Tiểu luận môn học :

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ VÀ MÃ HÓA BĂNG CON

Đề tài: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BĂNG TẦN

Giảng viên hướng dẫn : TS. Ngô Văn Sỹ, Khoa ĐTVT, ĐHBK Đà Nẵng

Email : singo2016@gmail.com

Học viên : Võ Hoàng Nam

Lý Thị Thanh Đào

Lớp : K25-KTĐT

Email: namvh@vms.com.vn

daoltt@vms.com.vn

MUC LUC

CHƯƠNG I: GIƠI THIÊU CHU ĐÊ NGHIÊN CƯU

1.1 Tổng quan về các phép biến đổi

Chuyển đổi những thiết kế bộ lọc FIR hay IIR hiện tại thành hình thức bộ lọc IIR chuyển đổi sử dụng phép biến đổi băng tần allpass. Mặc dù các kết quả có thể là đắt hơn đáng kể so với bộ lọc ban đầu nhưng việc dễ dàng sử dụng trong các ứng dụng cố định hoặc thay đổi là một lợi thế lớn.

Ý tưởng chung của phép biến đổi tần số là tạo ra một bộ lọc khác từ một bộ lọc ban đầu (bộ lọc gốc) mà vẫn giữ được một số đặc điểm của nó trong miền tần số.Chức năng chuyển đổi đạt được điều này bằng cách thay thế mỗi thành phần trễ của bộ lọc gốc với một bộ lọc allpass thiết kế để đạt được một đặc tính theo yêu cầu sửa đổi của người thiết kế.

Công thức cơ bản của ánh xạ được sử dụng là

HA(z) là bộ lọc allpass ánh xạ bậc N được tính bởi công thức sau:

Ho(z) Hàm truyên đạt của bộ lọc gốcHA(z) Hàm truyền đạt của bộ lọc ánh xạ allpassHT(z) Hàm truyền đạt của bộ lọc đíchVí dụ của phép biến đổi được cho bởi

Bộ lọc đích có điểm không và điểm cực đối xứng với bộ lọc gốc qua trục ảo. Với bộ lọc thực gốc, nó đưa ra hiệu ứng gương ngược 0.5, có nghĩa là HO(z) (thông thấp) được đưa lên HT(z) (thông cao). Hình dưới biểu diễn bộ lọc gốc thiết kế như bộ lọc elip nửa băng bậc 3.

Sự lựa chọn của một bộ lọc allpass để cung cấp ánh xạ tần số là cần thiết để cung cấp các phép biến đổi tần số của đáp ứng tần số của bộ lọc gốc đến bộ lọc đích bằng cách thay đổi vị trí tần số của các thông số từ các bộ lọc gốc mà không ảnh hưởng đến hình dạng tổng thể của đáp ứng của bộ lọc.

Đáp ứng pha của bộ lọc ánh xạ chuẩn hóa đến π được hiểu như một hàm truyền đạt:

Sự thể hiện của phép biến đổi băng tần được chỉ ra trong hình:

Phép biến đổi đa băng phức được tạo thành từ bộ lọc thông thấp thực và chuyển đổi nó thành một số các dải thông quanh đường tròn đơn vị.

Hầu hết các phép biến đổi tần số dựa trên cơ sở bộ lọc ánh xạ allpass bậc 2

Hai giá trị tự do cung cấp bởi sự lựa chọn α1 và α2 không hoàn toàn được sử dụng bởi các bộ hạn chế thông thường của ánh xạ "flat-top" cổ điển như thông thấp đến thông dải. Thay vào đó, hai đặc điểm chức năng truyền đạt bất ky có thể được di chuyển đến (gần như) hai vịt trí tần số khác nếu α1 và α2 được lựa chọn để giữ các cực của HA(z) đúng bên ngoài vòng tròn đơn vị (vì HA(z) được thay thế cho z trong hàm truyền đạt gốc). Hơn nữa, như lần đầu tiên chỉ ra bởi Constantinides, việc lựa chọn trong những ảnh hưởng dấu bên ngoài dù đặc điểm ban đầu tại điểm không có được di chuyển hay không (dấu trừ, một điều kiện như "độ linh động DC") hay tần số Nyquist có thể được di chuyển hay không(trường hợp "độ linh động Nyquist di động" phát sinh khi các dấu chính là dương).

