x o yoyo q o = c x c y t x tg a c x en q o t y tg a c y en q o t x y t y determinan un único...
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x
y
z
xo
yo
Qo = Cx Cy
Tx tg a Cx en Qo
Ty tg a Cy en Qo
Tx y Ty determinan
un único plano: t
PLANO TANGENTE
a S en Qo
: x = xo
Tx
Qo
Ty
t
Cx x-curva
: y = yo
Cy y-curva
z
Cx
Ty
Qo Tx
t
Po (xo; yo)
S
en Po (xo ; yo )
Tx : Z – zo = B (y - yo) (recta en : x = xo )
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
Qo (xo; yo; zo) t
t = (a ; b ; c)
t :
Si c 0 , dividiendo por c se obtiene:t :
Tx = πt
Tx :
)xx( o
o
ooo
xx
)yy(B)xx(AzZ(1)
Z
y
z
y z
yyo
Δz=B
Tx
z
Δy=1zo
(x = xo)
Qo
Cx
x
n
a?; b? ; c?
A?; B?
n
n t
Qo
t
Tx
(x = xo)
= 0
por geom B = mTx B = fy (xo; yo )
por calc. dif. mTx = fy (xo ; yo)
( x = xo )
Ty ) Z – zo = A ( x – xo ) recta en π: y = yo
A = mTy
A = fx (xo; yo )
mTy = fx(xo; yo)
Tx ) Z – zo = B ( y - yo) recta en π: x = xo
B = fy (xo ; yo )
t : Z - zo = fx (xo ; yo ) . (x - xo) + fy (xo ; yo ) . (y - yo)
Ty
TxQo
t )
Idem:
t : Z = zo + fx (xo ; yo ) . (x - xo) + fy (xo ; yo ) . (y - yo)
¿ existen .las derivadas parciales de f en Po(0;0) ?? . Calculamos “por def.”
y = f (x) (función escalar) ; “ existe f´(xo) f continua en xo ”.
z = f (x; y) (campo escalar): “existen fx(Po) y fy(Po) f continua en Po”
Ejemplo 1: sea z = f (x; y)
V
F
existen fx(0;0) y fy(0;0)
Pero … f no es continua en (0; 0)Pero … f no es continua en (0; 0)
x
y
z
f (x; y) = 22 yx
y.x
(1) por la recta y = x :
f (x; x) = ½ , x 0 ; luego,
f (x; x) ½ cuando x 0 .
(2) por la recta y = ½ x :
Si (x; y) (0;0) … ¿qué hace f (x;y) ?? ¿tiene un “comportamiento definido??;
¿tiende a f (0; 0)?. O sea, ¿es continua en (0;0)?
x
y
z
x
y
z
1/21/2
2/52/5
y= ½ x
y= xConclusión: si (x; y) (0;0)
por rectas distintas ;
f (x;y) tiende a valores distintos.
no existe el límite de f
para (x; y) (0;0) ;
f no es continua en (0;0)
f (x; ½ x) = 2/5 , x 0 ; luego,
f (x; ½ x) 2/5 cuando x 0.
Vimos que:
“ existe f´(xo) f diferenciable en xo ” ( existe df (xo) )
DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES z = f (x; y)
Recuerdos:definimos “diferencial de f en xo”: df (xo) =
“ si f diferenciable en xo entonces. el diferencial y , dy ,
es una buena aproximación del incremento en y , y , con
Si y = f (x) es “derivable en xo” ; o sea, existe
ó; dy = f ´ (xO) . dx
y = f ´ (xo). x + . x , y = f ´ (xo). x + . x ,
con 0 para x 0con 0 para x 0
con 0 para x 0con 0 para x 0
“propiedad” del diferencial de f para 1-variable que “sugiere” la forma de definir diferencial de f para 2- variables.
z = f (x; y) , Po (xo ; yo) ; si existen fx(Po) y fy(Po), ¿ f será “diferenciable” en Po ?
¿¿ f diferenciable en Po ?? . Para seguir debemos definir diferenciabilidad de f.
