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mat

h-ph

] 20

Nov

200

7

Álgebra Fourvector

UnBSTRACT

El álgebra de fourvectors es descrito. La fourvectors son más apropiados que los cuaterniones de Hamilton para su uso en la física y las ciencias en general. La fourvectors abrazar las tres dimensiones de vectores en una forma natural. Se demuestra la excelente capacidad para realizar rotaciones con el uso de fourvectors, así como su uso en la relatividad para producir Lorentz aumenta, que son entendidas como las rotaciones simples.

Palabras clave: fourvectors, división de álgebra, rotaciones 3D, 4D-rotaciones

Contenido 3.5 Multiplicación escalar . . . . .  143.6 Unidad fourvector . . . . . . . .  14

1 Introducción  2 3.7  División Fourvector . . . . . .  14

1.1 General . . . . . . . . . . . .  2 3.8A la derecha de un factor fourvector .  14

1.2 Los cuaterniones de Hamilton .  5 3.9 Factor de fourvector izquierdo .  15

1.3 La Pauli cuaterniones . . .  6 3.10Solución de la ecuación cuadrática fourvec-

1.4  Matrices de Dirac . . . . . . . .  6  Polinomios tor . . . . . . . .  16

2 La fourvectors  7 4 Rotación Fourvector  172.1. Discusión . . . . . . . . . . .  8 4.1. Composición de rotaciones . . .  202.2 Complejo fourvectors . . . . .  9 4.2 Reflexiones . . . . . . . . . .  21

3 Álgebra Fourvector  10 5 Conclusiones  223.1 Producto con matrices . . .   12 3.2 La norma . . . . . . . . . .   13 3.3 Identidad fourvector . . . . . .   13 3.4 Inverso multiplicativo . . . . .   13 

1

1 Introducción Heaviside expresaba cuando escribió queHay mucho más que reflexionar  [set

1.1 General Quaternion ecuaciones arriba]. En principio, la mayoría deTodo hecho con el nuevo sistema de vec-

En este documento se sugiere el uso de Tor podría hacerse con cuaterniones, pero el

Fourvectors con el fin de reemplazar laLas operaciones necesarias para realizar los cuaterniones

Vectores 3D y los cuaterniones. PorqueSe comportan como vectores difficulty añadido al uso

La fourvectors contienen tridimensionales Y proporcionado poco beneficio para el physi-Vectores y puede ser considerado una formalización Cist."De ellos. "Gibbs era plenamente consciente de que quater-El descubrimiento de los cuaterniones es atribuido Métodos nionic figuran las más importantesEl matemático irlandés William Rowan Piezas de su vector métodos."  [32]

Hamilton en 1843 y han sido utilizados paraDespués de un acalorado debate, "en el año 1894

el debateEl estudio de las diversas áreas de la física, tales como Había sido resuelto en favor de la moderna

Mecánica, electromagnetismo, rotaciones yVectores"  [32].

La relatividad  [26]  [20],  [6], [2],  [23],  [13].  James Alejandro MacFarlane fue uno de losClerk Maxwell usó el quaternion tornasol Debatidores y parece haber sido uno de losEn su Tratado sobre Electricidad y Magnetismo,

Pocos en darse cuenta de que lo que el verdadero problema con

Publicó en 1873  [22]. un extenso bibliog- Los cuaterniones. "MacFarlane actitudRaphy de más de mil referencias Fue intermedio - entre la posición deAcerca de cuaterniones en física matemática Los defensores del sistema de Gibbs HeavisideHa sido compilado por Gsponer y Hurni Y que de la quaternionists. Apoya [14]. El uso del producto quaternionic completa

Los vectores modernos fueron descubiertos por De dos vectores, pero aceptó que  el

Los americanos entre Heaviside y Gibbs Parte de escalar este producto debe tener un

1888 y 1894. Su trabajo puede ser conside- Signo positivo. Según MacFarlane el

Ered una especie de combinación de cuaterniones y Ecuación j k = yo era un convenio QueIdeas desarrolladas alrededor de 1840 por el alemán

Debe ser interpretado de una forma geométrica,

Hermann Grassman. La notación fue pri- Pero  él no aceptó que implicaba el

Principalmente tomados de cuaterniones pero el Signo negativo Del  Producto escalar ".  [25]Interpretación geométrica fue tomada de (El énfasis es mío).El sistema de Grassman. Él atribuyó el problema incorrectamente a un

Por El final del siglo XIX. Cuestión secundaria y superficial de los repre-

Los matemáticos y físicos fueron vha Sentation de símbolos, en lugar de culpar aIng difficulty en la aplicación de los cuaterniones para La definición más profunda de los quater-

La física.Nion  producto.

"MacFarlane acreditado El

Ryan J. Wisnesky  [32] explica que "laControversia en relación con el signo de los escalares.

