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M. E. Guevara A. FLUJO A PRESIN 1

FLUJO A PRESIN

El movimiento del fluido se realiza por conductos cerrados sobre los que se ejerce una

presin diferente a la atmosfrica. Las fuerzas principales que intervienen son las de

presin.

Presin relativa = p/ Tubos piezomtricos

Eje de la tubera

Nivel de Referencia

Figura 0. Conductos a presin.

1. Ecuaciones bsicas

Son aplicables las ecuaciones bsicas de la hidrulica para flujo unidimensional:

continuidad para una vena lquida, energa y cantidad de movimiento. Para estas

ecuaciones no se hace distincin entre rgimen de flujo laminar y turbulento pues son

vlidas en ambos casos. Cuando el fluido es agua, el rgimen de flujo es normalmente

turbulento.

En un conducto a presin con escurrimiento permanente, cualquier problema hidrulico

se puede resolver con las ecuaciones de continuidad para una vena lquida, de la energa

y de la cantidad de movimiento (momentum o impulso), utilizando la primera y la

segunda o la primera y la tercera o una sola de ellas segn la naturaleza del problema.

Tanto la ecuacin de la energa como la de cantidad de movimiento pueden describir un

mismo fenmeno dentro de un campo de flujo pero con distintos puntos de vista. La

primera considera nicamente los cambios internos de energa y no las fuerzas externas,

en tanto que la segunda toma en cuenta las fuerzas externas que producen el

movimiento sin atender los cambios internos de energa.

1.1 Ecuacin de continuidad para una vena lquida

La ecuacin de continuidad es un balance de masas que establece la igualdad del gasto

en todas las secciones de una vena lquida, siendo el conducto la frontera de sta.

Q = VA = V1A1 = V2A2 =...... VnAn

Q = caudal

V = velocidad media del flujo

A = rea de la seccin transversal del flujo


1.2 Ecuacin de cantidad de movimiento (momentum o impulso)

La ecuacin de cantidad de movimiento tambin es llamada de momentum o de impulso

es una expresin vectorial resultante de la aplicacin de la segunda Ley de Newton a los

problemas de hidrulica y sirve para cuantificar las fuerzas resultantes debidas a los

cambios de la cantidad de movimiento.

VQFn

i

i

1

)( 112221 VVQFWsenFF f

n

i

iF1

= sumatoria de fuerzas externas que actan sobre el cuerpo de agua

AV

Av

AV

dAvi

N

i i

2

1

2

2

2

QV = momentum del flujo que pasa a travs de la seccin transversal de un cauce

por unidad de tiempo.

VQ = cambio de cantidad de movimiento por unidad de tiempo entre dos secciones

transversales

F = fuerza debida a la presin hidrosttica

W = peso contenido en el volumen de control

= ngulo de inclinacin de la solera del canal Ff = fuerza debida a la friccin entre el fluido y la frontera slida

= coeficiente de Momentum o coeficiente de Boussinesq = densidad del fluido V = variacin de la velocidad entre dos puntos v = velocidad en la franja i en que se divide la seccin transversal del conducto

Ai = rea de la franja i en que se divide la seccin transversal del conducto

En la prctica, = 1.33 para flujo laminar en tuberas y = 1.01 a 1.07 para flujo turbulento en tuberas. En la mayora de los casos puede considerarse igual a la unidad.

1.3 Ecuacin de la energa

Representa las prdidas de energa que se producen por el desplazamiento de un fluido

de un punto a otro a lo largo de un conducto. Teniendo en cuenta la prdida de carga

entre dos puntos del conducto se establece una igualdad de energas llamada Ecuacin

de Energa. Para fluido homogneo, se tiene:

AV

Av

AV

dAvN

i ii

3

1

3

3

3

2122

22

2

21

11

122

hpg

Vpz

g

Vpz


CAT = Z + P/ + V2/2g V

2/2g

CP = Z + P/ P/ Cota clave

H Cota eje = Z

Z

Cota batea

N.R.

Figura 1.0. Energa hidrulica en flujo a presin.

Depsito 1

Depsito 2

N1

N1

Lnea piezomtrica

V

2g

K V

2g

K V

2g

Z

PL. REFERENCIA

K=1.0

P/ Lnea de alturas totales

Lnea Esttica.

hp(1-2)

Figura 1.1. Lneas de energa en conductos a presin

z = cabeza de posicin = energa de posicin por unidad de peso

p/ = cabeza de presin = energa de presin por unidad de peso V2/2g = cabeza de velocidad = energa cintica por unidad de peso LE = lnea esttica = plano de carga efectivo (horizontal)

LAT = lnea de alturas totales = lnea del gradiente hidrulico

= lnea de carga o energa efectiva (siempre descendente en el sentido del flujo)

LP = lnea piezomtrica efectiva (ascendente o descendente en el sentido del flujo)

hp = prdidas por unidad de peso entre dos puntos

= coeficiente de variacin de la velocidad en la seccin transversal o coeficiente de Coriolis

v = velocidad en la franja i en que se divide la seccin transversal del conducto

Ai = rea de la franja i en que se divide la seccin transversal del conducto

Tericamente, es igual a 1.0 para una distribucin uniforme de velocidades, = 1.02 a 1.15 para rgimen de flujo turbulento en tuberas y = 2.0 para rgimen de flujo


laminar. En la mayora de los clculos se toma = 1.0 lo que no introduce serios errores en los resultados ya que este coeficiente multiplica a la cabeza de velocidad la

que representa usualmente un pequeo porcentaje de la energa total.

Si a partir del nivel horizontal de referencia se dibujan los valores de z + p/ se observar una lnea quebrada llamada piezomtrica, que puede subir o bajar en el

sentido del flujo segn que exista una ampliacin o una contraccin en la seccin de la

conduccin, respectivamente.

La lnea de energa total o lnea de alturas totales queda representada como z + p/ + V

2/2g sobre el nivel horizontal de referencia. De no existir prdidas, el nivel de la

energa en la seccin inicial sera comn a todas las secciones, describiendo as una

lnea horizontal llamada lnea esttica. La diferencia de niveles entre la lnea esttica y

la lnea de energa total representa la suma de prdidas acumuladas desde la seccin

inicial hasta la seccin considerada. La lnea de energa total no puede ser horizontal ni

tener inclinacin ascendente en la direccin del flujo, a menos que reciba energa

externa por medio de una bomba. Por lo tanto, la lnea de energa total siempre

desciende en el sentido del flujo con mayor inclinacin a medida que la velocidad

aumenta. La lnea piezomtrica efectiva est separada de la lnea piezomtrica absoluta

por la presin atmosfrica del lugar.

La prdida de energa o prdida de carga son trminos usados en la prctica pero

realmente nunca se experimenta una prdida sino que lo que ocurre es un ligero

calentamiento del fluido y de los tubos. En el caso de lquidos esa energa calorfica es

completamente perdida pero tratndose de gases puede ser aprovechada en parte.

2. Consideraciones generales del flujo de agua a presin

Flujo unidimensional La complejidad del tratamiento tridimensional se puede evitar mediante el uso de

valores medios de las variables caractersticas del flujo y el anlisis es equivalente a

estudiar el flujo sobre la lnea de corriente ideal que coincide con el eje del conducto.

Por ejemplo, en la ecuacin de la energa, las cabezas de presin y de posicin se miden

al centro del tubo.

Distribucin uniforme de velocidad Se utiliza una distribucin uniforme de velocidad de magnitud igual a la velocidad

media; el error que se comete al considerar el valor medio de la velocidad y no la

distribucin irregular de la velocidad se corrige con los coeficientes de Coriolis si se usa la ecuacin de la energa o de Boussinesq si se usa la ecuacin de cantidad de movimiento.

Flujo permanente En flujo a presin se considera generalmente que el flujo es permanente e independiente

del tiempo; es decir, las caractersticas hidrulicas (presin, velocidad, etc.) en cualquier

seccin no cambian con el tiempo.

Rgimen de flujo turbulento


En la mayora de los problemas de hidrulica el flujo es turbulento y es comn

considerar los coeficientes de velocidad iguales a la unidad (, = 1.0).

Nmero de Reynolds El parmetro adimensional que caracteriza el flujo a presin es el nmero de Reynolds

(1883) el cual permite evaluar la preponderancia de las fuerzas viscosas sobre las de

inercia.

Re VL

Re = nmero de Reynolds

L = longitud caracterstica, usualmente en funcin del radio hidrulico = 4R

= viscosidad cinemtica R = radio hidrulico

Re 4VR

D

D

P

AR

4/2

Re VD

Los lmites aceptados en la prctica son:

Flujo laminar Re < 2000

Flujo turbulento Re > 4000

Flujo transicional 2000 < Re < 4000

3. Transformacin y utilizacin de la energa hidrulica

Mediante sistemas apropiados, la energa hidrulica se puede transformar para utilizarla

ya sea como energa activa en la forma de presin o cintica, o en su forma de energa

de posicin como depsito de almacenamiento en diferentes sectores de la economa

hidrulica: riegos, acueductos, centrales hidroelctricas, sistemas de bombeo, etc.

As, por ejemplo, la energa de posicin de un embalse situado en la montaa, se

transforma en energa cintica y de presin capaz de hacer circular un caudal

determinado por un conducto, cuya energa activa remanente se utiliza para accionar

una turbina que la transforma en energa mecnica, la cual a su vez mediante un

generador, se convierte en energa elctrica.

