x Ö ÝÝÝ ØØØ ooolll ego - 國立臺灣大學homepage.ntu.edu.tw/~chanky/page0/assets/huang...
TRANSCRIPT
���'x
_°å�xû
© ë Ö �
ÝÝÝ ___���ØØØ___zzz���ggg���'''ïïï`¦¦¦OOOLLLKKKEGO������ÕÕÕîîîccc
A Modified Efficient Global Optimization Algorithm for Maximal
Reliability within a Probabilistic Constrained Space
��� vvv ������ ÃÃÃeeezzz
������YYY������yyyAAACCC ZZZëëë
--- ïïï ��� ��� ]]] AAA kkk ttt ��� ���
ÝÝÝ ___���ØØØ___zzz���ggg���'''ïïï`¦¦¦OOOLLLKKKEGO������ÕÕÕîîîccc
A Modified Efficient Global Optimization Algorithm for Maximal
Reliability within a Probabilistic Constrained Space
��� vvv ������ ÃÃÃeeezzz Student: Yen-Chih Huang
������YYY������ yyyAAACCC ZZZëëë Advisor: Dr. Kuei-Yuan Chan
��� ËËË ��� ��� ''' xxx
___ °°° ååå ��� xxx ûûû
©©© ëëë ÖÖÖ ���
A Thesis
Submitted to Department of Mechanical Engineering
National Cheng Kung University
in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master of Science
in
Dept. of Mech. Eng.
June 2009
Tainan, Taiwan
---ïïï������]]]AAAkkkttt������
ÝÝÝ ___���ØØØ___zzz���ggg���'''ïïï`¦¦¦OOOLLLKKKEGO������ÕÕÕîîîccc
xxx������ÃÃÃeeezzz ������YYY������ yyyAAACCC ZZZëëë
���ËËË������'''xxx___°°°ååå���xxxûûû
XXX ���
���sss���---���åååûûûqqq���¹¹¹������~~~���ØØØ___zzz���gggîîî���ýýýxxx������'''���������<<<������###������sssãããÖÖÖ
ïïï���---���ååå���+++���ããã"""ÁÁÁ���uuuôôô'''ýýýhhhþþþ���FFF___BBB888MMM¼¼¼ØØØ___���ööö���LLL���ûûûUUUååå���OOOLLL
��� ººº���ààà ���GGG���ïïïýýý���ôôô���sss<<<ÿÿÿ³³³ØØØ___���ööö���ïïï`¦¦¦OOONNN���ïïï`¦¦¦���sss���---���¿¿¿
///������(((---���������¿¿¿���ÏÏÏ ººº���ààà ���---���¹¹¹ÕÕÕ���vvv´999{{{æææ(((���xxxxxx!!!���(((ååå������ßßß«««
ãããÛÛÛ���ÉÉÉ(((���(((NNN»»»'''���xxx������vvv---���ýýý///(((---���������úúú������ïïï`¦¦¦\\\ºººØØØ___���ööö���222LLL
---������666��� ¼¼¼������***ååå���OOOLLL���ªªª��������������� iiivvv���ïïï`¦¦¦___���<<<������ïïïýýý������ôôô
OOOLLL���ïïïLLLãããzzz���&&& XXX(((������///ØØØ000���OOOLLL,,,«««@@@ýýý���BBB���ïïï`¦¦¦���àààddd���,,,ÖÖÖ���������
(((Efficient Global Optimization(EGO) ������ÕÕÕ���(((___���bbb������ØØØ___���ööö������ååå���'''ïïï`¦¦¦
\\\ºººîîî������222LLL���sss���---������
EGO������ÕÕÕ���(((,,,ÖÖÖ���@@@ÐÐÐúúú���ÖÖÖ###���������PPP���vvvÖÖÖ���{{{---������������666���������¢¢¢
"""������¹¹¹ÕÕÕ��� ···000(((ØØØ___���ööö���LLLÖÖÖ###���ååå999���111���000aaa���ÕÕÕ@@@���������ØØØ___���öööKKK���
ººº'''���&&&úúúËËËKriging!!!������ ������ ###������ïïïLLLãããzzz������222LLL���'''ïïï`¦¦¦���hhhßßß���sss���---
������111,,,ÖÖÖ���KKKPPP���ïïïååå���ååå���(((ÝÝÝ ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxxOOOLLL���^###���ïïïLLLãããzzz������ïïï`¦¦¦OOOLLL
---���ddd¹¹¹ÕÕÕ���ÔÔÔ¯¦¦¦���������ÕÕÕ���DIRECT������ÕÕÕ������HHH���������+++���åååiii���xxxxxxÄÄÄ���������
���ååå���ÄÄÄ������ªªª���������ÕÕÕKKKPPP������
ii
A Modified Efficient Global Optimization Algorithm for Maximal Reliabilitywithin a Probabilistic Constrained Space
Student: Yen-Chih Huang Advisor: Dr. Kuei-Yuan Chan
Department of Mechanical EngineeringNational Cheng Kung University
ABSTRACT
Design optimization problems under random uncertainties are commonly formulated with con-
straints in probabilistic forms. This formulation is also referred to as reliability-based design
optimization (RBDO) in the literature and has gained extensive attentions in recent years.
Most research assumes that reliability levels are given based on past experiences or other de-
sign considerations without exploring the constrained space. As a result, inappropriate target
reliability levels might be assigned, which either result in null probabilistic feasible space or
performances underestimation. In this research we investigate the maximal reliability withnin
a probabilistic constrained space using modified efficient global optimization (EGO) algorithm.
By constructing and improving Kriging models iteratively, EGO can obtain a global optimum
of a possibly disconnected feasible space at high reliability levels. An infill sampling criterion
(ISC) is proposed to enforce added samples on constraint boundaries to engance the accuracy of
probabilistic constraint evaluations via Monte Carlo simulation. This limit state ISC, combined
with existing ISC from the literature, forms a heuristic approach that efficiently improves the
Kriging models. For optimization problems with expensive functions and disconnected feasible
space, such as the maximal reliability problems in RBDO, the proposed work shows high ef-
ficiency and potential in finding the optimum compared to existing gradient-based and direct
search methods. Several examples are used to demonstrate the proposed methodoogy.
iii
��� ���
������iii+++ yyyAAACCCYYY��� ¼¼¼xxx������000ÃÃÃ���������ÇÇÇÇÇÇYYY¨������xxx���(((²²²mmm������ºººUUU������rrr
ÊÊÊooo������������xxx���(((���iiittt���vvv@@@îîîmmm���������������ºººxxx���îîîMMMººº���---���ÍÍÍ���������µµµBBBIII���
¼¼¼���+++���YYY¨���xxx������888���¼¼¼ÃÃÃ���
������NNN___NNNZZZëëë(((xxx���������vvv���������fff���xxx���111���ÀÀÀõõõ������������îîîccc���������xxx���
������vvvýýý @@@���444���������sss¶¶¶jjjYYY��� ¼¼¼,,,ÖÖÖ���������������úúúppp���������xxx������ÖÖÖ���ôôôûûû
���ttt���������SasenaZZZëëëÐÐÐ���������ÕÕÕ���������¼¼¼������xxx���ïïïååå���)))xxxÒÒÒ111���������ÕÕÕ������ççç������
õõõ���
������òòòbbbmmm���xxxwww���xxx������zzzjjj���±±±������óóó������(((©©©���BBBfff������������������gggggg���������
���ûûûqqq���sss���æææWWW¤¤¤������%%%444���ñññÛÛÛ���qqqááá���111TTT������ïïï���PPP!!!���ÝÝÝ������sssjjj���ccc������PPP
888���������`������vvv������kkk©©©���jjj���¦¦¦NNN������ëëë������NNN¬¬¬���BBB���������������uuu���'''___ËËË---���YYY
���¤¤¤���������xxx���³³³ÌÌÌ���ÊÊÊèèè���������ûûû������������àààttt���½½½°°°���···¼¼¼��� °°°������òòò���������
`���(((���iiittt���===///666fff���111������aaa������������'''xxxBBBãããååå������}}}ËËË���úúú������|||���jjj���¦¦¦NNN
���iiittt������vvv@@@���;;;���&&&fff������111������;;;���kkk©©©���
������ÅÅÅååå,,,ÖÖÖ���{{{fff������ªªª������666ÍÍͪªª���ÊÊÊÊÊÊ���������`������ttt������///������gggggg���������
ýýý(((BBBxxx���NNN���---!!!���!!!nnn���������xxxmmm���
iv
îîî ���
øøø ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
---���XXX��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
ñññ���XXX��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
îîî��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
hhhîîî��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
���îîî��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
&&&___ªªª��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
,,,���ààà���ÒÒÒÖÖÖ (Introduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 ���vvvÕÕÕ___���îîî��� (Motivation and Objective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ÖÖÖ���¶¶¶ËËË (Thesis Organization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
,,,���ààà������{{{ÞÞÞggg (Literature Review) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ (Reliability Analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 ���������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ (First Order Second Moment) . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 222������������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ (Advanced First Order Second Moment) . . . 6
2.1.3 ���000aaa���ÕÕÕ (Monte Carlo Simulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 ���ÖÖÖ (Discussion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 EGO������ÕÕÕ (Efficient Global Optimization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 ������������ (Bayesian Analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 ������AAA��� (Algorithm Flowchart) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
v
2.2.3 ,,,fffÄÄÄ��� (Demonstration Example) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
,,,ààà���Kriging!!!��� (Kriging Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 úúú,,,���õõõ (Basic Concept) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 lll���¨��� (Kriging Basics Formula Derivation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 ÃÃÃxxxxxxÇÇÇ (Parameter Estimation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 ���ppp��������� (Variogram) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2 ���'''<<<666¨000ÕÕÕ (Maximal Likelihood Estimation) . . . . . . . . . . . . 39
3.4 OOOLLL������ÖÖÖ (Problem and Discussion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
,,,ÛÛÛààà���ÖÖÖ###������ (Infill Sampling Critera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 888(((ÖÖÖ###������ (Common Infill Sampling Criterion) . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Kushner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 Expected Improvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.3 Kriging Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.4 Maximum Varianve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.5 Probability of Feasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.6 Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 ÖÖÖ###���������^ (Classification of ISC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������ (Sampling on Joint Limit State) . . . . . . . . . . . . . 61
,,,���ààà���������VVVeee (Algorithm Strategy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 ���sss��� (Optimization) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 ���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL (Maximal Reliability Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
,,,mmmààà���ÄÄÄ��� (Example) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
vi
6.1 ùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL (Concave Feasible Region Problem) . . . . . . . . . . . . 74
6.2 ïïï`¦¦¦���sss���,,,fffÄÄÄ��� (RBDO Test Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 ¿¿¿ççç������hhhOOOLLL (Tuned Vibration Absorber Problem) . . . . . . . . . . . . . . 83
,,,���ààà���PPPÖÖÖ (Conclusions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1 ���vvv¢¢¢{{{ (Contribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 úúúppp (Suggestion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ÃÃÃ������{{{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
êêê³³³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
DDD���������---ñññ ggghhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
vii
hhh îîî ���
2.1 Gomez,,,fffÄÄÄ���((( ���������ÕÕÕ���KKKPPP���ÔÔÔ���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 newBranin,,,fffÄÄÄ���((( ���������ÕÕÕ���KKKPPP���ÔÔÔ���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 <<<666ýýýxxx���sss������PPP��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 ###,,,zzz���øøøÜÜÜýýýxxxééécccKKKLLL������<<< . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 ���sss<<<���"""^���ÖÖÖ###������hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 ������¤¤¤îîî^���ÖÖÖ###������hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 yyy���îîî���^���ÖÖÖ###������hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 iii!!!ÖÖÖ###RMShhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 ���000aaa���ÕÕÕ,,,fffPPP���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1 !!!ØØØ___���ööö������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 ØØØ___���ööö������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 ïïï`¦¦¦���OOOLLL������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1 ùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL���'''ïïï`¦¦¦���sss���PPP���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 ������ããã___hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 RBDO,,,fffÄÄÄ���KKK���'''ïïï`¦¦¦���sss���PPP���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 ������hhhååå���ÄÄÄ���444ÞÞÞ___���������PPP���hhh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
viii
��� îîî ���
1.1 ïïïLLLãããzzz���((( ���ïïï`¦¦¦���BBB��������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 FOSMKKK¤¤¤îîî:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 AFOSMKKK¤¤¤îîî:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Sasena et al.@@@���(((���EGO������ÕÕÕAAA������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 EGO������ÕÕÕ,,,fffÄÄÄ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 EGO������ÕÕÕ,,,fffÄÄÄ���NNN������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 ÖÖÖ###������,,,MMMnnn:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 ØØدwww���:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 ÖÖÖ###���ÝÝÝâââ:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 `ÑÑÑ���ÞÞÞKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 ÝÝÝâââ@@@ßßßÄÄÄ :::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 CamelbackæææWWW���ppp������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 `ÑÑÑ���ÞÞÞKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 `ÑÑÑ���ÞÞÞUUUKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���æææWWW���ppp��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.9 èèèÀÀÀ¨âââKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.10 èèèÀÀÀ¨âââKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���æææWWW���ppp��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.11 sssiii���^sssiiiæææWWW���ppp���:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.12 sssiii���æææWWW���ppp��� ^:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.13 æææWWW���ppp���������ÖÖÖ���ppp���KKKììì��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ix
3.14 ���������ppp���¤¤¤îîîììì���PPP���ýýýxxxÔÔÔ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.15 ���'''<<<666¨000ÕÕÕììì���PPP���ýýýxxxÔÔÔ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.16 ���,,,fffýýýxxx###,,,:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.17 ���###,,,xxxKKK<<<666ýýýxxx���θ ggg��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.18 Warenw et al.ªªª���êêê666 xxx<<<666ýýýxxxwww���ððð<<<���wwwqqq��� . . . . . . . . . . 45
4.1 ε = 0.1× fminKKKKushner��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 ε = 0.01× fminKKKKushner��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 g = 1KKK999���������<<<��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 g = 5KKK999���������<<<��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Maximum Variance��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 )))(((���'''���pppxxx������îîîcccýýýxxxNNN������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 ÖÖÖ###���g = 0MMMnnn��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8 ïïïLLLããã___������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 ÖÖÖ###���g = 0MMMnnnåååÊÊÊ°°°���ÖÖÖ###MMMnnn��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 °°°���ÖÖÖ###���KKKïïïLLLããã___������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.11 °°°���ÖÖÖ###���KKK§§§SSS��������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.12 Camelbackýýýxxx���vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.13 ,,,���!!!ÖÖÖ###PPP���KKKKriging!!!������vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn��� . . . . . . . . . . . . . . 63
4.14 ,,,���!!!ÖÖÖ###PPP���KKKKriging!!!������vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn��� . . . . . . . . . . . . . . 63
4.15 ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKK��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.16 uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������îîîcccCamelbackNNN������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
x
4.17 ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������îîîcccBaseball FunctionNNN������ . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1 EGO������AAA������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 !!!ØØØ___���ööö������VVVeee��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 ØØØ___���ööö������VVVeee��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 ïïï`¦¦¦OOOLLL������VVVeee��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������VVVeee��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1 DIRECT������ÕÕÕKKKùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL���'''ïïï`¦¦¦MMMnnn:::������ . . . . . . . . . 75
6.2 ïïï`¦¦¦���sss���,,,fffOOOLLL��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 RBDOÄÄÄ���KKK21���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 RBDOÄÄÄ���KKK30���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5 RBDOÄÄÄ���KKK40���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.6 RBDOÄÄÄ���KKK50���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7 Zou et al.@@@���(((���¿¿¿ççç������hhh:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.8 ������hhhååå���ÄÄÄ���OOOLLL:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.9 ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(21���50) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.10 ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(75���100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.11 ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(125���150) . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.12 ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(175���200) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.13 Zou et al.KKK������hhhååå���ÄÄÄ������PPP������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.1 Lee et al.@@@���(((���^ÊÊÊDDDööö:::������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2 Camelbackýýýxxx���Indicator Kriging��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
xi
&&& ___ ªªª ���
F ïïïLLLãããzzz���
f îîî���ýýýxxx
f îîî���ýýýxxxÍÍÍÉÉÉòòòbbb���,,,<<<
fX ___���ÆÆƦ¦¦ýýýxxx
fmin îîî���ýýýxxxÖÖÖ###---KKK���sss<<<
G ØØØ___���ööö������NNN���ýýýxxx
g ^III���ØØØ___���ööö
gα ØØØ___���öööÖÖÖ###<<<
g ØØØ___���öööÍÍÍÉÉÉòòòbbb���,,,<<<
h ÞÞÞ���ÞÞÞKKK������PPP~~~ÌÌÌ···ÝÝÝâââ(Euclidean Distance)
Ig 444ÞÞÞ������ýýýxxx
L <<<666¹¹¹������(Likelihood Function)
Lν ÉÉÉ<<<���ååå¹¹¹������(Largrange Eqaution)
Pr[·] [·]___���
Pf 444ÞÞÞ___���
R zzz���øøøÜÜÜýýýxxx(Spatial Correlation Function)
Re ïïï`¦¦¦
Rα ###,,,zzz���øøøÜÜÜýýýxxxéééccc
r ���,,,<<<zzz���øøøÜÜÜýýýxxxéééccc
u ������zzz��� ÉÉÉKKK---������xxx
xii
x ---������xxx
xf ïïïLLLããã###,,,���xxx<<<
xLB ###,,,zzz������PPP
xUB ###,,,zzz���PPP
y ÞÞÞxxx¹¹¹������
Z ØØد������www���KKKOOOûûûÏÏÏ
β ÞÞÞxxx¹¹¹������ÂÂÂxxx
βr ïïï`¦¦¦������(Reliability Index)
β Kriging !!!���ÍÍÍÔÔÔ���000sssGGG<<<
φ ������ØØد___���ÆÆƦ¦¦ýýýxxx
γ ���ppp���(Variogram)
γt ���ÖÖÖ���ppp���(Theoretical Variogram)
γα æææWWW���ppp���(Experimental Variogram)
λα Kriging modelÍÍÍ
µ sssGGG<<<
ν ÉÉÉ<<<���åååXXXPPP(Largrange Multiplier)
Φ ������ØØد///MMM���HHHýýýxxx
σ ������îîî
ISC ÖÖÖ###������(Infill Sampling Criterion)
RMS ¹¹¹GGG999¤¤¤îîî (Root Mean Square)
Cov[ ] qqq���pppxxx
E[ ] ������<<<
V ar[ ] ���pppxxx
xiii
,,, ��� ààà ÒÒÒÖÖÖ (Introduction)
1.1 ���vvvÕÕÕ___���îîî��� (Motivation and Objective)
888���������sss���OOOLLLïïïååå(((������¹¹¹������(1.1)���hhh:::���vvv---xººº---������xxx���fãããhhhîîî���ýýý
xxx���gãããhhh^III���ØØØ___���ööö���hãããhhhIII���ØØØ___���ööö���ÅÅÅ���èèè���000dddUUU���îîî���ýýýxxxêêê���
������������������îîî���ýýýxxxGGG111KKKººº���îîî������sss���(Multi-Objective Optimization)������(((,,,ÖÖÖ
