data studio

IntroducciónEn estos tiempos, el uso de la computadora para realizar gráficas sobre datos recogidos de una observación, facilita el proceso de análisis; sin embargo, es importante que los alumnos domine las técnicas para escoger la más conveniente según los resultados buscados.

Con la ayuda principal de Data Studio, es el único software que necesitaremos para adquirir y manipular datos tomados, y de los interfaces a utilizar.

Con Data Studio podremos usar la interface y mostrar las mediciones en una cantidad de maneras diferentes, analizar los resultados con poderosas herramientas computacionales y aún redactar sus informes incluyendo los datos experimentales de manera automática.

Análisis De Una Experiencia Con Data Studio

Física

ObjetivosEl objeto de esta sesión es proporcionar las herramientas necesarias para obtener conclusiones respecto al comportamiento de los procesos bajo investigación, utilizando para ello herramientas de análisis computacional; se planea alcanzar los siguientes objetivos:

Verificar los resultados proporcionados por el software con modelos matemáticos conocidos y establecer diferencias.

Determinar las relaciones matemáticas entre las variables físicas que intervienen en un experimento.

Analizar usando el software DataStudio los resultados que se obtienen de mediciones y observaciones, para predecir comportamientos posteriores a la toma de datos, junto con la verificación de parámetros estadísticos.

Realizar mediciones con mayor grado de precisión. Manejar correctamente el Vernier para mediciones de longitud y profundidad.


Física

Análisis De Una Experiencia Con Data

Studio Funciones, tipos y representación

o TIPOS DE FUNCIONES:

Existen muchos tipos de funciones utilizadas para describir fenómenos, sin embargo nos centraremos en las tres más importantes:

FUNCION LINEAL: La función lineal tiene por ecuación f(x)=mx+b donde, m y b son números reales llamados pendiente (m) y ordenada al origen (b).

Pendiente: m=∆ y∆ x

FUNCION POTENCIAL: Es aquella en que la variable de pendiente esta relacionada con la variable independiente, mediante un potencia de esta. Muchas leyes en física trabaja con este tipo de funciones, cuya ecuación matemática es:

Y = kxn


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P(x) = x2

FUNCIÓN EXPONENCIAL: Es aquella en que la variable dependiente se relaciona exponencialmente con la variable independiente .La ecuación matemática que rige en esta función es:

y= kanx

Representación de funciones

Para representar una función existen tres métodos:


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El método analítico, consiste en representar la función mediante una formula o ecuación matemática El método de la tabulación, consiste en obtener valores numéricos de la función para ciertos valores del argumento, realizando luego de un proceso llamado tabulación (ordenar valores en una tabla).Método grafico, este método consisten representar una función por medio de la construcción de una grafica, para lo cual se puede usar un computados ó papel especial (milimetrado. Polar, logarítmico, etc.). Una grafica es la representación geométrica que permite visualizar el carácter de la variación de la función

o AJUSTE LINEAL (método de los mínimos cuadrados)

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.Formulación formal del problema bidimensional

Supóngase el conjunto de puntos (xk,yk), siendo . Sea fj(x), con

una base de m funciones linealmente independientes. Queremos

encontrar una función combinación lineal de las funciones base tal que

, esto es:

Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximación puede


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variar, pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. El error en un punto (xk,yk) se podría definir como:

En este caso se trata de medir y minimizar el error en el conjunto de la aproximación. En matemáticas, existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando éste se aplica a un conjunto de puntos (y no sólo a uno), a una función, etc. Dicho error podrá ser:

Error Máximo:

Error Medio:

Error Cuadrático Medio: La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio, o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:

Para alcanzar este objetivo, suponemos que la función f es de una forma particular que contenga algunos parámetros que necesitamos determinar. Por ejemplo,

supongamos que es cuadrática, lo que quiere decir que , donde no conocemos aún , y . Ahora buscamos los valores de , y que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (S):

