wykład 17 - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_17/wyklad_w17.pdf · a zatem...

Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1

Wykład 17

17.1 Prąd elektryczny, natężenie i gęstośd prądu.

Prądem elektrycznym nazywamy dowolny, uporządkowany (skierowany) ruch ładunków

elektrycznych. Jeżeli w przewodniku podtrzymywad zewnętrzne pole elektryczne 𝑬 , to

swobodne ładunki zaczną się w nim przemieszczad: dodatnie – zgodnie z polem, ujemne –

przeciwnie do kierunku pola - mówimy wtedy, że w przewodniku płynie prąd.

Dla powstania i istnienia prądu konieczne jest, z jednej strony, istnienie swobodnych

nośników prądu – naładowanych cząstek, a z drugiej strony, obecnośd pola elektrycznego,

którego energia była by wykorzystana do utrzymania

ładunków w ruchu. Za kierunek prądu przyjmuje się

kierunek ruchu dodatnich ładunków.

Przyjrzyjmy się dokładniej co się dzieje, jeżeli przyłożyd

stałe pole 𝑬 do przewodnika. Naładowana cząstka (taka jak

elektron) zacznie się poruszad pod wpływem działania na nią

stałej siły 𝑭 = 𝑞𝑬 . Taka cząsteczka w trakcie swojego ruchu

będzie podlega częstym zderzeniom z masywnymi jonami

przewodnika. Podczas tych zderzeo kierunek ruchu cząsteczki będzie ulegał gwałtownym

zmianom. Wypadkowe działanie pola elektrycznego sprowadzi się do tego, że cząsteczki

oprócz chaotycznego ruchu między zderzeniami będą poruszad się ze stosunkowo małą

wypadkową prędkością w kierunku działającej siły 𝑭 = 𝑞𝑬 (Rysunek 2.1). Prędkośd tego

ruchu nazywamy prędkością dryfu (unoszenia) cząsteczek 𝐯 𝐝.

Średnia prędkośd chaotycznego ruchu naładowanych cząsteczek jest duża rzędu 106m/s,

podczas gdy prędkośd dryfu dla typowych natężeo prądu jest rzędu 10-4m/s. Może się to

wydawad na pierwszy rzut oka dziwne w konfrontacji z naszym codziennym doświadczeniem

pokazującym, że natychmiast po wciśnięciu włącznika zapala się światło. Dzieje się tak

dlatego, że pole elektryczne w przewodach rozprzestrzenia się z prędkością porównywalną z

prędkością światła w próżni, a to oznacza, iż elektrony zostaną wprawione w ruch wzdłuż

całego przewodu w praktycznie w jednej chwili.

Rysunek 17.1


Dryf naładowanych cząsteczek w przewodniku można rozpatrywad w pojęciach pracy i

energii. Pole elektryczne 𝑬 wykonuje pracę nad poruszającymi się ładunkami, w wyniku

czego uzyskują one energię kinetyczną. Energia ta przekazywana jest do materiału

przewodnika poprzez zderzenia z jonami, które drgają wokół swych położeo równowagi w

węzłach siatki kryształu. Przekazywana energia zwiększa średnią energię tych drgao i tym

samym temperaturę przewodnika. A zatem większośd pracy wykonanej przez pole idzie na

ogrzewanie przewodnika, a nie na zwiększanie prędkości nośników ładunku. Ciepło to

czasami jest pożyteczne jak na przykład w czajniku elektrycznym, jednak najczęściej jest

nieuniknionym dodatkiem towarzyszącym przepływowi prądu.

W zależności od rodzaju przewodnika przewodzącego prąd

nośnikami mogą byd ładunki dodatnie i ujemne. W metalach

nośnikami ładunku są zawsze elektrony, podczas gdy w

zjonizowanych gazach (plazmie) lub w roztworach jonowych

nośnikami mogą byd zarówno elektrony jak i dodatnie jony.

Rysunek 17.2 przedstawia dwa odcinki różnych

przewodzących materiałów. Na rysunku 17.2a poruszającymi

się cząsteczkami w kierunku pola są dodatnie ładunki i

prędkośd dryfu 𝐯 𝐝 jest skierowana z lewa na prawo. Na

rysunku 17.2b poruszają się ładunki ujemne w kierunku

przeciwnym do pola

i prędkośd dryfu 𝐯 𝐝 skierowana jest z prawa na

lewo. W każdym z tych przypadków mamy do

czynienia z wypadkowym przepływem ładunków

dodatnich z lewa na prawo. Kierunek prądu

definiuje się umownie jako kierunek przepływu

ładunków dodatnich. Dlatego też kierunek prądu I

na obu rysunkach 17.2a i 17.2b jest taki sam.

Wprowadza się umowny kierunek prądu i

przyjmuje się, że jest on spowodowany dodatnimi

ładunkami, nawet jeżeli rzeczywisty przepływ

związany jest z ruchem elektronów.

Rysunek 17.3 przedstawia odcinek przewodnika, w którym płynie prąd. Miarą ilościową

prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycznego I. I jest fizyczną wielkością skalarną

Rysunek 17.2

Rysunek 17.3


określającą wielkośd ładunku przechodzącego przez poprzeczny przekrój przewodnika w

jednostce czasu:

𝐈 =𝐝𝐐

𝐝𝐭 17.1

Definicja natężenia prądu.

Prąd, którego natężenie i kierunek nie zmienia się w czasie nazywamy stałym. Jednostką

natężenia prądu jest amper (A = 1C/s).

Przeanalizujmy sytuację przedstawioną na rysunku 17.3. Mamy przewodnik o przekroju

poprzecznym A, pole 𝐄 skierowane na prawo, a nośnikami ładunku są ładunki dodatnie.

Niech w jednostce objętości znajduje się n ładunków. n nazywamy koncentracją i w układzie

SI jej jednostką jest jeden przez m3. Załóżmy, że wszystkie ładunki poruszają się z prędkością

dryfu vd. W przedziale czasu dt każda cząstka przebędzie drogę vddt. Cząstki, które wypływają

z prawej podstawy zacienionego cylindra o długości vddt są cząstkami, które były wewnątrz

cylindra na początku przedziału czasu dt. Objętośd tego cylindra jest równa Avddt, a ilośd

cząsteczek zawarta w nim wynosi nAvddt. Jeżeli każda cząsteczka posiada ładunek q, to

ładunek, który wypłynie z prawej strony cylindra w czasie dt będzie równy:

𝑑𝑄 = 𝑞 𝑛𝐴𝑣𝑑𝑑𝑡 = 𝑛𝑞𝑣𝑑𝐴𝑑𝑡,

a prąd będzie równy:

𝐼 =𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑛𝑞𝑣𝑑𝐴.