Por otro lado, se requiere de energa elctrica para accionar una bomba y vencer un

desnivel entre el punto de succin y la descarga. El trabajo realizado en cada etapa,

gasta energa utilizable desde el punto de vista hidrulico y la transforma en energa

calorfica.


Figura 3.1. Transformacin y utilizacin de la energa hidrulica.

Gardea, V. H. 1992.

a) b)

Figura 3.2. a) Instalacin de turbina Pelton. b) Instalacin de una bomba.

Gardea, V. H. 1992.

4. Problemas hidrulicos

Son problemas hidrulicamente determinados aquellos en que a partir de unos datos se

tiene inequvocamente una incgnita por cada ecuacin. En la prctica los casos se

pueden resumir en tres:

Caso Datos bsicos Otros datos Incgnitas

Clculo de prdidas o

de potencia hidrulica

Q o V, D

Caudal o

velocidad y

dimetro

Rugosidad y longitud del conducto

(, L), accesorios (K, Le), propiedades del fluido (, ), g.

hp o H

Prdidas o

potencia

hidrulica

Comprobacin de

Diseo

D, hp

Dimetro y

prdidas o

potencia



Q o V

Caudal o

velocidad


Diseo de la tubera hp, Q o V

Prdidas o

potencia y

caudal o

velocidad



D

Dimetro

Son ejemplos de sistemas indeterminados: el diseo de tuberas en que el nico dato es

el caudal y el dimensionamiento de redes de agua.

Q = caudal

D = dimetro

V = velocidad

hp = prdidas de energa o potencia hidrulica

5. Velocidades medias comunes en las tuberas

Los principales problemas en las tuberas debido a velocidades bajas son la acumulacin

de sedimentos y la formacin de biopelculas.

Para evitar sedimentaciones en las tuberas, la velocidad mnima es comnmente fijada

entre 0.25 y 0.4 m/s dependiendo de la calidad del agua. La velocidad mnima no debe

ser menor de 0.6 m/s en el caso de aguas con materiales en suspensin.

La velocidad mxima generalmente depende de los siguientes factores:

Economa.

Buen funcionamiento del sistema.

Posibilidad de aparicin de efectos dinmicos nocivos (sobrepresiones perjudiciales por

golpe de ariete, ruidos, cavitacin).

Limitacin de las prdidas de energa.

Desgaste de las tuberas y piezas accesorias (erosin).

Control de la corrosin.

Necesidad de desprendimiento de biofilms.

El Ministerio de Desarrollo Econmico presenta parmetros de diseo para acueductos

y alcantarillados en el REGLAMENTO TCNICO DEL SECTOR DE AGUA

POTABLE Y SANEAMIENTO BSICO (Normas RAS). No existen en Colombia

normas oficiales para otros sectores de la economa hidrulica.

La mayora de las normas para el diseo de redes internas limitan la velocidad mxima

a valores entre 2.0 y 2.5 m/s y los argumentos para ello han sido entre otros:

Excesivo golpe de ariete debido al cierre brusco de una vlvula o por la suspensin de las bombas.

Abrasin de las tuberas lo cual es mas una creencia que una realidad pues las velocidades disminuyen desde un valor mximo en el centro del tubo a un mnimo

en la frontera slida, pero s hay problema por las partculas slidas que pueda

transportar el flujo.

Problemas por cavitacin, pero ste problemas se presenta para velocidades muy altas y mayores de 10 m/s.


6. Prdidas de energa

Al desplazarse el lquido de un punto a otro del conducto, la energa total va

disminuyendo debido a la friccin ocasionada por el movimiento del agua en la tubera,

o por prdidas locales provocadas por piezas especiales y dems caractersticas de una

instalacin, tales como curvas, vlvulas, piezas de derivacin, reduccin o aumento de

dimetro, etc.

Cuando se trata de conductos cerrados, el nico tipo de energa que puede perderse por

razn del movimiento del fluido es la energa de presin, ya que la energa cintica debe

permanecer constante si el rea es constante para caudal constante, y la energa de

posicin solo depende de los desniveles topogrficos, tal como se ilustra en la Figura

6.1.

Figura 6.1. Prdidas de energa por friccin.

Azevedo N., J. M. y Acosta A., G. 1975.

Figura 6.2. Prdida local de energa en una ampliacin.

Adaptada de Sotelo A., G. 1982.


Como se ha visto, el desplazamiento del agua a travs de un conducto, encuentra

resistencias que le demandan prdida de energa las que son de dos tipos: prdidas por

friccin que se consideran usualmente las prdidas mayores y las prdidas locales que

usualmente constituyen las prdidas menores, tambin llamadas prdidas por

aditamentos o por accesorios. Un ejemplo se presenta en la Figura 6.3.

III

III

PLANO DE CARGA

LNEA PIEZOMTRICA

ABSOLUTA

LNEA PIEZOMTRICA

1

35

6

7

2

4A

B

hp (A-B)

Figura 6.3. Ilustracin de prdidas de energa por friccin y locales.


Las prdidas enumeradas son las siguientes:

1. Prdida de carga local: entrada en el tubo (0.5V/2g). 2. Prdida de carga por friccin a lo largo del tramo I (medida por la inclinacin de la

lnea de energa).

3. Prdida de carga local por contraccin brusca. 4. Prdida de carga por friccin a lo largo del tramo II (medida por la inclinacin de la

lnea de energa; es mayor en este tramo en que el dimetro es menor).

5. Prdida de carga local debida al ensanchamiento brusco de seccin. 6. Prdida de carga por friccin a lo largo del tramo III. 7. Prdida de carga local: salida de la tubera y entrada en el depsito (V/2g).

Entre los tramos I y II hay una cada en la lnea piezomtrica: parte de la energa de

presin se convierte en energa de velocidad, porque en el tramo II, de menor dimetro,

la velocidad se eleva; al pasar de II a III hay una recuperacin por la razn inversa.

Clculo de las cotas de energa

Nivel de referencia.

hp( total)

0

Zo

Zn

Eje tubera

Pn/

2Vn /2g

LE (horizontal)

CATn

LP

CPn 2

V / 2g

LAT hp(0-n )

Figura 6.4. Cotas de energa.

Lnea de energa


Con referencia a la Figura 6.4, las cotas de energa se pueden calcular de diferentes

formas segn la informacin que se tenga:

En el tanque de carga Cota nivel = CAT0 = CP0 = Cz0

Para un punto n de la conduccin

CPR = cota plano de referencia

CP = cota de un punto sobre la lnea piezomtrica

CAT = cota de un punto sobre la lnea de alturas totales o lnea de energa

Las Figuras siguientes ilustran ejemplos de dos sistemas hidrulicos: uno

alimentado por una bomba y descargando a la atmsfera, y otro alimentado desde un

tanque y descargando a otro tanque. Como se observa, en el caso de descarga a un

tanque, la energa cintica de que estaba animado el fluido se pierde al anularse la

velocidad en el depsito y cae en la superficie del agua, en donde tambin termina la

lnea piezomtrica. Esto no ocurre cuando la descarga del fluido se realiza a la

atmsfera. En este caso, la cabeza de velocidad no se anula sino que es la energa

utilizable, por ejemplo, para mover una turbina hidrulica; la lnea piezomtrica

finaliza en el eje del tubo.

Lneas de energa

D

Bomba

DD"

01

P1

2

1

hr0

2

Vt2g

H b

Vt

3 4

2

Vt2g

hr

2

V 42g

Vc

Lnea de energaLnea de cargas Piezomtricas

Figura 6.5. Conduccin de agua impulsada por una bomba y descargando a la

atmsfera. Sotelo A.,G. 1982.

n00n hpCATCAT

gV

CATCP2

2n

nn

nnn ZCP

p

gVpzCPRCAT2

2nn

nn


Entrada Tramo 1

Tramo 2

D

Tramo i

SALIDA

Transicin

CurvaReduccin

Ampliacin

Vlvula

Rejilla

Lnea de energa

Lnea de cargas

piezomtricas

Nivel de energa en el depsito

Plano de referencia

Q

Z

P

2V2

2g

Vs

2Vs

2g

H = hf + hi

Figura 6.6. Sistema de tuberas de conduccin desde un tanque

de descarga a otro. Sotelo A.,G. 1982.

6.1 Prdidas por friccin

Al desplazarse una masa lquida por un conducto se originan esfuerzos tangenciales que

se oponen al movimiento debido a la influencia de las rugosidades, de la viscosidad del

fluido y la turbulencia del flujo.

Las prdidas por friccin se presentan a lo largo de su longitud debido a:

En rgimen de flujo turbulento: mezcla entre las partculas del fluido y rozamiento entre fluido y las fronteras slidas del conducto que confinan a la vena lquida.

En rgimen de flujo laminar: rozamiento entre fluido y las fronteras slidas del

conducto que confinan a la vena lquida. No existe mezcla de las partculas.

Existe un gran nmero de frmulas para el clculo de tuberas con flujo turbulento las

cuales se han desarrollado con el objetivo de representar en forma matemtica la

resistencia al flujo a lo largo de un conducto. Esta resistencia al flujo comprende las

fuerzas viscosas y las de friccin. La escogencia de una u otra frmula depender de

varios factores pero es esencial tener un buen conocimiento sobre sus fundamentos

tericos.

