρ ρ

ρ ϕ ρ ρ

ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ 2

0 1

2

0 1222

222

22

22 ln2)sin(cos)sin(cosln)(ln

d d d d dxdy y x

y x ee

M

[ ]∫ ∫ ∫ ∫ ===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

==

=

=π

π π π

π ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ

ρ 2

0

20

2

0

1

0

22

0

1

0

21

22

22

1,0

1ln

d d t

d dt t

t t

dt d

t




Príklad 4 :Vypočítajte dxdy y xM

∫∫ + 3)(1 , kdeM je oblasť ohraničená priamkami 1=+ y x ,

2=+ y x , 03 =− y x , 04 =− y x . Zavedieme vhodnú transformáciu súradnicovej sústavy. Bez ujmy na všeobecnosti

predpokladajme, žeu y x =+ , 0=− yvx .

Riešením danej sústavy rovníc dostaneme

ϕ :v

u x

+=

1, ψ :

vuv

y+

=1

.

Oblasť M môžeme popísať takto:21 ≤≤ u , 43 ≤≤ v .

Nájdeme jakobián danej transformácie

2332

2

)1()1()1()1(1

)1(11

v

u

v

uv

v

u

vu

vv

vu

v

vu

vu J +

=+

++

=

++

+−

+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=ψ ψ

ϕ ϕ

.


=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⋅+⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

⋅=+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ du

uudu

vududv

vu

udxdy

y xM

2

1

2

122

4

32

2

1

4

3233

1411

51

111

)1(1

)(1

∫ =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==2

1

2

12 40

1121

2011

2011

201

udu

u

Príklad 5 : Nájdite obsahčasti rovinyM ohraničenej krivkami 1= xy , x y =2 , 2= y , 0= x . Pre obsahčasti rovinyM ohraničenej danými krivkami platí:

∫∫ =M

dxdy P .

Opäť odporúčamečitateľovi graficky znázorniť oblasť M . Riešením sústavy rovníc

x y

1= , x y =2

dostaneme priesečník daných kriviek P = (1, 1).Oblasť M rozdelíme na dve elementárne oblasti ur čené nerovnosťami:

10:1 ≤≤ yM , 20 y x ≤≤ 21:2 ≤≤ yM , y

x10 ≤≤

Pre hľadaný obsahčasti roviny platí:

[ ] [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ =+=+=+==1

0

2

1

22

1

1

0

1

00

2

1

1

0

1

0 0

122

dy y

dy ydy xdy xdxdydxdydxdy P y y y y

M

[ ] 2ln31ln

321

1

0

3

+=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= y y

Príklad 6 : Vypočítajte obsah rovinného útvaru ohraničeného krivkami: x y x 222 =+ ,

x y x 422

=+ , , y = 0= y .




Keďže prvé dve rovnice sú rovnicami kružníc, je vhodné uskutočniť transformáciu do polárnych súradníc ϕ ρ cos= , ϕ ρ sin= y , ρ = J . Ich dosadením do rovníc oboch kružníczískame hranice pre premennú ρ :

( ) ϕ ρ ϕ ϕ ρ cos2sincos. 222 =+ ( ) ϕ ρ ϕ ϕ ρ cos4sincos. 222 =+ ϕ ρ cos2= ϕ ρ cos4=

Priamka y = má smernicu =k tg 1=ϕ , tak 4π

ϕ = . Pre danú oblasť teda platí:

40 π ϕ ≤≤

, ≤≤ ρ ϕ cos2 ϕ cos4

Pre hľadaný obsah rovinného útvaru platí:

( ) ==−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ ϕ ρ ρ

π π π ϕ

ϕ

π ϕ

ϕ

d d d d d P 4

0

24

0

4

0

22cos4

cos2

24

0

cos4

cos2

cos6cos4cos1621

2.

)2(43

42sin

2.6

22cos16

4

0

4

0

+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ += ∫ π

ϕ ϕ ϕ

ϕ

π π

d

Príklad 7 : Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami: x y = , x y .2= ,4=+ z x , 0= z .

Pre objem telesaV ohraničeného danými plochami platí:[ ]∫∫ −=

M

dxdy y x g y x f V ),(),(

V našom prípade x y x f z −== 4),( a 0),( == y x g z . Rovina 4=+ z x pretína os xo

v bode 4= x . Oblasť M teda môžeme popísať takto:40 ≤≤ x , x y x .2≤≤ .Hľadaný objem telesa dostaneme nasledovne:

[ ] ( )∫ ∫ ∫ ∫ =+−−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

4

0

4

0

4

0

.2.2

..4.2.84)4( dx x x x x x xdx xy ydxdy xV x x

x

x

( ) 15128

25

234.4

4

0

25

23

4

0

3 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅=−= ∫ x xdx x x

Príklad 8 : Vypočítajme objem telesa, ktorého podstavu tvorí kružnica x y x 222 =+ , zhora jeohraničené kúžeľom 22 y x z += a zdola rovinou 0= z .

Zavedieme polárne súradnice ϕ ρ cos= , ϕ ρ sin= y , ρ = J . Ich dosadením dorovnice kružnice dostaneme hornú hranicu pre premennúρ

ϕ ρ ϕ ϕ ρ cos2)sin(cos 222 =+ , ϕ ρ cos2= resp. transformujeme rovnicu kužeľa do polárnych súradníc ρ = z .

Hranice pre premennúφ ľahko ur číme z polohy kružnice x y x 222 =+ v I. a IV.kvadrante. Pre oblasť M sme tak dostali:




ϕ ρ cos20 ≤≤ , 22π

ϕ π ≤≤− .

Pre objem telesa dostaneme:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−− − −==⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

2

2

22

2

32

2

2

2

cos2

0

3cos2

0

2

cos)sin1(38

cos38

3

π

π

π

π

π

π

π

π

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ρ

ϕ ρ ρ d d d d d V

932

338)1(

38

1,1cos

sin 1

1

1

1

32

21

∫ − −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−==−=

==

t t dt t

t t

d dt

t

ϕ ϕ

ϕ

Príklad 9 : Vypočítajme obsahčasti danej plochyρ: 12236 =++ z y x ohraničenej 1. oktantom. Pre obsah kvadratickej plochy platí:

dxdy y y x f

x y x f

S M ∫∫ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

∂∂

+=

22 ),(),(1 .

Pričom v našom prípade funkcia f má tvar:

23612),( y x

z y x f −−== .

Ur číme prienik rovinyρ s rovinou y xoo , položíme 0= z a dostaneme x y 24 −= .Dostali sme priamku, ktorá pretína x-ovú os v bode 2. Teraz užľahko popíšeme elementárnuoblasť M:

20 ≤≤ x , x y 240 −≤≤

Ďalej ur číme f

∂

∂ a y

f

∂

∂ :

3−=∂∂ x f ,

23−=

∂∂ y f .

Pre obsah danej plochy napokon dostaneme:

∫ ∫ ∫ ∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ++=

−− 2

0

2

0

224

0

2

0

2

0

24

0

142

2427)24(

27

27

4991 x

xdx xdx ydxdy P x x

Úlohy

5.1.1 Vypočítajte dvojný integrál (oblas ť M je ohrani čená danými krivkami resp. je danánerovnos ť ami :

a) ( )∫∫ ≤≤≤≤+M

y xM dydx y x 10,10:,22 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

32

b) ∫∫ ≤≤−≤≤M

y xM dydx xy 32,10:,2 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

635

c) ( )∫∫ =+==−M

y x y y xM dydx y x 2,0,:, . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

32

d) ∫∫ =⋅==+M

x x y x yM dydx y x

x 2,3,:,22 . ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡6π




e) ( )∫∫ ===+M

x y y xM dydx y x ,,0:,cos π . [ ]2−

f) ∫∫ =⋅==M

y x x y xM dydx y x 1,,2:,2

2

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

49

g) ( ) 0,,2,21,2:,2 >===+∫∫ y x x y x y xyM dydx y xM

. ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡617

h) ∫∫ ==⋅==M

y y x x y xM dydx x 0,1,,2:,2 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

47

i) ( )∫∫ ==+M

x y x yM dydx y x ,:,2 2 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

209

j) ∫∫ −==M

x y x yM dydx y 2,:, 22 . [ ]0

k) ( )∫∫

−≤≥−M

x y x yM dydx x 22 4,:,2 .⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ⋅−3

232

l) ∫∫ ====M

y

x

y y x x yM dydxe 2,1,0,:, 2 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −232e

m) ∫∫ ===+

M

x y x y xe yM dydxe 2,0,:, . [ ]e

n) ∫∫ ≤+−−M

y xM dydx y x

16:,25

1 2222

. [ ]π 4

o) ∫∫ ≤+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −M

y xM dydx x

y 2222

2

:,1 π . [ ]32π

p) ∫∫ ≤+≤−+M

y xM dydx y x 259:,9 2222 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

3128

q) ( )∫∫ ≤+≤++

M

e y xM dydx y x y x 222

22

22

1:,ln . [ ]π 2

r) ( )∫∫ ≤+≤+M

e y xeM dydx y x 422222 :,ln . ( )[ ]13 22 −⋅ eeπ

s) ∫∫ ≤+≤+M

y xM dydx y x 2222

22 44

:,cos π π . 22 π π −

t) ( )∫∫ ≥⋅≤≤≤+≤M

y x x y x

y xM dydx x y

arctg 0,,33

,91:, 22 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

62π

u) ( )∫∫ >⋅≤+M

b yb y xM dydx x 0,:, 22 . [ 0 ]

v) ( )∫∫ =+=−+⋅

M

y y x y xM dydx y x 4,11:, 22222 . [ 0 ]

w) ( ) ( )∫∫ >⋅=+⋅=++M

a xa y x xa y xM dydx y x 0,2,:, 222222 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π 4

3245

a

x)

( )∫∫ >≤+−−M bab

ya x

M dydxb y

a x

0,,1:,1 2

2

2

2

2

2

2

2

. ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅⋅ baπ 32




y) ∫∫ ≤+−−M

y xM dydx

y x1

916:,

9164

1 22

22. )3224 −π

5.1.2 Vypočítajte plošný obsah rovinného útvaru, ohrani čeného danými krivkamiresp. ur čeného nerovnos ť ami:

a) 03,42 =++= y x x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

6125

b) 4,2, === x x y x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

316

c) 44,44 22 +−=+= x y x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

316

d) x y x y −=+= 3,5 22 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

364

e) 2,12 =−= y x y . 34f) 382,64 22 −+−=+−= x x y x x y . [ ]4

g) 0,2,,1 2 ====⋅ x y x y y x . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + 2ln31

h) 06,023,6 =−=−=⋅ y x y x y x . [ ]3ln12⋅

i) 1,1,ln −==−= y y x x y . ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −e