���---���������;;;������GGG@@@XXXððð������sss���OOOLLLýýý///®®®îîî������sss���OOOLLL���(((---���zzz���---ÿÿÿ³³³ØØØ
___���ööö g(x) ≤ 0 åååÊÊÊ h(x) = 0 ���---���<<<���������111KKKºººïïïLLLããã(Feasible Solution)���111ïïïLLL
ããã@@@DDD������zzz������������111KKKºººïïïLLLãããzzz���(Feasible Region)���åååFhhh:::���
minx
f(x)
s.t. g(x) ≤ 0
h(x) = 0
xLB ≤ x ≤ xUB
(1.1)
666���(((���,,,������sss���---���OOOLLL---���&&&������nnn ººº���ààà (Uncertainty) ¼¼¼OOOLLL���
qqqÿÿÿ���FFF///(((���������æææÅÅÅbbb���---���---��� ººº���ààà {{{///������!!!ÕÕÕ���MMM���þþþaaa������(((���
nnn ººº���ààà ������sss���---���OOOLLLááá���BBB888���ååå___������bbb������hhh:::vvvØØØ___���ööö���àààdddIII
���PPP666���&&& XXX(((���������...OOOLLL���888ïïï111KKKºººïïï`¦¦¦���sss���---���(Reliability-Based Design
Optimization)���!!!111ºººRBDO [1]���(((���nnn ººº���ààà ������RBDO���¹¹¹������(1.1)999ººº¹¹¹���
���(1.2)���vvv---GGG---(((ddd¹¹¹���������¨___���xxxX///������ØØد���HHH���µxººº---������xxx������Pf///UUUÍÍÍ
ØØØ___���ööö���___���PPP���111¼¼¼UUUÍÍÍØØØ___���ööö���ÅÅÅbbb������111KKKººº444ÞÞÞ���àààdddPf___ïïïååå111KKKººº
444ÞÞÞ___������@@@������ïïï`¦¦¦___���sssºººRe = 1− Pf������ÿÿÿ³³³¹¹¹������(1.2)KKKØØØ___���ööö���ïïïLLLãããzzz
������åååFPhhh:::���
minµx
f(µx)
s.t. Pr [g(X) > 0] ≤ Pf
µLBx ≤ µx ≤ µUB
x
X v N(µx,σ2x)
(1.2)
1
111¹¹¹������(1.2)���ØØØ___���ööö---���������ïïïåååÀÀÀßßß000���vvv444ÞÞÞ___���Pf���---���<<<���������___111
///ªªª���BBB���ïïï`¦¦¦Re���ØØØBBB���GGGÿÿÿ³³³ØØØ___���ööö���ïïïLLLãããzzz���FP���������������ååå������ÄÄÄ���ªªª
���������������¹¹¹������(1.3)���Camelbackýýýxxx [2]������ÏÏϹ¹¹������(1.4)���¨___���xxx���HHH���((( ������
444ÞÞÞ___������ÅÅÅÁÁÁ������vvvïïïLLLãããzzz���������ÅÅÅbbb������1.1���
g(x) = −0.1 +
(4− 2.1x2
1 +x4
1
3
)x2
1 + x1x2 +(−4 + 4x2
2
)x2
2 ≤ 0 (1.3)
X v[N(µx1 , 0.2
2), N(µx2 , 0.152)]
(1.4)
(a) Re = 0.60 (b) Re = 0.65
(c) Re = 0.70 (d) Re = 0.75
��� 1.1: ïïïLLLãããzzz���((( ���ïïï`¦¦¦���BBB���������������
2
111���1.1ïïïååå|||þþþïïï`¦¦¦���BBB���ØØØ���ÅÅÅÁÁÁ������ïïïLLLãããzzz���������������������vvvïïï`¦¦¦���BBB
(((65 v 75%KKK���BBB������,,,���������ïïïLLLãããzzz���������ÂÂÂ���iii���������ïïïLLLãããzzz���������óóó���ïïïýýý
999,,, XXX(((ûûûUUUïïïLLLããã���àààddd������������((( åååSSSØØØ___���öööyyy'''���ÅÅÅÁÁÁ������¨������BBB������444
ÞÞÞ___���\\\ºººØØØ___���ööö������ïïïýýý��� ���������ÕÕÕ!!!ÕÕÕ~~~000ïïïLLL���TTTHHH���
���,,,���ååå���OOOLLLKKKïïï`¦¦¦���������gggNNN»»»������WWW������������ººº���ãããÐÐÐååå���OOOLLLïïïLLLãããzzz
���gggïïïTTT000KKK���'''ïïï`¦¦¦���������ÅÅÅ���HHH222LLL���'''ïïï`¦¦¦���������������¹¹¹������(1.5)���������111ddd
¹¹¹������ººº���'''ïïï`¦¦¦���sss���OOOLLL���
minµx,Pf
Pf
s.t. Pr [g(X) > 0] ≤ Pf
µLBx ≤ µx ≤ µUB
x
X v N(µx,σ2x)
(1.5)
111¼¼¼(((¹¹¹������---(1.5)���___���bbb������ØØØ___���öööÅÅźººHHH���___(Active Constraint)���àààdddïïïååå���
¹¹¹������(1.5)999ººº¹¹¹������(1.6)���vvv---111¼¼¼������ØØØ___���ööö��� ¼¼¼ÏÏÏ���ØØØ___���ööö���ªªªýýý���������
úúú������444ÞÞÞ___���<<<���111¼¼¼������������sss���¶¶¶ËËË///®®®îîî������sss������@@@ååå������ÅÅÅ���xxxÇÇÇ������444ÞÞÞ
___���ááá���'''������������
minµX
{max
[Pf(µX)
]}(1.6)
¼¼¼xxxxxxOOOLLL���ªªª���111¼¼¼������ýýýxxx<<<@@@±±±»»»���BBB���������������������BBB���~~~NNNïïïýýýeee���@@@
åååêêê������������ÍÍÍ°°°¿¿¿tttïïï`¦¦¦���÷÷÷LLL���sss���sssïïïåååãããzzzdddOOOLLL���FFF///������OOOLLL,,,«««///������
���BBB���ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx(Expensive Function)BBB���dddÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������///111ûûûfff!!!ììì���///æææ���æææWWW
III���»»»BBB���MMMýýý���000xxxÚÚÚ���¹¹¹ÕÕÕ���GGG���ooo���âââ���¹¹¹ÕÕÕ wwwHHH���������óóó/// ïïïLLL���ààà
ddd���,,,ÖÖÖ���ååå���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL\\\ºººúúú|||ÞÞÞ���&&&åååOOOLLL,,,«««ºººÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���¶¶¶ËËË������fff���~~~
úúú������iii���dddOOOLLL������sss���������ÕÕÕ���
3
1.2 ÖÖÖ���¶¶¶ËËË (Thesis Organization)
,,,ÖÖÖ������qqq���ººº���ààà���vvvggg¹¹¹¶¶¶ËËË���������
• ,,,���ààà���ÒÒÒÖÖÖ
ËËË999,,,ÖÖÖ���¢¢¢���OOOLLLKKKÌÌÌooo���&&&ªªª���,,,ÖÖÖ���KKK���vvvÕÕÕ___���îîî������&&&ËËË999,,,ÖÖÖ���¶¶¶
ËËË���
• ,,,���ààà������{{{ÞÞÞggg
���{{{ÞÞÞggg;;;���ggg¹¹¹���ºººïïï`¦¦¦������ÕÕÕ���EGO������ÕÕÕ���
• ,,,ààà���Kriging!!!���
ËËË999Kriging!!!���������+++!!!ËËË���úúú,,,���õõõ���lll���¨������ÃÃÃxxx���ÇÇÇ���OOOLLL���ÖÖÖ...III���
• ,,,ÛÛÛààà���ÖÖÖ###������
!!!®®®ËËË999~~~������{{{---���ÖÖÖ###���������&&&���������������222LLL���^���666���ÝÝÝ ïïï`¦¦¦OOOLLLÐÐÐ
úúú���...°°°���ÖÖÖ###���������
• ,,,���ààà���������VVVeee
ËËË999,,,ÖÖÖ���������---���ÝÝÝ ���OOOLLL@@@666������������VVVeee���&&&���XXXððð������������ÕÕÕ000ÀÀÀ���
• ,,,mmmààà���ÄÄÄ���
���(((îîîccc������EGO������ÕÕÕ���ÝÝÝ ���...^���OOOLLLÄÄÄ���222LLL���������(((dddGGG---������ÄÄÄ���
���ºººÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���
• ,,,���ààà���PPPÖÖÖ���úúúppp
===PPP,,,ÖÖÖ���KKKggg¹¹¹���&&& dddÖÖÖ���ÐÐÐúúúøøøÜÜÜúúúppp���ååå���***������vvv|||UUUKKKÃÃÃ������
4
,,, ��� ààà ���{{{ÞÞÞggg (Literature Review)
2.1 ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ (Reliability Analysis)
,,,ÀÀÀ;;;���ËËË999...888������ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ������%%%///���������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ���222������������!!!ïïï`
¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ������000aaa���ÕÕÕ���&&& ���...¹¹¹ÕÕÕZZZ���������eee'''���ÔÔÔ������
2.1.1 ���������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ (First Order Second Moment)
���������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ!!!ëë뺺ºFOSM���///������ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ---���ººº!!!®®®������...���ddd¹¹¹ÕÕÕ���;;;���
ggg¹¹¹///(((---���ÞÞÞMMMnnn���ØØØ___���öööýýýxxx���)))(((ðððÒÒÒUUU������(Tayler Series Expansion)ZZZ���!!!UUU
������666���)))(((¨___���xxx������!!!������!!!qqq���ééé���������---���ÞÞÞ(((������zzz���---���uuuPPPÀÀÀKKK���ÝÝÝ
âââ���ddd������zzz���������///sssGGG<<<ºººööö���������îîº������������ØØد���HHHzzz������666������)))(((ØØد¨
___���HHH���yyy'''���������ïïï`¦¦¦���
(((������ØØد¨___���xxxX v N(µx, σ2x)���ØØØ___���ööög���ÅÅÅÁÁÁ������������óóó������g(x)(((sssGGG
<<<µx���444ÞÞÞ___������GGGHHH ØØØ___���ööö(((sssGGG<<<µxZZZ���!!!ðððÒÒÒUUU������������¹¹¹������(2.1)���
g′(x) = g(µx) +D∑i=1
∂g
∂xi(xi − µxi
) (2.1)
���---���DãããhhhWWWdddOOOLLL���¦¦¦������g′(x)///���,,,ØØØ___���ööö���ÚÚÚ'''ÑÑÑ<<<���999ÚÚÚØØد���HHH
���yyy'''���������ØØد���HHH���¨___���xxx(((���NNNÚÚÚ'''IIIÛÛÛ������vvv,,,«««ÍÍͺºº������ØØد���HHH���___111
///ªªª���������X666eeeg′(x)������g′(X)���///������ØØد���HHH���vvvsssGGG<<<���������îîîïïï111¹¹¹������(2.2)���
������
g′(X) v N(µg′ , σ2g′)
µg′ = g(µx)
σ2g′ =
D∑i=1
(∂g
∂xi
)2
σ2xi
(2.2)
111¼¼¼¨___���xxx///ØØد���HHH���àààddd������ïïïååå)))(((ØØد���HHH���yyy'''���ôôô¥¥¥������g′(X)���444
5
ÞÞÞ___���������¹¹¹������(2.3)���vvv---βr111ºººïïï`¦¦¦������(Reliability Index)���
Pf = Pr [g′(X) > 0] = Φ
(µg′ − 0
σg′
)= Φ(βr) (2.3)
ddd¹¹¹ÕÕÕ111¼¼¼êêê���������ØØØ___���ööö���¯¦¦¦���àààddd(((���������¦¦¦øøøvvvëëë������666���ddd¹¹¹ÕÕÕ@@@���
������ aaa///ØØØ___���ööö������!!!ÚÚÚ'''ÑÑÑ<<<¹¹¹���������������ØØØ___���ööö&&&^ÚÚÚ'''ýýýxxxGGGddd¹¹¹ÕÕÕ��� ���
ººº������������2.1���������������^ÚÚÚ'''ØØØ___���ööö:::���������
��� 2.1: FOSMKKK¤¤¤îîî:::������
���---���ÑÑÑrrræææÚÚÚººº���æææ���ØØØ___���ööö������rrræææÚÚÚºººðððÒÒÒUUU������(((sssGGG<<<MMMnnn������!!!UUU
������111ddd���ïïïååå|||þþþvvvØØØ___���öööººº^ÚÚÚ'''BBB���¨___���xxx���sssGGG<<<MMMnnn������æææýýýxxxuuuPPPÀÀÀKKK
KKK������ÝÝÝâââ���������FOSM@@@���,,,���ÝÝÝâââ ���###������dddÝÝÝâââ���¤¤¤îîî������qqqÿÿÿïïï`¦¦¦������������
������111¼¼¼FOSM(((���(((���@@@PPP'''������vvv������|||UUUæææ���...���������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ���������111KKKººº
222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ���
2.1.2 222������������!!!ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ (Advanced First Order Second Mo-
ment)
222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ!!!ëë뺺ºAFOSM���///111Hasofer���Lind(((1974ttt@@@ÐÐÐúúú���¹¹¹ÕÕÕ [3]���ààà
ddd___«««111ºººH-LÕÕÕ���///îîîMMM���888������ïïï`¦¦¦������¹¹¹ÕÕÕ���AFOSM������õõõøøøvvv!!!®®®���ÉÉÉ111���"""
(((������zzz���---ÝÝÝâââ---���ÞÞÞ���ÑÑÑ���ØØØ___���öööMMMnnn���GGGiii���KKK������ÝÝÝâââsssºººïïï`¦¦¦���������
(((������ØØد¨___���xxxX���ØØØ___���ööög���ÅÅÅÁÁÁ������������óóó������(((sssGGG<<<µx���444ÞÞÞ___������
6
GGGHHH ---������xxxZZZIIIÛÛÛ������vvvIIIóóó������zzz���---������¹¹¹������(2.4)���vvv------���zzz���������///x���
xxx���zzz������������zzz���������///sssGGG<<<ºººööö���������îîº������zzz������åååuãããhhh���
u =x− µx
σx
(2.4)
(((������zzz���---������ÞÞÞsssººº---���zzz���---���sssGGG<<<���111¼¼¼¨___���xxx���������îîîòòò���NNN������
������àààddd(((������zzz���---ÝÝÝâââ���ÞÞÞ���ÑÑÑ���000¹¹¹sssãããhhhÁÁÁ���'''���___������@@@ååå(((dddzzz���---øøø
ÉÉÉ���ØØØ___���öööÝÝÝâââ���ÞÞÞ���ÑÑÑ���ÞÞÞ���sssººº���ïïïýýý444ÞÞÞÞÞÞ(Most Probable Point���MPP)���
vvv���"""ÝÝÝâââ���ÑÑÑ���ÞÞÞ������������¹¹¹������(2.5)@@@:::���
minu‖u‖ (2.5)
subject to g(u) = 0
111������sss���NNN���@@@~~~000(((---���zzz���---������sss<<<‖u∗‖���sssºººïïï`¦¦¦������βr���àààddd������
111ïïïååå)))(((ddd<<<���������444ÞÞÞ___���������¹¹¹������(2.6)���
Pf = Φ(βr) = Φ(‖u∗‖) (2.6)
���ddd¹¹¹ÕÕÕxxx^¼¼¼������¹¹¹ÕÕÕ���///àà຺º(((���000������zzz���---���MPP������vvv������ïïï`¦¦¦������
õõõ///���ØØØ___���ööö(((������zzz���---���MPPMMMnnnZZZ������ðððÒÒÒUUU������������2.2���àààdddAFOSM������
444ÞÞÞ___���������ººº'''������(((������zzz���---ØØØ___���öööuuuPPPÀÀÀKKK���ÚÚÚ'''���¦¦¦ÜÜÜ���111¼¼¼������zzz���
������xxxzzz���KKK���///ØØدIIIÛÛÛ���àààddd(((������zzz���---ºººÚÚÚ'''sssãããhhh(((���xxxzzz���---___ºººÚÚÚ'''���
àààdddAFOSM������ººº'''ôôô¥¥¥������xxxzzz���---ØØØ___���öööuuuPPPÀÀÀKKK���ÚÚÚ'''���&&&øøøÜÜÜ���æææ���������qqq
ÿÿÿAFOSM������ººº'''///������MPPBBB���111¼¼¼���sss������PPP���êêêýýýHHHþþþ������MPP���àààdddvvv���
���MPP������ÞÞÞÝÝÝâââøøøîîî `BBB���AFOSM������NNN000444ÞÞÞ___���������(((AFOSM������õõõ������æææ
���ÉÉÉ((((((ïïï`¦¦¦���sss���������ÕÕÕ---888(((���������¹¹¹ÕÕÕººº������iii...���ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ(Reliability
Index Approach) [3,4]���'''ýýý,,,ÏÏÏÕÕÕ(Performance Measure Approach) [5,6]���
7
��� 2.2: AFOSMKKK¤¤¤îîî:::������
2.1.3 ���000aaa���ÕÕÕ (Monte Carlo Simulation)
���000aaa���ÕÕÕ(Monte Carlo Simulation)lll¼¼¼ÖÖÖ###ÕÕÕ(Sampling)������...���!!!111ºººMCS���///���...
888������ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ���ïïïÃÃÃ��� [7]���æææ������(((���000aaa���ÕÕÕ������ïïï`¦¦¦BBB���///)))(((ûûûfff'''ÏÏÏ
ýýý &&&���¨___���xxx___������HHH���###,,,ÞÞÞ���������������###,,,ãããeeeØØØ___���ööö���������ïïï`¦¦¦������������
ïïï`¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ���'''��� ���///������&&& PPP666¨___���xxx���...^///&&&ºººØØد���HHH���111¼¼¼ddd¹¹¹ÕÕÕ������
õõõ!!!®®®���àààdddBBB888«««ÿÿÿ���\\\ºººWWWIIITTTHHH���ïïï`¦¦¦���ººº'''���¹¹¹ÕÕÕ���
GGG---������¨___���xxxX���ØØØ___���ööög������000aaa���ÕÕÕ������ïïï`¦¦¦���¹¹¹���������������¹¹¹���
���(2.7)@@@:::���vvv---xi///111ÍÍÍÔÔÔX@@@ÖÖÖúúúKKK###,,,���===xxxºººN���###,,,������Ig(x)ÅÅÅãããhhh���...������
���hhh:::###,,,ÞÞÞ���444ÞÞÞ���&&&���������������������444ÞÞÞ___���sssºººPf���
Ig(xi) =
1, if g(xi) > 0
0, else
Pf(X) =1
N
N∑i=1
Ig(xi)
(2.7)
8
666��� ������XXX(((¼¼¼###���zzz���---���¨___���xxxX���������vvv444ÞÞÞ___���Pf���æææ���<<<ÉÉÉIII¼¼¼¹¹¹���
���(2.8)���
Pf =
∫ ∞−∞
Ig(x)fx(x)dx (2.8)
FFF///������888`!!!ÕÕÕ���000ddd444ÞÞÞ___������æææ���<<<���999ÚÚÚ���{{{ [7]������000aaa���ÕÕÕ@@@���������444
ÞÞÞ___���Pf���æææ���444ÞÞÞ___���PfKKK������¤¤¤îîî������������¹¹¹������(2.9)���vvv---Nººº###,,,xxx���º���������
444ÞÞÞ___������æææ������444ÞÞÞ___������¤¤¤îîî~~~���ÔÔÔ���
ε% =
√1− Pf
N × Pf
× 200% (2.9)
���111¹¹¹������(2.9)������������������æææ������444ÞÞÞ___���ººº1%���GGG(((ÖÖÖ###106���###,,,ÞÞÞ���95%���
áááôôô@@@������ÅÅÅÁÁÁ���������000aaa������������444ÞÞÞ___���������æææ������444ÞÞÞ___���øøøîîî'''���0.02%æææóóó���
������æææ������444ÞÞÞ___���ººº10%���GGG(((ÖÖÖ###106���###,,,ÞÞÞ���95%���áááôôô@@@������ÅÅÅÁÁÁ���������000aaa���
���������444ÞÞÞ___���������æææ������444ÞÞÞ___���øøøîîî'''���0.6%æææóóó���
2.1.4 ���ÖÖÖ (Discussion)
æææ���(((���{{{---���ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ&&& êêêåååËËË999���ggg¹¹¹���vvvÖÖÖ¹¹¹ÕÕÕ������������ïïï`
¦¦¦¹¹¹ÕÕÕ(Second Order Reliability Method) [7]���qqq���éééÕÕÕ(Moment Method) [8]���ÍÍÍ���ÖÖÖÞÞÞ
ÕÕÕ(Importance Sampling) [9]...III���������ÑÑÑ������������¹¹¹ÕÕÕ������iii...���õõõ���
1. ,,,���...���õõõ���)))(((ØØØ___���ööö���ýýýxxxÏÏÏ<<<���������ïïï`¦¦¦���
������222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ)))(((ØØد���HHH���yyy'''���ÉÉÉ111������---���ÞÞÞ���M.P.P.KKK������
ÝÝÝâââ���000���ïïï`¦¦¦���qqq���éééÕÕÕ///������ØØØ___���ööö(((¨___���xxx������ÛÛÛ���qqq���ééé���������ïïï
`¦¦¦���
2. ,,,���...���õõõ���ôôô¥¥¥)))(((ÖÖÖ### æææ���444ÞÞÞ___���Pf222LLL<<<ÑÑÑ���
���������000aaa���ÕÕÕ���ÍÍÍ���ÖÖÖÞÞÞÕÕÕ...III���
(((dddiii������õõõ������ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ���ååå���000aaa���ÕÕÕ���222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ(((���(((���
ººº!!!®®®���àààddd������(((ddd���dddiii���¹¹¹ÕÕÕ���***:::ÞÞÞ���
9
• ���000aaa���ÕÕÕ���***ÞÞÞ���
1. ¨___���xxx @@@PPP¼¼¼ØØد���HHH���
2. ((( ���---ØØØ___���ööö���ÚÚÚ'''���¦¦¦������ïïïåååTTT000���ººº���ººº���PPP������
• ���000aaa���ÕÕÕ���:::ÞÞÞ���
1. ������'''ÏÏÏ���###,,,MMMýýý������������ººº'''���
2. 111¼¼¼¨___ÖÖÖ###���ÜÜÜÂÂÂ���������---���ÞÞÞÍÍÍ���222LLL���000aaa���ÕÕÕ��� ������000���###���TTT
HHH��� ���������ÕÕÕ222LLL���sss������ðððããã���
• 222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ���***ÞÞÞ���
1. ÖÖÖ###���������
2. øøø���MMMnnn@@@������KKKïïï`¦¦¦������///���###���<<<���
3. (((ØØØ___���öööuuuPPPÀÀÀKKKºººÚÚÚ'''��� www������MPP���ÅÅÅÁÁÁ������ïïïåååTTT000���hhh���ººº���
PPP������
• 222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ���:::ÞÞÞ���
1. ¨___���xxxÅÅÅ���///ØØد���HHH���
2. (((!!!ÕÕÕººº���ØØØ___���ööö���bbb���������ïïï`¦¦¦������<<<&&& ���ººº���
(((,,,ÖÖÖ���������---������(((���ïïïåååxxxÇÇÇ���������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ���222������������!!!ïïï`¦¦¦ÕÕÕ������000
aaa���ÕÕÕ���222LLLïïï`¦¦¦������������666���ððð...¹¹¹ÕÕÕ(((������ïïï`¦¦¦BBB���ýýýÅÅÅ��� ���ýýýxxx222LLL
MMM������ýýýxxx���������àààddd(((OOOLLL,,,«««ºººÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���ÅÅÅÁÁÁ���������������������ïïï`¦¦¦������ÕÕÕýýý
HHH���������óóó/// ïïïLLL���������ªªª������������������!!!ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������±±±»»»���������BBB���
���(((���000aaa���ÕÕÕÖÖÖ103���###,,,ÞÞÞ������ïïï`¦¦¦���£££¼¼¼III///������������---���<<<���ïïï`¦¦¦111ÅÅÅ���±±±
»»»41)))���àààddd���³³³qqqUUU������...ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���ïïï`¦¦¦OOOLLL���������///���ïïï`¦¦¦������ÕÕÕ���ÍÍÍÉÉÉ
òòòbbbÕÕÕPPP������ååå������������ïïï`¦¦¦���BBB������ÜÜܼ¼¼dddèèèýýýïïïÃÃÃ���,,,ÛÛÛàààooo���uuuPPPÀÀÀKKK���"""���
������
10
2.2 EGO������ÕÕÕ (Efficient Global Optimization)
Efficient Global Optimization!!!111ºººEGO���///���...ÝÝÝ OOOLLL,,,«««///ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������sss������
���ÕÕÕ���ddd������ÕÕÕ(((1998ttt111Jones���Schonlau���Welch [10]IIIºººÐÐÐúúú���///������|||UUUwwwòòò&&&
EEE`���������ÕÕÕ���111¼¼¼ddd������ÕÕÕ///ÝÝÝ ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx@@@---������àààdddýýý ������ ���ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxxOOO
LLL���ÖÖÖ###(Sampling)���ýýýxxx������(Function Count)///ddd������ÕÕÕ���;;;���yyyrrr���
EGO������ÕÕÕ///���...���(((Kriging!!!���\\\ºººÍÍÍÉÉÉòòòbbb���������ÕÕÕ������ddd...���(((qqq���!!!���\\\
ºººÍÍÍÉÉÉòòòbbb���������ÕÕÕ���������111KKKººº������������ÕÕÕ������EGO������ÕÕÕÉÉÉ111ôôô°°°ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���¹¹¹������
���åååhhhßßß���sss���(Global Optimum)���///���...������µµµ(Two-Stage)������������ÕÕÕ���ddd������µµµ���µµµ
©©©///���������ÕÕÕ(((zzz������������������MMMnnnBBB���///)))(((ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���ÇÇÇ222LLL���!!!������sss���NNN������
zzz������ÜÜܼ¼¼���(((ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���hhhßßß���sss���������ÕÕÕ���^���ïïïÃÃÃ������{{{ [11]���
���(((1998tttKKK������EGO������ÕÕÕ~~~���ÔÔÔ���ÍÍÍ������|||UUU���+++������2001ttt111Gutmann|||UUUååå
������úúú���ýýýxxx(Radial Basis Function)\\\ºººÍÍÍÉÉÉòòòbbb���������ÕÕÕ [12]���2002ttt111Sasena���EGOööö
888óóóÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������xxxxxxOOOLLLKKK������÷÷÷������OOOLLL [13]���2006ttt111Knowles��� EGO������ÕÕÕ¨
ãããóóó���îîî������sss���OOOLLL [14]���EGO@@@���(((���ÍÍÍÉÉÉòòòbbb///���... 111ºººKriging���qqq���!!!������ddd
qqq���!!!���(((,,,àààsss000���ËËË999���ååå���ÝÝÝ EGO���000ÀÀÀ åååÏÏÏððð���
2.2.1 ������������ (Bayesian Analysis)
������������(Bayesian Analysis)ººº���...���(((qqq���!!!������������ÕÕÕ���vvvwwwòòòïïïýýý¯óóó1960tttããã������
ééé���������������������ÕÕÕ@@@���(((���qqq���!!!���///ËËË NNN���(Wiener Process)���___ººº111KKKººº������KKK
ÕÕÕ(Brownian Motion)���///¬¬¬ïïï+++NNN���(Markov Process)���;;;������õõõ///ÐÐÐMMMnnn���ýýýxxx������<<<
������pppxxx������ÐÐÐMMMnnnÝÝÝâââ���ÑÑÑ���###,,,ÜÜÜ���ïïïÃÃÃ��� [15]���������ééé��������������� eee���sss������
���������õõõ///111Kushner¼¼¼1964tttÐÐÐúúú [16]���
������KushnerÐÐÐúúúddd���õõõ���;;;������ààà(((¼¼¼¯¦¦¦���(Gradient-Based)������ÕÕÕ!!!ÕÕÕKKK @@@PPP
¼¼¼@@@èèè���sss<<<(Local Optima)���OOOLLL���Kushner���ººº(((������ÕÕÕzzz������������ÞÞÞ���MMMnnnBBB��� ���
êêê���(((@@@èèè���ÇÇÇ���zzz���������///���(((@@@ÖÖÖ###���ÇÇÇ���zzz������àààddd(((Kushner���¹¹¹ÕÕÕ---���
���������ÞÞÞ///ÍÍÍÉÉÉòòòbbbÁÁÁ���'''999���___������MMMnnn������¹¹¹������(2.10)���vvv---f(x)///ÍÍÍÉÉÉòòòbbb
���xxx<<<���fmin///###,,,ÞÞÞ---���������<<<���º���(((���êêê���©©©xxx���
11
maxx
Pr
[f(x) < fmin − ε
](2.10)
(((������ÕÕÕ---���KushnerÉÉÉ111¿¿¿tttε���xxx<<<���zzz���������ÕÕÕ���������'''êêê���ddd¹¹¹ÕÕÕ������«««ººº111
KKKºººKushner¹¹¹ÕÕÕ������¹¹¹������(2.10)������«««111ºººKushner���������vvvggg¹¹¹ïïïåååÃÃÃ���,,,ÖÖÖ���,,,ÛÛÛ
ààà���222ãããôôô���ÜÜܼ¼¼������������������ÕÕÕ���ggg¹¹¹���ïïïÃÃÃ��� [17]���
2.2.2 ������AAA��� (Algorithm Flowchart)
EGO������ÕÕÕ���(((Kriging!!!������)))(((������������������ÕÕÕ������õõõ���(((ÏÏÏ���!!!íííãããBBBýýý ÍÍÍÉÉÉòòò
bbb@@@DDD������ýýýxxx222LLL���!!!���sss������111¼¼¼dddÍÍÍÉÉÉòòòbbb@@@DDD������ýýýxxx///������������ÕÕÕzzz������������
ÖÖÖ###MMMnnn������������àààddd������111dddýýýxxxºººÖÖÖ###������(Infill Sampling Criterion���ISC)���666���ÖÖÖ
###������&&& ������êêêPPP¼¼¼���îîî���ýýýxxxÜÜÜ���ÜÜܼ¼¼ÖÖÖ###���������ggg¹¹¹ïïïÃÃÃ���,,,ÖÖÖ���,,,ÛÛÛààà���999ÚÚÚ
���{{{ [18]---���������EGO������ÕÕÕ���AAA������������2.3@@@:::���
��� 2.3: Sasena et al.@@@���(((���EGO������ÕÕÕAAA������
12
���������EGO������ÕÕÕ;;;������ººº������eee___������%%%///
1. OOOLLL������xxxzzz���222LLL���ËËËÖÖÖ###(Initial Sampling)���ÖÖÖ###¹¹¹ÕÕÕïïïååå(((ÉÉÉ���¹¹¹<<<
ÕÕÕ(Latin-Hypercube)���000ããã���ôôô¤¤¤hhhÕÕÕ(Taguchi Orthogonal Arrays)���hhhàààPPPæææWWW
ÕÕÕ(Full-Factorial)III���
2. 999ÚÚÚÖÖÖ###���úúúËËËKriging!!!������
3. 999ÚÚÚKriging!!!������ÇÇÇ��� ÖÖÖ###������222LLL���sss������ïïïååå(((������!!!íííããã---���ÝÝÝ ���...