Esto explica el nombre de mínimos cuadrados. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados, esto es, a x2, x y 1, se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximación. Dichas funciones base pueden ser cualesquiera funciones, y para ese caso se deduce a continuación la fórmula general en el caso de que la aproximación sea discreta y lineal.La aproximación de mínimos cuadrados es la mejor aproximación al conjunto de puntos (xk,yk), según el criterio del error cuadrático medio. Es posible generar otro tipo de aproximaciones si se toman los errores máximo o medio, pero la dificultad que entraña operar con ellos debido al valor absoluto de su expresión hace que apenas se usen.-Solución del problema de los mínimos cuadradosLa aproximación mínimo cuadrado tiene solución general para el caso de un problema de aproximación lineal en sus coeficientes cj cualesquiera sean las funciones base fj(x) antes expuestas. Por lineal se entiende f(x) es una combinación lineal de dichas funciones base. Para hallar la expresión de la fórmula general, es posible o bien minimizar el error cuadrático arriba expuesto, para lo cual se haría uso del cálculo


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multivariable (se trataría de un problema de optimización en cj), o alternativamente hacer uso del álgebra lineal en la llamada deducción geométrica. Para los Modelos estáticos uniecuacionales, el método de mínimos cuadrados no ha sido superado, a pesar de diversos intentos para ello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su género, es el que proporciona la mejor aproximación.Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal

Sean n pares con abscisas distintas, y sean m funciones cualesquiera

linealmente independientes , que se llamarán funciones base. Se desea encontrar una función f(x) combinación lineal de dichas funciones base, tomando por ello la forma:

.

Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes . En concreto, se desea que tal

función f(x) sea la mejor aproximación a los n pares empleando el criterio de mínimo error cuadrático medio de la función f(x) con respecto a los puntos

.El error cuadrático medio será para

tal caso:

Minimizar el error cuadrático medio es equivalente a minimizar el error cuadrático, definido como el radicando del error cuadrático medio, esto es:

Así, los cj que minimizan Ecm también minimizan Ec, y podrán ser calculados derivando e igualando a

cero este último:

Siendo i=1,2, . . .,m.Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incógnitas, que recibe el nombre de "Ecuaciones Normales de Gauss". Operando con ellas:


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Si se desarrolla el sumatorio, se visualiza la ecuación "i" del sistema de ecuaciones normales: .

En forma matricial, se obtiene que:

Siendo (a,b)d el producto escalar discreto, definido para dos funciones dadas h(x) y g(x) como:

,y para una función h(x) y vector cualquiera u, como:

La resolución de dicho sistema permite obtener,para el saber de ellos para cualquier base de funciones derivables localmente, la mejor aproximación mínimo cuadrática f(x) al conjunto de puntos antes mencionado. La solución es óptima –esto es, proporciona la mejor aproximación siguiendo el criterio de mínimo error cuadrático–, puesto que se obtiene al optimizar el problema.Deducción geométrica del problema discretoLa mejor aproximación deberá tender a interpolar la función de la que proviene el conjunto de pares (xk,yk), esto es, deberá tender a pasar exactamente por todos los puntos. Eso supone que se debería cumplir que:

Sustituyendo f(x) por su expresión:

Esto es, se tendría que verificar exactamente un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, pero como en general n>m, dicho sistema está sobredeterminado, no tiene solución general. De ahí surge la necesidad de aproximarlo.Dicho sistema podría expresarse en forma matricial como:


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Esto es:

La aproximación trata de hallar el vector c aproximante que mejor aproxime el sistema Ac = b.Con dicho vector c aproximante, es posible definir el vector residuo como:

De manera que el mínimo error cuadrático supone minimizar el residuo, definiendo su tamaño en base a la norma euclídea o usual del residuo, que equivale al error cuadrático:

Siendo (r,r)2 el producto interior o escalar del vector residuo sobre sí mismo.Si atendemos al sistema Ac = b, entonces se ve claramente que al multiplicar A y c, lo que se realiza es una combinación lineal de las columnas de A:

El problema de aproximación será hallar aquella combinación lineal de columnas de A lo más cercana posible al vector b. Se comprueba que el conjunto de las columnas de A engendran un Span lineal: span(A1,A2,...,Am), al que el vector b no tiene porqué pertenecer (si lo hiciera, el sistema Ac=b tendría solución).Entonces, de los infinitos vectores del span(A1,A2,...,Am) que son combinación lineal de los vectores de la base, se tratará de hallar el más cercano al vector b.De entre todos ellos, el que cumple esto con respecto a la norma euclídea es la proyección ortogonal del b sobre span(A1,A2,...,Am), y que por tanto hace que el tamaño del vector r, que será el vector que una los extremos de los vectores b y proyección ortogonal de b sobre el span, sea mínimo, esto es, que minimiza su norma euclídea.Es inmediato ver que si el residuo une b con su proyección ortogonal, entonces es a su vez ortogonal al span(A1,A2,...,Am), y a cada uno de los vectores de la base, esto es, ortogonal a cada columna de A.La condición de minimización del residuo será:

Esto solo es cierto si:

A su vez, cada una de las m condiciones de perpendicularidad se puede agrupar en una sola:

Sustituyendo el residuo por su expresión:


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Por tanto, la mejor aproximación mínimo cuadrada lineal para un conjunto de puntos discretos, sean cuales sean las funciones base, se obtiene al resolver el sistema cuadrado:

.A esta ecuación se le llama ecuación normal de Gauss, y es válida para cualquier conjunto de funciones base. Si estas son la unidad y la función x, entonces la aproximación se llama regresión lineal.Mínimos cuadrados y análisis de regresiónEn el análisis de regresión, se sustituye la relación

por

siendo el término de perturbación ε una variable aleatoria con media cero. Obśervese que estamos asumiendo que los valores x son exactos, y que todos los errores están en los valores y. De nuevo, distinguimos entre regresión lineal, en cuyo caso la función f es lineal para los parámetros a ser determinados (ej., f(x) = ax2 + bx + c), y regresión no lineal. Como antes, la regresión lineal es mucho más sencilla que la no lineal. (Es tentador pensar que la razón del nombre regresión lineal es que la gráfica de la función f(x) = ax + b es una línea. Ajustar una curva f(x) = ax2 + bx + c, estimando a, b y c por mínimos cuadrados es un ejemplo de regresión lineal porque el vector de estimadores mínimos cuadráticos de a, b y c es una transformación lineal del vector cuyos componentes son f(xi) + εi).Los parámetros (a, b y c en el ejemplo anterior) se estiman con frecuencia mediante mínimos cuadrados: se toman aquellos valores que minimicen la suma S. El teorema de Gauss-Márkov establece que los estimadores mínimos cuadráticos son óptimos en el sentido de que son los estimadores lineales insesgados de menor varianza, y por tanto de menor error cuadrático medio, si tomamos f(x) = ax + b estando a y b por determinar y con los términos de perturbación ε independientes y distribuidos idénticamente (véase el artículo si desea una explicación más detallada y con condiciones menos restrictivas sobre los términos de perturbación).La estimación de mínimos cuadrados para modelos lineales es notoria por su falta de robustez frente a valores atípicos (outliers). Si la distribución de los atípicos es asimétrica, los estimadores pueden estar sesgados. En presencia de cualquier valor atípico, los estimadores mínimos cuadráticos son ineficientes y pueden serlo en extremo. Si aparecen valores atípicos en los datos, son más apropiados los métodos de regresión robusta.DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

Número de dígitos utilizado para indicar qué tan precisa es una medición. El número de dígitos significativos depende de la exactitud del dispositivo de medición, es decir, la unidad de medida provista por ese dispositivo. Por ejemplo, 1.2300 significa que el verdadero valor está entre 1.22995 y 1.23005. Por lo tanto, 1.2300 tiene cinco dígitos significativos, en donde los ceros que siguen a la derecha del punto decimal son significativos.


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Sin embargo, los ceros que siguen a la izquierda del punto decimal pueden no ser significativos. El número 123,000 significa que el verdadero valor de la medición podría estar entre 122,500 y 123,500. Por lo tanto, 123,000 contiene sólo tres dígitos significativos. “El resultado de un cálculo no puede tener mas dígitos significativos que los que los que aparecen en cualquiera de los números empleados”