Gęstością prądu nazywamy fizyczną wielkośd określoną przez natężenie prądu

przepływającego przez jednostkę powierzchni przekroju przewodnika prostopadłą do

kierunku prądu:

𝐽 =𝐼

𝐴= 𝑛𝑞𝑣𝑑

Jeżeli poruszającymi się ładunkami są ładunki ujemne, a nie dodatnie, jak na rysunku

17.2b, wtedy prędkośd dryfu jest przeciwna do kierunku pola 𝐄 . Jednak prąd będzie mied

ciągle ten sam kierunek jak 𝐄 w każdym punkcie przewodnika. W związku z tym natężenie

prądu I i gęstośd prądu J nie zależą od znaku ładunku i w związku z tym w wyrażeniach na I i J

q możemy zamienid na q :

𝐈 =𝐝𝐐

𝐝𝐭= 𝐧 𝐪 𝐯𝐝𝐀 17.2

Ogólne wyrażenie na natężenie prądu.


𝐉 =𝐈

𝐀= 𝐧 𝐪 𝐯𝐝 17.3

Ogólne wyrażenie na gęstośd prądu.

Gęstośd prądu jest wektorem skierowanym tak jak przepływ prądu, tzn. zwrot wektora j

pokrywa się z kierunkiem uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich.

𝐉 = 𝐧𝐪𝐯 𝐝 17.4

Wektor gęstości prądu.

Jednostką gęstości prądu jest amper na metr kwadrat (A/m2).

17.2 Prawo Ohma. Opór przewodników.

Niemiecki fizyk Georg Simon Ohm dowiódł eksperymentalnie, że natężenie prądu I

płynącego przez jednorodny metalowy przewodnik (tj. przez przewodnik, w którym nie

występują siły uboczne) jest proporcjonalne do napięcia na koocach tego przewodnika

(Rysunek 17.4):

𝐈 =𝐔

𝐑 17.5

Prawo Ohma.

gdzie R jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym oporem przewodnika. Równanie

17.5 przedstawia prawo Ohma dla jednorodnego odcinka obwodu:

Natężenie prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego

napięcia i odwrotnie proporcjonalna do oporu przewodnika.

Wzór 17.5 pozwala określid jednostkę oporu – om (Ω): 1Ω jest to opór takiego

przewodnika, w którym przy napięciu 1V płynie prąd 1A.

Wielkośd G = 1/R nosi nazwę przewodnictwa elektrycznego przewodnika. Jednostką

przewodnictwa jest simens (S),równy 1/Ω.

Opór przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu, a także od materiału, z którego

zrobiony jest przewodnik. Dla przewodnika o kształcie cylindrycznym opór przewodnika jest

równy:

𝐑 = 𝛒𝐋

𝐀 17.6

gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności nazywanym oporem właściwym i zależy on

od rodzaju materiału. Jednostką oporu właściwego jest 1Ωm. Najmniejszy opór właściwy

posiada srebro ( m 8106,1 ) i miedź ( m 8107,1 ). W praktyce, oprócz przewodów


miedzianych stosuje się przewody aluminiowe, chociaż

aluminium posiada większy opór właściwy ( m 8106,2 ), to

ma mniejszą gęstośd w porównaniu z miedzią.

Prawo Ohma można przedstawid w postaci różniczkowej.

Załóżmy, że dany jest przewód o polu przekroju A i długości L

(Rysunek 17.4). Niech U będzie różnicą potencjałów między

koocem o wyższym potencjale i koocem o niższym potencjale

(U > 0). Wtedy podstawiając wyrażenie na opór 17.6 do prawa Ohma (17.5) otrzymujemy:

L

U

ρ

1

S

I 17.7

gdzie 𝛄 = 𝟏/𝛒 nazywa się przewodnością właściwą materiału przewodnika. Uwzględniając,

że U/L = E – natężenie pola elektrycznego w przewodniku, I/S = J – gęstośd prądu, wzór 17.7

można zapisad w postaci:

J = γE 17.8

Ponieważ nośniki prądu w każdym punkcie poruszają się w kierunku wektora 𝐄 , to kierunki

𝐉 i 𝐄 pokrywają się. Dlatego powyższy wzór można zapisad w postaci wektorowej

𝐉 = 𝛄𝐄 17.9

Prawo Ohma w postaci różniczkowej.

Prawo to jest również słuszne dla prądów zmiennych.

Dla szeregowego połączenia oporów ich opory dodają się:

R = R1 +R2 +...+Rn

A dla równoległego połączenia odwrotnośd oporu całkowitego jest równa sumie

odwrotności poszczególnych oporów:

1/R = 1/R1+1/R2+...+1/R

Wykaż prawdziwośd dwu ostatnich wzorów.

Opór metali prawie zawsze wzrasta wraz ze wzrostem temperatury jak pokazuje to

rysunek 17.5a. W miarę jak wzrasta temperatura jony przewodnika drgają z coraz większą

amplitudą i zderzenia elektronów z nimi stają się coraz bardziej prawdopodobne;

wyhamowuje to dryf elektronów w przewodniku, a tym samym powoduje zmniejszenie

natężenia prądu. Doświadczenie pokazuje, że w małych przedziałach temperatur (od 00C do

Rysunek 17.4

Wyższy

potencjał

Niższy

potencjał

U

R


około 1000C) opór właściwy, a co za tym idzie opór przewodników

(metali) zmieniają się liniowo wraz z temperaturą:

𝝆 𝑻 = 𝝆𝟎 𝟏 + 𝜶 𝑻 − 𝑻𝟎

𝑹 𝑻 = 𝑹𝟎 𝟏 + 𝜶 𝑻 − 𝑻𝟎

gdzie: ρ i ρ0, R i R0 odpowiednio oporności właściwe i opory w

temperaturach T i T0 (T0 często przyjmuje się równą 00C lub 200C),

α – temperaturowy współczynnik oporu. Współczynnik α zmienia

się w granicach od 0,00001(0C)-1 dla konstantanu do 0.0050(0C)-1

dla żelaza.

Opornośd grafitu (nie metalu) zmniejsza się wraz ze wzrostem

temperatury, ponieważ w wyższych temperaturach więcej

elektronów „uwalnia się” od atomów i może poruszad się w

objętości próbki grafitu. Podobne zjawisko zachodzi w

półprzewodnikach (Rysunku 17.5b), przy czym bardzo niewielkie

zmiany temperatury powodują istotne zmiany oporu.