Tất cả sự hình thành biến đổi được trình bày trong phần tiếp theo của chương. Chúng được chia thành các bộ lọc thực và các bộ lọc phức tạp. Sự lựa chọn của các dãy chuyển đổi từ Constantinides tiêu chuẩn bậc một và bậc thứ hai [1] [2] lên các bộ lọc đa băng thực bởi Mullis và Franchitti [3], và bộ lọc đa băng phức và đa điểm thực/phức bởi Krukowski, Cain và Kale [4].

1.2 Chọn các đặc điểm đối tương để biến đổi

Lựa chọn phép biến đổi tần số thích hợp để đạt được hiệu quả cần thiết và các thông số chính xác của bộ lọc gốc là rất quan trọng và cần được xem xét cẩn thận. Nó không được khuyến khích sử dụng một phép biển đổi bậc một để kiểm soát nhiều hơn một thông số. Các bộ lọc ánh xạ sẽ không cung cấp đủ sự linh hoạt. Nó cũng không phải là tốt khi sử dụng phép biến đổi bậc cao hơn chỉ để thay đổi tần số cắt của bộ lọc thông thấp. Tăng bậc của bộ lọc quá lớn, mà không xem xét thêm bản sao của bộ lọc gốc có thể tạo ra ở những nơi không mong muốn.

Sự lựa chọn các đặc điểm trong phép biến đổi bộ lọc thông thấp thực sang thông dải

Để minh họa cho ý tưởng này, phép biến đổi đa điểm thực bậc hai được áp dụng ba lần cho cùng một bộ lọc nửa băng elliptic để biến nó thành một bộ lọc thông dải. Trong mỗi trường hợp, hai thông số khác nhau của các bộ lọc gốc đã được lựa chọn để có được một bộ lọc thông dải với dải thông từ 0,25 đến 0,75. Vị trí của các thông số DC không quan trọng, nhưng nó sẽ là thuận lợi nếu nó ở giữa các cạnh của dải thông trong bộ lọc đích. Trong trường hợp đầu tiên, các thông số được lựa chọn là những cạnh băng trái và phải của dải thông bộ lọc thông thấp, trong trường hợp thứ hai,

chúng là cạnh băng bên trái và DC, trong trường hợp thứ ba, chúng là DC và cạnh băng bên phải.

Kết quả của sự lựa chọn các đặc điểm khác nhauCác kết quả của cả ba phương pháp tiếp cận hoàn toàn khác nhau. Đối với mỗi

loại, các thông số được lựa chọn được định vị chính xác nơi chúng được yêu cầu. Trong trường hợp đầu tiên, DC được chuyển về phía cạnh dải thông trái giống như tất cả các thông số khác gần với cạnh trái bị ép ở đó. Trong trường hợp thứ hai, cạnh dải thông bên phải bị đẩy ra khỏi đích mong muốn như vị trí chính xác của DC đã được yêu cầu. Trong trường hợp thứ ba cạnh dải thông trái được kéo về phía DC để vị trí của nó ở tần số đúng. Kết luận là nếu chỉ DC có thể ở bất cứ nơi nào trong dải thông, các cạnh của dải thông cần phải lựa chọn để chuyển đổi. Đối với hầu hết các trường hợp đòi hỏi vị trí của những dải thông và dải chắn, các nhà thiết kế luôn luôn chọn vị trí của các cạnh của bộ lọc gốc để đảm bảo rằng chúng nhận các cạnh của bộ lọc đích ở các vị trí chính xác. Đáp ứng tần số cho ba trường hợp được thể hiện trong hình trên. Bộ lọc gốc là bộ lọc elliptic bậc ba với tần số cắt ở mức 0,5.

