zadatak 081 (ljilja, srednja škola) - halapa.com fizika3 op ći zakon gravitacije: ako se bilo koja...

1

Zadatak 081 (Ljilja, srednja škola) Koliku brzinu mora imati umjetni Zemljin satelit koji se giba po kružnici na visini h iznad

Zemlje? Kolika je prva kozmička brzina? (polumjer Zemlje R = 6.4 · 106 m, masa Zemlje mZ = 6 · 1024

kg, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rješenje 081 R = 6.4 · 106 m, mZ = 6 · 1024 kg, G = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2, v = ?, v1 = ?

Opći zakon gravitacije:

Ako se bilo koja dva tijela masa m1 i m2 nalaze u meñusobnoj udaljenosti r, meñu njima djeluje

privlačna gravitacijska sila čiji je iznos

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅

gdje je G gravitacijska konstanta koja ima jednaku vrijednost za privlačenje izmeñu bilo koja dva

tijela.

Da bi se tijelo gibalo po kružnici potrebno je da na nj djeluje centripetalna sila

2v

F mcpr

= ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice.

Sila gravitacije izmeñu satelita mase m i Zemlje mase mZ na udaljenosti R + h mora biti jednaka

centripetalnoj sili na satelit na udaljenosti R + h od središta vrtnje:

( ) ( )

2 22

.2 2

/ /m m m m m mv vZ Z Z Zm G m G v G v G

R h R h R h R hR h R h

R h

m

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

+ + + ++ +

+⋅

Za h = 0 dobije se prva kozmička brzina:

0 2 246 1011

6.67 10 7907.67 7.9 .1 2 6

6.4 10

hm N m kg m kmZv Gm

Z R s sv G kg mR h

= ⋅ ⋅ −

⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈= ⋅ ⋅

+

Prva kozmička brzina je brzina koju satelit mora imati da bi jednoliko kružio oko Zemlje.

Malo astronomije: Kozmičke brzine Prva kozmička brzina (brzina kruženja) je brzina potrebna za postavljanje tijela u kružnu stazu oko Zemlje.

Druga kozmička brzina (brzina oslobañanja) je brzina potrebna za bijeg iz gravitacijskog polja Zemlje.

Treća za savladavanje gravitacijskog polja i Zemlje i Sunca.

Kozmičke brzine mogu se definirati i za bilo koja druga nebeska tijela.

Prva kozmička brzina nebeskog tijela je brzina koju mora imati umjetni satelit tog tijela da bi se gibao

neposredno iznad površine nebeskog tijela (ili iznad atmosfere, ako postoji). Ona je odreñena izrazom

,1

v g R= ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada na površini nebeskog tijela, R njegov polumjer.

Druga kozmička brzina nebeskog tijela je najmanja brzina koju mora imati satelit tog tijela da bi

napustio gravitacijsko polje nebeskog tijela. Ona je odreñena izrazom

2 2 .2 2 1

v g R v v= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Treća kozmička brzina nebeskog tijela je najmanja brzina koju mora imati neko tijelo da bi napustilo

gravitacijsko polje Sunca. Ona je dana izrazom

2 ,3

mSv G v

Od= ⋅ ⋅ −

gdje je mS masa Sunca, d trenutna udaljenost nebeskog tijela od Sunca, vO trenutna brzina nebeskog

tijela na stazi oko Sunca

2

Vježba 081 Koliku brzinu mora imati umjetni Zemljin satelit koji se giba po kružnici na visini h iznad

Zemlje? Kolika je prva kozmička brzina? (polumjer Zemlje R = 6.4 · 106 m, masa Zemlje mZ = 6 · 1024

kg, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rezultat: 7.9 km/s.

Zadatak 082 (Igor, gimnazija) Kolikom se silom privlače dvije aluminijske kugle polumjera 0.5 m koje se dodiruju? (gustoća

aluminija ρ = 2700 kg/m3, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2)

Rješenje 082 r1 = r2 = 0.5 m, m1 = m2 = m, ρ = 2700 kg/m

3, G = 6.67 · 10

-11 Nm

2/kg

2, F = ?




1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅


tijela.

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma

.m

Vρ =

Udaljenost središta kugala r i njihove mase m iznose:

,1 2

r r r= +

1 2 4 3.

13

m m m

m V m rm

V

ρ ρ πρ

= =

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅=

Kugle se privlače silom:

( ) ( )

221 2

2 2 21 2

1 2 1 2

m m m m m mF G F G F G F G

r rr r r r r

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

++ +

( )22 4 34 3 2 700 0.52 31 311 43 6.67 10 1.333 10 .

2 0.5 0.51 2

kgmr

N m mF G Nr r m mkg

πρ π ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅− −

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅+ +

Vježba 082 Kolikom se silom privlače dvije aluminijske kugle polumjera 5 dm koje se dodiruju? (gustoća

aluminija ρ = 2700 kg/m3, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10

-11 Nm

2/kg

2)

Rezultat: 1.333 · 10-4

N.

Zadatak 082 (Matija, gimnazija) Kolika je akceleracija slobodnog pada na površini Sunca ako je njegov polumjer 108 puta veći

od polumjera Zemlje i ako je odnos gustoća Sunca i Zemlje 1 : 4? (akceleracija slobodnog pada na

površini Zemlje g = 9.81 m/s2)

Rješenje 082 1

108 , ,4

r rZ ZS S

ρ ρ= ⋅ = ⋅ gZ = 9.81 m/s2, gS = ?

r

r2r1

3




1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅


tijela.

Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes.

Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na

Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

.G m g= ⋅

Sila kojom polje djeluje na kapljicu mora imati smjer suprotan od smjera sile teže, a po veličini je

jednaka sili teži.


.m

Vρ =

• Za privlačenje tijela mase m i Sunca mase mS možemo napisati: .2

m mSm g G

SrS

⋅⋅ = ⋅

• Za privlačenje tijela mase m i Zemlje mase mZ možemo napisati: .2

m mZm g G

ZrZ

⋅⋅ = ⋅

Dobivene jednadžbe podijelimo:

2 2 2 2

2

2 2 2

mG

m

mmG

m m m mS S SG

m g r g r g r g m rZS S S S S S S S

m m m mm g g g g m rZ Z ZZ Z Z ZG Z Sr r rZ Z Z

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

4

3

4 3 2 3 223

2 4 3 2 3 2

3

4

3

r r r rm r Z ZS S S SZSg g g g g gZ Z ZS S S

m r r r r rZ S Z Z Z ZS S

π

π

ρ π ρ

ρ π ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

13 2 1084

3 2

rr r r Z ZZS S S Sg g g g g gZ Z ZS S Sr rr r Z Z Z ZZ Z S

ρρ ρ

ρ ρρ

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

⋅ ⋅⋅ ⋅

1108

1 1084 108 9.81 264.87 .2 24 4

m mg g g g

Z ZS Ss s

rZ Z

rZ Z

ρ

ρ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ =⋅

Vježba 082 Kolika je akceleracija slobodnog pada na površini Sunca ako je njegov polumjer 108 puta veći

od polumjera Zemlje i ako je odnos gustoća Sunca i Zemlje 1 : 4? (akceleracija slobodnog pada na

površini Zemlje g = 10 m/s2)

Rezultat: 270 m/s2.

4

Zadatak 083 (Ana, gimnazija) Odredi gustoću planeta na kojemu dan i noć traju T = 24 sata i na ekvatoru kojega su tijela bez

težine. (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rješenje 083 T = 24 h = [24 · 60 · 60] = 86400 s, G = 6.67 · 10

-11 Nm

2/kg

2, ρ = ?




1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅


tijela.


24

2

rF mcp

T

π⋅ ⋅= ⋅



.m

Vρ =

Sila gravitacije izmeñu tijela mase m i planeta mase mp na udaljenosti r mora biti jednaka

centripetalnoj sili na tijelo na udaljenosti r od središta vrtnje:

4 32 2 2

4 4 432 2 2 2

/2

:2

rm m mr r rp pF F G m G Gcp

r T r T r T

m

ρ ππ π π

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

3

3

42 2

4 4 4/

3

2 232 4

32

r rG G r

T T

r

G rr G T

ρ ππ π π

ρπ

π ρ

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = =

⋅

( )

318.93 0.018930 .

2 3 3211

6.67 10 86 4002

kg g

N m m cms

kg

π⋅= = =

⋅−⋅ ⋅

Vježba 083 Odredi gustoću planeta na kojemu dan i noć traju T = 48 sati i na ekvatoru kojega su tijela bez

težine. (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rezultat: 4.732 kg/m3.

Zadatak 084 (Ana, gimnazija)

Kolika je prva kozmička brzina za Mjesec ako znamo da je polumjer Mjeseca 1.74 · 106 m, a

masa 7.3 · 1022

kg? (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rješenje 084 R = 1.74 · 106 m, mM = 7.3 · 1022 kg, G = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2, v = ?




1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅

5


tijela.


2v

F mcpr

= ⋅


Sila gravitacije izmeñu tijela mase m i mjeseca mase mM na udaljenosti r mora biti jednaka

centripetalnoj sili na tijelo na udaljenosti r od središta vrtnje:

2 22

2 2/ /

m m m m mv vM M MF F G m G m v Gcpr r r

r

mr r

⋅⋅ ⋅

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

2 227.3 1011

6.67 10 1672.82 .2 6

1.74 10

m N m kg mMv Gr skg m

⋅ ⋅−⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

Vježba 084 Kolika je prva kozmička brzina za planet ako znamo da je polumjer Mjeseca 3.48 · 106 m, a

masa 1.46 · 1023

kg? (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

Nm2/kg

2)

Rezultat: 1672.82 m/s.

Zadatak 085 (Marijana, srednja škola)

Izračunaj prvu kozmičku brzinu na površini Mjeseca kad znaš da je polumjer Mjeseca 1740

km, a akceleracija slobodnog pada na Mjesecu 0.17 Zemljine akceleracije. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 085 r = 1740 km = 1.74 · 106 m, gM = 0.17 · g, g = 9.81 m/s2, v = ?


2v

F mcpr

= ⋅





.G m g= ⋅

Prva kozmička brzina za Mjesec je brzina koju bismo morali dati satelitu mase m da obleti Mjesec

usporedno s njegovom površinom i blizu njega. U tom je slučaju sila teža uzrok kružnog gibanja

satelita. Zato mora biti Fcp jednaka sili teži G:

22

/

2

/v v

F G m m g m m g v r g v r gcp M M M Mr r

r

m= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⇒

60.17 1.74 10 0.17 9.81 1703.47 .

2

m mv r g m

ss

⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 085 Izračunaj prvu kozmičku brzinu na površini Mjeseca kad znaš da je polumjer Mjeseca 1740

km, a akceleracija slobodnog pada na Mjesecu 0.17 Zemljine akceleracije. (g = 10 m/s2)

Rezultat: 1719.88 m/s.

Zadatak 086 (Mario, tehnička škola)

Satelit se giba blizu površine planeta gustoće ρ. Nañi ophodno vrijeme satelita.

