•

•

llfi

x. CA! CUJJO DEL AREA D1~ lAS S1~CCIUlü;S TRANSVE J{SALBS

DElt'Iln'l'IVAS. CAI,CUJJ O DE VOr.tJMENES.

A. Objeto.

J/8. fin81ida.d de los cá.lC'ulos que se V8n él efectué'r es •

la de neterminElr el volumen de ma.teria.l en el movimiento de \

tierr8s que debe hacerse pElra la realiz8ci6n definitivél de la.

vín. l!:¡:o tos trabajos complement8n la infol'T!laci6n y la pr~cti-

ca de tr8.Zflc10 de Ví8S •

B. Consideraciones generales • •

T<3nto en 18s f6rmula s que se emplean para léls á.reas, co-

mo en la.s de los volúmenes los resol t ::!d os son ma.temátic8mente

exactos. Los valores obtenidos a partir de los datos de campo

son mas precisos en la medida que estos da.tos ha.yan sido toma-

dos en forma correcta. y se haya. hecho U118 buena elecci6n de

las s ecciones tra.nsversales. Naturalmente el grado de preci-

Gi6n que se desee en todEls estas operaciones, estará 8ubordina -

do al costo qve sea preciso invertir nara obtenerlo.

c. Cálculo del área de la sección definitiva • - •

1 08 da.tos a consid er8r pa.ra. el c81c1;10 del 6re3 d e ID sec-

ci6n , son los mismos que paTa el dibujo , es decir, todos los

conprendiél os entre el e j e (1:) y las esta.cél R de ta.lud.

Ejemplo l .

Sección en corte O + 000

Datos

Definitivos

-3,20: - 1,00

6,20

-0,8 5

2,80

I

- 0 ,70

3,70

B811C8 = 6,0 ID. Ta.lud 1:1 (Este 0P.tO no se necesite para. el

cá.lculo dcl á.ren).

•

•

117

6,20

320

J ' ( - -

3,0

~ - - ? Ro

l o

-----<

I 1;

3

3, c)

-- -7-

I

1

d 70

GRAIt'IGO l. Da.tos definitivos Sección 0+ 000.

Descomposición de la secci6n pera

c~lculo del área.

Esta Sección de 4niveles ( puntos : -3,20, -1,00, 6 ,20

18. podemos descomponer en 4 triángulos.

-0,85, 2,80

- 0 ,70

3,70

(En le Figura l.: 1, 2, 4, 5) Y un tra.pecio (Figura 1: 3), de

los cuales conocemos elementos suficientes (be ses y alturas),

para calcular su á.rea.. Así:

Area 1 - 3,0 x 3,20 - 2 - - 4,80 m 2

Area 2 - 1,0 x 6,20 - 3,10 m2 - -2

Are8. 4 0,85 (3,70-2,80) 0,38 2 - x - ID - -2

Ares, 5 - ( 3,0-2,8) x 0,70 - 0,07 m2 - -2

Aree. 3 - 1,0 t 0,85 )( 2,80 - 2,59 m2 -2

Area. de le Sección - 10,94 m2 -

)

•

I

,

118

Como ejemplo calcula.mos el áree de la. sección O + 000 por

coordenadas.

4.0

(O-3.10) .] (),"'--

2.0

/:'} ( '1.()-o.fs) '930-0.70 1

0.(',-'.--____ +-_~---,.,._,_---.__-_-_.__-~ 2JJ (3.Z0-0) '/.0 ~.o

- , ---"

8.0 ('120 -o) 0.0

GRAFICO 2. Area. por coordenade.s .

Se dibuja. haciendo pasar el eje Y por la estaca de talud

izquierda y el eje X por la banca., si la sección es en corte.

