wykład 2: wektorylayer.uci.agh.edu.pl/~szkla/2-wektory-17.pdf · 2017. 3. 5. · siła dośrodkowa...
TRANSCRIPT
Wykład 2: Wektory
dr inż. Zbigniew Szklarski
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
2
Wielkości fizyczne
Długość, czas, , masa, , pęd
temperatura, natężenie
prądu elektrycznego, , stru-
mień pola magnetycznego,
siła prędkość , przyspieszenie
, przemieszczenie,
natężenie pola elektrycznego
SKALARY WEKTORY
naprężenie
moment bezwładności.
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
3
Pojęcie wektora
Podstawowe cechy wektora:
Kierunek
Zwrot
Wartość (długość)
A
A
AAA
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
4
Długość wektora, wersor
Oś liczbowa
Wersor to wektor
jednostkowy
a
0 1
1ˆ a
55
ˆ5
aA
a
x
y
z
ij
k zk
yj
xi
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
A
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
5
Działania na wektorach
Dodawanie
Odejmowanie
Mnożenie:
Iloczyn wektora przez liczbę
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Nie ma dzielenia wektora przez wektor !
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
6
Dodawanie wektorów
CBA
A
B
C
B
Reguła równoległoboku
A
B
BAC
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
7
Odejmowanie wektorów
B
CBABA
A
B
C
to wektor przeciwny
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
8
Rozkład wektora na składowe
A
xA
yA
y
x
i
j
jaiaAAA yxyxˆˆ
Przykład: rozkład sił na równi
gF
gF
N
SF
N
SF
- siła grawitacji - siła nacisku - siła ściągająca
jiA
aa yx
ˆ3ˆ4
34
Iloczyn wektora przez liczbę
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
9
a
Wynik działania jest wektorem bak
ba
3
ba
5,1
Wektory i są równoległe - (mają ten sam kierunek)
ba
Wartość (długość) wektora: akb
Gdy k>0, zwroty zgodne
Gdy k<0, zwroty przeciwne
babak
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
10
Iloczyn skalarny wektorów
Wynik mnożenia jest liczbą:
• dodatnią
• ujemną (kiedy?)
• zero (kiedy?)
Iloczyn skalarny jest przemienny
φ A
B
cos BABA
ABBA
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
11
Iloczyn wektorowy
Wynik działania jest wektorem.
Należy zatem podać nie tyko
wartość ale również kierunek i
zwrot wektora
B
C
A
CBA
φ
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
12
Właściwości iloczynu wektorowego
1. Kierunek
- jest prostopadły do
płaszczyzny utworzonej
przez wektory i
2. Zwrot
- określa reguła śruby
prawoskrętnej (prawej
ręki)
B
C
A
φ
CBA
BCiAC
BA
C
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
13
Właściwości iloczynu wektorowego
3. Wartość iloczynu
Pozostałe właściwości:
• Nie jest przemienny
• Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy
lub wektory mają ten sam kierunek (pokrywają się lub są równoległe)
sin BAC
ABBA
00
A
0 AA
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
14
Algebra wektorów
Rozdzielność iloczynu skalarnego i wektorowego
względem dodawania (odejmowania)
Przykład:
Obliczyć wektor z równania:
CABACBA
CABACBA
X
032 BBAXBA
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
15
Z rodzielności mnożenia względem dodawania:
ale: więc
dodając i odejmując stronami jak w „zwykłym”
równaniu:
skoro wyrażenie w nawiasie to liczba otrzymujemy:
032 BBAXBA
032 BBBAXBA
2BBB
032 2 BBAXBA
BABBAX
322
2
32
BBA
BAX
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
16
Wektor w układzie kartezjańskim
x
y
z
ij
k
ax
ay
az
zależności między wersorami:
0ˆˆ
0ˆˆ
1ˆˆ
ˆˆˆ
jj
ii
ji
kji
0
1
kajaiaA zyxˆˆˆ
A
ij
k
jjkikj
ijkjki
ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ
ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ
Oblicz:
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
17
Działania na wektorach w układzie kartezjańskim
Dodawanie:
Iloczyn skalarny
kajaiaA zyxˆˆˆ
kbjbibB zyxˆˆˆ
kbajbaibaBA zzyyxxˆˆˆ
kbjbibkajaiaBA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
.......ˆˆˆˆˆˆ kibajibaiiba zxyxxx
zzyyxx bababa
cos BABA
0ˆˆ;1ˆˆ
jiii
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
18
Iloczyn wektorowy
Oblicz: oraz kąt między wektorami:
zx
zx
bb
aaj
kajaiaA zyxˆˆˆ
kbjbibB zyxˆˆˆ
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
BA
ˆˆˆ
zy
zy
bb
aai -
yx
yx
bb
aak
kjB
kjiA
BABA
ˆ3ˆ
ˆˆ2ˆ
,
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
19
Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce
Iloczyn skalarny:
Praca W = F·S·cosφ =
Iloczyn wektorowy:
siła dośrodkowa zakrzywiająca tor:
F
S
SF
r
mVBqVF
BVqF
L
L
2
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
20
Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce - zadanie
Stałe siły F1 = i + 2j + 3k oraz F2 = 2i – 5j – 2k (gdzie i, j, k
są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę
przesuwając ją z punktu A (0, 4, 0) do B (2, 3, 4). Oblicz:
a) wektor przesunięcia;
b) wypadkową siłę;
c) kąt między siłami składowymi;
d) pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki;
Moment siły wypadkowej działającej na cząstkę w punkcie B względem środka układu.
Wykazać, że pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej poruszającej się w nim, naładowanej cząsteczki.
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
21
vv
2
mEk
dt
dm
dt
dm
dt
dEk vvvv
22
ale Fav
mdt
dm
czyli )(2
1
2
1BvvFv
qdt
dEk
Ek=const 0
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
22
Podsumowanie
Działanie Wynik Metoda postępowania
Zastosowanie
dodawanie
wektor
reguła
równoległo-boku
wypadkowe przemieszczenie
wypadkowa siła
odejmowanie
wektor
algebra wektorów, dowodzenie twierdzeń
rozkład wektora wektory
składowe
równia pochyła, rzut ukośny, itp.
ba
ba
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
23
Działanie Wynik Definicja Wzór w układzie kartezj.
W matema-tyce
W fizyce
iloczyn skalarny
skalar
prosto-padłość wektorów
praca, energia np. kinetyczna
iloczyn wektorowy
wektor
1. kierunek
2. zwrot
3.wartość
równo-
ległość
wektorów
moment pędu, moment siły, siła Lorentza
mnożenie wektora przez liczbę k
wektor
1. kierunek
2. zwrot
3.wartość
równo-
ległość wektorów
pęd, II zasada dynamiki
ba
ba
cosbaba
sinbaba
baba
k
zzyyxx bababa ba
zyx
zyx
bbb
aaa
ˆˆˆ kji
ba
zz
yy
xx
bka
bka
bka
2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
24
Przykłady
Stałe siły F1 = 2i + j + 3k oraz F2 = 4i – 3j – 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (3, 8, 12) do B (0, 0, 7).
Obliczyć pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki.
Wektor położenia ciała o masie m = 2 kg dany jest jako R(t) = 5i + t2j + 2t2k. Oblicz pracę wykonaną przez siłę poruszającą to ciało w ciągu drugiej sekundy jego ruchu.
Cząsteczka o ładunku Q = 2C porusza się w próżni torem opisanym równaniem R(t) = 2ti + 3tj – 3k i wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego B = 3j + k. Oblicz działającą tu siłę Lorentza. Oblicz pracę wykonaną przez tą siłę na bardzo małym odcinku drogi.