Mã MATLAB được sử dụng:

Bộ lọc nguyên mẫu là một bộ lọc thông thấp, elliptic nửa băng, thực, bậc ba:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Trong ví dụ này, các yêu cầu được thiết lập để tạo ra một bộ lọc thông dải thực với các cạnh dải thông ở mức 0,1 và 0,3 bằng bộ lọc thông thấp thực có tần số cắt là 0,5. Điều này được thực hiện theo ba cách khác nhau. Trong phương pháp đầu tiên cả hai cạnh của dải thông được lựa chọn, trong phương pháp thứ hai cạnh trái của dải thông và DC được lựa chọn, trong khi ở phương pháp thứ ba, DC và cạnh bên phải của dải thông được chọn:

[num1,den1] = iirlp2xn(b, a, [-0.5, 0.5], [0.1, 0.3]);

[num2,den2] = iirlp2xn(b, a, [-0.5, 0.0], [0.1, 0.2]);

[num3,den3] = iirlp2xn(b, a, [ 0.0, 0.5], [0.2, 0.3]);

1.3 Ánh xạ từ bộ lọc gốc đến bộ lọc đích

Có hai cách để thực hiện ánh xạ, việc lựa chọn cách tiếp cận nào là phụ thuộc vào cách biểu diễn của bộ lọc gốc và bộ lọc đích.- Khi bộ lọc gốc bậc N được biểu diễn dưới dạng điểm cực và điểm không

thì ánh xạ sẽ thay thế mỗi điểm không zi và điểm cực pi với số điểm không , điểm cực bằng với bậc của bộ lọc ánh xạ allpass

Sự tìm kiếm gốc cần được sử dụng trên các toán tử trong ngoặc vuông để tìm các

điểm cực và điểm không của bộ lọc đích.- Khi bộ lọc gốc được mô tả dưới dạng tử số mẫu số:

Quá trình ánh xạ sẽ đòi hỏi một số phép tính tích chập để tính tử số và mẫu số

của bộ lọc đích :

Đối với hệ số mỗi αi và βi của đa thức bậc N của bộ lọc gốc cần phải quấn lại N lần. Cách tiếp cận này có thể gây ra lỗi làm tròn cho các bộ lọc gốc lớn hoặc các bộ lọc ánh xạ cao hơn. Trong trường hợp này người thiết kế nên xem xét thay thế việc ánh xạ bằng điểm cực và điểm không.

1.4 Ưu nhươc điểm các phép biến đổi băng tần

1.4.1 Ưu điểm

- Hầu hết các biến đổi tần số được mô tả bằng các giải pháp đóng hoặc có thể được tính từ tập hợp các phương trình tuyến tính.

- Chúng đưa ra kết quả dự đoán và quen thuộc.- Chiều cao Ripple từ các bộ lọc gốc được giữ nguyên trong các bộ lọc đích.

Thích hợp cho các bộ lọc thay đổi và thích nghi

1.4.2 Nhươc điểm

- Có những trường hợp khi sử dụng phương pháp tối ưu để thiết kế các bộ lọc cần thiết cho kết quả tốt hơn.

- Biến đổi bậc cao tăng số chiều của các bộ lọc đích , có thể cho kết quả đắt tiền.Bắt đầu từ thiết kế mới giúp tránh sai lầm.

CHƯƠNG II: CƠ SƠ LY THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ

2.1 Các thông số cua hê thống trong miền tần số

Gồm các thông số sau:- Dải thông (Passband): là dải gồm các tần số được bộ lọc cho qua.- Dải chắn (Stopband): là dải chứa các tần số bị ngăn cản.- Dải chuyển tiếp (Transitionband): là dải ở vị trí trung gian của dải thông với dải

chắn.- Độ dốc xuống nhanh: là ứng với mỗi dải chuyển tiếp rất hẹp.- Tần số cắt: là tần số phân cách giữa dải thông và dải chuyển tiếp. Trong thiết kế

tương tự, tần số cắt thường được xác định tại nơi biên độ giảm còn 0.707 (tương ứng -3dB). Các bộ lọc số ít được tiêu chuẩn hóa và có thể xác định các tần số cắt tại các mức biên độ 99%, 90%, 70.7%, và 50%.

Các đáp ứng tần số của các bộ lọc cơ bản

2.2 Các bộ lọc thông thâp, thông cao, thông dải và chăn dải

Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng; gồm có bốn bộ lọc số lý tưởng là :- Bộ lọc số thông thấp.- Bộ lọc số thông cao.- Bộ lọc số thông dải.- Bộ lọc số chắn dải.