Jakościowa zależnośd oporu przewodnika od temperatury jest przedstawiona na Rysunku

17.5a. Odkryto jednak, że opór wielu metali (np. Al., Pb, Zn, i innych) i ich stopów w bardzo

niskich temperaturach Tk (0,14-20K) zwanych krytycznymi (Rysunek 17.5c),

charakterystycznych dla każdej substancji, skokowo maleje do zera!, tzn. metal staje się

przewodnikiem idealnym. Po raz pierwszy zjawisko to, zwane nadprzewodnictwem, było

odkryte przez Kammerlingha – Onnesa w 1911roku w rtęci. Zjawisko nadprzewodnictwa daje

się wyjaśnid na gruncie teorii kwantowej. Obecnie (2003) otrzymywane są materiały

nadprzewodnikowe z temperaturą krytyczną około 160K i trwają poszukiwania materiałów,

które byłyby nadprzewodnikami w temperaturach pokojowych. Korzyści tego typu odkryd

dla systemów przesyłania energii, komputerów, transportu wydają się ogromne. Jak na razie

nadprzewodniki stosuje się elektromagnesach chłodzonych ciekłym helem, które są używane

w akceleratorach cząstek i w eksperymentalnych liniach pociągów lewitujących na poduszce

magnetycznej nad torem jazdy.

Na zależności oporu elektrycznego od temperatury oparte jest działanie termometrów

oporowych, które pozwalają zmierzyd temperaturę z dokładnością do 0,003K. Jednak

wykorzystanie jako substancji roboczej w termometrze półprzewodników, przygotowanych

Rysunek 17.5

a. Metal

Nachylenie

= ρ0α

b. Półprzewodnik

c. Nadprzewodnik


w specjalny sposób tzw. termistorów, pozwala mierzyd temperaturę z dokładnością do

milionowych części kelvina i umożliwia pomiary temperatury bardzo małych obiektów (ze

względu na małe rozmiary półprzewodników).

17.3 Siły uboczne. Siła elektromotoryczna.

Jeżeli dwa różnoimienne

przewodniki A i B naładowad

do potencjałów V1 i V2 i

połączyd przewodnikiem C

(Rysunek 17.6) to, pod

wpływem pola zacznie się

przemieszczanie elektronów

wzdłuż ACB, tzn. wzdłuż

przewodnika zacznie płynąd prąd w kierunku BCA. W czasie przepływu prądu będzie

zachodzid wyrównywanie się potencjałów i natężenie pola wewnątrz przewodnika zmaleje

do zera i prąd przestanie płynąd.

W celu podtrzymania stałego prądu w przewodniku należałoby mied specjalne

urządzenie, wewnątrz którego zachodziłoby ciągłe rozdzielanie różnoimiennych ładunków i

przenoszenie ich do odpowiednich przewodników (ładunki dodatnie do przewodnika B, a

ujemne do przewodnika A). Takie urządzenie zwane źródłem prądu (lub generatorem)

powinno działad na elektrony (lub ogólnie na ładunki) siłami pochodzenia

nieelektrostatycznego. Siły pochodzenia nieelektrostatycznego działające na ładunki w

źródłach prądu nazywamy ubocznymi.

Natura sił ubocznych może byd różna. Na przykład, w bateriach galwanicznych siły te

powstają dzięki energii reakcji chemicznych między elektrodami a elektrolitami; w

generatorach prądu stałego dzięki energii pola magnetycznego i energii mechanicznej

obracającego się rotora itp. Rola źródła prądu w obwodzie elektrycznym jest taka jak,

mówiąc obrazowo, rola pompy, która jest konieczna do przepompowania cieczy w układzie

hydraulicznym. Dzięki powstałemu polu sił ubocznych, ładunki elektryczne wewnątrz źródła

poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku pola elektrostatycznego i dzięki temu na

koocach obwodu zewnętrznego podtrzymywana jest różnica potencjałów i w obwodzie

płynie stały prąd elektryczny.

A C

B

Kierunek prądu I

Siła uboczna

Rysunek 17.6

V1 V2


Siły uboczne przesuwając ładunki wykonują pracę. Wielkośd fizyczna określona pracą

wykonaną przez siły uboczne podczas przenoszenia jednostki dodatniego ładunku nazywa się

siłą elektromotoryczną (SEM) E działającą w obwodzie:

𝓔 =𝐖𝐮

𝐐𝟎 17.10

Siła ElektroMotoryczna (SEM).

Praca ta jest wykonana kosztem energii traconej w źródle prądu. Jednostką SEM jest volt (1V

=J/C).

Rysunek 17.7 przedstawia schemat idealnego źródła SEM, które utrzymuje stałą różnicę

potencjałów między przewodnikami a i b zwanymi biegunami źródła.

Biegun a oznaczony + posiada wyższy potencjał niż biegun b

oznaczony - . Z tą różnicą potencjałów związane jest pole elektryczne

𝐄 , które znajduje się zarówno wewnątrz jak i na zewnątrz źródła.

Pole elektryczne wewnątrz źródła jest skierowane od a do b. Na

ładunek q wewnątrz źródła działa siła elektryczna F e = qE . Jednak samo źródło również

wprowadza dodatkowe działanie reprezentowane przez siłę uboczną 𝐅 𝐮. Siła ta działając

wewnątrz źródła wpycha ładunek od b do a w kierunku „do góry” przeciwnie do kierunku

działania siły elektrycznej 𝐅 𝐞. W ten sposób 𝐅 𝐮 utrzymuje różnicę potencjałów między

biegunami. Jeżeli nie byłoby siły 𝐅 𝐮 ładunek przepływał by między biegunami aż potencjały

wyrównałyby się.

Jeżeli ładunek dodatni jest przenoszony z b do a wewnątrz źródła, wtedy siła uboczna 𝐅 𝐮

wykonuje dodatnią pracę Wu = qℰ nad ładunkiem. Takie przemieszczenie odbywa się w

kierunku przeciwnym do siły elektrostatycznej 𝐅 𝐞 w związku z czym energia potencjalna

związana z ładunkiem zwiększa się o wartośd qUab, gdzie Uab = Va – Vb jest potencjałem

punktu a(dodatnią) względem punktu b. Dla idealnego źródła SEM opisanego wyżej 𝐅 𝐞 i 𝐅 𝐮 są

równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty, a zatem całkowita praca wykonana nad

ładunkiem jest równa zero; następuje wzrost energii potencjalnej, a energia kinetyczna

ładunku nie zmienia się. Można to porównad do podnoszenia książki z podłogi na półkę ze

stałą prędkością. Wzrost energii potencjalnej jest równy pracy wykonanej przez siłę uboczną

Wu ; qℰ = qUab , lub

Uab = ℰ (idealne źródło SEM) 17.11

u

Rysunek 17.7


Zamknijmy teraz obwód poprzez połączenie biegunów źródła

oporem R (Rysunek 17.8). Różnica potencjałów między

biegunami a i b wytwarza pole elektryczne w przewodniku; a to

wywołuje przepływ prądu w pętli z a do b, od wyższego do

niższego potencjału.