1

2

1

j) 4,3,3,4 ===⋅= y y x

ye y x . [ ]1

k) x y y x y x ===+ ,0,222 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +21

4π

l) 3

,0,08,04 2222 x y y y x x y x x ===+−=+− . 332 ⋅+π

m) 0,,06,04 2222 ===+−=+− y x y y y x y y x . ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −245

π

n) ( ) ( ) ( )0,, 222222 >=−+=+− aaa y xa ya x . ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⋅ 1

22 π a

o) kvadrantev x y x y y x .1,3,,822⋅===+ . ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

3π

p) ( )0,,0,12

2

2

2

>≥≤+ ba yb y

a x . ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅ π ba

21

5.1.3 Vypočítajte objem telesa ohrani čeného danými plochami:

a) 0,0,,2,6 ====+=+− z y y x y x z y x . ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡316




b) ( )0,,0,5,3,1 2 ≥===+= z y x z y x z x y . [ ]12

c) 0,2,2 ==+= z z y x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ 2

1532

d) 0,0,42,2 2 ===++= z y z y x x y ( y ≥ 0 ).⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

5

17

e) 0,4,2, ==+== z z x x y x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

15128

f) x z z y x y y x 15,0,0,,222 =====+ . [ ]11

g) 0,0,0,1,22 ====++= z y x y x y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

61

h) 0,1,, 222 ===+= z y x y y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

10588

i) 0,9,2222

==++= z y x y x z . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅π 281

j) 0,2,1 222 =⋅==+ z z y y x . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

8π

k) 2222 ,2 y x z y x z +=+= . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π

34

l) 0,3 22 =−−= z y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π

29

m) ( )0,,0,3,,1 22 ≥=⋅==−−= z y x z x y x y y x z . ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

48

π

n) 0,6,422 ==++=+ z z y x y x . [ ]π 24

o) ( )0,0,8,03,0, 2222 ≥==+=−⋅=−+= y x z y x y x y x y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π

34

p) 0,,5,2 222222 =+==+=+ z y x z y y x y y x . [ ]52

q) ( )00,,2 22222 ≥=+==+ z z y x z y y x . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

932

r) ( )00,0,,9,6 222222 ≤==+==+=+ y z y y x z x y x x y x . [ ]114

s) 0,2,,222222

==+=++= z x y x x y x y x z . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅π 3245

t) ( )00,14 222 ≥==++ z z z y x . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3π

u) .4,2 2222 y x z y x z +−=+= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

320

5.1.4 Vypoč ítajte obsah:

a) časti roviny 6=++ z y x ohraničenej rovinami 3,3,0,0 ==== y x y x . 39⋅




b) časti valcovej plochy z x 22 = , ktorú z nej vytínajú roviny 22,2,02 ⋅===− x x y y x .[ ]13

c) časti valcovej plochy x z 42 = (v 1. oktante) ohraničenej valcom x y 42 = a rovinou

1= x .( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −⋅⋅ 1223

4

d) časti plochy rotačného paraboloidu 22 y x z += ohraničenej rovinou 2= z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅π

313

e) časti plochy rotačného paraboloidu 222 y x z += vyrezanej valcom 122 =+ y x .

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅ 1223

2π

f) časti plochy rotačného paraboloidu 224 y x z += , ktorá je ohraničená plochami

1,0,0,3 ===⋅= z z y x y . ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅ 1229

8π

g) časti kužeľovej plochy 22 y x z += , ktorá leží vo vnútri valca x y x 222 =+ .π ⋅2

h) časti kužeľovej plochy 222 y x z += ohraničenej valcovou plochou y z 22 = .π ⋅⋅ 22

i) časti plochy hyperbolického paraboloidu ( )0, ≥⋅= y x y x z ohraničenej valcovou

plochou 122 =+ y x . ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅ 1226π

j) guľovej plochy ( )01222 ≥=++ z z y x . [ ]π ⋅2k) guľovej plochy ( )08222 ≥=++ z z y x ohraničenej valcovou plochou 422 =+ y x .

)228 −⋅⋅π

l) časti skrutkovej plochy x y

arctg z = ležiacej vo vnútri valca 122 =+ y x .

( )( )[ ]21ln2 ++π

5.2 TROJNÝ INTEGRÁL

Nech A je elementárna oblasť v E 3. Nech množina A pozostáva práve z tých bodov( x, y, z ), pre ktoré B y x ∈),( , ),(),( y x z y x ψ ϕ ≤≤ , pričom B je elementárna v E 2 { napr. daná nerovnosťami: b xa ≤≤ , )()( x g y xh ≤≤ }a funkcieφ, ψ sú spojité na B. Nech f je integrovateľná funkcia na množine A a pre každý bod B y x ∈),( existuje integrál

∫ ),(

),(

),,( y x

y x

dz z y x f ψ

ϕ

.

Potom platí:

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

A

b

a

x g

xh

y x

y x

dxdydz z y x f z y x f )(

)(

),(

),(

),,(),,(ψ

ϕ

.




Transformácia trojného integrálu Cylindrické súradnice. Nech zobrazenieΦ priradí každej trojicičísel ( ρ,φ,u) bod ( x, y, z ) podľa vzťahov

ϕ ρ cos= x , ϕ ρ sin= y , u z = .Toto zobrazenie je regulárne pre 0> ρ , π ϕ 20 << .Pre jakobián zobrazenia dostaneme: ρ = J .

Sférické súradnice. Nech zobrazenieΦ priradí každej trojicičísel ),,( ϑ ϕ ρ bod ( x, y, z ) podľa vzťahov

ϕ ϑ ρ cossin= x , ϕ ϑ ρ sinsin= y , ϑ ρ cos= z .Toto zobrazenie je regulárne pre 0> ρ , π ϕ 20 << , π ϑ <<0 .Pre jakobián zobrazenia dostaneme: ϑ ρ sin2= J .

Sférické súradnice. Nech zobrazenieΦ priradí každej trojicičísel ),,( ϑ ϕ ρ bod ( x, y, z ) podľa vzťahov

ϕ ϑ ρ coscos= x , ϕ ϑ ρ sincos= y , ϑ ρ sin= z .

Toto zobrazenie je regulárne pre 0> ρ , π ϕ 20 << , 22π ϑ π <<− .

Pre jakobián zobrazenia dostaneme: ϑ ρ cos2= J .

Aplikácia trojného integrálu . Nech A je uzavretá merateľná množina z E 3. Pre objemV množiny A platí:

∫∫∫ = A

dxdydz V .

Príklad 1 :Vypočítajme ∫∫∫ I

dxdydz z y x 23 , ak I : 10 ≤≤ x , x y ≤≤0 , xy z ≤≤0 .


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

1

0 0

451

0 0 0

223

1

0 0 0

2323

21

2dxdy y xdxdy

z y xdxdydz z y xdxdydz z y x

x x xy x xy

I

∫ ∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

1

0

1

0

1110

1

0 0

55

1101

11101

101

521 x

dx xdx y

x x

Príklad 2 : Vypočítajme ∫∫∫ I

dxdydz y , ak I je elementárna oblasť ohraničená rovinou

0622 =−++ z y x a 1. oktantom ( 0,0,0 ≥≥≥ z y x ). Na popis oblasti I pomocou nerovností musíme najprv ur čiť prienik danej roviny

0622 =−++ z y x s rovinou y xoo .Položíme 0= z a dostaneme x y −= 3 .Táto priamka pretína x-ovú os v bode 3. Oblasť I je teda daná nerovnosťami:

30 ≤≤ x , x y −≤≤ 30 , y x z 2260 −−≤≤ .Daný integrál vypočítame takto:

[ ]∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

−−−

− −− 3

0

3

0

2260

3

0

3

0

226

0dxdy yz dxdydz ydxdydz y

x y x

x y x

I




∫ ∫ ∫ ∫ =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=

−− 3

0

233

0

3

0

3223

0

3

0

2 99331

32

22

26)226( dx x x xdx

y y x

ydxdy y xy y

x x

4279

29

33

12

3

0

234

=⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡ +⋅−⋅+−= x x x x

Príklad 3 :Vypočítajme dxdydz y x I ∫∫∫ + 22 , ak oblasť I je ohraničená kúžeľom

222 z y x =+ a rovinou 1= z . Zavedieme cylindrické súradnice ϕ ρ cos= x , ϕ ρ sin= y , u= , ρ = J . Prienikom

kúžeľa 222 z y x =+ a roviny 1= z je kružnica 122 =+ y x .Dosadením cylindrických súradníc do rovnice kružnice dostaneme hornú hranicu

premennej ρ:( ) 1sincos. 222 =+ ϕ ϕ ρ , 1= ρ ,

resp. ich dosadením do rovnice kúžeľa dostaneme dolnú hranicu pre premennúu:( ) 2222 sincos. u=+ ϕ ϕ ρ , ρ =u .

Oblasť I je daná nerovnosťami:10 ≤≤ ρ , π ϕ 20 ≤≤ , 1≤≤ u ρ .

Pre daný integrál platí:

( ) =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ

π π

ρ

d d dud d dudxdydz y x I

2

0

1

0

22

0

1

0

122222 .)sin.(cos

[ ]∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

π π π π π

ρ π

ϕ ϕ ϕ ρ ρ

ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ 2

0

2

0

2

0

1

0

432

0

1

0

322

0

1

0

12

612

1

12

1

43)( d d d d d d u

Príklad 4 :Vypočítajme dxdydz z y x I

∫∫∫ ++ 222

1 , ak I je oblasť ohraničená dvoma

sústrednými guľami 1222 =++ z y x a 4222 =++ z y x . Zavedieme sférické súradnice ϑ ϕ ρ cos.cos= x , ϑ ϕ ρ cos.sin= y , ϑ ρ sin= z ,

ϑ ρ cos2= J . Ich dosadením do rovníc gulí dostaneme dolnú aj hornú hranicu premennejρ:11)sincos.sincos.(cos 222222 =⇒=++ ρ ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ρ ,

Analogicky ( dosadením do 2. rovnice ) dostaneme2= ρ .Oblasť I je tak daná nerovnosťami

21 ≤≤ ρ , π ϕ 20 ≤≤ ,22π

ϑ π ≤≤− .

