yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙...
TRANSCRIPT
�� ����
��� � ����� � �������
���� ���� :�� ����� ��� !� � � �������
"#�� � ��$ � .&'() � �� ����� ��� !� �
��� �� �� �
� ���� ����� ��������� � ��� �� �� ���� �����
��������� ���
� � ��4 ������� ����� �������� ������� ..............................4
������� ����� ��� !� �������� �������................................... 4
� �!�� "��#$� %�&���............................................................ 4
������ � �!�� "��#$� %�&���..................................................... 5
'()� %�&* ................................................................... 5
" �#+�� %�&���............................................................................. 6
" �#+�� %�&���, � �!�� "��#$� %�&��� -� ��.��� .................................8
/����� " �#+�� %�&���)1�����( ................................................8
"��#$� %�&��� ................................................................9
������ %�&���............................................................................. 9
%�&��� -� ��.��������� � �!�� "��#$� %�&���, ������ .........................10
3��� %�&* ............................................................................ 10
" �#+�� %�&���, 3��� %�&* -� ��.���. ......................................12
3��� %�&�� " 4��� ���5���� ...............................................13
��.6 .........................................................................14
���� #��$!� �������� �������������� � ................................15
7.�� %�&* ,8 "���9�� %�&���:7� .........................................15
3(�;�� �<�� ............................................................................. 15
=>����� "���9�� %�&��� ........................................................16
"���9�� %�&��� ? ��6 .......................................................16
" �#+�� %�&���, "���9�� %�&��� -� ��.��� ......................................18
3��� %�&*, "���9�� %�&��� -� ��.��� ......................................19
"�@� %�&���............................................................................. 19
- 3 -
3(�;�� �<��%�&� � ����4A��� ������, �B�+��� ���� ,8 "�@� . .....................19
"�@� %�&��� ? ��6 ........................................................20
���� %�&* .........................................................................21
3(�;�� �<�� ............................................................................. 21
���� %�&* ? ��6 ...........................................................22
���� %�&* ..................................................................23
3(�;�� �<�� ..................................................................23
���� %�&�� ������� ? ��C� ...................................................23
��.6 ..................................................................25
DE � .........................................................................26
����� 4 ���� �� ���� �������� �� �����
��� � ���� �� ���� ���� �� ���� �� ����
�%&' . � F�G��&��� H� �� 7>�( 38 3I� �##�J '�4�K�� %�&���, �� �L��� MN<��� �OP� �#B) 38 ��� �G���4�K�
MNOL�� . M>��Q� R, =>�A���, "�#��� N����� 1�S R T ���� H� ������ TK R F���&��� UVW ��5��* . UVW )+X8 H�
��Y F���&��� : 3��� %�&*, " �#+�� %�&��� ��G�#��� "�@� %�&���, "���9�� %�&���, [��9;��� F���&� � ���#���
M)4���� F���&� �.
4-1 ����� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��
������ ����� ��� ���Loi hyper géométrique������� ������ ����� ��� ��� � Loi Multi-
hypergéométrique�� �� ��� � � Loi Bernoulli ������ ��� ��� �Loi Binomiale ������ ��� ��� �
������)������(Loi Binomiale négative����� ��� ��� �Loi géométrique � ������� ��� ���Loi
multinomiale� �� � ��� � �Loi de Poisson .
4-1-1 ������ ���� �� !�� ��
(��� . \� ],�#�6 �O#� F��)X 4 , ^�_�� 2 ̂�)` . a�b>c 3,�� /E�(3F��)X . -*)X d 1�e� 1�4�K� /�K�
[H�,�_��3, ��)X [^�_�� F��)X^�_�� ��)X �, [^�_�� M�K�.
F��)X ],�#� H� /E�( �#(8 f)�P( )�*+, -.�/ �W�� n d =�g ],�#��� 3�X ��c [N �O#� ��)X b , ^�_�� r
^�)`(N = b + r) -�� �� d 1�e� 1�4�K� 3hB x ≤ b 1.G6 H� \� T�i 38 H�J ^�_���� F��)��� H�
F��4�K.� "���.��� 3(�;��) �� �4 .�� F��e� /���#�4�� F��e� (F�;�B��� ���5���� k��,:
n
N
xn
r
x
b
C
CCxXP
−⋅== )(
�<���� UVW d4�* :/��(, � �!�� "��#$� %�&��� 3(�� b, p) X ~ H(N, l�K:
p = b/N , = 1– p q = r/N
" � �4X 1�+�� � m�8 d ���bQ� 3I� H�J:
P(X = 2) = C42 . C2
3 / C
16
= 12/20 , P(x = 3) = C43 . C2
0 / C6
3
= 1/5 , …
������ ����� ��� ��� �����
−−
==1
²,N
nNnpqnp σµ
�0�1�:N6@� �V$ ])9�( ���# �W)XV#� " �#+�� %�&���� ��. � �!�� "��#$� %�&� � .
T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 5
4-1-2 �� ��� ������ ���� �� !�� ��
������� ������ ����� ��� ��� !�� "�����
O�� H�J n�4�* ���� 3(�; � �!�� "��#$� -P#� H� )+X8 �b, ���K d )ko#� ( �#��� o#� TX H� l�K [Ni
[��)X ) ΣNi = N ( .+� p�#��� �A��( 1�4�K� q��e, [2 ^�_�� F��)X )X1 = 2 ( [5 [^�)`1 [^��>& . . . H�J
� �4X F�;�B��� 1.6 H� �#�4��, �4 .�� F��e� �� q��K":
nxNNC
CCCxXxXxXP
k
i
k
in
N
kx
kN
x
N
x
N
kk ====== ∑∑ 11
2
2
1
1
2211 ,...
)..,.,(
������� ������ ����� ��� ��� �����
i
i
i npN
NnXE ==)(
�0�1�:N6@� �V$ ])9�( ���# �W)XV#� " �#+�� %�&���� ��. � �!�� "��#$� %�&� � .
4-1-3 �����" !�� 1
�� �� � �$ !�� "�����
�r8 ��)s H 1;( "���()� " -�A��( T4�u v(�X ��c)-w�K ( -��B�#��A, A’. �( "4A, x�y A’TLB .
a MN<��� z��(X T+{ |�� 3�45�� ���� 6�7 V6}* [ X �4�;��1 ~�e� D;u �# A, 0��X���� ���e� R .
q M�� !�)(p" x�A#�� 1�4�K� " ~�e� D;u 1�4�K�A, q = 1– p �X���� ~�e� 1�4�K� )TLP�� .( %G�&* -��
" � �4X '()�:
.1,0,)0(,)1( ===== XqXPpXP /��(,X ~ B(1, p)
�� �� ��� � �����
= 1(p) + 0(q) = p => E(X) = p. E(X) = Σxipi V(X) = E(X²) – E(X)² = (1²p + 0²q) – p² = p – p² = p(1– p) = pq =>
V(X) = qp.
% ��&� '��(���� �����
M(t) = E(ext) = e
0tq + e
1t p => M(t) = q + pe
t.
1 '()� ��b n���(Jacques Bernoulli) 3);�� )6�,8 R %�&��� �VW 7>� =V�� 17.
"���)�� ^��KQ� , F��4�K�� �c T6��– ^!�� 1. 6
������� ������� � ������
( ) ²)²()1()0()( 33333
3 pqqpqppqppqpxpx −=−=−+−=−=∑ µµ
qp
pq
qpqp
pqqp ²²²)²(3
3
3
−=
−==
σ
µα
4-1-4 ������� �� ��
������ ������� ����� ���� �������:
'()� ��)s �(>)X ��c n 3hB M)� X) x�A#�� F�)� �� (n�;�� V6}* : X = 0, 1, 2, 3, . . . n
��9� "�> ���(z�� ��)A��� f)�P#� �� M>)�� ���;(n, [F�)�� H� X M>� d 1�e� F�)� �� )F:(
���K : n = 2 X = 0, 1, 2.
P(X = 0) = q.q = q², P(X=1) = P(FP) + P(PF) = p.q + q.p = 2p1q1
���K : n = 3 X = 0, 1, 2, 3.
P(X = 3) = P(FFF) = p.p.p = p3, P(X = 2) = P(FFP ∨ PFF ∨ FPF) = 3p2q1
���K : 4n = X = 0, 1, 2, 3, 4.