·Si es en terra.pl~n el eje X debe pasa.r por el punto de me-

nor cota. •

Cálculo del área.:

Ordene.mos los valores de coordena.das de lon -puntos en forma de

quebrados , repitiendo al final el ler. punto considerado, X - -y

, 8SJ.:

O, O" 6 , 20)<9, O:, 9 9 X - X

3,20 1,0 0,85 0,7

~.=..::..:...,. ... ~~y O, O ~\

3,20

Efectuando el producto de ca.da. numerador por el denominador del

quebrado siguiente, productos positivos. Cada numerador

por el denomina.dor del quebrado anterior, productos negati-

vos- • La. suma a.l~ebráica de estos productos nos dará la doble

$.rea. < Davis 11 ... 8).

produ.ctos \<+) = 0,0 + 5,27 + 6,30 + 0,0 + 0,0 + 10,24 = 21,81

•

119

productos / (-) - 19,84 + 9,0 + 8,42 + 6,44 + 0,0 + qo -- -

43,70

Doble área - 21,89 m2 -á.rea - 10,94 m2 -

Area ca1cu1a.da. por descomposici6n de triá.ngu1os

-- 10,94 m2

AreB. por coordenadas = 10,94 m2 I

En Qecciones de más de 4 niveles es recomenda.ble el uso de este

método paTa cá.1culo de á.reB .•

Ejemplo 2. Sección 016,50 Corte y terrapl~n

Datos ;- 3 ,60 O + 1,60 (psg.129)

Definiti 6,60 5,40 vos

Banca - 6,0 m. Ta.lud: Corte - 1:1 Terra.p1én - 1,5:1 - - -

z-------G. 6 CJ --__ o ______ ;>-\

I

- :3, 5 D

3,0 :210 1

-- 3, o ----'>>-f\ I

.,.1, (,0

51/0 -

GRAFICO 3. Secci6n de cero en el eje (corte y

terrap1~n).

Area en corte (-) corresponde al triángulO 1 =

3,0 x 3,60 = 5,40 m2

2

•

120

Area. en terrapl~n (+) corresponde a.l triángulo 2 = 3,0 x 1,60 = 2,40 m2

2

Ejemplo 3. Secci6n 020 Corte y terra.pl~n con punto de

cero sobre la. banca .•

Esta. secci6n tiene un punto de cero (cota roja. = cota. negra.) I

sobre la ba.nC8 y el 0,78 cm. a. la. izquierda. ~ este. data í\te to­

ma.do el gráfiCO y confronta.do en el terreno) •

Dates -3 .37 o

definitivos 6,37 0,78

0,45 + 1,67

5,50

Benca.: 6 ID. Talud corte: 1:1 Ta.lud terra.plén = 1,5: 1

I I ;1 ~} O' " /

,;.-l

•

- 3.37

~- ~ 3. o k - UZ

I I ..::: -

ct •

GRlU'ICO 4. Secci6n 020

Area. corte (-)

6 1: (3 ,0 - 0,78) x 3,37 =

2

>" -- r ..; (+ ) / (; 7 +-- -

\ 5.50

•

121

6 2: 0,78 x Ó,45 - 0,18 m2 -2

6, 3: 0,48 5,50 1,24 2 x - m -,

2

6 4: 3,0 x 1,67 - 2,51 m2 -2

Aren total en terrap1~n= 3,93 m2 I

Ejemplo 4. Secci6n ° + 030 Terrapl~n (lleno)

Da.tos + 1,08

definitivos

+ 0,73

4,10

+ 3,0 (pág.129)

7,50

3.0 >'< 3.0 >1 ,

4/0 -- 7.50 .----

~

GRAFICO 5. Area. Secci6n ° + 030

Aree. b. 1: 310 x 017~ - 1,10 m2 -2,0

Area L\ 2: 1,08 x 4,10 - 2,21 m2

2

Area 6 3: 1,08 x 7,50 - 4,05 m2 -2

Area. .6. 4 : 3,0 x 3,0 - 4,50 m2 -2

Area. en terraplén - 11,86 m2 -

f I

t 3. o I

,

•

-

122

y 8sí , péJra calcula.r el á.ree de la.s demás secciones. Los

datos se llevan a la libreta (P~g.129).

D. C81culo de Volúmenes.

Unél. vez d etermina.de s las á.res s de le s secciones transver-

sétles, se procede B.l cálculo de los volúmenes de tierra. a. mo-

ver entre cada. dos secciones consecutivas.

,

Para efectuar el cdlculo es preciso definir los tipos de volu-

men geométrico que más se a.proximen a la. me.gni tud de les masa.s

de corte (excavaci6n) y de terraplén (lleno) en el movimiento

de tierras (1).