Daný integrál vypočítame nasledovne:

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −−

ρ ϕ ϑ ϑ ρ ρ ϕ ϑ ϑ ρ ρ

π π

π

π π

π

d d d d d d dxdydz z y x I

2

1

2

0

2

2

2

1

2

0

2

2

22222

coscos11

[ ] [ ] π ρ

π ρ πρ ρ ρϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϑ ρ π π

π

π

π

62

4422sin2

1

21

0

1

0

20

2

1

2

0

2

1

2

2

2

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅===

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

−

d d d d d d




Príklad 5 :Vypočítajme objem telesa ohraničeného rovinami: 632 =+ z y , 0= x , 4= x ,

0= y , 0= z . Pre výpočet objemu telesa pomocou trojného integrálu platí:

∫∫∫ =

I

dxdydz V .

Popis elementárnej oblasti vyplýva priamo zo zadania úlohy ( hornú hranicu premennej yur číme ako prienik rovín 632 =+ z y a 0= z ):

40 ≤≤ x , 30 ≤≤ y ,3260 y

z −≤≤ .

Pre hľadaný objem telesa platí:

[ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

−−

4

0

3

0

24

0

3

0

4

0

3

0

326

0

4

0

3

0

326

0 226

31

326

dx y

ydxdy y

dxdy z dxdydz V y

y

[ ] 1233 40

4

0

=== ∫ xdx

Príklad 6 : Vypočítajme objem telesa ohraničeného kužeľom 222 z y x =+ , 0≥ z , valcom y y x 222 =+ a rovinou 0= z .

Zavedieme cylindrické súradnice ϕ ρ cos= , ϕ ρ sin= y , u z = , ρ = J . Ichdosadením do rovnice valca dostaneme hornú hranicu premennej ρ:

( ) ϕ ρ ϕ ϕ ρ sin2sincos. 222 =+ , ϕ ρ sin2= ,resp. dosadením do rovnice kužeľa dostaneme hornú hranicu premenneju:

2222 sincos. u=+ ϕ ϕ ρ , u= ρ .Hranice pre premennúφ ur číme z polohy kolmého priemetu valca y y x 222 =+ do

roviny 0= z ( I. a II. kvadrant ). Pre oblasť I teda dostaneme:ϕ ρ sin20 ≤≤ , π ϕ ≤≤0 , ρ ≤≤ u0 .

Pre objem telesa dostaneme:

[ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

π ϕ π ϕ π ϕ ρ

π ϕ ρ

ϕ ρ

ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ 0

sin2

0

3

0

sin2

0

2

0

sin2

00

0

sin2

0 0 3. d d d d d ud d duV

932

338

)1(38

1,1sin

cos

sin)cos1(38

sin38

1

1

1

1

32

021

0

23=⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−=−−=−===−

=

−==−

−

∫ ∫ ∫ t

t dt t t t

dt d

t

d d

π π

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Úlohy

5.2.1 Vypoč ítajte trojný integrál, ak oblas ť V je ohrani čená danými plochami. a) ( )dxdydz x

V ∫∫∫ +3 ; .1,1,1,1,1,1: =−==−==−= z z y y x xV [ ]24

b) ( )dxdydz xV ∫∫∫

+32 ; .1,0,1,0,1,0: ====== z z y y x xV [ ]4




c) ( )dxdydz z y xV ∫∫∫ ++ ; .1,0,0,0: =++=== z y x z y xV ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

81

d) ∫∫∫ V

xdxdydz ; .0622,0,0,0: =−++=== z y x z y xV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

427

e) ( )∫∫∫ +++

V z y xdxdydz

1 3 ; .1,0,0,0: =++=== z y x z y xV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −165

22ln

f) ∫∫∫ V

zdxdydz ; .2,2,0,0,0: =+==== y x z z y xV [ ]4

g) ∫∫∫ V

zdxdydz ; .2

,,0,0: π =+=== z x x y z yV [ ]2105

3 π π

h) ( )dxdydz z y xV ∫∫∫ ++ ; :V .1,0,0,0,422 =====+ z z y x y x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +23

16 π

i)

( )∫∫∫ ++V dxdydz z y x ; .8,0,0,0,9:22

=====+ z z y x y xV [ ]π 72144+ j) ( )∫∫∫ ++

V

dxdydz z y x 22 ; .4,: 22 ==+ z z y xV [ ]π 32

k) ∫∫∫ V

zdxdydz ; .3,4: 22222 z y x z y xV =+=++ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

413π

l) ∫∫∫ V

zdxdydz ; .,: 22222 y x z y x z V +=+= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

12π

m) ∫∫∫ V

zdxdydz ; 22222 ,2: y x z z z y xV +≥=++ . ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

67π

n) ( )∫∫∫ +V

dxdydz z 12 ; 0,2,: 22222 ==++= z y y x y x z V . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

5

152.41

o) ∫∫∫ =+=++V

y x z y xV zdxdydz .1,4:; 22222 [ ]0

p) ∫∫∫ V

dxdydz z ; .1,4: 22222 =+=++ y x z y xV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

27π

q) ∫∫∫ ≥=+=+V

aa z x y xV zdxdydz .2,,1:; 22222 [ ]0

r) ∫∫∫ =+====V

z x y x y xV xdxdydz .9,1,1,0,0:; 22 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −3

23218

s) ∫∫∫ =+=+ .9,1:; 2222 z x y xV dxdydz z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

435π

t) ∫∫∫ ≥=+=+V

aa z y y xV dxdydz z .2,,1:; 22222 ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −144

2aπ

5.2.2 Pomocou trojného integrálu vypo čítajte objem telesa ohrani čeného plochami :

a) 22222

, y x z y x z +=+= . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

6π




b) 22222 32,32 y x z y x z +=+= . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

366π

c) 22222 ,2 y x z z z y x +≥=++ . [ ]π

d) 22222

,2 y x z z z y x +≤=++ . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

6π

e) 12

2

2

2

2

2=++

c z

b y

a x , cba ,, >0. ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

34 abcπ

f) 1,4 22222 =+=++ y x z y x . ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − 3383

4π

g) ( ) 1,42 22222 =+=−++ y x z y x . ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − 3383

4π

h) 9,22 =+= z y x z , x y x 222 =+ . ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

2

15π

i) y y x z y x z 2,9, 2222 =+=+= . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

215π

j) 0,1, 2222 ==++= z y x y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2π

k) 1,1,1 2222 =+=−−= y x z y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2π

l) 0,1,4 2222 ==+−−= z y x y x z . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

27π

m) 0,1, 22222 ==++= z y x y x z , 22 y x z +≥ . ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

32π

n) 2222 4,0,2 y x z z x y x −−===+ . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

25π

o) 2222 4,0,2 y x z z y y x −−===+ . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

25π

p) 0,,2 22222 =+==+ z y x z x y x . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

932

q)

0,,222222

=+==+ z y x z y y x . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

932

r) ( ) 164,16 222222 =−++=++ z y x z y x . ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

380π

s) 2

,0,0,0 π =+=== z x z y x . [ ]4

t) 2

,0,0, π =+=== z x z y x y . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

215

2 π π




6 KRIVKOVÉ INTEGRÁLY

6.1 KRIVKOVÝ INTEGRÁL PRVÉHO DRUHU

NechC je po častiach hladká orientovaná krivka, ktorej parametrické vyjadrenie jek t z jt yit xt r rrrr )()()()( ++= , >∈< β α ,t . Nech f je reálna funkcia definovaná na krivkeC .

Potom platí:

[ ] [ ] [ ] [ ]dt t z t yt xt z t yt x f ds z y x f C ∫ ∫ ′+′+′=

β

α

222 )()()()(),(),(),,( .

Príklad 1 :Vypočítajme ∫ +C

ds y x )( 2 , kde C je úsečka AB: )2;2(),1;1( == B A .

Ak C je grafom funkcie ∈= ba x x y y ,),( , tak pre krivkový integrál prvého druhu platí:

[ ] [ ]∫ ∫ ′+=C

b

a

dx x y x y x f ds y x f 2)(1.)(,),( .

Úsečka AB ječasťou priamky x y = a 1=′ y . Pre hľadaný krivkový integráldostaneme:

62.23

32211).()(

2

1

322

1

22 =⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡ +=++=+ ∫ ∫ x xdx x xds y x

C

Príklad 2 : Vypočítajme ds yC ∫ 2 , kdeC ječasť cykloidy

jt ait t ar rrr )cos1.()sin.( −+−= , ∈ π 2,0t .

Ak C je počastiach hladká krivka parametrizovaná funkciou r = r (t ) a f je skalárnafunkcia definovaná naC , tak pre krivkový integrál prvého druhu platí:

[ ] [ ] [ ] [ ]dt t z t yt xt z t yt x f ds z y x f C

b

a∫ ∫ ′+′+′= 222 )()()()(),(),(),,( .

Aplikujúc vyššie uvedený vzťah pre daný krivkový integrál dostaneme:

∫ ∫ ∫ =−=+−−=π π 2

0

22222

0

)cos1(2sin)cos1(.)cos1.(22 dt t aadt t at at ads yC

[ ] aat t aa π π 4sin.2 20 =−=

Úlohy

6.1.1 Nájdite krivkové integrály po krivke C danej úse čkou ak :

a)

∫ +C ds y x )( , C je úsečka AB , [ ]1,3 −= A , [ ]2,5= B ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2139



Kapitola 6 - Krivkové integrály85

b) ∫ C

y dse x , C je úsečka B , [ ]1,0 −= A , [ ]2,3= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ee

222 2

c) ∫ C

ds y xsin , C je úsečka AB , [ ]2,1= A , [ ]4,2= B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−4

5)2sin4sin4cos42cos2(

d) ∫ C

ds y

x2

, C je úsečka B , [ ]1,1−= A , [ ]0,0= B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

22

e) ∫ C

y ds x , C je úsečka AB , [ ]3,2= A , [ ]5,2= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2ln24

f) ∫ C

ds y x , C je obvod trojuholníkaABD [ ]2,1= A , [ ]2,4= B , [ ]4,2= D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++ 53

14832615

6.1.2 Nájdite krivkové integrály po krivke C danej funkciou ak :

a) dseC

x∫ + 21 , C je oblúk krivky xe y = , [ ]e A ,1= , [= B 3,3 e ]

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −+ 22

26

ee

b) ds xC ∫ + 21 , C je oblúk krivky x y ln= , [ ]0,1= A , [ ]1,e B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +2

1 2e

c) ∫ C

ds x y cos , C je oblúk krivky x y sin= , [ ]0,0= A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 1,2π

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −3

122

d) ∫ +C

ds x41

1 , C je oblúk krivky x

y 1= , [ ]1,1= A , ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=

21,2 B ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡21

e) ∫ C

ds x y , C je oblúk krivky 2 x y = , [ ]4,2= A , [ ]9,3= B ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −12