P(X = 3) = P(FFFP ∨ PFFF ∨ FPFF ∨ FFPF) = 4 p3q1
����� �K.( MN6@� �A��#�� R3 W x ����� [ 1 W n - x �����, [ 4 ~.Gw d 1�E � �4 .�� ])9�� �� W
-� H� F�K�y(n = 4)��K H�J, [q>�s " � �4X \� :
)!(!
!
xnx
nC x
n−
=
�� �� 1�4�K�B '�����,x-� H� F�K�A#�� H� n " � �4X /�g ���()� ��)s:
....,3,2,1,,....,3,2,1,0,)( ==== −nnxqpCxXP
xnxx
n
l�Kx [x�A#�� F�)� �� p x�A#�� 1�4�K� M�K��� ��)A��� R)��)A��� >�)�* �# v��w d;��( [q = 1 – p 1�4�K�
, TLP��nq>�A��� �� .
o�)�* "" �#+�� %�&��� 3(��"�� " � �4X �_�8 /�: xnxx
n ppCxXP−−== )1()(
8, X ~ B(n, p).
-������ -�)L�� )B* �# ��5��� " �#+�� %�&��� 38 �_�� D�� ��:
F�)�� H� ��� �� M>)�� ���()� ��)s[
v��w ��)A��� R x�A#�� 1�4�K�)� ;��� q>�A���(.
T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 7
npq
pq6134
−+=α
���� : �(&��� ���;( ��9� "�> �# /�K84�)� d 1�e� 1�4�K� F :
[-*)� [M�K�, M)� [M>� M)� �, 3 [F�)� 4F�)� .
P(X = x) = Cxn p
x q
n –x => P(X = 0) = C
04 0.5
0 0.5
4 = 1/16
P(X = 1) = C14 0.5
1 0.5
3 P(X = 2) = C
24 0.5
2 0.5
2
����2 : a�b>Q�� /E�(3 =�g ],�#� H� F��)X 5 F��)X �O#�3^�)` .
-*)X d 1�e� 1�4�K� /�K8 )`H�,�.
P(X = 2) = C23 (3/5)
2 (2/5)
1
������ ������� �����
���� � ����� : >���� H�JX���()� � ;��� F�N<�� a4S X = X1 + X2 + … X i+ … + Xn �GP( �$
n ���p %���� �P( '�����, (E(Xi) = p)�_�8 .�c�y H������, %���� ? ��6 ���5���� �:
E(X) = E(X1 + X2 + … Xi + … + Xn) = ΣE(Xi) = Σpi = np => E(X) = np
V(X) = V(X1 + X2 + … Xi + … + Xn),
Xi3�c � ;��� = ΣV(Xi) = Σpq => V(X) = npq
���� :D����� 1�+4 � H������, %���� /�K8:
E(X) = np = 3(3/5) = 9/5 ; V(X) = npq = 3(3/5)(2/5) = 18/25
������ ������ �� �� : >�����X � ;��� ���()� F�N<�� a4S X = X1 + X2 + …Xi + … + Xn �GP( �$
n ���p �,!� � M��A��� ������ �P(, : MX(t) = [q + pet]�� ���5����, -(�;,!� � � ������ ��� �;������ :
"Tb8 H�1 X, X2�,!� � � ������ �$ � ;��� a � Mx1(t)� Mx2(t) 3hB: Mx1 + x2 (t) = Mx1(t). Mx2(t) " p
��#��(:
MX(t) = Mx=x1+ x2 +…xn(t) = Mx1(t) . Mx2(t) … Mxn(t)
MX(t) = E(ex1t) . E(e
x2t) … E(e
xnt) => MX(t) = [q + pe
t]n
������ �����
( ) ( )∑∑ −==−=−== )(...)()(.33
33
33 pqnpqxpnpxxpx µµ
σ
µα
[ ]σ
αp
npqnpq
ppnpq 21)1(3
−=
−−=⇒
npq
pq −=3:
���# .w�4�� " �#+�� %�&��� �E#� 3�� α3 = 0 => 2p = 1 => p = ½
��� ��� ����
%�&��� �E#� 3�� " �#+�����# ����� α4 = 3 => qp = 1/6
"���)�� ^��KQ� , F��4�K�� �c T6��– ^!�� 1. 8
������ �������� !����� �!�"�� ������� ��� ��#��
���K RN ��b N�X ) �c 1,��∞ (9�� 3,�G� /EG��� ����, � �!�� "��#$� %�&��� H� ���)� � ��( " �#+�� %�&��� "
a�b>Q�� /E� � ���);* �;��9� a�b>c . 3@ " �#+�� %�&��� H���* H� q)�;� �_�8 H������ )G���� (N – n) / (N – 1)
� �c 1,�1) n�,�� ..(
4-1-5 ������ ������� �� ��)������ (
����� ���� �������$����� ������ ��:
����: d 1�e� ���� �c �;( ��9� "; ( 3 M>� F�)� ) � ,8 ������� .( �G�� k�� d T�i 38 1�4�K� /�K85
[F���>4 [F���> 3H������ /�K8, ��&.�� F���)�� �� %�* [F���> .
�#��� 1�+�� �VW R ���()� ��)s) TLB, x�y -�A��( ( UVW H�� [M>)�� M)�� ��� �� !� ��"# ��$ %&)r ( �)�
*�+��,� .X "W ���e� UVW R �-.��� / .01 * .� �� d 1�e� ���� �c rx�y .
o�X /�g 1�4�K�� � n �( 38 D;u x�A#�� r M)� \��4�K� pr 1�4�K�, TLP�� (x – r) M)G� =,�G�� q
x – r . ��c
1�4�K�� q 9�� H4_�� ^��b H�VW -��4�K�� pr q
x–r . H�� ��#W ��� H� ])9�� .��4 � D�;E�� r x�y H� -� X
��)s %� n ��� 38 )6� ��)s "W x�y . 38 ����)A��� MN6@� �� �� �A��#�� )x�y( �4 .�� ])9�� �� 3hB [=,��� ��G
])9�� �4 .�� >���6� (r – 1) x�y H� -�(x – 1) ��)s [=8 Cr–1
x–1 ��c:
∞+=∞+++=== −−
− ,...,3,2,1,...,2,1,,)( 1
1 rrrrXqpCxXPrxrr
x
/��(, /����� " �#+�� ,8 1����� %�&* %�&��� �VW d4�� :X~BN (r, p)
" � �� D����� 1�+�� � m�8 d ���bQ� ��c H�J :
P (X = 5) = C3–1
5–1 p3 q
5–3 = C
24 (½)
3 (½)
2 = 6 (1/8) (1/4) = 9/32
µ = r/p = 3/(1/2) = 6 , σ² = rq/p² = 3 (1/2) / (1/2)² = 12/2 = 6
$����� ������ ������� �����
( )rtt
qe
eptM
p
rq
p
r
−===
1)(,
²², σµ
nq
nqq
q
q )1(3)²2(3,
143
−+++=
+= αα
T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 9
4-1-6 ������� �� ��
������� �� �� ��� �� � ��
���� .�� �� ��� �� �� ����� ���� ���� . �� !��"� �� ��#"$%4& '�(�� :P(X = 4) = P(PPPF) .
�*��� ���+% %,& - �(��./ �/.0��.1� 2% ���3 �� *�% �� �� �45% 6�7) ��$%4 �.� 6�9 .( �(;%<��% �=>"+%X ��? @�%
�/.7"�% �%.1A '%.� B� )6�7*�% �C(D ��$ @�% �.+% �C(D �E (�F�*G% H�I"�% HJ"A.
K 6�7*�% ��#"$L ��M�� % �p K �<N�% ��#"$L4 q��� �#O P"/�"O Q1R ��#"$L% �SD :P(X = 4) = q3p
�/4 � �#(� T� ��#"$% �SD ��� �N X��� �#O P* U�� :
...,3,2,1,)( 1 === − XpqxXP x
������� �� �� �����
( )tt
qe
eptM
p
q
p −===
1)(,
²²,
1σµ
q
p
q
q ²12,
143 +=
+= αα
��� �� V($ ��1F�/ H�IA Q� ��W ���$ L� & �� �F�*G% H�I"�%r = 1 .