Rješenje 086 G – gravitacijska konstanta, ρ, T = ?

6

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela m i njegova obujma V:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅


24

2

rF mcp

T

π⋅ ⋅= ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice, a gdje je m masa tijela, r polumjer kružnice, T ophodno

vrijeme (vrijeme jednog okreta).

Dva tijela koja možemo shvatiti materijalnim točkama s obzirom na njihovu meñusobnu udaljenost

privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅

gdje su m1 i m2 mase materijalnih točaka, r udaljenost izmeñu njih, a G gravitacijska konstanta.

Masa M planeta (koji ima oblik kugle polumjera R) iznosi:

4 3.

3M V M Rρ ρ π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Sila gravitacije izmeñu satelita mase m i planeta mase M na udaljenosti R mora

biti jednaka centripetalnoj sili na satelit na udaljenosti R od središta vrtnje:

22 24 4

2 2 2 2

2

/R m TM R m M

F F m G m GcR

G mT R R Mp

T

π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅⇒ ⋅ =

⋅⋅ ⇒

2 2 34 4

2 2

32 4

3

R m M RF F m G Tcp M

MT

RGR

ρπ π

π= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ ⋅ = ⋅ = ⇒⋅

⋅⇒ ⇒

2 32 34 3 32 2 2

.4 3

4

4 3

3 3

/R

T T T TG G

G R G

R

R

π π π π

ρ ρρ π ρ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 086 Satelit se giba blizu površine planeta ophodnim vremenom T. Nañi gustoću planeta.

Rezultat: 3

.2

G T

πρ

⋅=

⋅

Zadatak 087 (Kety, gimnazija)

Kolika je gravitacijska sila na tijelo mase 1 t u točki Zemljinoga gravitacijskog polja jakosti

2.4 N/kg?

Rješenje 087 m = 1 t = 1000 kg, Jg = 2.4 N/kg, F = ?

Gravitacijsko polje je prostor oko nekog tijela u kojemu djeluje njegovo gravitacijsko privlačenje.

Jakost gravitacijskog polja, Jg, jest

,F

J gm

=

gdje je F gravitacijska sila, a m masa tijela.

Fcp

silnice gravitacijskog polja

Jg

7

Gravitacijska sila F na tijelo iznosi:

1000 2.4 2 400 ./F F N

J J F m J kg Ng g gm m kg

m= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

Vježba 087 Kolika je gravitacijska sila na tijelo mase 2 t u točki Zemljinoga gravitacijskog polja jakosti

2.4 N/kg?

Rezultat: 4800 N.

Zadatak 088 (Dado, gimnazija) Koliko je dugačka nit jednostavnog njihala ako zamislimo da se njiše na nekom planetu

jednake gustoće kao Zemlja, polumjera dva puta manjeg od Zemlje? Njihalo učini tri titraja u minuti.

(ubrzanje sile teže na Zemlji gz = 9.81 m/s2)

Rješenje 088 ρp = ρz = ρ, rp = 0.5 · rz, n = 3 titraja, t = 1 min = 60 s, gz = 9.81 m/s

2, l = ?


privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅

gdje su m1 i m2 mase materijalnih točaka, r udaljenost izmeñu njih, a G gravitacijska konstanta.


.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅




.G m g= ⋅

Matematičko njihalo je njihalo (zamišljeno) koje ima nerastegljivu nit bez mase i kojega je masa

kuglice koja njiše koncentrirana u jednoj točki. Uz male amplitude takvo njihalo izvodi harmoničke

titraje. Vrijeme jednog titraja matematičkog njihala jest

2 ,l

Tg

π= ⋅ ⋅

gdje je l duljina njihala, a g akceleracija slobodnog pada.

Period (vrijeme jednog ophoda, titraja) T matematičkog njihala na planetu je:

6020 .

3

t sT s

n= = =

Pod djelovanjem sile gravitacije kojom planet mase mp djeluje na tijelo mase m (koje se nalazi na

površini planeta) čiji je iznos

,2

m mpF G

rp

⋅= ⋅

tijelo slobodno pada ubrzanjem gp pa je prema drugom Newtonovom poučku:

8

.2 2

1/

2

m m m m mp p pm g G m g G g Gp p p

r r rp pm

p

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⇒ =

Pod djelovanjem sile gravitacije kojom Zemlja mase mz djeluje na tijelo mase m (koje se nalazi na

površini Zemlje) čiji je iznos

,2

m mzF G

rz

⋅= ⋅

tijelo slobodno pada ubrzanjem gz pa je prema drugom Newtonovom poučku:

.2 2

1/

2

m m m m mz z zm g G m g G g Gz z zr r rz z

mz

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⇒ =

Računamo omjer ubrzanja sile teže na planetu i Zemlji:

podijelimo

jednadžbe

2 2 22

.2

2 22

m mm p ppGg Gp

g r g r g m rr p p p p p p zp

m mg g gz zm z z z m rz G z pg Gzr rz zz

G

r

G

⋅ ⋅= ⋅⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅⋅ ⋅= ⋅

Budući da je masa kugle polumjera r i gustoće ρ dana izrazom

4,

3

3

mm V m r

Vρ ρ ρ π= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

iz masa planeta i Zemlje te njihovih polumjera dobije se:

4 3 2 3 22 3 23

2 3 24 3 2 3 2

3

4

34

3

r r r rp p z p p zg m r g g g r rp p z p p p p p z

g g g gz z z zm r r rr r r rz p z z pz z p z z p

ρ π ρ ρ

ρρ π ρ

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

uvjeti zadatka

,

0.5 0

0.