17173737

f) ∫ C

ds x2sin , C je oblúk krivky y cos= , [ ]1,0= A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 0,2π

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −3

)122(2




6.1.3 Nájdite krivkové integrály po krivke C danej kúže ľ ose čkou ak :

a) ∫ C

ds y x , C je kružnica 422 =+ y x [ ]0

b) ∫ C ds y

x2 , C je časť kružnice 0,9

22

≥=+ x y x [ ]2− c) ∫

C

ds y x , C je kružnica x y x 222 =+ [ ]0

d) ∫ C

ds x y

arctg , C je kružnica y y x 222 =+ [ 2π ]

e) ∫ +C

ds y x 22 , C je kružnica 0,22 ≥=+ y x y x [ ]1

f) ∫ C

ds y x , C je elipsa 194

22=+ y x [ ]0

6.1.4 Nájdite krivkové integrály po krivke C ak :

a) ∫ C

ds , C je krivka jt it t r rrr )cos1()sin( −+−= , π ≤≤ t 0 [ ]4

b) ∫ C

ds y x

2

3

, C je krivka jt it r rrr sin3cos3 += ,

26π π ≤≤ t ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

29

c) ∫ +C

ds y x )( , C je krivka jt it r rrr 33 sincos += , π ≤≤ t 0 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

56

d) ∫ −

C

y x dse , C je úsečka AB , [ ]3,2,1= A , [ ]3,5,2= B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − −−

2)(10 31 ee

e) ∫ −C

ds y x )(sin , C je úsečka AB , [ ]2,0,2−= A , [ ]3,2,0= B [ ]2sin3−

f) ∫ C

z x ds y , C je úsečka B , [ ]1,3,3= A , [ ]1,3,5= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3ln216

g) ∫ −+C

ds z y x )32( , C je úsečka AB , [ ]1,0,1= A , [ ]2,3,2= B [ ]0

h) ∫ −C

ds y x )( 22 , C je krivka k t jt it r rrrr ++= sincos ,

40 π ≤≤ t ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

22

i) ∫ C

ds z y x , C je krivka k t jt it r rrrr ++= sin2cos2 ,

20 π ≤≤ t [ π

25 ]

6.2 KRIVKOVÝ INTEGRÁL DRUHÉHO DRUHU




NechC je po častiach hladká orientovaná krivka, ktorej parametrické vyjadrenie jek t z jt yit xt r rrrr )()()()( ++= , >∈< β α ,t . Nech f je vektorová funkcia definovaná na krivke

C . Potom platí:[ ]∫ ∫ =++=

C C

z y x R z y xQdx z y x P r d f ),,(),,(),,(. rr

[ ]∫ ′+′+′±= β

α

dt t z z y x Rt y z y xQt x z y x P )().,,()().,,()().,,( .

Príklad 1 :Vypočítajme ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−C

dy xdx x xy 2

21)( , kdeC ječasť paraboly

x y 2= , 10 ≤≤ x . Ak C je počastiach hladká orientovaná krivka parametrizovaná funkciou r = r (t ) a F

je vektorová funkcia definovaná naC , tak pre krivkový integrál druhého druhu platí:

[ ]∫ ∫ ′+′+′±=b

aC

dt t z z y x Rt y z y xQt x z y x P r d F )().,,()().,,()().,,(. rr(1) .

Krivku x y 2= parametrizujeme: nech t x = , t y 2= , 10 ≤≤ t . Použitím vyššieuvedeného vzťahu pre daný krivkový integrál dostaneme:

∫ ∫ =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−

1

0

1

0

225

231

0

2

21

2252

525

212.

212 t t

dt t t dt t

t t t t

Príklad 2 :Vypočítajme ∫ +−+C

dz xydy y R z dx yz 22 , kdeC je časť skrutkovice

t R x cos= , t R y sin= , at z = , 0> R , 0≠a , ∈ π 2,0t .Použitím vzťahu (1) z Príkladu 3 pre hľadaný krivkový integrál dostaneme:

[ ]∫ =+−+−π 2

0

2222 .sincoscossin)sin(.sin dt at t Rt Rt R Rat t Rt Rat

[ ]∫ =++−=π 2

0

22222 sincoscossin dt t t a Rt at Rt at R

[ ]∫ ∫ ∫ +−=+−+−=π π π 2

0

2

0

2

0

22222222 sin2sincos)sin1.(sin dt t t a Rtdt a Rdt t t a Rt at Rt at R

∫ +π 2

0

2 cossin dt t t a R 02

sin8

2cos44

2sin212

2

2

0

22

2

0

222

2

0

22 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=π π π

t a R

t t t t t a R

t a R

kde =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−=

−=−==′

=′=∫ ∫ ∫

dt t

t t t

t t t dt

t vu

t vt udt t t

42sin

21

42sin

21

42sin

21

22cos1,1

sin,sin 2

2

2

82cos44 2sin212

2 t t t t t −−−=




∫ ∫ ====

=2

sin2cos

sincossin

22 t uduu

dt t du

t udt t t

Úlohy

6.2.1 Nájdite integrál po krivke C ak :

a) ∫ −C

dy xdx y 22 , C je úsečkaa

AB , [ ]3,2−= A , [ ]5,0= B [ ]30

b) ∫ −+C

dy x ydx y 22 )( , C je úsečkaa

AB , [ ]3,0= A , [ ]5,3= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3185

c) ∫ −+C

y dy xdxe y )1( , C je úsečkaa

AB , [ ]2,0 −= A , [ ]0,1= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +− −

2)3( 2e

d)

∫ +

C

dy y ydx y x π π sinsin , C je úsečkaa

AB , [ ]0,1= A , [ ]1,3= B ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

π

9

e) ∫ +C

x y dy ydx x , C je úsečka B , [ ]5,3= A , [ ]5,1= B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−3364

f) ∫ +C

dy xdx y x 2 , C je obvod trojuholníkaABD , pričom ( ) D B A ,, je usporiadaná

v zmysle orientácie krivkyC , [ ]2,2= A , [ ]3,3= B , [ ]4,2= D ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

37

g) ∫ +C

dz xydx x 2 , C je úsečka AB , [ ]3,0,2−= A , [ ]1,2,0= B so začiatkom v bode A

[ ]4h) ∫ ++

C

dz xdy z dx y , C je úsečka AB , [ ]2,1,1−= A , [ ]8,1,5= B so začiatkom v bode

A [ ]18i) ∫

C

dz y xsin , C je úsečka AB , [ ]2,2,1= A , [ ]3,2,3= B so začiatkom v bode A

[ ]2sin2 j) ∫ +

C

z dz xydy xe , C je úsečka AB , [ ]3,1,2−= A , [ ]3,5,4= B so začiatkom v bode A

[3

4e ] k) ∫ +C

y dz dx y 2arcsin ,C je úsečka AB , [ ]0,2,1−= A , [ ]4,3,1= B so začiatkom

v bode A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2ln531

l) ∫ C

dz xyln , C je úsečka AB , [ ]1,1,1 −= A , [ ]3,1,5= B so začiatkom v bode A

[ ]45ln5 −

6.2.2 Nájdite integrál po krivke C danej funkciou ak :




a) ∫ +C

dy ydx y x , C je oblúk krivky xe y 2= , od bodu [= A 2,1 e ] po bod [= B 4,2 e ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+4

2 248 eee

b) ∫ +C

dy xdx y , C je oblúk krivky x y 2= , od bodu ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡−=

21,1 A po bod [ ]2,1= B ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

25

c) ∫ −C

dy xdx y

xsin , C je oblúk krivky x y = od bodu [ ]2,4= A po bod [ ]3,9= B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−3

193cos22cos2

d) ∫ −C

dy x

dx x y 1 , C je oblúk krivky x y ln= od bodu [ ]1,e A = po bod [= B 2,2e ]

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+ ee11

23

2

e) ∫ +C

dy x y

dx y x , C je časť kružnice 0,922 ≥=+ y y x od bodu [ ]3,0= A po bod

[ ]0,3−= B [ ]6f) ∫ −

C

dy ydx x , C je časť kružnice 0,422 ≥=+ y x y x od bodu [ ]0,4= A po bod

[ ]0,0= B [ ]8− g) ∫

C

dx y x , C je časť kružnice 0,422 ≥=+ x y y x od bodu [ ]0,0= A po bod [ ]4,0= B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−316

6.2.3 Nájdite integrál po krivke C danej parametricky ak :

a) ∫ +C

dy xdx x 3 , C je krivka jt it r rrr 33 sincos += , π 20 ≤≤ t a bod [ ]0,1= A je prvý

bod ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

43

b) ∫ C dy x , C je krivka jt it t r

rrr

)cos1()sin( −+−= , π 20 ≤≤ t a bod [ ]0,0= A je prvý

bod [ ]π 3−

c) ∫ C

x dxe , C je krivka jt it r rrr sin3cos2 += ,

20 π ≤≤ t a bod [ ]0,2= A je prvý bod

[ 21 e− ] d) ∫ ++

C

dz ydy xdx z 2 , C je krivka k t jt it r rrrr ++= sincos , π 20 ≤≤ t a bod

[ ]0,0,1= A je prvý bod [ ]π 2




e) ∫ C

dz xy , C je krivka k t jt it r rrrr

2sin3cos3 π ++= , π ≤≤ t 0 a bod [ ]0,0,3= A je

prvý bod [ ]0 f) ∫ +

C

dz ydx y x , C je krivka k jt it r rrrr 2ln ++= , et ≤≤1 a bod [ ]2,0,1= A je

prvý bod ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +4

12e

g) ∫ ++C

dz xydy y x

dx yz 2 , C je krivka k t jt it r rrrr )2( −++= , 20 ≤≤ t a bod

[ ]2,0,0= A je prvý bod ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −352

1516

h) ∫ +C

dz xdy z , C je krivka k t t jt it r rrrr ))1(()1( 22 −++−+= , 10 ≤≤ t a bod

[ ]1,1,0= A je prvý bod ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−31

6.3 GREENOVA VETA

Nech C je jednoduchá uzavretá, počastiach hladká krivka, cyklicky orientovanásúhlasne s daným súradnicovým systémom. Nech množina A pozostáva zo všetkých bodovkrivkyC a jej vnútra. Nech funkcie P ( x,y) a Q( x,y) sú spojité a majú prvé parciálne derivácievzhľadom na množinu A. Potom platí:

[ ]∫ ∫∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

∂∂−

∂∂=+=

C AC

dxdy y

y x P x

y xQdy y xQdx y x P r d F ),(),(),(),(. rr .

