zadatak 141 (marija, gimnazija) - halapa.com · 1 zadatak 141 (marija, gimnazija) automobil duljine...
TRANSCRIPT
1
Zadatak 141 (Marija gimnazija) Automobil duljine 4 m vozi brzinom 90 kmh a autobus duljine 20 m brzinom 36 kmh
Izračunaj koliko vremena treba da se mimointildeu
Rješenje 141
l1 = 4 m v1 = 90 kmh = [90 36] = 25 ms l2 = 20 m
v2 = 36 kmh = [36 36] = 10 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se
različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
Budući da automobil mimoilazi autobus njegova relativna brzina je
1 2
v v v= +
Put s koji automobil mora prijeći jednak je zbroju duljine automobila l1 i duljine autobusa l2
1 2
s l l= +
Vrijeme t mimoilaženja iznosi
4 201 2 069
1 2 25 10
l ls m mt t s
m mv v v
s s
+ += rArr = = =
++
l1l2
Vježba 141 Automobil duljine 6 m vozi brzinom 90 kmh a autobus duljine 24 m brzinom 36 kmh
Izračunaj koliko vremena treba da se mimointildeu
Rezultat 086 s
Zadatak 142 (Marija gimnazija) Vozeći se u krug polumjera 25 m biciklist ga obintildee 6 puta za 2 min i 36 s Kolika je brzina
biciklista
Rješenje 142 r = 25 m n = 6 t = 2 min 36 s = [2 60 + 36] = 156 s v =
Opseg kruga polumjera r računa se po formuli
2 O r π= sdot sdot
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
2
Budući da je biciklist n puta obišao krug polumjera r ukupni put s koji je prešao iznosi
2 s n O s n r π= sdot rArr = sdot sdot sdot
Brzina biciklista je
[ ]2 6 2 25
604 2174 156
604 36s n r m m km
v vt t s s h
π πsdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = = = = =sdot
Vježba 142 Vozeći se u krug polumjera 50 m biciklist ga obintildee 6 puta za 2 min i 36 s Kolika je brzina
biciklista
Rezultat 4349 kmh
Zadatak 143 (Ivan medicinska škola) Automobil vozi na putu dugom 200 km srednjom brzinom 72 kmh Prvih 100 km prevalio je za 1 sat Koliko mu vremena treba za preostalih 100 km
Rješenje 143 s = 200 km v = 72 kmh s1 = 100 km t1 = 1 h s2 = 100 km t2 =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
v s v tt
= rArr = sdot
Budući da automobil vozi na putu dugom s srednjom brzinom v ukupno vrijeme t gibanja jednako je
200278
7
1
2
s km
s v t s v t t hkmvv
h
sdot= sdot rArr = sdot rArr = = =
Ako prvih 100 km prevali za t1 = 1 h drugih 100 km prevalit će za vrijeme t2
278 1 178 2 1
t t t h h h= minus = minus =
Vježba 143 Automobil vozi na putu dugom 400 km srednjom brzinom 144 kmh Prvih 200 km prevalio je za 1 sat Koliko mu vremena treba za preostalih 200 km
Rezultat 178 h
3
Zadatak 144 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 144
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 144 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
4
Zadatak 145 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t3 t4
t1
t2
0
Rješenje 145 Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je negativna)
bull u vremenskom trenutku t2 brzina tijela je jednaka nuli
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
bull u četvrtom vremenskom intervalu ∆t = t4 ndash t3 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 145 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t2t1
0
Rezultat Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je
negativna)
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
5
Zadatak 146 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 146
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 146 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Zadatak 147 (Barby gimnazija)
Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 2 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rješenje 147 ∆t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
2
Budući da je biciklist n puta obišao krug polumjera r ukupni put s koji je prešao iznosi
2 s n O s n r π= sdot rArr = sdot sdot sdot
Brzina biciklista je
[ ]2 6 2 25
604 2174 156
604 36s n r m m km
v vt t s s h
π πsdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = = = = =sdot
Vježba 142 Vozeći se u krug polumjera 50 m biciklist ga obintildee 6 puta za 2 min i 36 s Kolika je brzina
biciklista
Rezultat 4349 kmh
Zadatak 143 (Ivan medicinska škola) Automobil vozi na putu dugom 200 km srednjom brzinom 72 kmh Prvih 100 km prevalio je za 1 sat Koliko mu vremena treba za preostalih 100 km