Các bộ lọc số lý tưởng đều không thể thực hiện được về vật lý mặc dù ta đã xét trường hợp h(n) thực bởi vì chiều dài của h(n) là vô cùng, hơn nữa h(n) là không nhân quả, tức là:

Các bộ lọc số thực tế được đặc trưng bởi các thông số kỹ thuật trong miền tần số liên tục , có bốn tham số chính là:- : độ gợn sóng ở dải thông- : độ gợn sóng ở dải chắn.

- : tần số giới hạn( biên tần ) dải thông- : tần số giới hạn( biên tần ) dải chắn. Ngoài ra còn có tham số phụ là:

Δ = – : bề rộng dải quá độ.

2.3 Câu truc căn bản cua bộ lọc số

Có hai kiểu bộ lọc số căn bản đó là: bộ lọc FIR và IIR. Các bộ lọc FIR có hai đặc điểm quan trọng so với các bộ lọc IIR:- Các bộ lọc FIR chắc chắn ổn định, thậm chí sau khi các hệ số của bộ lọc đã được

lượng tử hóa. - Các bộ lọc FIR dễ dàng được ràng buộc đã có pha tuyến tính2.3.1 Bộ lọc FIR

Cấu trúc bộ lọc FIR

Có thể thực hiện một bộ lọc FIR nếu biết tín hiệu vào ở thời điểm n là x(n) và các tín hiệu vào bị làm trễ là x(n - k). Không cần các tín hiệu hồi tiếp cũng như các tín

hiệu ngo ra trước đó. Vì vậy, bộ lọc FIR còn gọi là bộ lọc không có tính đệ quy, thuận chiều hay trì hoãn từng đoạn.

Một đặc tính quan trọng của một bộ lọc FIR là nó có thể bảo đảm sự tuyến tính pha. Với pha tuyến tính, tất cả ngo và hợp bởi các sóng sine được làm trễ bởi vài số lượng lớn. Đặc tính này có thể rất hữu ích trong các ứng dụng cũng như phân tích lời nói, mà ở đây các pha bị bóp méo rất khó chịu.

2.3.2 Bộ lọc IIR

Cấu trúc bộ lọc IIR

Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn. Tín hiệu ra của bộ lọc này tùy thuộc vào các tín hiệu vào cũng như các tín hiệu ra trước đó.

2.4 Các phép biến đổi băng tần cho các bộ lọc IIR

2.4.1 Các phép biến đổi băng tần cho bộ lọc thực

Phần này sẽ trình bày các phép biến đổi băng tần thực để biến bộ lọc thông thấp thực gốc thành các bộ lọc đích khác nhau. Bộ lọc đích có đáp ứng tần số thay đổi liên quan đến đáp ứng tần số của bộ lọc gốc theo đặc tính của phép chuyển đổi tần số áp dụng

2.4.1.1 Phép biến đổi băng tần thông thâp thành thông thâp

Phép biến đổi lọc thông thấp thực thành lọc thông thấp sử dụng một bộ lọc ánh xạ allpass bậc một. Nó thực hiện một ánh xạ chính xác một thông số của đáp ứng tần số thành vị trí mới giữ thông số DC và Nyquist cố định. Như một phép biến đổi thực, nó làm việc theo cách tương tự cho các tần số dương và âm. Điều quan trong pải chú ý là sử dụng ánh xạ bậc một đảm bảo rằng bậc của bộ lọc sau khi biến đổi phải giống với bộc lọc ban đầu.

trong đó

ωold vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew vị trí của thông số ban đầu tại trong ωold bộ lọc đích

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng làm thể nào để thay đổi tần số cắt của bộ lọc gốc. Code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Tần số cắt được chuyển từ 0.5 đến 0.75:

[num,den] = iirlp2lp(b, a, 0.5, 0.75);

Ví dụ của ánh xạ lọc thông thấp thực thành lọc thông thấp thực

2.4.1.2 Phép biến đổi băng tần thông thâp thành thông cao

Phép biến đổi bộ lọc thông thấp thành thông cao sử dụng một ánh xạ allpass bậc một. Nó thực hiện một ánh xạ chính xác một thông số của đáp ứng tần số thành vị trí mới đồng thời đổi các thông số DC và Nyquist. Như một phép biến đổi thực, nó làm việc theo cách tương tự cho các tần số dương và âm. Như phép biến đổi trên vì cùng sử dụng ánh xạ bậc một, bậc của bộ lọc trước và sau khi biến đổi phải giống nhau.

với

ωold vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew vị trí của thông số ban đầu tại trong ωold bộ lọc đích

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng làm thể nào để biến một bộ lọc thông thấp thành thông cao với thông số được chọn là tần số cắt. Trong code MATLAB, tần số cắt được dịch từ 0.5 đến 0.75.