ERRORES EN LA MEDICIÓN. Al hacer mediciones, las lecturas que se obtienen nunca son exactamente iguales, aun cuando las efectúe la misma persona, sobre la misma pieza, con el mismo instrumento, el mismo método y en el mismo ambiente (repetibilidad). Los errores surgen debido a la imperfección de los sentidos, de los medios, de la observación, de las teorías que se aplican, de los aparatos de medición, de las condiciones ambientales y de otras causas.Medida del error: En una serie de lecturas sobre una misma dimensión constante, la inexactitud o incertidumbre es la diferencia entre los valores máximo y mínimo obtenidos. Incertidumbre = valor máximo - valor mínimoEl error absoluto es la diferencia entre el valor leído y el valor convencionalmente verdadero correspondiente. Error absoluto = valor leído - valor convencionalmente verdaderoEl error absoluto tiene las mismas unidades de la lectura. El error relativo es el error absoluto entre el valor convencionalmente verdadero. Error relativo = error absolutoY como el error absoluto es igual a la lectura menos el valor convencionalmente verdadero, entonces: Error relativo = valor leído -valor convencionalmente verdaderoCon frecuencia, el error relativo se expresa en porcentaje multiplicándolo por cien. Clasificación de errores en cuanto a su origen. Errores por el instrumento o equipo de medición: Las causas de errores atribuibles al instrumento, pueden deberse a defectos de fabricación (dado que es imposible construir aparatos perfectos). Estos pueden ser deformaciones, falta de linealidad, imperfecciones mecánicas, falta de paralelismo, etcétera.El error instrumental tiene valores máximos permisibles, establecidos en normas o información técnica de fabricantes de instrumentos, y puede determinarse mediante calibración. Errores del operador o por el modo de medición: Muchas de las causas del error aleatorio se deben al operador, por ejemplo: falta de agudeza visual, descuido, cansancio, alteraciones emocionales, etcétera. Para reducir este tipo de errores es necesario adiestrar al operador: Error por el uso de instrumentos no calibrados: instrumentos no calibrados o cuya fecha de calibración está vencida, así como instrumentos sospechosos de presentar alguna anormalidad en su funcionamiento no deben utilizarse para realizar mediciones hasta que no sean calibrados y autorizados para su uso.


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Error por la fuerza ejercida al efectuar mediciones: La fuerza ejercida al efectuar mediciones puede provocar deformaciones en la pieza por medir, el instrumento o ambos. Error por instrumento inadecuado: Antes de realizar cualquier medición es necesario determinar cuál es el instrumento o equipo de medición más adecuado para la aplicación de que se trate. Además de la fuerza de medición, deben tenerse presente otros factores tales como: - Cantidad de piezas por medir - Tipo de medición (externa, interna, altura, profundidad, etcétera.) - Tamaño de la pieza y exactitud deseada. Se recomienda que la razón de tolerancia de una pieza de trabajo a la resolución, legibilidad o valor de minima división de un instrumento sea de 10 a 1 para un caso ideal y de 5 a 1 en el peor de los casos. Si no es así la tolerancia se combina con el error de medición y por lo tanto un elemento bueno puede diagnosticarse como defectuoso y viceversa. Errores por puntos de apoyo: Especialmente en los instrumentos de gran longitud la manera como se apoya el instrumento provoca errores de lectura. En estos casos deben utilizarse puntos de apoyo especiales, como los puntos Airy o los puntos Bessel Errores por método de sujeción del instrumento: El método de sujeción del instrumento puede causar errores un indicador de carátula esta sujeto a una distancia muy grande del soporte y al hacer la medición, la fuerza ejercida provoca una desviación del brazo. La mayor parte del error se debe a la deflexión del brazo, no del soporte; para minizarlo se debe colocar siempre el eje de medición lo más cerca posible al eje del soporte. Error por distorsión: Gran parte de la inexactitud que causa la distorsión de un instrumentó puede evitarse manteniendo en mente la ley de Abbe: la máxima exactitud de medición es obtenida si el eje de medición es el mismo del eje del instrumento. Error de paralaje: Este error ocurre debido a la posición incorrecta del operador con respecto a la escala graduada del instrumento de medición, la cual está en un plano diferente El error de paralaje es más común de lo que se cree. Este defecto se corrige mirando perpendicularmente el plano de medición a partir del punto de lectura. Error de posición: Este error lo provoca la colocación incorrecta de las caras de medición de los instrumentos, con respecto de las piezas por medir. Error por desgaste: Los instrumentos de medición, como cualquier otro objeto, son susceptibles de desgaste, natural o provocado por el mal uso. Error por condiciones ambientales: Entre las causas de errores se encuentran las condiciones ambientales en que se hace la medición; entre las principales destacan la temperatura, la humedad, el polvo y las vibraciones o interferencias (ruido) electromagnéticas extrañas. 1. Humedad 2. Polvo 3. Tempereratura


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Todos los materiales que componen tanto las piezas por medir como los instrumentos de medición, están sujetos a variaciones longitudinales debido a cambios de temperatura. Para minimizar estos errores se estableció internacionalmente, desde 1932, como norma una temperature de 20″C para efectuar las mediciones. En general, al aumentar la temperature crecen las dimensiones de las piezas y cuando disminuye la temperature las dimensiones de las piezas se reducen.