La energa que el fluido gasta en vencer la resistencia al flujo es la prdida por friccin

y est dada por la siguiente ecuacin general:

hf = SfL

I = Sf = gradiente hidrulico

L = longitud real de la conduccin


El gradiente hidrulico es funcin del caudal, dimetro efectivo y de un coeficiente de

resistencia al flujo que tiene en cuenta entre otros factores, la viscosidad del fluido y las

rugosidades en el interior del conducto, como se observa a partir de la ecuacin general

de Chezy (1775).

RC

VS f 2

2

C = coeficiente de resistencia al flujo

Existen varias ecuaciones para determinar el coeficiente de resistencia al flujo y con

ste el gradiente hidrulico y las prdidas de energa por friccin. Algunos ejemplos se

presentan a continuacin.

6.1.1 Ecuacin de Darcy-Weisbach (1857)

Para cualquier sistema de unidades y y en combinacin con la ecuacin de Chzy,

f =coeficiente de friccin [adimencional]

V = velocidad media de flujo

D = dimetro interno del conducto (efectivo)

g = aceleracin de la gravedad

Esta ecuacin fue deducida experimentalmente por Henry Darcy, ingeniero francs del

siglo XIX y por Julius Weisbach, cientfico e ingeniero alemn de la misma poca.

Weisbach propuso el uso del coeficiente adimensional f y Darcy llev a cabo

numerosos experimentos con flujo de agua. Esta ecuacin tiene fundamentacin fsica y

proporciona una base racional para el anlisis y clculo de las prdidas por friccin

ocurridas durante el movimiento de los fluidos en tuberas. Se puede derivar

tericamente a partir del anlisis dimensional en el cual se involucran todas las variables

relevantes.

Ecuaciones para el clculo del factor de friccin f se presentan a continuacin.

Para rgimen de flujo laminar: f = 64/Re (ecuacin de Hagen- Poiseuille, 1846)

Re = nmero de Reynolds

= viscosidad cinemtica del fluido

gD

fVS f

2

2

VDRe

g

V

D

fLh f

2

2

fRSCV

DC

VS f 2

24

f

gC

8


Para rgimen de flujo turbulento, f se puede obtener a partir de varias ecuaciones considerando conductos con comportamiento hidrulicamente liso o rugoso,

tales como las propuestas por Blasiuss, Nikuradse, Prandtl, von Karman,

Colebrook y White, y otros.

6.1.1.1 Blasiuss (1911)

P. R. H. Blasiuss, alumno de Prandtl, en 1911, encontr empricamente que para

conductos con comportamiento hidrulicamente liso en la zona de transicin o

turbulenta, la expresin de f era solo funcin de Re.

6.1.1.2 Nikuradse (1933)

El ingeniero alemn Johann Nikuradse, en 1933, hizo una serie de experimentos en los

cuales us tubos de diferentes dimetros en cuyo interior peg arenas de granulometra

uniforme de manera que obtuvo varias relaciones /D (rugosidad relativa) perfectamente determinadas. En cada uno de los tubos vari el caudal de forma que obtuvo un amplio

rango de nmeros de Reynolds, con flujos que cubran el rango desde laminar hasta

turbulento y comportamiento hidrulicamente rugoso. Sus resultados los resumi en

forma grfica.

o o o > > o Conducto hidrulicamente liso Conducto hidrulicamente rugoso

Figura 6.7. Conductos con rugosidad artificial. Experimentos de Nikuradse.

Por ejemplo, una misma tubera de concreto, puede tener un comportamiento hidrulico

liso para flujos lentos de fluidos viscosos como el aceite que tienen un espesor grande

de la subcapa laminar viscosa, pero puede tener comportamiento hidrulicamente

rugoso para flujos mas rpidos con fluidos de baja viscosidad como el agua.

Algunas de las ecuaciones que se dedujeron de su trabajo se presentan a continuacin.

Para tubos rugosos en la zona turbulenta:

= rugosidad absoluta promedia de acuerdo al material del conducto. Se obtiene de tablas o se puede determinar experimentalmente.

Df /

71.3log2

1

25.0Re

316.0f


Para tubos lisos en la zona de transicin o turbulenta:

6.1.1.3 Prandtl y von Karman (1920 - 1930)

Prandtl y su alumno Theodore von Karman, entre 1920 y 1930 se basaron en la teora de

la longitud de mezcla, que ha probado ser muy exacta, y sus investigaciones los llevaron

a ecuaciones como las siguientes para calcular el factor de friccin f en tubera reales.

Figura 6.8 Conductos con rugosidad real.

Conductos hidrulicamente lisos:

Conducto hidrulicamente rugoso:

Para los casos en los cuales el flujo estaba en la zona de transicin, Prandtl y von

Karman no pudieron deducir una ecuacin que describiera el factor de friccin f

encontrando que era una funcin complicada de /D y Re. El establecimiento de una ecuacin definitiva tuvo que esperar los trabajos de los investigadores ingleses

Colebrook y White.

6.1.1.4 Colebrook-White (1939)

Dos investigadores ingleses C. F. Colebrook y H. White trabajaron especialmente el

flujo en la zona transicional (1939). Se basaron en estudios de Nikuradse, Prandtl, von

Karman y establecieron la siguiente ecuacin de tipo general aplicable para tubos lisos o

rugosos en la zona de transicin o turbulenta y con Re > 4000.

Esta ecuacin tiene el problema de que no es explcita para el factor de friccin f por lo

cual se debe utilizar algn mtodo numrico para resolver la anterior ecuacin.

51.2

Relog2

1 f

f

71.3

/

Re

51.2log2

1 D

ff

8.0Relog21

ff

14.1log21

D

f


Moody (1944)

El ingeniero norteamericano Lewis F. Moody realiz a principios de la dcada de 1944

varios experimentos para investigar las prdidas por friccin en tuberas reales y no

como haba hecho Nikuradse con tuberas de rugosidad artificial, para lo que se bas en

los resultados obtenidos por este investigador y por C. F. Colebrook. Sus resultados los

resumi en el ampliamente conocido diagrama universal de Moody.

6.1.1.5 Swamee y Jain

La siguiente ecuacin da aproximadamente el valor de f segn propusieron Swamee y

Jain para tuberas circulares completamente llenas.

2

9.0Re

74.5

7.3ln

325.1

D

f

6.1.2 Ecuacin logartmica

Partiendo de la ecuacin general de Chezy y para sistema mtrico de unidades se tiene:

a = Coeficiente que depende del comportamiento hidrulico del conducto

a = /2 CHR a = o/7 CHL a = /2 + o/7 Transicin, cuando hay influencia tanto de la viscosidad del fluido como de la rugosidad del conducto

Los rangos siguientes fueron establecidos gracias a investigaciones de Colebrook y

White:

> 6.1o CHR < 0.305o CHL 0.305o < < 6.1o Transicin o = espesor de la sub-capa laminar viscosa V* = velocidad cortante

a

RC

7.6log18

*

6.110

V

fgRSV *

*V

fRS

fgRS

6.110


6.1.3 Ecuacin de Hazen-Williams (1933)

Una de las ecuaciones empricas, independientes del anlisis terico de Darcy y

Weisbach, mas exitosas ha sido la desarrollada por A. H. Hazen y G. S. Williams en

1933.

La forma original de esta ecuacin es la siguiente para sistema tcnico de unidades:

Sf = gradiente hidrulico en m/m

Q = caudal del flujo en m3/s

D = dimetro efectivo en m

CHW = coeficiente que depende de la clase de material y vida til del conducto (Se

obtiene de tablas, ver Manual Ayudas de Diseo).

Limitaciones de la ecuacin de Hazen-Williams

El coeficiente de velocidad CHW de Hazen-Williams se puede asimilar a una medida de la rugosidad relativa ya que no es una caracterstica fsica del conducto, como si

lo es el coeficiente de rugosidad absoluta que se utiliza para obtener el factor de friccin f de la ecuacin de Colebrook-White.

El fluido debe ser agua a temperaturas normales.

El dimetro debe ser superior o igual a 2 pulgadas.

La velocidad en las tuberas se debe limitar a 3 m/s.

La ecuacin de Hazen-Williams tiene la ventaja de ser explcita para las prdidas por

friccin, la velocidad o el caudal, lo cual hace su uso muy sencillo y de all que se haya

popularizado tanto especialmente entre los ingenieros civiles y sanitarios de los Estados

Unidos, lo que ha influenciado tambin a profesionales de pases como Colombia. Esta

ecuacin tiende a sobrestimar los dimetros requeridos, y adems, debido al gran auge

de los computadores, el uso de una ecuacin como la de Darcy-Weisbach, utilizada

conjuntamente con la ecuacin de Colebrook-White, ya no es un problema. Es por sto

que el uso de la ecuacin de Darcy-Weisbach, que no es explcita pero que no tiene

restricciones en su aplicacin, se ha vuelto a generalizar y es de uso muy popular sobre

todo en Europa.

6.2 Prdidas locales

Se presentan en puntos fijos del conducto por cambios de forma, dimensiones de la

seccin recta, direccin del flujo o por presencia de controles. En estos casos ocurre una

alteracin al flujo normal de los filetes lquidos, debido al efecto de separacin o

turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstculos o cambios bruscos en

la tubera, produciendo mezcla de las partculas y friccin entre ellas. Son usualmente

las prdidas menores en una conduccin, pero no siempre.

85.1

63.262.10

DC

QS

HW

f

54.063.0849.0 fWH SRCV


6.2.1 Mtodo del coeficiente de resistencia K

Como la turbulencia es funcin directa de la velocidad, se ha planteado y comprobado

experimentalmente que la energa empleada en vencer las resistencias locales es

directamente proporcional a la energa cintica del fluido denominada prdida local.