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Tần số cắt được chuyển từ 0.5 đến 0.75:

[num,den] = iirlp2hp(b, a, 0.5, 0.75);

Ví dụ của ánh xạ thông thấp thực thành thông cao thực

2.4.1.3 Phép biến đổi băng tần thông thâp thành thông dải

Phép biến đổi bộ lọc thông thấp thực sử dụng ánh xạ allpass bậc hai, nó thực hiện một ánh xạ chính xác hai thông số của đáp ứng tần số thành các vị trí mới đồng thời đổi thông số DC và giữ thông số Nyquist cố định. Như một phép biến đổi thực, nó làm việc theo cách tương tự cho các tần số dương và âm.

với α và β được tính bởi công thức

ωold Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew,1 Vị trí của thông số ban đầu tại (-ωold)trong bộ lọc đích

ωnew,2 Vị trí của thông số ban đầu tại (+ωold)trong bộ lọc đích

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng làm thể nào để biến đáp ứng của bộ lọc thông thấp theo hai hướng. Chú ý rằng vì bộ lọc đích cũng là thực nên đáp ứng tần số của nó vốn sẽ méo tại những tần số gần với Nyquist và DC. Code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo thành dải thông giữa 0.5 và 0.75

[num,den] = iirlp2bp(b, a, 0.5, [0.5, 0.75]);

Ví dụ của ánh xạ thông thấp thực thành thông dải thực

2.4.1.4 Phép biến đổi băng tần thông thâp thành chăn dải

Phép biến đổi bộ lọc thông thấp thực thành bộ lọc chắn dải thực sử dụng ánh xạ allpass bậc hai, nó thực hiện một ánh xạ chính xác hai thông số của đáp ứng tần số thành các vị trí mới đồng thời di chuyển thông số Nyquist và giữ thông số DC cố định. Kết quả là sẽ tạo ra một dải chắn giữa những vị trí tần số được chọn trong bộ lọc đích.

Như một phép biến đổi thực, nó làm việc theo cách tương tự cho các tần số dương và âm.

với α và β được tính bởi công thức

ωold Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew,1 Vị trí của thông số ban đầu tại (-ωold)trong bộ lọc đích

ωnew,2 Vị trí của thông số ban đầu tại (+ωold)trong bộ lọc đích

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng làm thể nào để chuyển bộ lọc thông thấp gốc với tần số cắt là 0.5 thành bộ lọc chắn dải với cùng cấu trúc gợn dải thông và dải chắn và vị trí dải chắn nằm giữa 0.5 và 0.75. Code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo thành dải chắn giữa 0.5 và 0.75

[num,den] = iirlp2bs(b, a, 0.5, [0.5, 0.75]);

Ví dụ của ánh xạ thông thấp thực thành thông dải chắn

2.4.1.5 Phép biến đổi băng tần thông thâp thành đa băng

Phép biến đổi bậc cao thực hiện một ánh xạ chính xác một thông số được chọn của đáp ứng tần số bộ lọc gốc thành một số các vị trí mới trong bộ lọc đích. Cách sử dụng phổ biến nhất là chuyển đổi một bộ lọc thông thấp thực với dải thông và gợn sóng dải chắn được xác định trước thành một bộ lọc nhiều băng thực với N cạnh băng tùy ý với N là bậc của bộ lọc ánh xạ allpass

Các hệ số α được tính từ công thức sau:

ωold,k vị trí tần số của thông số đầu tiên trong bộ lọc gốcωnew,k Vị trí của thông số ban đầu tại ωold,ktrong bộ lọc đíchThông số linh động S chỉ ra độ linh động của thông số DC và Nyquist.