MÉTODO EMPLEADO PARA EL CÁLCULO DE ERRORESEl método seguido básicamente podemos resumirlo en las siguientes líneas:1.- Conceptos previos: Incertidumbre Absoluta y Relativa. La incertidumbre es una expresión del margen de incerteza asociada a una medición. Si la incertidumbre estimada en la lectura de un voltímetro perfectamente calibrado es de ± 0.01 voltios, a esta cantidad se denomina incertidumbre absoluta de la lectura. La incertidumbre relativa es una expresión que compara la magnitud de la incertidumbre con la magnitud de la mediación que le corresponde. La incertidumbre relativa de una lectura de ± 0.01 voltios en un voltímetro es: La incertidumbre relativa porcentual (expresada como porcentaje) es simplemente: Incertidumbre relativa porcentual = 100 x incertidumbre relativa (2)2.- Propagación de la incertidumbreSuele ser posible estimar o medir el error aleatorio asociado a una medición particular, como la longitud de un objeto o la temperatura de una solución. La incertidumbre puede basarse en una estimación de la capacidad que se tiene para efectuar lecturas con un instrumento, o en la experiencia adquirida con un método particular. Cuando es posible, la incertidumbre se expresa habitualmente como la desviación estándar de una serie de mediciones repetida. La que sigue sólo se aplica a los errores aleatorios; se supone que cualquier error sistemático fue detectado escogido antes. En la mayoría de los experimentos es necesario efectuar operaciones aritmética con diversos números, cada uno de los cuales tiene un error aleatorio asociado. La incertidumbre más probable en el resultado no es simplemente la suma de los errores individuales, debido a que algunos de ellos son probablemente positivos, y otros, negativos. Puede esperarse que estos errores se cancelen en cierto grado. 2.1.- Adición y sustracciónSupongamos que se quiere efectuar el siguiente cálculo aritmético en el que las incertidumbres se indican entre paréntesis: El resultado aritmético es 3.06. Pero, ¿cuál es la incertidumbre asociada a este resultado?Llamemos a las tres incertidumbres e1, e2 y e3 respectivamente. Para la adición y la sustracción, la incertidumbre en el resultado se obtiene a partir de las incertidumbres absolutas de los términos individuales:Para la suma de la ecuación 3 es posible escribir: La incertidumbre absoluta asociada a la suma Estados ± 0.04, y el resultado puede expresarse como 3.06 ± 0.04. Aunque la incertidumbre sólo tiene una cifra significativa, se escribió inicialmente como 0.04, con la primera cifra no significativa como su índice. La razón de conservar una o más cifras no significativas estudios evitar


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errores de redondeado en cálculos ulteriores con el número 0.04 suburbio. La cifra no significativa se indica cómo suprimirse para no olvidara la posición de la última cifra significativa al concluir todos los cálculos.La incertidumbre relativa porcentual en la suma de la ecuación 3 es: Incertidumbre relativa porcentual = (0.041 / 3.06) x 100 = 1.3% (6)2.2.- Multiplicación y división En el caso de la multiplicación y la división, primero se convierten todas las incertidumbres en incertidumbres relativos puntuales (o bien en infernales relativos). Luego, el error del producto o el cociente se calcula como sigue: Consideremos por ejemplo las operaciones siguientes: Primero, todas las incertidumbres absolutas se convierten en incertidumbres relativas porcentuales:Luego se halla la incertidumbre relativa en el resultado mediante la ecuación 7.El resultado porcentual es 5.64 (ð 4%); y el error absoluto es 5.64 (± 0.023). Finalmente se descartan todas las cifras no significativas. El resultado puede expresarse como : 5.6 (± 0.2) ð (incertidumbre absoluta) 5.6 (ð 4%)ð (incertidumbre relativa) Sólo se tienen dos cifras significativas puesto que la limitante es el denominador,0.59, en el planteamiento inicial.