5

5

. rz

r r

g r g grp p p p pz

g rp z p z zr g r gz z z z z z

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒ =

= == ⇒

⋅=⇒

⋅ ⋅⋅

5 1 10.5 .

10 2 2/

g g gp p pgz g gp z

g g gz z z

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅⋅

Dužina niti jednostavnog (matematičkog) njihala koje njiše na nekom planetu jednake gustoće kao

Zemlja, polumjera dva puta manjeg od Zemljina polumjera, iznosi:

2 22 22 2 2

1/4

2

2

/l l l l

T T T Tg g gp z zgz

gzπ π π π⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅

( )2

20 9.812 22 2 2 24 2 8 49.698 .

2 288 8

1/

2

ms

T g szT g l T g l l mz zπ

π ππ π

⋅⋅

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⇒ = = =

⋅ ⋅⋅

Vježba 088 Koliko je dugačka nit jednostavnog njihala ako zamislimo da se njiše na nekom planetu

jednake gustoće kao Zemlja, polumjera dva puta manjeg od Zemlje? Njihalo učini šest titraja u dvije

minute.

Rezultat: 49.698 m.

9

Zadatak 089 (Dado, gimnazija) Neki satelit obilazi Zemlju svakih 98 minuta krećući se na srednjoj visini 500 km. Izračunaj iz

tih podataka masu Zemlje. (srednji polumjer Zemlje r = 6400 km, gravitacijska konstanta

G = 6.67 · 10-11

N · m2 · kg

-2)

Rješenje 089 T = 98 min = [98 · 60] = 5880 s, h = 500 km = 500000 m, r = 6400 km = 6400000 m,

G = 6.67 · 10-11

N · m2 · kg

-2, mz = ?


privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅

gdje su m1 i m2 mase materijalnih točaka, r udaljenost izmeñu njih, a G gravitacijska konstanta. Pri

umjetnim satelitima iskorišćuje se gravitacija kao centripetalna sila. Gravitacija može, uz potrebnu

kružnu brzinu satelita, prisiliti satelit da kruži, na primjer, oko Zemlje.


24

2,

rF mcp

T

π⋅ ⋅= ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice, a gdje je m masa tijela, r polumjer kružnice po kojoj se tijelo

giba, T period (vrijeme jednog ophoda).

Sila gravitacije izmeñu satelita mase m i Zemlje mase mz na udaljenosti r + h mora biti jednaka

centripetalnoj sili na satelit na udaljenosti r + h od središta vrtnje:

( )

( )

( )

( ) ( )2 24 4

2 2 2 2

2

/r h r hm m m mz zF F G m G mcp

T Tr h

r h

G mr h

π π⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅

+⋅= ⋅

+ ⋅⇒

+

( ) ( )

( )

3 32 24 4 6 400 000 500 000 24

5.624 10 .2 2

2116.67 10 5880

2

r h m mm kgz

G T N ms

kg

π π⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⇒ = = = ⋅

⋅ ⋅−⋅ ⋅

Vježba 089 Neki satelit obilazi Zemlju svakih 98 minuta krećući se na srednjoj visini 5 · 105 m. Izračunaj

iz tih podataka masu Zemlje. (srednji polumjer Zemlje r = 6.4 · 106 m, gravitacijska konstanta

G = 6.67 · 10-11

N · m2 · kg

-2)

Rezultat: 5.624 · 1024

kg.

Zadatak 090 (Tea, srednja škola) Pretpostavivši da se Mjesec giba oko Zemlje jednoliko po kružnici izračunajte masu Zemlje.

(udaljenost Mjeseca od Zemlje r = 3.84 · 108 m, period gibanja Mjeseca oko Zemlje T = 27.3 d,

gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2)

Rješenje 090 r = 3.84 · 10

8 m, T = 27.3 d = [27.3 · 24 · 60 · 60] = 2.36 · 10

6 s,

G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2, m = ?


privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅





10

24

2,

rF mcp

T

π⋅ ⋅= ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice, a gdje je m masa tijela, r polumjer kružnice po kojoj se tijelo

giba, T period (vrijeme jednog ophoda).

Privlačna sila izmeñu Mjeseca i Zemlje je

2

m mMF G

r

⋅= ⋅

i jednaka je centripetalnoj sili kružnog gibanja.

2 24 4

2 2 2

2

2/

m m r m m m r mM M M MF F G Gcp

r T r

r

G mMT

π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅

⋅= ⇒

( )

( )

3823 4 3.84 102

4 246 10 .

2 2 211 6

6.67 10 2.36 102

mr

m kg

G T N ms

kg

ππ

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ = = = ⋅

⋅ ⋅−⋅ ⋅ ⋅

Uočimo da na sličan način možemo izračunati masu bilo kojeg planeta iz podataka o njegovu satelitu.

Vježba 090 Pretpostavivši da se Mjesec giba oko Zemlje jednoliko po kružnici izračunajte masu Zemlje.

(udaljenost Mjeseca od Zemlje r = 3.84 · 105 km, period gibanja Mjeseca oko Zemlje T = 27.3 d,

gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

N · m2 · kg

-2)

Rezultat: 6 · 1024

kg.

Zadatak 091 (Marija, srednja škola) Komunikacijski satelit kruži na udaljenosti R od središta Zemlje. Zamijenimo li satelit novim,

koji je dva puta veće mase, a istog ophodnoga vremena, koliko će iznositi udaljenost novog satelita od

središta Zemlje?