Esto se hace llevando a 2- variables lo visto en 1-variable
Po (xo ; yo) .
Po
( z = f (x; y) - f (xo; yo) )
;
Demostración:
f diferenciable en (xo; yo)
Luego:
zlim)0;0()y;x(
f continua en (xo; yo)
f continua en (xo; yo)
lim)0;0()y;x( ( )
00 00
00 00
0zlim)0;0()y;x(
q.e.dq.e.d
= 0
0)y;x(f)yy;xx(f oooo)0;0()y;x(
lim
Definida “diferenciablidad de f ” , volvemos a la pregunta:
¿¿ existencia de fx(Po) y fy(Po) f “diferenciable” en Po ??.
Para contestarla necesitamos algunos resultados, que vemos ahora.
)y;x(f)yy;xx(f oooo)0;0()y;x(
lim
SISI
!!! (ej 1.)!!! (ej 1.)
!! ABSURDO!!ABSURDO!!
Teo 2Teo 2
Es decir, que el “ incremento de f ” es aproximadamente igual al “ diferencial total de f ”.
1)
2)
3) f diferenciable (TEO 2)
= +
“despreciable”
el dz
z = x 2 + 3 x y – y2
=
23 0.05 -0.042 3
d z = 0.65
( z = f (x; y) = x 2 + 3 x y – y2 ) Δz = f (2+Δx ; 3+Δy ) - f (2;3)
(TEO 2) f diferenciableRECUERDOS
(x; y)
x
y
z
D
yo
xy
(xo;yo )
zo
(xo;yo) zo= f (xo;yo) Po S
(x ; y) z = f (x ;y ) Q S
zo
Po
(x ; y)
t
S
Q z
T z dz
xo
Δz = z - zo
s
z
(x ; y) z tal que T(x;y;z ) t
Pero
z ≈ zo + dz
z
z - zo
(x; y)
(xo;y)(xo;yo)
zo
Δz
Q
(x;y; zo)
(x;y;z)
zo
(x;y; z)
ε
ss
P+ +
z
+ + + ε Po
dz
T
dz+ +
P+
V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231
r = 10
rv = 10 + Δr
εr = | r - rv | = |Δr |
εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1
h = 25
hv = 25 + Δh
εh = | h - hv | = | Δh |
εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1Se informa: r = 10 ± 0.1 Se informa: h = 25 ± 0.1
V = V(10 ;25) = 2600
Vv = V(10 + Δr ; 25 + Δh)
εV = | V - Vv |
εV = | ΔV | ≈ | dV |
r=10r=10 ΔrΔr
h=25h=25
ΔhΔh
| | | |
≈ 63 (cm3) ≤
| dV | ≤ 63
εV (máx.) = 63
| || | ≤ | |
V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231
r = 10
rv = 10 + Δr
εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1
h = 25
hv = 25 + Δh
εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1
εV = |ΔV| ≈ |dV| ≤ 63 εV (máx.) = 63
Vv = V ± 63
| Vv - V| ≤ 63
V- 63 ≤ Vv ≤ V + 63
V=V(10;25) ≈ 2600 2537 ≤ Vv ≤ 2663
r=10r=10 ΔrΔr
h=25h=25
ΔhΔh
| | ≈ 63 (cm3) ≤| |
εrel =
ε% =
024.02600
63
Vmáx
4.2100
.rel
%
V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231
r = 10
rv = 10 + Δr
εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1
h = 30
hv = 30 + Δh
εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1
εV = |ΔV| ≈ |dV| ≤ 15 εV (máx.) = 15
Vv = V ± 15
| Vv - V| ≤ 15
V- 15 ≤ Vv ≤ V + 15
V=V(10;25) ≈ 208 193 ≤ Vv ≤ 223
r=10r=10 ΔrΔr
h =6h =6
ΔhΔh
| | ≈ 15 (cm3) ≤| |
εrel =
ε% =
072.0208
15
Vmáx
2.7100
.rel
3
.40
%