EL CALIBRADOR DE VERNIER :El calibrador de tipo vernier, también conocido como vernier o pie de rey, es un instrumento muy difundido en la industria, con él se miden características de longitud: exteriores, interiores o de profundidad. Esto lo hace un instrumento muy empleado para mediciones preliminares y, si las tolerancias lo permiten, para el control de ciertas longitudes.Para calibrar el calibrador tipo vernier, se emplean bloques patrón(BP), individuales o en conjuntos adheridos, con longitudes nominales tales que calibren tanto la escala principal como la escala vernier.

a) descripción del sistema de medición:el vernier consta de : una estructura soporte en forma de L, que cuenta en su lado mayor con superficies de guía donde desliza un cursor, este cuenta con puntas para mediciones externas e internas, y en él esta, además, el sistema de lectura, éste puede ser una escala vernier, un indicador de carátula o pantalla digital. Existen gran número de variaciones a este diseño, ofrecidas por los distintos fabricantes de instrumentos.


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b) el error ABBE:se considera que entre el cursor y la superficies guías existe un huelgo que permite deslizamiento y además un error, se supone un ajuste H7/g6(4) con un juego máximo de 36,3 µm, tal que conociendo la dimensión del cursor que apoya en la superficie guía (W) se puede estimar el error (E) sobre la línea de medición.


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Procedimientoso Procedimiento para configuración de equipos y accesorios.o Verificar la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a

encenderla.o Encender en computador (CPU y monitor).o Ingresar al software Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio.

PRIMERA ACTIVIDAD (ajuste lineal):

o Usando Data Studio con la actividad para edición de tablas, ingresar los datos de la tabla (2), obtenidos de la medición de la velocidad v (m/s) en función del tiempo t(s), para un móvil.


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o Digite los datos de la tabla (2) en el block de notas de Windows y guarde un archivo con el nombre de exper1.txt, en la carpeta mis documentos.

o Ingrese al software Data Studio y seleccione introducir datos, luego elija en el menú archivo la opción importar datos.

o Genere un gráfico para la tabla creada y elimine el grafico y la tabla vacía creada por defecto.o En la ventana resumen, active la opción para introducir los encabezados apropiados (para el x,

nombre de la variable = tiempo, para él y, nombre de la variable = velocidad; unidades x = s, y = m/s).

o En el formato para presentación de gráficos desactive la unión de puntos con líneas.


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Tiempo(s)

Velocidad(v)

0.000 1.0000.250 1.9000.500 1.8000.750 2.3501.000 2.3001.250 2.5001.500 2.5501.750 3.1502.000 2.7502.250 3.9002.500 3.3002.750 3.8203.000 3.4503.250 4.3103.500 3.9103.750 4.6354.000 3.8304.250 5.1404.500 4.9604.750 5.8505.000 5.1005.250 5.7005.500 5.9005.750 6.4306.000 6.0006.250 6.3506.500 6.7026.750 6.5887.000 7.6007.250 7.3007.500 7.4507.750 7.5557.800 8.6787.850 9.767

o Escoja del menú de ajustes el tipo más apropiado según la configuración de nube de puntos observada (en este caso lineal).

o Usando la ecuaciones dadas en clase verifique los resultados proporcionados por el sistema para la recta de regresión promedio (parámetro m y b).

o Analice los valores obtenidos y determine lo siguiente:

Valor de la velocidad inicial = Aceleración del móvil = Valor máximo y mínimo de velocidad = Desviación estándar en datos ingresados=

Datos Experimentados Datos de velocidad vs. Tiempo (PRIMERA ACTIVIDAD)


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Cálculos Y Resultados PRIMERA ACTIVIDAD:


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o Desactivada la unión de puntos:

o Ajuste lineal:


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Segunda Actividad


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ResultadosAnalizando los valores obtenidos y con ayuda de DATA STUDIO, determinamos lo siguiente:

Valor de la velocidad inicial = Aceleración del móvil = Valor máximo y mínimo de velocidad = Desviación estándar en datos ingresados=


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Cuestionario1.- ¿Es posible determinar la función que relaciona las variables “X” e ”Y” sin realizar un ajuste?

Si es posible calcular la ecuación que tiene la forma Y=mx + b por lo que es necesario solo hallar m y b a través del método de los mínimos cuadrados (primera, segunda recta de regresión y recta promedio de ajuste)

2.- ¿Es posible aplicar el método de mínimos cuadrados para ajustar polinomios?

Mínimos cuadrados es una técnica de Análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función


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que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimento involucra la medición de varios valores de dos diferentes variables físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Ud. mismo ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizado en forma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos, y es precisamente este tema el que trataremos en esta Sección. Le recomendamos nuevamente que, además del breve desarrollo incluido en este apunte, consulte la bibliografía recomendada por la Cátedra.