Difficulty era puramente pragmática, que Producto de la mezcla conceptual realizado por

2

Hamilton y Tait. Aclaró que el Ford. Según Gastón Casanova  [4] "Signo negativo provino del uso de la misma Fue el inglés Cliffque llevó a cabo el ord.Símbolo para representar tanto un quadrantal versor Ruta decisivo de abandonar toda la comu-Y  un vector unitario. Su opinión era Que Para los vectores tativity pero conservando su

Different símbolos se usan para representar aLa asociatividad". "Esta álgebra Absorbe el

Esasentidades erent di ff".  [25] (El énfasisCuaterniones de Hamilton, el Girard del complejo

Es mío). Cuaterniones, el producto cruzado y los com-Plex números, los números e hiperbólica

A comienzos del siglo veinte, Los dos números". [4].  También el

Hestenes'

La física enGeneral, y de la relatividad Teoría "Producto" geométrica conserva Asociatividad

En particular, no existía una adecuada  [18].En este sentido, La asociatividad De la

El formalismo matemático para representar laEl producto es finalmente abandonado en el fourvector

Nuevas cantidades físicas que estaban siendoÁlgebra propuesto en el presente documento. Este

Descubierto. Pero, a pesar del hecho de que todos Significa que el fourvectors no constituyenVariables físicas, tales como el espacio-tiempo, puntos Una Clifford álgebra  [2] geométrica o Alge-Velocidades, potencialidades, corrientes, etc., fueron rec- Bra  [1]. es una garantía effect del pro-

Ognized que debe ser representado con cuatroPlantea el álgebra, y constituye un indicio acerca de

Valores, los cuaterniones no estaban siendo utilizados El formulario debe manejar fourvectors, por

Para representar y manipularlos. EraEjemplo, una secuencia de rotaciones; además, el

Es necesario desarrollar algunos matemáticos nuevos

Los números complejos no se manejan como en el

Dispositivos para Manipular  esas variables. Ser-

Cuaterniones de Hamilton, donde el número real

Lados de vectores, otros sistemas como tensores, Se coloca en la parte escalar y el imaginario

Spinors, matrices y álgebra geométrica eranLa parte de vectores, sino todo un número complejo

Desarrollados o utilizados para manipular la Se puede poner en cada componente, por lo

física tanto, es posi-Las variables.

Sible para tener hasta cuatro números complejos enCada fourvector. Pero, lo que es más importan-

Durante el siglo veinte hemos ingenio- Tant, es sabido que en la mecánica cuántica,

Además nessed efforts para superar los diffi-Observables no forman un conjunto asociativo alge-

Cultades restante, con el desarrollo deBra, por lo tanto, este podría ser el álgebra para natural

Otras álgebras, que refunde varios de los La física.Ideas de Grassman, Hamilton y Cliffen ord. El álgebra propuesto podría haber sidoUn poco diffmarco erent. Un ejemplo en Ya desarrollados, Alrededor 1900, Bajo

Esta dirección es Hestenes' álgebra geométrica ElNombre de Quaternion hiperbólica, Que

En tres dimensiones y espacio tiempo álgebra Es un concepto matemático introducido porEn cuatro dimensiones.  [16], [17], [21], [8] [18] Alejandro MacFarlane de Chatham, Ontario.

La conmutatividad del producto fueLa idea fue despedido por su fracaso a la hora de

Abandonada en todos los cuaterniones anterior Se ajustan a la asociatividad de multiplicación,

Álgebras y en algunas, como la de Clif-Pero tiene un legado en espacio de Minkowski y

3

Como una extensión del "split-números complejos". Como los cuaterniones, es un espacio vectorial sobre los números reales de dimensión 4. No es sólo la mención a tales cuaterniones pero no hay referencias accesibles para confirmar si los cuaterniones satisfacer las mismas reglas algebraicas dadas en los siguientes para el fourvectors. Sin embargo, nuestra intención es convencer al lector que el que aquí se presenta es una de las más importantes herramientas matemáticas para la Física.

La representación fourvector es sin duda una teoría unificada en comparación a las clásicas representaciones de vectores o matrices.

El uso de fourvectors permite discernir las constantes, variables y relaciones, anteriormente desconocidas para la física, que son necesarios para completar y hacer coherente la teoría.

Los vectores han perdido terreno en favor de los cuaterniones de Hamilton, debido a la falta de una adecuada 4D-álgebra. Por ejemplo, Douglas Sweetser, quien ha trabajado extensamente en la aplicación de cuaterniones de Hamilton a muchos posibles áreas físicas, en general, con muy poco éxito, sostiene estas opiniones: "Hoy, cuaterniones son de interés para los historiadores de las matemáticas. Análisis vectorial realiza la rutina diaria de matemática que podía hacerse también con quater-nions. Personalmente creo que pueden existir caminos 4D en física que puede ser effisuficiente viajó solo por cuaterniones."  [29]

En realidad esos caminos 4D debe ser

recorrida sólo por fourvectors manejado correctamente. Ha sido un viejo sueño para expresar las leyes de

La física usando cuaterniones. Pero este intento se ha visto plagado de dificultades recurrentes por razones hasta ahora desconocidas para ambos physi-cistas y matemáticos. Los cuaterniones no han hecho más fácil para resolver problemas o simplificando las ecuaciones. Muy a menudo los cuaterniones de Hamilton requieren una extrema ha-bilidad de adivinar cuándo y dónde un quaternion necesita ser conjugado, con el fin de obtener algún resultado concreto.