K = coeficiente sin dimensiones que depende de las condiciones particulares del

aditamento, del nmero de Reynolds y de la rugosidad del tubo.

V = velocidad media de flujo en el conducto en la seccin especificada

6.2.2 Mtodo de la longitud equivalente

Para efectos del clculo de las prdidas locales, se puede suponer que stas se producen

por la friccin en un tramo de tubera recta cuya longitud ficticia se denomina

Longitud equivalente (Le). Por lo tanto, la Le corresponde a un tramo de tubera que produce por friccin una prdida igual a la que produce el accesorio.

La longitud equivalente depende de:

El tipo de resistencia local

El dimetro de la tubera recta

El material de la tubera

hl =SfLe

Le = longitud equivalente para el aditamento

Sf = gradiente hidrulico para la tubera recta de igual dimetro y material de la Le

Este mtodo de la longitud equivalente es de gran utilidad prctica puesto que simplifica

los clculos ya que la prdida de carga total se puede expresar por la siguiente ecuacin:

hptotal = Sf (L + Le)

Relacin entre la prdida local y la ecuacin de Darcy-Weisbach

Simplificando las cabezas de velocidad por ser iguales se obtiene:

g

VKhl

2

2

g

V

D

fLe

g

VK

22

22

f

KDLe

g

VKLeS f

2

2

g

V

D

fS f

2

2


Esta frmula se utiliza si se conocen el dimetro interno D, el coeficiente de friccin f y

el coeficiente de prdida local K de la tubera. Tanto los coeficientes K como Le para

cada tipo de aditamento se determinan experimentalmente y los resultados se

encuentran en tablas dadas por diferentes investigadores.

El Manual Ayudas de Diseo, presenta valores de longitud equivalente para tuberas de

hierro fundido (H.F.) correspondientes a accesorios o resistencias locales comunes. Para

otros materiales, los valores deben corregirse por un factor dado por la siguiente

expresin:

El coeficiente C HW para hierro fundido tiene un valor base de 100.

C HW PVC = 150

C HW asbestos cemento = 135

Por lo tanto,

Le PVC = 2.12 Le H.F.

Le Asbesto cemento = 1.86 Le H.F.

6.2.3 Tipos de resistencias locales

Los accesorios de una conduccin son los elementos que sirven para acoplar las tuberas

y darles el alineamiento requerido como codos, tes, cruces, reducciones, ampliaciones,

vlvulas, (Ver Manual Ayudas de Diseo).

Entrada

La prdida se produce debido a la contraccin que realiza la vena lquida al entrar del

tanque a la tubera. El paso del fluido desde el depsito hasta el conducto puede ser de

diferentes formas:

- Entrada normal - Entrada de borda - Entrada en ngulo - Entrada redondeada

Salida Es la prdida que se produce por el paso del fluido desde la conduccin hacia un

depsito o a la atmsfera libremente.

En el primer caso o sea cuando el fluido sale a un depsito, cualquiera que sea la forma

de empate entre el conducto y el depsito, se pierde prcticamente toda la energa

cintica (K = 1).

Cuando el fluido sale libremente a la atmsfera sin cambiar la seccin del conducto, no

existe ninguna prdida de carga (K = 0).

.H.F

85.1

H.F.

material)material( Le

C

CLe

HW

HW


Cambios en las dimensiones del conducto

Generalmente en el diseo de la red de conduccin se tienen tramos con diferente

seccin transversal cuya unin da origen a ensanchamientos o contracciones, las cuales

dependiendo del tipo de tubera pueden ser bruscas o suaves, siendo estas ltimas las

que producen menor prdida de carga.

Cambios de direccin

El cambio en el alineamiento de la conduccin, aunque ocasionalmente puede ser de

tipo brusco, es ms comn hacerlo suavemente mediante curvas de radio amplio o por

medio de codos que pueden ser de radio corto o radio largo.

En ambos casos, el cambio de direccin debe especificarse por el ngulo de deflexin

del alineamiento y por el radio de curvatura cuando sea el caso. Los codos comerciales

se consiguen para los siguientes ngulos de deflexin : 90, 45, 22.5, 11.25. Adems,

existen comercialmente Tees, y eventualmente Yees y Cruces.

En el diseo debe tenerse presente que cuando las tuberas se empatan con uniones no

rgidas, se puede tener una pequea tolerancia en la deflexin, que de acuerdo al

material de la tubera, es especificada por el fabricante.

Vlvulas

Segn el propsito para el cual sirven, se clasifican en:

Vlvulas de regulacin: regulan el caudal del sistema aumentando o disminuyendo la resistencia que presentan al paso del fluido. Las mas usadas son las siguientes:

Vlvulas de compuerta: presentan baja resistencia al flujo cuando estn completamente abiertas y por lo tanto el valor de su coeficiente es bajo en tales

condiciones.

Vlvulas de bola o esfricas: producen alta resistencia al flujo, an en condiciones completamente abiertas. Se emplean especialmente en conductos de dimetro

pequeos en instalaciones domiciliarias.

Vlvula de ngulo: se emplean en casos especiales cuando el control o regulacin debe hacerse en puntos donde la conduccin forma un ngulo de noventa grados.

Vlvula mariposa o lenteja: por su forma especial, requieren mecanismos de regulacin mecnicos o elctricos que le den la posicin requerida. Se emplean en

conductos de gran dimetro.

Vlvulas de retencin: permiten el flujo en una sola direccin. Se emplean en caso que se requiera impedir el flujo en una determinada direccin. Entre estas estn:

Vlvulas cheque: pueden ser tipo livianas o pesadas segn el peso de la compuerta que sirve de cierre.


Vlvulas globo: producen alta prdida de energa.

Vlvulas de pie: se instalan en el extremo inferior de una tubera vertical sumergida dentro de un depsito que sirve de alimentacin del sistema. Van provistas de una

rejilla si el agua contiene slidos en suspensin que es necesario retener. En los

sistemas de bombeo son imprescindibles para poder cebar la tubera de succin.

Normalmente el coeficiente de resistencia tiene en cuenta tambin la rejilla.

Vlvulas especiales: cumplen diferentes propsitos que aseguran el buen funcionamiento del sistema hidrulico. Las ms usadas son:

Vlvulas de alivio: protegen la tubera de daos por presiones excesivas en la red. Tienen un mecanismo que asegura su falla a manera de fusible cuando la presin en

la tubera alcanza un valor predeterminado.

Vlvulas reguladoras de presin: se usan para mantener una presin constante en la descarga aunque en la entrada varen el flujo o la presin. Regulan nicamente la

presin dinmica ms no la esttica.

Vlvulas reductoras de presin: debido a su alta resistencia al flujo y por lo tanto a la alta prdida de carga disminuyen la presin dinmica. Producen en su interior una

prdida de carga cualquiera que sea la presin de entrada y el caudal.

Vlvulas ventosa: pueden ser de una o dos cmaras. La ventosas de una cmara permiten que el aire acumulado dentro de la tubera se escape a la atmsfera dejando

paso al flujo de agua. Las ventosas de doble cmara permiten tambin el ingreso de

aire a la tubera para evitar que quede en condiciones de vaco cuando se desocupa

impidiendo su aplastamiento.

7. Sistemas de tuberas

Los sistemas de tuberas estn formados por tramos de tuberas y aditamentos que se

alimentan aguas arriba por un depsito o una bomba y descargan aguas abajo libremente

a la atmsfera o a otro depsito.

En cualquier sistema de tuberas se pueden presentar los tres problemas hidrulicos

vistos anteriormente: clculo de prdidas, comprobacin de diseo y diseo de la

tubera. Siempre se trata de llegar a sistemas determinados en que a partir de unos datos

se tienen inequvocamente n incgnitas para n ecuaciones.

7.1 Sistemas sencillos

Estn compuestos por un conducto nico alimentado en el extremo de aguas arriba por

un depsito o por una bomba y descargan a otro depsito o a la atmsfera. El conducto

tiene una longitud determinada y accesorios que producen prdidas de energa.

Las ecuaciones bsicas son la de la energa y la de continuidad para una vena lquida:

)21(2

222

2

111

22hp

g

VpZ

g

VpZ


Q = VA = V1A1 = V2A2 =...... VnAn

Figura 7.1. Sistema de tubera simple.

7.2 Sistemas en serie

Consisten de un conducto nico con dimetro, material o caudal variable.

Las ecuaciones bsicas son la de la energa y la de continuidad del flujo para una vena

lquida:

Q = VA = V1A1 = V2A2 =...... VnAn

ntramotramotramotramoBB

BAA

A hphphphpg

VpZ

g

VpZ ......

22321

22

d1, L1, Q1

hp(1-2)

2

1


Figura 7.2. Sistema de tubera en serie.

8. Funcionamiento hidrulico de las tuberas a presin

Se debe determinar la posicin de las tuberas con relacin a las lneas de energa

En el caso general del flujo de lquidos en tuberas, pueden ser considerados dos planos

de carga:

Plano de carga absoluto, en el que se considera la presin atmosfrica del lugar (lnea esttica absoluta).

Plano de carga efectiva (lnea esttica efectiva o lnea esttica), referente a un plano arbitrario sin considerar la presin atmosfrica del lugar.

En correspondencia, son consideradas la lnea de carga absoluta o lnea de alturas

totales absoluta y la lnea de carga efectiva o lnea de alturas totales efectiva. Esta

ltima se confunde con la lnea piezomtrica por la razn de que usualmente la cabeza

de velocidad es muy baja en las tuberas.