Probablemente, los experimentos más comunes del tipo descripto más arriba son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,

v = v0 + gt.

En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una relación lineal de la forma


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y = A + Bx,

onde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A + Bx. En la práctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:

Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, y sólo podemos esperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.

Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido que y y x están relacionadas


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linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, o ajuste de mínimos cuadrados para una recta.

La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de las incertezas, entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los puntos mismos. Este problema, relacionado con los conceptos de covarianza y correlación, no será tratado en esta Sección.

Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Para simplificar nuestra discusión, supondremos que sólo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta suposición es frecuentemente muy razonable, porque es común el caso en que las incertezas en una variable son muchos más grandes que en la otra. Supondremos además que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Esta suposición es también razonable en muchos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el análisis dándole un peso adecuado a las distintas mediciones).

Si conociéramos las constantes A y B, entonces, para cualquier valor xi podríamos calcular el verdadero valor yi que le corresponde:

(verdadero valor de yi) = A + B xi.

La desviación de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces como:

dyi = yi – (A + B xi).

Intuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones individuales d yi. Esto significa que el valor de los parámetros A y B estará dado por las siguientes dos condiciones:

A) [S(dyi)2] = -2 S (yi - A - B xi)2 = 0

B) [S(dyi)2] = -2 Sxi (yi - A - B xi)2 = 0.


Física

La resolución simultánea de estas ecuaciones resulta en las expresiones siguientes (demuéstrelo!):

A = ( Sxi2 Syi - Sxi Sxi yi )/D ,

B = ( N Sxi yi - Sxi Syi )/D

donde

D = N Sxi2 - (Sxi )2 .

Como vemos, la aplicación del criterio de minimización de la suma de los cuadrados de las desviaciones resulta en la obtención de resultados objetivos para los parámetros A y B. Además de que este criterio es intuitivamente razonable, se puede demostrar que si la medición de cada yi está gobernada por una distribución Gaussiana, entonces la mejor estimación de los parámetros A y B es aquella que minimiza la suma S(dyi)2.

La desviación estándard de la pendiente y la ordenada al origen se calculan en términos de la desviación estándard s y de la distribución de valores de dyi alrededor de la mejor recta (en el sentido de los cuadrados mínimos). Esta desviación estándard está dada por

sy = [S(dyi)2 / (N – 2)]1/2.

El factor (N – 2) obedece a razones que no demostraremos aquí, y que están ligadas al número de grados de libertad disponibles. (Para una justificación estadística más profunda refiérase a la bibliografía sugerida). Usando esta expresión para la incerteza de los valores medidos yi , podemos usar propagación de errores para escribir las incertezas en las cantidades A y B:

sA = sy (Sxi2 /D )1/2

sB = sy (N /D )1/2.

De esta forma, la aplicación del criterio de cuadrados mínimos nos ha permitido encontrar la mejor estimación de los parámetros A y B, así como también su incerteza. Es fácil demostrar que si por alguna razón tenemos motivos para suponer que la mejor recta debe pasar por el origen de coordenadas, o sea que es de la forma y = Bx, entonces la mejor estimación para la constante B es:

B = Sxi yi / Sxi2.


Física

La incerteza en B está dada en este caso por:

sB = sy / (Sxi2 )1/2 = [S(yi - Bxi)2 / (N – 1)]1/2 / (Sxi2)1/2.

3. ¿En qué consiste el procedimiento de linealización?

Debido a que la mayoría de herramientas para el análisis de sistemas y diseño de sistemas de control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disponer de métodos para linealizar modelos.

La linealización generalmente consiste en una expansión en series de Taylor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación de…nido naturalmente por el sistema o seleccionado arbitrariamente para satisfacer alguna necesidad de control.

La linealizacion es un procedimiento que permite aproximar un modelo no lineal, por otro que si lo es y que cumple pop r lo tanto las propiedades de los sistemas lineales, en particular el principio superposición. Esta aproximación no tiene validez universal sino únicamente en el entorno del punto de funcionamiento elegido, por lo que su aplicación esta indicara aquellos sistemas cuyas señales sufren pequeñas variaciones alrededor de sus valores de equilibrio.