4-1-7 ��� ��� �� ��
��� ��� ������� �� �� ��� �� � ��
���� . B.� ���� ����7 '%.� .� ��2% ��#"$% �X4� Y�.�% ZA.� �6 Y�.�% ZA.�4 1 4 3 Y�.�% '%.� 5 .
���[�� B��"+% H�I"�% �#�"\� ]^�D Z"7("� �J�A �/.0 ���$ - �#�"\� �45% �#*(JD ]�;�*��% H�I"�� Y(#�A & B��"+% H�I"�%
B� �/.7"�� �1� V($ �����%k�*1#+% _;�"*�% Q� ]�C`�/ Q K��7"�% �(�a�"F% H� .� K _;�"*�% b,G M�.A1, A2, .
. . Ak K �cL�#"$L4 p1, p2, p3, . . . pk . d%�$5% �� �E)_;�"*�% ( Ai�SD �(D�*"�:
= 1 p1+ p2 + p3 + . . . + pk
�/.7"�% b,& ���.O % ����� B� _;�"*�% n d�$ �1� �*��� �1(\D '%.+% Q� )�7("� ( '%.e� B� ��? �(;%< �=>"�
P �4. K '%=>"+% b,G M�.� X1, X2, . . . Xk V($ X1 + X2 + . . . + Xk = n.
!O.+% d�2% ��#"$% !\f :X1 = x1, X2 = x2, . . ., Xk = xk ��� �#O :
kx
k
xx
k
kk pppxxx
nxXxXxXP ...
!...!!
!),...,,( 21
21
21
2211 ====
��� ��� �� �� �����
E(X1) = np1, E(X2) = np2, . . . , E(Xk) = npk
V(X1) = np1q1, V(X2) = np2q2, . . . V(Xk) = npkqk
�g��.�% h��$i% 4 'L�#"$L% �� �W��– hMk% 1. 10
������� ��� ��� �� �� ����� ��� ������ ������� �� ��
���� B��"+% H�I"�% _;�"� Q� �J�.� _;�"����* ]B��"+% �;%M�% �F�*G% H�I"�% :
N�∞, Ni�∞, Ni/N �pi .
���� :B.� ���� �*(�� % � 42\$� ]�.� PA% Y�.�% H� !F�*"� '%.+% Q� B� Y�� �O .Cl� �� ��#"$% !) Y�.�%1 .eCl�
Y�.�% ]ZA.�2 .Cl� 4 Y�.�% ]'%.� 3 .Cl� 6%,1&4 '%.� .(
( ) 124
621 )6/1(...)6/1²(6/1!12...!6!4!2
!42)12...,4,2( ==== XXXP
����2 . P/ m4�* Q� ![\�5 Q� �#�.� '��.O 1 �� 5 m4�*��% �� �C�X.� n ��.O o%"�% �� '%.� HJF . �X4�
��#"$% :3� '% '��.O Y�1 Y�� '% Z"�.O ]2 Y�� '% Z"�.O4 4.
4-1-8 ������ �� 1
��� �� � ��� ���� �� �
'%.+% Q� �;�pL 4� %�X =JO B� ��.1� �(��./ �/.0 �*��� Q1"� . �=>"+% �(;�J�X H�I"�% HJ"A '�$�7*�% B� ��? @�%
%,& �>( ��#�"F�/ ��#"$L% K�\$ !��� �� Q1� ]�;�*��% �1A ���* H�I"�% n�=JO . a����#"$% 20 % � 6�9
q��On = 100& :802020
100 999.0001.0)20( ⋅⋅= CP.
�l2 - d�2% r�s ��#"$% �1�4 ]Q�M��/ �F��� �/.7"�% �%.1A '%.� B� tJ�� u�%.#"F�/ �/.7"�% �.1"A ���* ��
%�X %=> .���2% b,& - v�"� T� ] ���* n �� �4w� ∞ ] ��� �>( B�x� ���;�*��% H�I"�% �>( �B��A.
H`�λV(y q/�z p = λ/n :
( )
xnx
xnxx
nnnxxn
nqpCxp
−−
−⋅
⋅−
=⋅⋅=λλ
1!!
!)(
xnx
nnx
xnnnnxp
−−+−−−
= )1()(!
)1).....(2)(1()(
λλ
xn
nx
n
xn
n
n
n
n
n
n
xpx −
−
+−−−
= )1(!
)1(.....)2()1(
)(λ
λ
xnx
nx
n
x
nn−
−
−−−−
= )1(!
)1
1).....(2
1)(1
1(1 λλ
xnλ −
1 ������ ��� ������ ���(Siméon-Denis Poisson) (1840-1781) ��� ����� ��� ������ ���� ������ ������� � ������� 1837 ! "# $���% !
&�'� (�)� ! �*�+� (�, ! ��-./� (���.�(Recherche sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière
civile) � (�-��� ����� ���0�% 12�3 "�. � ��4�� ����� . 67 ��8� $9� 1�: ���� ����;� $� (��8��� (3 �3 <71830 . =.�> ������ �3 67 ?@�AB� @�C
D�E�F�E� =��G H�� ?IF-�� ���J/� ���K �� L�23 ��0M ���K ! 1N��� . O��P�@� Q Q �K3[1997] .
1R���IV .�M������ �4%/� ������.<� S�8�P���� 11
xnx
xnx
nnxnxxp
nnn
−− −−=−=⇒===⇒∞→ )1()1(!
)1(!
1)(0...
21 λλλλλ
T-�: λλ −
∞→ =
− en
n
n 1lim
( ) 1011lim =−=
− −−
∞→x
x
nn
λ
�V7
...,2,1,0!
)( ==−
xx
exp
x λλ
(���.� �� x "�. ������ W�P�G =�. ?�.� TMP ?�. ! X�Y λ > 0 . =�-X~P(λ)
����� : ...71828.21
1lim ==
+∞→ en
n
n
������ ��� �� ��
[ ]λ
αλ
αλλ1
3,1
,)1(exp)(,)()( 43 +==−=== tetMXVXE
/� ��>�Z� [;J T�\ ]������ ��;8' T��F��� ������� W^���� ?���M ]6 �^_8�� ��������λλe
nn
n
=∑∞
=0 ! :
( ) ( )∑∑∑∑∑∞
=
−−
∞
=
−∞
=
−∞
=
−∞
= −=
−====
1
1
1100 !1!1!!)()(
x
x
x
x
x
x
x
x
x xe
xe
x
ex
x
exxxfXE
λλ
λλλ λλλλ
W���n = x – 1 ��
λλλ
λ λλλ === −∞
=
− ∑ een
eXEx
n
0 !)(
( ) ( )
λλλλ
λλλλλ
λ
λλ
λλ
λλ
λ
λλ
λλλλ
=−+=
+=
+=
+=
+=−
=−
==
−=
∑∑ ∑
∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−−
∞
=
−∞
=
−−∞
=
−∞
=
−
²²)(
²)()(!!
!)1(
!1!1!²)²(
²)()(
00 0
01
1
10
2
XV
nPXEn
e
n
en
n
en
x
ex
x
ex
x
exXE
XEXV
nn n
nn
n
n
x
x
x
x
x
x
� ������ � �� � ���� � ��t�� ���� .
����� � �� � ��t�� ���� ����� ����� λ � λt���� :
( )...,3,2,1,0,
!)( ===
−
Xx
etxXP
tx
t
λλ
� � . ����� �� ��! "#$�% "&'% (�� )*%+, �-.� /0 �1% 2�� 34*%+5� �+6+76� �� � �.*! λ=5 3�4�+8�� 9 .
��;� �+<'�� =>�7?1�� 34�+@ 9 �+6+7� .
( )!7
)5(5.1)7()5(5.1
)7(5.17 −
===e
XPtλ
)A+#.�� B+1�C� � �D+<'�D� /0 �E��– B�G� 1. 12
���� ��� � ������ � �� � ���� � �� .
+- �H0 �X ���� �� ��! "#$�% "&'# λ �I� JY= aX ���� �� ��! "#$�% "&'# .EK� �, aλ.
� � .���� �� ��! "#$�% "&'% (�� )*%+, �-.� /0 �1% 2�� 34*%+5� �+6+76� �� � �.*! λ=5 �� J3�4�+@ 9
6%34�� �+6+7� ), �+6+76� LM, �� . �1% � �+<'�� =>�9� �+6+7� 34�+@ 9 34�.