Creo que esto se ha debido a un problema interno en el matemático estruc-tura de los cuaterniones de Hamilton, que intentaré mostrar en el presente documento. La corrección de este problema constituye un nuevo no conmutativa, no asociativa normed

estructura algebraica con la que es posible trabajar con fourvectors de una manera mejor con relación a la Hamilton, Pauli o cuaterniones Dirac, álgebra geométrica, el espacio-tiempo álgebra y otros formalismos.

En el presente documento, en particular, el autor expone la aplicación del fourvectors para 3D y 4D, rotaciones, que requiere una reformulación del Hamiltoniano de matemáticas.

El potente  paquete de R Mathematica incluye un paquete de álgebra estándar para la manipulación de los cuaterniones de Hamilton. He tomado de ese paquete el símbolo, como el doble asterisco, para representar el producto fourvector. Es fácil modificar el citado paquete para manejar la fourvectors, así como para permitir no sólo su numérica, pero también simbólica y compleja manipulación. Aunque aún no he sido capaz de figura

4

Una forma sencilla de reproducir el trigono- No conmutativa, tenemos en generalFunciones exponenciales y métricas para el Un**B  6= B**A, donde el doble aster-

Fourvectors (si es posible), con la queIsco representa quaternion multiplicación. Onu-

Paquete permite para calcular el Hamilton Der estas condiciones, quaternion multiplica-Cuaterniones. Ción es asociativo, de modo que (a**b)**C =

Un**(B**C) para tres cuaterniones A, BEn los siguientes tres párrafos, una cur- C.

Sory revisión está hecha de la Hamilton, Pauli La suma de dos cuaterniones esY Dirac cuaterniones para una fácil compari-Hijo con fourvectors. En la sección 2 la fourvec-

A + B = (a + b) + i(x + bx)+Tores son presentados. Sección 3 pueden ser leídas (6)Por el matemático, ya que es mayormente clasifi- J(unaño  + by ) + K(zz + b ), Álgebra de sic. Por último, en la sección 4 las fórmulas Y, utilizando las relaciones  (2) y  (3)- (5), -

prod.Necesitaba realizar rotaciones y reflexionesCon fourvectors es presentado. Uct está dada por:

1.2 Los cuaterniones de Hamilton Un ∗ ∗ B = (ab - axbx - ay by  -z bz )+

Cuaterniones son los "números" de cuatro dimensiones

Yo (abx Ax +b + ay bz  - az by )+ (7)

De esta forma  [31]: J (aby  - axbz  + ay b + bx z)+

K (ab  + z ax by  - ay bx +z b).A = a + i ax + j as  + k unaz , (1) La notación de vec- tridimensionalB = b + b i j b x +y  + k bz Tor proporcionar un análisis útil de taquigrafía

Donde la base Elements 1, i, j, k satisfacen los

Quaternion operaciones. Con respecto a i, j, k como

Vectores de la unidad en un sistema de coordenadas cartesianas,

Relaciones: Interpretamos el quaternion como compuesto2 2 2 Escalar la parte a y la parte vectorial

Yo = j = k = ij = k -1 (2) A = i ax  + j as  + K z . Entonces escribimos en

Y también:

 Un formulario simplificado = (, ). Con esta nota-

I j = -j i = k,Ción, la suma  (6) y el producto  (7) puede

(3) De forma más compacta se expresa como:

J k = -k j = i, (4) A + B =(a + b, a + b) (8)K i = -i k = j. (5)

Aquí 1 es la habitual unidad real; su productoUn ∗ ∗ B =(un b  - a · b,  b + b + a × b)Con i, j o k les deja inalterada.

Así, desde los productos de la base de elementos (9)

5

Donde las reglas habituales para suma vectorial y Para i ∈ {1, 2, 3, 4}.

Dot y productos cruzados se invocan.Según los matemáticos, el Los cuaterniones Pauli evidencia una differ-

Hamilton cuaterniones son matemáticos Ence con respecto a las clásicas HamiltonEstructuras que combinan las propiedades de com- Cuaterniones, siendo la necesidad de matrices,

 Números de plex y vectores.Que en algunos casos tienen unidades imaginarias i.

1.3 La Pauli cuaterniones La suma de dos Pauli cuaterniones es deDe la misma forma que la dada por el Hamil-

Las reglas de multiplicación Hamilton differ desde

Ton cuaterniones y su producto, utilizando  (10),

Las matrices de Pauli reglas sólo por la explícita Se convierte en:Apariencia del cuarto elemento.

La base de los elementos de la Pauli quaternion espacio son denotadas por s1,2,3,4.

Obedecer las siguientes reglas de multiplicación, comparable a  (2)- (5):

Un ∗ ∗ B =s4(ab - axbx - ay by -z bz )+ S1(abx + a + b x ay bz - az by )+ S2(aby - axbz + ay b + bx z )+ S3(ab + z axby - ay bx +z b).

