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1N m g
gmm
ma
21
2
g
mmmm
amT21
211
N
1m g
2m g
T
T x
y
Bloco 1
Bloco 2
22 amTgm
amF yy
gmNFy 10 amTamF xx 1 (1)
(2)
, igualamos (1) e (2) TT
Exemplo 15. Calcular a tensão nos fios e a aceleração dos blocos. Não há atrito entre o bloco e a superfície. Os fios e a roldana são ideais.
amgmT 22
Como amgmam 221
221 gmamam )( 221 gmamm
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OUTRO MODO DE VER O PROBLEMA
Tratamos m1 e m2 como um corpo só com uma força interna T. Nesse caso, T não precisa aparecer no diagrama dos blocos isolados.
2 1 2( )m g m m a
2
1 2
ma g
m m
N
1m g
2m g
T
T
Trata-se na verdade de um problema unidimensional !
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A TERCEIRA LEI DE NEWTON
A TERCEIRA LEI DE NEWTON transmite a noção de que as forças são sempre interacções entre dois corpos:
“Se dois corpos interagem, a força exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em módulo , mas oposta em direcção à força exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1”:
12F
21F
2112 FF
12F
21F
Exemplo
As forças e constituem um
par acção-reacção
12F
21F
As forças do par ação-reação:
nunca actuam no mesmo corpo
nunca se cancelam
têm mesmo módulo e mesma direcção, e sentidos opostos
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(1) (2)
Figura 1. O punho golpeia o saco (e produz uma cavidade no saco) enquanto o saco golpeia o punho de volta (e interrompe o movimento do punho). Ao atingir o saco, há uma interacção com o saco que envolve um par de forças. O par de forças pode ser muito grande.
Figura 2. O punho do boxeador pode apenas exercer tanta força sobre o lenço de papel quanto o lenço é capaz de exercer sobre o punho.
1. O boxeador pode golpear um saco massivo com uma força considerável.
2. Com o mesmo golpe ele pode exercer apenas uma pequenina força sobre um lenço de papel no ar.
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Outros exemplos da 3ª Lei de Newton
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PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO(OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR)
(o momento total de um sistema isolado permanece constante)
Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante
Supomos duas partículas que interagem entre si.
12F
21F
111 vmp
222 vmp
1m
2m
De acordo com a terceira lei de Newton
e formam um par acção e reacção e
12F
21F
2112 FF
Podemos expressar essa condição como
02112 FF
dtpd
dtpd 21
constantetotal21 ppp
0)( 21
dtppd
(num instante t)
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Exemplo 16. Suponha que um peixe nada em direcção a outro peixe menor. Se o peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direcção de um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.
O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço
constantealmoço do depoisalmoço do antes pp
constante'' mvMVmvMV
'kg) 1kg 5(kg)(0) 1(m/s) kg)(1 5( V
'kg) 6(m/s kg 5 V 'kg) 6(m/s kg 5 V m/s )6/5(' V m/s 8.0'V
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FORÇA GRAVITACIONAL
urmmGFg
2
21
A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do UniversoA lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância entre elas.
onde G é a constante gravitacional universal2211 kg/Nm 1067.6 GNo SI
A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton ( ) e que tem a ver com a resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da gravitação universal são as mesmas.
2112 FF
A força gravitacional entre duas partículas é atractiva
12F
21F
amf
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Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de Newton usando a segunda lei de Newton
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
umgFg
2rM
Gg T
onde g é a aceleração da gravidade
Comparando com a expressão da lei da gravitação de Newton
urmM
Gumg T 2
obtemos
O peso de um corpo na Terra é a força com que a Terra atrai a massa com que esse corpo é feito .
Foi Newton que esclareceu a diferença entre a MASSA e o PESO de um corpo
gF
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EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL
r
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CENTRO DE MASSA
2
2
dtxd
dtdx
dtd
dtdva
SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS
A aceleração instantânea de uma partícula é
Para o sistema de duas partículas, temos
Fdtxdm
dtxdm 2
22
221
2
1
(1) 22211
2
Fdt
xmxmd
onde F é a força externa resultante que actua sobre o sistema
F1
F12 F21 F2
FFF
21
Famam
2211
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Definimos 21
2211CM mm
xmxmx
CM212CM
2
21 )()( ammdtxdmmF
CM212211 )( xmmxmxm portanto
Substituindo na equação (1)
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema
CENTRO DE MASSA (cont)
(1) 22211
2
Fdt
xmxmd
obtemos
CM2CM
2
ou MadtxdMF
O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.
M
xCM
F
2CM
2
dtxdMF
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Exemplo 17. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.
21
2211CM mm
xmxmx
(a) 21 mm xxCM
1x 2x
2
21CM m
mxmxx 2
21CM
xxx
x
x1
2x(b) 21 mm
1 xxCM 1
11
21
2211CM
mxm
mmxmxmx
muito pequeno
muito pequeno
CM x
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Centro de massa
EXEMPLO
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No caso particular em que
.cteCMCM vdtdx
0F 02
2
dtxda
m = 80 kg m = 60 kg
Exemplo 18. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante.
m 1.5m 6080
kg 60m 12kg 800 CM
x
21
2211CM mm
xmxmx
Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.
O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas
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N
iii
N
NN xmMmmm
xmxmxmx121
2211CM
1
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
N
iiirmM
r1
CM1ou
onde
CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES
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A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a posição média da massa do sistema