. . . 2 . 22

RA B R C R D R⋅ ⋅

Rješenje 091

Da bi se tijelo mase m gibalo po kružnici polumjera r potrebno je da na nj djeluje centripetalna

sila

24

2,

rF mcp

T

π⋅ ⋅= ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice i gdje je T perioda, vrijeme jednog ophoda.


privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅



11

kružnu brzinu satelita, prisiliti satelit da kruži, na primjer, oko Zemlje. Težina tijela G jest sila kojom

tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i

podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je

veličinom jednaka sili teži,

.G m g= ⋅

1.inačica

Pretpostavimo da satelit oblijeće Zemlju usporedno s njezinom površinom i blizu nje. Otpor zraka

zanemarimo. U tom je slučaju sila teža uzrok kružnoga gibanja pa je zato sila Fcp jednaka sili teži G.

2

/

2 2 24

2 2 24

24

4r r g TF G m m g m m g rcp

T T

T

m

π π

π π⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

⋅⋅ ⋅⇒

2

.2

Tr g

π

⇒ = ⋅

⋅

Polumjer r ovisi samo o periodi (ophodnom vremenu) T. Budući da je ophodno vrijeme isto, polumjer

se ne mijenja. Odgovor je pod B.

2.inačica

Budući da sila gravitacije izmeñu satelita mase m i Zemlje mase mZ na udaljenosti r mora biti jednaka

centripetalnoj sili na satelit na udaljenosti r od središta vrtnje, slijedi:

2 2

/2

4

22 24 4 3

2 2 2 2 24

m m m m G m Tr rZ Z ZF F m G m Gr

rcpr mT

T

T r π

π π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ =

⋅⋅⋅ ⇒ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅= ⋅ ⇒

⋅

3/

2 23 3

.2 2

4 4

G m T G m TZ Zr r

π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

Polumjer r ovisi o masi Zemlje i periodi (ophodnom vremenu) T. Masa Zemlje je konstantna, a

ophodno vrijeme je isto pa se polumjer ne mijenja. Odgovor je pod B.

2 ⋅⋅⋅⋅ mmRR

TT

Vježba 091 Komunikacijski satelit kruži na udaljenosti R od središta Zemlje. Zamijenimo li satelit novim,

koji je četiri puta veće mase, a istog ophodnoga vremena, koliko će iznositi udaljenost novog satelita

od središta Zemlje?

. . . 2 . 22

RA B R C R D R⋅ ⋅

Rezultat: B.

Zadatak 092 (Medina, gimnazija) Odredi brzinu tijela na visini 230 km iznad Zemlje i periodu njegovog obilaska oko Zemlje.

(gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11

N · m2 · kg

-2, polumjer Zemlje R = 6400 km, masa Zemlje mZ

= 6 · 1024 kg)

Rješenje 092 h = 230 km = 2.3 · 10

5 m, G = 6.67 · 10

-11 N · m

2 · kg

-2, R = 6400 km = 6.4 · 10

6 m,

mZ = 6 · 1024

kg, v = ?, T = ?

Da bi se tijelo mase m gibalo po kružnici polumjera r potrebno je da na nj djeluje centripetalna sila

2 24

, ,2

v rF m F mcp cp

r T

π⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

koja ima smjer prema središtu kružnice i gdje je T perioda, vrijeme jednog ophoda.


12

privlače se silom

1 ,22

m mF G

r

⋅= ⋅




Jednoliko kružno gibanje tijela omogućuje gravitacijsko privlačenje tijela i Zemlje. Gravitacijska sila

koja djeluje na tijelo je centripetalna sila. Stoga je uvjet kruženja tijela na odreñenoj visini njegovo

izbacivanje takvom brzinom pri kojoj će gravitacijska sila biti jednaka centripetalnoj sili. Dakle, sila

gravitacije F izmeñu tijela mase m i Zemlje mase mZ na udaljenosti R + h mora biti jednaka

centripetalnoj sili na tijelo na udaljenosti R + h od središta vrtnje.

( ) ( )

2 2

2/

2

m m m mv vZ ZF F m G mR

GcpR h R h

h

mR h R h

⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

+

⋅+

+⇒

+ +

2/

2 m m mZ Z Zv G v G v G

R h R h R h⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

+ + +

2 246 1011

6.67 10 7 769 .2 6 5

6.4 10 2.3 10

N m kg m

skg m m

⋅ ⋅−= ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅

Računamo periodu obilaska tijela oko Zemlje.

1.inačica

Ophodno vrijeme dobit ćemo iz izraza

( ) ( ) ( )6 52 6.4 10 2.3 102 2

7 769

m mR h R hv T

mT v

s

ππ π ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= ⇒ = = =

[ ]5362.02 1.48945 1 0.48945 1 0.48945 60 m5362.02 : 3600 ins h h h h= = = = + = + ⋅ =

1 29.367 min 1 29 min .h h= + ≈

2.inačica

Jednoliko kružno gibanje tijela omogućuje gravitacijsko privlačenje tijela i Zemlje. Gravitacijska sila

koja djeluje na tijelo je centripetalna sila. Stoga je uvjet kruženja tijela na odreñenoj visini njegovo

izbacivanje takvom brzinom pri kojoj će gravitacijska sila biti jednaka centripetalnoj sili. Dakle, sila

gravitacije F izmeñu tijela mase m i Zemlje mase mZ na udaljenosti R + h mora biti jednaka

centripetalnoj sili na tijelo na udaljenosti R + h od središta vrtnje.