Rješenje 143 s = 200 km v = 72 kmh s1 = 100 km t1 = 1 h s2 = 100 km t2 =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
v s v tt
= rArr = sdot
Budući da automobil vozi na putu dugom s srednjom brzinom v ukupno vrijeme t gibanja jednako je
200278
7
1
2
s km
s v t s v t t hkmvv
h
sdot= sdot rArr = sdot rArr = = =
Ako prvih 100 km prevali za t1 = 1 h drugih 100 km prevalit će za vrijeme t2
278 1 178 2 1
t t t h h h= minus = minus =
Vježba 143 Automobil vozi na putu dugom 400 km srednjom brzinom 144 kmh Prvih 200 km prevalio je za 1 sat Koliko mu vremena treba za preostalih 200 km
Rezultat 178 h
3
Zadatak 144 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 144
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 144 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
4
Zadatak 145 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t3 t4
t1
t2
0
Rješenje 145 Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je negativna)
bull u vremenskom trenutku t2 brzina tijela je jednaka nuli
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
bull u četvrtom vremenskom intervalu ∆t = t4 ndash t3 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 145 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t2t1
0
Rezultat Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je
negativna)
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
5
Zadatak 146 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 146
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 146 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Zadatak 147 (Barby gimnazija)
Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 2 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rješenje 147 ∆t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
3
Zadatak 144 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 144
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 144 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
4
Zadatak 145 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t3 t4
t1
t2
0
Rješenje 145 Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je negativna)
bull u vremenskom trenutku t2 brzina tijela je jednaka nuli
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
bull u četvrtom vremenskom intervalu ∆t = t4 ndash t3 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 145 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t2t1
0
Rezultat Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je
negativna)
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
5
Zadatak 146 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 146
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 146 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Zadatak 147 (Barby gimnazija)
Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 2 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rješenje 147 ∆t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
4
Zadatak 145 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t3 t4
t1
t2
0
Rješenje 145 Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je negativna)
bull u vremenskom trenutku t2 brzina tijela je jednaka nuli
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
bull u četvrtom vremenskom intervalu ∆t = t4 ndash t3 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 145 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
- v0
v0
t s
v m
s
t2t1
0
Rezultat Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba jednoliko usporeno (akceleracija je
negativna)
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba jednoliko ubrzano ali u suprotnom
smjeru (akceleracija je pozitivna) na kraju tog intervala postigne početnu brzinu jednaku po iznosi brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera
5
Zadatak 146 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 146
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 146 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Zadatak 147 (Barby gimnazija)
Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 2 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rješenje 147 ∆t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
5
Zadatak 146 (Iva gimnazija)
Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
t3t2
t10
- v0
v0
t s
v m
s
Rješenje 146