Z prawa Ohma wiemy, że różnica potencjałów na koocach

przewodu jest wynosi Uab = IR. Porównując to z 17.11 otrzymujemy:

ℰ = Uab = IR (idealne źródło SEM) 17.12

Oznacza to, że jeżeli dodatni ładunek q płynie w obwodzie, wtedy wzrost potencjału ℰ przy

przechodzeniu ładunku przez źródło jest równy spadkowi potencjału Uab = IR, kiedy

ładunek przepływa przez pozostałą częśd obwodu. Jeżeli znane są tylko ℰ i R, to znany jest

również prąd I.

Opór wewnętrzny.

Rzeczywiste źródła prądu zachowują się jednak trochę inaczej; różnica potencjałów na

biegunach realnego źródła nie jest równa SEM jak w przypadku 17.12. Powodem tego jest

fakt, że w ładunek przepływając przez normalne źródło prądu napotyka na opór. Opór ten

nazywa się oporem wewnętrznym i oznaczmy go przez r. Przepływowi prądu przez opór

wewnętrzny towarzyszy spadek potencjału Ir. W rezultacie kiedy prąd płynie przez źródło od

bieguna ujemnego b do bieguna dodatniego, wtedy różnica potencjałów między biegunami

wynosi

𝐔𝐚𝐛 = 𝓔 − 𝐈𝐫 17.13

Napięcie na biegunach źródła zamkniętego.

To napięcie jest mniejsze niż SEM ℰ z powodu spadku potencjału na oporze wewnętrznym r.

Można to wyrazid w inny sposób: wzrost energii potencjalnej qUab ładunku kiedy przechodzi

on z b do a wewnątrz źródła jest mniejszy niż praca wykonana przez siły uboczne qℰ,

ponieważ częśd energii potencjalnej jest tracona podczas pokonywania oporu

wewnętrznego.

Bateria półtora – woltowa posiada SEM równą 1,5V, jednak napięcie na zaciskach ogniwa

zamkniętego jest mniejsze.

Prąd płynący w obwodzie zewnętrznym połączonym z biegunami a i b ogniwa jest w

dalszym ciągu określony przez Uab = IR. Łącząc to z 17.14 otrzymujemy:

u

Rysunek 17.8


ℰ − Ir = IR

lub

I =ℇ

R+r 17.14

Wypadkowa zmiana energii potencjalnej ładunku q pokonującego drogę wzdłuż całego

obwodu zamkniętego musi byd równa zero. W związku z tym wypadkowa zmiana potencjału

wzdłuż całego obwodu też musi byd równa zero; innymi słowy: algebraiczna suma różnic

potencjałów i SEM wokół obwodu musi byd równa zero. Widad to jeżeli przepiszemy

równanie 17.14 w postaci:

ℰ − Ir − IR = 0

Wzrost potencjału o ℰ związany jest z SEM, a spadek potencjału o Ir i IR związany jest z

opornością wewnętrzną i opornością obwodu. Rysunek 17.9 pokazuje jak zmienia się

potencjał w trakcie obchodzenia obwodu. Jeżeli przyjmiemy, że potencjał jest równy zero w

miejscu bieguna ujemnego ogniwa, wtedy mamy

najpierw wzrost potencjału o ℰ i spadek o Ir w

obrębie ogniwa i dodatkowe zmniejszenie potencjału

o IR na oporze zewnętrznym i kiedy kooczymy

obchodzenie obwodu potencjał jest znów równy

początkowemu czyli zero.

Różnica między nową baterią np. 1,5V, a starą

zużytą nie polega na tym, że w starej SEM jest niższa

(zmienia się ona tylko trochę), a na tym, że w starej

opór wewnętrzny zwiększa się znacznie (może on się

zmienid na przykład z 1Ω w nowej baterii do nawet

1000 Ω w starej). Podobnie akumulator samochodowy może dostarczad mniej prądu w zimny

poranek dlatego, że opór wewnętrzny akumulatora w sposób istotny zależy od temperatury,

wzrastając znacznie przy niskiej temperaturze. Dlatego też czasami stosuje się różnego

rodzaju ocieplacze akumulatorów.

17.4 Praca i moc prądu.

Przeanalizujmy związek zachodzący między energią i mocą w obwodzie elektrycznym.

Niech prostokąt na rysunku 17.10 reprezentuje fragment obwodu elektrycznego, między

koocami którego istnieje napięcie (różnica potencjałów) Uab = Va – Vb przez który, płynie

Rysunek 17.9


prąd I. W fragmencie tym może znajdowad się

zarówno opornik jak i źródło prądu. Gdy ładunek

przepływa przez ten element, wtedy siły

elektrostatyczne 𝐅 𝐞 lub (i) siły uboczne 𝐅 𝐮 wykonują

pracę nad tym ładunkiem.

Jeżeli przez ten element obwodu przepłynie ładunek q, wtedy zmiana energii potencjalnej

wyniesie qUab. Na przykład, jeżeli q > 0 i Uab = Va – Vb jest dodatnie, to energia potencjalna

zmaleje, gdy ładunek „spadnie” z potencjału Va na poziom o potencjale Vb. Poruszający się

ładunek nie zwiększy jednak swojej energii kinetycznej, ponieważ prędkośd przepływu

ładunku jest wszędzie taka sama. Zamiast tego qUab będzie energią przekazaną do elementu

obwodu na przykład w postaci energii cieplnej (spirala grzewcza w czajniku elektrycznym).

Może się zdarzyd, że potencjał w b będzie wyższy niż w a. W takim przypadku Uab będzie

ujemne i nastąpi wypływ energii z elementu obwodu. Wtedy taki element działa jak źródło

dostarczając energię do obwodu, do którego jest podłączony. Sytuacja taka jest typowa dla

ogniwa, które przekształca energię chemiczną w energię elektryczną i przekazuje ją dalej do

obwodu zewnętrznego. Zatem qUab może oznaczad zarówno energię dostarczoną do

elementu obwodu, jak i energię wydzieloną z tego elementu.