( )

( )

( )

( ) ( )

2 24 4

2 2 2

1/

2 m R h

m m m mR h R hZ ZF F m G m GcpT TR h R h

π π⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅⋅

+ ⋅=

+⇒

+

( )

( ) ( )3 32 2

4 2 24

2 3 24 /

4

2/

m R h R hTZG TG m G mT R h Z Z

ππ

ππ

+ +⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

⋅+

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⇒⋅

( )( )

32

4 2R h R h

T T R hG m G m

Z Z

π π+ +

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅

13

( )6 5

6.4 10 2.3 106 52 6.4 10 2.3 10

211 24

6.67 10 6 102

m mm m

N mkg

kg

π⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅−⋅ ⋅ ⋅

[ ]5361.81 1.48939 1 0.48939 1 0.48939 60 m5361.81 : 3600 ins h h h h= = = = + = + ⋅ =

1 29.363 min 1 29 min .h h= + ≈

Vježba 092 Odredi brzinu tijela na visini 230 000 m iznad Zemlje. (gravitacijska konstanta

G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2, polumjer Zemlje R = 6400 km, masa Zemlje mZ = 6 · 1024 kg)

Rezultat: 7769 m/s.

Zadatak 093 (Medina, gimnazija) Na kojoj visini je polje Zemlje četiri puta slabije nego na njezinoj površini?

(polumjer Zemlje R)

Rješenje 093

R, h = ?

Gravitacijsko polje je prostor oko nekog tijela u kojem djeluje njegovo gravitacijsko privlačenje.

Jakost gravitacijskog polja Jg točkastog (ili sfernog) tijela, mase m na udaljenosti r, iznosi

.2

mJ Gg

r

= ⋅

Neka je h visina iznad Zemlje na kojoj je polje Zemlje četiri puta slabije nego na njezinoj površini. Iz

uvjeta zadatka slijedi:

( ) ( ) ( )

1 1 44 4

2 2 2 2 2 2/

m m m mG G G G

GR R RR h R h R hm⋅

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒

+ + +

( ) ( )2 22 2

4 4 2 2 ./R h R R h R R h R h R R h R⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒ =

Vježba 093 Na kojoj visini je polje Zemlje devet puta slabije nego na njezinoj površini?

(polumjer Zemlje R)

Rezultat: 2 · R.

Zadatak 094 (Željka, gimnazija) Kolika je masa Sunca kad znamo da je srednja brzina Zemlje pri kruženju oko Sunca 30 km/s,

a polumjer njezine staze 1.5 · 108 km? (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2)

Rješenje 094

v = 30 km/s = 3 · 104 m/s, r = 1.5 · 108 km = 1.5 · 1011 m, G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2,

mS = ?

Jednoliko kružno gibanje je gibanje kod kojeg tijelo u jednakim vremenskim intervalima prijeñe

jednake lukove kružnice. Vrijednost njegove brzine je stalno ista, ali se pravac i smjer vektora brzine

neprestano mijenjaju.


,

2v

F mcpr

= ⋅





14

12

,2m m

F Ggr

⋅= ⋅


tijela.

Sila gravitacije izmeñu Zemlje mase m i Sunca mase mS na udaljenosti r mora biti jednaka

centripetalnoj sili na Zemlju na udaljenosti r od središta vrtnje.

2 2 2

2 2/

2m m m mv v v rS SF F m G m G mcp G Sr r Gr G mr

r⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = =

24 11

3 10 1.5 1030 27

2 10 2 10 .2

116.67 10

2

mm

skg t

N m

kg

⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅

⋅−⋅

Vježba 094 Kolika je masa Sunca kad znamo da je srednja brzina Zemlje pri kruženju oko Sunca 3 · 104

m/s, a polumjer njezine staze 1.5 · 1011 m? (gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2)

Rezultat: 2 · 1027 t.

Zadatak 095 (Željka, gimnazija) Kolika je akceleracija slobodnog pada na površini Sunca ako je njegov polumjer 108 puta veći

od polumjera Zemlje i ako je odnos gustoća Sunca i Zemlje 1 : 4?

Rješenje 095

rS = 108 · rZ, ρS : ρZ = 1 : 4 => ρZ = 4 · ρS, gS = ?

Težina tijela G jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili

ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom

na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teži,

.G m g= ⋅

Ako se tijelo mase m nalazi na površini Zemlje, gravitacijska sila kojom Zemlja djeluje na tijelo dana

je izrazom

.F m g= ⋅

Tu istu silu možemo izraziti pomoću općeg zakona gravitacije, uzevši u obzir da je udaljenost tijela na

površini Zemlje od njezina središta jednaka polumjeru Zemlje RZ:

2.

m mZF G

RZ

⋅= ⋅

Kugla polumjera (radijusa) r ima obujam (volumen)

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Za privlačenje tijela mase m i

• Zemlje mase mZ možemo napisati

15

.2 2

1/

2

m m m m mZ Z Zm g G m g G g G

Z Z Zr r rZ Z

mZ

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⇒ =

• Sunca mase mS možemo napisati

.2 2

1/

2

m m m m mS S Sm g G m g G g G

S S Sr r rS S

mS

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⇒ =

Primijenimo izraz za masu

mm V

Vρ ρ= ⇒ = ⋅

te zadane omjere za polumjere i gustoće Zemlje i Sunca.

Zemlja

4 32 2

32

4 43 3,

3 3

m mZ Zg G g G rZ Z Z Zr r

Z Z g GZ

rZV r m V m r

Z Z Z Z Z Z Z Z

ρ π

π ρ ρ π

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

4 4 164 .

3 34

3g G r g G r g G r

Z Z Z Z Z Z ZS SZ Sρ π ρ πρ ρ π ρ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

Sunce

4 32 2

32

4 43 3,

3 3

m mS Sg G g G rS S S Sr r

S S g GS

rSV r m V m r

S S S S S S S S

ρ π

π ρ ρ π

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

4 4108 144 .