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v t ndash grafom glasi
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo miruje v = 0
bull u trećem vremenskom intervalu ∆t = t3 ndash t2 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po iznosu
brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Vježba 146 Slika prikazuje v t ndash graf Opišite gibanje
v m
s
t s
v0
- v0
0 t1
t2
Rezultat
bull u prvom vremenskom intervalu ∆t = t1 ndash 0 tijelo se giba stalnom brzinom v = v0
bull u drugom vremenskom intervalu ∆t = t2 ndash t1 tijelo se giba stalnom brzinom jednakom po
iznosu brzini iz prvog vremenskog intervala ali suprotnog smjera v = ndash v0
Zadatak 147 (Barby gimnazija)
Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 2 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rješenje 147 ∆t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
6
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Vrijeme za koje vlak prevali put s izmentildeu dvije postaje iznosi
bull za putnički vlak
11
st
v=
bull za brzi vlak
2
2
st
v=
Budući da putnički vlak put s prijentildee 2 sata dulje od brzog vlaka slijedi
1 1 2 11 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t t t s t s t
v v v v v v
minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr
sdot
60 1002 1 1 2 2 300
1 2 2 1 100 60
1 2
2 1
km kmv v v v
h hs t s t h kmkm kmv v v v
h
v v
h
v v
sdotminus sdotrArr sdot = ∆ rArr = ∆ sdot = sdot =
sdot minusminus
sdotsdot
minus
Vježba 147 Putnički vlak prelazi put izmentildeu 2 postaje 3 sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna brzina
putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost izmentildeu
postaja
Rezultat 450 km
Zadatak 148 (Ana srednja škola) Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 815 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 819 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rješenje 148 I Računamo srednju vrijednost (aritmetičku sredinu) mjerenja
11 2 3
1
x x x x nnx xin n i
+ + + += =
sum =
sdot
815 816 817 819 823 40951 2 3 4 818 5 5 5
m m m m mm g g g
+ + + + + + + += = = =
II Maksimalna apsolutna pogrješka mjerenja iznosi
1 2 3 4 5
max 51 2 3 4
m m m ii i
m m m m m m m m m m mmaks
∆ = minus =
∆ = minus
minus minus minus minus
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
7
815 818 003 0031 1
816 818 002 0022 2
817 818 001 001 005 3 3
819 818 001 0014 4
823 818 005 0055 5
m m m g g g g
m m m g g g g
m m m g g g g m gmaks
m m m g g g g
m m m g g g g
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus =
∆ = minus = minus = minus = rArr ∆ =∆ = minus = minus = =∆ = minus = minus = =
Vježba 148 Dobili ste dijamant Izvagali ste ga i dobili sljedeće vrijednosti m1 = 814 g m2 = 816 g
m3 = 817 g m4 = 820 g i m5 = 823 g Kolika je srednja vrijednost ovog mjerenja i pripadna
maksimalna apsolutna pogrješka
Rezultat 818 g 005 g
Zadatak 149 (Darko maturant) Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 2 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rješenje 149 v = 2 ms s = 50 m d = 15 m vr =
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 1
1 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)
Prvi poučak sličnosti (K ndash K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta
Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje odrentildeuju taj kut su
proporcionalne
Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne
Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici
Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
8
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odrentildeenom vremenskom razmaku a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
s s
s v t t vv t
= sdot = =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
αααα
vr
v
d
s
s
d
v
vr
αααααααα
vr
v
d
s
1inačica
Iz sličnosti pravokutnih trokuta čije su katete v i vr te s i d dobijemo
15
2 06 50
v vd d d m m mr r v vrv s v s s m s s
v= rArr = rArr = sdot = sdot =sdot
2inačica
Koristimo načelo neovisnosti gibanja Vrijeme za koje brzinom v čamac prijentildee put s iznosi
5025
2
s mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je čamac ponijela nizvodno za udaljenost d brzinom vr pa je
1506
25
d m mvr
t s s= = =
3inačica