ÖÖÖ###������222LLL���sss������
4. 999ÚÚÚ,,,eee___KKKPPP������ ���æææýýýxxx222LLLÖÖÖ###���
5. vvvÖÖÖ###PPP���KKKýýýxxx999���ÏÏÏ<<<NNN������GGG������PPP___���&&&GGGÞÞÞ000,,,���eee___���
111AAA���������eee___---ïïïååå|||þþþ���EGO���;;;���ggg¹¹¹(((¼¼¼Kriging!!!������ÖÖÖ###���������ÅÅÅ���èèè
���000(((úúúËËËKriging!!!���BBB������������������sss������NNN������ÖÖÖ###������___���������������sss������NNN������
@@@ååå(((EGO������ÕÕÕ---������!!!íííããã111���+++���iii������sss������NNN������àààdddååå///���OOOLLL&&&^ÑÑÑÒÒÒPPP
ýýýxxx���GGGEGO������ÕÕÕ&&&���***'''���***âââ���
2.2.3 ,,,fffÄÄÄ��� (Demonstration Example)
ååå���)))(((iii���ÄÄÄ������ªªª���EGO������ÕÕÕ���vvvÖÖÖhhhßßß���sss���������ÕÕÕ���îîîppp���
Gomez,,,fffÄÄÄ��� [2,19]���
minx
f(x) =
(4− 2.1x2
1 +x4
1
3
)x2
1 + x1x2 +(−4 + 4x2
2
)x2
2
s.t. g(x) = − sin(4πx1) + 2 sin2(2πx2) ≤ 0
newBranin,,,fffÄÄÄ��� [20,21]���
minx
f(x) = −(x1 − 10)2 − (x2 − 15)2
s.t. g(x) =
(x2 −
5.1
4π2x2
1 +5
πx1 − 6
)2
+ 10
(1− 1
8π
)cosx1 + 10 ≤ 0
13
(a) Gomez (b) newBranin
��� 2.4: EGO������ÕÕÕ,,,fffÄÄÄ������
dddiii���ÄÄÄ���������2.4������---ÑÑÑrrræææÚÚÚºººØØØ___���öööIII¼¼¼ööö���MMMnnn���������111dddMMMnnnºººuuuPPP
ÀÀÀKKK(Limit State)���IIIØØØÚÚÚºººîîî���ýýýxxx���ppp���������___ºººOOOLLL������sssããã���EGO������NNN������
���2.5@@@:::������---xººº���ËËË###,,,���oºººEGO������NNN������ÖÖÖ###���
(a) Gomez (b) newBranin
��� 2.5: EGO������ÕÕÕ,,,fffÄÄÄ���NNN������
14
���EGO������ÕÕÕ���PPP������MATLAB������KKKúúúààà������ÕÕÕ(Genetic Algorithm���GA)���ÆÆÆ���
999'''xxxWhiteheadIIIººº@@@°°°ëëëKKK!!!ììì���kkk������ÕÕÕ(Simulated Annealing Algorithm���SA)���ÆÆÆ
���999'''xxxSasena@@@°°°ëëëKKKDIRECT������ÕÕÕIII���sss���������ÕÕÕ222LLLÔÔÔ���������hhh2.1���hhh2.2���
hhh 2.1: Gomez,,,fffÄÄÄ���((( ���������ÕÕÕ���KKKPPP���ÔÔÔ���hhh
ýýýxxx������!!!xxx ���sss<<<
EGO 55 -0.9710
DIRECT 173 -0.9678
GA 3709 -0.9709
SA 4241 -0.9707
hhh 2.2: newBranin,,,fffÄÄÄ���((( ���������ÕÕÕ���KKKPPP���ÔÔÔ���hhh
ýýýxxx������!!!xxx ���sss<<<
EGO 42 -268.36
DIRECT 119 -268.78
GA 5201 -268.76
SA 5371 -268.51
111ðððiii���,,,fffÄÄÄ���ïïïååå���úúú���EGO������ÕÕÕ(((ýýýxxx���===������!!!xxx���ýýý`ÔÔÔvvvÖÖÖ���sss
���������ÕÕÕ���������������___///ddd������ÕÕÕ���'''���yyyÞÞÞ���666������...������ÕÕÕýýýÅÅÅwwwKKKUUU���(((ddd������
&&& ///óóóÔÔÔ���������ÕÕÕ���***£££��� ���KKKMMM@@@ÐÐÐ000���������OOOLLL,,,«««&&&^���������wwwBBB������������ÑÑÑ
ÒÒÒPPPýýýxxx���GGGEGO������ÕÕÕ(((������BBB������ www***âââ���
15
,,, ààà Kriging!!!��� (Kriging Model)
Kriging!!!���������ËËË���úúú,,,���õõõ������êêê¼¼¼WWW^���&&&¶¶¶ååå���+++Krige ¼¼¼WWW^&&&������HHH���¢¢¢
ååå���vvv [22]���������111ÕÕÕ���xxxxxx¶¶¶Matheron999ÚÚÚKrige������vvv���ÐÐÐúúú���WWW%%%¼¼¼³³³qqqqqq���¹¹¹
ÕÕÕ���000������ÖÖÖ���\\\ººº000���qqq���xxx(Geostatistics)���úúú������000���qqq���ÈÈÈ111ºººzzz���qqq���(Spatial
Statistics)���¼¼¼1950tttããã���������ËËË|||UUUbbb���������°°°���qqq���xxx���///������Kriging!!!���///000���qqq
���xxx---������...(((���¨000ÏÏÏ<<<���¹¹¹ÕÕÕ���
(((1940tttããã���000���xxx¶¶¶(((WWW^222LLL&&&444ÇÇÇ���000������UUUùùùBBB���|||þþþ³³³qqqqqq���xxx������ÏÏÏ
###,,,@@@JJJÔÔÔMMM���'''������zzz������������yyyµµµ���àààddd(((222LLL000������UUUùùùXXX(((111��� ýýýKKK ���OOO
LLL���������qqq���xxx���|||þþþ���������ÏÏÏ&&& ///®®®������¨___���ÏÏÏ���àààddd ýýý(((!!!®®®���qqq���¹¹¹ÕÕÕ222LLL
000������UUUùùù���000���1950tttããã���������WWW^���&&&¶¶¶ååå���+++Krige���Sichel���vvvWWW^ÑÑÑ&&&222ÏÏÏ������
���OOOLLL���ÐÐÐúúú���(((###,,,zzz���MMMnnn���øøøÜÜÜ���¦¦¦���000���@@@JJJMMMnnnÊÊÊÑÑÑ&&&222XXXÏÏÏ���&&&���vvv000���¤¤¤
îîî������������ÑÑÑ&&&222XXXÏÏÏ���������õõõ���///ºººKriging!!!������ÛÛÛ������
1963ttt���MatheronúúúHHHPrinciples of Geostatistics���ÐÐÐúúú000���qqq���xxx������õõõ������©©©000���
qqq���xxx///���...¨___ýýýxxx(Random Function)(((¨000êêê666þþþaaa���ÉÉÉ(((���&&&(((1970tttÐÐÐúúú@@@ßßß���
���xxx���ÖÖÖ���¢¢¢���êêê666þþþaaa(((zzz������HHH���øøøÜÜÜ'''���ººº������õõõKrige���¢¢¢{{{���Matheron���ddd
¨000¹¹¹ÕÕÕ¹¹¹ÕÕÕ}}} ºººKriging���1970tttãããååå������'''ÏÏÏ000���qqq������vvv���ÉÉÉ(((øøøMMMøøø|||úúúHHH���óóó
ddd���000���qqq������ÖÖÖòòò«««ãããÛÛÛÉÉÉ(((¼¼¼°°°���ååå���������KKK���444������YYY,,,���ººº���IIIzzz���ÇÇÇ������������
111¼¼¼ddd¹¹¹ÕÕÕ������///àààÉÉÉ000���xxx���ßßß(���¡¡¡&&&xxx���000êêêxxx)������BBB���|||UUU���ÉÉÉ(((���@@@ååå«««111ººº
000���qqq���xxx������Matheron___àààddd«««ººº111ººº000���qqq���xxx���`úúú������vvv���sssïïïåååÃÃÃ��� [23]���222
ãããôôô���ÜÜܼ¼¼Kriging���www������wwwòòò���ïïïåååÃÃÃ��� [24]���
===PPPððð���������ïïïååå!!!®®®���ªªª���Kriging!!!������;;;���ggg¹¹¹���(((¼¼¼¢¢¢������UUU(((PPP���ÀÀÀßßß
xxxÚÚÚ������úúúËËË������(((yyy���ÄÄÄ gggÐÐÐ...êêê666þþþaaa���ppp���¦¦¦������,,,!!!������
000���1980tttããã+++������Kriging!!!������ËËË«««ÉÉÉ(((000ûûûfffæææWWW!!!ììì(Computer Experiments)
[25,26]���\\\ººº���...^<<<¼¼¼ÍÍÍÉÉÉòòòbbbÕÕÕ(Response Surface Mathodology)���åååwww���������...PPP���
æææWWW---������Kriging!!!���������,,,888eee���888úúúKKK������ÜÜÜÂÂÂKKK¹¹¹ÕÕÕ���������«««ººº111ºººDACE(Design
and Analysis of Computer Experiments)���óóóddd���Kriging!!!������ËËË«««ãããÛÛÛÉÉÉ((((((���...ååå������
ßßßOOOLLL������ôôô���___,,,fffæææWWW [27]���±±±AAA���SSSccc±±±TTT---��� [28]���[[['''������---��� [29]���222444
ÓÓÓ���vvv---��� [30]...III���666���DACE���000���qqq���xxx ¼¼¼Kriging!!!���������((( ���������'''
16
��� ���ÞÞÞ///(((Kriging !!!������ÃÃÃxxx���ÇÇÇ���iii���WWW***666 ������\\\ÕÕÕ���dddèèèýýý���(((,,,ààà,,,ÛÛÛ
ÀÀÀZZZÔÔÔ������
!!!®®®���ªªªDACE@@@���(((���Kriging!!!���///000���qqq���xxx---���vvv---���èèè���������iii...���õõõ(((ÏÏÏ
ðððïïïååå���%%%ÃÃÃ��� [31,32] ���,,,ÖÖÖ���;;;������ååå000���qqq���xxx���ÒÒÒ¦¦¦������ãããKriging!!!������úúú,,,
���õõõ���
3.1 úúú,,,���õõõ (Basic Concept)
222ÀÀÀßßßÐÐÐ���@@@ßßßggg������...êêê666þþþaaaKKK¨âââ������HHH������wwwÔÔÔØØئ¦¦���zzz###ÆÆƦ¦¦���«««¦¦¦���ÕÕÕ¦¦¦
III���ôôôÀÀÀ���\\\ÕÕÕ///((( ������MMMnnnÖÖÖ###ÏÏÏ,,,dddêêê666þþþaaa������������ýýý ������êêê666þþþaaa(((zzz���---
������HHH���eeeããã���666������999ÚÚÚ������ÖÖÖ###@@@666ÆÆÆ000���xxxÚÚÚ���������,,,(((������@@@ßßßggg������������
���NNNÖÖÖ###���MMMnnnKKK���,,,<<<���������3.1���oºººÖÖÖ###ÞÞÞ���xººº222���,,,���MMMnnn���
��� 3.1: ÖÖÖ###������,,,MMMnnn:::������
������111ns���ÖÖÖ###ÞÞÞ@@@���000���ÏÏÏ,,,<<<ºººgα���***ÖÖÖ###MMMnnn���ýýýxxx���,,,<<<ºººg���Kriging!!!���
������õõõ///ddd���,,,<<<///@@@ÏÏÏ,,,<<<���ÚÚÚ'''DDD���������¹¹¹������(3.1)���vvv---λ১º���DDDÚÚÚ'''DDD������
ÍÍÍ������ ������MMMnnn��� ������ÍÍÍ���àààddd ¼¼¼Kriging!!!������ªªª���êêê���zzz���������DDDÍÍÍsssïïï
zzz���ÖÖÖ###������,,,KKK������ÜÜÜÂÂÂ���
17
g(x) =ns∑α=1
λα(x)gα (3.1)
666���ïïïååå|||þþþ���������æææ///sss���///(((øøø������MMMnnn���ÍÍÍ������ÏÏÏ,,,dddêêê666þþþaaa@@@���000���ÏÏÏ,,,
<<<���&&& ������ýýý���///���������ÏÏÏ<<<���������ïïïååå|||þþþdddÏÏÏ,,,<<<///������¨___ýýýxxx���������111������þþþ
aaaëëëZZZ������www���(Stochastic Process)���������ddd������ýýýxxx///������ØØد���HHH���������GGGïïïåå媪ª���
���êêê666þþþaaa(((zzz���---��� ���MMMnnn///������ØØدwww���(Gaussian Process)���������3.2������æææÚÚÚãããhhh
sssGGG<<<���000æææÚÚÚãããhhh(((ÐÐÐ���MMMnnn������HHH���ÅÅÅ���èèè���000Kriging!!!���&&& GGG---vvv,,,«««ºººÐÐÐ...bbb
������������www������666���(((ddd���������Kriging!!!���GGG---ºººØØدwww������222LLLªªª���������(((,,,ÖÖÖ���---@@@
���Kriging!!!���ýýý���åååØØدwww������ãããhhh���
��� 3.2: ØØدwww���:::������
àààdddÝÝÝ ������ØØدwww������ýýýxxxG(x)���������ïïïååå���vvv���ããã999ëëë���������(Deterministic)���
������(Stochastic)���iii���èèèýýý������¹¹¹������(3.2)���vvv---������èèèýýý���yj(x)ºººÞÞÞxxxýýýxxx���βjºººÞÞÞxxx
ÂÂÂxxx���������èèèýýý���Z(x)///������ØØد���HHH���___ïïïååå111KKKºººOOOîîî<<<(Departure)������dddØØد���HHH
///������åååsssGGG<<<ºººööö���������îîºσz���¨___���HHH���
18
G(x) =k∑j=1
βjyj(x) + Z(x) (3.2)
ÏÏÏ���###������XXX(((¼¼¼zzz���---���������www������vvv,,,«««///&&&XXX(((WWW������qqq������yyy'''������
���3.2���!!!®®®���ªªª������iii���øøøÝÝÝδ���¨___ýýýxxx���%%%ºººG(xi)���G(xi + δ)���vvv ÉÉÉ���OOOîîî<<<
ºººZ(xi)���Z(xi + δ)���GGG---δ///������øøøvvv������<<<���Kriging���ÖÖÖ���ººº������(((xiMMMnnn���OOOîîî<<<���
'''���£££¼¼¼111ïïïååå���������������ººº(((xi + δMMMnnn���OOOîîî<<<___������'''���___111///ªªª������������www���---
���iii��� ���MMMnnnKKKOOOîîî<<<���ÜÜÜÂÂÂ���������iii���KKK������ÝÝÝâââÜÜÜ���àààddd���(((���NNN'''ÏÏÏqqq���xxxÚÚÚ
���ÀÀÀßßß������qqq���xxx¶¶¶ÐÐÐúúú���iii...ÜÜܼ¼¼¨___ýýýxxx���úúú,,,GGG---������%%%///sssiiiGGG---(Stationay
Hypothesis)���,,,êêêGGG---(Intrinsic Hypothesis)������%%%���������
• sssiiiGGG---������ttt���XXXðððÉÉÉrrr///������sssiiiGGG---(Second-Order Stationary Hypothesis)���
ÈÈÈ111ºººããã©©©'''sssiiiGGG---(Wide-Sense Stationary)���vvv������¨___ýýýxxxÿÿÿ³³³������������ööö
GGG111ºººÿÿÿ³³³sssiiiGGG---���
1. ¨___ýýýxxx((( ���MMMnnn���������<<< ���àà຺ºMMMnnn��� ������999������
E[G(x)] = m (3.3)
2. ¨___ýýýxxx((( ���MMMnnn������pppxxx ���àà຺ºMMMnnn��� ������999������
V ar[G(x)] = E[G(x)2] = E[Z(x)2] = σ2z (3.4)
3. iii��� ���MMMnnn���¨___ýýýxxx���vvvqqq���pppxxxêêê���iii���KKK������øøø ÝÝÝâââÜÜÜ������vvv���
%%%@@@(((MMMnnn!!!ÜÜÜ���
Cov(G(xi), G(xj)) = Cov(Z(xi), Z(xj))
= E[(Z(xi)−m)(Z(xj)−m)] = C1(h) (3.5)
vvv---h = ‖xi − xj‖���C1(h)ººº���������ÝÝÝâââÜÜÜKKKýýýxxx���
• ,,,êêêGGG---���vvv¨___ýýýxxxÿÿÿ³³³������iii������öööGGG111ºººÿÿÿ³³³,,,êêêGGG---���
1. iii��� ���MMMnnn���¨___���xxx���vvvKKK���îîî<<<���������<<<ºººiii���MMMnnnKKK���ÝÝÝâââ���ýýýxxx���
���vvv���%%%@@@(((MMMnnn!!!ÜÜÜ���
E[G(xi)−G(xj)] = C1(h) (3.6)
19
2. iii��� ���MMMnnn���¨___���xxx���vvvKKK���îîî<<<������pppxxxºººiii���MMMnnnKKK���ÝÝÝâââ���ýýýxxx���
���vvv���%%%@@@(((MMMnnn!!!ÜÜÜ���
V ar[G(xi)−G(xj)] = E[(G(xi)−G(xj))2] = C2(h) (3.7)
vvv---h = ‖xi − xj‖���C1(h)���C2(h)ÅÅÅãããhhhiii������ÝÝÝâââÜÜÜKKKýýýxxx���
ÅÅÅ���èèè���000���������ÿÿÿ³³³sssiiiGGG---���¨___ýýýxxx������888___���ÿÿÿ³³³,,,êêêGGG---���FFF///������ÿÿÿ³³³
,,,êêêGGG---���ýýýxxx���&&& ���������ÿÿÿ³³³sssiiiGGG---������������GGG---///���...qqq���xxxÚÚÚÀÀÀßßß���PPP������
vvv,,,«««&&& ãããhhh���...êêê666���������àààddd&&&^@@@êêê666þþþaaa���ÿÿÿ³³³ðððGGG---���666���������ïïïååå999
ÚÚÚðððGGG---@@@���000���qqq���yyy'''������ Kriging!!!������¹¹¹������222LLL¨������vvv¨���NNN���ïïï���������
ÀÀÀ���===PPPððð���Kriging!!!������úúú,,,���õõõ;;;���ïïïååå���ººº������iiiÞÞÞ���
1. ØØدwww���---iii��� ���MMMnnn���OOOîîî<<<���vvvqqq���pppxxx���iii���øøø MMMnnnÜÜÜ���
2. ���,,,<<<///ÏÏÏ,,,<<<���ÚÚÚ'''DDD������
20
3.2 lll���¨��� (Kriging Basics Formula Derivation)
dddèèèýýýlll���¨���ïïïÃÃÃ������{{{ [33]���GGG---XXX(((¼¼¼zzz���---���êêê666þþþaaahhh:::���¹¹¹������(3.2)���vvv
---yj(x)ºººÞÞÞxxxýýýxxx���βjºººÞÞÞxxxÂÂÂxxx���������������(((k���¹¹¹���������DDD���������ÞÞÞxxxýýýxxx���GGG������
ïïïåååhhh:::���������k × 1���éééccc���åååÊÊÊøøø ÉÉÉ���ÞÞÞxxxÂÂÂxxxéééccc���&&&���ïïïååå���¹¹¹������(3.2)999ëëë���
¹¹¹������(3.8)���
y(x) =[y1(x), y2(x), . . . , yk(x)
]T
β =[β1, β2, . . . , βk
]T
G(x) = y(x)Tβ + Z(x) (3.8)
GGG---ÖÖÖns���###,,,ÞÞÞ������%%%ººº{xα : α = 1, . . . , ns}���@@@���000���ÏÏÏ,,,<<<���%%%ººº{gα : α =
1, . . . , ns}������������###,,,PPP���ãããeee¹¹¹������(3.8)ïïï���000������¹¹¹������(3.9)���999ÚÚÚGGG---������������ddd
ÜÜÜÂÂÂ������ººº������æææ���XXX(((���ýýýxxx���
g1
g2
...
gns
=
y1(x1) y2(x2) · · · yk(xns)
y1(x1)...
...
y1(x1) · · · yk(xns)
β1
β2
...
βk
+
Z(x1)
Z(x2)...
Z(xns)
gα = yαβ + Z (3.9)
999ÚÚÚ¹¹¹������(3.1)���Kriging!!!���///###,,,ÞÞÞ,,,ÏÏÏ<<<���ÚÚÚ'''DDD������������111KKKºººKriging
Estimator������¹¹¹������(3.10)
g(x) = λα(x)Tgα
= λα(x)Tyαβ + λα(x)TZ (3.10)
21
(((¨���Kriging!!!������NNN���---���@@@���(((������õõõ///���sss!!!OOO000ÚÚÚ'''���,,,ÕÕÕ(Best Linear
Unbiased Predicto���BLUP)���àààddd¨���NNN���;;;������ºººiii���eee___������%%%///!!!OOOîîî(Unbiased)���
������GGG¹¹¹¤¤¤îîî(Mean Square Error)iii���èèèýýý���,,,������eee___///äääKriging!!!���www!!!OOOîîî���'''
êêê���¹¹¹ÕÕÕ///������æææýýýxxx¹¹¹������(3.8)���Kriging Estimator¹¹¹������(3.10)���������<<<øøøIII���ïïï���¹¹¹
������(3.11)\\\ººº!!!OOOîîîØØØ___���ööö���sssvvvÚÚÚ'''DDD������ÍÍÍÿÿÿ³³³ddd¹¹¹������BBB���Kriging!!!���sssïïï
www!!!OOOîîî'''êêê������,,,<<<���
E[g(x)] = E[G(x)]
E[λα(x)Tyαβ + λα(x)TZ] = E[y(x)Tβ + Z(x)]
λα(x)Tyαβ = y(x)Tβ
yTαλα(x) = y(x) (3.11)
(((222LLL¥¥¥���������¨���KKKMMM���������HHH���°°°¢¢¢���111sssiiiGGG---@@@���000���¹¹¹������(3.5)������
iii���¨___ýýýxxx���qqq���pppxxx¹¹¹���������©©©ºººååå���¹¹¹������(3.12)���vvv---R(xi,xj)111ºººzzz���øøøÜÜÜýýý
xxx(Spatial Correlation Function)���ººº���¨���¹¹¹¿¿¿���(((dddHHH���ddd¹¹¹���������ººº������òòòååå���ýýý
xxx���vvvsss000ggg¹¹¹���(((������ÀÀÀªªª������
E[Z(xi)Z(xj)] = Cov(Z(xi), Z(xj)) = σ2zR(xi,xj) (3.12)
,,,���eee___///������������GGG¹¹¹¤¤¤îîî������Kriging Estimator������æææýýýxxxKKK������GGG¹¹¹¤¤¤îîî���
úúú���ººº���!!!���&&&___������������λα(x)���eeeºººλα���������
E[g(x)−G(x)]2 =E[λTαgα −G(x)]2
=E[λTαgαg
Tαλα − 2λT
αgαG(x) +G(x)2]
=E[λTα(yαβ + Z)(yαβ + Z)λα − 2λT
α(yαβ + Z)(y(x)Tβ + Z(x))...
+ (y(x)Tβ + Z(x))2]
=(λTαyαβ − yTβ)2 + σ2
zλTαRαλα + σ2
z − 2σ2zλ
Tαr(x)
=σ2z(λ
TαRαλα + 1− 2λT
αr(x))
=σg(x) (3.13)
22
vvv---R১ºÖÖÖ###���ÖÖÖ###KKK������zzz���øøøÜÜÜýýýxxxéééccc���vvv'''���ºººns × ns���r(x)ºººÖÖÖ###������,,,
MMMnnn���zzz���øøøÜÜÜýýýxxxéééccc���vvv'''���ºººns × 1������%%%������
Rα =
R(x1,x1) R(x1,x2) · · · R(x1,xns)
R(x2,x1)...
...
R(xns ,x1) · · · R(xns ,xns)
r(x) =
R(x1,x)
R(x2,x)...