W przypadku obwodów elektrycznych interesuje nas najczęściej szybkośd z jaką energia

jest dostarczana do elementu obwodu lub wydzielana z niego. Jeżeli prąd płynący przez

element wynosi I, wtedy w czasie dt przez ten element przepłynie ładunek dQ = Idt. Zmiana

energii potencjalnej takiej ilości ładunku będzie równa UabdQ = UabIdt. Dzieląc to wyrażenie

przez dt otrzymamy szybkośd z jaką energia jest przekazywana do lub z danego elementu. Ta

czasowa szybkośd przekazywania energii jest mocą P:

𝐏 = 𝐔𝐚𝐛𝐈 17.15

Szybkośd z jaką energia przekazywana jest do lub z elementu obwodu.

Jednostką napięcia jest volt, lub dżul na kulomb, a jednostką prądu amper czyli kulomb na

sekundę. Stąd jednostką P jest wat:

(1J/C)(1C/s) = 1J/s = 1W

Jeżeli natężenie prądu wyrażone jest w amperach, napięcie w woltach, a opór w omach,

to praca prądu wyrażona jest w dżulach. Stosuje się również jednostkę pracy

kilowatogodzinę – J103,63600s1000W1h1kW1kWh 6 .

Element obwodu

a b

I I

Va Vb

Rysunek 17.10


Przeanalizujmy szczególne przypadki.

Czysty opór.

Jeżeli elementem obwodu z rysunku 17.10 jest opornik, wtedy różnica potencjałów wynosi

Uab = IR. Zatem moc dostarczona do opornika przez obwód wyniesie na podstawie 17.15:

𝐏 = 𝐔𝐚𝐛𝐈 = 𝐈𝟐𝐑 =𝐔𝐚𝐛

𝟐

𝐑 17.16

Moc dostarczona do opornika.

W tym przypadku potencjał w punkcie a (gdzie prąd wpływa do

opornika) jest zawsze wyższy niż w punkcie b i równanie 17.16

przedstawia szybkośd przekazywania elektrycznej energii

potencjalnej do elementu obwodu.

Co dzieje się z tą energią? Poruszające się ładunki zderzają się z

atomami w oporniku i przekazują częśd swojej energii atomom,

zwiększając tym samym energię wewnętrzną materiału. W wyniku

tego może wzrosnąd temperatura opornika lub ciepło może byd

przekazywane na zewnątrz lub oba te zjawiska mogą zachodzid

równocześnie. W każdym z tych przypadków mówimy, że energia

ulega rozpraszaniu w oporniku z szybkością I2R. Każdy opornik

posiada tzw. moc znamionową, która określa maksymalną moc,

która może byd rozpraszana w oporniku bez spowodowania jego

uszkodzenia.

Moc wychodząca ze źródła.

Wyższy prostokąt na rysunku 17.11a reprezentuje źródło o SEM ℰ i

oprze wewnętrznym r połączone za pomocą idealnych przewodów

(bezoporowe) z zewnętrznym obwodem reprezentowanym przez

dolny prostokąt. Może byd to schemat połączenia akumulatora

samochodowego z reflektorami (Rysunek17.11b). Punkt a ma wyższy

potencjał niż punkt b, czyli Va > Vb i Uab jest dodatnie. Zwródmy

uwagę, że prąd I wypływa z bieguna o wyższym potencjale (chociaż

może byd odwrotnie). Energia jest dostarczana do obwodu

zewnętrznego, a szybkośd dostarczania tej energii określona jest

wzorem 17.15:

Rysunek 17.11

Rysunek 17.12

Ogniwo

Obwód

zewnętrzny

Akumulator

Reflektor

Akumulator

mała SEM

Alternator

duża SEM


P = Uab I

Dla źródła, które może byd scharakteryzowane za pomocą SEM ℰ i oporu wewnętrznego r

możemy użyd 17.13:

Uab = ℰ − Ir

W rezultacie otrzymamy:

P = Uab I = ℰI − I2r 17.17

Co oznaczają człony ℰI i I2r? Poprzednio zdefiniowaliśmy SEM ℰ jako pracę na

jednostkę ładunku wykonaną nad ładunkami przez siłę o pochodzeniu

nieelektrostatycznym (siłę uboczną) w trakcie ich wpychania „pod górę” od b do a. W

czasie dt ładunek dQ = Idt przepłynie przez źródło; praca wykonana przez siły uboczne

nad tym ładunkiem będzie równa ℰdQ = ℰIdt. Zatem ℰI określa szybkośd z jaką

wykonywana jest praca nad poruszającymi się ładunkami przez jakiś czynnik

wywołujący siłę uboczną w źródle. Czynnik ten określa szybkość z jaką przekształcana

jest energia nie elektryczna w energię elektryczną w obrębie źródła. Czynnik I2r określa

szybkość z jaką energia jest rozpraszana w oporze wewnętrznym źródła. Zatem różnica

ℰI - I2r określa wypadkową moc wychodzącą ze źródła – tzn. szybkość z jaką źródło

dostarcza energię elektryczną do pozostałej części obwodu.

Moc wchodząca do źródła.

Załóżmy, że niższy prostokąt z rysunku 17.11a sam jest źródłem posiadającym SEM większą

niż górne źródło i jego SEM włączona jest przeciwnie do źródła górnego. Rysunek 17.12

przedstawia praktyczny przykład – akumulator samochodowy podłączony do

samochodowego alternatora. Prąd w tym obwodzie płynie w kierunku przeciwnym niż ten z

rysunku 17.11; dolne źródło zmusza prąd do ruchu do tyłu w kierunku górnego źródła. Z

powodu tego prądu o przeciwnym kierunku zamiast równania 17.13 dla górnego źródła

mamy:

Uab = ℰ + Ir ,

a zamiast równania 17.17 otrzymujemy:

P = Uab I = ℰI + I2r 17.18

Praca w górnym źródle jest wykonana nad czynnikiem wywołującym siły uboczne a nie przez

ten czynnik. W tym wypadku w górnym źródle ma miejsce zamiana energii elektrycznej na

energię nieelektryczną, która zachodzi z szybkością ℰI. Czynnik I2r w równaniu 17.18 jest

ponownie szybkością rozpraszania energii w oporze wewnętrznym górnego źródła, a

suma ℰI + I2r całkowitą mocą wejściową dla górnego źródła. Taka sytuacja występuje,


jeżeli podłączyć akumulatorek do ładowarki. Ładowarka dostarcza energię elektryczną

do baterii; część tej energii jest zamieniana na energię chemiczną, które ponownie

później zostanie zamieniona na energię elektryczną, a reszta jest tracona poprzez

rozproszenie jej w oporze wewnętrznym możemy to poczuć, ponieważ akumulatorek w

czasie ładowania nagrzewa się .