(12)

S21 =22 s = s = 23 -24 = -1 s1 s2 = s2 s1 = s3

S3, s1 = -s1 s3 = s2 s2 s = 3 -s3, s2 = s1S4 SK  = sk s4  = sK, (k = 1, 2, 3, 4).

En una forma compacta, el producto de cuaterniones Pauli tiene exactamente la misma forma

 Los cuaterniones de Hamilton y, por lo

tanto, (10)

 tienen los mismos problemas como estos:

Un∗∗ B = (b - a·b, b + b a+ a×b) (13)

Estas reglas están satisfechos, en particular, porLa Pauli spin matrices (sólo las tres primeras  1.4Llevan este nombre porque σ4  sirve para formar el

Las matrices de Dirac debe satisfacer el Klein- Matriz de identidad)  [18], [20],  [3]  [10]:

Gordon ecuación, las relaciones siguientes deberían ser satisfechas por las matrices de Dirac  [33]:

Σ1 = _1 0_ , σ2 = _

  i -0 _

0 1 0 Yo Σ3 =_

0 -1_

, σ4 =_

0i _ (11)1 0 Y 0

Matrices de Dirac

o

Donde el "1"  (10) representa la matriz de

identidad, i la unidad imaginaria y si =   Σ - ii,

Αi αj  +j α αi  = 2δij ,Α + β βα ii  = 0, (i = 1, 2, 3) (14)2 α  = β2  = I

Yo

Donde I representa una  matriz N × N unidad.

6

Para 2 × 2 matrices, sólo tres anti-matrices trayecto existen (Pauli matri-ces). Así, la dimensión más pequeña permitida para las matrices de Dirac es N = 4. Si una matriz es diagonal, los otros no pueden ser diagonal o que se conmute con la diagonal ma-Trix. Podemos escribir una representación de Herminia herminia es una matriz (si es igual a la vacuna conjugada de su transposición), traceless traza (igual a cero), y tiene valores propios de ±1:

2 La fourvectors

Las cuatro dimensiones son fourvectors num-bers del formulario

A = e at + i ax + j as  + Kz (19)

O bien, suponiendo que el orden de la base de el-ements es el indicado, los elementos de base puede ser suprimido y incluido implícitamente en una notación similar a un vector o un punto 4D:

A = (t,x,y ,z ) (20).0 Σ

ΑI  = _σi 0i 

_ , (i = 1, 2, 3) (15). Cuando los elementos de la fourvector puede

Ser cualquier número entero, real, imaginario o complejas

Y _ _Los números.

Β =

Yo 0 (16)

0 -ILos cuatro elementos de base e, i, j, k satisfacen

los

Donde σi  son los 2 × 2 matrices de Pauli yRelaciones:

2 2 2 2

I es la  matriz de la unidad de 2 × 2. E = i = j = k = E = e i j k (21)

Finalmente, estamos listos para definir el Dirac's

Las siguientes reglas son satisfechas por la baseElementos:Matrices gamma de α  y β i:

Γ0  ≡ β, γi  ≡ β αi  (i = 1, 2, 3) (17)

Estas matrices satisfacen las relaciones:

E i = -i e = i, e j = -j e = j, k = e -k e = k,

(γ0)2  = 1, (γi)  = 2 -1, (18)

Y los cuatro matrices anticommute entre sí. Estas relaciones se compara-

I j = -j i = k,j K = -k j = i, k I = -i k = j. 

(22)

Ble a la base de Hamilton  (2)- (5) y Pauli base  (10), , salvo para el intercambio de sec-ondary importancia en la firma de las matrices, gamma (+, -, -, -), el sig-naturaleza satisfecha

por el Hamilton y Pauli bases: (-, +, +, +).

El grupo de relaciones  (22) da una im-portant mecanismo operacional para reducir cualquier combinación de dos o más índices en

la mayoría de uno.La "e i j k" caracterizan el producto

fourvector bases no conmutativa, pero

7

Lo que es más importante y dierent ff con respecto al anterior Hamilton y Pauli cuaterniones, así como a la Clifford álgebra (véase  [4], p. 5 axioma 3), el producto no siempre es asociativo. Por ejemplo, consideremos el producto de los siguientes cuatro símbolos "i e j k", en el orden dado; si con el uso de en  (22), primer lugar debemos reducir "e" -entonces me "-i j" a -k y finalmente " -k k" a -e obtenemos un resultado; pero, si queremos reducir los primeros dos elementos base intermedia e "j", luego "j i j k" y luego "k k" e, obtenemos el mismo resultado, pero con el signo cambiado.