!9
))5(05.0()9(
)5(05.09 −
==e
XP
������ ���� � ����� ������
�� ��! "#$�% N .# O�<� P��� �QE ��(Diagramme en bâtons) +�R�'� +�#$�% S��7� . T�U� �� ��! "#$�'�
)�4&R�� "#$�'�� �V W�+�%) 34�+<'�D� �+�#$�'U� W�+�'�� T�U>�� Y�� )�4&R�� "#$�'�� Y� .Z� ( 3<4\ O+#$ ��� 3<U�6�
λ ]�H 3Z�Q� �7^� J � O�#��'� N4\ � �� �� ��! "#$�'� 34�+4&�� _� .�� �� �� 3��+�� �QE �� λ � .�`Z# a4�
)�4&R�� "#$�'�� �� +b4c� +b4d �.'�# "#$�'�� +6 λ 3#+*7�� S4� +� e&- .]�H (&% 34�+'�� 34�+4&�� _� .�� .
���4 1!� ��� "#��#$ %!�#& '#(� ��(�)� � λλλλ
� ��� ������ ������ ������ ��� �����.
+����n�∞�� ��! "#$�'�� /0 )f+�8�� "#$�'�� ��g# h!+@ i �'6�� . "#$�'�� �� 3&#.\ jf+'� �� ��! "#$�% )R�# +4U<�
+6 )f+�8��:
�1*��IV .+���k' � .8-l� 34�+<'�D� �+�#$�'�� 13
30 ≥ n � 5 < np �* 5 < nq
O��+��� (4f+1�C� m�! _�k'>#� 34�+'�� 1 :
n ≥ 25 � p ≤ 0,1
� � : �=o> +4f��c� .c� �� �����0 ?�+'�� +` +'�0 3&>� 3�p P+'�10% . ��7# � �+<'�� =>� ������� (! ��
� 3!�o>6��+'*�+% �+%��.
P(X = 2) = C210 (0.1)² (0.9)
8 = 0.1937
q2 .�� ��! "#$�% �+<�' +! : 3<U�6� 3<4\ D� =>V λ )�� ��! ���+\ 3<U��:(
λ = µ = np = 10(0,1) = 1 P(2) = λ
x (e
–λ/x!) = 1
2 (e –
1 / 2 !) = 1/(2e) = 1,1839
4-1-8-1 ������ ���� ������ �������
O��'� �D+r 9 �<�'># _�4�� S�7� JO�+��� s���l� �48<'� i�� �<�'># 3U#�t O.'*� �� ��! "#$�% �u . � �+r 9 _�U��
3��4\��� +�4 ���4&�� 9� 3��c� O+�� ��� 38�&�6� �+b#�G� �� 3 ���� B+#�4*�� 9 Q8� �� ��! "#$�% _�k'># 3�4\���
(microbiologie) ��+v ��� 9 +#e'7&�� .@+7% 3&\�.6J. . .
9 �� ��! "#$�% _�k'># e4>'�� �+r 9 J+4f+1�0 O�G� 3&\�.�) �� �+<'�� �+>w J3�*�+'�� ������� �� (... +�<-
3�U�'� �f+>� 3 �� ��� x+E �7c! _�k'>#"�+Z'�D� .,��Z!" ���;� � �.'*# +� �e8- J�f+>6� �� z���� �M, )*� {
�� ��! "#$�% "&'# 3��|� �+7� /0 �f+!��� . ]�H 3U8� �� : .E��&�� �� J��$ O��� 9 �+R6� /0 �1% 2�� ��.f+R�� ��
2�� 2��� 3�4*%+5� �+6+76� �� J��$ O��� 9 }�#.! ='7� /0 ��U1# �#M�� �f+!��� �� J��$ O��� 9 B+�4� /0 �1%
J~*c'>� /0 �1% 2�� 34�+��' D� �D+w� �� J)*%+, �-.� /0 �1% ... �+Z'�D� ��*; 3#.Z� 9 .,��Z�� LM, ~<>%
"��;��� .,��Z! ."
� �1 . � 3 �� h�4!+4��# ('@+� ���� �� ��! "#$�% "&'# (�� �<�� 9 �<��� s��� �� .
(�� _�# 9 s+� } ��># D � �+<'�� � � ._�# 9 �\l� ~U� s+� �+<'�� � �:
P(X = 0) = λx (e
–λ/x!) = λ
0 (e
–λ/0!) => P(X = 0) = e
–λ = e
–2
P(X ≥ 1) = 1– P(0) = 1– [λ0 (e
–λ/0!)] => P(X ≥ 1) = 1 – e
–λ = 1 – e
–2
� �2 . 3�+>�� (! 3�4�� �#�! 3R� /0 �1% 2�� ���+4>�� �� � 3�!+ 34f+1�0 3 �� h�4!12:00 � 12:05 9 �,
i �'6�3 �� ��! "#$�% "&'# 3R�� /0 �1% 2�� ���+4>�� �� � 3 ����� h�4! +<- J���+4 . 1% � �+<'�� � � �4
(! ���+4 12:00� 12:05.
3�+>�� 9 ���+4>�� �� i �'� =2 X 3 = 6S��� :
= 1296 (e–6/24) = 54 (e
–6) P(X = 4) = 6
4 (e
–6/4!)
1 ]4!$�� .Z�1997 x J262 .
)A+#.�� B+1�C� � �D+<'�D� /0 �E��– B�G� 1. 14
)!(!
!
xnx
nC x
n −=
4-1-9 ����
Oe`c�� 3�R�'6� �+�#$�'�� ��� q+���� N, �kU# �oU6� ���G� .
���+ 1� �� ,-( ��-��� .�/�� ��01�)� 2 �!�#�3
%!�#�3� 4�-��! 5 �67��(3 ��8�)� ��13� � ���9� �! :�3�� %;#�3�
�<�=3� >���?�
X~H(N, b, p)
z+ �0 ���! =o .
(*�; �� �+#.-.
X = {0, 1, 2, …, b}
b ≤ b + r = N
n
N
xn
r
x
b
C
CCxXP
−⋅== )(
n �� 3!�o>6� �+#.7��
N �� ��� )U7�� �+#.7U
b B+�4&�� �+#.7�� ��
r B�.<w� �+#.7�� z
µ = np
−−
=1
²N
nNnpqσ
p = b/N � q = r/N
������� ����
�� ���
� ������ ���
��� ������ �� ���
��� �� ���� ����
�� �!�� ��.
Xi = {0, 1, 2,…,Ni}
Σxi = n, ΣNi = N
P(X1=x1, X2=x2, …Xk=xk) =
n
N
xk
Nk
x
N
x
N
x
N
C
CCCC ⋅⋅⋅=
3
3
2
2
1
1
E[Xi] = n (Ni/N)
= npi
#������$
X~B(1, p)
% �&�� '$�() *�+
%,�!� (�./0. 1234. X = {0, 1}
P(X = 1) = p,
P(X = 0) = 1 – p = q µ = p, σ² = pq
�������
X~B(n, p)
5'/0.��� '0���6 7,�(
'83.9�� %,�!�) p
:$�6.(
X = {0, 1, 2, …, n}
P(X = x) = Cxn p
x qn–x
µ= np, σ² = npq
�����) ������
������(
X: 7,��/.�� � <
=8< >�?@8� '�AB��
� <r ��&�/��� ��
'0���$ 7,�( C.
X = {r, r +1, r +2,
…, +∞} P(X = x) = Cr–1
x–1 pr q
x–r µ = r/p ,
σ² = rq/p²
����
X: 7,��/.�� � <
=8< >�?@8� '�AB��
C >�D� E����/���
%,�!� '0���$ 7,�(.
X = {1, 2, …, +∞} P(X = x) = qx–1
p
µ = 1/p,
σ² = q/p²
�� ��� �������
�� A�.8� F0�GH4 �I
'�$�( =�8< �������
J��.��� %� H.� %,�!� . ∑∑
=
=
≤≤∀
=
=
NNi
nxi
Nixii
k
i
k
i
1
1 ,
,0,
==== ),...,,( 2211 kk xXxXxXP
kx
k
xx
k
pppxxx
n...
