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WS 2016/17
Diskrete StrukturenKapitel 5: Algebraische Strukturen
(Endliche Körper)
Hans-Joachim Bungartz
Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Diskrete_Strukturen_-_Winter_16
Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 2Diskrete Strukturen – WS 2016/2017
H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)
Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper
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Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Ringe und Körper:
Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit
zweistelligen Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Ring,
falls gilt:
(1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe.
(2) 𝑆,⊙ ist ein Monoid.
(3) Die Distributivgesetze gelten:
• 𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐 ,
• 𝑏 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 = 𝑏⊙ 𝑎 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 .
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Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Ringe und Körper:
Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit zweistelligen
Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Körper, falls
(1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem
Element 0.
(2) 𝑆 ∖ 0 ,⊙ ist eine abelsche Gruppe.
(3) Das Linksdistributivgesetz gilt:
𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎 ⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐
(das Rechtsdistributivgesetz folgt aus den übrigen
Eigenschaften.)
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Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Ringe und Körper:
Beispiele:
• ⟨ℤ,+,∗⟩ ist Ring.
• ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist Ring für alle 𝑛 ≥ 1.
• ⟨ℚ,+,∗⟩ und ⟨ℝ,+,∗⟩ sind Körper.
• ⟨ℤ3, +3,∗3⟩ ist Körper.
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Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Ringe und Körper:
Beispiel: Ein Körper mit vier Elementen.
⊕ 0 1 𝑎 𝑏
0 0 1 𝑎 𝑏
1 1 0 𝑏 𝑎
𝑎 𝑎 𝑏 0 1
𝑏 𝑏 𝑎 1 0
⊗ 0 1 𝑎 𝑏
0 0 0 0 0
1 0 1 𝑎 𝑏
𝑎 0 𝑎 𝑏 1
𝑏 0 𝑏 1 𝑎
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• Zahlenkörper:
Satz: Für alle 𝑛 ≥ 2:
⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist ein Körper gdw. 𝑛 ist eine Primzahl.
Beweis: Für alle 𝑛 ≥ 2 erfüllt ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ alle
Eigenschaften eines Körpers bis auf die
Existenz von multiplikativen Inversen in
⟨ℤ𝑛 ∖ {0},∗𝑛⟩.
Diese existieren g.d.w. 𝑛 eine Primzahl ist.
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• Polynomkörper:
• Die Elemente des Körpers sind nicht
mehr Zahlen, sondern Polynome.
• Wir erweitern die Begriffe Summe,
Produkt, Division, Rest, Modulo und
Primzahl auf Polynome.
• Wir führen dann einen zweiten Satz über
die Existenz endlicher Körper ein.
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• Polynome:
Definition: Sei ⟨𝐾, +,⋅⟩ ein (kommutativer) Ring.
Ein Polynom über 𝐾 in der Variablen 𝑥 ist ein
Ausdruck der Gestalt
𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0,
wobei 𝑛 ∈ ℕ0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 und 𝑎𝑛 ≠ 0.
Der Grad des Polynoms ist 𝑛 und seine
Koeffizienten sind 𝑎0, … , 𝑎𝑛.
𝐾[𝑥] bezeichnet die Menge der Polynome über
dem Ring 𝐾 in der Variablen 𝑥.
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• Polynome:
Definition: Ein Polynom
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0induziert eine Funktion 𝑓𝑝: 𝐾 → 𝐾 definiert durch
𝑓𝑝(𝑏) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑏
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑏 + 𝑎0
für alle 𝑏 ∈ 𝐾.
Zwei Polynome sind gleich, wenn sie den gleichen
Grad und die gleichen Koeffizienten haben.
(Zu beachten: Verschiedene Polynome können
dieselbe Funktion induzieren.)
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• Polynome:
• In praktischen Anwendungen gilt 𝐾 = ℤ oder K =ℤ𝑛.
• 𝑝(𝑥) = 0 hat Grad −∞.
• Formal kann das Polynom
𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0auch mit der Folge (𝑎0, … , 𝑎𝑛) gleichgesetzt
werden.
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• Operationen auf Polynomen:
• Seien zwei Polynome gegeben:𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,𝑏 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0.
• Die Summe (𝑎 + 𝑏)(𝑥) ist das Polynom
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 + 𝑏0 .
• Die Differenz (𝑎 − 𝑏)(𝑥) ist das Polynom
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1 − 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 − 𝑏0 ,
wobei −𝑏𝑖 das inverse Element von 𝑏𝑖 bezüglich
der Summe (im Ring 𝐾) darstellt.
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• Operationen auf Polynomen:
Beispiele mit ℤ als Ring:
Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 7,
𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 3.
Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 6,
𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 2𝑥3 − 4.
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• Operationen auf Polynomen:
Beispiele mit ℤ6 als Ring:
Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1,
𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3.
Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 0,
𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 2𝑥3 + 2.
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• Operationen auf Polynomen:Das Produkt zweier Polynome
𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,
𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0
erhält man durch Ausmultiplizieren und anschließendes Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten, also
𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 𝑎0𝑏0 + 𝑎1𝑏0 + 𝑎0𝑏1 𝑥 +⋯
=
𝑖=0
𝑚+𝑛
𝑗=0
𝑖
𝑎𝑗𝑏𝑖−𝑗𝑥𝑖 .
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• Operationen auf Polynomen:
Beispiel mit ℤ6 als Ring:
Für 𝑎 𝑥 = 𝑥2+ 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2ergibt sich
𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 1 ⋅ 4 𝑥3 + 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 𝑥2 +
3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 𝑥 + 5 ⋅ 2= 4𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 4.
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• Polynomgrad bei diesen Operationen:
–Beispiel auf dem Ring 𝐾 = ℤ4:𝑎 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 3, 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.
–Summe von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥≤ max grad 𝑎 𝑥 , grad 𝑏 𝑥 .
–Produkt von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 ≤ grad 𝑎 𝑥 + grad 𝑏 𝑥 .Für Polynome auf Körpern gilt hier „=“.
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• Operationen auf Polynomen:
Die Polynomdivision ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen.
– Auch hier wird fortgesetzt jeweils der höchste Anteil des verbleibenden Polynoms eliminiert.
Für gegebene Polynome 𝑎, 𝑏 (𝑏 ≠ 0) mit Koeffizienten aus einem Ring wird hierbei die Gleichung
𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥)
gelöst, wobei grad(𝑟) < grad(𝑏).
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• Operationen auf Polynomen:
Beispiel:
4 3 2 2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
2 3 div 1 2 3
(2 2 2 )
2 3
( )
3 3
(3 3 3)
x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x
+ + + + - = - +
- + -
- + + +
- - - +
+
- + -
3 6x- +
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• Operationen auf Polynomen:
Satz: Zu je zwei Polynomen 𝑎(𝑥) und 𝑏(𝑥)(mit invertierbarem Leitkoeffizienten 𝑏𝑚) gibt
es eindeutig bestimmte Polynome 𝑞(𝑥) und
𝑟(𝑥), sodass 𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑟(𝑥)
und 𝑟 = 0 oder grad 𝑟 < grad(𝑏).
Beispiel:
Im vorhergehenden Schema war das
2𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 3= 2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 1 + −3𝑥 + 6 .
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• Operationen auf Polynomen:
Beweis: Gilt grad(𝑎) < grad(𝑏), setze 𝑞 = 0und 𝑟 = 𝑎. Sei also grad 𝑎 ≥ grad(𝑏).
Induktion über grad(𝑎):
Basis: grad(𝑎) = 0. Aus grad 𝑎 ≥ grad 𝑏folgt 𝑎(𝑥) = 𝑎0 und 𝑏 𝑥 = 𝑏0 mit
invertierbarem 𝑏0 (insbesondere 𝑏0 ≠ 0).
Wir können daher 𝑞(𝑥) = 𝑎0/𝑏0 und 𝑟(𝑥) = 0setzen.
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• Operationen auf Polynomen:
Beweis (Fort.):
Schritt: grad(𝑎) = 𝑛 > 0. Sei grad(𝑏) = 𝑚, 𝑚 ≤ 𝑛, und
𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑛 ≠ 0;
𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0, 𝑏𝑚 invertierbar.
Wir setzen
𝑐 𝑥 = 𝑎 𝑥 −𝑎𝑛
𝑏𝑚𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏(𝑥).
Dann gilt grad(𝑐) < grad(𝑎).
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• Operationen auf Polynomen:
Beweis (Fort.):
Nach Induktionsannahme gibt es 𝑞′(𝑥) und 𝑟′(𝑥)mit 𝑐 𝑥 = 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥) und 𝑟′(𝑥) = 0 oder
grad 𝑟′ < grad(𝑏).
Es gilt
𝑎 𝑥 = ( 𝑎𝑛 𝑏𝑚)𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)
= 𝑎𝑛 𝑏𝑚 𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)
=: 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥) .
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• Operationen auf Polynomen:
Beweis (Fort.): Zur Eindeutigkeit:
Seien 𝑞, 𝑟, 𝑞′, 𝑟′ mit 𝑞 ⋅ 𝑏 + 𝑟 = 𝑎 = 𝑞′ ⋅ 𝑏 + 𝑟′.
Es folgt 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 = 𝑟 − 𝑟´ .
Wenn 𝑞 ≠ 𝑞′, dann gilt:
• grad 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 ≥ grad 𝑏 ;
• grad 𝑟 − 𝑟′ ≤ max grad 𝑟 , grad 𝑟′ <grad(𝑏).