Por ejemplo, si la velocidad del agua en las tuberas es limitada, admitindose una

velocidad media de 1.0 m/s, resulta una carga de velocidad de 5 cm, que es muy

pequea en comparacin con la energa debida a la presin o a la posicin. Por lo tanto,

en el anlisis de la posicin de las lneas de energa se admite la coincidencia entre la

lnea de alturas totales y la piezomtrica.

m05.06.19

0.1

2

22

g

V

A continuacin se analizan siete posiciones de la lnea piezomtrica relativas a las

tuberas:

nQQQQ .....321

nnVAVAVAVA .....332211

A

B

d1, L1, Q1

Ad2, L2, Q2

d3, L3, Q3

B


1 posicin. Tubera situada bajo la lnea de carga en toda su extensin (Figura 8.1).

Figura 8.1. Funcionamiento normal. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

Esta es una posicin ptima para la tubera. El flujo ser normal y el caudal real

corresponder al caudal calculado. Se recomienda que la presin relativa mnima sea de

1.0 mca para funcionamiento normal del sistema, pero esta presin mnima depende de

las exigencias del proyecto.

En los puntos ms elevados deben ser instaladas vlvulas de expulsin y admisin de

aire que posibilitan el escape del aire acumulado (Figura 8.2). En este caso, dichas

vlvulas funcionarn bien, porque la presin en el interior del tubo siempre ser mayor

que la atmosfrica. BOLSA DE AIRE (Colocar vlvula ventosa o tubo piezomtrico)

Figura 8.2. Sifn.

Cuando las presiones internas no sean muy grandes, pueden instalarse tubos

piezomtricos en vez de ventosas para establecer la comunicacin con el exterior.

Para que el aire se localice en determinados puntos ms elevados, la tubera debe ser

asentada con una pendiente que satisfaga:

DS

2000

1

D: dimetro de la tubera [m]

m33.10

Pa

PLANO DE CARGA ABSOLUTA ( LINEA ESTTICA ABSOLUTA)

PLANO DE CARGA EFECTIVA (LNEA ESTTICA)

LNEA DE CARGA ABSOLUTA ( LINEA PIEZOMTRICA ABSOLUTA)

CONDUCTO

FORZADO

PIEZOMTRICA EFECTIVA (LNEA PIEZOMTRICA)

Vlvula ventosa

Vlvula purga


En los puntos ms bajos de la tubera, deben ser previstas descargas con vlvulas para

limpieza peridica de la tubera y tambin para posibilitar el vaciamiento cuando sea

necesario.

Se acostumbra llamar sifones invertidos a los tramos bajos de las tuberas en donde

actan presiones elevadas (Figura 8.3).

Figura 8.3. Sifn invertido.

2 posicin. La tubera coincide con la lnea piezomtrica efectiva (Figura 8.4)

Es el caso de los llamados conductos libres. Un orificio hecho en la generatriz superior

de los tubos no provocara la salida del agua.

Observacin importante. En la prctica se debe tratar de construir las tuberas segn

uno de los dos casos estudiados: flujo a presin o flujo libre. Siempre que la conduccin

a presin corte la lnea piezomtrica efectiva, las condiciones de funcionamiento no

sern buenas. Por eso, en los casos en que es impracticable mantener la tubera siempre

por debajo de aquella lnea, deben ser tomados cuidados especiales.

3 posicin. La tubera pasa por encima de la lnea piezomtrica efectiva, pero por

debajo de la piezomtrica absoluta y del plano de carga efectiva o lnea esttica (Figura

8.5). La presin efectiva o relativa tiene un valor negativo entre A y B y por lo tanto la

presin absoluta es menor que la atmosfrica. Entre los puntos A y B existe un vaco

parcial y es difcil evitar las bolsas de aire en este tramo.

m33.10

Pa PLANO DE CARGA ABSOLUTO

Figura 8.4. Funcionamiento con flujo libre. Azevedo N., J. M. y Acosta A.,G., 1975

TUBERA

LINEA DE CARGA EFECTIVA

O LINEA PIEZOMTRICA

PLANO DE CARGA EFECTIVA

Vlvula de purga


Las ventosas comunes seran perjudiciales, porque en los puntos altos entre A y B, la

presin es inferior a la atmosfrica y en vez de sacar aire estaran permitiendo la

admisin de aire.

El flujo es irregular y a consecuencia de las bolsas de aire, el caudal disminuir. Sin

embargo, por encontrarse la tubera por debajo de la lnea esttica, el caudal se recupera

pero vuelve a interrumpirse parcialmente dando origen a un flujo intermitente. Los

tubos piezomtricos tampoco se deben colocar, pues un orificio practicado en la clave

del tubo no causa salida del agua.

Esta condicin es mas crtica en cuanto los puntos de corte de la tubera con la

piezomtrica estn mas cerca del tanque de carga, o si los puntos mas altos de la

conduccin se acercan mucho a la lnea de presiones absolutas y lleguen a alcanzar

valores menores o muy prximos a la presin de vapor de agua. Si la presin absoluta

llega a ser menor que la presin de vapor de agua, hay peligro de cavitacin.

Figura 8.5. Funcionamiento irregular. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

En estos casos, debe disearse por tramos, escogindose el dimetro necesario entre el

tanque de carga y el punto T de forma que se cumpla con un requisito de presin

relativa. El tramo entre T y el tanque de descarga debe disearse de forma que se

satisfaga la restriccin de prdidas de energa del sistema.

T

PLANO DE CARGA ABSOLUTA

PLANO DE CARGA EFECTIVA m33.10

Pa

LINEA PIEZOMTRICA EFECTIVA

LINEA PIEZOMTRICA ABSOLUTA A

B


4 posicin. La tubera corta la lnea piezomtrica absoluta, pero queda por debajo del

plano de carga efectiva (Figura 8.6).

Figura 8.6. Funcionamiento irregular y precario.

Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

El caudal es reducido e imprevisible: posicin defectuosa y funcionamiento irregular.

Este caso es terico, pues es imposible tener valores de presiones absolutas negativas,

pero s es posible el flujo por gravedad al estar la tubera situada bajo el plano de carga

efectiva.

Como la tubera est por debajo del plano de carga efectiva (lnea esttica efectiva) y

corta la lnea de piezomtrica efectiva (coincidente con la lnea de alturas totales

efectiva), y si fuese establecida la comunicacin con el exterior (presin atmosfrica) en

su punto ms desfavorable, construyndose por ejemplo, una caja de paso, la tubera

pasara a funcionar como dos tramos distintos: del depsito 1 hasta el punto alto de la

tubera, flujo bajo la carga reducida correspondiente a este punto. De ah al depsito 2,

bajo la accin de la carga restante.

R1 a T, flujo a presin

T a R2, flujo como vertedor

5 posicin. La tubera corta la lnea piezomtrica y el plano de carga efectiva, pero

queda debajo de la lnea piezomtrica absoluta (Figura 8.7).

Se trata de un sifn que funciona en condiciones precarias, exigiendo cebado toda vez

que entra aire a la tubera para poder establecer el flujo. Una vez el flujo est

establecido, el aire tiende a acumularse en la parte mas alta del conducto y al quedar las

burbujas atrapadas, obstruyen el paso del fluido. Debido a que el conducto est por

encima de la lnea esttica, el flujo por gravedad es posible restablecerlo solo si se ceba

nuevamente la tubera.

A

B

T



10.33m

LINEA PIEZOMTRICA ABSOLUTA


EFECTIVA

R1

R2


Para que haya flujo por gravedad es necesario establecer un gradiente de presiones entre

el tanque de carga y el punto ms alto de la tubera, cebando la tubera, lo que

generalmente se hace llenndola de agua por cualquier mecanismo.

En la prctica, se ejecutan algunas veces sifones verdaderos para atender algunas

condiciones especialmente de tipo topogrfico. En estos casos son tomadas las medidas

necesarias para el cebado por medio de dispositivos mecnicos.

Una forma bastante elemental para hacer el cebado es:

1) Poner una vlvula de retencin en la toma.

2) Instalar una vlvula de cierre aguas abajo del sifn tratando de ubicarla a

nivel con la superficie libre del depsito.

3) Colocar una vlvula de llenado en la parte ms alta del sifn.

El principal problema de este sistema es que las vlvulas de retencin con el

tiempo fallan o se atascan. Una solucin es, si es posible, hacer la toma fcilmente

desmontable para limpieza.

4) Puede agregarse una vlvula de purga en la parte ms alta de la tubera.

Una pequea bomba podra llenar la tubera y cuando salga agua por la

vlvula de purga, entonces el sistema estar cebado. Si no hay electricidad, toca recurrir

a un tanque elevado para el llenado inicial.

Figura 8.7. Funcionamiento tipo sifn. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

6 posicin. Tubera por encima del plano de carga efectiva y de la lnea piezomtrica

absoluta, pero por debajo del plano de carga absoluta (Figura 8.8).

Se trata de un sifn que trabaja en las peores condiciones posibles. El caudal ser

reducido pues el sifn no puede cortar la lnea de presiones absoluta. La posicin lmite

de la lnea de presiones absolutas es tangente a la conduccin.





R1

10.33m

R2


Figura 8.8. Funcionamiento sifn en condiciones muy precarias.

Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

7 posicin. La tubera corta el plano de carga absoluta (Figura 8.9).