!...!!
!21
21
21
E(Xk) = npk
V(Xk) = npkqk
�����
X~P(λ) λ > 0
X : ���� � ��<
%���.K C L� ��&D�
��A 5 �� &��� � <
'�@�� C '��.�� ��
5M�N...
X ={0, 1, 2, …
+∞}
!)(
x
exXP
x λλ −
== P(X = 0) = e
–λ
P(X ≥ 1) = 1 – e–λ
E(x) = V(x) = λ
1?��IV .��� O.�� ���D� '0��G.&P� ��H A�.�� 15
4-2 ������� ���� ��������� ���� �������
������� ����� D. Normale ou D. de Laplace-Gausse
������� �� Distribution exponentielle
����� ���� Distribution gamma
����� ���� Distribution bêta
4-2-1 ��� �� �� �� ������ �� ������� 1
H �I��Q�� �� %*2� '29 =8< R2S�4 T��?U �� V� �W X� O.�P� 'H��� '0��G.&P� ��H A�.�� FI� �� �H02S�� � A�.��
' ��?.YP�� '0<�G.�P�� '0H02S�� . ,�� C � ,�W� �� ��� �� 'Z� 'K ?��$ ��.U� �8K %*2� '29 � ��� F���[� ��9Y� �� \
'��3�� ,�?Y �� �� '$,�3� '29� '��3�� >��[ �� '808Y '29� 5�� ]��.� �� '2 �Y �^�� .M�A�_� '29���$ �`I 1��� . ��8�� ���
�a 5>�G.&P� V0G9 M� �!b �� �� 5'29��� 1�b c`�� d@�W� M�!� ��/.� ��H.� F8H� C ���02�� e`I ���� 1!�
�H02S�� � A�.�� ��� �I� ]��.W� >�& 16�G.� )F���� �Q�(:
4-2-1-1 ������� ��
��� ��� ���� ������� ���� ������ �� � ���� :
∞<<−∞
−−
=
x
x
exf
2
2/1
2
1)(
σµ
πσ
������ �� �)������ �� � (���� ������������� �� � "# $%&�# '���(�
1 �%� )����� *+�,�(-%.� )���.� / )�0��1.� )�2� 34,5 (Pière Simon de Laplace 1749-1827) 3�6 7��8 / (Carl Freidrich
Gauss 1777-1855))�-�9� :; <=�� "# >0 /? "# �-�� "�:� . )�+A, �B� ���� ������ ��(� C��D? "# �#?(Pearson) E 1893 .%F-? G,�/ H�
(1997) I J 329 .
���4� 2��� �� �� ����� ��
f(x)
x µ
�2��%� K�LMN / O5���M5 PQ >R #– K1T 1. 16
+=
2
²²exp)(
µµ
tttM x
∫ ∞−
−−
=≤=x
v
dvexXPxF
2
2/1
2
1)()( σ
µ
πσ
UMµ/ σ V ��� W�D �X YH��� Z %[5 / �6��� . ���-/ X ~ N(µ, σ)
4-2-1-2 ������� ������� �������
��H��� $A\�� ] ^�(�Z = (X – µ)/σO5���M4� �0�LMN _/ T "����� :
P(0 ≤ Z ≤ z) /?F(z) = P(Z ≤ z)J
�� � �,���, `�(� UMf/ Fa ��5 , M / _�BZ "# 5 , 3a >;�x/ µ/ σ ��� ��� G�b/:
∞<<∞−= − zzf ez 2/²
2
1)(
π
∫ ∞−−
=≤=z u
duezZPzF 2
²
2
1)()(
π c�A\�� c, ��d �64�� PQ %F���, X/ Z J )e�Z ����� f.- ��� X���� ������ Y? .-/)? *��:
E(Z) = 0, V(Z) = 1
���� :Z ~ N(0, 1) _�9-/ :ZYH��� ���� ������ ��� .
4-2-1-3 ������� ����� ����
]/1��� $� ��� �� � $A\�� ���� ������ :
5 ��# g��� h-? ���� ������ i0�LR "#J`��.�� >#��# g��� UM J����.# 5/ �, # 5 1 = 3)4(α �������
O����� _ �D5 H��# ���� .
h-? �k�? ���� ������ i0�LR "# ��6��� ��9� _�M >l���#03
33 ==
σµ
α
���# >l�mX n+��� _�M)-?� %FC�-�? *+% ( ���� >l�m o��Z _�M 0 $A\���� ��6 Y? >p? "# h-? o�� �q J
��H��� z > 0:
1 `��.�� >#��# �\r �(M α4 = µ4 / σ
4 �\L� ] ^�(� "� �(���, �#? Jα4 = (µ4 / σ4) - 3 Y/�(� ���� ������� `��.�� >#���� J0 .
>L.� IV .�# ^�+ %��8 �����M5 O������� 17
P(0 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 0) = P(-z ≤ Z ≤ z) / 2
P(-∞ ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ ∞) = P(-z ≤ Z ≤ z)/2
P(Z ≤ -z) = 1– P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z) ��H��� $A\�� ] ^�+ Z O5���M5 s�(t `u )O�M�(� (�r�R �B�#/ ���� vw :
P(-σ ≤ X ≤ σ) = P(-σ ≤ Z ≤ σ) = 0.6837,
P(-2σ ≤ X ≤ 2σ) = P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544,
P(-3σ ≤ X ≤ 3σ) = P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.
:;�p %� "# A��� E �; x y� �0�LMN _/ T E $%���# �;Az/ *9� C.
���� vw $A� �M�(# )? {M5 J�2��%� �6��� s%9, O �%.� 1�%� �k�? ���� ������ i0�LR "#) *+%� %F-?
C�-� ( _�| E $H�L}(-3 σ ≤ X ≤ 3 σ)� O �%.� �(- )? o�� �# J p ��~2 _�| :; "D �%� y:
P(X ≤ -3σ) = P(X ≥ 3σ) = (1 – 0.9973) / 2 = 0.0027.
P(X ≤ -4σ) = P(X ≥ 4σ) ≅ 0 , P(X ≤ 4σ) = P(X ≥ -4σ) ≅ 1
-z 0 z Z
P(-z ≤ Z ≤ 0) P(0 ≤ Z ≤ z)
P(-z ≤ Z ≤ z)
P(-∞ ≤ Z ≤ z) P(-z ≤ Z ≤ ∞)
P(Z ≥ z) P(Z ≤ -z)
�4�3 � ���� � ���� � � ���� ������
�2��%� K�LMN / O5���M5 PQ >R #– K1T 1. 18
µ - 4σ µ - 3σ µ - 2σ µ -1σ µ µ +1σ µ + 2σ µ + 3σ µ + 4σ
2σ = 68.26%
4σ = 95.44%
6σ = 99.73%
���� : �0�LM5 _/ T _����+�,1 ( �(M? :P(0 ≤ Z ≤ z) UM z =1, 2, 3
2( �(M? P(-z ≤ Z ≤ z) _ *9� f.- >p? "# z.
1 (0.3413 J 0.47725 J 0.49865
2 (0.6827 J0.9545 J0.9973
4-2-1-4 ������� ������ ������� ����� ��� ������
���M En / $A� p "# ��%6 Az 0���� ������� p ��%9�� �0���� ������ H��D "�� . %��? '0��- )������� ����/
v-�� ���� �,H�9�n%��? $A� .���-/:
npq
npxzdzebzaP
b
a
z
n
−==≤≤ ∫ −
∞→ ,2
1)(lim 2/²
π )�� ���� ������ "# �0���� ������ sH�9� �%(�/p "# ��%6 0.5.
� !"�#� $�%�& :
� �# �D ��04# �0���� ������ PQ ��%9�� g��- �#��Dnp / nq # g�? �X4� "0.5.