Si queremos poner estas reglas en una tabla de multiplicación se ven de la siguiente manera:

2.1 Discusión 

Tait y Gibbs discutieron sobre la rela-tivo méritos del "producto vectorial quaternion" contra el "producto". Tait pareció adquirir una ligera ventaja señalando que quaternion productos son asociativas, mientras que la cruz no es el producto. Tait utilizó el siga-ing ejemplo para revelar la supuesta deficiencia de los vectores  [32]:

I × × j ( j) = 0 =6 (  j) i × × j = -i (23)

Tenga en cuenta que los cuatro-vector producto propuesto en la sección anterior, aunque no re-tivo, o precisamente por ello, da el resultado correcto para el problema a mano:

** EYo J K

E EYo J K

I × × j ( j) → i × e → -i

(  j) i × ×  × k j j → → -i(24)

Yo -i E K -j

J -j -k EYo

K -k J -i E

Supongamos que cada base es una unidad deffijo su número apropiado (como componentes de un tensor):

(e, i, j, k) → (p0, p1, p2, p3) = q,Entonces la multiplicación fourvector cumple la siguiente relación compacta, donde el símbolo χ tiene cierta similitud con el símbolo de Levi-Civita. Consulte para conocer  [27] el significado de ese símbolo.

La fourvectors tienen amplias aplicaciones que tenga abiertas en la electrodinámica y relatividad. El autor considera que el uso de la fourvectors, con la propuesta de álgebra, puede sustituir ventajosamente las matrices, vec-tores y tensores en la representación. Algunas de las ventajas previstas para los cuaterniones de Hamilton, álgebra geométrica y Space-Time Álgebra, que también se extiende a la fourvectors, son:

1. Puede expresar Fourvectors rotación como ro-tación sobre un ángulo de rotación del eje. Esta es una forma más natural de percibir rota-ción de los ángulos de Euler  [5]. 

Qtengoqk  = δik q0 + χikj qJ  i, j, k = 0, 1, 2, 3

2. No representación singular (en comparación

Con los ángulos de Euler, por ejemplo)

8

3. Más compacto (y más rápido) que el matri- bital mecánica, principalmente para representar rota-ces. Para el cálculo de las rotaciones, tions/orientaciones en tres dimensiones. La fourvectors offer la ventaja de requieran- los sistemas de control de actitud de la nave debe ser ing sólo 4 números de almacenamiento, comparados en términos de fourvectors ordenado, que con 9 números para ortogonal matri- debería también se utiliza para el telemetro su actual  [24]. composición de rotaciones ces re- actitud. La razón es que la combinación requiere 16 multiplicaciones y 12 operacio- muchas transformaciones fourvectors es más nu-ciones en representación fourvector, pero 27 merically estable que combinando muchos matrix multiplicaciones y 18 adiciones en ma- transformaciones. Trix ...La representación fourvector rep- Resentación es más inmune a accumu- 2.2 Complejo fourvectors Error de cálculo relacionados.  [24].

4. Cada fourvectorEs una fórmula Propo-

El Sólo Differencia conRespecto A la

Fourvectors ordinaria es que los elementos están

Sición esféricas (a veces Degrad- No puramente real, pero los números complejos.

Ing en avión), y tiene la trigonometríaEl Colección de

Todo el complejo fourvectors

Todas las ventajas de la simetría de la Formas

Un

Espacio vectorial de

Cuatro complejos

Método  [30]. Dimensiones u ocho dimensiones reales. Com-

5. Unidad fourvectors puede representar una rotación

Combinada con las operaciones de suma y

Multiplicación EsteFormularios de recogida Un no-

En el espacio 4D.Conmutativa Y No asociativa

El álgebra.

6.Fourvectors son importantes porque no hay difficulty en la obtención de la mul-su "actitud" Capacidad y nu- tiplicative inversa de un complejo fourvector, 

Ventajas merical en simulación y Cuando existe, dentro del álgebra fourvectorSe proponen a continuación. Sin embargo, existen complejasControl  [28].Dierent fourvectors ff desde cero cuya norma

Cuaterniones han sido utilizados a menudo en com- Es cero. Por lo tanto el complejo fourvectors

Ordenador (gráficos y geométricos asociados No constituyen un álgebra de división.Análisis) para representar las rotaciones y

orienta-Nes  de objetos en el espacio 3D. Este

quehaceresEs importante darse cuenta de que las relaciones

Ahora debe ser emprendida por el fourvec- Necesita la ecuación de Klein-Gordon  (14),

Tors, que son más naturales y más com-Son directamente satisfecha por la puramente real

Pacto de otras representaciones como ma-Fourvectors, mientras que las relaciones

Necesitaba

Trices, y operaciones sobre ellos como com- Por elEcuación de Dirac (18),  son

Satisfecho

Posición  puede calcularse más effisuficiente. Por el fourvectors constituido de imaginario

Fourvectors cuaterniones, como la anterior,Los componentes de la parte del vector.