El flujo por gravedad es imposible por lo que hay necesidad de bombear para elevar el

fluido.

Figura 8.9. Flujo imposible. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975.

Este tipo de casos se presenta cuando la carga esttica disponible es muy alta, pues

aparentemente la conduccin tiene gran energa potencial para transportar un caudal,

pero las prdidas que se producen son tan grandes que hacen imposible el

funcionamiento.






R1

10.33m

R2




R1 10.33m

R2


8.1 Ecuaciones bsicas para el diseo de sifones

Puesto que los sifones son sistemas de funcionamiento irregular, solamente debe

recurrirse a ellos en casos especiales, por ejemplo, cuando no haya otra solucin para

salvar un obstculo topogrfico.

Figura 8.10. Diseo de sifones.

Ecuacin de energa entre el tanque de carga y el punto ms alto del conducto (T).

Por estar el conducto por encima de la lnea esttica, la presin atmosfrica es el

principal factor que contribuye al ascenso del fluido tal como se ver en las siguientes

ecuaciones. Es por ello que se recomienda hacer el anlisis en trminos de presiones

absolutas.

Despejando la presin atmosfrica y haciendo despreciable la cabeza de velocidad en el

tanque de carga, se tiene que solo se cuenta con la presin atmosfrica del lugar para

vencer un desnivel hasta el punto T, garantizar una presin absoluta en T, garantizar una

cabeza de velocidad en T y vencer las prdidas entre 1 y T.

La presin atmosfrica del lugar depende de la altitud del lugar, siendo la mxima al

nivel del mar. Para otras elevaciones puede usarse la siguiente expresin aproximada:

LP

LE

LEA

Pabsoluta/ T

Depsito 1

P atm. /

Depsito 2

T

1

2

TabsolutaT

T

2

1a1atmosfric

122

hpg

Vpz

g

Vpz

T

1

2

TabsolutaT

1T

a1atmosfric

2hp

g

Vpzz

p

1000

)(mlugar del altitud*2.133.10lugara1atmosfric

p

ZT

LPA


Despejando la altura de ascenso zT z1, se tiene que la altura de ascenso del sifn por encima de la lnea esttica, debe ser menor que la presin atmosfrica del lugar.

Para evitar problemas de cavitacin, la presin absoluta en T debe ser siempre mayor

que la presin de vapor del agua. Se recomienda por seguridad que sea mayor que 2.0 o

3.0 mca.

La presin de vapor se refiere a la presin necesaria para que un fluido pase del estado

lquido al gaseoso a una temperatura dada. (Vanse valores en las Ayudas de Diseo).

Ecuacin de energa entre el tanque de carga y el de descarga

Para garantizar el funcionamiento del sistema debe cumplirse con la ecuacin de la

energa entre los tanques 1 y 2.

9. Recomendaciones de instalacin para algunas vlvulas

Las siguientes recomendaciones son tomadas de Azevedo N., J. M. y Acosta A., G.,

(1975).

9.1 Vlvulas de control de caudales (parada, compuerta)

Se instalan a la entrada y salida de depsitos, en la derivacin de las lneas secundarias,

en los puntos mas elevados de las tuberas largas (para separar tramos) y en puntos

estratgicos de las conducciones.

9.2 Vlvulas de descarga (purga)

Se localizan en los puntos mas bajos de la tubera para permitir su evacuacin cuando

sea necesario limpiarlas o vaciarlas. La descarga se efecta en galeras, valles, arroyos,

etc. pero se debe evitar cualquier conexin peligrosa con alcantarillas.

Como regla prctica se admite que el dimetro de la descarga (d) sea mayor o igual que

1/6 el dimetro de la tubera (D). d 1/6 D.

9.3 Vlvulas de expulsin y admisin de aire (ventosas)

Son piezas de funcionamiento automtico, colocadas en todos los puntos elevados,

siempre que la carga piezomtrica fuere reducida. En el caso de tuberas rgidas, se usan

para expulsar el aire existente en el interior mientras se llenan y a expulsar el aire

acumulado en los puntos mas altos durante el funcionamiento. En las tuberas flexibles

(acero), tienen adems la posibilidad de admitir el aire para evitar el colapso de las

T

1

2

TabsolutaTa1atmosfric

12

hpg

VppzzT

2

1

21 hpzz


lneas cuando quedan sometidas a un vaco interno. Funcionan bien cuando la presin

en el interior del tubo sea mayor que la atmosfrica.

De acuerdo con reglas prcticas se recomiendan los siguientes dimetros:

Para admisin y expulsin de aire: d 1/8 D

Para expulsin de aire: d 1/12 D

d: dimetro de la descarga

D: dimetro de la tubera

Los puntos de instalacin de vlvulas de admisin y expulsin del aire recomendados

son:

1. En todos los puntos altos. 2. En todos los puntos de variacin de inclinacin en tramos ascendentes. 3. En todos los puntos de variacin de declive en tramos descendentes. 4. En puntos intermedios de tramos muy largos ya sean ascendentes, horizontales o

descendentes.

5. En puntos iniciales y finales de tramos horizontales. 6. En puntos iniciales y finales de tramos paralelos a la lnea piezomtrica.

10. Presiones en las tuberas

Sobre una tubera pueden actuar las siguientes presiones:

Presiones externas: debidas a cargas externas como relleno y trfico

Presiones internas: debidas a la presin que el fluido en reposo o circulacin ejerce

sobre las paredes del conducto.

Pruebas de presin en el laboratorio:

Presin de prueba: presin a la que son sometidas las tuberas para garantizar su calidad.

Presin de trabajo o servicio: es una presin menor que la de prueba, que el fabricante

recomienda como mxima durante la vida til del sistema. Usualmente, es la mitad de la

de prueba.

Presin de ruptura: se determina sometiendo algunos tubos a una presin interna hasta

que falle el material. Puede ser del orden de tres veces la presin de servicio.

10.1 Chequeo de presiones en una conduccin

En una conduccin deben chequearse las presiones mnimas a que va a estar sometido el

sistema durante su operacin garantizando que no se presente flujo irregular y que haya

en cada punto la presin relativa necesaria para un correcto funcionamiento. Adems,

deben calcularse las presiones mximas, considerando condiciones estticas y dinmicas


incluyendo la sobrepresin por golpe de ariete, lo que definir el tipo y clase de tubera

a usarse.

Despus de realizarse el diseo hidrulico, deben calcularse las presiones relativas en

cada punto caracterstico de la conduccin, escogindose especialmente los puntos ms

altos. Si la lnea de alturas piezomtricas llega a cortar la tubera que est por debajo de

la lnea esttica, se va a tener funcionamiento irregular en el sistema ya que la tubera

est sometida a un vaco parcial. En consecuencia, el flujo ser intermitente y debe

procederse a tomar correctivos para tener presiones relativas positivas a todo lo largo

del conducto. Algunas de las medidas a tomar incluyen:

Disminucin del caudal a transportar y rediseo de la conduccin para mantener las mismas prdidas de energa disponibles.

Aumento del dimetro hasta los puntos crticos lo que muchas veces implica tener que regular el caudal con una vlvula o combinar dimetros para mantener las

mismas prdidas de energa disponibles.

Elevacin del nivel del agua en el tanque de carga pero sto no siempre resulta factible en la prctica.

Cambio del alineamiento de la tubera para evitar puntos de corte.

10.2 Seleccin de la clase de la tubera

Del diseo hidrulico debe determinarse para todo el sistema o por tramos, la mayor

presin esttica o dinmica (incluyendo sobrepresin por golpe de ariete). De acuerdo

con estas presiones, se escoge la clase de tubera que se debe instalar de forma que la

presin de trabajo o servicio recomendada por el fabricante sea mayor o igual a la

mxima presin a la que va a estar sometido durante su vida til.

11. Golpe de ariete

Se denomina golpe de ariete al choque violento que se produce sobre las paredes de un

conducto forzado cuando el movimiento del fluido es modificado bruscamente. En otras

palabras, consiste en la sobrepresin que las tuberas reciben por diferentes factores,

siendo el ms comn el cierre o apertura brusca de una vlvula o la puesta en marcha o

la parada de una mquina hidrulica.

Los siguientes son algunos casos en que se puede presentar golpe de ariete:

Cambios en la abertura de la vlvula, accidental o planeado.

Arranque o parada de bombas.

Cambios en la demanda de potencia de turbinas.

Vibracin de impulsores en bombas, ventiladores o turbinas.

Vibracin de accesorios deformables tales como vlvulas.

Cambios de elevacin del embalse.

Ondas en el embalse.

Variaciones en la apertura o cierre del gobernador o regulador de una turbina causadas por cambios en la carga de los sistemas elctricos.


El caso mas comn es el del cierre de una vlvula, en que la energa cintica con que

estaba animado el fluido, se convierte en un trabajo, determinando sobre las paredes de

un conducto presiones superiores a la carga inicial, lo que se llama sobrepresin.

Posiblemente, el caso ms importante de golpe de ariete ocurre en una conduccin con

bombas accionadas con motores elctricos cuando sucede la interrupcin de la energa.

El golpe de ariete es un fenmeno transitorio, en el que el flujo es variado y no

permanente.

11.1 Fases del golpe de ariete

0) Flujo permanente: el conducto est alimentado por un depsito de gran tamao y

por lo tanto el nivel de agua permanece constante. La vlvula al final del conducto est

abierta y se tiene que en el conducto el flujo es permanente con velocidad Vo.