Aplikácie krivkového integrálu. NechC je jednoduchá počastiach hladká krivkacyklicky orientovaná súhlasne s daným súradnicovým systémom a A je vnútro krivkyC .Potom obsah oblasti A je:

∫ −=C

ydx xdy P )(21 .

NechC je počastiach hladká krivka, orientovaná súhlasne s parametrickýmvyjadrením, potom pre dĺžku krivkyC platí:

∫ =C

dsl .

Príklad 1 : Použitím Greenovej vety vypočítajme [ ]∫ +C

xdydx y 2 ,

kdeC je obvod štvorca ohraničený priamkami: 1= x , 1−= x , 1= y , 1−= y .

Ak C je jednoduchá uzavretá, počastiach hladká krivka, obopínajúca množinu Aa vektorová funkcia F =P ( x,y)i + Q ( x,y) j má spojité parciálne derivácie, tak platí:

∫ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ∂∂−

∂∂=

C A

dxdy y P

xQ

r d F rr

. (2) .

Pre oblasť A platí:




Príklad 4 : Pomocou krivkového integrálu vypočítajme dĺžkučasti krivky: t x 3= , 23t y = ,32t z = od bodu A = (0, 0, 0) do bodu B = (3, 3, 2).

Pre dĺžku oblúka krivky platí:∫ =

K

dsl , kde dt dz dydxds 222 )()()( ++= .

Najprv ur čímeds dt t dt t t ds )21.(336369 242 +=++= .

Keďže30 ≤≤ x , tak 330 ≤≤ t , 10 ≤≤ t .

Pre dĺžku krivky teda dostaneme:

∫ ∫ =⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⋅+=+==

1

0

1

0

1

0

32 5

32.3)21.(3 t

t dt t dsl

Úlohy

6.3.1 Pomocou Greenovej vety nájdite integrál po uzavretej krivke C ak :

a) ∫ +++C

dy y xdx y x 222 )()(2 , C je kladne orientovaný obvod trojuholníka ABD ,

[ ] [ ] [ ]3,1,2,2,1,1 === D B A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−34

b)

∫ +++

C

dy y xdx y x )2()( 22 , C je kladne orientovaný obvod trojuholníka ABD ,

[ ] [ ] [ ]1,3,2,2,1,1 === D B A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

316

c) ∫ −C

dy y xdx xy 22 , C je kladne orientovaný obvod trojuholníka ABD ,

[ ] [ ] [ ]2,0,1,1,0,0 === D B A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−34

d) ∫ −++C

dy x ydx y x )2()2( , C je kladne orientovaný obvod trojuholníka ABD ,

[ ] [ ] [ ]1,1,0,2,0,0 === D B A [ ]4− e) ∫ −+−

C

dy y xdx x y )()( 22 , C je kladne orientovaný obvod štvorca ABDE ,

[ ] [ ] [ ],4,3,2,3,2,1 === D B A [ ]4,1= E [ ]8− f) ∫ +−

C

dy xdx y x 22 3)2( , C je kladne orientovaný obvod obdĺžnikaABDE ,

[ ] [ ] [ ],2,4,2,0,0,0 −=−== D B A [ ]0,4= E [ ]64 g) ∫ −+−

C

dy xdx y )4()1( 22 , C je kladne orientovaná kružnica 922 =+ y x

[ ]0




h) ∫ −+C

dy y xdx y )(2 , C je kladne orientovaná kružnica x y x 422 =+

[ ]π 4

i) ∫ −++C

dy y xdx y x 22 )()( , C je kladne orientovaná elipsa 194

22

=+ y x

[ ]0 j) ∫ −++

C

dy y xdx y x )2()( , C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej

krivkami 2 x y = a x y = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

61

k) ∫ −++C

dy y xdx y x )2()( , C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej

krivkami xe y = , e y = a 0= x [ ]1

l) ∫ −++C dy y xdx y x

22

)()( , C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej

krivkami 24 x y −= a 2 x y = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 23

128

m) ∫ +C

dy xydx y , C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej krivkami

x y sin= , 0= y a2π = x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −18π

n) ∫ +C

dy ydx y

21 , C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej krivkami 4= xy ,

1= y , 1= x a 4= x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

89

o) ∫ +C

dy x

dx y

22

22

, C je kladne orientovaná hranica oblasti ohraničenej krivkami

x y ln= , 1= y , 2= y a 0= x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −45 24 ee

6.3.2 Vypoč ítajte obsah plochy ohrani čenej uzavretou krivkou C ak:

a) C je elipsa 1164

22

=+ y x [ ]π 8

b) C je kružnica 922 =+ y x [ ]π 9

c) C je asteroida jt it r rrr 33 sincos += π 20 ≤≤ t ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π

83

d) C je cykloida jt it t r rrr )cos1()sin( −+−= π 20 ≤≤ t a kladná poloos [ ]π 3

e) C je krivka jt t it t r rrr )2sinsin2()2coscos2( −+−= π 20 ≤≤ t [ ]π 6



Kapitola 7 – Základy funkcie komplexnej premennej95

yu

x y xv

∂∂−=′+−=

∂∂ )(3 2

ϕ ,222 33)(3 x y x y +−=′+− ϕ , 23)( x x =′ϕ .

Preφ( x) dostaneme:

∫ +== K xdx x x32

3)(ϕ , ∈ K R .Funkcia z má teda tvar:

)3.(3 3223 K x xyi y x y z ++−+−=

Príklad 3: Nájdime analytickú funkciu ivu z += v oblastiC , ak je daná jej imaginárnazložka x xy y xv 32),( += .

Budeme postupovať analogicky ako v predchádzajúcom príklade. Aplikujúc Cauchy-Riemanove vzť ahy dostaneme:

x

u x

y

v

∂∂==

∂∂ 2 (2).

Z rovnice (2) ur č ímeu( x,y):∫ +== )(2),( 2 y x xdx y xu ϕ .

Zároveň platí:

xv

y yu

∂∂−=′=

∂∂ )(ϕ , 32)( −−=′ y y .

Preφ( y) dostaneme:∫ +−−=−−= K y ydy y y 3)32()( 2

ϕ , ∈ K R .Hľ adaná funkcia z má teda nasledovný tvar:

)32.(322 x xyi K y y x z +++−−=

Úlohy

7.1.1 Overte, č i funkcia :a) z z z f 2)( 2 += , kde yi x z .+= je analytická. [ je analytická] b) z z f Re)( = , kde yi x z .+= je analytická. [ nie je analytická]

7.1.2 Nájdite funkcie ( ) y xu , resp. ( ) y xv , tak, aby funkcia ),(.),()( y xvi y xu z f += bolaanalytická, ak :

a) ( ) y xy y x y xu 2233, 22 +−−= ( )[ ]C x xy y x y xv +−+−= 26, 22

b) ( ) xy y x y xu +−= 22, ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++−= C xy y x

y xv 222

,22

c) ( ) x xy y xv 32, += ( )[ ]C y y x y xu +−−= 3, 22 d) ( ) 323 236, y xy y x x y xu −−+= ( )[ ]C xy y x y x y xv +++−−= 2233 632,e) ( ) ye y xu x sin4, = ( ) C ye y xv x +−= − cos4,

f) ( ) y xy x y xu 23,23

−−= ( ) C x y y x y xv ++−= 23,32

g) ( ) ye y xu x sin2, = ( )[ ]C ye y xu x +−= sin2,




7.1.3 Nájdite funkcie ( ) y xu , resp. ( ) y xv , tak, aby funkcia ),(.),()( y xvi y xu z f += bolaanalytická, ak je daná po čiatočná podmienka:

a) ( ) y xy y x y xu 2233, 22 +−−= , ( ) i f =0 ( )[ ]126, 22 +−+−= x xy y x y xv

b) ( ) xy y x y xu +−= 22, , ( ) ii f 21 −=+ ( )⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −++−= 1222

,22

xy y x

y xv

c) ( ) x xy y xv 32, += , ( ) i f =0 ( )[ ]i y y x y xu +−−= 3, 22 d) ( ) 323 236, y xy y x x y xu −−+= , ( ) 00 = f ( ) 2233 632, xy y x y x y xv ++−−= e) ( ) ye y xu x sin4, = , ( ) ii f 5=π ( ) 1cos4, +−= − ye y xv x f) ( ) y xy x y xu 23, 23 −−= , ( ) ii f −−= 2 ( )[ ] x y y x y xv 23, 32 +−= g) ( ) ye y xu x sin2, = , ( ) i f 220 += ( ) 2sin2, +−= ye y xu x

7.2 INTEGRÁL FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ

NechC je súhlasne [nesúhlasne] orientovaný oblúk s parametrickým vyjadrením z (t ),>∈< β α ,t . Nech )(t z ′ je spojitá funkcia na intervale >< β α , a nech funkcia f ( z ) je

ohranič ená naC . Potom∫ C

dz z f )( existuje práve vtedy, keď existuje [ ]∫ ′ β

α

dt t z t z f )(.)( a platí:

[ ]∫ ∫ ′=C

dt t z t z f dz z f β

α

)(.)()( [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′−=∫ ∫

C


α

)(.)()( .

Príklad 1: Ur č me, aká krivka je daná nasledujúcou komplexnou funkciou reálnej premennejt , ak it e z = , >∈< π 2,0t .

Komplexnú funkciu z prepíšeme do goniometrického tvaru:t it e z it sincos +== .

Označ me reálnu zložku funkcie z ako x(t ) a imaginárnu y(t ), prič om platí:t t x cos)( = , t t y sin)( = .

Umocnením oboch rovníc na druhú a ich následným sč ítaním dostaneme⇒=+=+ 1sincos 2222 y x y x

Hľ adanou krivkou je teda kružnica so stredom v bode (0, 0) a polomerom 1

Príklad 2: Vypoč ítajme∫ C dz z

1, ak krivkaC je č asť kružnice it e R z .= , >∈< π ,0t , R > 0.

Integrál funkcie komplexnej premennej vypoč ítame podľ a vzťahu:

[ ]∫ ∫ ′=C


α

)(.)()( .

Najprv ur č íme )(t z ′ : it eiRt z .)( =′ .Aplikáciou vyššie uvedeného vzťahu dostaneme:

[ ] iit dt idt e R

eiRdz

z it

it

C

...