3 3108r rg G r g G r g G r

Z ZS S S S S SZS Sρ π ρ π ρ π⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅= ⋅⋅

Akceleracija slobodnog pada na površini Sunca iznosi:

144 144 43227

16 16 16

3

/

3

g G r g g gZS S S S S

g g g gZ Z Z ZG r

G rZS g

ZG r

ZZS S

ρ

ρ π

π

ρ

πρ

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

9.81 264.87 .2 2

27 27m m

g gZS

s s

⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 095 Kolika je akceleracija slobodnog pada na površini Sunca ako je njegov polumjer 108 puta veći

od polumjera Zemlje i ako je odnos gustoća Sunca i Zemlje 3 : 12 ?

Rezultat: 264.87 m/s2.

Zadatak 096 (Josip, tehnička škola) Izračunaj masu i gustoću Zemlje. (Srednji polumjer Zemlje je R = 6400 km, akceleracija

slobodnog pada g = 9.81 m/s2, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10-11 N · m2 · kg-2)

Rješenje 096

R = 6400 km = 6.4 · 106 m, g = 9.81 m/s

2, G = 6.67 · 10

-11 N · m

2 · kg

-2, mZ = ?,

ρ = ?



16


12

,2m m

F Ggr

⋅= ⋅


tijela.




.G m g= ⋅


je izrazom

.F m g= ⋅


površini Zemlje od njezina središta jednaka polumjeru Zemlje R:

2.

m mZF G

R

⋅= ⋅

Kugla polumjera (radijusa) r ima obujam (volumen)

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅


.m

Vρ =

Sila teža na Zemlji je naziv za gravitacijsku silu kojom Zemlja privlači sva tijela blizu svoje površine.

Za privlačenje tijela mase m i Zemlje mase mZ možemo napisati

2

2

2

/2

m m m m R

G

g

m

RZ Zm g G m g G mZ GR R

⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅

⋅=

( )2

69.81 6.4 10

2 246.024 10 .

211

6.67 102

mm

s kg

N m

kg

⋅ ⋅

= = ⋅

⋅−⋅

Gustoća je kvocijent mase i obujma tijela te za Zemljinu srednju gustoću vrijedi:

( )

243 3 6.024 105486 .

3 3 34 3 644 6.4 10

3

m m m kg kgZ Z Z

V R mR m

ρ ρ ρππ π

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = = =

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 096 Izračunaj masu Zemlje. (Srednji polumjer Zemlje je R = 6400 km, akceleracija

slobodnog pada g = 10 m/s2, gravitacijska konstanta G = 6.67 · 10

-11 N · m

2 · kg

-2)

Rezultat: 6.14 · 1024

kg.

17

Zadatak 097 (Maturant, tehnička škola) Dva satelita gibaju se u istom smjeru po kružnim putanjama koje su u istoj ravnini. Brzine su

im v1 i v2. Odredite najmanju udaljenost izmeñu satelita. Polumjer Zemlje je R. (g ubrzanje sile teže)

Rješenje 097

v1, v2, R, g, d = ?

Jednoliko kružno gibanje je gibanje kod kojeg tijelo u jednakim vremenskim intervalima prijeñe

jednake lukove kružnice. Vrijednost njegove brzine je stalno ista, ali se pravac i smjer vektora brzine

neprestano mijenjaju.

Da bi se tijelo mase m gibalo po kružnici polumjera r potrebno je da na nj djeluje centripetalna sila

,

2v

F mcpr

= ⋅





12

,2m m

F Ggr

⋅= ⋅


tijela.




.G m g= ⋅


je izrazom

.F m g= ⋅


površini Zemlje od njezina središta jednaka polumjeru Zemlje R:

2.

m mZF G

R

⋅= ⋅

Dakle, sila teža na Zemlji je naziv za gravitacijsku silu kojom Zemlja privlači sva tijela u blizini svoje

površine. Promatrajući djelovanje gravitacijske sile na tijelo mase m na površini Zemlje mase mZ i

polumjera R, možemo pisati:

22

2/ .

2

m m m mZ Zm g G m g G

RR G

R

g

R

mZm

⋅ ⋅⋅ ⋅ =⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅⋅ = ⇒

Sile gravitacije izmeñu satelita masa m1 i m2 i Zemlje mase mZ na udaljenostima r1 i r2 moraju biti

jednake centripetalnim silama na satelite na udaljenostima r1 i r2 od središta vrtnje:

21/

2

2 21 1 1 1

1 1 12 2 21 11 1 1

.2 22 2 2 2 2 22 22 2

22

1 1

22/

2 22222

v m m v m m mZ Z Zm G m G r G

r rr r v

mv m m v m m Zr GZ Zm G m G

vr rr

r

m v

r

m vr

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

Računamo najmanju udaljenost izmeñu satelita.

18

1 1

1 2 2 2 2 21 2 1 2

2m mZ Zd r r d G G d G m

Zv v v

g R G mZ

v

= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒ ⇒

⋅

=

⋅

1 12.

2 21 2

d g Rv v

⇒ = ⋅ ⋅ −

R

r2

r1

Vježba 097 Dva satelita gibaju se u istom smjeru po kružnim putanjama koje su u istoj ravnini. Brzine su

im v1 i v2. Odredite najveću udaljenost izmeñu satelita. Polumjer Zemlje je R. (g ubrzanje sile teže)

Rezultat: 1 12

.2 2

1 2

d g Rv v

= ⋅ ⋅ +

Zadatak 098 (Nikola, srednja škola) Dva asteroida, koja su meñusobno udaljena 10 000 km, privlače se gravitacijskom silom

iznosa F. Kolika će biti gravitacijska sila meñu asteroidima ako se oni razmaknu na 20 000 km?