HoL.P

L.E

V = Vo

L

Depsito

:Vlvula

Figura 11.1. Flujo permanente. Vlvula abierta.


a) Sobrepresin en parte del conducto T L / C La vlvula se cierra rpida y totalmente por lo que la columna lquida en movimiento

empieza a detenerse pasando de una velocidad V = Vo a V = 0. La energa cintica de

que estaba animada el agua se transforma en una sobrepresin h que acta sobre la vlvula. Ocurre simultneamente la dilatacin del tubo y esfuerzos internos en sus

paredes. A medida que los distintos elementos del flujo se van deteniendo, la tubera se

va compresionando debido a una onda de presin positiva que empieza a viajar hacia el

depsito con una celeridad C.

Ho

V = 0V = Vo

L

Depsito C

L.E

h

Sobrepresin real

Sobrepresin

terica

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

b) La onda de sobrepresin llega al depsito T = L / C

Cuando la onda llega al depsito, todo el conducto se encuentra sometido a una presin

mayor que la esttica y la velocidad del flujo en el conducto es cero. La sobrepresin

alcanzada en la vlvula debido a la desaceleracin de toda la columna lquida es la

mxima.

Sobrepresin

terica

L.E

Depsito

L

Sobrepresin real

V = 0

Ho

h

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

Figura 11.2. Condiciones para T < L / C. Mancebo, U., 1994.

Figura 11.3. Condiciones para T = L / C. Mancebo, U., 1994.


c) La onda de descompresin empieza a viajar hacia la vlvula T > L / C

Considerando que el nivel del agua en el depsito es constante, la presin en la tubera

es mayor que la inicial y el fluido est en condiciones de desequilibrio. El lquido trata

de viajar hacia el depsito por lo que se origina una onda de descompresin que se

mueve hacia la vlvula con V = -Vo. La onda de descompresin que viaja hacia la

vlvula con celeridad C, va dejando la tubera en las mismas condiciones estticas

iniciales.

Sobrepresin

terica

Depsito

L

Sobrepresin real

V = -Vo

Ho

h

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

C

L.E

d) La onda de descompresin llega a la vlvula T = 2L / C

Al llegar la onda de descompresin a la vlvula, toda la tubera se encuentra sometida

nuevamente a la presin esttica pero con flujo hacia el depsito y V = -Vo.

Ho

V = -Vo

L

Depsito

L.E

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

Figura 11.4. Condiciones para T > L / C. Mancebo, U., 1994.

Figura 11.5. Condiciones para T = 2L / C. Mancebo, U., 1994.


e) Subpresin en parte del conducto T > 2L / C

La presin en la zona de la vlvula sigue disminuyendo por debajo de la presin original

debido a la inercia de la masa de agua en movimiento lo que origina una onda de

subpresin que viaja hacia el depsito con una celeridad C dejando al fluido con V = 0 y

al conducto en condiciones de subpresin.

f) La onda de subpresin llega al depsito T = 3L / C

Cuando la onda de subpresin llega al depsito el conducto se encuentra totalmente

contrado y el agua con V = 0.

Ho

V = 0

L

Depsito

L.E

h

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

Figura 11.6. Condiciones para T > 2L / C. Mancebo, U., 1994.

Figura 11.7. Condiciones para T = 3L / C. Mancebo, U., 1994.

V = 0


g) La onda de compresin empieza a moverse hacia la vlvula T > 3L / C

La presin es mayor en el depsito que en el interior del conducto por lo que el agua

empieza a moverse con V = Vo hacia la vlvula. El ingreso de agua a la tubera hace que

el conducto nuevamente adquiera las condiciones originales debido a la onda de

compresin que viaja hacia la vlvula.

Ho

V = 0

L

Depsito

L.E

h

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

V = 0

h) La onda de compresin llega a la vlvula T = 4L / C

La onda de compresin llega a la vlvula y todo el conducto y el fluido se encuentran en

las mismas condiciones iniciales con V = Vo, pero como la vlvula esta cerrada se repite

el mismo ciclo anterior.

Ho

L

Depsito

L.E

LNEA DE GRADIENTE

HIDRULICO

V = 0

Figura 11.8. Condiciones para T > 3L / C. Mancebo, U., 1994.

Figura 11.9. Condiciones para T = 4 L / C. Mancebo, U., 1994.


Si no existiera el efecto de la friccin que va transformando la energa en calor, el ciclo

anterior se repetira indefinidamente.

h = sobrepresin por golpe de ariete T = tiempo de reflexin de la onda de sobrepresin o perodo de la tubera. Es el

tiempo que la onda tarda en viajar de la vlvula hacia el depsito y desde ste en

regresar a la vlvula

L = longitud de la tubera

C = celeridad de la onda de presin

V = velocidad media en el conducto

El golpe de ariete puede ser positivo o negativo de acuerdo a la forma en que se

produzca. Cuando se cierra sbitamente una vlvula se presenta un golpe de ariete

positivo o sobrepresin. El golpe de ariete negativo o subpresin ocurre al efectuarse la

apertura brusca de una vlvula.

El fenmeno se presenta en forma de una onda oscilatoria. El primer pico que registra

esa onda corresponde a la sobreelevacin mxima y tiene la misma magnitud para el

golpe de ariete positivo y para el negativo.

La Figura 11.10 representa la variacin de la presin en la vlvula de cierre rpido sin

considerar prdidas por friccin. El ciclo de las ondas de sobrepresin y subpresin se

repetira indefinidamente pero las prdidas de energa hacen que vaya atenundose hasta

anularse por completo tal como se ilustra en la Figura 11.11.


Figura 11.10. Variacin de presin en la vlvula, sin considerar prdidas por friccin.

Comisin Federal de Electricidad. 1982.

Figura 11.11. Variacin de presin en la vlvula, considerando prdidas por friccin.



11.2 Perodo de la tubera

Perodo o fase de la tubera es el tiempo que la onda de sobrepresin tarda en ir y volver

de una extremidad a otra de la tubera, generalmente entre la vlvula de cierre y el

tanque de carga.

C

LT

2

T: tiempo mximo de reflexin de la onda de sobrepresin [s]

L: longitud de la tubera [m]

C: celeridad o velocidad de propagacin de la onda de sobrepresin [m/s]

El tiempo de cierre de la vlvula es un factor importante que determina si el cierre es

lento o rpido. Si el cierre es muy rpido, la vlvula quedar completamente cerrada

antes de actuar la onda de presin. Por otro lado, si la vlvula se cierra lentamente,

habr tiempo para que la onda de presin se desplace de ida y vuelta en la tubera antes

del cierre total de la vlvula. De esto se desprenden dos tipos de cierre:

Cierre rpido tc < T

tc: tiempo de cierre de la vlvula [s]

La sobrepresin mxima ocurre cuando la maniobra de la vlvula es rpida, es decir

cuando no se da tiempo a que la onda de sobrepresin se desplace desde la vlvula hasta

el depsito y regrese.

Cierre lento tc > T

11.3 Sobrepresin mxima

Existen varios mtodos para calcular la sobrepresin generada por el golpe de ariete.

Algunos se basan en la teora elstica como las ecuaciones de Allievi, Gibson y Quick,

y otros en la teora inelstica como las ecuaciones propuestas por Jonson y Joukowski.

Esta teora inelstica admite condiciones de rigidez para la tubera e incompresibilidad

para el fluido.

Cierre rpido o directo

La sobrepresin mxima en la vlvula se puede calcular mediante la siguiente

expresin:

g

CVh max Ecuacin de Joukowski (1900, cientfico ruso)

h mx : sobreelevacin o aumento de presin [m] V: velocidad media del fluido [m/s]

g: aceleracin de la gravedad [9.81 m/s2]


La anterior ecuacin es terica puesto que en la prctica no se consigue cierre

instantneo ni total.

A lo largo de la tubera la sobrepresin se distribuye conforme a la Figura siguiente.

Figura 11.12. Distribucin de la sobrepresin mxima en cierre rpido.


Cierre lento o indirecto

Se puede aplicar la ecuacin de Michaud que considera la proporcin de la

velocidad con T/tc.

cgt

CVTh max

o, cc gt

LV

gt

C

LCV

h2

2

max

La sobrepresin mxima se distribuye a lo largo de la tubera de la siguiente forma:

cgt

CVTh max

Origen

L Extremidad

Figura 11.13. Distribucin de la sobrepresin mxima en cierre lento.


La frmula de Michaud tambin puede ser aplicada para la determinacin del tiempo de

cierre a ser adoptado para que no se sobrepase un valor de sobrepresin lmite

establecida. Esta frmula arroja valores superiores a los obtenidos experimentalmente.

Sin embargo, se sigue usando por su sencillez y por resultar segura en el diseo.


11.4 Celeridad de la onda de presin

La celeridad de propagacin de la onda de sobrepresin se puede calcular por medio de

la frmula de Allievi (1903, investigador francs) basada en la teora elstica:

ae

D

E

E

EC

v

v

1

/

C :celeridad o velocidad de propagacin de la onda de sobrepresin [m/s]

Ev :mdulo de elasticidad volumtrico del agua [Kgf/m2].

: densidad del fluido Kgf-s2/m

4.

E : mdulo de elasticidad de Young de la tubera [Kgf/m2].