Verá utiliza en teoría de control, señal pro-Ceso, control de actitud, física y o- Esto parece sugerir que hay dos

9

Different tipos de entidades físicas, aunque Cuyo  componente escalar es igual a cero).Estrechamente relacionada, que tienen respectivamente el Dividido por dos sirve para definir la  com-Real y las representaciones imaginarias. Este Mutator  (similar al vector Hamilton'sInsight aparece potencialmente útiles para la Física. Operador V ): (A - A)/2 = V UN

El conjugado complejo o herminia conju-

3 Álgebra FourvectorPuerta de un fourvector cambia los signos de la Partes imaginarias. Dada la compleja fourvec-

La  suma  de dos fourvectors es otroTor:

Fourvector donde cada componente tiene la A =e(t + ibt) + i(x + ibx)+Resumen del argumento correspondiente compo- J(unaño  + iby ) + K(z  + iby ) (28).Componentes: (10.15)

A + B =e(t + bt) + i(x + bx )+(25)

J(unaño  + by ) + K(z  + bz )

La differencia de dos fourvectors se define del mismo modo:

A - B = e(t - bt ) + i(x -x) b+(26)

J(ay   b -y ) + K(z  - bz ).

El conjugado de un fourvector cambia los signos de la parte vectorial:

A = eat - iax - jay  - Kaz (27)

(29)

Fourvec-A ∗ ∗ B =e(tbt + axbx + ay by  +z bz )+ 

i (tbx -xbt + ay b  - zz by )+ j (atby  - axbz  - ay bt +z bx )+ K(tbz  + axby  - ay bx -z bt).

(30)

A partir de este Definición

Ella Es obvio Que Utilizando la notación de tres-dimensional

ElResultado de Resumen Un Fourvector Con Análisis vectorial obtenemos un atajo para el

SuConjugado

Es UnFourvector Con Sólo

Producto. Con respecto a i, j, k como vectores unitarios en

ElComponente escalar

Dierent ff Desde Cero.

Un sistema de coordenadas cartesianas, interpretamos

Dividido por dos,Aísla los componentes

escalares La fourvector un escalar que comprende las unNent de fourvector Y Sirve para definir Y la parte de vector a = i ax  + j as  + Kz .

Entonces su conjugado complejo es:

Un∗ =e(t - ibt) + i(x -x ib )+ j(unaño - iby ) + K(z - iby )

Utilizando las relaciones  (21) y  (22), el producto tor está dada por:

El Operador

Denominado El Anticommutator

A continuación, escribimos en el formulario simplificado A =

(similar a los escalares. Operador de Hamilton (, ). Con esta notación, el producto  (30)

S  ): (A + A)/2 = SA.Del mismo modo, el

resultado Se expresa en la forma compacta:De restar el conjugado de un fourvector

Un ∗ ∗ B = (b + a ·b,  b - b + a ×b) (31)A partir de sí mismo es una pura fourvector (es decir, uno

10

Las siguientes propiedades del producto son fácilmente establecida:

1. Si el argumento tanto escalares fourvectors del producto son cero, entonces las fourvector resultante contiene los clásicos productos escalares y vectoriales en sus respectivos componentes. 

2. El producto no es conmutativo. Así que, en general, existen tales que P y Q P**Q =6 P**P. 

3. Multiplicación Fourvector no asociativo, en general, P**(Q**R) =6 (P**Q)**R Tenga en cuenta que esto es different desde los cuaterniones de Hamilton y el llamado cliord ff álgebras, véase, por ejemplo,  [1]. 

4. El producto de un fourvector por sí mismo en pro de-duces un resultado different desde cero solo en el primero o en el componente de "escalar", que se identifica como la norma de la fourvector. En este sentido, esto constituye el punto producto clásico de cálculo vectorial: 

Un ∗∗un = (2T +2x +2y + 2z , 0, 0, 0) (32)

Tenga en cuenta que esta expresión es sustancialmente dierent ff con respecto a los cuaterniones de Hamilton, en el que el cuadrado de un quaternion es dada por

2  = (T2 - V ·t v, 2v), (33).

Donde v representa el vector de tres términos del quaternion. No sólo el

 Componente escalar tiene términos con el signo cambiado, pero aparece un término distinto de cero en el vector de la quaternion. Esto ha sido una fuente de difficulty aplicar Hamilton cuaterniones en física, que es superado por los fourvectors.

5. La inversa de una fourvector multiplicativo es simplemente la misma fourvector dividido por su norma. 

6. Propiedades del producto y conju-gates: 

P ∗ ∗ ∗ ∗ Q Q = P (34)P ∗ ∗ ∗ ∗ R (Q) = R ∗ ∗ ∗ ∗ P (Q) (35).P ∗ ∗ ∗ ∗ (PQ) = P ∗ ∗ ∗ ∗Q (P)

(36)= |P| ∗ Q

(P ∗ ∗ ∗ ∗P Q) = (P ∗ ∗ ∗ ∗P Q)(37)

= |P| ∗ Q

Con un operador de notación: Los prod uctos fourvectors-dos es igual a la vacuna conjugada del mismo producto en orden inverso:**B = conjugado[B**A]

7. Para el caso que "r" es un rotor (un fourvector con |r| = 1) y a continuación: 

R ∗ ∗ ∗ ∗Q (r) = Q = r ∗ ∗ ∗ ∗Q (r) (r ∗ ∗ ∗ ∗r q) = Q = (r ∗ ∗ ∗ ∗r Q) (((( R) Q ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗r r)) * *r) = q (de lo contrario, si |r| no es igual a 1, los productos de este número es igual a Q o Q

multiplicado por |r|. 11

8. La fourvectors no contienen los números complejos, como suele demon- Strated para los cuaterniones de Hamilton. El producto de la fourvectors: (a, b, 0, 0) y (c, d, 0, 0)(ac+bd, ad-bc, 0, 0); asimismo, el producto de la fourvectors (a, i , 0, 0 b) y  d (c, i, 0, 0) es (AC-bd, me ad-bc, 0, 0), mientras que el producto como números complejos deben ser: (AC-bd, me ad+BC, 0, 0)

9. Dada la fourvectors A y B, el conmutador: 

Un**B y con el vector parte igual a cero.