17.5 Prawo Joule’a – Lenza.

Wyrażenia 17.16 są prawdziwe zarówno dla prądu stałego jak i zmiennego, przy czym dla

prądu zmiennego należy podstawid do tych wyrażeo wielkości chwilowe.

Jeżeli prąd płynie przez nieruchomy metalowy przewodnik, to cała praca jest tracona na

jego ogrzanie, i z zasady zachowania energii

dWdQ 17.19

Wykorzystując wyrażenia 2.13 otrzymujemy

dtR

URdtIIUdtdQ

22 17.20

Wyrażenia 17.20 przedstawiają prawo Joule’a –Lenza.

Wydzielmy w przewodniku nieskooczenie małą, cylindryczną

objętośd dV = dAdL, której opór wynosi ρdL/dAR . Zgodnie z

prawem Joule’a –Lenza w ciągu czasu dt w objętości tej wydzieli się

ciepło

dVdtρjdtjdAdA

ρdlRdtIdQ 222

Ilośd ciepła wydzielona w jednostce czasu, w jednostce objętości

jest właściwą mocą cieplną prądu 𝐰 =𝐝𝐐

𝐝𝐭𝐝𝐕 i jest jak widad równa:

2ρjw 17.21

Korzystając z różniczkowego prawa Ohma (j = γE) i podstawiając ρ= 1/γ otrzymujemy

2γEjEw 17.22

Wzory 17.21 i 17.22 wyrażają uogólnione prawo Joule’a - Lenza w postaci różniczkowej,

prawdziwe dla prądu stałego i zmiennego.

17.6 Prawo Ohma dla niejednorodnego odcinka obwodu.

Rysunek 17.13

dL

dU dA

dV-objętość


Rozpatrzmy niejednorodny odcinek obwodu, tzn. taki, w którym na odcinku 1-2

występuje siła elektromotoryczna E12 i na koocach którego, różnica potencjałów wynosi V1 –

V2.

Jeżeli prąd przepływa przez nieruchomy odcinek 1-2 obwodu, to praca dW12 wszystkich

sił (ubocznych i elektrostatycznych) wykonana nad nośnikami ładunku, zgodnie z zasadą

zachowania energii jest równa ciepłu dQ wydzielonemu w tym odcinku. Ładunek dQ0

przenoszony w czasie dt wzdłuż przewodnika jest równy Idt. Praca sił wykonana przy

przesunięciu tego ładunku na odcinku 1-2 zgodnie z 2.6 wynosi:

𝑑𝑊12 = 𝑑𝑄0ℇ12 + 𝑑𝑄0 𝑉1 − 𝑉2 17.23

Siła elektromotoryczna ℇ12 jak i natężenie prądu jest wielkością skalarną. Należy ją

przyjmowad albo ze znakiem plus, albo minus w zależności od znaku pracy wykonanej przez

siły uboczne. Jeżeli SEM sprzyja ruchowi dodatnich ładunków w wybranym kierunku ( w

kierunku 1-2), to ℇ12 > 0. Jeżeli SEM przeszkadza w ruchu dodatnich ładunków w wybranym

kierunku to ℇ12 < 0.

W czasie dt w przewodniku wydziela się ciepło dQ:

0

2 IRdQIdtIRRdtIdQ 17.24

Ze wzorów 17.24 i 17.23 otrzymujemy:

IR = V1 − V2 + ℇ12 17.25

skąd

𝐈 = 𝐕𝟏−𝐕𝟐 +ℇ𝟏𝟐

𝐑 17.26

Prawo Ohma dla niejednorodnego odcinka obwodu, które jest uogólnionym prawem

Ohma.

Jeżeli na danym odcinku obwodu nie ma źródła prądu (ℇ12 = 0), to z 17.26 wynika, że

otrzymujemy prawo Ohma dla jednorodnego odcinka prądu 17.5:

U/R/RVVI 21

Jeżeli obwód elektryczny jest zamknięty to punkty 1 i 2 pokrywają się, V1 = V2 i trzymujemy

prawo Ohma dla zamkniętego obwodu:

𝐈 =ℇ𝟏𝟐

𝐑

gdzie ℇ12 jest siłą elektromotoryczną działającą w obwodzie, a R jest całkowitym oporem

obwodu. W ogólnym przypadku R = r + R1, gdzie r – opór wewnętrzny źródła, a R1 – opór

zewnętrznej części. W związku z tym prawo Ohma dla danego obwodu będzie miało postad:


𝐈 =ℇ𝟏𝟐

𝐑+𝐫

Jeżeli obwód jest rozwarty i co za tym idzie, nie płynie w nim prąd (I = 0), to z prawa

Ohma 2.21 otrzymujemy, że E12 = V1 – V2, tzn. SEM w otwartym obwodzie jest równa różnicy

potencjałów na jego koocach. W rezultacie, jeżeli chcemy znaleźd SEM źródła prądu, to

należy zmierzyd różnicę potencjałów na jego zaciskach.

17.7 Prawa Kirchhoffa dla rozgałęzionych obwodów.

Uogólnione prawo Ohma można z powodzeniem stosowad do dowolnie złożonego

obwodu z prądem. Jednak bezpośrednie rozwiązanie dla rozgałęzionego obwodu,

zawierającego kilka zamkniętych obwodów (oczek – oczka mogą mied wspólne części, a

każde oczko może zawierad kilka źródeł prądu) jest na ogół

dośd złożone. Obliczenia upraszczają się znacznie, jeżeli

zastosowad dwa prawa Kirchhoffa.

Dowolny punkt rozgałęzienia obwodu, w którym spotykają

się co najmniej trzy przewodniki z prądem nazywamy węzłem.

Jeżeli prąd wpływa do węzła, to przyjmuje się, że jest dodatni,

jeżeli wypływa z węzła, to przyjmuje się, że jest ujemny.

Pierwsze prawo Kirchhoffa: algebraiczna suma prądów, spotykających się w węźle jest

równa zero:

𝐈𝐢 = 𝟎𝐢 17.27

Na przykład dla sytuacji z Rysunku 17.14 pierwsze prawo Kirchhoffa zapisuje się:

I1 – I2 + I3 – I4 – I5 = 0

Pierwsze prawo Kirchhoffa wynika bezpośrednio z zasady zachowania ładunku.