R(xns ,x)
óóóddd������òòò���ÁÁÁKriging!!!������¨000���pppxxx���,,,���������¹¹¹������(3.13)���ddd���,,,���ãããhhh
WWWKriging!!!������æææ���ýýýxxx���¹¹¹GGG¤¤¤îîî���àààddd���������(((!!!OOOîîîØØØ___���ööö������ääävvv¹¹¹GGG¤¤¤îîî���
���������àààdddïïïååå���dddOOOLLLëëë������,,,���sss���bbb������������¹¹¹������(3.14)���
minλα
σ2z(λ
TαRαλα + 1− 2λT
αr(x)) (3.14)
s.t. yTαλα = y(x)
¹¹¹������(3.14)������sss���OOOLLLïïï(((ÉÉÉ<<<���ååå¹¹¹������(Largrange Function)(3.15)���BBBããã���vvv
---νºººÉÉÉ<<<���åååàààPPP(Largrange Multipliers)���
Lν = σ2z(λ
TαRαλα + 1− 2λT
αr(x))− ν[yTαλα − y(x)] (3.15)
���ÉÉÉ<<<���ååå¹¹¹������ λα®®®���ïïï���
σ2zRαλα − σ2
zr(x)− yν = 0 (3.16)
¹¹¹������(3.11)���¹¹¹������(3.16)KKKoooËËËãã㺺ºλα���ν������vvvëëë���ééécccbbb���������¹¹¹������(3.17)���
23
σ2ZRα yα
yTα 0
λα
−ν
=
σ2zr(x)
y(x)
(3.17)
óóódddòòòïïïååå)))(((¹¹¹������(3.17)���éééccc������λα������Kriging EstimatorsssïïïBBB������¹¹¹���
���(3.18)������Kriging!!!���������pppxxxsssººº¹¹¹������(3.13)������vvv999ëëë���ééécccbbb���������¹¹¹���
���(3.19)���
g(x) = λTαgα =
[r(x)T y(x)T
] Rα yα
yTα 0
−1 gα
0
(3.18)
σg(x) = σ2z(1 + λT
αRαλα − 2λTαr(x))
= σ2z
1−[
r(x)T y(x)T] Rα yα
yTα 0
−1 r(x)
y(x)
(3.19)
999ÚÚÚ���{{{ [34]���ïïïååå���¹¹¹������(3.18)(3.19)999ëëë���æææ���...bbb���������¹¹¹������(3.20)(3.21)���
g(x) = y(x)T β + r(x)TR−1α (gα − yαβ) (3.20)
β = (yTαR−1α yα)−1yTαR−1
α gα
σg(x) = σ2z(1− r(x)TR−1
α r(x)) (3.21)
ååå@@@XXXððð���ÛÛÛ���¹¹¹������(3.18-3.21)���GGGïïï���000Kriging!!!������sssGGG<<<������pppxxx���îîî
%%%êêê(((¼¼¼������������������ÍÍÍÔÔÔ000���sssGGG<<<β������(((dddUUU������@@@���000���Kriging!!!������111KKK
ºººUniversal Kriging���������ððð���¹¹¹������---���ÞÞÞxxxýýýxxxyj(x)III¼¼¼1���GGG������111KKKºººOrdinary
Kriging������¹¹¹������(3.22)(3.23)���Ordinary Krigingwww������yyyrrr���sss)))(((!!!OOOîîîØØØ___���ööö
ïïïååå���úúúÍÍÍ���===���III¼¼¼���������¹¹¹������(3.24)���
24
g(x) =[
r(x)T 1] Rα 1
1 0
−1 gα
0
= 1β + r(x)TR−1
α (gα − 1β) (3.22)
β = (1R−1α 1)−11R−1
α gα
σg(x) = σ2z
1−[
r(x)T 1] Rα 1
1 0
−1 r(x)
1
= σ2
z(1− r(x)TR−1α r(x)) (3.23)
1Tλα(x) = 1 (3.24)
Ordinary Kriging///îîîMMMååå������ßßß���888���(((���Kriging!!!������,,,ÖÖÖ���������ggg¹¹¹���
åååOrdinary Krigingººº;;;���666���ååå¹¹¹������������������ýýý///(((ýýýxxx���qqq���pppxxx¹¹¹������(3.12)///
(((òòòååå���ÅÅÅÁÁÁ���@@@���000���PPP������666��� ������qqq���pppxxx¹¹¹������������"""���***666 ������Kriging!!!
������ÜÜܼ¼¼���UUUzzz���dddqqq���pppxxx¹¹¹���������(((������ÀÀÀªªª������
25
3.3 ÃÃÃxxxxxxÇÇÇ (Parameter Estimation)
���������ÀÀÀ���ªªª������ ������qqq���pppxxx¹¹¹������������"""���***666 ������Kriging!!!������àààdddzzz���ddd
¹¹¹������///���öööÍÍÍ���������������������111������NNN���ºººììì���(Fitting)���þþþÊÊÊ Kriging!!!���222LLLììì���
���¹¹¹ÕÕÕ;;;���...������%%%///���ppp���������(Variogram)������'''<<<666¨000ÕÕÕ(Maximal Likelihood
Estimation)åååÊÊʤ¤¤ÉÉÉWWWIIIÕÕÕ(Cross Validation)���
���ppp������������êêê¼¼¼000���qqq���xxx���///���������,,,���ììì���¹¹¹ÕÕÕ������'''<<<666¨000ÕÕÕ«««ãããÛÛÛÉÉÉ
(((¼¼¼ååå������ßßß������+++���EGO������ÕÕÕ������¤¤¤ÉÉÉWWWIIIÕÕÕ������õõõøøøvvv!!!®®®������®®®ÞÞÞûûûúúúÕÕÕ(Leave
One Out)øøø<<<���HHH���@@@ÖÖÖ###---½½½úúú���xxxÖÖÖ###������©©©������qqq���pppxxx¹¹¹������&&&���---���dddqqq���
pppxxx¹¹¹���������ÃÃÃxxx���666���������«««½½½úúú���ÖÖÖ###���ddd¹¹¹������úúúËËËKriging!!!������ÉÉÉ111 ���¹¹¹���
���ÃÃÃxxx���ÔÔÔ���Kriging!!!������½½½úúú���ÖÖÖ###KKK������¤¤¤îîî���KKK������ÍÍÍ������ÖÖÖúúú ������ÖÖÖ###&&&÷÷÷LLL
ðððÕÕÕ\\\���(((���{{{ [35]---ÔÔÔ������'''<<<666¨000ÕÕÕ���¤¤¤ÉÉÉWWWIIIÕÕÕ���666���ddd¹¹¹ÕÕÕ���ììì���BBB������
www���àààdddÔÔÔ���������{{{���vvv\\\ººº������ÕÕÕ���ììì���¹¹¹ÕÕÕ���'''èèè������(((¤¤¤ÉÉÉWWWIIIÕÕÕ///ººº������$$$···
îîîMMMKriging!!!���������ýýýxxx¤¤¤îîî���������àààddd(((,,,ÖÖÖ���---������ååå���ppp���������������'''<<<666¨000ÕÕÕ
\\\ººº���ÖÖÖ���;;;LLL���
3.3.1 ���ppp��������� (Variogram)
���ppp���///���...qqq������ÏÏÏ,,,åååwww���(((���ÏÏÏ,,,������¨___ýýýxxx���zzz���øøøÜÜÜ���¦¦¦���vvvsss000ggg
¹¹¹ïïïÃÃÃ������{{{ [32,36]���vvvxxxxxx���©©©���,,,êêêGGG---���,,,������¹¹¹������(3.7)øøø���������������¹¹¹���
���(3.25)���vvv---2γ(h)ººº���ppp������
2γ(h) = E[(G(xi)−G(xj))2] (3.25)
���nnn������ÿÿÿ³³³sssiiiGGG---���,,,êêêGGG---���¨___ýýýxxxG(x)���GGG���ppp���¹¹¹������ïïï999ëëë���¹¹¹���
���(3.26)���vvv---γ(h)111KKKºººJJJ���ppp���(Semivariogram)
26
2γ(h) = E[(G(xi)−G(xj))2] = E[G(xi)
2 − 2G(xi)G(xj) +G(xj)2]
∵ E[G(xi)2] = E[G(xj)
2] = σ2z
E[G(xi)G(xj)] = Cov(G(xi), G(xj)) = Cov(Z(xi), Z(xj))
∴ E[G(xi)2 − 2G(xi)G(xj) +G(xj)
2] = 2σ2z − 2Cov(Z(xi), Z(xj))
∴ γ(h) = σ2z − Cov(Z(xi), Z(xj)) (3.26)
óóóddd���������òòò���ÁÁÁ���ppp������qqq���pppxxx¹¹¹������KKK������ÜÜÜÂÂÂ���KKK@@@ååå¨������ppp������qqq���
pppxxxKKK������ÜÜÜÂÂÂ���vvv���'''(((���///������¨___www������qqq���pppxxx///!!!ÕÕÕôôô¥¥¥111ÖÖÖ###���ååå���������ppp
���{{{ïïïååå���111ÖÖÖ###@@@���000������ppp������������åååÀÀÀßßßvvv¨âââ���
àààddd���UUU111ÖÖÖ###������������ppp���bbb���111¼¼¼æææ���ÏÏÏ,,,���xxxÚÚÚ���ººº������ÇÇÇ������@@@ååå������������
ppp���¹¹¹������(3.25)999ëëë���¹¹¹������(3.27)���������111ddd���ººº���WWW���ppp���(Empirical Variogram)���
2γ(h) =1
N(h)
∑N(h)
[g(x)− g(x + h)]2 (3.27)
vvv---N(h)ãããhhhÖÖÖ###KKK���ÝÝÝââ⺺ºh���###,,,���xxx���111���WWW���ppp���¹¹¹���������ggg¹¹¹���ªªª������
sssººº(((@@@���###,,,---���&&&���###,,,KKK������ÝÝÝââ⺺ºh���###,,,������vvvÏÏÏ,,,<<<iiiiiiøøø���sss¹¹¹===���
KKK���������dddåååÝÝÝââ⺺ºh���###,,,===xxx���ïïïÃÃÃ������3.3���ÍÍÍrrrxººº###,,,���ÝÝÝâââh1���h2ººº ���ÝÝÝâââ
���###,,,���@@@åååÅÅÅ���������������������ÿÿÿ³³³ÝÝÝââ⺺ºh1���###,,,N(h1)������ÿÿÿ³³³ÝÝÝââ⺺ºh2���###,,,
N(h2)������åååddd^¨���ååå������ååå������ÄÄÄ������222LLLªªª������
��� 3.3: ÖÖÖ###���ÝÝÝâââ:::������
27
• ÄÄÄ������Camelbackýýýxxx [2]
f(x) = −0.1 +
(4− 2.1x2
1 +x4
1
3
)x2
1 + x1x2 +(−4 + 4x2
2
)x2
2 (3.28)
dddÄÄÄ���ººº������������ýýýxxx���������3.4æææ������vvv---IIIØØØÚÚÚsssºººýýýxxx<<<���xsssºººÖÖÖ###MMMnnn���
999ÚÚÚdddýýýxxx���ÖÖÖ###������ggg���WWW���ppp���¹¹¹������(3.27)���������ïïïååå���000���3.4óóó������������111���555
���ººº���ppp���òòò���(Variogram Cloud)���
(a) CamelbackýýýxxxÖÖÖ###��� (b) Camelback���ppp���òòò���
��� 3.4: `ÑÑÑ���ÞÞÞKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,���
28
666���ddd���pppòòò���ÇÇÇ���NNN¼¼¼���ccc���ÍÍÍ666!!!ÕÕÕ���úúú���ppp������¨âââ���àààddd���������(((æææWWW���ppp
���(Experimental Variogram)���vvv���õõõ///������WWW���ppp���¹¹¹���������ÝÝÝâââh���999ºººÿÿÿ³³³������@@@���
ÄÄÄ ggg���###,,,���������3.5������vvvÏÏÏ,,,<<<iiiiiiøøø���sss¹¹¹===���KKK���������dddåååÿÿÿ³³³@@@���ÄÄÄ ggg���
###,,,===xxx���666������dddÞÞÞæææWWW���ppp���ÇÇÇ���ÝÝÝâââ���ºººddd@@@���������JJJ���___ïïïååå���ººº@@@���ggg@@@
###,,,���sssGGGÝÝÝâââ������¹¹¹������(3.29)������dddÄÄÄ���KKKæææWWW���ppp���jjjýýý���������������3.6���
2γ(h) =1
N(hk)
∑N(hk)
[g(xi)− g(xj)]2 (3.29)
hlk ≤ ‖xi − xj‖ ≤ huk
hk =1
2(hlk + huk)
��� 3.5: ÝÝÝâââ@@@ßßßÄÄÄ :::������
29
��� 3.6: CamelbackæææWWW���ppp������
óóóddd¿¿¿���������æææWWW���ppp���������������666���ÉÉÉ111dddæææWWW���ppp���ïïïååå���000dddýýýxxx���ÀÀÀ¼¼¼ÇÇÇ
bbb���(((,,,���ÀÀÀ������ËËËÐÐÐ000NNN������ppp���///���...qqq������ÏÏÏ,,,åååwww���(((���ÏÏÏ,,,������¨___ýýýxxx���
zzz���øøøÜÜÜ���¦¦¦���àààdddæææWWW���ppp���(((���bbbvvvxxx<<<���qqq������©©©���vvv;;;���ïïïååå������iii¹¹¹bbb���
���%%%///®®®ÀÀÀþþþaaaåååÊÊÊ'''¨âââ���
• ®®®ÀÀÀþþþaaa
ååå���(((iii���ÄÄÄ������ªªª���æææWWW���ppp������(((`ÑÑÑ���ÞÞÞ���LLLººº������%%%///
f(x) = cos
(2πx
0.001
)f(x) = cos (πx)
���%%% dddiii���ýýýxxx¨___ÖÖÖ###100��� ÍÍÍ���###,,,������vvvjjjýýý������3.7���111###,,,���ïïïååå|||
þþþ���f(x) = cos(
2πx0.001
)(((ÖÖÖ###ÄÄÄ ggg///���������������êêê������<<<NNN www###���'''êêê���ýýý
xxx������f(x) = cos (πx)///������sssÑÑÑ���òòòÚÚÚ������dddiii...ýýýxxx���###,,,���NNNæææWWW���ppp���������
���������æææWWW���ppp���`ÑÑÑ���ÞÞÞUUUjjjýýý������3.8���
30
(a) f(x) = cos(
2πx0.001
)(b) f(x) = cos (πx)
��� 3.7: `ÑÑÑ���ÞÞÞKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,���
(a) f(x) = cos(
2πx0.001
)(b) f(x) = cos (πx)
��� 3.8: `ÑÑÑ���ÞÞÞUUUKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���æææWWW���ppp���
31
111iii������æææWWW���ppp���`ÑÑÑ���ÞÞÞUUU������bbbïïïååå|||þþþ���ýýýxxxf(x) = cos(
2πx0.001
)���æææWWW���ppp
���KKKööö888&&& ������NNN���ÞÞÞ������ýýýxxxf(x) = cos (πx)���æææWWW���ppp���KKKööö888 ÅÅÅ���NNN���
ÞÞÞ���&&&���HHHþþþ���ËËËiiiÚÚÚÀÀÀKKK���àààddd������ïïïååå���������PPPÖÖÖ���sssºººæææWWW���ppp���(((`ÑÑÑ���
ÞÞÞUUU���LLLººº���sssãããhhhWWWdddýýýxxx(((ÖÖÖ###���ÄÄÄ ggg���###���'''���sssÑÑÑ���¦¦¦���
• èèèÀÀÀ¨âââ
ååå���(((iii���ÄÄÄ������ªªª���æææWWW���ppp���(((èèèÀÀÀ¨âââ���LLLººº������%%%///
f(x) = 10x+ cos(πx)
f(x) = x2 + cos(πx)
���%%% dddiii���ýýýxxx¨___ÖÖÖ###100��� ÍÍÍ���###,,,������vvvjjjýýý������3.9���
(a) f(x) = 10x+ cos(πx) (b) f(x) = x2 + cos(πx)
��� 3.9: èèèÀÀÀ¨âââKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���###,,,���
111###,,,���ïïïååå|||þþþ���f(x) = 10x + cos(πx)���f(x) = x2 + cos(πx)(((ÖÖÖ###ÄÄÄ ggg���ººº���
���sssÑÑÑ���òòòÚÚÚ���666���iii������'''���îîîppp///���f(x) = 10x + cos(πx)(((ÖÖÖ###zzz���ggg///������
®®®¿¿¿'''ýýýxxx(Monotonic Function)������dddiii...ýýýxxx���###,,,���NNNæææWWW���ppp������������������
æææWWW���ppp������'''¨âââ������%%%jjjýýý������3.10���
32
(a) f(x) = 10x+ cos(πx) (b) f(x) = x2 + cos(πx)
��� 3.10: èèèÀÀÀ¨âââKKKiii���ªªª���ÄÄÄ���æææWWW���ppp���
111iii������æææWWW���ppp������bbb���èèèÀÀÀ¨âââïïïååå|||þþþ���ýýýxxxf(x) = 10x + cos(πx)���æææWWW���
ppp���(((ÝÝÝâââ���'''���ÅÅÅÁÁÁ��������������� ������ýýýxxxf(x) = x2 + cos(πx)���æææWWW���ppp���(((ÐÐÐ
���ÝÝÝâââKKK��� ���������GGG������������dddiii...'''¨âââ���LLLººº���ºººsssiii(Stationary)���^sss
iii(Nonstationary)���������3.11���
33
��� 3.11: sssiii���^sssiiiæææWWW���ppp���:::������
111���ïïïååå������������æææWWW���ppp���(((ÐÐÐ���ÝÝÝâââKKK��� ���������GGG���������LLLººº���©©©ºººsss
iii���(((qqq���������©©©///ddd¨___ýýýxxx(((���NNNÐÐÐ������ÝÝÝâââKKK������vvv ���MMMnnn���øøøÜÜÜ'''���
���������������___ïïïåå媪ª/// øøøÜÜÜ(Uncorrelated)������^sssiii///!!!ÖÖÖ¨___ýýýxxx���ÝÝÝââ⺺º���
������ºººøøøÜÜÜ���'''èèè������êêê666þþþaaaÉÉÉlll¼¼¼sssiiiÀÀÀKKK���666������úúúþþþ^sssiii���ÅÅÅbbb___&&&
ãããhhhdddêêê666þþþaaaººº^sssiii������ïïïýýý///(((ÖÖÖ###���zzz���ÄÄÄ ggg@@@666ÆÆÆ000���ÇÇǺºº^sss
iii���
àààddd(((������sssiii���æææWWW���ppp���---���vvvæææWWW���ppp���000TTTiii���ÀÀÀKKK������bbbØØئ¦¦���111
KKKºººæææWWW���ppp������>>>»»»<<<(Sill)������000TTT���qqq���ÝÝÝâââ111KKKºººæææWWW���ppp������qqqÿÿÿÄÄÄ
(Influence Range)���///øøøÜÜÜÝÝÝâââ(Correlation Length)���æææ���(((¥¥¥ÑÑÑ���ÞÞÞUUU���ØØئ¦¦111
KKKººº���JJJHHHÉÉÉ(Nugget Affect)���������3.12���
34
��� 3.12: sssiii���æææWWW���ppp��� ^:::������
óóóddd���������'''ôôôòòò���åååSSSvvvßßß���UUU)))(((���ppp������ããã������¨___ýýýxxx(((zzz���--- ���MMM
nnn���øøøÜÜÜ'''���666���111æææWWW���ppp���@@@���000���ÇÇÇ///âââccc������FFF///������ÅÅÅ��� Kriging!!!������
ûûûUUUMMMnnn������©©©vvvøøøÜÜÜ'''���àààddd������666���������xxxxxx������ÖÖÖããã������111æææWWW���ppp���@@@���000���
ÇÇÇ������������111������xxxxxx���ººº���ÖÖÖ���ppp���(Theoretical Variogram)���ååå���������úúú...888(((���
���ÖÖÖ���ppp������
• ���bbb!!!���(Spherical Model)
γ(h) =
C0 + σ2
z
(3h2a− h3
2a3
), 0 ≤ h ≤ a
C0 + σ2z , h > a
0, h = 0
(3.30)
R(h) =
1− 3h2a− h3
2a3 , 0 ≤ h ≤ a
0, h > a
(3.31)
���¹¹¹������---���ÃÃÃxxx^ÔÔÔºººæææWWW���ppp���---������©©©���GGGC0ãããhhhWWW���JJJHHHÉÉÉ���σ2zãããhhhtttÔÔÔ
35
���pppxxx���C0 + σ2zsssºººqqq���aãããhhhqqqÿÿÿÄÄÄ ���R(h)ºººøøø ÉÉÉ���zzz���øøøÜÜÜýýýxxx������������
ÃÃÃxxxsssºººKriging!!!���---������222LLLììì������ÃÃÃxxx���sssººº,,,���ÀÀÀ;;;���������ÖÖÖggg¹¹¹���
• ���xxx!!!���(Exponential Model)
γ(h) =
C0 + σ2z
(1− exp
(− hL
)), h > 0
0, h = 0
(3.32)
R(h) =
exp(− hL
), h > 0
0, h = 0
(3.33)
¹¹¹������---���qqqÿÿÿÄÄÄ '''���III¼¼¼3L���vvvÖÖÖ������bbb!!!���XXXððð!!!ppp���
• ØØد!!!���(Gaussian Model)
γ(h) =
C0 + σ2z
(1− exp
(− h2
L2
)), h > 0
0, h = 0
(3.34)
R(h) =
exp(− h2
L2
), h > 0
0, h = 0
(3.35)
¹¹¹������---���qqqÿÿÿÄÄÄ '''���III¼¼¼7L4���vvvÖÖÖ������bbb!!!���XXXððð!!!ppp���
(((000êêêqqq������ßßß---���àà຺º������ýýýÝÝÝYYY���(((��� ¼¼¼Kriging!!!���¿¿¿ttt���HHH'''���àààddd
¼¼¼Kriging!!!������ììì���&&&���������UUU ���������\\\ÕÕÕ������,,,���ªªªýýý///���æææWWW���ppp���jjjýýý���bbb
������ÀÀÀßßß���ppp������LLLººº���¨âââ���&&&PPP���dddêêê666þþþaaa���yyy'''���---������ÖÖÖ���ppp������ÃÃÃxxx���åååTTT
000úúúËËË������ôôôiii���dddêêê666þþþaaa���¨000!!!������îîî������
666��� ¼¼¼EGO������ÕÕÕ���ªªª���������������������ýýýêêêÕÕÕ������AAA������TTT000���������îîî������àààddd(((
,,,ÖÖÖ������������---ÜÜܼ¼¼���ppp���ììì������èèèýýý���///)))(((æææWWW���ppp���������ÖÖÖ���ppp���KKK������sss¹¹¹¤¤¤îîî
���������������õõõ���222LLLììì���������¹¹¹������(3.36)���vvv---γαãããhhhæææWWW���ppp������γtãããhhhWWW���ÖÖÖ���ppp
������������������@@@xxx(((���ììì������æææWWW���ppp���k���������ÏÏÏ���æææWWW���ppp������vvv ÉÉÉKKKÝÝÝâââ���
36
minC0,θ,σ2
z ,p
√√√√ k∑i=1
[γα(hi)− γt(hi)]2 (3.36)
ÅÅÅ���èèè���000������(((���(((æææWWW���ppp������222LLLììì���BBB���&&& ///���@@@���æææWWW���ppp���ýýý���ººº
(((���ÇÇÇ���àà຺ºvvvÝÝÝâââ���'''BBB���ýýý ���ÆÆÆ000������ppp���ÇÇÇ���ÞÞÞxxx���������������ïïïýýý���
���æææWWW���ppp������OOOîîî���àààddd(((,,,ÖÖÖ���---������������(((@@@æææWWW���ppp���---���'''ÝÝÝâââ������JJJ������
\\\ºººììì���BBBxxxÖÖÖæææWWW���ppp���ÇÇÇ���ÄÄÄ ���
ººº���������'''<<<666¨000ÕÕÕ(Maximal Likelihood Estimation)(((������---TTT������ôôô'''���ddd¹¹¹ÕÕÕ
���(((���������ÀÀÀ\\\ËËË999���������@@@xxx(((������ÖÖÖ���ppp���///���...^<<<¼¼¼ËËË������HHH���õõõ���xxxxxx���������
¹¹¹������(3.37)���vvvøøø ÉÉÉ���zzz���øøøÜÜÜýýýxxxR(h)������¹¹¹������(3.38)���vvv---C0, θ, σ2z , p���ºººììì���KKK
ÃÃÃxxx���vvv,,,«««___///¹¹¹������(3.36)���sss���OOOLLLKKK���xxx���
γ(h) =
C0 + σ2z (1− exp(θhp)) , h > 0
0, h = 0
(3.37)
R(h) = exp(θhp) (3.38)
666���&&&^@@@ÃÃÃxxx������ììì���������(((���ïïïåååêêêLLLzzz���Kriging!!!���@@@���hhhþþþ������KKK���������
ååå/// óóóÍÍÍþþþ���JJJHHHÉÉÉ���'''êêê���GGGïïïôôô¥¥¥���C0���ººº888xxx���ïïïÃÃÃ��������������� superEGO���
���{{{ [33]��������������� superEGO///111������ÆÆÆ���999'''xxxSasenaZZZëëë@@@°°°ëëë������...EGO������
ÕÕÕ���������KKK@@@ååå���111KKKºººsuper������ààà///àà຺ºddd������///ÝÝÝ ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������xxxxxxýýýxxx
������...ôôôUUU���OOOLLL(Superset)@@@°°°ëëë���Sasenaººº���999���DACE@@@���(((���Kriging!!!���������¹¹¹