0�LM5 ��, ] ^�(� �����, "# >B+? �Bk�, �%R? D �6 )�1 �B�# :
npq9 n 20, np 10, nq 10
1 G,�/ H� %F-?1997 . I262 .
�4�4 '(�)� �����*� +, - ./�#� 01��
23(45#�
>L.� IV .�# ^�+ %��8 �����M5 O������� 19
4-2-1-5 ������ ���� ������� ����� ��� ������
�# �D λ→ ∞ ���-/ �9,���# '0��- )���� )�+ �,/ ���� c������ )e�:
∫−
∞→=
≤
−≤
b
a
z
dzebx
aP 2
²
2
1lim
πλ
λλ
��%9�� $ D�6:
��%9�� )? g��- �#��D� ������ PQ )�+ �, ������ "# ��� *04# �� λ ≥ 15
c0�LMN "# � D ���� ���1 ��%9��� �%=� λ ≥ 10
�4�� O������� '0��- sH�9�� )? "��/��# :$H��:� �/%=� �(M ���� / )�+ �, J�0���� .
4-2-2 ���� �����
����� ��� � ��� ����� � ���� ������� ������ �� ��� .��" ��� #�$ �� ��� %�&'�( �)�*� ��� %��+�� ,�-. �
��� %��/ 0 1' ��� %�2. �3"�� 4�3&'���5� 6 7�18� �-9 :��� ;�<�=�... ������ �9��� �� ��� � ���� �������
��>)� ?�;@�� ��A ��� �BC��(atomes radioactives) �DE 6-� F�� �<2 �� � G���� +�� HA %#*&�' :I �-9
� J�� �C�K� L1=. ��)� :ME %������� �@( �-�� �� N��AI O�9P :�Q �$ME %:����� �������� �3.�-� �9R ���� ����� �
:ME :����� ������� �-�� �� ���" �Q3� ST ������� 7�JP :�Q �$T %#�$ 6 7�BCQ U���� ������� �-�' VW�A O�9P V�
:��� 7�JP V� �X���� ��)�"I "���� ������� �-�' Z��)� :�����P .���� :�=��� �[J \��X��� �X �9R��� ]@( V-�' .
4-2-2-1 ������� �� ������ �������� ������ ������ ��� �� ���� .
7��^ :����� ����' �-�' V�� �C�� � �C��� N���A �� :I ���;� _X�λ ���� N��A .
�A �`�� :I 7�C�A� �aPI �9�� 6 N�)3BQI PI N��A ( � ���t ���.
P(X ≥ 1) = 1 – e–λt P(X ≥ 1) =1– P(0) =1– [λ
0t . e
–λt/0!] =>
d ��3X�T ��� � )����� (VW��A V� �X��� :�*� :$T f(t) P %VW��A V� ��� � �E�B*�� ����F(t) = P(T ≤ t) ����
7 �������T .
e�2X�� 7�C�AP :I VW��A V� ����� :�*� ����9I PI:
�X���P = P(T ≤ t = 1) :$T :
)1 ............ (P = F(t = 1)
��� g3"I �A�= ��I :PV�� ��� � N��A �9�� 6 �`�� :I 7�C�Ah 7���� �( :
)2( .......... P = P(X ≥ 1) = 1 – e–λt
��)1 (P)2 ( :I i�X��=) 3............ ( tλ–
e – 1 = )t(F
jX� P f(t) = F(t)’ = (1 – e –λt)’
���λ e –λt f(t) =
1 j�&= �a3)� .
�k��3�� l�1Am� P ?h�C�Ah� ST �"��– l�o� 1. 20
�� �9 :P ����� � ;3*�� �� ����> N�A :�Q �$T:����� ����' pE:
( )!
)(
xxp e
x λτ
τλτ
−
=
����� :METZ���� ������� �-�� VW��A V� :
≤
>=
−
0,0
0,)(
τ
τλτ
λτef
HAλea�� �A �� .
������� �@( 6C��::����� ������ j�9R�� e����� ���� ������� �q�I 6C��P ���� ������� .
4-2-2-2 ���� ������ �����
ttMMed x −=<===λλ
µµλσλµ )(,)2ln(,²/1²,/1
(+=� �k��3�� �9���� 6 � � �CQ ���� ����� � ���-��� P :
[ ] ( )[ ] .1
)(1
00)(
.)(,.)(
.)(0)()(
00
00
0
00
0
λλλ
λλ
λ
λλλ
λλλ
λ
=⇒−
−=
−+=−−−=−=
−=⇒==⇒==
+==
∫∫
∫∫
∫∫
∞+∞−
−∞−∞+∞
−−∞+∞+ −
+∞ −+∞
∞−
XEe
dxeexvduuvXE
evdxedvdxduxuudvdxex
dxexdxxxfXE
xxx
xxx
x
[ ] ( )[ ]
.²
11
²
2)²(²)()(
.²
2)(220)2(²²)(
.)(,2².)²(
)²(0)(²²)(
)²(²)()(
2
000
00
00
0
λλλ
λλ
λλ
λ
λλλ
λλλ
λ
=
−=−=
==+=−−−=−=
−=⇒==⇒==
+==
−=
∫∫∫
∫∫
∫∫
∞+ −∞+ −∞−∞+∞
−−∞+∞+ −
∞+ −∞+
∞−
XEXEXV
XEdxxedxxeexvduuvXE
evdxedvxdxduxuudvdxex
dxexdxxfxXE
XEXEXV
xxx
xxx
x
��� 4�5 ���� �� �� �����
��� ������ ����� ������� ��� !��
��"#��� ��$�� %&'( ) *+ ,����� -..
�����IV .���� � ����� ��������� ��������� 21
��� ��� � �� ������� ��������� ����� �� !"#$ ��� :
≤
>−=
==≤
−=+−=
−=+==>
−
∞−
−−−
−
∞−∞−
∫
∫∫∫
0,0
0,1)(
00)(:0
110)()(:00
0
0
x
xexF
duxFx
eee
dueduduufxFx
x
x
xx
xu
xu
x
λ
λλλ
λ
λλλ
4-2-3 ���� ����
&'() �$)�* +���, -���� ��. ��������� ! �� �) � ��/ 01�2 ���3) ��( �����, 45� &6�� ������, ���, ��
-����7� 8�( . ���������3 ��9�(1�� �:�; -������� !�<" ='$F >t?) >2 . �� �"��@�� A�3 ������ ��( ����, B��5�
�C�� D)�E FG '�H6��) �H�� ����,1 .
4-2-3-1 ������� ��
�J��� ���6 F$�� �.K ��( ����, �L�, �M; ��N��O &PQ� ! R�S$��� ��� �9:
≤
>=
−−
0,0
0,)(
/1
x
xecxxf
x βα
T��
( )0,0,)(,
10
1 >>=ΓΓ
= ∫∞ −− βαα
αβα
αdxexc x
�U�� �
0,0,
0,0
0,)()(
/1
>>
≤
>Γ=
−−
βααβ α
βα
x
xex
xf
x
4�V$) Γ(α, β) X ~
1 �@$; : >0)�HW ) 0������W1983> X 158.
�Y����� Z���[� ) �������� \K �H– Z+^� 1. 22
4-2-3-2 ��� ����� �����
µ = α β , σ² = α β², M(t) = (1 – βt) –α
�_; !α >1:
Γ(α) = (α – 1)Γ(α – 1) ���� ` )α ∈ N :
Γ(α) = (α – 1)! , Γ(1/2) = √π !�; ��( ����, ! �a�H ���� �" PH�� �<9J >� �� �������3 �(1 ��( ������α = 1? ����, 0; ��� > 2 �b��� �"
�7 ��( ����, ! �a�Hα = ν/2 !�;ν) ��c 4_� ���Ld 6 β = 2.