Widerspruch! Also gilt 𝑞 = 𝑞′ und daher 𝑟 = 𝑟′. □
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• Teilbarkeit und Modulorechnung auf
Polynomen:Definition:
–𝑎(𝑥) teilt 𝑏(𝑥), wenn es ein Polynom
𝑞 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gibt, sodass
𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑥 .
–𝑎(𝑥) ist kongruent zu 𝑏(𝑥) modulo 𝜋(𝑥), bezeichnet durch 𝑎 𝑥 ≡ 𝑏 𝑥 mod 𝜋(𝑥),wenn 𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) durch 𝜋(𝑥) teilbar ist.
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• Teilbarkeit und Modulorechnung auf
Polynomen:
Beispiel: Sei 𝐾 = ℤ3 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2+ 1.
Die möglichen Reste der Division durch 𝜋(𝑥)sind die Polynome mit Koeffizienten in ℤ3vom Grad 0 oder 1. Es gibt genau 9 davon:
0, 1, 2, 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 2𝑥, 2𝑥 + 1, 2𝑥 + 2 .
Es gilt z.B. 𝑥3+ 1 ≡ (2𝑥 + 1) mod 𝜋(𝑥).
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• Teilbarkeit und Modulorechnung auf Polynomen:Die Kongruenzrelation ≡ teilt 𝐾[𝑥] in Äquivalenzklassen:
𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 ∶= {𝑓 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 ∣ grad(𝑓) < grad(𝜋)}.
Wenn 𝐾 endlich ist, dann ist 𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 auch endlich. Es gilt dann:
𝑓 𝑥 +𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 ,
𝑓 𝑥 ⋅𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 .
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Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)
• Polynomkörper:
Es gilt: ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist Körper ⇔ 𝑛 ist Primzahl.
Wann ist ⟨𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 ⟩ ein Körper?
Satz (ohne Beweis): Ist 𝐾 ein endlicher Körper
und (𝑥) ein Polynom in 𝐾[𝑥]. Dann gilt:
⟨𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 ⟩ ist Körper
⇔
𝜋(𝑥) ist irreduzibel.
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• Polynomkörper:Definition: Ein Polynom 𝜋 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] mit
𝜋 𝑥 ≠ 0 heißt irreduzibel, falls für alle 𝑓(𝑥), 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gilt: Wenn 𝜋 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), dann grad 𝑓 = 0 oder grad 𝑔 = 0.
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• Polynomkörper:Beispiel 1: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2+ 𝑥 + 1.
ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.
Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:
+𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1
0 0 1 𝑥 𝑥 + 1
1 1 0 𝑥 + 1 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1
𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0
∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1
0 0 0 0 0
1 0 1 𝑥 𝑥 + 1
𝑥 0 𝑥 𝑥 + 1 1
𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 1 𝑥
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• Polynomkörper:Beispiel 2: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2 + 1.
ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:
+𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1
0 0 1 𝑥 𝑥 + 1
1 1 0 𝑥 + 1 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1
𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0
∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1
0 0 0 0 0
1 0 1 𝑥 𝑥 + 1
𝑥 0 𝑥 1 𝑥 + 1
𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 𝑥 + 1 0
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• Polynomkörper:Der Grund, warum ℤ2 𝑥 𝜋(𝑥) für 𝜋 𝑥 = 𝑥2 + 1
die Körpereigenschaften nicht erfüllt, ist der
folgende:
𝜋(𝑥) ist reduzibel über 𝐾 = ℤ2, d.h. 𝜋(𝑥) lässt
sich als Produkt zweier Polynome vom Grad
größer gleich 1 über ℤ2 schreiben:
𝜋 𝑥 = 𝑥2 + 1 = 𝑥 + 1 ⋅ 𝑥 + 1 .Dies ist für 𝑥2 + 𝑥 + 1 jedoch nicht der Fall.
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• Polynomkörper:
Satz: Sei 𝐾 ein Körper mit 𝑛 Elementen, und sei 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 , 𝑑 = grad 𝑔 ≥ 1.
Dann besitzt 𝐾[𝑥]𝑔 genau 𝑛𝑑 Elemente.
Satz: Zu jeder Primzahl 𝑝 und zu jeder natürlichen Zahl 𝑘 ≥ 1 gibt es einen endlichen Körper mit 𝑝𝑘 Elementen; dieser wird mit 𝐺𝐹(𝑝𝑘) bezeichnet. Notation: GF = Galois Field, nach Evariste Galois (1811–1832).
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Praktische Anwendungen in der Informatik:
• Arithmetische Operationen im Rechner
basieren auf diskreten und endlichen
Zahlsystemen.
• Algebraische Kurven und algebraische
Geometrie
• Kryptographie und Codierungstheorie
• Computeralgebra-Systeme