Ví dụ sau đây cho thấy phép biến đổi này được sử dụng để chuyển đổi một bộ lọc thông thấp thực với tần số cắt tại 0.5 thành một bộ lọc có một số lượng băng nằm ở các tần số cạnh tùy ý 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. Thông số S thể hiện có một dải thông tại DC. Dưới đây là code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Ví dụ phép biến đổi tạo ra ba dải chắn, từ DC thành 0.2, từ 0.4 thành 0.6 và từ 0.8

thành Nyquist:

[num,den] = iirlp2mb(b, a, 0.5, [0.2, 0.4, 0.6, 0.8], `pass');

Ví dụ của ánh xạ thông thấp thực thành đa băng thực

2.4.1.6 Phép biến đổi băng tần dịch

Phép biến đổi dịch tần số thực sử dụng bộ lọc ánh xạ allpass bậc hai, nó thực hiện một ánh xạ chính xác một thông số được chọn của đáp ứng tần số thành vị trí mới cảu nó đồng thời di chuyển của hai thông số DC và giữ Nyquist. Điều này có thể di chuyển cả đáp ứng của bộ lọc lowpass bởi khoảng cách quy định việc lựa chọn các thông số từ bộ lọc gốc và bộ lọc đích. Như một phép biến đổi thực, nó làm việc theo cách tương tự cho các tần số dương và âm.

với α được tính bởi công thức

ωold Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew Vị trí của thông số ban đầu tại ωold trong bộ lọc đích

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng làm thể nào để di chuyển đáp ứng của bộ lọc thông thấp theo hai hướng. Chú ý rằng vì bộ lọc đích cũng là thực nên đáp ứng tần số của nó vốn sẽ méo tại những tần số gần với Nyquist và DC. Code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo di chuyển thông soosban đầu tại 0.5 và 0.9

[num,den] = iirshift(b, a, 0.5, 0.9);

Ví dụ của ánh xạ dịch tần số thực

2.4.1.7 Phép biến đổi băng tần đa điểm

Phép biến đổi tần số bậc cao thực hiện một ánh xạ một số thông số được chọn của đáp ứng tần số của bộ lọc gốc thành các vị trí mới của chúng trong bộ lọc đích. Bộ lọc ánh xạ allpass được đưa ra bởi cấu trúc đa thực IIR chung của hàm truyền đạt sau:

Các hệ số α được tính từ:

trong đóωold,k Vị trí tần số của thông số đầu tiên trong bộ lọc gốcωnew,k Vị trí của thông số ban đầu tại ωold,k trong bộ lọc đíchThông số linh động S chỉ ra độ linh động của thông số DC và Nyquist.

Ví dụ sau đây cho thấy phép biến đối này có thể sử dụng để chuyển các thông số của bộ lọc thông gốc thấp bắt đầu từ -0.5 và 05 thành hai tần số mới là 0.5 và 0.75, thay đổi vị trí của dải thông bộ lọc một cách hiệu quả. Dưới đây là code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo ra hai dải thông từ 0.5 đến 0.75:

[num,den] = iirlp2xn(b, a, [-0.5, 0.5], [0.5, 0.75], `pass');

Ví dụ của ánh xạ lọc thông thấp thực thành đa điểm thực

2.4.2 Các phép biến đổi băng tần cho bộ lọc phức

Phần này trình bày về phép biến đổi tần số phức, dùng bộ lọc gốc thực hoặc phức và chuyển đổi nó thành một bộ lọc đích phức khác. Bộ lọc đích có đáp ứng tần

số thay đổi liên quan đến đáp ứng tần số của bộ lọc gốc theo đặc tính của phép chuyển đổi tần số áp dụng từ:

2.4.2.1 Phép dịch tần số phức

Phép biến đổi dịch tần số phức là phép biến đổi bậc một đơn giản nhất thực hiện một ánh xạ chính xácmột đặc điểm được lựa chọn của đáp ứng tần số vào vị trí mới của nó. Đồng thời, nó quay cả đáp ứng của bộ lọc thông thấp gốc bởi khoảng cách theo quy định của việc lựa chọn các tính năng từ bộ lọc gốc và bộ lọc đích.