11. Producto es distributiva sobre la izquierda suma:** (b + c) = a + b**a**c 

12. Producto adecuado distributiva sobre la suma: (a + b)**c = a + b c****c 

13. El producto de tres "puro" (fourvectors escalares definidas como aquéllas cuyos compo-nente es cero) puede expresarse con los siguientes productos: vector 

[A, B] =1 (Un ∗ ∗B - B ∗

∗Una) (38)2

=(0, b -b + a × b) (39)

Da un fourvector con cero escalares y vectoriales con la parte igual a la vec-tor parte del producto fourvector**B.

Para los curiosos, este conmutador satis-fies las propiedades de antisymmetry y linealidad. La identidad de Jacobi es satisfecho sólo por puro fourvectors.

10. Dado dos fourvectors, A y B, la anticommutator: 

Un ∗ ∗ ∗ ∗ c (b) =(a · b × c), a × b × c) - Un ∗ (b · c) )

Donde "·" y "×" son el estándar vector dot y productos cruzados y "*" representa el producto de los escalares (b · c) por el vector. La com-escalares ponent del resultado puede ser reconocido como el volumen del paralelepípedo tener bordes a, b y c. Por consiguiente, si los tres vectores a, b y c están en el mismo plano (o paralelo al mismo plano) entonces el componente de escalar el producto fourvector resultante es cero.

1

14. La siguiente identidad también está satisfecho:

<A, B> =( B + B ∗ ∗ ∗ ∗Una) (40)

(Un**b) ** (un**b) = (a**a) ** (b**b)2

= (a b + a · b, 0, 0, 0) (41) Producto 3.1 con matrices

Da un fourvector con los escalares escalares igual a la del producto fourvector

Dado dos fourvectors, p y q: p=(p0,p1,p2,p3),

12

Q=(p0,p1,p2,p3),Su producto puede obtenerse comoR=p**q

El mismo producto puede obtenerse multiplicar-ing la siguiente matriz P por el vector (4) Q:

P1

P0

P3

P2

Q1

P0

P1

P2

P3

Q0

R = -p2P

3-p0

P1

Q2

-p3 P2 P1-p0 Q3

- -La matriz tiene la propiedad P

P · PT = PT · P = I, donde t representa la transposición e I es la matriz de identidad. (más precisamente los elementos de la diagonal tienen la forma: p02+P12+P22+P32, que son iguales a 1 sólo si p es una unidad fourvector; otro, en la diagonal se obtiene la norma del p fourvector).

3.2 La norma La norma de un fourvector está definido por

(20 +21 +22 +23)(b20 b21 +22 + b + B23) = (0 + b 0 a1 B1 a2 b +2 +3+ 2 B 3 )

(a0 B1 -1 b0 +2 B3 -3 B2)2+ (un0 B2 -1 B3 -2 b0 +3 B1)2+ (un0 b3 +1 B2 -2 B1 -3 B0)2

(45)

3.3 Identidad fourvector 

La identidad fourvector, déjenos denotan con 1, tiene la parte escalar igual a 1 y el vector parte igual a cero: 1 = (1, 0, 0, 0).Tiene las siguientes propiedades, donde "P" es cualquier fourvector:

1**p = p

P**1 = pComo puede ver, esta es la identidad de izquierda. Es posible encontrar la identidad de un fourvec-tor, pero es un poco más complejo. Consulte la sección "Derecho de un factor fourvector".

|(at,x,y ,z )| = a2

t +2

x +2

y +2

z(42)  

3.4 inversa multiplicativa

Puede ser calculada como el componente del producto escalar de la fourvector por sí mismo. La norma satisface las propiedades

El inverso multiplicativo o simplemente inversa de una fourvector P es denotada por P-1.