. . . 2 . 44 2

F FA B C F D F⋅ ⋅

Rješenje 098

r1 = 10 000 km, F1 = F, r2 = 20 000 km, F2 = ?




12

,2m m

F Ggr

⋅= ⋅


tijela.

Asteroidi ili planetoidi: mala čvrsta tijela u planetarnim sustavima, u usporedbi s planetima mnogo

su manji i najčešće nepravilnog oblika. Nastali su od ostataka protoplanetarne tvari koja se nije

pripojila planetima za vrijeme formiranja sustava iz protoplanetarnog diska.

19

1.inačica

1 2 1 2 1

22 2

m m m mF G GF Fg g

r rg

r

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ∼

Uočimo iz formule da je gravitacijska sila obrnuto razmjerna s kvadratom meñusobne udaljenosti dva

tijela. Asteroidi su meñusobno udaljeni 10 000 km, a onda su razmaknuti na 20 000 km što je dva puta

veća udaljenost pa je gravitacijska sila četiri puta manja. Odgovor je pod A.

2.inačica

1 2 1 221 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 1 2 12

1 21 2 1 1 1 1 222 22 2

1

1 2

1

1

2

2

m mG

m mG

m m m mF G G

r F r F r F r F r

m mm m F F F F rrGF Gr rr

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅⋅

⋅

2 210000 1 1 12 2 2 2 1 .

220000 2 4 4 4 41 1 1

/

11

F F F F Fkm FF

F km F F FF

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 098 Dva asteroida, koja su meñusobno udaljena 5 000 km, privlače se gravitacijskom silom

iznosa F. Kolika će biti gravitacijska sila meñu asteroidima ako se oni razmaknu na 10 000 km?

. . . 2 . 44 2

F FA B C F D F⋅ ⋅

Rezultat: A.

Zadatak 99 (Anita, srednja škola)

Pri polasku sa postaje tramvaj se giba jednoliko ubrzano akceleracijom 1.2 m/s2. Kolika je

inercijska sila koja djeluje na osobu mase 70 kg?

. 0 . 1.2 . 784 . 84A N B N C N D N

Rješenje 99 a = 1.2 m/s

2, m = 70 kg, F = ?

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila:

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Promatrajmo neko tijelo s obzirom na koordinatni sustav koji se giba jednoliko ubrzano ili usporeno.

Ako na njega ne djeluje nikakva sila, tijelo neće mirovati s obzirom na takav sustav. Tijelo mase m,

koje postavimo, primjerice, na pod vagona koji ima stalnu akceleraciju a, neće mirovati s obzirom na

vagon, nego će imati akceleraciju – a. U vagonu će nam se činiti da na tijelo djeluje sila – m · a. Takvu

silu zovemo inercijskom silom i označavamo Fi.

Inercijska sila koja djeluje na osobu iznosi:

70 1.2 84 .2

mF m a kg Ni

s

= ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod D.

20

Vježba 99 Pri polasku sa postaje tramvaj se giba jednoliko ubrzano akceleracijom 1.5 m/s2. Kolika je

inercijska sila koja djeluje na osobu mase 60 kg?

. 0 . 1.5 . 900 . 90A N B N C N D N

Rezultat: D.

Zadatak 100 (Max, gimnazija)

Satelit na udaljenosti r1 = 7000 km od središta Zemlje obilazi Zemlju u vremenu

T1 = 1 h 37 min 8 s. Koliko je obilazno vrijeme satelita na udaljenosti r2 = 10000 km?

Rješenje 100

r1 = 7000 km, T1 = 1 h 37 min 8 s = [1 · 3600 + 37 · 60 + 8] = 5828 s, r2 = 10000 km,

T2 = ?

Keplerovi zakoni opisuju gibanje planeta oko Sunca.

Treći Keplerov zakon: Kvadrati vremena ophoda planeta odnose se kao kubovi njihove srednje

udaljenosti od Sunca.

2 31 1

2 32

.

2

T r

T r

=

2 3 2 32 3 2 3 2 3 2 31 1 1 1 12 3

/ /2 1 2 2 1 1 2 2 12 3 2 3

2 2 23

2

2

1

T r T rT r T r T r T r

T

T

r

r

r T r

= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅ ⇒

3 3 3 32 2 2 2 22 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 13 3/

3 31 1 1 1

r r r rT T T T T T T T

r r r r

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

[ ]

3 310 0002 5828 9951.1319

2 1 7 0001

9951.1319 : 3600r km

T T s sr km

⇒ = ⋅ = ⋅ = = =

60 min2.7642 2 0.7642 2 0.7642 2 45.8520 min 2 45 min 0.8520 minh h h h h h= = + = + ⋅ = + = + + =

2 45 min 0.8520 2 45 min 51 2 45 min 560 1 .h hs s h s= + + ⋅ = + + =

r2 r1

Vježba 100

Satelit na udaljenosti r1 = 10000 km od središta Zemlje obilazi Zemlju u vremenu

T1 = 2 h 45 min 51 s. Koliko je obilazno vrijeme satelita na udaljenosti r2 = 7000 km?

Rezultat: T1 = 1 h 37 min 8 s.

zadatak 081 (ljilja, srednja škola) - halapa.com fizika3 op ći zakon gravitacije: ako se bilo koja...

Documents