với khi ωold vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew vị trí của thông số ban đầu tại trong ωold bộ lọc đích Ví dụ dưới đây cho thấy làm thế nào để áp dụng phép biến đổi này để xoay phản ứng của bộ lọc thông thấp gốc trong hai hướng. Lưu ý rằng bởi vì phép biến đổi có thể đạt được bởi cách dịch phan đơn giản, tất cả các đặc điểm của bộ lọc gốc sẽ được di chuyển cùng một lượng. Dưới đây là mã MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Ví dụ phép biến đổi chuyển các đặc điểm ban đầu tại 0,5 0,3:

[num,den] = iirshiftc(b, a, 0.5, 0.3);

Ví dụ của ánh xạ dịch tần số phức

2.4.2.2 Biến đổi thông thâp thực thành lọc thông dải phức

Phép biến đổi bậc một thực hiện một ánh xạ chính xácthông số được lựa chọn của đáp ứng tần số bộ lọc gốc thành hai vị trí mới trong bộ lọc đích tạo ra một dải thông giữa chúng. Cả hai đặc điểm Nyquist và DC có thể được chuyển với phần còn lại của đáp ứng tần số.

với α và β được tính bởi công thức

ωold Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốc

ωnew,1 Vị trí của thông số ban đầu tại (-ωold)trong bộ lọc đích

ωnew,2 Vị trí của thông số ban đầu tại (+ωold)trong bộ lọc đích

Ví dụ sau đây cho thấy việc sử dụng như một phép biến đối để chuyển đổi một bộ lọc thông thấp nửa băng thực thành một bộ lọc thông dải phức với các cạnh băng là 0,5 và 0,75. Dưới đây là mã MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo ra dải thông từ 0.5 đến 0.75

[num,den] = iirlp2bpc(b, a, 0.5, [0.5 0.75]);

Ví dụ của ánh xạ lọc thông thấp thực thành thông dải phức

2.4.2.3 Biến đổi thông thâp thực thành chăn dải phức

Phép biến đổi bậc 1 thực hiện một ánh chính xác của thông số được chọn của đáp ứng tần số bộ lọc gốc thành hai vị trí mới trong bộ lọc đích tạo ra một dải chắn giữa chúng. Cả hai đặc điểm Nyquist và DC có thể được chuyển với phần còn lại của đáp ứng tần số.

với α và β:

trong đóωold Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốcωnew,1 Vị trí của thông số ban đầu tại (-ωold)trong bộ lọc đíchωnew,2 Vị trí của thông số ban đầu tại (+ωold)trong bộ lọc đíchVí dụ sau đây cho thấy việc sử dụng như một phép biến đối để chuyển đổi một bộ lọc thông thấp nửa băng thực thành một bộ lọc chắn dải phức với các cạnh băng là 0,5 và 0,75. Dưới đây là mã MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo ra dải chắn từ 0.5 đến 0.75

[num,den] = iirlp2bpc(b, a, 0.5, [0.5 0.75]);

Ví dụ của ánh xạ từ bộ lọc thông thấp thực thành chắn dải phức

2.4.2.4 Biến đổi thông thâp thực thành đa băng phức

Phép biến đổi bậc cao thực hiện một ánh xạ chính xácthông số được chọn của đáp ứng tần số bộ lọc gốc thành một số các vị trí mới trong bộ lọc đích. Cách sử dụng

phổ biến nhất là chuyển đổi một bộ lọc thông thấp thực với dải thông và gợn sóng dải chắn được xác định trước thành một bộ lọc nhiều băng với cạnh băng tùy ý. Bậc của bộ lọc ánh xạ phải chăn, tương ứng với một số chăn của các cạnh băng trong bộ lọc đích. Bộ lọc ánh xạ allpass phức bậc N được đưa ra bằng hàm truyền đạt chung sau:

Các hệ số α được tính từ hệ các phương trình tuyến tính:

ωold vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốcωnew,1 Vị trí của thông số ban đầu tại (-ωold)trong bộ lọc đíchωnew,2 Vị trí của thông số ban đầu tại (+ωold)trong bộ lọc đíchThông số S là hệ quay thêm vào bởi khoảng cách tần số ΔC, đưa ra sự linh hoạt bổ sung để đạt đến ánh xạ được yêu cầu:

Ví dụ sau đây cho thấy việc sử dụng như một phép biến đối để chuyển đổi một bộ lọc thông thấp thực với tần số cắt là 0.5 thành một bộ lọc đa băng phức với các cạnh băng là 0,2 và 0,4, 0.6 và 0.8.