Dada la función de una sola variable:

y=f (x )

Y un punto de funcionamiento definido por y0=f (x0) al desarrollar en serie de Taylor la función alrededor de dicho punto se obtiene:


Física

Donde K es la derivada de la función con respecto a la variable particularizada para el punto de funcionamiento elegido.

En la figura se ve la interpretación grafica de la linealizacion que consiste que consiste en llevar los ejes al punto de funcionamiento, sustituir la función y la variable por sus incrementos respecto a dicho punto, y sustituir la función por su tangente en dicho punto.

De esta grafica se deducen fácilmente las consecuencias más importantes del proceso de linealizacion:

El valor de la constante (la derivada) depende del punto de funcionamiento elegido, y, por lo tanto el modelo linealizado depende también de dicho punto.

La aproximación entre la curva original y la recta es tanto más exacta cuanto más cerca estemos del punto elegido, o, lo que es lo mismo, la linealizacion es válida en el entorno de un punto de funcionamiento.

Una vez linealizado el modelo, las variables originales se sustituyen por las variables incrementales respecto del punto de funcionamiento elegido.

En general:


Física

En el caso de que la función a linealizar dependa de n variables, bastara para desarrollar en serie, sustituir las derivadas por las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables.

Dada y=f (x1 ;x2 ;…; xn), que cumple y0=f (x10; x20 ;…; x30)

Desarrollando en serie y eliminando los términos de segundo orden, se obtiene:

4) Con los resultados obtenidos de la primera actividad calcule la velocidad del móvil luego de 1hora de iniciado su recorrido.

V= 0.857X3600+¿1.32

V=3086.52 m/s

5. Indique algún fenómeno natural cuyo comportamiento pueda ser descrito una ecuación exponencial.

Aplicaciones en acústica

El decibelio es la unidad de medida utilizada para el nivel de potencia y el nivel de intensidad del ruido

Se utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una escala aproximadamente logarítmica, no lineal. Por ello el belio (B) y su submúltiplo el decibelio (dB), resultan adecuados para


Física

V=mt+b

valorar la percepción de los sonidos por un oyente. Se define como la comparación o relación entre dos sonidos porque en los estudios sobre acústica fisiológica se vio que un oyente, al que se le hace escuchar un solo sonido, no puede dar una indicación fiable de su intensidad, mientras que, si se le hace escuchar dos sonidos diferentes, es capaz de distinguir la diferencia de intensidad.

Como el decibelio es una unidad relativa, para las aplicaciones acústicas, se ha tomado como convención, un umbral de audición de 0 dB equivalente a un sonido con una presión de 20 micropascales, algo así como un aumento de la presión atmosférica normal de 1/5.000.000.000. Aun así, el verdadero umbral de audición varía entre distintas personas y dentro de la misma persona, para distintas frecuencias. Se considera el umbral del dolor para el humano a partir de los 140 dB. Esta suele ser, aproximadamente, la medida máxima considerada en aplicaciones de acústica.

Para el cálculo de la sensación recibida por un oyente, a partir de las unidades físicas medibles de una fuente sonora, se define el nivel de potencia, LW, en decibelios, y para ello se relaciona la potencia de la fuente del sonido a estudiar con la potencia de otra fuente cuyo sonido esté en el umbral de audición, por la fórmula siguiente:

En donde W1 es la potencia a estudiar, en vatios (variable), W0 es el valor de referencia, igual a 10 − 12 vatios y log10 es el logaritmo en base 10 de la relación entre estas dos potencias. Este valor de referencia se aproxima al umbral de audición en el aire. Notar que si W1 es mayor que la potencia de referencia W0 de una antena ideal isotrópica el valor en decibelios es positivo. Y si W1 es menor que la referencia W0 el resultado es negativo. También observar que un aumento de 10 veces de la potencia W1 con respecto a la referencia significa un aumento de 10 dB. Y que al aumentar al doble la potencia W1 con respecto a W0 significa un aumento de 3 dB.

Las ondas de sonido- producen un aumento de presión en el aire, luego otra manera de medir físicamente el sonido es en unidades de presión (pascales). Y puede definirse el Nivel de presión, LP, que también se mide en decibelios.


Física

En donde P1 es la presión del sonido a estudiar, y P0 es el valor de referencia, que para

sonido en el aire es igual a Pa. Este valor de referencia se aproxima al umbral de audición en el aire.


Física

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