.10

00

π π π π

==== ∫ ∫ ∫



Kapitola 7 – Základy funkcie komplexnej premennej97

Príklad 3: Vypoč ítajme∫ C

dz z , ak krivkaC je kladne orientovanáč asť kružnice 1= z ,

0Re ≥ z so zač iatkom v bode i z −=0 a koncom v bode i z k = .KrivkuC zapíšeme v tvare:

it et z =)( , 2,2π π

−∈t .Ur č íme z ′ a z :

it eit z .)( =′ ,1sincossincos 22 =+=+== t t t it e z it .

Pre hľ adaný integrál teda platí:

−+=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅===

⋅−⋅

−−−∫ ∫ ∫ 2

sin2

cos. 222

2

2

2

2

2

π π π π π

π

π

π

π

π

ieei

eidt iedt ieedz z

iiit it it it

C

ii 22

sin2

cos =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −− π π

Úlohy

7.2.1 Vypoč ítajte integrál funkcie komplexnej premennej.

a) ∫ C

dz z Re , ak C je úseč ka so zač iatkom 0 z = 0 a koncovým bodom i z k +=1 . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + i21

21

b) ∫ C

dz z Re , ak C je kladne orientovaná kružnica a z = , 0>a . [ ]π 2ia

c) ∫ C

dz z Re , ak C je polkružnica 1= z , 0Im ≥ z , od 0 z = 1 po 11 −= z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2iπ

d) ∫ C

dz z Re , ak C : 22 x y = od 0 z = 0 po i z 211 +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + i34

21

e)

∫ C dz z , ak C je úseč

ka sa zač

iatoč

ným bodom 0 z = -1 a koncovým bodom 1=k z . [ ]1f) ∫

C

dz z , ak C : 0Re1 ≥∧= z z , od i z −=0 po i z =1 . [ ]i2

g) ∫ C

dz z z , ak C je úseč ka sa zač iatkom 0 z = 0 a koncovým bodom i z k +=1 . [ ]i+−1

h) ∫ C

dz z

1 , ak C je polkružnica 1= z , 0Im ≥ z , 0 z = 1, 1−=k z . [ ]22 −i

i) ∫ C

dz z z , ak 2: y xC = od i z +=10 po i z 241 += ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + i15128

257




j) ∫ C

dz z z , ak 0Re2: ≥∧= z z C od i z 20 −= po i z 21 = [ ]iπ 8

k) ( )( )∫ ++C

dz z z 911

22 , ak C : 2= z [ ]0

l) ( )∫ −C

z

dz z

e 22 13 , ak C : 22 =+− i z [ ]0

m) ( )∫ −C

z

dz z z

e31

, ak C :21= z [ ]iπ 2

n) ( )∫ −C

z

dz z z

e31

, ak C :211 =− z [ ]ieπ −

o) ( )∫ −C

z

dz z z

e31

, ak C :23= z

( )[ ]ii −2π p)

( )∫ −C

dz i z

z 32

sin , ak C : 3= z ( )[ ]ii 2sin−π

q) ∫ −C

dz z

z 22

cosπ

, ak C : 4= z [ ]0

r) ( )∫ +C

z

dz z z

z e2

cosπ , ak C : 4= z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ − 2

11e

iπ

7.3 REZÍDUUM FUNKCIE

Nech 0 z je izolovaný singulárny bod funkcie f ( z ), ktorá je na medzikružíM : R z z <−< 00 analytická. Nech Laurentov rad funkcie f ( z ) v bode 0 z pre danémedzikružie je:

∑∞=

−∞=−=

n

n

nn z z a z f )()( 0 .

Koeficient 1−a v tomto Laurentovom rade sa nazýva rezíduum funkcie f ( z ) v bode 0 z a označ ujeme ho res f ( z ). Pre rezíduum funkcie f ( z ) v bode 0 z platí:

res ∫ =C

dz z f i

z f )(.2

1)( 0 π ,

kde C je jednoduchá uzavretá kladne orientovaná poč astiach hladká krivka, ktorá ležív medzikružíM a v jej vnútri leží bod0 z . Ak má funkcia f ( z ) v bode 0 z pól, tak platí:

res [ ])()(lim)( 000

z f z z z f z z

−=→

.

Ak 0 z je pólomk -tého rádu (k >1) funkcie f ( z ), tak platí:

res [ ])()(lim)!1(

1)( 01

1

00

z f z z dz d

k z f k

k

k

z z −

−= −

−

→.




7.3.1 Vypoč ítajte rezíduum funkcie v jej póloch:

a) 3

)(2

+=

z z

z f [ ]9)3( =− f

b) 1)( 2

.

+= z e

z f z π

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ =−=− 2)(,2)(i

i f resi

i f res

c) 3

4

)2()(

−=

z z

z f [ ]24)2( = f res

d) 32 )1(1)(+

= z

z f ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −==−163)(,

163)( i

i f resi

i f res

e) 3)(1)(

i z z f

−= [ ]0)( =i f res

f) 3

)(

1)(i z z

z f −

= ( )[ ]ii f resi f res =− )(,0

g) 2sin)( z

z z f = ( )[ ]10 = f res

h) ( ) 33 )(

1)(i z i z

z f −+

= [ ( ) ⎥⎦

⎤=−−=43,

43)( i

i f resi

i f res

i) 22

2

)1()(

+=

z z

z f ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =−−=4

,4

ii f res

ii f res

j) 226 )1(1)(+

= z z

z f ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−==47,

47,00 i f resi f res f res

k) 22

23

)1(2)(

z z z z

z f −

++= ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−==451,

431,20 f res f res f res



Kapitola 8 – Laplaceova transformácia101

8 LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA

8.1 LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA

Laplaceova transformácia je transformácia, ktorá umožň uje zjednodušiť riešenieniektorých typov úloh týkajúcich sa predovšetkým diferenciálnych rovníc. Je založená na princípe korešpondencie navzájom prislúchajúcich si výrazov( )t f , ktorý nazývame vzor,originál a ( ) p F nazývaný obraz. Uvedenú vlastnosť zapisujeme v tvare ( ) ( ) p F t f ÷ a hovoríme, že vzor ( )t f korešponduje s obrazom ( ) p F . Laplaceov obraz ( ) p F je pritom

daný pomocou vzťahu ( ) ( )∫ ∞

−=0

dt et f p F pt . Znak ≑ alebo ÷ označ ujeme ako znaky korešpon-

dencie. Základné korešpondencie a vety sú uvedené vď alšom.

Tabuľ ka korešpondencií základných funkcií

Predmet Obraz Predmet Obraz

1 ÷ p1 sinωt ÷ 22 ω + p

eat ÷ a p −

1 cosωt ÷ 22 ω + p p

tn ÷ 1!+n p

n sinhωt ÷ 22 ω − p

at n et ÷ ( ) 1!

+− na p

n coshωt ÷ 22 ω − p p

t a, a >-1 ÷ ( )

11

++Γ

a pa t .sinωt ÷ ( )222

2ω

ω

+ p

p

t .cosωt ÷ ( )222

22

ω

ω

+−

p

p

Základné vety tabu ľ ky korešpondencií predmet ÷ obraz , f(t) ÷ F(p)

1. ( )t f cn

k k k ∑

=1 ÷ ( ) p F c

n

k k k ∑

=1( veta o lineárnosti )

2. ( )t f λ ÷ 0,1 ≠⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

λ λ λ p

F ( veta o podobnosti )

3. ( )t f e at . ÷ ( )a p F − ( veta o tlmení )

4. Ak ( )λ ,t f ÷ ( )λ , p F , tak ( )λ

λ ∂

∂ ,t f ÷ ( )λ

λ ∂

∂ , p F (veta o derivovaní podľ a parametra)

5. ( ) ( )τ η τ −− t t f . ÷ ( ) 0,.. >− τ τ p F e p ( veta o posunutí )




6. ( ) ( )t t f η τ .+ ÷ ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫ −

τ τ

0

.. .. dt et f p F e t p p ( veta o predstihu )

7. ( )t f ′ ÷ ( ) ( )0. f p F p − ( veta o derivovaní predmetu )8. ( )t f n)( ÷ ( ) ( ) ( )00.. )1(1 −− −−− nnn f f p p F p K

9. ( ) τ τ d f t

∫ 0

÷ ( ) p p F ( veta o integrovaní predmetu )

10. ( )t f t − ÷ ( ) p F ′ ( veta o derivovaní obrazu )

11. ( )t t f ÷ ( )∫

∞

p

dz z F ( veta o integrovaní obrazu )

12. ( )( )t g f * ÷ ( ) ( ) pG p F . ( veta o násobení obrazov )13. ( ) ( ) pG p F p .. ÷ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t f g t f g t g f t g f *.0*.0 ′+=′+ ( Duhamelov integrál

)

14. ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ −== t d t g f t ht g f

0

.* τ τ τ ( konvoluč ný súč in, konvolúcia )

Obrátený postup, teda ak ku známemu obrazu( ) p F priradíme korešpondujúci vzor ( )t f nazývame spätná Laplaceova transformácia. Pomocou nej môžeme nájsť riešenie

niektorých diferenciálnych rovníc resp. systémov obyč ajných diferenciálnych rovníc oveľa jednoduchšie a rýchlejšie.

Príklad 1 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( )5

2cos724 32 t et t f t −+−=

Podľ a tabuľ ky korešpondencií a vety (1) platí

42cos,

31,11,

p2

23

32

+÷

−÷÷÷

p p

t p

e p

t t

Podľ a vety o lineárnosti teda môžeme zapísať

4.

51

31.71.22.4

52cos724 23

32

+−

−+−÷−+−

p p

p p pt

et t

a teda

( )453

728

5

2cos724 2332

+−

−+−÷−+−

p

p

p p p

t et t

Príklad 2 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( ) t et t t f 4.3cosh.2 −=

Podľ a tabuľ ky korešpondencií platí

93cosh 2 −

÷ p

pt

Podľ a vety o tlmení môžeme zapísať ( )

( )( ) 94

4.3cosh 24

−−−

−−÷−

p

pet t resp.

( ) 94

4.3cosh 24

−+

+÷−

p

pet t

Použitím vety o derivovaní obrazu dostaneme




( )( )( )

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++−÷−− −

9442.3cosh..2 2

4

p p

et t t resp. ( )( )( )22

24

942582.3cosh.2

−+++÷−

p

p pet t t

Príklad 3 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( ) t t f 2sin=

Na nájdenie obrazu použijeme vetu o derivovaní predmetu. Najprv ale derivujemefunkciu ( )t f dovtedy, až kým deriváciu nevieme zapísať pomocou ( )t f . Predpokladáme, že

( ) ( ) p F t f ÷ , teda vzor ( ) t t f 2sin= korešponduje s nejakým obrazom( ) p F .