OrcUna.riamente se emplea para el cálculo del volumen el método

de la.8 á.rees medias, que consiste en toma.r la semisuma. de dos

á.reéJs consecutiva.s dellJlismo ~~, (corte (-) o terraplén (+),

y mul tiplicar18 por la distancia. entre élles. V - R (Ao+Al) .

2

Sste método ofrece resultados ~uficientemente aproximados, es-

pecialmente cuando les áre8s difieren poco entre sí.Gráf. 11,

Pág. 131.

En el ceso de ceros en el eje, le bencn o los chaflanes,sc

a'PlicD le f6rmule de la 'Pi rá.mide: V = .! A x h Gráf. 7 y 8. 3

l. Datos necesa.rios par8 el c~lculo:

él.) Area de la sección especificando si es corte y/o

lleno (A).

b) Distancia horizontal entre las secciones = R.

•

•

,

123

2. Ejemplos:

a) Volumen en corte entre l8.s secciones 0+ 000 y

o + 010.

Da.tos: Afea. ° + 000 Ao = 10,94 m2 2. = 10,0 m­

Area O + 010 Al = 7,02 m2

Volumen corte = Vc = i (Ao+ Al) =

/

3 Vc': =*7-9,60 m r¿:/f 8 ; . (W>

G~I" ICO 6. Volumen entre O + 000 y O + 010 (corte)

b) Volumen entre O + 010 (corte) y O + 01~50

corte y lleno):

Volumen en corte.

Da.tos:

Area. secci 6n O + 010 = 7,02 m2 1 = 6,50 m.

Ares corte secci6n O + 01650 ~ 5,40 m2

Volumen Corte VCl - 6 1 50 m (7,02 m2 + 5,40 m2 )

2

Vel = 40,37 m3

•

•

124

Volumen en terra.plen:

Ares secci6n O + 01~50 en terr8pl~n - 2,40 m2

h = 8.1 tura. de la pirámide.

h se midió en el terreno buscando el punto de

cero a la. derecha.

Hay que tener en cuenta que al pe.sar de corte en

010 a. lleno en la. pa.rte derecha. de 016,50 ha.y un

punto de cero a la d.erecha. (cota roja = cota. ne­

gra). Ver gr6fico .

V terra:pl ~n: A x h - ~,40 m2 x 3,60 m.

3 -3

\1----- G ,~o Yr.)----I\

-..

•

t \

.,/ \ _ .. _-------_._. ---k

I

-. I

A 10 O ' p,. YO m; dQ Al A /(, .~" -.--

~h-=3.60ftl GRAFICO 7. Volumen en corte y terraplén entre

010 Y 016,50. Cero en el centro y

cero a la. derecha.

c) Volumen entre O + 016,50 (corte y terra.plén) y

O + 020 (corte y terra.plén):

Datos:

Area O + 016,50 en corte: 5,40 m2

Area O + 016,50 en terraplén: 2,40 m2

Area. O + 020 en corte::: 3,74 m2

1 - 3,50 m.

•

I

125

Ares O + 020 en terrapl~n = 3,93 m2

Volumen en corte: ) I ~O ffi. (5,~O m2 + 3,14 m2) =

15,99 m3

Volumen en terra.plén = 3150

2

2 2 (2,40 ID + 3, 93 m ) =

, I

, I

/1 ' •

/ -¡

11,08 m3

----_._------ _.-

----

I Y ~-::--::::==---=. ~--.J.t= _ ___ _

o 1/

' .-- - - - ~_. --_.- 1,1'/ ~. I 1,

I ; I ..,. '1

I " I :

\ + I

Ir' ,:-L - ----____ - J

AI¿.so A'20

!

GHA1"ICO 8 . Volumen en corte y terra.pl~n entre

016 , 50 y 020 . Cero sobre la banca .

d) Volumen entre O + 020 (corte ;l terrB.pl~n) y

O + 30 (terraplén):

AY'ea O + 020 Corte = 3,14 m2

Ares O + 020 terraplén = 2 3,93 m

• 1\ reE' O + 030 terrapl~n - 11,86 m2

1 = 10,0 ffi.

h = éÜ tura de la ni rámid E" (distanci8 de 020 ha sto

el ('punto d e cero en la lfne8 de las esta.ces de

ts.lud izquierda).

h = 6,59 ffi.