������(3.37)---���pKKK���---<<<���ººº1.99���C0���ººº10−12������������¹¹¹������---������ììì���������xxxiii
���θ���σ2z���óóóddd������òòò���������Kriging!!!������êêêÕÕÕììì���¹¹¹ÕÕÕªªª���������������111ddd¹¹¹ÕÕÕºººIII���'''
���������ppp���sss¹¹¹¤¤¤îîîììì���(Least Square Isotropic Variogram Fitting)���!!!111ººº���������ppp���¤¤¤
îîî���
���###åååCamelbackýýýxxx [2]\\\ºººÄÄÄ���������¹¹¹������(3.28)���ÖÖÖ###MMMnnn������3.4øøø������ììì������
���������æææWWW���ppp���������ÖÖÖ���ppp���PPP���jjjýýý���������3.13���������ýýýxxx���Kriging!!!���ÍÍÍúúú���,,,PPP
���ÔÔÔ���������3.14���
37
��� 3.13: æææWWW���ppp���������ÖÖÖ���ppp���KKKììì���
(a) ���ýýýxxx���ÖÖÖ###MMMnnn (b) ���������ppp���¤¤¤îîîììì���PPP���
��� 3.14: ���������ppp���¤¤¤îîîììì���PPP���ýýýxxxÔÔÔ������
,,,���ÀÀÀêêê������ppp������õõõ���ggg¹¹¹ZZZ������!!!®®®���ËËË999������æææ(((���(((���ppp���222LLLììì���
38
BBB������ïïïååå���nnnvvvÖÖÖqqq������'''êêê������III���'''(Isotropic)���^III���'''(Anisotropic)���111���
'''(Cyclicity)III���222ãããÜÜܼ¼¼ôôô������ppp���������õõõ���ïïïÃÃÃ��� [36]���
3.3.2 ���'''<<<666¨000ÕÕÕ (Maximal Likelihood Estimation)
���'''<<<666¨000ÕÕÕ///111WWW ���ñññ���ÑÑÑxxx¶¶¶Fisher¼¼¼1920tttããã@@@ÐÐÐúúú���///���...(((���ììì���ÇÇÇ������
ÐÐÐ...qqq���!!!���ÃÃÃxxx���xxxxxx¹¹¹ÕÕÕ���ddd¹¹¹ÕÕÕ(((���...qqq���øøøÜÜÜøøøMMM���ËËË999 [7,37]���
(((1989tttKKK���������'''<<<666¨000ÕÕÕ(((000êêêqqq���xxxååå���������ßßß���000���ãããÛÛÛ���ÉÉÉ(((���øøøvvv
������ÄÄÄ���(((���(((Kriging!!!���BBB���ýýý������(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ���\\\ºººììì������KKKµµµ [27–30]���
������������{{{---'''���ýýý���ddd¹¹¹ÕÕÕ���(((êêêDACE [25,26,38]���666������ccc���ééé���ËËËÝÝÝ ������
ØØØ ¯www������(((<<<666ýýýxxx(Likelihood Function)BBBÖÖÖÃÃÃxxx������{{{���ïïïýýý ¯000ôôôééé������{{{
[39,40]������(((1998ttt���111Jones���Schonlau���WelchIIIººº@@@|||UUU���EGO������ÕÕÕ [10]���åååÊÊÊ������
���vvvEGO������ÕÕÕ������{{{ [41–45]���___'''������(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ���222LLLììì������
������ØØد���HHH���¨___ýýýxxxX���ªªª���222BBB���ddd¨___ýýýxxx���sssGGG<<<���������îîî���������
n���xxxÚÚÚx1, x2, ...xn///111ddd¨___ýýýxxx@@@ÖÖÖ###"""������ÖÖÖ###KKK���ºººhhhËËË(Independent)ÜÜÜÂÂÂ���GGG
---ddd¨___ýýýxxx���___���ÆÆƦ¦¦ýýýxxx(Probability Density Function)ºººfX(x, µ, σ)���GGG<<<666ýýýxxxïïï
���©©©ººº¹¹¹������(3.39)���
L(x1, x2, ..., xn, µ, σ) = fX(x1, µ, σ)fX(x2, µ, σ)....fX(xn, µ, σ) (3.39)
������ddd¨___ýýýxxx êêêPPP¼¼¼ØØد���HHH���vvv___���ÆÆƦ¦¦ýýýxxxºººfX(x, p)���vvv---pºººddd¨___ýýýxxx
KKKÃÃÃxxx���GGG¹¹¹������(3.39)ïïï999ëëë���¹¹¹������(3.40)���
L(x1, x2, ..., xn, p) = fX(x1, p)fX(x2, p)....fX(xn, p) (3.40)
999ÚÚÚddd<<<666ýýýxxx���ÃÃÃxxx��� dddýýýxxx222LLL���'''������������111������NNN���ººº���'''<<<666¨000
ÕÕÕ(Maximum Likelihood Estimation)���ïïïåååôôô¥¥¥)))(((<<<666ýýýxxx������!!!®®®���BBB���������∂L∂p
= 0���
àààddd���!!!®®®���ªªª���'''<<<666¨000ÕÕÕ111///999ÚÚÚîîîMMM���###,,,���(((---���ÐÐÐ...òòòååå������HHHÅÅÅbbb���@@@���
,,,���ÃÃÃxxx������dddDDDÃÃÃxxx///ddd���HHH���ïïïýýýÍÍÍþþþîîîMMM###,,,���ÃÃÃxxx���àààdddMMM111KKKººº���'''<<<666���
���(((DACE---��� ¼¼¼Kriging!!!���@@@���(((���zzz���øøøÜÜÜýýýxxx���¹¹¹������(3.38)^<<<������KKKMMM ���
###���000¹¹¹///DACE���������¦¦¦������xxx���������������bbb������...www^III���'''(Anisotropy)zzz���øøø
39
ÜÜÜýýýxxx���HHH������666������((( product correlation rulePPP���ººº������zzz���øøøÜÜÜýýýxxx���ddd���GGGïïïÃÃÃ
��� [38]���999ÚÚÚ���{{{ [34]������������zzz���øøøÜÜÜýýýxxxëëë���¹¹¹������(3.41)���vvv---DãããhhhWWWOOOLLL���¦¦¦
===xxx���
R(xi,xj) =D∏d=1
exp−θd|xid−xjd
|pd (3.41)
999ÚÚÚ���{{{ [38,46]���)))(((������¹¹¹ÕÕÕ(Bayesian Approach)((( ���nnn���JJJHHHÉÉÉ���ÅÅÅÁÁÁ���@@@
���000���log-likelihood¹¹¹������������¹¹¹������(3.42)���vvv---σ2zïïïôôô¥¥¥)))(((
∂L∂σ2
z= 0BBB���������¹¹¹���
���(3.43)���
L(σ2z ,θ,p) = −1
2
[n ln(2π) + n lnσ2
z + ln det(Rα) +1
σ2z
(gα − yαβ)TR−1α (gα − yαβ)
](3.42)
σ2z =
1
n(gα − yαβ)TR−1
α (gα − yαβ) (3.43)
666���������{{{!!!ÕÕÕ���<<<666ýýýxxxôôô¥¥¥ θ���p®®®������BBBÖÖÖÃÃÃxxx���àààddd������ÅÅÅ������ôôô���������sss
���������ÕÕÕ������222LLLddd���'''���<<<666ýýýxxx���ÕÕÕ\\\���������sss������îîî���ýýýxxx���999ÚÚÚ���{{{ [34]���������
������¹¹¹������(3.43)999ëëë���¹¹¹������(3.44)���vvv---θ,p///Rα������xxx���óóóddd������òòò���ïïïååå)))(((���
'''ïïïýýý'''¹¹¹ÕÕÕ��� Kriging!!!���222LLLììì������ååå������ÄÄÄ���ªªª������
L(θ,p) = −1
2
[n lnσ2
z + ln det(Rα)]
(3.44)
���###åååCamelbackýýýxxx [2]\\\ºººÄÄÄ������ÃÃÃggg¹¹¹������(3.28)������ýýýxxxÊÊÊÖÖÖ###MMMnnn������3.14øøø
������ììì���PPP���������3.15���ïïïååå������������ppp���¤¤¤îîîììì������PPP������3.14\\\ÔÔÔ������ NNN(((ddd&&&
222LLLiii...ììì���¹¹¹ÕÕÕKKKPPP������ÔÔÔ������FFF///������ïïïååå���111ððð���ZZZããã000���'''<<<666¨000ÕÕÕ������
ppp���������KKK ������(((dddÀÀÀ������µµµêêê000���qqq������{{{ [36]---UUUÖÖÖ���'''<<<666¨000ÕÕÕ������ààà���������
“Some methods work directly from sample data, without requiring the calculation of
the sample variogram. Since these methods are blind, they tend to be used only when
the presence of a strong drift causes the sample variogram to be hopelessly biased.”
40
vvv������///(((222LLLzzz���ýýýxxx¨000BBB������(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ��� ���������ppp������ÅÅÅ���úúúËËË(((
@@@���xxxÚÚÚýýý///(((���ppp���uuu���OOOîîî(Hopelessly Biased)���ÅÅÅÁÁÁ���MMMýýý���(((������///àà຺º���'''
<<<666¨000ÕÕÕ///���@@@���xxxÚÚÚýýý eeeììì���������nnn���
41
(a) ���ýýýxxx���ÖÖÖ###MMMnnn (b) ���'''<<<666¨000ÕÕÕììì���PPP���
��� 3.15: ���'''<<<666¨000ÕÕÕììì���PPP���ýýýxxxÔÔÔ������
42
3.4 OOOLLL������ÖÖÖ (Problem and Discussion)
(((���(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ222LLLÃÃÃxxxììì���BBB���������ÀÀÀßßß000������þþþaaa���111///vvvÇÇÇ������###,,,xxx���
BBB���������ÕÕÕ@@@~~~000���<<<666ýýýxxx<<<���III¼¼¼!!!PPP'''���ååå���(((���������ÄÄÄ������ªªª���dddþþþaaa���
• ÄÄÄ���������,,,fffýýýxxx
f(x) = − sinx− ex
100 + 10 (3.45)
���3.16ºººvvvýýýxxx���bbb��� dddýýýxxxÖÖÖ²²²<<<���###,,,���KKK:::���������
��� 3.16: ���,,,fffýýýxxx###,,,:::������
999ÚÚÚ<<<666ýýýxxx¹¹¹������(3.44)���&&&(((zzz���øøøÜÜÜÂÂÂxxx���(((¹¹¹������(3.41)���êêê���nnn������
¦¦¦θ���ÅÅÅÁÁÁ������ ������###,,,xxxîîî÷÷÷LLL<<<666ýýýxxx���sss������PPP������hhh3.1���111hhh---������iii!!!���
sss���PPP���ïïïååå|||þþþvvvîîî���ýýýxxxxxx<<<���ººº!!!PPP'''���666���dddþþþaaa ¼¼¼������ÕÕÕ���ªªª&&& ccc888���
���ãããhhhîîî���ýýýxxx(((dddBBB&&& ///���������©©©���xxx<<<���vvv���ààà|||���(((<<<666¹¹¹������(3.44)---ÜÜÜ
¼¼¼ln det(Rα)���èèèýýý���vvv###,,,xxx��� BBB���###,,,���zzz���øøøÜÜÜýýýxxxééécccRα���LLL������<<<������¨ÑÑÑ
¼¼¼ööö������ööö���êêê666 xxxººº !!!PPP'''���
43
hhh 3.1: <<<666ýýýxxx���sss������PPP���
###,,,xxxîîî θ log-likelihoodýýýxxx<<<
10 11.0490 20.8389
15 11.6521 61.7892
20 12.2669 109.0999
25 12.7440 160.7000
30 13.1187 215.5844
35 13.4199 273.1412
40 13.6673 332.9549
45 13.8739 394.7236
50 14.0492 458.2176
55 0.0183 infinite
60 0.0610 infinite
������((( ������###,,,xxx���������<<<666ýýýxxx(Log-likelihood Function)���θjjjýýý���������3.17���èèè
���111¼¼¼������ÕÕÕ���ååå���������ººº������ÕÕÕ\\\���àààdddddd���---���<<<666ýýýxxx���¹¹¹������(3.44)øøøîîî ___���
@@@ååå���sss<<<ÉÉÉrrr|||���(((���---������NNNÞÞÞ���
��� ������###,,,xxx���θ���ÅÅÅÁÁÁ���������úúúdddÄÄÄ���---###,,,zzz���øøøÜÜÜýýýxxxéééccc���LLL������<<<���
hhh3.2���111hhh3.2ïïïåååÀÀÀßßß000###,,,zzz���øøøÜÜÜýýýxxxééécccKKKLLL������<<<///������uuuïïïxxx<<<(Extreme
Number)���666���(((UUU���ddd...uuuïïïxxx<<<BBB������������������nnn000ûûûfff������������@@@ýýý222XXX���ÇÇÇ������
KKK������,,,ÖÖÖ���@@@���(((���������������MATLAB���ÐÐÐ���ÙÙÙ¾¾¾ººº¦¦¦(Double)���xxxÇÇÇ������KKK���ýýý222XXX
������'''<<<���ººº10300æææóóó������æææxxx<<<���úúúÄÄÄ ���GGG������êêêÕÕÕ���$$$···ººº!!!PPP'''������///���������
���©©©���xxx<<<���àà຺º������xxx<<<������������ÅÅÅ��� ggg###,,,ÞÞÞ���ýýýxxx<<<���@@@ååå������&&&ººº������...ÅÅÅbbb
���(((EGO������ÕÕÕ���UUUBBB|||������àààdddddd...þþþaaa///���(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ������èèè������000¹¹¹���
44
(a) 40���###,,, (b) 60���###,,,
(c) 80���###,,, (d) 100���###,,,
��� 3.17: ���###,,,xxxKKK<<<666ýýýxxx���θ ggg���
hhh 3.2: ###,,,zzz���øøøÜÜÜýýýxxxééécccKKKLLL������<<<
θ###,,,xxxîîî
20 40 60 80 100
1 7.24×10−70 1.85×10−171 2.07×10−282 0 0
2 4.12×10−63 1.18×10−158 1.41×10−263 0 0
3 5.63×10−59 5.69×10−151 2.30×10−252 0 0
4 6.13×10−56 2.07×10−145 2.69×10−244 0 0
5 1.62×10−53 5.03×10−141 5.77×10−238 0 0
45
���(((���'''<<<666¨000ÕÕÕ222LLLKriging!!!���ììì���BBB���ddd���ðððKKKOOOLLL������999ÚÚÚ���{{{ [35]ÐÐÐ000
ååå���~~~���OOOLLL���
• ���ððð<<<(Multimodality)
• wwwqqq(Long Ridges)
• ooo���ööö(Ill-Condition)
vvv---,,,���ÞÞÞ���ððð<<<���,,,���ÞÞÞwwwqqq���������///êêê666 xxx<<<666ýýýxxx(Log-Likelihood
Function)vvvxxx<<<,,,«««XXX(((WWW111���ððð<<<���sssééé���sssbbb������gggNNN»»»������WWW���dddêêê666 xxx<<<666ýýý
xxx���888///������®®®¿¿¿'''ýýýxxx���ïïïÃÃÃ��� [37]���������éééÀÀÀßßß000(((ØØدwww���---���qqq���pppxxx���vvvêêê666
xxx<<<666ýýýxxxwww���iii���OOOLLL������{{{ººº [47]���������{{{---(((���ªªª���www���ððð<<<���wwwqqq'''êêê
���������3.18������,,,ÞÞÞ ooo���ööö���������///¹¹¹������(3.17)(((ûûûfffxxx<<<KKK������ iii���þþþaaa���ïïï
ÃÃÃ��� [48]���
��� 3.18: Warenw et al.ªªª���êêê666 xxx<<<666ýýýxxxwww���ððð<<<���wwwqqq���
îîî���ýýýxxx������ððð<<<���wwwqqq���'''êêê��������� ���222LLL���'''���BBBúúúþþþ���������ðððþþþ���������
���������!!!ÕÕÕ���(((������@@@èèè���sss���������ÕÕÕ���222LLL������������¯¦¦¦������ÕÕÕ������ÅÅÅ���)))(((hhhßßß���sss
���������ÕÕÕ������úúúààà������ÕÕÕ���!!!ììì���kkk������ÕÕÕ��������� ���(((ììì���BBB������±±±»»»���������BBB������yyy
%%%///(((���(((���'''<<<666������ÕÕÕ���OOOLLLwww���������¦¦¦BBB���ììì������NNN������TTT»»»EGO������ÕÕÕ'''���
xxx���BBB������ïïïÃÃÃ������{{{ [33,49]@@@ÐÐÐ000���þþþaaa���
46
àààddd������������ superEGOººº������MMM���»»»NNN������BBB������xxxÇÇÇ(((ÏÏÏAAA!!!íííãããNNN���---MMM222LLL
���!!!���ÃÃÃxxxììì���������(((���{{{ [49]---���xxx úúú������������VVVeee������ööö���ååå���MMM(((ÏÏÏ!!!íííãããýýý222
LLLÃÃÃxxxììì������666��� ¡¡¡///êêê���...¹¹¹ÕÕÕ���vvvîîî���ýýý///(((���MMM Kriging!!!���222LLLÃÃÃxxxììì������ÕÕÕ
\\\���vvv���ààà(((¼¼¼ ¼¼¼EGO������ÕÕÕ���ªªª���Kriging!!!���êêê///���ÐÐÐ������������###,,,ÞÞÞMMMnnn���ÿÿÿ���
���ÕÕÕzzz������������MMMnnnÉÉÉrrr���UUUUUU���������àààdddììì���������Kriging!!!���///&&&���æææ���ýýýxxxýýý\\\000¤¤¤
îîî������ÍÍÍ��� ///���¼¼¼ÍÍÍ������666������������ººº���Kriging!!!���ýýý ÐÐÐ���������ÕÕÕ���ëëë���"""000TTTHHH
���___������FFF¿¿¿(((WWWKKKMMM@@@ììì������PPP���{{{ïïïåååÀÀÀ���BBB������@@@ååå���æææ���///���...���www���\\\ÕÕÕ���
,,,ÖÖÖ���������---ÃÃÃ������{{{ [50]���¹¹¹ÕÕÕ���xxxÇÇÇ���(((������ÆÆÆ���999'''xxx���sss���æææWWW¤¤¤@@@°°°ëëë
���DIRECT������ÕÕÕ��������������� UMDIRECT ��� Kriging!!!���222LLLÃÃÃxxxììì������
(((ååå���ÏÏÏ���������nnn000������@@@���UUU������OOOLLL///���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL���àààdddâââÅÅÅ��� ØØØ___���
ööö���uuuPPPÀÀÀKKK(Limite State)\\\111���ÖÖÖ###���@@@ååå,,,ÖÖÖ��������� ¼¼¼Kriging!!!������ÃÃÃxxxììì���������
---¹¹¹ÕÕÕººº���������ppp���¤¤¤îîî���
47
,,, ÛÛÛ ààà ÖÖÖ###������ (Infill Sampling Critera)
4.1 888(((ÖÖÖ###������ (Common Infill Sampling Criterion)
ÖÖÖ###������///EGO������ÕÕÕ---(((���zzz������������ÖÖÖ###MMMnnn���¹¹¹ÕÕÕ���vvvzzz������¹¹¹���111///999ÚÚÚÐÐÐ...ÖÖÖ
###������ýýýxxx222LLL���sss������àààddd���ggg ���îîî���@@@°°°ëëë���ÖÖÖ###���������������ôôô������ÕÕÕÖÖÖ###óóó***666
������MMMnnn���(((,,,���àààÐÐÐ000���EGO������ÕÕÕ///���������������sss���������ÕÕÕ���vvv---���...������ýýý (((
ÏÏÏ!!!íííãããNNN���---xxx((( ���������///ddd...������ÕÕÕ���æææ������yyyrrr���ååå������!!!®®®ËËË999xxx���ÖÖÖ###���
������
4.1.1 Kushner
111¼¼¼@@@������������ÕÕÕýýý///������îîî���ýýýxxx���������������'''������àààdddÖÖÖ###���������êêê666���������îîî���
ýýýxxxÜÜÜ������ééé���(((���ÖÖÖ###������ïïïÃÃÃ���1964ttt������{{{ [16]���ddd���{{{---@@@���(((���qqq���!!!���
///ËËË NNN������ïïïÃÃÃ��� [51]���������qqq���!!!���///Kriging!!!������GGG999ººº¹¹¹������(4.1)���������111KKK
ºººKushner���������
ISCKushner(x) = Pr(f(x) < fmin − ε)
= Φ
((fmin − ε)− f(x)
σf (x)
)(4.1)
���---���fºººKriging!!!���999ÚÚÚÖÖÖ###@@@úúúËËË���îîî���ýýýxxx���,,,<<<sssGGG<<<������σf/// ÉÉÉ������
���îîî���fmin///þþþ���ÖÖÖ###ÞÞÞ---ýýýxxx<<<���������ÏÏÏ<<<���ε///���������(((���êêê������ÃÃÃxxx���999ÚÚÚvvvxxx
xxx������ªªª���Kushner������������©©©���sssºººKriging!!!���������,,,<<<ÔÔÔîîîMMM���}}}���TTTHHH���»»»ε���������
���___���ººº������������Kushner������ÉÉÉ111¿¿¿tttε���zzz���ddd!!!íííããã¨���¼¼¼���~~~hhhßßß(Global)���///@@@
èèè(Local)���ÖÖÖ###���������0.01× fmin���0.001× fmin���iii������ ���ïïïåååÃÃÃ������4.1������4.2���
48
��� 4.1: ε = 0.1× fminKKKKushner���������
��� 4.2: ε = 0.01× fminKKKKushner���������
49
vvv---¹¹¹[[[ÚÚÚººº���ýýýxxx���oººº###,,,ÞÞÞ���¹¹¹æææÚÚÚºººKriging!!!���������,,,sssGGG<<<������èèè���
æææÚÚÚºººKushner������ccc������������xxx<<<���������ÕÕÕ���������ÖÖÖ###���MMMnnn���sssººº���4.1---���èèèæææÚÚÚ���
ØØØ���MMMnnn���111���iii555���������ïïïååå���úúú���vvvε���'''BBB���������ÕÕÕ¾¾¾���������hhhßßß���TTTHHH���vvvε���
������GGG������ÕÕÕ¾¾¾���������@@@èèè���TTTHHH���
4.1.2 Expected Improvement
111¼¼¼(((Kushner������---������UUUxxxÇÇÇ������iiivvv���ε<<<///���öööðððããã���������àààdddMMM���������
...ÖÖÖ###���������|||UUU���������,,,���àààÐÐÐ000���EGO������ÕÕÕ@@@���(((���ÖÖÖ###������ºººExpected
Improvement(EI)���ÑÑÑ������vvvûûûoooººº999���������<<<���������vvvlll���¨���ïïïÃÃÃ��� [34]������HHH���
���HHH���©©©UUU���999���������¹¹¹������(4.2)���
I = max{
0, fmin − f(x)}
(4.2)
���gggvvvxxxxxx������999������ÏÏÏ<<<���©©©ººº���þþþ���������ÖÖÖ###ÞÞÞÏÏÏ<<<���»»»Kriging!!!���������,,,sss
GGG<<<���öööKKK������'''<<<���àààdddddd^Kriging!!!���������,,,sssGGG<<<ÔÔÔþþþ���������ÖÖÖ###ÞÞÞÏÏÏ<<<���������
&&&GGG111///ööö999������666���������&&& ///êêê(((ddd¹¹¹���������vvv\\\ÖÖÖ###������������///ÖÖÖ999���ÏÏÏ<<<���������
<<<���������¹¹¹������(4.3)���������111ddd���ººº999���������<<<(Expected Improvement)���
ISCEI(x) = E(I) =
(fmin − f(x))Φ(k) + σf (x)φ(k), if σf > 0
0, if σf = 0
(4.3)
k =fmin − f(x)
ˆσf (x)
���¹¹¹������(4.2)999ëëë���¹¹¹������(4.4)���������vvv---gººº������^ tttxxx���������111ddd���ººº999���ÏÏÏ
<<<������,,,������
Ig = max{
0, (fmin − f(x))g}
(4.4)
50
ÉÉÉddd���,,,������������<<<������¹¹¹������(4.5)���������111ddd���ººº999���������<<<���,,,���(Generalized
Expected Improvement)���
ISCGEI = E(Ig) = σgf
g∑i=0
(−1)i(
g!
i!(g − i)!