Uočimo pravokutne trokuta čije su katete v i vr te s i d Pomoću funkcije tangens dobije se
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
9
152 0
metoda
komparacij
e6
50
vrtgv vd d d m m mv r r v vr
d v s v s s m s stg
v
s
α
α
=
rArr rArr = rArr = rArr =sdot sdot = sdot =
=
Ili
2 03 06 15 03
50
vv rr tgtg
v v tg m mvv rvrmd tg s s
tgtgms
vααα
ααα
=== sdot
rArr rArr rArr = sdot ==
==
sdot
Vježba 149
Čamac prelazi rijeku okomito na smjer struje brzinom 3 ms Rijeka je široka 50 m Za vrijeme
prijelaza struja je čamac ponijela 15 m nizvodno Kolika je brzina struje
Rezultat 09 ms
Zadatak 150 (Ines gimnazija)
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 900 m Ahilejeva brzina je 91 ms a kornjačina 01 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rješenje 150
d = 900 m v1 = 91 ms v2 = 01 ms t =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela
s2
s1
d
d
1inačica
Neka je t vrijeme za koje Ahilej sustigne kornjaču Za vrijeme t
bull kornjača je prešla put
2 2s v t= sdot
bull Ahilej je prešao put
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
10
1 1s v t= sdot
koji je jednak zbroju udaljenosti d i puta kornjače s2
1 2
s d s= +
Traženo vrijeme t iznosi
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11
1
22
1
2s d s s s d v t v t d v v t d v v
v vt d= + rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot sdot
minus= rArr
[ ]1 min 60900
100 1 min 40
1 2 91 01
d mt s s
m mv v
s s
srArr == = = = =minus
minus
2inačica
Budući da se Ahilej giba u istom smjeru kao i kornjača njegova relativna brzina v u odnosu na
kornjaču iznosi
1 2
v v v= minus
Vrijeme potrebno da prijentildee udaljenost d iznosi
[ ]900
100 1 min 40
1 2 91 01
1 min 60d d m
t t s sm mv v v
s s
s= rArr = = = == =minus
minus
Vježba 150
Ahilej trči kako bi prestigao kornjaču Na početku je njihova udaljenost 800 m Ahilejeva
brzina je 82 ms a kornjačina 02 ms Za koliko vremena će Ahilej sustići kornjaču
Rezultat 1 min 40 s
Zadatak 151 (Kolačić gimnazija)
Odredi x 3 2 2
km mx
h s
=
Rješenje 151
x =
1 1000 1 3 600km m h s= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
( )
1000 3000 43 3 00002315 2315 10
2 2 2 2 2 236003600
km m m m m
h s s ss
minus= = = = sdot
Broj x iznosi
42315 10 x
minus= sdot
Vježba 151
Odredi x 36 2 2
km mx
h s
=
Rezultat 3
2778 10 minus
sdot
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
11
Zadatak 152 (Ivan tehnička škola)
Odredi x a) 357 nm x km= b) 357 km x nm=
Rješenje 152
x =
3 31 10 1 10 km m m km
minus= =
9 91 10 1 1 0m nm nm m
minus= =
Svaki realni broj možemo napisati u tzv standardnom obliku ili znanstvenom zapisu tj kao umnožak
broja iz intervala 1 10 (decimalnog broja s jednom znamenkom različitom od 0 lijevo od
decimalne točke) i potencije broja 10 Na primjer
2725 27 5 10= sdot 3
33400 4 10= sdot 8
487 200 72 10= sdot
72
0073 3 10minus
= sdot 23
000225 25 10minus
= sdot 94
0 00097 7 10minus
= sdot
PREDMETCI (PREFIKSI) MEethUNARODNOG SUSTAVA JEDINICA (SI)
Broj Potencija Naziv Oznaka
1 000 000 000 000 000 000 1018
eksa E
1 000 000 000 000 000 1015
peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106
mega M 1 000 10
3 kilo k
100 102
hekto h
10 101
deka da 01 10-1 deci d
001 10-2 centi c
0001 10-3
mili m
0000 001 10-6
mikro micro 0000 000 001 10
-9 nano n
0000 000 000 001 10-12
piko p 0000 000 000 000 001 10-15 femto f
0000 000 000 000 000 001 10-18 ato a a)
9 9 3 12357 357 10 357 10 10 357 10 nm m km km
minus minus minus minus= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x
minus= sdot
b)
3 3 9 12357 357 10 357 10 10 357 10 km m nm nm= sdot = sdot sdot = sdot
Broj x iznosi
12357 10 x = sdot
Vježba 152
Odredi x a) 18 nm x km= b) 18 km x nm=
Rezultat a) 12
18 10minus
sdot b) 12
18 10 sdot
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
12
Zadatak 153 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b + c
Rješenje 153
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja) je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška
prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a + b + c Tada vrijedi
( ) ( ) ( )y y a a b b c c y y a a b b c cplusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + plusmn ∆ + plusmn ∆ rArr