,� ..��� � 45�; :
( ) ( ) ( ).5.2,5.4,7,,,0 2/10
6
0
4 ΓΓΓ∫∫∫∞
−∞ −∞ −
dxx
edxexdtet
xxt
( ) ==Γ===Γ= ∫∫∞ −∞ − ,720!67,24!4)5(0
6
0
4 dxexdtet xt( ) π=Γ== ∫∫∞ −−∞ −
2/1,7200
2/1
0 2/1dxexdx
x
e xx
( ) ( ) ( ) ( )( ) 5.1)5.0(5.1)5.2(,720!67
5.2)5.2(5.35.35.315.35.4
=Γ=Γ==Γ
Γ=Γ=+Γ=Γ ) ( )π
π)5.0)(5.1)(5.2(5.35.0)5.0)(5.1)(5.2(5.35.2 =Γ=
( ) π5.1)5.0(5.1)5.2(,720!67 =Γ=Γ==Γ ����2 .�� �� �������� �������� �������� ����X� Y� Z �� ��! "#��� :
( )
≤
>=
≤
>Γ=
−−
,
0,0
0,)6(4)(,
0,0
0,52)( 4
4/3
5
2/4
f
y
yey
yf
x
xex
xf
yx
≤
>=
−
0,0
0,6)(,
0
02
z
zez
zf
z
,20²)2(5²²,10)2(5 ====== xx αβσαβµ
��� 4�6���� �� � ������� ����
f(x)
0 x
%&'��IV .���()��� #�!*� ������+� ����,���� 23
3²,3)1(3,64²)4(4²,16)4(4,20 ======= zzyy σµσµ
4-2-4 ���� �����
������� �� �� � �� ��� ������ ���� ����� �����)���� ��� ( ����� "�#$ %&'�#� (�)t² *F +,�-.�� *+,�-.�� ������� *
�/�0� 1��#��1 3����� 4�� 5��6�7� 8�� 9�.��� %&'�#�� * :�0� 1;< *5��� 7� � =����� > #-? �� > #� 9.� * .
4-2-4-1 ������� ��
+�� ��? �A�B�.? >��C D��? �E< ���� ����� � �� �F >�,��GH ��6�� IH J��:
( )( ) )0,(
0
10,
1
)(
11
>
<<
−=
−−
βαβαβ
βα
ailleurs
xxx
xf
(�)B(α, β)���� >��&�� +/ : 0,,)1(),(1
0
11 >−= ∫ −− βαβα βαduuuB
1��� � B(α, β) X ~
���4� 7 � �� �� �������� ����� �� ��� � α �β . ��� !" #$ �% &�� '(�&��" )*+x = 0.5
4-2-4-2 �� ����� ���������� �����
( ) ( )1²²,
+++=
+=
βαβααβ
σβα
αα
��� ���� ,��"-�" , ��.��":
1 L��#�� �M�7� .
0 0,5 1 X
f(x)
1
α = 2, β = 4
α = 4, β = 2
α = 1/2, β = 1/2
+N����� O�P)Q� � 5R���)R� S< 9T&�– O�V� 1. 24
)(
)()(),(
βαβα
βα+ΓΓΓ
=B
J�.� .+�� �� 1#) :
)()1,(),,1(),2,(),2/1,2/1(),4,3( NnnBnBnBBB ∈
( )( )BB ,
)2/1()2/1()2/1,2/1(,
60
1
120
2
)!17(
)!14()!13()4,3( =
+===
−
−−= π
ππ
nn
nnB ,
)!1(
1
)!12(
!1)!1()2,(
+=
+−
=
nn
nnB
nnn
n
n
nnB
1
!
1)!1()1,(,
1
)!1(
)!1(
!
)!1(1),1( =
−==
−−
=−
=
J�.�2 .+�� �� 1#) : ∫∫ −−1
0
1
0
34 )1(,)1( dxxxdxxx,)2,3(B
12/1)]4(3/[1)]1(/[1)2,3( ==+= nnB
( ),
280
1
!8
!3!4
)45(
)4(5)4,5()1(
1
0
34 ==+ΓΓΓ
==−∫ Bdxxx
6/1!3
!1!1)2,2()1(
1
0===−∫ Bdxxx
>WX��� J��������)(
)()(),(
βαβα
βα+ΓΓΓ
=B
&Y 1��� ���� ������� >B�.��� >��C Z �[�:
( ) ( )
<<−ΓΓ+Γ
=−−
ailleurs
xxxxf
,0
10,1)()()(
11 βα
βαβα
��&-H ���W ����� I� >\�T >��) �/ +�]� �������α = 1 , β = 1/λ .
^ �������2 ��&-H ���W ����� I� >\�T >��) �/ α = υ/2 , β = 2 (�) υ���_ 1M�� +�� ` C&H .
J�.�3 .��� � �� =����� a���Q� > #� D��? �E< *I�� ���� =����� a���b� >�W��7� > #-�� 1#) c���� ����:
<<−
=sinon,0
10,)1(6)(
5xx
xf
�-�&� L��#�� J�.7� I� :).6,1(/16/1),1( BnnB =⇒=
�N��α � β Z����#� 1� 6 Z &Y *c����� d�H B(1, 6) X ~
�-�� :( ).20/1
)5(16
4
)1²(²,2/1 ==
+++==
+=
βαβααβ
σβα
αµ
J�.�4 .c���� ������� � �� >#�e� f g� 7� a���Q� > #� .>�W��7� > #-�� 1#) � Z J���)�� &�� > #-��IH35% .
%605/323
3)2,3(~)2,3(/1124*312
sinon,0
10),1²(12)(
==+
=+
=⇒⇒=⇒=
<<−
=
BXB
xxxxf
βαα
µ
.)1²(12)35.0(1
35,0−=> ∫ dxxxXP
9Ph��IV .���&'��� �.?]� >�����)R� 5�������� 25
I���
1²: −== xuetdxxvsoit
3125.0²3
)1(12)35.0(11
35,0
1
35,0
3
=
+
−=>⇒ ∫ dxx
xxXPx
4-2-5 ����
����� �������� � ����� ������� ��������� ��������� � �!" ��#�.
���� 2������ � ��� ������ �������� �� ����
������ � � !�� ���" #���$��� �%��� ������ �&�'(
)�*$+�� ������
,-�*���
X~N(0, 1)
Med = Mod = µ = 0, σ² = 1
P(Z ≤ -z) = P(Z ≥ z) P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6826, P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544, P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.
)�� ������
≤
>=
−
0,0
0,)(
x
xexf
xλλ µ = 1/λ, σ² = 1/ λ²
F(x) = 1– e–λx
Med < µ, P(X ≤ µ) = 0.63
����.���%
X~ Γ(α,β) 0,0
0,)()(
/1
≤
>Γ=
−−
αβ α
βα
x
xex
xf
x
α > 0, β > 0
µ = α β, σ² = α β²
0,)(0
1 >=Γ ∫∞ −− αα α dtet t
�*/ ����.
B(α, β) X ~
><<
−=
−−
;<=>?
xB
xx
xf
,0
0,,10,),(
)1(
)(
11
βαβα
βα
µ( ) ( )1²
²,+++
=+
=βαβα
αβσ
βαα
α
duuuB ∫ −− −=1
0
11 )1(),( βαβα
)(
)()(),(
βαβα
βα+ΓΓΓ
=B
α > 0, β > 0 B(1, n) = B(n, 1) = 1/n
(n>0, n∈ )
∞<<∞−= − zzf ez 2/²
2
1)(
π
%&����� '�!�(� � �������� )* +"�– '-� 1. 26
4-2-6 ����
���� ���� � � �� ����� ���� �������
�� ��.�/ ���� �� +����� % �� 0������ 1���� ���2 �2�3�) 56�7�8� �� 5��" �� (... :�� �;* �<= ��� >?�@
1/λ 1A�3�#� 0BC �� (vieillissement) :D ED 6���� � ������ �� �7F �? ��.�7�� ����T ��t∆ =3G 0H�I
�t∆ � �7J#�� 0H�I �T K �LD M�N�I �+HO P� ��.�7�� �Q���A R�� ���? �@S .
������ ����� : � ��������� �G��U�� ���A V��W� � +XD P�T ������ ���F� P� Y#ZW8 �[ �ZHI��� ���\]�� � . PU��P(t)
�7J#�� ���^ )* _�W�� �D ��Z3�� ���� ������t ��`� a bcO�I 12 ������ �. �� 5(t, t1) d�� t1 = t + ∆t . �'�W?
�G����� �2�3�� e#2 :P(B/A) = P(AB)/P(A)f :
P(t1/t) = P(t1)/P(t)
g -��W� h�"D �QX P�Q(t, t1) 56��i�� ��`� �j" +Z2 k�O� ������
Q(t, t1) = 1 – P(t, t1) = 1 – P(t1)/P(t) = [P(t) – P(t1)]/P(t) = [P(t) – P(t + ∆t)]/P(t) = [P(t) – P(t + ∆t)]∆t/P(t)∆t
:D l#�8 : P'(t) = lim∆t�0 [P(t + ∆t) – P(t)]/∆t
bW�� Q(t, t1) = [-P'(t)/P(t)] ∆t + ο(∆t)
0&�? � -P'(t)/P(t) = λ(t) ���� a f ∆t�0
Q(t, t1) ≈ λ(t) ∆t
λ(t) ���c�� �j" mO��I n ��ZO :D ������ �. (0, t) op� ��Z2�� ��� b�#2 Y#Z� � �#H3�� �7J#�� a mO��I (taux
de défaillance instantané).q�U8� :
λ(t)dt = P(TBF < t + dt | TBF > t)
P�DTBF �7J#�� iW� +Z2 :�A ��Z3�� +�2 �� +�r (t = 0) g �6�!�"� �< -��W � 5T.