Volumen en corte =~z74

3

2 m c 6,59 rn. - 8,22 m3

-

•

•

1 26

Volumen en terra,plén == lO t O ffi . (3 , 93 m2 + 11 , 86 m2 ) -2

, -

78 , 95

Ik- h ---1 ", "

I I

I

/

1/

¡ ! _L ___ -- +-- . --' _.- --

I ,

GRAl"ICO 9 . Volumen en corte y terraplén entre 020

y 030 . Cero a 18 i zquierd[7, .

3 . Voltunen total en cor t e hs,sta la 0+030: . _ ." ... _. "

V total corte - 179 , 60 m3+ 40 , 37 m3 + 15 , 99 ro3 +

3 8 , 22 ro =

Volumen tota,l en terraplén héJf'ta. la, O + 030: '1 •

V '~otal terraplén = 2 , 88 m3 + 11 , 08 3 + 78 , 95 m3 ==

92 , 91 m3

Observa,ciones . , ..

1 . T,ospuntos de cero en el centro, be,ncD , te,lude s , etc ., -deben halla,rse en el terreno o deducirse s i es del ca-

so a, pa,rti r d e las curvas de niv el (topografía, de la

zona, de t-raza,do d e lB. vía,) .

lla,s h pueden en la misma forma calcularse en el terre-

no o en el gráfico .

1 27

2. CU2ndo 18 relación entre las 8rcDs de dos secciones

consecutivas del mismo signo es menor o i[l1Jal a. 1/5,

debe usa.rse para el calculo de volumen entre la.s 2

secciones la fórmula. prisIDntoida.l, pues el error

de c81culo con la fórmula. de la semisuma. de las 8reas

es cow:idera.ble. Gráf. 11 (b).

Ejemplo : ,

Izauierd~ Centro Derecha. Area

~ección X 6,50- 3,20 7,80 - 53,93 ro 3

9,50 10,80

~;ección Y 0 ,20 - 1,50- 1 ,40- 8,10 ro 2

3,20 t¡,40

Ay Ax 8 ,10 m2 53 , 93 2 m -5 5

A pli cendo la. fórmula. d e la. semisUffin.

dríamos :

v - 2 2 10,00 ID. (53,93 m- + 8,10 ID ) - 310 ,15 m3

2

Aplicando lB f órmula del prismatoiclc:

v - 1 (A x + 4 Am • + Ay) -6

Calculamos la. secci6n media promediando les dimensiones

homólogas de las dos secciones: ,

(6150 + 0,20)- (7,80+1 1 40)-Sección 2 (3 2 20+1 2 5Q)- 2 media , 2 9150 + 3 2°0 1°2 80 + 42 40

2 2

Sección 3,35 - 2,35- 426-

6,35 7,60

•

128

A~ea Am = 28,32 m2

v = 10,00 (59,93 m2 + 4 x 28,32 m2 + 8,10 m

2) = 3eo,50 m3

6

----------;f Al )------------

/ A 1">1

GRAFICO 10. Fó~mule del prisms.toide .Sección

Media.

0'\ N, ,..-i

, --- --- ___ o

I , ,

, Volumenes

, 1 -r ---- -- r- -

Area.s Secciones Secciones Absci­

sas Cota Negra

Cota. Roja

Pen- Ta- ____ --:-:-dien- lud Izquierda te

Centro 1 Derecha - ~c~rte-¡ T~r~":' -C-~;te Tef~~¡-_ _ _ 4 _ ~ - - .J - - -,.... p

-____ o

I K 0/030

1.--- ___

O.f 02() _ . --

010 /65J? ~

0+ 01

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-98.15 98.60

- 3.37 • o.ol b.3?) 0:18

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b. F6rmula. Prismatoidal.

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I

\ \ .' 1 1\ .' l. '1 ' , ~, I 1'1, "Y' .~

, '. \ / F6rmula del área de I la secci6n media.

Gráfico 11. Cálculo de volúmenes.

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