( ) ( ) [ ]y y a b c a b c y y ya a bb a cc b crArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ plusmn ∆ plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = + + plusmn ∆ + ∆ =∆ +rArr ++ rArr
( ) ( ) ( )y y y a b c y a b c y ay y b crArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn ∆ + ∆ + ∆ rArr
( ) a b c ba ab c cy ∆ +rArr ∆ = ∆ + + = ∆ + ∆∆ rArr + ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y
ry
y a b c a b cr
y a b c a b c
∆=
∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆rArr rArr =
= + + + +
Vježba 153
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a + b
Rezultat ( ) a b
a b a b ra b
∆ + ∆∆ + = ∆ + ∆ =
+
Zadatak 154 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a3
Rješenje 154
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom
mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
13
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a3 Tada vrijedi
( )( )
kub zbroja i razlike
3 3 2 2 33 3
3
a b a a b a by a
by a
plusmn = plusmn sdot sdot + sdotplusmn ∆
sdotplusmn rArr
plusmn= ∆ rArr
( ) ( )
( ) ( )
je jako mala veličina
u odnosu na a pa v2 33
rijed2
3 i
2
3
30 0
a
y y a a a a a a
a a
rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot
∆
∆ = ∆
sdot ∆ plusmn rArr
=
∆ rArr
3 2 3 23 3 0 0 3
3y y a a a a y y a a y aarArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ + sdot sdot plusmn rArr plusmn ∆ plusmn sdot rArr rArr== sdot ∆
2 2 23 3 3y y y a a y a a y ay y arArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr plusmn ∆ = plusmn sdot sdot ∆ rArr
2
333
2y a a aa a∆rArr ∆ = sdot sdot sdot∆ = sdot ∆rArr
Relativna greška iznosi
2 23 3 3
33
2
3
3
y a a a a a ar r r
aa ay a
y ar
y
∆ = sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ sdot sdot ∆ ∆rArr rArr = rArr = rArr
∆= = sdot
=
Vježba 154
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a2
Rezultat 2
2 2 a
a a a ra
∆∆ = sdot sdot ∆ = sdot
Zadatak 155 (Max gimnazija)
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a middot b
Rješenje 155
Mjeriti znači usporentildeivati neku nepoznatu veličinu s poznatom Budući da se pri svakom mjerenju javljaju slučajne pogreške traženu veličinu moramo izmjeriti više puta
1 2
3
x x x xn
Srednja vrijednost (aritmetička sredina) mjerenja x ujedno je i najvjerojatnija prava vrijednost
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
14
1 2 3
x x x xnx
n
+ + + +=
Apsolutna vrijednost najvjerojatnije pogreške svakog pojedinog mjerenja (niz apsolutnih odstupanja)
je
1 1 2 2 3 3
A x x A x x A x x A x xn n= minus = minus = minus = minus
Najveća (maksimalna) apsolutna pogreška jest najveće odstupanje u nizu svih apsolutnih odstupanja
max1 2 3
A A A A Anm =
Najveće relativno odstupanje (maksimalna relativna pogreška) r pokazuje kolika je učinjena pogreška prilikom mjerenja u usporedbi s mjerenom veličinom a izražava se u postocima ()
ili 100A Am mr rx x
= = sdot
Rezultat mjerenja (mjerni rezultat) prikazuje se u obliku
x x A m= plusmn
Neka je y = a middot b Tada vrijedi
( ) ( )y y a a b b y y a b a b a b a bplusmn ∆ = plusmn ∆ sdot plusmn ∆ rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + ∆ sdot ∆ rArr
i su jako male veličine
u odnosu na a i b pa vrijedi
0
a b
a b
∆ ∆
∆
rArr
sdot =
rArr
∆
[ ]0y y a b a b a b y y a b a b ab ya brArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot + rArr plusmn ∆ = sdot plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr = sdot rArr
y y y a b a b y a b a b y a b ay y brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ plusmn ∆ sdot rArr
( ) y a b a y a b ab by a b a brArr plusmn ∆ = plusmn sdot ∆ + ∆ sdot rArr ∆ = sdot ∆ ∆ = ∆ sdot +sdot rArr sdot ∆+ ∆
Relativna greška iznosi
y by a b a b a b a b a b a b a br r
y a b a b a b a b a
ar
y a bb
∆ = ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot + sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆ ∆ sdot sdot ∆rArr rArr = rArr = + =
∆+ rArr
= sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot
a b
ra b
∆ ∆rArr = +
Vježba 155
Odredi maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za veličinu a
b
Rezultat 2
a a b a b a br
b a bb
∆ sdot + sdot ∆ ∆ ∆∆ = = +
Zadatak 156 (Kolačić gimnazija)
3 3
Pretvori 3 u dm m
g kg
Rješenje 156
11 10m dm=
3 3 31 10m dm=
11 10dm m
minus=
3 3 31 10dm m
minus=
21 10m cm=
3 6 31 10m cm=
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