0 t ∆t t1
+!c��IV .����� � ����� ��������� ��������� 27
�7J#�� +HO +Z2 k�O� 12 ������t� -��� g bv(t) ��Z3#� ������� ���A �D ���F� ���A +�s � ) -���� 1���� �8���D�
R(t) .(
������ ���� ���� ��� . P�-�� P2 �jZ���� �j3� � ���G a ED ��Z2�� ��� 6��3� � ���� a t :�U� λ(t) = λ
��?�@ . �7F ���^ )* ��Z3�� ���� ������tD k�O� 12 ������ bI�; �. ���&�c�� +/ a� 5���c�� ti. �j" +Z2 E
��Z2�� A2 :�U� P�-�� P2 �<j3� �� ��Z2�� ��� ��H@ P2 �3?����) g b� -��W�X ( ���c�� at :� ��? 0���I 0H��
g
P(X = 0) = (λt)0 e-λt /0! = e
-λt = v(t)
"�#4$ 8 ������ ���� ���� ��� % �&���'� ���(v(t) = P(T > t) = e-λt
λ ��Z2�� ��� �D P�� ��� a ��Z2�� A2 = ��� (taux de défaillance).
� ��������� ����� V��W� � PUs ����-�� uc8 P�T a 03I R�� ��Z2�� A2 +�r ��X vw�� 0&�? ��Z3�� ���� ��
P�-�� ���(0, t):
= P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – e-λt F(t) = P(T ≤ t)
�vw��#� �G��U�� ���A e#2 +!x 0������ ���A y�3�\�?T :
f(t) = F'(t) = λ e-λt (t > 0)
% �� 0������ ���A %.� .
• %. ��Z3�� ���F ��O���� ���
λ
λλ
λ
λ
/1)(
/1)()(
00
00
∫∫
∫∫∞ −∞
∞ −∞
===
====
dtedttv
dtetdtttftEMTTF
t
t
��Z2�� ��� g�#3� �. � .
• �vwz ��W�� ���G a +Z��� ������dt��Z3� ������ �. �? +Z��I n λdt.
)* +� ,��(temps de éparation) . ��#� ��������� �G��U�� ���A V��W� � +�#J��� a �{�; �3��Z�� 1���8 :D PUs
�#Z�� ��ZO |jz* ��#�2 �QO�w��I R��TR 6��3�} � ���� a |jz(� ���A )* +!W� �3?���� ���Z~� uc8 0H�8 d�� 5
|jz(� ���:
f(t) = µ e-µt (t > 0)
%&����� '�!�(� � �������� )* +"�– '-� 1. 28
d��µP�� ��� a ���jz(� A2 = ��� ED |jz(� ��� .
• |jz(� �� = ���MTTR = 1/µ
• ��-.�� ���� )* +Z��� ���� P� ��3�8�� ������)��#!I ( �� adt E���� µdt.
g ����Q� ���F �8-�6 �;* 1 g +Z��� ���F � 03�8�� ������� :�UI +� ��� ��:
:�U� 6��3� �� ���� a� 5��G��6�� �#�# +�s l ��� :P'0(t) = P'1(t) = 0 � λP0(t) = µP1(t)
d��P0(t) � ��-.�� ���� ������ P1(t)+Z��� ���� ������ .
6��3� �� ��\ +& a :�UI :D ������ ED ��-.�� �\]� �. �"� lQ� �\]� e#2 +!J�8 ���6�� ���78 1��� �? �
�� �7F a �F�z ��Z3��A(t) = A �� t���L � �� )* ��]I :
MTTRMTTF
MTTRA
+=
+=
µλµ
�.6�3� ��-.�X :�G ����� +�H e#299% +��I ��ZO �D 1�7W� 24/24 ��I 1���� a �2� 72� �Q��� a +Z�I ��
��W�?15 P2 +3I � ��-.�X q#Z�� 1�7W�� uwW� �Q��� a +Z�I �3�OA %99.965 .
j�� ������� ���78 a % �� 0������ 1���8(théorie de la fiabilité) >8�� �;* ���� �Q#Z�I +HO ��� +�2 �� +�����
������� ucW? +Z�#� ����I ���� �s3�� ��p�. �#���� %. ��p� ��2 P� �W��� �#��� a �A�2 ����� �i. Y3J��
1A�3��� ���G � yjZ8�� ���G �? �Z ���� . _�W�� +�w��� )��� ���c�� a(période de rodage) +Z���� ������ :�U�
��Z3�� �D ��p� 0�W!I ��#�2 a �W��� � �38 qH�? �vH�) +#" 5������ �A��� a +#" 5q������ a(... �Z~� �i. PU� 5
�2��? �'�B��)MJW�� �78D ( %��HZ�� �jw� �� ���G e2I� ��8���� �#���� �S��(période d'exploitation normale)
��3��� ��Z2�� ��� :�U� d��(t) = λ)λ( . �#3���� ��H�8 �6A�8 ��Z2�� :�UI d�� 6��3� �� P� ���c�� ti. �?
��2 P2 ��p� )P�-�� P2 � P�� ( 1A�3��� �#��� �SI(période de vieillissement) ���-�� ��Z2�� ��� :�U� d��
=��� ���B� �Q&��I qH�?� 1��� �� qH�? ��p� �j�.� ��Z2�� ti. qH :�U� �)5�?��6 5�6��� .(... 0������
�� 0���I �. ��� �j��� +����� m!� Ei�� ������� +H(Weibull)%#� ��� ����� :
)()(1)(,1)(
,)/11²()/21(
²,)/11(
0,0
0,1)(
/2/1
tvatetTPatetFbabtt
a
bbMTTF
a
b
t
tatebabttf
bb
bb
b
=−=>⇒−−=−=
+Γ−+Γ==
+Γ=
≤
>−=
−
λ
σµ
+!c��IV .����� � ����� ��������� ��������� 29
bH��� l�� _�W�� :� )��� �#���� qZ�I �v�� ���� a� 5����� ���c�� �L� �z�" ���D ��; eZ ��� �#���� ���I
D � �3W�� �D '�Z"�� ��J!�� ����W�� :D ��� K0�H�� ��#�2 +HO ED ���W�� �� ]�� +HO P� �c����� ����W�� �i� �
��X���WU��� 6�ZI �H���� _�W�� ��H� � l�� :D +HO 1A�3��� ���G )* +!I �� �6A�8 ��8���U�(� .
P�D +H�� 0���I P� �z�" ���� �. % �� 0������b = 18���� �#���� a �i. Y3J�� � 5��?�@ ��Z2�� ��� :�U� P�D ��
g -�r )��� �#����b < 1 g -�r �v"�� �#���� � b >1 0O���� 5 µ ��� ��Z2�� �#U�� ���� a t6�H�2� PUs
�Z ����)��O���� (����� +Z��� +HO(Mean Time To First Failure) 5 λ(t) = ��� )��� ( ��� a ��Z2�� A2
� P�-��v(t) ��O�@��� ���A )������� �B�D e��I ( (fonction de la fiabilité) +���� 6���� � ������ %.� ) A�X� 12
��Z2D ( �? �� )*t.
���G��� ��� mz�� ��G��^�s�� a �B�D 1���� :D PUs +H�� 0���I(mortalité) )* �G�&(�? 5�c#���� 6��2�� a
mz�� ���� b���� � A2 �? P� �vw�� �wz� ������ :�8�3� �D 5�j�.j� �F� :�� ����3�n ��vw��� P�
�� 0������ �#@���� �#3����n� ∞.
"�#4$9 .���� ���� �*� � �&���'� -�.�
λ(t) ��O�@���
+Z���� ���
0 t
I II III