( ) [ ] t t t t t f 2sincossin2sin2 ==′=′

( ) [ ] [ ] ( ) ( )t t t t t t t f 2222 sin212sincos22cos22sinsin −=−==′=″=′′ Z tabuľ ky korešpondencií

( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −÷−=′′ p F p

t t f 212sin212 2

Podľ a vety o derivovaní predmetu platí( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p F pt t p p F pt f t t

20

20

22 sinsin =′−−÷′′ == Porovnaním pravých strán posledných dvoch vzť ahov dostaneme

( ) ( ) p F p p F p

2212 =⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ − a následne ( ) ( )4

22 +

= p p

p F


( )42sin 2

2

+÷

p pt

Príklad 4 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( ) t t f 2sin=

Ten istý príklad vyriešime aj pomocou vety o podobnosti. Stač í rozpísať

( ) ( )t t t t t 2cos1212cos0cos

21sin.sinsin2 −=−==

Z tabuľ ky základných korešpondencií platí

( ) ( )42

41

212cos1

21

22 +=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛

+−÷−

p p p p

pt

A teda funkcia

( )42sin 2

2

+÷

p pt

Príklad 5 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( ) ( ) ( )1.1sin2 −−= t t t f η

Z príkladu 4 máme pre ( ) t t f 2sin=

( )42sin 2

2

+÷

p pt

Podľ a vety o posunutí

( ) ( ) ( )421.1sin 22

+÷−− − p p

et t pη




A teda funkcia

( )42sin 2

2

+÷

p pt

Príklad 6 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( )t

t t t f cos3cos −=


1cos,

93cos 22 +

÷+

÷ p

pt

p p

t a teda19

cos3cos 22 +−

+÷−

p p

p p

t t

Použitím vety o integrovaní obrazu dostaneme

...1ln219ln

21lim

19cos3cos 22

22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−

+÷− ∫

∞

∞→

a

p pa

z z dz z

z z

z t

t t

91ln

21

19ln

210

19ln

21lim... 2

2

2

2

2

2

++=

++−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

∞→ z z

p p

z z a

pa


91ln

21cos3cos

2

2

++÷−

z z

t t t

Príklad 7 : Nájdite Laplaceov obraz k vzoru( ) ∫ −=t

t d et f 0

23 τ τ


43 6

pt ÷

Podľ a vety o tlmení

26. 23

+÷−

pet t

Použitím vety o integrovaní predmetu dostaneme

( )26

0

23

+÷∫ −

p pd e

t t τ τ

Príklad 8 : Nájdite Laplaceov obraz funkcie( )t f danej obrázkom

t

1

321

t

0




w) ( )t

t t f

2sin2

= ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ += p

p p F

16ln21 2

x) ( ) t

t

tee

t f 31 −−= ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

++=

14ln

p p

p F

y) ( ) t tet

t f 1cos −= ( )

( ) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++=

111ln

21

2 p

p p F

z) ( )t

t t t f

2sin4sin= ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

436ln

41

2

2

p p

p F

aa) ( )t

t et f

t sin2−

= ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= 22

parctg p F π

bb) ( )t

t t t f

3cos5sin= ( ) ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−=282

1 parctg

parctg p F π

cc) ( )t

t t f

3sin= ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=34

143

4 p

arctg parctg p F π

dd) ( ) t tet t

t f 33sin6sin= ( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++=

93813ln

41

2

2

p p

p F

ee) ( ) ∫ −+−=t

d et f 0

32 )cos( τ τ τ τ τ ( )

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

++

+−= 423 1

614

41 p p p p

p F

ff) ( )∫

+=t

d t f 0

3cos)1( τ τ τ ( )( )⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−++

= 22

2

2

9

9

9

1

p p

p

p p F

gg) ( ) ∫ =t

d t f 0

2 2sinh τ τ τ ( ) ( )( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+= 32

2

4434

p p

p p F

hh) ( ) ∫ +=t

d t f 0

2 cosh)1( τ τ τ ( ) ( )( )

( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−++

−+=

11

112

132

222

2

32

2

p p p

p

p

p p F

ii) ( ) ∫ −−=t

t d eet f 0

2 τ τ τ ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

++=

121

p p p F

jj) ( ) ∫ −

=

t t

d et f 0

)(33τ τ

τ

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+= 36

4 p p p F

kk) ( ) ∫ −=t

d t et f 0

2 )33sin( τ τ τ ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−=

923

2 p p p F

ll) ( ) ∫ −+−= −t

d t t et f 0

))sin()(cos( τ τ τ τ ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

++−=

1112 p p

p p F




8.2 SPÄTNÁ LAPLACEOVA TRANSFORMÁCIA

Obrátený postup, teda ak ku známemu obrazu( ) p F priradíme korešpondujúci vzor ( )t f nazývame spätná Laplaceova transformácia (SLT). Pomocou nej môžeme nájsť riešenie

niektorých diferenciálnych rovníc resp. systémov obyč

ajných diferenciálnych rovníc oveľ

a jednoduchšie a rýchlejšie. K danému obrazu SLT priradí predmet( )t f v tvare

( ) ( )∫ ∞+

∞−

=ia

ia

pt dt e p F i

t f .21π

Ak funkcia ( )t f je analytická až na koneč ný poč et stacionárnych bodov. Nechk a sú póly funkcie ( ) p F . Potom k danému obrazu( ) p F môžeme nájsť predmet ( )t f :

I. pomocou rezíduí v póloch( ) ( )[ ]

k a pk

pt e p F rest f =

∑= . ak 0>t a ( ) 0=t f ak 0≤t

II. rozkladom ( ) p F na parciálne zlomky a následným požitím tabuľ ky a vietIII. pomocou substitúcie ( ) ( )

( ) p B p A

p F =

( ) ( )( )

( )( )

C a p

pt

Ra pk

pt

k k

e p B p A

rese p B p A

rest f ∈=∈=

∑∑⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= .Re2.

prič om platí ( )( )

( )( )

t a

k

k

a p

pt k

k

ea Ba A

e p B p A

res .. ′=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

ak existuje.

IV.

Duhamelovým integrálom( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t f g t f g t g f t g f pG p F p *.0*.0.. ′+=′+÷

prič om ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ −==t

d t g f t ht g f 0

.* τ τ τ

Príklad 1 : Pomocou SLT nájdite predmet k Laplaceovmu obrazu( ) ( )42

+−=

p p p

p F

Danú úlohu vyriešime pre porovnanie niekoľ kými spôsobmi.I. 01 =a a 42 −=a sú jednoduché póly ( ) p F

( )[ ] ( )[ ] ( )( )21

210

42lim.. 00

001−=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−==→== ee p

p p p

e p F rese p F res t

p p pt

a p pt

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) t t

p p pt

a p pt ee p

p p p

e p F rese p F res 4444 2

344

2lim..2

−−−→−== =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

−==

Potom

( ) t et f 4

23

21 −+−=

II. Rozkladom ( ) p F na parciálne zlomky dostaneme




( ) 423

21

42

++

−=

+−

p p p p p

Z tabuľky korešpondencií

t e p p

4

23

21

423

21

−+−÷+

+−

Príklad 2 : Nájdite predmet k Laplaceovmu obrazu( )( )( )( )112

122 +−+

= p p p

p F

21 −=a je jednoduchý pól ( ) p F , 12 =a je 2-násobný pól ( ) p F , ia =3 a ia −=4 sú jednoduché komplexne združené póly( ) p F . Poč ítame rezíduá vo všetkých póloch :

( )[ ] ( )( )( )( )t t

p p

pt

ee p p p pe p F res22

2332 51

21121

lim.−−

→−= −=⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

++++=

( )[ ]( )( )( )( ) t t

p p pt ee p

p p pe p F res

231

1121lim. 2

2211 −=′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+

=→=

( )[ ]( )( )( )( ) it it

i pi p pt e

iei p

p p pe p F res

202

1121lim. 22

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+

=→=

( )[ ]( )( )( )( ) it it

i pi p pt e

iei p

p p pe p F res

202

1121lim. 22

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−+

= −−→−=

Potom

( )( )( )it it t t e

ie

iee

p p p−− +−−+−−÷

+−+ 202

202

23

51

1121 2

22

( )( )( ) t ee p p p

t t sin101

23

51

1121 2

22 −−−÷+−+

−

Príklad 3 : Nájdite predmet k Laplaceovmu obrazu( ) pe p p p

p p F 3

23 .664

24 −

++++=

Najprv hľ adáme predmet k funkcii ( )664

2423 +++

+= p p p

p pG

Ak nájdeme korene polynómu v menovateli zlomku tak dostávame

( )( )23224

66424

223 ++++=

++++

p p p p

p p p p

Teda 21 −=a , ia 212 +−= , ia 213 −−= sú jednoduché póly funkcie( ) p F . Použijeme

( ) ( )( )

( )( )

C a p

pt

Ra pk

pt

k k

e p B p A

rese p B p A

rest f ∈=∈=

∑∑⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= .Re2.

prič om platí ( )

( )

( )

( )

t a

k

k

a p

pt k

k

ea B

a Ae

p B

p Ares ..

′=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

=




Prepíšeme funkciu ( ) ( )( ) p B p A

pG = a dostaneme

( ) 24 += p p A , ( ) 664 23 +++= p p p p B , ( ) 683 2 ++=′ p p p B Vyč íslením ( ) p A , ( ) p B′ pre jednotlivé póly 21 −=a , ia 212 +−= máme

( ) 62 −=− A , ( ) 22 =−′ B , ( ) ii A 8221 +−=+− , ( ) ii B 41121 +−=+−′ Potom

( ) ( ) t t t it et t eeii

et g −−+−−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−+−= 2sin

137802cos

1375423

41182Re2

26 2212

Pre predmet ( )t f k funkcii ( ) pe p p p

p p F 3

23 .664

24 −

++++= z vety o posunutí platí

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )332 32sin1378032cos

1375423 −−−−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+−+−= t t et t et f

Príklad 4 : Nájdite predmet k Laplaceovmu obrazu( ) ( )( )34 −+= p p p p H

Na riešenie tejto úlohy použijeme Duhamelov integrál. Ak prepíšeme funkciu( ) p H dostaneme požadovaný tvar

( ) ( )( ) ( ) ( ) pG p F p p p

p p p

p p H ..

31.

41.