D : dimetro interno del tubo

e : espesor de la pared del tubo

a : parmetro adimensional que describe el efecto de la velocidad de onda sobre el tubo

a = 1.0 - /2 para tuberas aseguradas solo en el extremo de aguas arriba y sin juntas de expansin.

a = 1.00 - para tuberas aseguradas a todo lo largo para prevenir movimiento axial y sin juntas de expansin.

a = 1.00 para tuberas aseguradas a todo lo largo con juntas de expansin para

permitir movimiento longitudinal.

: relacin de Poisson

El numerador de la frmula de Allievi, es la velocidad de la onda elstica en el fluido, el

cual en el caso de agua a 20 C se puede aproximar as:

1480

vE m/s

Para agua a 20 C y tuberas aseguradas a todo lo largo y con juntas de expansin para permitir movimiento longitudinal:

e

D

E

EC

v1

1480

La celeridad de la onda de sobrepresin es generalmente del orden de 1000 m/s pero

puede ser mayor o menor. Entre ms rgido sea el material, mayor es el valor del

mdulo de elasticidad E y mayor es el valor de la celeridad de la onda de sobrepresin y

viceversa. Para materiales muy rgidos, el mdulo de elasticidad tiende a infinito y el

valor de la celeridad tiende a ser igual a 1480 m/s. Para tuberas plsticas como PVC, la

celeridad puede ser sensiblemente ms baja, del orden de 300 m/s.


11.5 Golpe de ariete en sistemas en serie

Para el caso de un conducto con caractersticas variables, constituido por tramos con

longitudes L1, L2,... Ln, con reas A1, A2,... An, o con materiales diferentes se puede

considerar un conducto equivalente de caractersticas homogneas, las cuales se

calculan como un promedio ponderado de las caractersticas de los diferentes tramos,

como propone A. Ojeda, (1992).

11.5.1 Sobrepresin mxima

Cierre rpido

g

VCh ee max

Cierre lento

c

eee

t

T

g

VCh max

C e = celeridad equivalente de la onda de presin (m/s)

Ve = velocidad media equivalente en el conducto (m/s)

Te = tiempo equivalente de reflexin de la onda de sobrepresin o perodo de la tubera

(s)

tc = tiempo de cierre (s)

11.5.2 Velocidad media equivalente en el conducto

n

i

ii

n

i

ii

e

AL

VLQ

V

1

1

Li = longitud del tramo i

V i = velocidad media en el tramo i

A i = rea media del conducto en el tramo i

11.5.2 Celeridad o velocidad equivalente de propagacin de la onda de sobrepresin

n

i i

i

n

i

i

e

c

L

L

C

1

1

C i = Celeridad de la onda de sobrepresin en el tramo i

11.5.3 Tiempo de reflexin equivalente de la onda de sobrepresin o perodo de la tubera

e

n

i

i

eC

L

T 1

2


11.7 Dispositivos de alivio

Los dispositivos de alivio permiten controlar en forma adecuada o reducir los efectos

producidos por el golpe de ariete en un sistema hidrulico.

Para el diseo ptimo de un sistema hidrulico pueden instalarse uno o varios sistemas

de alivio los cuales estn en funcin de su efectividad y de la economa.

Los dispositivos de alivio ms comunes son:

o Vlvulas o Tanques de oscilacin o chimeneas de equilibrio o almenaras o Cmaras de aire o Tanques unidireccionales

11.7.1 Vlvulas

Vlvulas de control de caudales (parada, compuerta)

Permiten regular el caudal y realizar mantenimiento de la conduccin Se instalan a la entrada y salida de depsitos, en la derivacin de las lneas secundarias, en los puntos ms

elevados de las tuberas largas (para separar tramos) y en puntos estratgicos de las

conducciones.

Vlvulas de descarga (purga)

Se localizan en los puntos ms bajos de la tubera para permitir su evacuacin cuando sea

necesario limpiarlas o vaciarlas. La descarga se efecta en galeras, valles, arroyos, etc. pero se

debe evitar cualquier conexin peligrosa con alcantarillas. Como regla prctica se admite que el

dimetro de la descarga (d) sea mayor o igual que 1/6 el dimetro de la tubera (D). d 1/6 D. Vlvulas de expulsin y admisin de aire (ventosas)

Son piezas de funcionamiento automtico, colocadas en todos los puntos elevados, siempre que

la carga piezomtrica fuere reducida. En el caso de tuberas rgidas, se usan para expulsar el aire

existente en el interior mientras se llenan y a expulsar el aire acumulado en los puntos ms altos

durante el funcionamiento. En las tuberas flexibles (acero), tienen adems la posibilidad de

admitir el aire para evitar el colapso de las lneas cuando quedan sometidas a un vaco interno.

Funcionan bien cuando la presin en el interior del tubo sea mayor que la atmosfrica.

De acuerdo con reglas prcticas se recomiendan los siguientes dimetros:

Para admisin y expulsin de aire: d 1/8 D

Para expulsin de aire: d 1/12 D d: dimetro de la descarga

D: dimetro de la tubera

Los puntos de instalacin de vlvulas de admisin y expulsin del aire recomendados son:

7. En todos los puntos altos. 8. En todos los puntos de variacin de inclinacin en tramos ascendentes. 9. En todos los puntos de variacin de declive en tramos descendentes. 10. En puntos intermedios de tramos muy largos ya sean ascendentes, horizontales o

descendentes.

11. En puntos iniciales y finales de tramos horizontales. 12. En puntos iniciales y finales de tramos paralelos a la lnea piezomtrica.

Vlvulas cheque o de no retorno: permiten el flujo en una sola direccin

Vlvulas reguladoras de presin: se usan para mantener una presin constante en la

descarga aunque en la entrada varen el flujo o la presin. Regulan nicamente la

presin dinmica ms no la esttica.


Vlvula aliviadora de presin: disminuye la sobrepresin cuando se cierra una vlvula

de compuerta ubicada aguas abajo.

Vlvulas reductoras de presin: debido a su alta resistencia al flujo y por lo tanto a la

alta prdida de carga, disminuyen la presin dinmica. Producen en su interior una

prdida de carga cualquiera que sea la presin de entrada y el caudal.

La disposicin de las vlvulas ms comnmente usadas en una lnea de conduccin

se ilustra en la Figura 11.15.

Figura 11.14. Localizacin tpica de vlvulas. Mancelbo del Castillo, U. 1994.


11.7.2 Tanques de oscilacin, chimeneas de equilibrio o almenara

Un tanque de oscilacin es un dispositivo de alivio que permite reducir el efecto

producido por el golpe de ariete. Es comnmente empleado en plantas de bombeo y

estaciones hidroelctricas.

El objeto de la chimenea es recibir la sobrepresin causada por el cierre (o apertura) de

vlvulas o compuertas instaladas en una conduccin. La onda de sobrepresin penetra

en ella elevando el nivel de agua hasta una sobre-elevacin por encima del nivel

esttico.

Figura 11.15. Esquema de la instalacin para chimenea de equilibrio.


Pueden ser vertedores (altura < altura nivel mximo de agua en el tanque) o no

vertedores.

Existen los siguientes modelos:

o Tanque de tipo simple: consiste en un cilindro abierto en la parte superior que se une con el conducto en su parte inferior, (Ver Figura 11.16 a).

o Tanque con orificio diferencial: consiste en un tanque abierto en la parte superior que se une con un conducto en la parte inferior. En el intermedio tiene

un ensanchamiento llamado orificio diferencial o tambin puede ser una tubera

de unin, que produce prdidas de carga que son mayores cuando el agua entra

en el tanque que cuando sale de ste, (Ver Figura 11.16 b, c y d).


o Tanque diferencial o tipo Jhonson: est formado por un tanque principal donde se aloja un tubo central o tubo elevador, con orificios en su parte inferior, (Ver

Figura 11.16 e).

Funcionamiento de un tanque de oscilacin en una planta de bombeo

o Se presenta una falla mecnica en la bomba o se presenta una interrupcin en el suministro de energa.

o El nivel de agua en el tanque desciende. o Se produce una disminucin en la variacin del gasto en la tubera de descarga. o Cuando se invierte el flujo en la tubera y se cierra la vlvula de no retorno,

entonces el nivel del agua en el tanque comienza a subir.

o Disminucin de sobrepresin en la bomba y la tubera de descarga.

Ver Figura 11.17 a.

Funcionamiento de un tanque de oscilacin en una estacin hidroelctrica

o Se cierra totalmente el rgano de control. o El nivel de agua en el tanque de oscilacin aumenta en forma gradual. o Transformacin de energa cintica del agua en energa potencial. o Reduccin del golpe de ariete en el conducto.

Ver Figura 11.17 b.


Figura 11.16. Tanques de oscilacin. Mancelbo del Castillo, U. 1994.


Figura 11.17. Funcionamiento de un tanque de oscilacin.

Mancelbo del Castillo, U. 1994.


Requisitos para la operacin correcta de un tanque de oscilacin

o En cuanto a las dimensiones del tanque. En el caso de una estacin hidroelctrica, el tanque debe tener un rea transversal suficiente para que sea estable, y las

oscilaciones que se produzcan en el nivel del agua en el mismo, sean amortiguadas

en el tiempo en que dura la descarga.

o En cuanto a la ubicacin. Se debe situar el tanque de oscilacin lo ms cerca posible de la planta de bombeo o de la estacin hidroelctrica, considerando que el

efecto del golpe de ariete ser de una intensidad bastante grande en el tramo entre el

tanque y el rgano de control o tambin, entre el rgano de control y la vlvula de no

retorno.

o En cuanto a la altura del tanque. Debe tener un

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