15
21 10cm m
minus=
3 6 31 10cm m
minus=
31 10kg g=
31 10g kg
minus=
3 3 3 3 310
3 3 3 3
310
310
3
10
dm m m m
g kgkg kg
minus
=minus
=minus
minus
=
Vježba 156
Pretvori 3 3 3
g kgu
cm m
Rezultat 3
3 10 3
kg
m
sdot
Zadatak 157 (Marko strukovna škola)
Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih
300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rješenje 157
s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
Srednja brzina v tijela na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2 3s s s s= + +
i ukupno proteklog vremena
1 2 3
t t t t= + +
60 300 401 2 3 20 6 10 4
1 2 3
s s ss m m m mv v
t t t t s s s s
+ + + += rArr = = =
+ + + +
Odgovor je pod C
Vježba 157 Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 50 m prijentildee za 5 s sljedećih 310 m prijentildee za 11 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu
12 16 20 15m m m m
A B C Ds s s s
Rezultat C
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
16
Zadatak 158 (Katarina strukovna škola)
Kosa mjesečno naraste 001 m Kolika je brzina kose izražena u ms Za koje vrijeme kosa
naraste 6 cm (1 mjesec = 30 dana)
Rješenje 158
t = 1 mj = 30 dana = [30 middot 24 middot 3600] = 2592000 s d = 001 m s = 6 cm = 006 m v = ts =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s s
s v t v tt v
= sdot rArr = rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Brzina rasta kose iznosi
001 93858 10
2592000
d m mv
t s s
minus= = = sdot
Računamo vrijeme za koje kosa naraste 6 cm
[ ]sekunde pretvaramo u sate
1555209953 3600tako da dijelimo sa 360
0061555209953
93
0858 10
s mt ss mv
s
= = = = = =minus
sdot
[ ]sate pretvaramo u dane
432003 24tako da dijelim
43o s
2003 180 6 sec a 24
h dana mje i= = = = =
Ili ovako
Ako kosa mjesečno naraste 001 m onda će 6 cm = 006 m narasti za 6 puta duže vrijeme tj za
6 mjeseci
Vježba 158
Kosa mjesečno naraste 1 cm Kolika je brzina kose izražena u ms (1 mjesec = 30 dana)
Rezultat 3858 middot 10-9
ms
Zadatak 159 (Katarina strukovna škola)
Automobil se giba dva sata brzinom v1 = 80 kmh i potom 15 h brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil Kolika je srednja brzina na cijelom putu
Rješenje 159
t1 = 2 h v1= 80 kmh t2 = 15 h v2 = 60 kmh s = v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t
s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
s
vt
=
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
17
Put s koji je prevalio automobil jednak je zbroju putova s1 i s2 koje je prešao za vrijeme t1 i t2 vozeći
brzinama v1 i v2
80 2 60 15 250 1 2 1 1 2 2
km kms s s s v t v t h h km
h h= + rArr = sdot + sdot = sdot + sdot =
Srednja brzina v automobila na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta
1 2s s s= +
i ukupno proteklog vremena
1 2
t t t= +
80 2 60 151 2 1 1 2 2 7143
2 151 2 1 2
km kmh hs s v t v ts kmh hv v v
t t t t t h h h
sdot + sdot+ sdot + sdot= rArr = rArr = = =
+ + +
v
v2v1
t = t1 + t2
s = s1 + s2
s2s1
t2t1
Vježba 159
Automobil se giba 120 minuta brzinom v1= 80 kmh i potom 90 minuta brzinom v2 = 60 kmh Koliki je put prevalio automobil
Rezultat 250 km
Zadatak 160 (Zdravka srednja škola)
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Zagreba sresti
Rješenje 160
s = 400 km vZ = 70 kmh vS = 90 kmh sZ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Označimo sa t vrijeme susreta automobila na putu izmentildeu Zagreba i Splita
Za vrijeme t automobil iz Zagreba prevalio je put sZ
s v tZ Z
= sdot
Za vrijeme t automobil iz Splita prevalio je put sS
s v tS S
= sdot
Zbroj putova sZ i sS jednak je udaljenosti s izmentildeu Zagreba i Splita
( ) ( ) 1s s s v t v t s t v v s t v v s
Z Z Z v vZS SZ S
S S+ = rArr sdot + sdot = rArr sdot + sdotsdot + =
+= rArr rArr
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km
18
s
tv vZ S
rArr =+
Računamo udaljenost sZ od Zagreba na kojoj će se automobili sresti
40070 175
70 90
s v tZ Z
s km kms v kms Z Z km kmt v v h
Z Sv vZ S h h
= sdot
rArr = sdot = sdot == +
++
STZG mjesto
susreta
s
sSsZ
vSvZ
Vježba 160
Zagreb i Split udaljeni su 400 kilometara Iz Zagreba prema Splitu krene prvi automobilist
vozeći prosječnom brzinom 70 kmh Istodobno iz Splita krene drugi automobilist prosječnom
brzinom 90 kmh Na kojoj će se udaljenosti od Splita sresti
Rezultat 225 km