wykład 16 symulacje a mechanika statystyczna
DESCRIPTION
Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna. Monte Carlo: algorytm Metropolisa. Konfiguracja X o , energia E o. Zaburz konfigurację X o : X 1 = X o + D X. Oblicz nową energię (E 1 ). NIE. E 1 Y?. TAK. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/1.jpg)
Wykład 16
Symulacje a mechanika statystyczna
![Page 2: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/2.jpg)
Zaburz konfigurację Xo: X1 = Xo + DX
Oblicz nową energię (E1)
Konfiguracja Xo, energia Eo
E1<Eo ?
Wylosuj Y z U(0,1)
Oblicz W=exp[-(E1-Eo)/kT]
W>Y?
Xo=X1, Eo=E1
NIE
TAK
TAK
NIE
Monte Carlo: algorytm Metropolisa
![Page 3: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/3.jpg)
E0
E1
Akceptacja z prawdopodobieństwem exp[-(E2-E1)/kBT]
E1
Bezwzględna akceptacja
![Page 4: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/4.jpg)
Dynamika molekularna
DDD
2
00
00
2
2
2
2
)(21)()(
,,2,1),(
,,2,1,)(1)()(
ttttttt
tt
nitdtd
xV
dtxdm
nitVmm
ttdt
ddtd
ii
i
i
ii
ii
iii
avrr
vvrr
vr
rrFavrr
![Page 5: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/5.jpg)
Sprzężenie z termostatem (metoda Berendsena)
D
n
iziyixiik
k
vvvmE
EfkTtvv
1
222
21
11
f – liczba stopni swobody (3n)
– parametr sprzężenia
Dt – krok czasowy
Ek – energia kinetyczna
![Page 6: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/6.jpg)
randi
ii
i
ii f
dtdx
xV
dtxdm
2
2
wwii rr )(6
)1,0(2 NtRTf irand
i D
Dynamika Langevina
prawo Stokesa
proces Wienera
randi
i
ii f
xE
dtdx
dynamika brownowska
![Page 7: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/7.jpg)
Obliczanie średnich, wyższych momentów rozkładu z symulacji kanonicznych
2
11
2222
1
11
1
N
sii
N
sii
N
sii
AsN
AsN
AAA
AsN
A
Indeks i przebiega przez wszystkie kroki metody Monte Carlo lub dynamiki molekularnej, z wyjątkiem okresu równowagowania (s kroków).
Zaleta: metoda jest prosta i oczywista, nie wymaga sztuczek matematycznych.
Wada: na ogół mała wiarygodność wyników (niezbieżność).
![Page 8: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/8.jpg)
Przykład: energia i pojemność cieplna
2
11
22
22
1
1111
1
N
sii
N
siiV
N
sii
EsN
EsNRT
ERT
C
EsN
EU
s
<E>
<<E2>>
![Page 9: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/9.jpg)
Symulacje kanoniczne prowadzi się w określonej temperaturze; jeżeli potrzebna jest zależność temperaturowa danej wielkości, należy przeprowadzić oddzielne symulacje w wielu temperaturach.
![Page 10: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/10.jpg)
Obliczanie różnic energii swobodnej
d>dmax
A
d<dmax
B
A
BAB N
NRTF lnD
![Page 11: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/11.jpg)
Pułapki: próbkowanie w przestrzeni niekartezjańskiej
a
b
Cząsteczkę obracamy najpierw wokół osi z o kąt a potem wokół osi x o kąt b i w końcu wokół osi z o kąt (kąty Eulera).
Przy próbkowaniu przestrzeni kątów należy albo do średniej wprowadzić czynnik korekcyjny sin b albo (lepiej) próbkować stany z wagą sin b.
![Page 12: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/12.jpg)
Obliczanie energii swobodnej solwatacji: metoda wstawienia cząstki
iNiRT
RT 1,1expln
Zbieżność obliczania energii solwatacji atomu neonu w zależności od liczby wstawień cząsteczki na „klatkę” dynamiki molekularnej.Czaplewski et al., Molecular Physics, 103, 2005, 3153–3167
![Page 13: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/13.jpg)
Metoda „umbrella sampling” (do obliczania potencjałów średniej siły)
d 20
21
iidi ddkdg
dgEV ii RR w i-tej symulacji MD
Potencjały „obciążające” (Vi) usuwa się z potencjału średniej siły metodą ważonych histogramów.
![Page 14: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/14.jpg)
Metoda ważonych histogramów (WHAM)
kR
mmmm
kk Vd
Vfn
VdNdVP bb
bb
expexp
exp,,
1
d
ii dVPf ,,exp b
Powyższe równania iteruje się do uzgodnienia f1, f2,…, fm
nm jest całkowitą liczbą punktów w m-tym oknie, fm jest „bezwymiarową energią swobodną m-tego okna
![Page 15: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/15.jpg)
Ph-Et (model of Phe)
Et-S-Prop (model of Phe)
isobutane (model of Val)
isopentane (model of Leu)
![Page 16: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/16.jpg)
Metoda wymiany replik
• Symulujemy, przy użyciu MC lub MD, N niezależnych trajektorii
• Co M kroków MC/MD, wymieniamy temperaturę między trajektoriami, zgodnie z prawdopodobieństwem bolzmanowskim
zwykła
Y.Rhee V.Pande, Biophys. J. 84, 775, 2003
zwielokrotniona
ijijij EEP bbexp
![Page 17: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/17.jpg)
krok
krok
krok
ener
gia
T T
ln(P
)
energia
![Page 18: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/18.jpg)
10 20 40
80 160 320
energia
rms
300 350 400 500 600 700
temperatura
Niezależne symulacje kanoniczne
![Page 19: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/19.jpg)
10 20 40
80 160 320
energia
rms
300 350 400 500 600 700
temperatura
Symulacje zwielokrotnionej wymiany replik
1E0G 48aa
![Page 20: Wykład 16 Symulacje a mechanika statystyczna](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081420/56816309550346895dd38848/html5/thumbnails/20.jpg)