)kg−iTi (4.5)
T0 = Φ(k), T1 = −φ(k)
Ti = −φ(k)ki−1 + (i− 1)Ti−2
k =fmin − f
σf
999���������<<<���,,,���ÉÉÉ111999���g���ÏÏÏ<<<������zzz���������ÕÕÕ���"""���ÖÖÖ������vvvg = 1BBB���GGG999
���������<<<���,,,���������������¹¹¹������(4.3)���ÜÜܼ¼¼g<<< 999���������<<<���������qqqÿÿÿïïïÃÃÃ���������4.3���
���4.4���
��� 4.3: g = 1KKK999���������<<<���������
51
��� 4.4: g = 5KKK999���������<<<���������
111���iii555���������ïïïååå���úúú���vvvg<<<���'''BBB���������ÕÕÕ¾¾¾���������hhhßßß���TTTHHH���vvvg���������GGG
������ÕÕÕ¾¾¾���������@@@èèè���TTTHHH������(((���{{{ [44]---������ddd���������!!!ìììÞÞÞkkk������ÕÕÕ������õõõ^ÔÔÔ���
666���(((ÏÏÏ��� ���ôôô���---���((( ������g<<<���&&&111KKKºººCooling���������
4.1.3 Kriging Estimator
ÝÝÝ ������îîî���ýýýxxx���������������������666������!!!®®®���������bbb���vvvæææ///Kriging!!!���������,,,sssGGG
<<<���___111///f���
111KKKMMM���Kushner���������999���������<<<������ýýýïïïååå|||þþþ���vvv,,,«««ýýý///www111���ððð<<<���ýýý
xxx���&&&ÁÁÁxxx<<<ºººööö������������'''���sssbbb���(((,,,ààà������ËËËÐÐÐ000���EGO������ÕÕÕ---(((���zzz���������
���ÖÖÖ###MMMnnn���¹¹¹ÕÕÕ///999ÚÚÚÐÐÐ...ÖÖÖ###������ýýýxxx222LLL���sss������666���ððð������ýýýxxx���yyy'''���ýýý
ïïïýýý������ ���sss���������ÕÕÕ(((������BBB���ðððããã������êêê���(((Kriging!!!���������,,,sssGGG<<<\\\ºººÖÖÖ###���
������������}}}UUU///���ddd������(((---���zzz���---���bbbÀÀÀÖÖÖzzz¼¼¼OOOLLL,,,«««���àààddd((('''èèè������ÅÅÅÁÁÁ������
wwwÔÔÔ���}}}���������HHH������
æææ���������(((Kriging!!!���������,,,sssGGG<<<\\\ºººÖÖÖ###���������}}}UUU///���ddd������êêê���(((������
52
ÏÏÏ<<<f������dddÏÏÏ<<<���ÖÖÖ###<<<f���'''êêêÍÍÍ������iii���ãããhhhWWW���������qqq������êêê///������///���æææfff
WWW@@@���000���xxxÚÚÚ���æææ������///Kriging!!!������000������,,,<<<���dddyyy'''@@@www���}}}UUU///���������
���EGO������ÕÕÕ ���···PPP¼¼¼ãããzzzÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������///������ýýý������,,,xxxxxxOOOLLLPPP������������ÕÕÕ������
___///������������superEGO���������,,,���EGO������ÕÕÕ¨ããã000ãããzzz���... ���OOOLLL���¹¹¹ÕÕÕ���sss000ïïï
ÃÃÃ��� [52]���
,,,ÖÖÖ���������---���(((���ÝÝÝ îîî���ýýýxxx���000ôôô}}}���ÖÖÖ###¹¹¹ÕÕÕ���ååådddÖÖÖ###������ººº���---<<<���
4.1.4 Maximum Varianve
åååËËË999���ÖÖÖ###���������ýýý///ÝÝÝ îîî���ýýýxxx@@@ýýý\\\���666���æææ���...!!!®®®���������///Kriging!!!������
���,,,<<<���pppxxx���___111///σ���vvvîîîcccNNN������������4.5���
��� 4.5: Maximum Variance���������
������111ddd������ººº���'''���pppxxx������(Maximum Varianve)���ddd������///���888(((���îîîcccKriging!!!
���������������������4.6���
53
(a) 7���ÖÖÖ### (b) 8���ÖÖÖ###
(c) 9���ÖÖÖ### (d) 10���ÖÖÖ###
��� 4.6: )))(((���'''���pppxxx������îîîcccýýýxxxNNN������
54
4.1.5 Probability of Feasibility
ýýý ���ggg ���îîî������°°°ëëëÖÖÖ###���������///EGO������ÕÕÕwwwHHH'''���000¹¹¹���ååå������ËËË999iii...���ººº
yyy������ÖÖÖ###���������������iii...������@@@ÝÝÝ ��� aaaºººØØØ___���ööö���
���sss���������ÕÕÕ������ÅÅÅ������nnnØØØ___���ööö���������ÿÿÿ³³³ØØØ___���ööö���TTTHHH������111KKKºººïïïLLLããã���
ïïïLLLããã@@@ËËË���������xxxzzz���������111KKKºººïïïLLLãããzzz������������ ÿÿÿ³³³ØØØ___���ööö���TTTHHH���!!!ÖÖÖvvvîîî
���ýýýxxx<<<���hhhþþþ���}}}���vvv,,,«««ÍÍÍ ///ããã���666��� ¼¼¼æææ������OOOLLL���ªªª���ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx,,,«««&&&
���������êêê¼¼¼îîî���ýýýxxx���___���ïïïýýý///���êêê¼¼¼ØØØ___���ööö���___111///ªªªØØØ___���öööÏÏÏ<<<���ÖÖÖ������
___ïïïýýý///ÅÅÅ������NNNÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���������MMMýýýÖÖÖ������àààddd���UUUHHH������ãããzzzØØØ___���ööö///ÑÑÑÒÒÒ
PPPýýýxxx___///EGO������ÕÕÕ���������ÍÍÍ���²²²LLL���������¢¢¢������ÅÅÅÁÁÁ���ºººiii...������%%%///���
• îîîMMMÖÖÖ###���!!!ïïïLLLããã���
• ���UUUÝÝÝ ^ïïïLLLãããzzz������"""ïïïLLLããã���
ÝÝÝ ,,,������OOOLLL���111¼¼¼æææ������ÖÖÖ###MMMýýý\\\ººº������PPP������TTTHHH���@@@åååîîîMMM@@@���ÖÖÖ###���
!!!ïïïLLLãããBBB���III���¼¼¼îîîMMM@@@ÖÖÖ###---���������ïïïååå\\\ººº���ïï便¥×××���TTTHHH���àààdddÖÖÖ###������
���;;;���îîî���///���fff���~~~000������ïïïLLLããã���MMMnnn���ÃÃÃ������{{{ [18]���������111ddd������ºººïïïLLLããã___
���(Probability of Feasibility)���vvvxxxxxx���������¹¹¹������(4.6)���vvv������ØØØ___���öööBBB���ïïï999ººº¹¹¹
������(4.7)���
ISCFeasibility(x) = Φ
(0− g(x)
σg(x)
)(4.6)
=k∏i=1
Φ
(0− gi(x)
σgi(x)
)(4.7)
åååBraninÄÄÄ��� [21]ªªª������
g(x) =
(x2 −
5.1
4π2x2
1 +5
πx1 − 6
)2
+ 10
(1− 1
8π
)cosx1 + 7 ≤ 0
vvvg = 0���ÖÖÖ###ÞÞÞMMMnnn������4.7���vvv---ÑÑÑrrræææÚÚÚºººg = 0MMMnnn���æææÚÚÚggg���ÄÄÄ ºººïïïLLLããã
zzz���������rrroººº###,,,MMMnnn���ïïïåååèèè���000îîîMMMÖÖÖ###---&&&***ïïïLLLããã������vvvïïïLLLããã___���������jjj
ýýý���������4.8���
55
��� 4.7: ÖÖÖ###���g = 0MMMnnn���
111���ÀÀÀßßßïïïååå���dddÖÖÖ###���������ýýýxxxLLLººº���ïïïLLLãããzzz������ÄÄÄ '''ôôô&&&������àààddd(((îîî
MMM���ÖÖÖ###///ïïïLLLããã���ÅÅÅÁÁÁ������������ïïïååå)))(((dddÖÖÖ###���������~~~000ïïïLLLããã���MMMnnn���666������ggg
ddd������xxxÖÖÖ###,,,���|||þþþ���ïïïLLLããã___���������(((îîîMMMÖÖÖ###òòòXXX(((ïïïLLLããã���ÅÅÅÁÁÁ������������ËËË(((òòò
ååå���ïïïLLLããã@@@ßßßggg222LLLÖÖÖ###���������4.9���������4.7ÔÔÔ���������4.9(((æææ¹¹¹ïïïLLLããã@@@ggg���������
###,,,������bbbåååx\\\ººº���:::���FFF///vvv ÉÉÉ���ïïïLLLããã___���������������4.10���{{{(((òòòååå���ïïïLLLããã@@@
ßßß���ØØØ<<<���
56
��� 4.8: ïïïLLLããã___������������
��� 4.9: ÖÖÖ###���g = 0MMMnnnåååÊÊÊ°°°���ÖÖÖ###MMMnnn���
57
��� 4.10: °°°���ÖÖÖ###���KKKïïïLLLããã___������������
dddþþþaaasssººº���***¢¢¢������,,,������þþþaaa������UUUÝÝÝ ^ïïïLLLãããzzz������"""ïïïLLLããã���(((������������
���ªªª������
4.1.6 Tunneling
���###ÃÃÃ������{{{ [18]���ÝÝÝ ^ïïïLLLãããzzz������"""ïïïLLLããã���������111KKKººº§§§SSS������(Tunneling)���vvv
xxxxxx���������¹¹¹������4.8���
ISCTunneling(x) = Φ
(0− g(x)
σg(x)
)·[min
(‖xf − x‖‖xUB − xLB‖
)](4.8)
���---���MMMbbb���èèèýýý���ïïïLLLããã___���������øøø������ ���###���000¹¹¹(((¼¼¼���bbb���XXX������������###
,,,KKK���ÝÝÝâââÜÜÜKKKýýýxxx���vvv---xfãããhhhïïïLLLããã###,,,���MMMnnn���xUB���xLB���%%%ãããhhhWWW���xxxzzz������
PPP������PPP���111¼¼¼���xxxzzz������PPP������PPPKKK������ÝÝÝâââ///úúú���������@@@ååå(((dddÖÖÖ###������---���III
¼¼¼///ïïïLLLããã___������������XXXÖÖÖ###���ûûûUUU������ïïïLLLãããKKK������ÝÝÝâââ---���������<<<��������� ���dddÖÖÖ
###���������¾¾¾���¼¼¼ÖÖÖ###(((`âââþþþòòòåååïïïLLLããã###,,,���ööö���������ÄÄÄ���������4.9������dddBBB���§§§
SSS������jjjýýý���������4.11���
58
��� 4.11: °°°���ÖÖÖ###���KKK§§§SSS���������
111���---ïïïåååÀÀÀßßß000���dddBBB���ÖÖÖ###������òòò ���@@@PPP¼¼¼òòòååå���ïïïLLLãããzzz������___cccàà຺ºddd���
������(((���������âââ���ïïïLLLãããzzz���---���ÖÖÖ§§§SSS���,,,���@@@åååMMM111KKKººº§§§SSS���������vvv������ØØØ___
���öööBBB���§§§SSS������ïïï999ººº¹¹¹������(4.9)���
ISCTunneling(x) =
[k∏i=1
Φ
(0− gi(x)
σgi(x)
)]·[min
(‖xf − x‖‖xUB − xLB‖
)](4.9)
óóódddïïïååå���000������PPPÖÖÖ���111///vvvîîîMMMÖÖÖ###���ûûûUUUïïïLLLãããBBB���������ÅÅÅ���)))(((ïïïLLLããã___
���������������~~~ïïïLLLãããzzz���������æææÖÖÖ###///ïïïLLLãããBBB���������ÅÅÅ���)))(((§§§SSS���������222LLL ^ïïï
LLLãããzzz���---ïïïLLLãããzzz������¢¢¢"""���
59
4.2 ÖÖÖ###���������^ (Classification of ISC)
,,,àààêêêËËË999���������888(((���ÖÖÖ###���������ªªª���ÖÖÖ###������������õõõ���666������{{{---���vvvÖÖÖÖÖÖ
###������ïïïåååxxxÇÇÇ���������Lower Confidence Bounding Function [53]���Locating the Threshold
Extreme���Locating the Regional Extreme���Minimizing Surprises [54]���Interpolating Variance
[55]���Clustered Multiple Generalized Expected Improvement [56]...III���
ÖÖÖ###������(((666���&&& ðððããã���ïïï������(((���������ddd���������TTT���ÀÀÀ¼¼¼îîî������àààddd(((���{{{
---111���������ýýý���ýýý'''���ÍÍÍ������;;;������vvv���^ººº...���ÝÝÝ îîî���ýýýxxx���sss<<<���"""������
���Kriging!!!���¤¤¤îîî���wwwyyy���îîî������������hhh4.1���hhh4.2���hhh4.3���
hhh 4.1: ���sss<<<���"""^���ÖÖÖ###������hhh
������ 111 \\\��� tttýýý
Kriging Estimator G. Mathron 1963
Kushner H. J. Kushner 1964
Lower Bounding Function D. D. Cox, S. John 1992
Locating the Threshold Extreme A. G. Watson, R. J. Barnes 1995
Locating the Regional Extreme A. G. Watson, R. J. Barnes 1995
Expected Improvement M. Schonlau, W. J. Welch, D. R. Jones 1997
Generalized Expected Improvement M. Schonlau, W. J. Welch, D. R. Jones 1997
Cooling M.J. Sasena 2002
CMG Expected Improvement W. Ponweiser, T. Wagner, M. Vincze 2008
hhh 4.2: ������¤¤¤îîî^���ÖÖÖ###������hhh
������ 111 \\\��� tttýýý
Maximum Variance G. Mathron 1963
Minimizing Surprises A. G. Watson, R. J. Barnes 1995
Interpolating Variance J. K. Yamamoto 2000
60
hhh 4.3: yyy���îîî���^���ÖÖÖ###������hhh
������ 111 \\\��� tttýýý
Probability of Feasibility M. J. Sasena 2002
Tunneling M. J. Sasena 2002
Reduce Constraint Slackness M. J. Sasena 2002
hhh���úúúKKKÖÖÖ###������ïïïýýý&&& ������������(((ddd������&&& ÔÔÔ������...���^������ÖÖÖ###���������***
£££���������êêê������...ÖÖÖ###������\\\���eee������^���&&&DDD\\\������tttýýý���ÐÐÐ���,,,ÖÖÖ������������(((���(((
���(((���������ÃÃÃ������ÚÚÚ���
61
4.3 ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������ (Sampling on Joint Limit
State)
uuuPPPÀÀÀKKK(Limit State)������///ØØØ___���ööög = 0���MMMnnn���111¼¼¼���������UUU������OOOLLL///ÝÝÝ ÑÑÑÒÒÒPPP
ýýýxxxØØØ___���ööö���������ïïï`¦¦¦OOOLLL���666������ÝÝÝ ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���������ïïï`¦¦¦���vvv,,,«««111///���ööö
ðððããã������������'''���ðððããã(((¼¼¼������!!!ÕÕÕ���NNN���!!!������ýýýxxx<<<���ÖÖÖ������æææØØØ___���ööö���ÇÇÇ���
(((,,,���àààïïï`¦¦¦������ÕÕÕ���ggg¹¹¹ÐÐÐ000���!!!ÖÖÖ///êêê���...¹¹¹ÕÕÕ���000ïïï`¦¦¦ýýý������ ýýýxxx222LLL
MMM���������������������������000aaa���ÕÕÕ������ÖÖÖAAA000~~~,,,���ýýýxxx<<<MMMýýý000���ïïï`¦¦¦���������ïïï`¦¦¦
¹¹¹ÕÕÕ������������ýýýxxx���¯¦¦¦���///���NNN���sss������íííãããÖÖÖ������ïïïýýý444ÞÞÞÞÞÞ(MPP)MMMýýý000���ïïï`
¦¦¦������������������!!!ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���������������BBB���£££¼¼¼ïïï`¦¦¦���sss���---���111���///���öööåååàààååå»»»
BBB������ÅÅÅ���@@@ååå������¹¹¹ÕÕÕýýý!!!ÕÕÕôôô¥¥¥���((((((ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxxOOOLLL���
àààdddNNN»»»ãããzzzdddOOOLLL���\\\ÕÕÕýýý///HHH ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxxÖÖÖ###���666������)))(((������###,,,���ýýý\\\ÍÍÍ
ÉÉÉòòòbbb(Response Surface���Surrogate���Metamodel)åååÖÖÖãããdddÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���KKK���999ÚÚÚdddÍÍÍÉÉÉ
òòòbbb222LLLïïï`¦¦¦���sss���---������ïïïÃÃÃ������{{{ [30,57]���666���ÝÝÝ ddd...¹¹¹ÕÕÕ������ ������ÐÐÐúúú���
OOO���111///���UUUººº���ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxxKKK������¤¤¤îîîïïïåååýýýeee���sss���ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���ÑÑÑÒÒÒPPPýýý
xxxKKK������¤¤¤îîîïïïåååýýýeee���ÈÈÈ���UUUïïïåå庺º���ddd¤¤¤îîî ���qqqÿÿÿïïï`¦¦¦������������
���Camelbackýýýxxx [2]sssûûû������888xxx���������vvvïïïLLLãããzzz���øøø###���
g(x) = −0.1 +
(4− 2.1x2
1 +x4
1
3
)x2
1 + x1x2 +(−4 + 4x2
2
)x2
2 ≤ 0
dddÄÄÄ������¹¹¹������(3.28)øøøîîî������888xxx������������uuuPPPÀÀÀKKK���MMMnnn ���###���ïïïÃÃÃ������
���4.12���
62
��� 4.12: Camelbackýýýxxx���vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn���
���4.12ææættt///dddýýýxxx���IIIØØØÚÚÚ������óóóttt���---���ÑÑÑÚÚÚ///dddýýýxxx���uuuPPPÀÀÀKKK���999ÚÚÚdddýýý
xxx���%%%222LLLiii!!! ���###,,,ggg¹¹¹���ÖÖÖ###������ÖÖÖ###���@@@ÍÍÍúúú���Kriging!!!���åååÊÊÊvvv ÉÉÉ���uuuPPPÀÀÀ
KKKjjjýýý���������������4.13������4.14���iii!!!ÖÖÖ###���###,,,xxx���###������FFF///���%%%úúúËËË���Kriging!!!���
KKKIIIØØØÚÚÚ������uuuPPPÀÀÀKKK������ ���###������iii!!!ÖÖÖ###���;;;���îîîppp///���,,,���!!!ÖÖÖ###---���������###
,,,ÖÖÖ(((¥¥¥ÑÑÑuuuPPPÀÀÀKKK���MMMnnn���
RMS(Root Mean Square Error)///���...ÿÿÿ���$$$···ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���æææ���ýýýxxx¤¤¤îîî������������������
���¹¹¹������(4.10)���vvv---N///������ddd������@@@ÖÖÖ���###,,,���
RMS =1
N
√√√√ N∑i=1
g(xi)− g(xi) (4.10)
������ dddÄÄÄ���iii!!!ÖÖÖ###���PPP���������%%%ÖÖÖ900���²²²<<<������MMMnnn���___111///N = 900������������
���iii���Kriging!!!������RMS���vvvPPP������hhh4.4���
hhh 4.4: iii!!!ÖÖÖ###RMShhh
,,,���!!!ÖÖÖ### ,,,���!!!ÖÖÖ###
RMS 0.0659 0.0663
63
��� 4.13: ,,,���!!!ÖÖÖ###PPP���KKKKriging!!!������vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn���
��� 4.14: ,,,���!!!ÖÖÖ###PPP���KKKKriging!!!������vvvïïïLLLããã@@@ßßßMMMnnn���
64
111RMS���PPP���ïïïååååååSSS���,,,���!!!ÖÖÖ###���Kriging!!!���wwwÔÔÔ���}}}���tttÔÔÔ���,,,HHH���������
������vvv���àààxxx¼¼¼,,,���!!!ÖÖÖ###www���}}}���###,,,���ccc���¦¦¦���
þþþ(((���nnn(((---���ÞÞÞ(0, 0)MMMnnn������ØØد���HHH¨___���xxxX������¹¹¹������(4.11)���
X = (X1, X2)
X1 ∼ N(0, 0.5) (4.11)
X2 ∼ N(0, 0.3)
���������(((���000aaa���ÕÕÕ((((0, 0)ÖÖÖ###AAA,,,ÞÞÞ������%%% ���ýýýxxx���,,,���!!!ÖÖÖ###Kriging!!!������
,,,���!!!ÖÖÖ###Kriging!!!������222LLLïïï`¦¦¦���������������������PPP���������hhh4.5���111ïïï`¦¦¦,,,fffPPP���
ïïïååå���ååå���,,,���!!!ÖÖÖ###���Kriging!!!���(((������ïïï`¦¦¦ýýýÔÔÔ������ººº���PPP������
hhh 4.5: ���000aaa���ÕÕÕ,,,fffPPP���hhh
���ýýýxxx ,,,���!!!ÖÖÖ### ,,,���!!!ÖÖÖ###
ïïï`¦¦¦ 42.95% 43.80% 43.01%
óóóddd���������ïïïååå���000������PPPÖÖÖ���(((ÝÝÝ ������ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������ïïï`¦¦¦BBB������ÍÍÍ���������ööö
��� ///ÍÍÍÉÉÉòòòbbb������ýýýxxx���tttÔÔÔ¤¤¤îîº������������///@@@ýýý\\\���ÍÍÍÉÉÉòòòbbb���vvvòòòbbb���uuuPPPÀÀÀ
KKK///&&&ýýý������ýýýxxx���uuuPPPÀÀÀKKKøøø&&&������êêê���ddd$$$···ïïïLLLããã���^ïïïLLLããã���LLLÚÚÚýýý ���ZZZ���òòò
bbbvvvÖÖÖMMMnnn���xxx<<<ººº������111 ///���¼¼¼ÍÍÍ���������
àààddd������������������ýýý fff���(((uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������������666���(((NNN»»»������{{{---&&&���&&&
������������BBB������������(((ÃÃÃ���§§§SSS������������õõõ���������������ddd���������xxxxxx������©©©���������¹¹¹���
���(4.12)���������111KKKºººuuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������(Sampling on Limit State Criterion)���
ISCSoLS(x) = δ(x) �
[min
(‖xs − x‖‖xUB − xLB‖
)](4.12)
δ(x) =
1, if ‖gi(x)‖ ≤ ∆
0, else
65
ddd���---���xs������///@@@###,,,ÞÞÞ���∆ººº���(((���êêê���©©©xxx���(((ddd������---ÐÐÐ���xxx<<<'''������èèè
ýýýººº������ÝÝÝâââ���ýýýxxx���δ(x)���èèèýýýêêêÐÐÐ������...NNNþþþ(Filter)���HHH������vvv∆xxx<<<������BBB���������
���PPP������`ÑÑÑKriging!!!������uuuPPPÀÀÀKKK������������áááÏÏÏ`âââvvvÖÖÖ###,,,���666���������������ýýýxxx"""
���ððð<<<���ÅÅÅbbb��� ������sss������������ÕÕÕ���������ðððããã���
æææ���...ÖÖÖ###������///(((���nnn������ØØØ___���ööö������ººº������MMMÖÖÖ###(((���������uuuPPPÀÀÀKKKBBB@@@���©©©
������������������111KKKºººooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������(Sampling on Joint Limit State Criterion)������
¹¹¹������(4.13)���vvv---nãããhhhOOOLLL���ØØØ___���ööö===xxx���
ISCSoJLS(x) = δ(x) �
[min
(‖xs − x‖‖xUB − xLB‖
)](4.13)
δ(x) =
1, if
(n∑i=1
mi
)> 0
0, else
for i = 1...n,
mi(x) =
1, if ‖gi(x)‖ ≤ ∆ and gj(x) ≤ ∆, for j = 1...n, j 6= i
0, else
ååå���)))(((CamelbackÄÄÄ������Baseball FunctionÄÄÄ���������ÀÀÀßßß,,,ÀÀÀiii...���������LLLººº���vvv
---Baseball FunctionÄÄÄ���///���ØØØ___���öööùùùbbbïïïLLLãããzzz������OOOLLL���������¹¹¹������(4.14)���
Baseball FunctionÄÄÄ������
g1 = x21 + x2
2 − 0.82 ≤ 0
g2 = −x1 + 2x22) + 3x1x2 − 0.2 ≤ 0 (4.14)
g3 = x1 − 2x22 − 0.2 ≤ 0
���iii���ÄÄÄ������uuuPPPÀÀÀKKKMMMnnnÍÍÍ°°°jjjýýý���������4.15���vvv---(((Baseball FunctionÄÄÄ������---���
���æææÚÚÚºººooo���uuuPPPÀÀÀKKK��� dddiii���OOOLLL������%%%���(((ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###���������îîîcccOOOLLL���uuu
PPPÀÀÀKKK���vvvNNN���������4.16������4.17���111���bbb���������PPP���ïïïååå���000���������ÉÉÉ111 ···000(((OOOLLL
���uuuPPPÀÀÀKKK222LLLÖÖÖ###���åååîîîcccKriging!!!������æææ���ýýýxxx���¤¤¤îîî���
66
(a) CamelbackÄÄÄ���
(b) Baseball FunctionÄÄÄ���
��� 4.15: ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKK���
67
(a) 11���ÖÖÖ### (b) 21���ÖÖÖ###
(c) 31���ÖÖÖ### (d) 41���ÖÖÖ###
��� 4.16: uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������îîîcccCamelbackNNN������
68
(a) 11���ÖÖÖ### (b) 21���ÖÖÖ###
(c) 31���ÖÖÖ### (d) 41���ÖÖÖ###
��� 4.17: ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������îîîcccBaseball FunctionNNN������
69
,,, ��� ààà ������VVVeee (Algorithm Strategy)
��� 5.1: EGO������AAA������
������5.1���ddd������AAA������,,,���ààà������{{{ [18]---KKKAAA������2.3���***'''���îîîppp������///ààà
ºººEGO������ÕÕÕ,,,«««���¶¶¶ËËËsss///���ddd���666���ýýý ���EGO������ÕÕÕ ÉÉÉ���... ���OOOLLL���ÜÜÜuuu���
(((¼¼¼������VVVeee���666������������5.1---[[[ÚÚÚ@@@���xxx���èèèýýý���vvv---ååå���UUUUUU���ÖÖÖ###���������ºººÜÜÜ
uuu���ååå������ ���{{{---òòòXXX(((������sss���������VVVeee���åååÊÊÊ,,,ÖÖÖ���¢¢¢������ïïï`¦¦¦OOOLLL������VVVeee
åå媪ª������
5.1 ���sss��� (Optimization)
dddUUU������sss���������///���ÏÏÏ���xxx������sss���---������������������������ÕÕÕ������|||UUU///ÝÝÝ êêê���
xxx���PPP���!!!ØØØ___���ööö���sss���OOOLLL@@@---���������(((���ééé���EGO������ÕÕÕááá���(((999���������<<<���
���(EI)���êêê������(((ÏÏÏ!!!íííããã---xxxÇÇÇ ������999���������<<<���������xxx���sssïïïTTT000hhhßßß���@@@èèè���
70
"""���HHH������ËËËÃÃÃ���,,,ÛÛÛààà���àààddd ¼¼¼������!!!ØØØ___���ööö������sss���OOOLLLBBB���vvv������VVVeee������
���5.2���
��� 5.2: !!!ØØØ___���ööö������VVVeee���
���5.2---ÜÜܼ¼¼T1���T2���èèèýýý���ãããhhh���///������AAA���---���BBBbbb���ööö(Termination)���vvv������
///���$$$···îîîMMMÅÅÅÁÁÁ///&&&ÿÿÿ³³³ÐÐÐ������ööö������zzz���������AAA������¹¹¹������������---���BBBbbb���ööö���ggg
¹¹¹���úúú���������hhh5.1���
hhh 5.1: !!!ØØØ___���ööö������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö
èèè___ ���öööggg¹¹¹
1 999���îîî���ýýýxxx���������vvvÖÖÖ###,,,NNNÑÑÑ
2 ���'''���pppxxx������ÏÏÏ<<<���¼¼¼���(((���êêê���xxx
dddèèèýýýAAA������ººº���5.1---������VVVeee���èèèýýý���vvv;;;������õõõ///���(((���sss<<<���"""^���ÖÖÖ###���
��� ···000���~~~���sss<<<���vvvÖÖÖ###���������"""000���������MMMnnn���###,,,KKK������ÝÝÝâââNNNÑÑÑBBB���GGG)))(((���
���¤¤¤îîî^���ÖÖÖ###���������������!!!���¤¤¤îîî���ôôô000TTT000---������íííããã!!!xxx������///¤¤¤îîîÖÖÖ###���������999
���<<<NNN������GGG������\\\bbb���
���ééé���EGO������ÕÕÕêêêÝÝÝ !!!ØØØ___���ööö���OOOLLL���������;;;���ÛÛÛ...¹¹¹ÕÕÕ«««ÐÐÐúúú���UUU���
ØØØ___���öööKKKOOOLLL������sss���������%%%///���___���ÕÕÕ(Probability Method) [34]���òòòpppýýýxxx(Penalty
71
Method) [20,33]���UUUÍÍÍ������<<<(Expected Violation) [58]���ØØØ___���ÖÖÖ###������(Constrained ISC
Method) [13]���
������¹¹¹ÕÕÕ(((ÃÃÃ������{{{ [33]---ZZZÔÔÔ������������������åååØØØ___���ÖÖÖ###���������\\\ºººUUU���ØØØ___���
ööö���¹¹¹ÕÕÕ���666���(((���(((ØØØ___���ÖÖÖ###������¹¹¹ÕÕÕBBB���ÅÅÅ���èèè���000���!!!ïïïLLLãããÖÖÖ###���������ÅÅÅbbb
úúúþþþ���(((dddÀÀÀÁÁÁúúúþþþBBB������������ååå���'''������îîî������(Maximum Variance)���ÖÖÖããã,,,!!!íííããã���
,,,���(((������������àààdddÜÜܼ¼¼ØØØ___���ööö���������VVVeee���������5.3@@@:::���
��� 5.3: ØØØ___���ööö������VVVeee���
������5.3---���BBBbbb���ööö���ggg¹¹¹���úúú���������hhh5.2���
hhh 5.2: ØØØ___���ööö������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö
èèè___ ���öööggg¹¹¹
1 ¢¢¢åååîîîMMM###,,,---///&&&ïïïLLLããã
2 999���îîî���ýýýxxx���������vvvÖÖÖ###,,,NNNÑÑÑ
3 §§§SSS������xxx<<<���¼¼¼���(((���êêê���xxx���///���vvvÖÖÖ###,,,NNNÑÑÑ
ddd������AAA������;;;������õõõ///���(((������ËËË¢¢¢ååå@@@###,,,---///&&&ïïïLLLããã������������ïïïLLLããã
72
XXX(((GGG���(((ïïïLLLããã___���������������"""ïïïLLLããã������æææXXX(((ïïïLLLãããGGG���(((���sss<<<���"""������������~~~
ôôô}}}���ããã���vvv���sss<<<���"""������!!!ÕÕÕ~~~000ôôô}}}���TTTHHHBBB���������(((§§§SSS������������~~~---���zzz���---
vvvÖÖÖïïïLLLããã���XXX(((���
73
5.2 ���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL (Maximal Reliability Problem)
��� 5.4: ïïï`¦¦¦OOOLLL������VVVeee���
��� 5.5: uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������VVVeee���
������5.4���dddººº���nnnïïï`¦¦¦���OOOLLLKKK������VVVeee���vvv---ÜÜܼ¼¼uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###���������VVVeee���
������5.5���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������VVVeee���ggg ���©©©111///���fff������OOOLLL���uuuPPPÀÀÀKKK222LLLîîîccc���vvv
uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������ÖÖÖ(((���vvv���###,,,NNNÑÑÑ���ÅÅÅÁÁÁ������GGG)))(((§§§SSS���������(((^ïïïLLLãããzzz���ºººØØØ
___���ööö���ÅÅÅÁÁÁ������fff������~~~vvvÖÖÖïïïLLLãããzzz������ÉÉÉ111���iii...ÖÖÖ###���¹¹¹ÕÕÕ������222LLL uuuPPPÀÀÀKKK
���îîîccc���������5.4������5.5---���BBBbbb���ööö���ggg¹¹¹���úúú���������hhh5.3���
74
hhh 5.3: ïïï`¦¦¦���OOOLLL������VVVeeeKKKBBBbbb���ööö
èèè___ ���öööggg¹¹¹
1 ¢¢¢åååîîîMMM###,,,---///&&&ïïïLLLããã���îîîMMM###,,,xxxîîî
2 ���000������'''ïïï`¦¦¦KKKMMMnnn���___���øøøîîîNNN���
3 uuuPPPÀÀÀKKK������PPP������vvvÖÖÖ###,,,NNNÑÑÑ
ddd������VVVeee���;;;������õõõ///���������ËËË���HHH$$$···///&&&XXX(((ïïïLLLããã���ååå XXX(((GGG���(((ïïïLLLããã
___���������������~~~ïïïLLLãããzzz���������æææXXX(((ïïïLLLãããGGG���(((uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������VVVeee���fff���îîîcccOOO
LLL���uuuPPPÀÀÀKKK���666���(((ÏÏÏAAA!!!íííããã---���)))(((���000aaa���ÕÕÕ Kriging!!!���������444ÞÞÞ___������ååå���
������444ÞÞÞ___���ºººîîî���ýýýxxx���ÅÅÅÁÁÁ������222LLL���sss������vvvÖÖÖ###������MMMnnn������������444ÞÞÞ___���������
KKKMMM���PPP���øøøîîîNNN������GGG������\\\bbb���óóóddd���������������ÜÜܼ¼¼���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL���������VVVeee���&&&
(((������àààÄÄÄ���ªªª���---���æææ���ÉÉÉ(((������������VVVeee���
75
,,, mmm ààà ÄÄÄ��� (Example)
6.1 ùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL (Concave Feasible Region Prob-
lem)
ÃÃÃggg,,,ÛÛÛàààBaseball FunctionÄÄÄ������dddÄÄÄ���ººº������xxx������ùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL���(((ddd���ddd
OOOLLL\\\ººº���'''ïïï`¦¦¦OOOLLL���ÄÄÄ���������vvvÍÍÍ°°°°°°ëëë���������¹¹¹������(6.1)���
g1 = x21 + x2
2 − 0.82 ≤ 0
g2 = −x1 + 2x22) + 3x1x2 − 0.2 ≤ 0 (6.1)
g3 = x1 − 2x22 − 0.2 ≤ 0
GGG---¨___���xxxX���vvv���HHHÅÅÅbbb���¹¹¹������(6.2)���
X v[N(µX1 , 0.2
2), N(µX2 , 0.152)]
(6.2)
(((���(((DIRECT������ÕÕÕ���106���ÖÖÖ###ÞÞÞ������000aaa���ÕÕÕ���ôôô¥¥¥ Baseball Function222LLL���
'''ïïï`¦¦¦���sss������vvv¹¹¹������(6.3)���������vvv---max[Pf(µX)
]ãããhhhWWW(((---���ÞÞÞµX���@@@ØØØ___���
ööö@@@���������444ÞÞÞ___���---������'''<<<���������������îîî���///������vvv������������
minµX
{max
[Pf(µX)
]}(6.3)
���sss���������PPP������///(((§§§���(−0.06950, 0.40146)���������444ÞÞÞ___���0.011197������vvvMMM
nnn������xxx���HHH���uuuPPPÀÀÀKKKjjjýýý���������6.1���vvv---ÑÑÑrrræææÚÚÚºººuuuPPPÀÀÀKKKMMMnnn��� •ºººÏÏÏ���ÖÖÖ###ÞÞÞ
MMMnnn������___ºººDIRECTPPP������000aaa���ÕÕÕ������sssãããMMMnnn���
76
��� 6.1: DIRECT������ÕÕÕKKKùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL���'''ïïï`¦¦¦MMMnnn:::������
)))(((,,,���àààKKK���'''ïïï`¦¦¦������VVVeee������ dddùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL222LLL���'''ïïï`¦¦¦
���sss������vvvPPP������hhh6.1@@@:::���hhh---���444ÞÞÞ___���///((( ���###,,,xxx���KKK���sssãããMMMnnn���ÍÍÍ°°°
���ýýýxxx222LLL���000aaa���ÕÕÕ106���###,,,ÞÞÞ,,,fffPPP���������dddOOOLLL���WWWIII¹¹¹ÕÕÕ���///ÝÝÝ ���ýýýxxx
���(((DIRECT������ÕÕÕ ���000aaa���ÕÕÕ������ïïï`¦¦¦���ÏÏÏ���!!!������ïïï`¦¦¦���ººº106���###,,,ÞÞÞ���
���sssãã㺺ºDIRECT÷÷÷LLL20207!!!ýýýxxx������!!!xxx���PPP������àààdddæææ������������ýýýxxx���===!!!xxx
ººº2.0207× 1010!!!��� ���
hhh 6.1: ùùùbbbïïïLLLãããzzz���OOOLLL���'''ïïï`¦¦¦���sss���PPP���hhh
íííããã ###,,,xxx ������(LS/TU/MR) ���sssãããMMMnnn 444ÞÞÞ___���
1 30 8/0/1 (-0.09968, 0.37586) 0.011446
2 40 9/0/1 (-0.09877, 0.37047) 0.012128
3 50 9/0/1 (-0.08505, 0.38043) 0.011080
4 60 9/0/1 (-0.09145, 0.38957) 0.010366
DIRECT (-0.06313, 0.40420) 0.011039
���ËËË###,,,ººº21���###,,,ÞÞÞ
hhh---���������(LS/TU/MR)ãããhhhWWWdddôôô���---������(((���~~~!!! ���###������������vvv---������ããã
___@@@ãããhhh���ggg¹¹¹���hhh6.2���
77
hhh 6.2: ������ããã___hhh
������ããã___ ggg¹¹¹
LS ooo���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###������
TU §§§SSS������(((^ïïïLLLãããzzz���
MR ���000aaa���ÕÕÕ���������'''ïïï`¦¦¦MMMnnn
111hhh6.1ÀÀÀßßß000���(((,,,60���###,,,ÞÞÞ@@@~~~000������sssããã���vvv444ÞÞÞ___���ÔÔÔDIRECT������ÕÕÕ���
���NNN���xxx���vvv���ààà���ïïïýýý///àà຺º���000aaa���ÕÕÕ��� ººº���'''������æææiii���TTTHHHêêêøøøîîî���'''
���700���###,,,ÞÞÞ������æææ���ÞÞÞ///DIRECT������ÕÕÕ ýýýÍÍÍ°°°������òòò���������NNN���MMMnnn���@@@ååå___!!!
ÕÕÕººº���DIRECT������ÕÕÕ���TTTHHH///&&&///���}}}���TTTHHH���
78
6.2 ïïï`¦¦¦���sss���,,,fffÄÄÄ��� (RBDO Test Problem)
ÃÃÃ������{{{ [59]���dddÄÄÄ���ºººïïï`¦¦¦���sss���---������������xxx������,,,fffOOOLLL���������!!!111ºººRBDOÄÄÄ
������vvvØØØ___���ööö���¹¹¹������(6.4)���vvv���bbb������6.2���
g1 = X21X2 − 20 ≤ 0
g2 = 1− (X1 +X2 − 5)2
30− (X1 +X2 − 12)2
120≤ 0 (6.4)
g3 = X21 + 8X2 − 75 ≤ 0
111¼¼¼���OOOLLL���¨___���xxx���HHHÄÄÄ NNN������àààddd������(((dddÍÍÍ°°°���©©©OOOLLL���¨___���xxxX���vvv
���HHHÅÅÅbbb���¹¹¹������(6.5)���
X1 v N(µX1 , 12), X2 v N(µX2 , 2
2) (6.5)
��� 6.2: ïïï`¦¦¦���sss���,,,fffOOOLLL���
)))(((���'''ïïï`¦¦¦���sss���������VVVeee���ååå50���###,,,xxxºººPPP���222LLL RBDOÄÄÄ���222LLL���'''
ïïï`¦¦¦���sss������vvvÖÖÖ###MMMnnn���uuuPPPÀÀÀKKK���îîîcccNNN������åååÊÊÊ������ØØØ___���ööö(((���ppp���ììì������NNN
������������6.3������6.4������6.5������6.6���
79
(a) 21���ÖÖÖ###uuuPPPÀÀÀKKK���,,, (b) 21���ÖÖÖ###g1KKK���ppp���ììì���
(c) 21���ÖÖÖ###g2KKK���pppxxxììì��� (d) 21���ÖÖÖ###g3KKK���pppxxxììì���
��� 6.3: RBDOÄÄÄ���KKK21���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���
80
(a) 30���ÖÖÖ###uuuPPPÀÀÀKKK���,,, (b) 30���ÖÖÖ###g1KKK���ppp���ììì���
(c) 30���ÖÖÖ###g2KKK���ppp���ììì��� (d) 30���ÖÖÖ###g3KKK���ppp���ììì���
��� 6.4: RBDOÄÄÄ���KKK30���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���
81
(a) 40���ÖÖÖ###uuuPPPÀÀÀKKK���,,, (b) 40���ÖÖÖ###g1KKK���ppp���ììì���
(c) 40���ÖÖÖ###g2KKK���ppp���ììì��� (d) 40���ÖÖÖ###g3KKK���ppp���ììì���
��� 6.5: RBDOÄÄÄ���KKK40���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���
82
(a) 50���ÖÖÖ###uuuPPPÀÀÀKKK���,,, (b) 50���ÖÖÖ###g1KKK���ppp���ììì���
(c) 50���ÖÖÖ###g2KKK���ppp���ììì��� (d) 50���ÖÖÖ###g3KKK���ppp���ììì���
��� 6.6: RBDOÄÄÄ���KKK50���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���
83
������(((###,,,xxx30���40���50BBB������%%% îîîMMM���Kriging!!!���222LLL���'''ïïï`¦¦¦���sss������
vvvPPP������hhh6.3���hhh---���������ããã___���hhh6.2������dddOOOLLL���WWWIII¹¹¹ÕÕÕ���///ÝÝÝ ���ýýýxxx���
(((DIRECT������ÕÕÕ ���000aaa���ÕÕÕ������ïïï`¦¦¦���ÏÏÏ���!!!������ïïï`¦¦¦���ººº106���###,,,ÞÞÞ���
���sssãã㺺ºDIRECT÷÷÷LLL20187!!!ýýýxxx������!!!xxx���PPP������àààdddæææ������������ýýýxxx���===!!!xxx
ººº2.0187× 1010!!!���
hhh 6.3: RBDO,,,fffÄÄÄ���KKK���'''ïïï`¦¦¦���sss���PPP���hhh
íííããã ###,,,xxx ������(LS/TU/MR) ���sssãããMMMnnn ���'''ïïï`¦¦¦
1 30 8/0/1 (3.7473, 4.7317) 0.890635
2 40 9/0/1 (3.7512, 4.7529) 0.891101
3 50 9/0/1 (3.7379, 4.7302) 0.889680
DIRECT (3.7613, 4.7301) 0.892024
���ËËË###,,,ººº21���###,,,ÞÞÞ
������111æææWWW���ppp������PPP������222LLL���ÖÖÖ���LLLîîî������ØØØ___���ööö(((���xxxzzz���---���'''ôôô
ýýý///lll¼¼¼sssÑÑÑ���###������ýýýxxx���666���(((������ËË˺ºº������000tttÔÔÔýýýxxx���ppp���������������(((Space-
Filling������õõõ���\\\���ËËË###,,,���xxxÇÇÇ������Space-Filling������õõõ///������###,,,áááÏÏÏ���ccc(((���xxxzzz���
---���������������###,,,KKK������������ÝÝÝâââ���'''���àààddd ¼¼¼21������ËËË###,,,ÞÞÞ���æææWWW���ppp������ªªª������
...ÖÖÖ###¹¹¹������:::������ýýýxxxzzz���øøøÜÜÜ'''---ÝÝÝâââ������ÇÇÇ������������������ppp���ììì���ÕÕÕ!!!ÕÕÕ ØØØ___
���öööýýý������ttt���ììì������
84
6.3 ¿¿¿ççç������hhhOOOLLL (Tuned Vibration Absorber Prob-
lem)
ÃÃÃ������{{{ [60]���dddÄÄÄ������\\\ºººuuuPPPÀÀÀKKK������ÄÄÄ������&&&������PPP���������{{{ZZZÔÔÔ������
��� 6.7: Zou et al.@@@���(((���¿¿¿ççç������hhh:::������
������6.7���dddûûûqqqººº������êêê111¦¦¦���¿¿¿ççç;;;<<<hhhûûûqqq������+++������������ûûûqqq���������������
hhh(Vibration Absorber)��� ÝÝÝ���������hhh���;;;���îîî���///������tttÔÔÔûûûqqq������///ÕÕÕEEE¦¦¦������������
dddûûûqqq���///ÕÕÕEEE¦¦¦ºººy���ïïïååå(((������¹¹¹������(6.6)hhh:::���vvv---ωn1���ωn2���%%%ãããhhh���ûûûqqq������
���hhh���êêê666;;;���(Nature Frequency)���ωººº������hhh���ÀÀÀ|||;;;���(Excitation Frequency)������Rããã
hhh������hhh������ûûûqqq���êêêÏÏÏÔÔÔ���ςãããhhh���ûûûqqq���;;;<<<ÔÔÔ���dddLLLîîîPPP���///ÕÕÕEEE¦¦¦y ïïï���NNN28���
àààdddØØØ___���öööïïïëëë���¹¹¹������(6.7)���vvv---OOOLLL���¨___���xxx���HHH���ºººØØد���HHH���
y =
1−(
1
X2
)2
√√√√[1−R(
1
X1
)2
−(
1
X1
)−(
1
X2
)2
+1
X21X
22
]2
+ 4ς2[
1
X1
− 1
X1X22
]2
(6.6)
X1 =ωn1
ωv N(1, 0.025), X2 =
ωn2
ωv N(1, 0.025)
R = 0.01, ς = 0.01
g(X1, X2) = y − 28 ≤ 0 (6.7)
���vvvØØØ___���ööö���bbbÀÀÀ���IIIØØØÚÚÚ���uuuPPPÀÀÀKKKåååÊÊÊOOOLLL���¨___���xxx���HHHÄÄÄ :::���jjjýýý������
85
���6.8���vvv---���6.8-(d)///¨___���xxx���HHHÄÄÄ (((ÖÖÖ###1000ÞÞÞ���ÅÅÅÁÁÁ������:::���������
(a) òòòbbbbbbÀÀÀ (b) IIIØØØÚÚÚ
(c) uuuPPPÀÀÀKKK (d) ¨___���xxx���HHH
��� 6.8: ������hhhååå���ÄÄÄ���OOOLLL:::������
)))(((uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###���������fff������dddOOOLLL���uuuPPPÀÀÀKKK222LLLîîîccc���vvvîîîccc���NNN������
���6.9������6.10������6.11������6.12���vvv---æææ���ºººÖÖÖ###������KKK���PPP������óóó���ººº(((îîîMMM###,,,uuuPPP
ÀÀÀKKK������,,,MMMnnn���
86
(a) 21���###,,,���ppp���ììì��� (b) 21���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
(c) 50���###,,,���ppp���ììì��� (d) 50���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
��� 6.9: ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(21���50)
87
(a) 75���###,,,���ppp���ììì��� (b) 75���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
(c) 100���###,,,���ppp���ììì��� (d) 100���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
��� 6.10: ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(75���100)
88
(a) 125���###,,,���ppp���ììì��� (b) 125���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
(c) 150���###,,,���ppp���ììì��� (d) 150���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
��� 6.11: ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(125���150)
89
(a) 175���###,,,���ppp���ììì��� (b) 175���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
(c) 200���###,,,���ppp���ììì��� (d) 200���###,,,uuuPPPÀÀÀKKK���,,,
��� 6.12: ������hhhååå���ÄÄÄ���uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN������(175���200)
90
���gggOOOLLLKKK¨___���xxx���HHH���)))(((���000aaa���ÕÕÕ(((���������xxxxxxýýýxxx���Kriging!!!������BBBÖÖÖ
###105���###,,,ÞÞÞ���������444ÞÞÞ___������ÔÔÔ������{{{ [60]������������PPP������������6.13���hhh6.4���
��� 6.13: Zou et al.KKK������hhhååå���ÄÄÄ������PPP������
hhh 6.4: ������hhhååå���ÄÄÄ���444ÞÞÞ___���������PPP���hhh
###,,,xxxîîî ������(LS/TU) PfPf
Pf,MCS
21 - 0.00972 0.95
50 26/3 0.00457 0.45
75 18/7 0.00556 0.54
100 13/16 0.01017 0.99
125 10/19 0.01101 1.08
150 3/26 0.01097 1.07
175 5/24 0.01116 1.09
200 4/25 0.01075 1.05
Pf,MCS = 0.01023
���ËËËÖÖÖ###ººº21ÞÞÞ
91
111,,,fff���PPP������������(((100���###,,,xxxîîîåååKKK������'''ôôôýýý���000������{{{øøø»»» `���
PPP������FFF///���///ïïïååå111uuuPPPÀÀÀKKKîîîcccNNN���������úúú������000���uuuPPPÀÀÀKKK���,,,MMMnnnÍÍÍ666������ýýýxxx
@@@îîîppp���yyy%%%///(((000������uuuPPPÀÀÀKKK@@@ßßß���àààddd(((ddd---���ÞÞÞ@@@���������444ÞÞÞ___���ýýý������ýýýxxx
���444ÞÞÞ___���øøø������&&& ãããhhh(((ttt���zzz���---���ûûû���MMMnnn���444ÞÞÞ___���___���øøø������666���ÅÅÅ���èèè���
000(((���{{{---������hhh6.4��� ���ýýýxxx222LLL���000aaa���,,,fffBBB���///ÖÖÖ3 × 104���###,,,ÞÞÞ���������������
���������,,,fff///ååå105���###,,,ÞÞÞ������������������ååå106���###,,,ÞÞÞ ���ýýýxxx222LLL���000aaa������������PPP
������vvv444ÞÞÞ___���ººº0.010246���___111///ªªª(((���{{{ [60]---��� ¼¼¼���ýýýxxx���444ÞÞÞ___������������<<<NNN
///(((���000aaa������ÖÖÖ###ÞÞÞxxx ³³³��� ��� 444ÞÞÞ___������NNN000���
æææ���111ØØØ___���ööö���æææWWW���ppp���PPP���ÀÀÀßßß���111¼¼¼������VVVeee///fff���(((uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###,,,���
àààddd���ÖÖÖ���ËËËÖÖÖ###KKK���@@@���000���###,,,���ýýýxxx<<<|||dddKKK��� ���***'''îîîppp���666���(((æææWWW���
ppp���������---{{{ïïïååå|||þþþ000���ììì���������zzz���øøøÜÜÜ'''qqqÿÿÿÄÄÄ øøøvvv���������ãããhhhWWWýýýxxx,,,���www
###������///(((ÐÐÐUUUððð<<<���"""������ddd...þþþaaa������6.8���ªªª���'''ôôôøøø���������___ãããhhhWWW������ïïï
åååÉÉÉ111���ppp������������������¨000ýýýxxx(((---���zzz���---@@@www���yyy'''���àààddd��� ddd...wwwððð<<<���
ýýýxxx222LLL¨000���ÅÅÅ������(((ððð<<<DDDÑÑÑ222LLLÖÖÖ###MMMýýý���000������ttt���ÇÇÇ���
92
,,, ��� ààà PPPÖÖÖ (Conclusions)
,,,ÖÖÖ���������,,,êêêÝÝÝ ���ÏÏÏ���xxx���sss������EGO������ÕÕÕ���ööö888óóóïïï`¦¦¦���sss������OOOLLL���&&& ���
... ���...^���OOOLLL���((( ������������VVVeee���ÐÐÐúúú���...ãããzzzwwwÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx���ïïï`¦¦¦���sss���OOO
LLL���¹¹¹ÕÕÕ������dddÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx������///111ûûûfff!!!ììì���///æææ���æææWWWIII���»»»BBB���MMMýýý���000xxxÚÚÚ���¹¹¹
ÕÕÕ���ååå������ttt���,,,ÖÖÖ���KKK���vvv¢¢¢{{{���&&& ,,,ÖÖÖ���KKK���vvvggg¹¹¹ÐÐÐúúú������¢¢¢������ååå���***������vvv
|||UUUKKKÃÃÃ������
7.1 ���vvv¢¢¢{{{ (Contribution)
,,,ÖÖÖ���KKK���vvv¢¢¢{{{���;;;���ïïïååå���ººº���������ÞÞÞ���
1. ÐÐÐúúú���...(((���(((���'''<<<666¨000ÕÕÕììì���Kriging!!!������OOOLLL���dddOOOLLL&&& ///àà຺º<<<666'''
ýýýxxx���///OOOLLL,,,«««���yyy'''������///���...(((xxx<<<KKK������"""������þþþaaa���FFF///dddþþþaaa(((NNN
»»»������{{{---&&&***«««¢¢¢������
2. 666���������êêêÕÕÕ���ììì������ppp������AAA������úúúËËËKriging!!!������ddd���ppp���ììì���������õõõ���êêê¼¼¼
000���qqq���xxx���
3. ���NNN»»»���{{{---@@@���(((���ÖÖÖ###������ttt���������gggvvvîîî��� ååå���^���&&&���������ÖÖÖ###������
eee������---���ååå������(((���xxxÇÇÇ���¹¹¹¿¿¿���
4. ÐÐÐúúú���...°°°���ÖÖÖ###������������ddd������lll¼¼¼yyy���îîî���^���������������ýýý���EGO������ÕÕÕ(((ØØØ
___���ööö���uuuPPPÀÀÀKKK222LLLÖÖÖ###���åååîîîcccKriging!!!���������ýýýxxx(((uuuPPPÀÀÀKKK���¤¤¤îîî���
5. 666������...°°°���EGO������ÕÕÕ������AAA������������,,,êêêÝÝÝ ���������xxx���sss������������ÕÕÕ���ööö888
óóóïïï`¦¦¦���sss������OOOLLL���
93
7.2 úúúppp (Suggestion)
(((,,,���ààà@@@ÐÐÐ000���EGO������ÕÕÕ���;;;���ggg¹¹¹(((¼¼¼Kriging!!!������ÖÖÖ###���������àààdddããã���iii���
���îîî���ggg¹¹¹///vvvÅÅÅ���'''������NNN»»»(((___°°°���ßßß���(((Kriging!!!���������{{{'''���ööö���¼¼¼DACE@@@
���(((���ggg¹¹¹���666������cccKriging!!!������ÖÖÖÌÌÌooo///���êêê¼¼¼000���qqq������ßßß���àààddd ¼¼¼000���qqq������
ßßß��� ããã������ïïïýýý���ôôô������ Kriging!!!������¤¤¤(((���
(((,,,àààKriging!!!������úúú,,,���õõõ---þþþ���ÐÐÐ000NNN���,,,ÇÇÇÖÖÖ���---ýýý���Kriging!!!���GGG---ººº
ØØدwww������666������æææKriging!!!���&&&���GGG---ºººÐÐÐ...bbb������������www���������dddGGG---������ààà///
àà຺ºØØدwww������ 111'''���������¹¹¹¿¿¿���ïïïååå������������ýýý ���ëëë������������ÖÖÖ###������������(((OOO
LLL������ÖÖÖ---���ÐÐÐ000���DACE���(((������'''<<<666¨000ÕÕÕ������@@@###,,,ÇÇÇ������¹¹¹åååxxxÚÚÚ���¹¹¹������
Kriging!!!���222LLLììì������:::OOOzzz���øøøÜÜÜ'''(((,,,êêê������'''���������ïïïLLL'''������ÏÏÏ���666������###
���\\\ÕÕÕ///&&&������������&&& ããã���àà຺º ¼¼¼������---���OOOLLL���ªªª������xxx������xxxKKK��� ¼¼¼ýýýxxx���
ÜÜÜÂÂÂ���&&& ÏÏÏ000���qqq������ßßß---000���MMMnnn¹¹¹������ýýýxxx���ÜÜÜ£££¼¼¼���ooo���������ªªª���ÃÃÃ������
{{{ [61]------���������^ÊÊÊDDDööö���������7.1���������§§§666àààPPPººº^ÊÊÊ���GGG(Pad)ÊÊÊIII***(Rotor)���ÃÃÃ
xxx���£££¼¼¼���������ãããóóóÏÏÏ���GGGbbbÀÀÀ���III***PPP��� ¼¼¼^ÊÊÊûûûqqq���___°°°HHH������(((���xxxzzz���---UUU
...øøøÜÜÜ'''���
��� 7.1: Lee et al.@@@���(((���^ÊÊÊDDDööö:::������
������������'''<<<666¨000ÕÕÕ@@@���(((���zzz���øøøÜÜÜýýýxxx ÔÔÔ¼¼¼000���qqq���xxx---������õõõ���@@@���
��� product correlation rule���^<<<¼¼¼^III���'''(Anisotropy)���ppp���������õõõ������<<<NNNãããzzz������
94
���ãããååå$$$···###,,,(((���xxxzzz���---���øøøÜÜÜ'''OOOLLL���666������'''<<<666¨000ÕÕÕ(((���(((ÈÈÈXXX(((WWW������
ïïï���MMM���þþþaaa���������,,,ààà���ÖÖÖ000���vvv###,,,xxx������BBB���������<<<666ýýýxxx---���###,,,zzz���øøøÜÜÜ
ÂÂÂxxxéééccc���LLL������<<< det(Rα)������������úúúûûûfff@@@ýýý222XXX���ÇÇÇ������KKKPPP��������� ���<<<666ýýý
xxx(((���(((���ðððããã������___///,,,ÖÖÖ���(((222LLLKriging!!!������ììì���BBB������(((���������ppp���sss¹¹¹¤¤¤îîî
ÕÕÕ������ààà���
æææ������ÞÞÞ///���(((������@@@ÐÐÐúúú������uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###���������vvv,,,««« ¼¼¼���������sss���������ÕÕÕ
���ªªª&&& ///���������}}}���îîî���ýýýxxx���àà຺ºddd������111������EI���������Kushner���������Feasibility���
���III���ýýýwww������ }}}���'''êêê���111///wwwýýýxxx<<<ºººööö���'''@@@ßßßåååÊÊÊ������ððð<<<������
ÏÏÏLower Confidence Bounding Function���������Kriging Estimator������III���www���tttzzz���ÇÇÇ
������������������ ���������ÕÕÕ(((222LLL���������ðððããã���������ýýý 999���uuuPPPÀÀÀKKKÖÖÖ###���������ddd'''
êêê������©©©¼¼¼999���(((uuuPPPÀÀÀKKK���������HHH������
���æææ������ ¼¼¼Kriging!!!���������(((������///êêê@@@PPP¼¼¼000���qqq���xxx---���������èèèýýý���666���
(((Kriging!!!���---������IRFk-Kriging���Indicator Kriging���Disjunctive Kriging���Lognormal
Kriging���Constrained KrigingIIIvvvÖÖÖ...!!!������|||UUU���ïïïÃÃÃ��� [36]���àààddd���������<<<NNN���ïïïååå
���000���qqq������ßßß---���000������¹¹¹ÕÕÕ���ÝÝÝ ���������OOOLLL222LLLÉÉÉ(((������������ÝÝÝ Cammelbackýýý
xxx���åååØØØ___���ööö\\\ººº���»»»(Threshold)���jjjýýýIndicator Kriging���������7.2������---æææÚÚÚºººOOOLLL
���uuuPPPÀÀÀKKK���xºººÖÖÖ###MMMnnn���IIIØØØÚÚÚïïï���ºººIndicator Kriging���,,,ýýýxxx<<<'''¼¼¼ööö���___���ººº���
������
¼¼¼ïïï`¦¦¦OOOLLL���ªªª���444ÞÞÞ___������������������������---���<<<���uuuPPPÀÀÀKKK���ÝÝÝâââ������///(((
---���<<<hhhmmm���¨___���xxx���HHH@@@ßßß���ÇÇÇ���ddd...���BBB���000���qqq���xxx---Kriging!!!������@@@ßßß������
xxx<<<NNNýýý ^ÔÔÔ������(((,,,ÖÖÖ���---���###,,,ÖÖÖ###(((uuuPPPÀÀÀKKK���åååîîîcccKriging!!!���������õõõ������
000���qqq���xxx---���Preferential Sampling������õõõ^<<<���àààddd(((������������vvvááá���ïïïååå���nnn���000���
qqq���xxx---������õõõ������000ôôô������ÉÉÉ(((���
95
��� 7.2: Camelbackýýýxxx���Indicator Kriging���
96
ÃÃà ��� ��� {{{
[1] J. Tu, K. K. Choi, and Y. H. Park, “A new study on reliability-based design optimization,”
Journal of Mechanical Design, vol. 121, no. 4, pp. 557–564, 1999.
[2] L. C. Dixon and G. P. Szego, Towards global optimization 2. North- Holland, 1978.
[3] A. M. Hasofer and N. C. Lind, “Exact and invariant second-moment code format,” Journal
of the Engineering Mechanics Division, vol. 100, pp. 111–121, January/February 1974.
[4] P. Liu and A. Kiureghian, “Optimization algorithm for structure reliability,” Structural
Safety, vol. 9, pp. 161–177, 1991.
[5] J. Tu and K. Choi, “A new study on reliability-based design optimization,” Journal of
Mechanical Design, vol. 121, no. 4, pp. 557–564, 1999.
[6] J. Tu, K. K. Choi, and Y. H. Park, “Design potential method for robust system parameter
design,” AIAA Journal, vol. 39, no. 4, pp. 667–677, 2001.
[7] A. Haldar and S. Mahadevan, Probability, Reliability, and Statistical Method in Engineering
Design. John Wiley, Sons, Inc, 2000.
[8] Y.-G. Zhao and T. Ono, “New point estimates for probability moments,” Journal of En-
gineering Mechanics, vol. 126, pp. 433–436, April 2000.
[9] A. Harbitz, “An efficient sampling method for probability of failure calculation,” Structural
Safety, vol. 3, no. 2, pp. 109–115, 1986.
[10] D. R. Jones, M. Schonlau, and W. J. Welch, “Efficient global optimization of expensive
black-box functions,” Journal of Global Optimization, vol. 13, pp. 455–492, 1998.
[11] D. R. Jones, “A taxonomy of global optimization methods based on response surfaces,”
Journal of Global Optimization, vol. 21, pp. 345–383, 2001.
[12] H. M. Gutmann, “A radial basis function method for global optimization,” Journal of
Global Optimization, vol. 19, pp. 201–227, 2001.
97
[13] M. J. Sasena, P. Y. Papalambros, and P. Goovaerts, “The use of surrogate modeling
algorithms to exploit disparities in function computation time within simulation-based
optimization,” in In The Fourth World Congress of Structural and Multidisciplinary Op-
timization, 2001.
[14] J. Knowles, “ParEGO : A hybrid algorithm with on-line landscape approximation for ex-
pensive multiobjective optimization problems,” IEEE Transactions on Evolutionary Com-
putation, vol. 10, pp. 50–66, 2006.
[15] M. Locatelli, “Bayesian algorithms for one-dimensional global optimization,” Journal of
Global Optimization, vol. 10, no. 1, pp. 57–76, 1997.
[16] H. J. Kushner, “A new method of locating the maximum of an arbitrary multipeak curve
in the presence of noise,” Journal of Basic Engineering, vol. 86, pp. 97–106, March 1964.
[17] B. Betro, “Bayesian methods in global optimization,” Journal of Global Optimization,
vol. 1, no. 1, pp. 1–14, 1991.
[18] M. J. Sasena, P. Y. Papalambros, and P. Goovaerts, “Global optimization of problems
with disconnected feasible regions via surrogate modeling,” in 9th AIAA/ISSMO Sym-
poium on Multidisciplinary Analysis and Optimization, AAIA 2002-5573, (Atlanta, Geor-
gia), September 2002.
[19] S. Gomez and A. V. Levy, “The tunneling method for solving the constrained global op-
timization problem with several non-connected feasible regions,” Lecture Notes in Mathe-
matics, vol. 909, pp. 34–47, 1982.
[20] M. J. Sasena, P. Y. Papalambros, and P. Goovaerts, “Metamodeling sampling criteria in
global optimization framework,” in 8th AIAA/USA/NASA/ISSMO Symposium on Multi-
disciplinary Analysis and Optimization, (Long Beach, CA), American Institude of Aero-
nautics & Astronautics, 6-8 September 2000.
[21] F. H. Branin, “Widely convergent method for finding multiple solutions of simultaneous
nonlinear equations,” IBM Journal of Research and Development, vol. 16, pp. 504–522,
1972.
98
[22] D. G. Krige, “A statistical approach to some mine valuation and allied problems on the
Witwatersrand,” Master’s thesis, University of Witwatersrand, 1951.
[23] F. P. Agterberg, “Georges Matheron : Founder of spatial statistics,” Earth Sciences His-
tory, vol. 23, no. 2, pp. 205–334, 2007.
[24] N. Cressie, “The origin of Kriging,” Mathematical Geology, vol. 22, no. 3, pp. 239–252,
1990.
[25] J. Sacks, S. B. Schiller, and W. J. Welch, “Design for computer experiments,” Technomet-
rics, vol. 31, pp. 41–47, 1989.
[26] J. Sacks, W. J. Welch, W. J. Mitchell, and H. P. Wynn, “Design and analysis of computer
experiments,” Statistical Science, vol. 4, no. 4, pp. 409–435, 1989.
[27] A. J. Booker, J. E. Dennis, P. D. Frank, D. B. Serafini, and V. Torczon, “Optimization
using surrogate objectives on a helicopter test example,” tech. rep., Applied Research
Technology, 1997.
[28] K. Park, P. K. Oh, and H. Lim, “The application of the CFD and Kriging method to
an optimization of heat sink,” International Journal of Heat and Mass Transfer, no. 49,
pp. 3439–3447, 2006.
[29] S. Sakata, F. Ashida, and M. Zako, “Eigenfrequency optimization of stiffened plate using
Kriging estimation,” Computational Mechanics, no. 31, pp. 409–418, 2003.
[30] C.-H. Liu and K.-Y. Chan, “Reliability-based design of a pressure tank under random and
stochastic environments,” ASME International Design Engineering Technical Conference,
Auguest,3-6 2008.
[31] L. Etman, “The method of Sacks, Design and analysis of computer experiments,” tech.
rep., Eindhoven University of Technology, 1994.
[32] P. K. Kitanidis, Introduction to Geostatistics. Cambridge University Press, 1997.
[33] M. J. Sasena, Flexibility and Efficiency Enhancements for Constrained Global Design Op-
timization with Kriging Approximation. PhD thesis, University fo Michigan, 2002.
99
[34] M. Schonlau, Computer experiments and global optimization. PhD thesis, University of
Waterloo, 1997.
[35] J. D. Martin and T. W. Simpson, “Use of Kriging models to approximate deterministic
computer models,” AIAA Journal, vol. 43, no. 4, pp. 853–863, 2005.
[36] J. P. Chiles and P. Delfiner, Geostatistics : Modeling Spatial Uncertainty. Wiley-
Interscience, 1999.
[37] J. L. Devore, Probability and Statistics. Thomson Brooks/cole, 2008.
[38] C. Currin, T. Mitchell, M. Marris, and D. Ylvisaker, “A bayesian approach to the design
and analysis of computer experiments,” tech. rep., Oak Ridge National Laboratory, 1989.
[39] K. V. Mardia and R. J. Marshall, “Maximum likelihood estimation of models for residual
covariance in spatial regression,” Biometrika, vol. 71, no. 1, pp. 135–146, 1984.
[40] D. G. Cook and S. J. Pocock, “Multiple regression in geographical mortality studies, with
allowance for spatially correlated errors,” Biometrika, vol. 39, pp. 361–371, 1983.
[41] T. H. O’Donnell, H. L. Southall, and L. B. Kaanta, “Efficient global optimization of a
limited parameter antenna design,” vol. 6964, Evolutionary and Bio-Inspired Computation:
Theory and Applications II, March, 17.
[42] A. Todoroki and M. Sekishiro, “Modified efficient global optimization for a hat-stiffened
composite panel with buckling constraint,” AIAA Journal, vol. 46, no. 9, pp. 2257–2264,
2008.
[43] D. Huang, T. T. Allen, W. I. Notz, and N. Zeng, “Global optimization of stochastic black-
box systems via sequential Kriging meta-models,” Journal of Global Optimization, vol. 34,
pp. 441–466, 2006.
[44] M. J. Sasena, P. Papalambros, and P. Goovaerts, “Exploration of metamodeling sampling
criteria for constrained global optimization,” Engineering Optimization, vol. 34, pp. 263–
278, 2002.
[45] M. J. Sasena, M. Parkinson, M. P. Reed, P. Papalambros, and P. Goovaerts, “Improving
an ergonomics testing procedure via approximation-based adaptive experimental design,”
Journal of Mechanical Design, vol. 127, pp. 1006–1013, 2005.
100
[46] C. Currin, T. Mitchell, M. Marris, and D. Ylvisaker, “Bayesian prediction of deterministic
functions, with application to the design and analysis of computer experiments,” Journal
of the American Statistical Association, vol. 86, pp. 953–963, December 1991.
[47] J. J. Warenw and B. D. Ripley, “Problems with likelihood esitmation of covariance func-
tions of spatial gaussian processes,” Biometrika, vol. 74, no. 3, pp. 640–642, 1987.
[48] G. J. Davis and M. D. Morris, “Six facotrs which affect the condition number of matrices
associated with Kriging,” Mathematical Geology, vol. 29, no. 5, pp. 669–683, 1997.
[49] S. E. Gano, J. E. Renaud, J. D. Martin, and T. W. Simpson, “Update strategies for Kriging
models used in variable fidelity optimization,” Structure Multidisciplinary Optimization,
vol. 32, pp. 287–298, 2006.
[50] E. S. Siah, M. J. Sasena, J. L. Volakis, P. Y. Papalambros, and R. W. Wiese, “Fast
parameter optimization of large-scale electromagnetic objects using DIRECT with Krig-
ing metamodeling,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 52,
pp. 276–285, January 2004.
[51] H. Stark and J. W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal
Processing. New Jersey: Prentice Hall, 3 ed., 2002.
[52] M. J. Sasena, P. Y. Papalambros, and P. Goovaerts, “The use of surrogate modeling
algorithms to exploit disparities in function computation time within simulation-based
optimization,” in In The Fourth World Congress of Structural and Multidisciplinary Op-
timization, 2001.
[53] D. D. Cox and S. John, “SDO : A statistical method for global optimization,” in in
Multidisciplinary Design Optimization: State-of-the-Art, pp. 315–329, 1997.
[54] A. G. Watson and R. J. Barnes, “Infill sampling criteria to locate extremes,” Mathematical
Geology, vol. 27, pp. 589–608, 14 March 1995.
[55] J. K. Yamamoto, “An alternative measure of the reliability of ordinary Kriging estimates,”
Mathematical Geology, vol. 32, pp. 489–509, May 2000.
101
[56] W. Ponweiser, T. Wagner, and M. Vincze, “Clustered multiple generalized expected im-
provement : A novel infill sampling criterion for surrogate models,” in Evolutionary Com-
putation, 2008. CEC 2008. IEEE Congress on, pp. 3515 – 3522, IEEE World Congress on
Computational Intelligence, 1-6 June 2008.
[57] B. D. Youn, K. K. Choi, R.-J. Yang, and L. Gu, “Reliability-based design optimization
for crashworthiness of vehicle side impact,” Structure and Multidisciplinary Optimization,
vol. 26, pp. 272–283, 2004.
[58] C. Audet, J. J. E. Dennis, D. W. Moore, A. Booker, and P. D. Frank, “A surrogate-model-
based method for constrained optimization,” in the 8th AIAA/NASA/USAF/ISSMO Sym-
posium on Multidisciplinary Analysis and Optimization, 2000. Paper No. AIAA-2000-4891.
[59] K.-Y. Chan, S. J. Skerlos, and P. Y. Papalambros, “An adaptive sequential linear pro-
gramming algorithm for optimal design problems with probabilistic constraints,” Journal
of Mechanical Design, vol. 129, no. 2, pp. 140–149, 2007.
[60] T. Zou, Z. P. Mourelatos, S. Mahadevan, and J. Tu, “An indicator response surface method
for simulation-based reliability analysis,” Journal of Mechanical Design, vol. 130, no. 7,
pp. 070410–1, 2008.
[61] H.-H. Lee, Taguchi Mrthod: Principles and Parctices of Quality Design. Taipei, Taiwan:
Gau Lih Book Co. Ltd., 2008.
102
êêê ³³³
103
DDD���������---ñññ ggghhh
Active Constraint HHHØØØ___���ööö
Best Linear Unbiased Predictor ���sss!!!OOO000ÚÚÚ'''���,,,ÕÕÕ
Correlation Length øøøÜÜÜÝÝÝâââ
Cross Validation ¤¤¤ÉÉÉWWWIIIÕÕÕ
Deterministic ������
Expect Improvement 999���������<<<������
Expensive Function ÑÑÑÒÒÒPPPýýýxxx
Experimental Variogram æææWWW���ppp���
Feasible Region ïïïLLLãããzzz���
Feasibility ïïïLLLããã___���
Fitting ììì���
Geostatistics 000���qqq���xxx
Genetic Algorithm úúúààà������ÕÕÕ
Ill-Condition ooo���ööö
Infill Sampling Criterion ÖÖÖ###������
Initial Sample ���ËËË###,,,
Intrinsic Hypothesis ,,,êêêGGG---
Leave One Out ®®®ÞÞÞûûûúúúÕÕÕ
Limit State uuuPPPÀÀÀKKK
Maximal Likelihood Estimation ���'''<<<666¹¹¹ÕÕÕ
104
Maximum Variance ���'''���pppxxx������
Nugget Effect ���JJJHHHÉÉÉ
Random Function ¨___ýýýxxx
Influence Range qqqÿÿÿÄÄÄ
Semivariogram JJJ���ppp���
Sill >>>»»»<<<
Simulated Annealing Algorithm !!!ììì���kkk������ÕÕÕ
Spatial Correlation Function zzz���øøøÜÜÜýýýxxx
Stationary Hypothesis sssiiiGGG---
Stochastic ������
Theoretical Variogram ���ÖÖÖ���ppp���
Tunneling §§§SSS������
Variogram ���ppp���
Variogram Cloud JJJ���pppòòò���
105