Ví dụ của ánh xạ lọc thông thấp thực thành đa băng phức

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo ra dải hai dải thông phức:

[num,den] = iirlp2mbc(b, a, 0.5, [0.2, 0.4, 0.6, 0.8]);

2.4.2.5 Biến đổi thông thâp thực thành đa điểm phức

Phép biến đổi bậc cao thực hiện một ánh xạ một số thông số được chọn của đáp ứng tần số của bộ lọc gốc thành các vị trí mới của chúng trong bộ lọc đích. Bộ lọc ánh xạ allpass phức bậc N được xác định bởi hàm truyền đạt chung sau:

Các hệ số α được tính từ hệ các phương trình tuyến tính:

trong đóωold,k Vị trí tần số của thông số được chọn trong bộ lọc gốcωnew,k Vị trí của thông số ban đầu tại (ωold,k)trong bộ lọc đíchThông số S là hệ quay thêm vào bởi khoảng cách tần số ΔC, đưa ra sự linh hoạt bổ sung để đạt đến ánh xạ được yêu cầu:

Ví dụ sau đây cho thấy việc sử dụng một phép biến đối để chuyển thông số thứ nhất được chọn của bộ lọc thông gốc thấp tại -0.5 thành hai tần số mới là -0.5 và 0.1 và thông số thứ hai của một bộ lọc gốc từ 0.5 thành vị trí mới là -0.25 và 0.3. Điều này tạo ra hai dải thông không đối xứng quang vòng tròn đơn vị, tạo ra một bộ lọc phức. Dưới đây là code MATLAB:

Bộ lọc gốc là một bộ lọc thông thấp bậc 3, thực, dạng elliptic nửa băng:[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Phép biến đổi tạo ra hai dải thông không đối xứng:

[num,den] = iirlp2xc(b,a,0.5*[-1,1,-1,1], [-0.5,-0.25,0.1,0.3]);

Ví dụ của ánh xạ lọc thông thấp thực thành đa điểm phức

2.4.2.6 Biến đổi thông dải phức thành thông dải phức

Phép biến đổi bậc một thực hiện một ánh xạ chính xác hai thông số được chọn của đáp ứng tần số bộ lọc gốc thành hai vị trí mới trong bộ lọc đích. Cách sử dụng phổ biến nhất là điều chỉnh đỉnh của bộ lọc thông dải phức.

Với α và β được tính:

trong đó

ωold,1 Vị trí tần số của thông số đầu tiên trong bộ lọc gốcωold,2 Vị trí tần số của thông số thứ hai trong bộ lọc gốcωnew,1 Vị trí của thông số gốc tại ωold1 trong bộ lọc đích

ωnew,2 Vị trí của thông số gốc tại ωold1 trong bộ lọc đích

Dưới đây trình bày phép biến đổi có thể được sử dụng để thay đổi vị trí của dải thông của bộ lọc gốc, cả thực và phức. Trong ví dụ dưới, bộ lọc gốc kéo dài từ 0.25 đến 0.75. Nó được chuyển thành dải thông từ -0.5 đến 0.1.Code MATLAB:Bộ lọc gốc là bộ lọc thông thấp bậc ba, thực, elliptic nửa băng:

[b, a] = ellip(3, 0.1, 30, 0.409);

Ví dụ phép biến đổi tạo ra dải thông từ 0.25 đến 0.75:[num,den] = iirbpc2bpc(b, a, [0.25, 0.75], [-0.5, 0.1]);

Ví dụ ánh xạ thông dải phức thành thông dải phức:

2.4.2.7 Phép biến đổi băng tần Hibert

Một trường hợp đặc biệt của sự dịch tần số phức, được gọi là, bộ biến đổi Hilbert. Nó có thể được thiết kế bằng cách thiết lập các tham số để | α | = 1, có nghĩa là