34=

−+=

−+=

Podľ a základných korešpondencií

( ) ( ) ( ) ( )t g e p

pGt f e p

p F t t =÷−

==÷+

= − 34

31,

41

Z Duhamelovho integrálu potom platí( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ −−−− −=−+=∗−+÷

t t t

t t t t t t d eeed eeeeeee pG p F p

0

422

0

2322320 3.33... τ τ τ τ τ

Riešením je

( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +÷ − t t ee pG p F p 42

43

43..

8.2.1 Nájdite predmet ( )t f k daným obrazom ( ) p F

a) ( ) p p p p

p F 4

81643

2

−−+= ( )[ ]t t eet f 22 532 +−= −

b) ( )1

52723

2

−+−+−=

p p p p p

p F ( )[ ]t et f t cos25 +=

c) ( ) )2)(1(1

2 +−+=

p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−−= − t t eet

t f 2

121

32

243

d) ( )6116

123

2

+++++=

p p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= −−− t t t eeet f 32

273

21




e) ( )44

410323

2

+−−+−=

p p p p p

p F ( )[ ]t t t eeet f 22 3 −+−=

f) ( ) 485 23

2

+++=

p p p p

p F ( )[ ]t t teet f 24 −− −=

g) ( ) p p p

p p p F +++−= 23

2

223 ( )[ ]t t etet f −− −+= 62

h) ( ) 3)1)(3(1

++=

p p p F ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=−−−−

822 32 t t t t eeteet

t f

i) ( ) 23

23

)2(42

−+−=

p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−++=2424

1 222 t t teet t t f

j) ( ) 641

p p p F +

= ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=6

sin3t

t t t f

k) ( ) )52)(1(34

2 ++−+=

p p p p p F ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= −−

82sin92cos77 t t t et et et f

l) ( ) 25

34 12 p p

p p p p F +

+−+= ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= − 2

23cos21

t t e

t et t f

m) ( ))22(

122

23

+++++=

p p p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= −− t t et et t

t f sin21cos

2

n) ( ))52)(22(

122 ++++

= p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−

62sin

3sin t t et et

t f

o) ( ))106)(136(

122 ++++

= p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−

62sin

3sin 33 t t et et

t f

p) ( ))52)(22(

1222

2

+−+−+−=

p p p p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=3

sin32sin2 t t et et

t f

q) ( ) 22 )1)(1( ++=

p p p

p F ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+−=−

4sincoscos t t t t t e

t f t

r) ( ) pe p p

p p F −

++=

132 2 ( ) ( ) ( )( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

−−−− 121 1

21

1 t eet f t t η

s) ( ) pe p p p

p p F 2

23 44)4( −

+++= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]221 2222 −−−−= −−−− t et et f t t η

t) ( ) pe p

p p F −

+= 22 )1(

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=2

11cos1 t t t t f

η

u) ( ) pe p p

p F −

−=

)1(1

22 ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]111sinh −−−−= t t t t f η

v) ( ) pe p

p p F 4

4

2

1−

−= ( ) ( ) ( )( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+−=2

44sinh4sin t t t t f

η




w) ( ) pe p p

p F 323 )1(

1 −

−= ( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−−−= 31

233cosh

2

t t

t t f η

x) ( ) pe p p

p F 222

2

)1(1 −

+−= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22cos2 −−−= t t t t f η

y) ( ) 322 )9)(1(

p

e p p

p p F ++

= ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

=8

31

313cos

31cos t t t

t f η

z) ( ) pe p p

p p F −

−+=

)2)(4( 2

2

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+−+=−

2112cos12sin12 t t t e

t f t η

aa) ( ) 22 )1)(1(

p

e p p

p p F −

++= ( )⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

221

21sin

21cos 2

1

t et t

t f

t

η

bb) ( ) pe p p p

p F 22 )4)(1(

1 −

++= ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−−−−=−−

10222sin

2022cos

541 2 t t t e

t f t η

8.3 POUŽITIE SPÄTNEJ LAPLACEOVEJ TRANSFORMÁCIE

Najč astejšie sa SLT využíva na zjednodušenie riešenia diferenciálnych rovníc vyššíchrádov prípadne na riešenie sústavy diferenciálnych rovníc. Dôležité je, aby pre danú DR n -tého rádu bolo k dispozíciín podmienok. Pri tomto spôsobe vychádzame z predpokladukorešpondencie výrazov ( ) ( ) p X t x ÷ resp. ( ) ( ) pY t y ÷ . Aplikáciou vety o derivovaní predmetu nájdeme obrazy k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...,,,...,,,, t yt yt yt xt xt x ′′′′′′′′′′′′ . Pomocou tabuľ kyzákladných korešpondencií a viet nájdeme obraz výrazu na pravej strane DR. Porovnanímoboch strán dostaneme operátorovú rovnicu pre( ) p X a p . Z nej vyjadríme ( ) p X a pomocou SLT k nej nájdeme prísluchajúci predmet( )t x , ktorý je riešením pôvodnej DR.

Príklad 1 : Riešte DR t et x x x −=+′−′′′ 823 , ak ( ) ( ) ( )10,00,00 =′′=′= x x x

Nech ( ) ( ) p X t x ÷ Podľ a vety o derivovaní predmetu a daných podmienok platí

( ) ( ) ( ) ( ) p X p x p X pt x =−÷′ 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p X p x x p p X pt x 22 00 =′−−÷′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1000 323 −=′′−′−−÷′′′ p X p x x p x p p X pt x Obrazom funkcie na pravej strane DR je

( )2

1

88+

÷−

pet t

Nahradením ( ) p X za ( )t x v DR máme operátorovú rovnicu




( ) ( )( ) ( )( )2

3

18231+

=+−− p

p X p X p p X p

Odtiaľ potom

( )( ) ( ) ( ) ( )

2232

2

1

1

1

1

2

1

1

2

231

29

−+

−−

++

+=

+−+

++= p p p p p p p

p p p X

Pomocou rozkladu ( ) p X na parciálne zlomky a tabuľ ky korešpondencií je( ) t t t t teeetet x +−+= −− 22

Príklad 2 : Riešte sústavu DR 00

=′+=+′

y x

y x , ak ( ) ( ) 10,10 −== y x

Nech ( ) ( ) p X t x ÷ , ( ) ( ) pY t y ÷ Podľ a vety o derivovaní predmetu a daných podmienok platí

( ) ( ) ( ) ( )10 −=−÷′ p X p x p X pt x ( ) ( ) ( ) ( )10 +=−÷′ pY p yx p pY t y

Obrazom funkcie na pravej strane DR je0 Nahradením ( ) p X za ( )t x resp. ( ) pY za ( )t y v DR máme operátorové rovnice

( ) ( )( ) ( ) 01

01=++=+−

pY p p X

pY p X p

Odtiaľ použitím dosadzovacej metódy

( ) ( ) 11,

11

−−=

−=

p pY

p p X

Z tabuľky korešpondencií je( )( ) t

t

et y

et x−=

=

8.3.1 Použitím Laplaceovej transformácie nájdite riešenie ( )t x diferenciálnej rovnice:

a) 0)0(')0(,12'2'' ===+− x x x x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=2

sincos1 t t et et t x

b) 0)0(',1)0(,35'2'' ===++ x x x x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=−−

52sin2cos23 t t et et t x

c) 0)0(')0(,e'2'' 2 ===− x x x x t ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=4

21 22 t t et et x

d) 0)0(')0(,'2'' ===++ x xt x x x ( )[ ]22 −++= −− t et et x t t e) 0)0(',1)0(,'2'' 2 ===++ x xt x x x ( ) t t et et t t x −− −−+−= 5642

f) 1)0(',0)0(,e'2'' ===+− x x x x x t ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += t t

et et

t x2

2




g) 1)0(',0)0(,sin'2'' −===++ x xt x x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=−−

2cost et e

t xt t

h) 0)0(',2)0(,cos''' ===+ x xt x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=−

2sincos2 t t e

t xt

i) 0)0(',1)0(,e''' ===− x xt x x t ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= t t t

eet et

t x2

2

j) 0)0(')0(,2cos'' ===+ x xt t x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=9

2cos2sin52sin4 t t t t t x

k) 1)0(')0(,sine22'2'' ===++ − x xt x x x t ( )[ ]t t t et t et et t x −−− −+= coscossin3

l) 0)0('',2)0(',0)0(,e'''' ====+ x x x x x t ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=2

2cossin3 t t et x

t

m) 1)0('')0(',2)0(,e2'''2''' 2 ===−=++ − x x x x x x t ( )[ ]t t eet x −− −+= 34 2 n) 1)0('',0)0(')0(,e82'3''' ====+− − x x xt x x x t ( ) t t t t teeetet x −− ++−= 22

o) 1)0(''',0)0('')0(')0(,cos''')4( =====+ x x x xt x x ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−=−

2cossin2 t t et

t xt

8.3.2 Použitím Laplaceovej transformácie nájdite riešenie ⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

)()(

t y

t x, resp.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

)()()(

t z

t y

t xsystému

diferenciálnych, resp. integrálnych rovníc:

a) 1)0(,24'

0)0(,'−=−=

=+= y x y y

x y x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ t t 32 e

21

e11

b) 1)0(,22'1)0(,'

=+==−=

y y x y

x y x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛

t t t t sine32

cose11

c) 1)0(,'0)0(,54'

===−=

y x y

x y x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

t t t t sine25

cose10 22

d)

1)0(,'

1)0(,3'

=−=

=−−=

y y x y

x y x x ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+

− − t

t

t 2e

21

21

e) 0)0(,2'0)0(,1454'

=+−==−+−=

yt y x y

xt y x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

0t

f) 1)0(,sin'1)0(,cos'

=−==+=

yt x y

xt y x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛

t t sin01

e11

g) 0)0(,e623'0)0(,e2'

2

2

=++−==−+−=

y y x y

x y x xt

t

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −t t t eee92

2323

22127

2

h) 0)0(,e2'

0)0(,e'

=−+−=

=+−= −

y y x y

x y x xt

t

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ − t t t 2

67

67

31

32

23

23

eee0

2




i) 1)0(,2'

1)0(,22'−=++−=

=−−= yt y x y

x y x x ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

+⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

+⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −−

+⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ t t t 3

1811

1811

2121

3231

9198

ee

j) 0)0(,sin2'0)0(,cos42'

==++==−−

yt y x y

xt y x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ sint

23

cost02

24

02

t

k) 1)0(,'0)0(,'1)0(,'

=−−==−−=−=−−=

z y x z

y z x y

x z y x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −t e

101

l) 0)0(,'

)0(,e'0)0(,'21

=+−==+==+−=

−

z z x z

y z y

x z y xt

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−t t t t ee0

sin1

cos414321

2121

4341

41

4321

zbierka ma2

Documents