Drugie prawo Kirchhoffa otrzymuje się z uogólnienia prawa Ohma dla rozgałęzionych

obwodów. Rozważmy obwód składający się z trzech odcinków (Rysunek 17.14). Przyjmijmy,

że dodatni kierunek obchodzenia tego obwodu odbywa się zgodnie z kierunkiem wskazówek

zegara (przy czym wybór nasz jest całkowicie dowolny). Wszystkie prądy, których kierunek

zgadza się z kierunkiem obchodzenia obwodu przyjmujemy za dodatnie, a te które są

przeciwne – za ujemne. SEM źródeł prądu uważamy za dodatnie, jeżeli wytwarzają one prąd

Węzeł

I1 I5

I2

I3

I4

Rysunek 17.14


zgodny z kierunkiem obchodzenia obwodu. Stosując prawo Ohma do odcinków (2.20)

możemy zapisad:

1BA11 EVVRI

2CB22 EVVRI

3AC33 EVVRI

Dodając stronami te wyrażenia otrzymujemy

321332211 EEERIRIRI 17.28

lub 0321332211 EEERIRIRI

Równanie 2.22 przedstawia drugie prawo Kirchhoffa: dla dowolnego oczka wybranego z

rozgałęzionego obwodu suma algebraiczna iloczynów natężeo prądów Ii i oporów Ri na

danych odcinkach oczka plus suma algebraiczna SEM ℇ𝐊 występujących w tym oczku jest

zawsze równa zero:

𝐈𝐢𝐑𝐢 + ℇ𝐤𝐤 = 𝟎𝐢 17.29

Podczas obliczeo z zastosowaniem praw Kirchhoffa dla złożonego obwodu należy:

1. Wybrad dowolnie kierunki natężeo prądów: właściwy kierunek prądów określimy

następująco:, jeżeli po rozwiązaniu równao otrzymane natężenie będzie dodatnie

tzn., że przyjęty kierunek był prawidłowy, jeżeli otrzymana wartośd natężenia prądu

będzie ujemna oznacza to, że kierunek rzeczywisty jest przeciwny do przyjętego

2. Wybrad kierunek obchodzenia

obwodu; iloczyny IR przyjmujemy

za dodatnie, jeżeli kierunek

wzrostu potencjału na oporniku

pokrywa się z kierunkiem

obchodzenia i odwrotnie; SEM

będziemy uważad za dodatnie,

jeżeli działają one w kierunku

obchodzenia obwodu (wzrasta

potencjał) i odwrotnie.

3. Zapisad tyle równao, aby ich ilośd była równa ilości szukanych wielkości; każde

rozpatrywane oczko powinno zawierad chociaż jeden element, który nie wystąpił w

rozpatrywanych wcześniej oczkach.

R1 R2

R3

E3

E1 E2

A

B

C

I3R3

I2R2

I1R1

I3

I2

I1

Rysunek 17.15


Znaleźd, korzystając z praw Kirchhoffa, nieznany opór R1 dla

obwodu – mostka Wheatstone’a. Po zapisaniu praw Kirchhoffa

założyd, że tak dobieramy opory, iż przez galwanometr nie płynie

prąd (Rysunek 17.16).

17.8 Klasyczna teoria metali.

Nośnikami ładunku w przewodnikach są swobodne elektrony. Istnienie swobodnych

elektronów w przewodniku można wyjaśnid w następujący sposób: Podczas tworzenia się

siatki krystalicznej metalu (w wyniku zbliżania oddzielnych atomów) elektrony walencyjne,

które są stosunkowo słabo związane z jądrami atomowymi, stają się swobodne i mogą

poruszad się po całej objętości kryształu. W rezultacie, w węzłach siatki krystalicznej znajdują

się jony, a między nimi poruszają się chaotycznie elektrony, posiadające według

elektronowej teorii metali własności takie jak gaz doskonały.

Swobodne elektrony podczas ruchu zderzają się z jonami w siatce krystalicznej i w

wyniku tego ustala się pewien stan równowagi cieplnej między elektronami, a siatką

krystaliczną. Zgodnie z teorią Drude’a - Lorenza elektrony posiadają taką samą energię ruchu

cieplnego jak cząsteczki gazu jednoatomowego. Dlatego stosując wnioski z teorii kinetyczno-

molekularnej można znaleźd średnią prędkośd ruchu cieplnego elektronów

0sr πm8kT/u , która dla temperatury T = 300K wynosi m/s101,08u 5

sr . Cieplny ruch

elektronów jest chaotyczny i nie może spowodowad powstania prądu.

Jeżeli przyłożyd zewnętrzne pole do metalowego przewodnika, to oprócz ruchu cieplnego

powstaje ruch uporządkowany tzn. przepływ prądu. W rezultacie prędkośd średnią <v>

można ocenid korzystając ze wzoru 17.3 J = nevd . Jeżeli za gęstośd prądu j podstawimy

maksymalną dopuszczalną gęstośd dla przewodów miedzianych - 27 A/m10 , to przy gęstości

elektronów 328m108n otrzymamy, że średnia prędkośd uporządkowanego ruchu

elektronów wyniesie m/s107,8v 4

d

. Widad, zatem, że vd << usr, tzn., że nawet dla

bardzo dużych prądów średnia prędkośd uporządkowanego ruchu elektronów jest znacznie

mniejsza od ich prędkości ruchu cieplnego. Wydawałoby się, że otrzymany wynik przeczy

znanemu faktowi, iż prędkośd rozchodzenia się prądu elektrycznego jest olbrzymia - rzędu

prędkości rozchodzenia się światła a w próżni ( m/s103c 8 ). Jest to tylko pozorna

Rysunek 17.16


sprzecznośd, ponieważ prędkośd c jest prędkością rozprzestrzeniania się pola

elektromagnetycznego wzdłuż przewodów.

17.9 Wyprowadzenie podstawowych praw elektryczności z klasycznej teorii

metali.

1. Prawo Ohma. Niech w metalowym

przewodniku istnieje pole elektryczne o

stałym natężeniu E = const. Od strony pola

na elektron działa siła F = eE i uzyskuje on

przyspieszenie a =F/m = eE/m. W

rezultacie, w czasie swobodnego

przemieszczenia elektrony poruszają się z

jednakowym przyspieszeniem i na koocu tej

drogi uzyskują prędkośd

/meEtv srmax

gdzie tsr - średni czas między dwoma kolejnymi zderzeniami elektronu z jonami siatki.

Zgodnie z teorią Drude’a, na koocu swobodnego przejścia, elektron zderzając się z jonem

siatki oddaje mu zgromadzoną w polu energię, w wyniku, czego jego prędkośd spada do zera.

W rezultacie średnia prędkośd ukierunkowanego ruchu elektronu (prędkośd dryfu) będzie

równa

2m/eEt/20uvv srmaxdsr 17.30

Średni czas tśr swobodnego przebiegu będzie określony przez średnią długośd

swobodnego przebiegu lśr (Rysunek 17.17b) i przez średnią prędkośd ruchu elektronów

względem siatki krystalicznej uśr + vd (uśr - średnia prędkośd ruchu cieplnego elektronów). Z

poprzedniego paragrafu wiadomo, że vd << uśr, i dlatego

srsrsr /ult

Podstawiając wartośd to do 17.30 otrzymujemy:

srsrd 2mu/eElv

Gęstośd prądu w metalicznym przewodniku jest równa

E2mu

lnenevJ

sr

sr

2

d

17.31

𝐸 = 0

Typowy tor elektronu,

(a)

Średnie przemieszczenie

𝐸 ≠ 0

Typowy tor elektronu,

(b)

Rysunek 17.17


Widad, że gęstośd prądu jest proporcjonalna do natężenia pola, tzn. otrzymaliśmy prawo

Ohma w postaci różniczkowej (wzór 17.3). Współczynnik proporcjonalności między J i E jest,

zatem przewodnością właściwą metalu

sr

sr

2

2mu

lneγ , 17.32

która jest tym większa im większa jest gęstośd swobodnych elektronów i im większa średnia

długośd ich swobodnego przebiegu.

2. Prawo Joule’a – Lenza. Na koocu swobodnego przebiegu elektron uzyskuje dodatkową

energię kinetyczną:

2

2

sr

2

sr

22

maxk E

2mu

le

2

mvE 17.33

Podczas zderzenia elektronu z jonem energia ta przekazywana jest całkowicie siatce i idzie na

zwiększenie energii wewnętrznej metalu, tzn. jego nagrzanie.

W jednostce czasu elektron doznaje średnio z zderzeo z węzłami siatki

srsr/luz 17.34

Jeżeli n jest gęstością elektronów, to w jednostce czasu zajdzie nz zderzeo i siatce zostanie

przekazana energia

kEnzw 17.35

która idzie na nagrzanie przewodnika. Podstawiając2.25 i 2.26 do 2.27 otrzymujemy

2

sr

sr

2

E2mu

lnew 17.36

gdzie w jest mocą właściwą prądu. Współczynnik proporcjonalności między w i E2 zgodnie z

17.32 jest przewodnictwem właściwym γ; w rezultacie wyrażenie 17.36 określa prawo

Joule’a - Lenza w postaci różniczkowej (patrz równanie 17.22).

4. Prawo Wiedemanna-Franza. Metale charakteryzują się zarówno dużym przewodnictwem

elektrycznym jak i wysokim przewodnictwem cieplnym. Wynika to z tego, iż nośnikami prądu

i ciepła są te same nośniki – swobodne elektrony.

Na drodze doświadczalnej Wiedemann i Franz podali prawo, zgodnie, z którym stosunek

przewodności cieplej (λ) i przewodności właściwej (γ) dla wszystkich metali w tej samej

temperaturze jest jednakowy i zwiększa się proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej

λ/γ = βT


gdzie β – stała nie zależna od rodzaju metalu.

Z klasycznej teorii metali, po uwzględnieniu rozkładu prędkości elektronów, wynika, że β

= 2(k/e2). Tymczasem dane doświadczalne pokazują, że β jest raczej równe 3(k/e2). Tak więc,

klasyczna teoria tylko jakościowo wyjaśnia prawo Wiedemanna – Franza. Oprócz tego teoria

klasyczna metali napotyka jeszcze inne trudności. Rozpatrzmy niektóre z nich.

Zależnośd oporu od temperatury. Ze wzoru (17.32) na przewodnośd właściwą metali

wynika, że opór metali tzn., wielkośd odwrotna do γ, powinna wzrastad proporcjonalnie do

T ( w 17.32 n i lśr nie zależą od temperatury, a uśr~ T). Przeczy to jednak danym

doświadczalnym, które pokazują, że R~T.

Ocena średniej długości swobodnego przebiegu elektronów. Aby γ ze wzoru zgadzało

się zdanymi eksperymentalnymi należy przyjąd, że lśr jest znacznie większe od rzeczywistych,

innymi słowy, należy założyd, że elektron przebywa bez zderzeo z jonami siatki drogę setek

odległości międzywęzłowych. Takie założenie z kolei nie zgadza się z teorią Drude’a -

Lorenza.

Pojemnośd cieplna metali. Pojemnośd cieplna metalu składa się z pojemności cieplnej

jego siatki krystalicznej i pojemności cieplej gazu elektronowego. Dlatego też pojemnośd

cieplna przypadająca na jeden mol metalu powinna byd znacznie większa od takiej

pojemności dielektryka, które nie posiadają swobodnych elektronów. Zgodnie z prawem

Dulonga-Petit pojemnośd cieplna jednoatomowego kryształu wynosi 3R. Uwzględniając, że

chaotyczny ruch elektronów charakteryzuje się trzema stopniami swobody otrzymamy, że

pojemnośd cieplna gazu elektronowego wyniesie 3/2R. W rezultacie pojemnośd cieplna

jednego mola metalu powinna byd równa 4,5R. Jednak doświadczenie pokazuje, że wynosi

ona 3R tzn. zarówno dla metali jak i dielektryków spełnione jest prawo Dulonga - Petit. Tak,

więc obecnośd swobodnych elektronów nie ma wpływu na pojemnośd cieplną. Jest to

niezrozumiałe z punktu widzenia klasycznej teorii metali.

Otrzymane rozbieżności teorii z doświadczeniem można wyjaśnid tym, iż ruch elektronów

w metalach podlega nie prawom mechaniki klasycznej, a prawom mechaniki kwantowej, a

zatem zachowanie elektronów przewodzenia w metalu jest opisane nie przez statystykę

Maxwella – Boltzmanna, a przez statystykę kwantową. Zgodnie z wnioskami wynikającymi z

teorii kwantowej w przypadku idealnego kryształu, w którym wszystkie atomy znajdują się na

swoich miejscach, elektrony nie powinny doznawad w ogóle zderzeo z jonami. Jednak w

przypadku T > 0 atomy drgają wokół swoich położeo równowagi. Gdy temperatura wzrasta,


wzrasta amplituda drgao i zderzenia stają się częstsze i średnia droga swobodna maleje. W

rezultacie opór wzrasta wraz z temperaturą.

wykład 17 - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_17/wyklad_w17.pdf · a zatem...

Documents