La inversa de una fourvector P es el mismoFourvector dividido por su norma:

|A| = |A| (43)

P- 1  = P/|P| (46)|P ∗ ∗Q| = |Q ∗ ∗P =P | || | | Q *. (44)

La operación inversa cumple la correcta-Corbatas:

La última propiedad permite concluir la P**P-1=1Siguiente Formulario de cuatro plazas

teorema: P-1**P=1

13

(P-1): 1  = P(P ** Q)-1  = p1  ** -q-1

P- 1  = (P)-1

Conmutatividad de productos incluyendo inversas:P ** (P-1 ** q) = P-1 ** ** P (Q) (P- Q) 1 ** ** P = (P Q) ** ** P-1 

Q = P**(P-1  ** q) = P-1** **(P Q) Q = (P-1  ** Q)**P = (P ** Q)**P-1 

3.5 Multiplicación escalar 

Multiplicación escalar si c es un escalar, o un escalar fourvector y q=(, v) Un fourvector, entonces c q = (c, 0) ∗ ∗ q = (c, 0) ∗ ∗(a, v) = (ca + 0 · v, cv - 0 + 0 × V)Simplificando:C (a, v) = (ca, c v)

a = (cos(α), pecado(α), 0, 0) b = (cos(β), el pecado(β), 0, 0) 

Su producto es Un**b = (cos(β - α), pecado(β - α), 0, 0) Por lo tanto, si a = b, entonces el resultado

es la identidad fourvector fourvector.

La inversa de una unidad es la misma unidad fourvector fourvector. Esto es debido a que el producto de la fourvector por sí solo produce la cantidad fourvector iden, o la norma, igual a 1, en el componente de escalares.

3.7 División Fourvector 

La división fourvector se realiza multiplicando el "numerador fourvector", P, por el "denominador" fourvector, Q, dividido por la norma (o más bien multiplicando por el inverso del P Q):

3.6 Unidad fourvector 

Una unidad fourvector tiene la norma igual a 1. Se obtiene dividiendo la fourvector original por su magnitud o valor absoluto, que es la raíz cuadrada de la norma. El producto de dos fourvectors unidad es una unidad fourvector. Una unidad fourvector puede representarse con el uso de funciones trigonométricas

Wˆ = (± cos(α) ± uˆ pecado(α)

Donde uˆ es en general un vector 3D de la unidad de longitud.

El producto de dos unidades fourvectors: Asumir la unidad fourvectors a y b:

P ∗ ∗Q/|Q| = P ∗ ∗Q-1

Si p y q son paralelas "vectores" (puro o con fourvectors parte escalar igual a cero), entonces la división produce, en la parte escalar, la proporción entre ambos vectores. Para ex-amplia:P=(1, 2, 3, 4).Q=(3, 6, 9, 12).

P ∗ ∗Q/|Q| = (1/3, 0, 0, 0) 

3.8 A la derecha de un factor fourvector 

Intentemos resolver la siguiente ecuación para "X"

A == b ** X

14

Supongamos que A y B son constantes fourvectors y X es un desconocido fourvector

A=(a0,a1,a2,a3).B=(b0,b1,b2,b3).X=(x0,x1,x2,x3)

Donde los componentes pueden ser enteros, ra-cionales, reales o complejos.

La solución para X puede obtenerse con la expresión

Y se obtiene con la expresión

Y = Hprod[Un , B-1] (48)

Donde "Hprod" representa el producto para la clásica Hamilton cuaterniones o hierba-man producto.

Por ejemplo, para el mismo fourvectors A y B en el ejemplo anterior, apliquemos la ecuación  (48) y encontrar

X = B -1 ∗ ∗un (47)  S = ( 254 -  501  3950 ,   25 , 29 - i -19

25 + i   , 11 50 -1150   21

25 + i )

Por ejemplo, tratemos de determinar cuál es el valor de X debe ser a fin de satisfacer la ecuación A == B ** X, cuando

A=(7, 1, -3, 5)

B=(1, 3+i 5, 2, -1)

Según la ecuación de  (47) la solución es

X = ( -103  - i 2

5 , 109  - i 45 , 12

25  - i 5350 , 259  - i 21

50 )

La sustitución de esta solución en el producto B ** X puede verificarse que reproduzca el fourvector.

3.9 Factor de fourvector izquierdo 

En una forma similar, intentemos solucionar el fol-bramido ecuación, donde la desconocida "Y" es ahora un factor de izquierda de la constante fourvector B:

La sustitución de esta solución en el producto y ** B puede verificarse que reproduzca el fourvector.

Tenga en cuenta que la izquierda y la derecha de algunos factores tales como fourvector B son dierent ff, aunque ambos factores tienen la misma norma y satisfacer la igualdad:

X ∗ ∗ y-1  == x-1 ∗ ∗ Y

Ambos productos, B ** ** B X e Y son iguales a A.

La fórmula  (48) puede usarse para determinar la rotación única fourvector que produce el mismo effect como un rotor. No obstante, los resultados obtenidos son, en general, más complejo que un clásico del rotor. Sin embargo, si necesitamos la fourvector L, que produce la misma rotación del fourvector p como el rotor fourvector r, es decir:

L ∗ ∗ p = Girar[r], p = r ∗ ∗ ∗ ∗ p ( r)

A == y ** B Aplicando la ecuación  (48) que solucionamos a L:

15

L = Hprod[(p ∗ ∗ ∗ ∗ r r)], p-1]

Donde "Hprod" es el producto de Grassman.

3.10 Solución de la ecuación cuadrática polinomios fourvector 

Puede haber un número infinito de soluciones de un polinomio fourvector cuadrática. Con-sider la ecuación cuadrática

FourvectorsDesde aquí, las cuatro ecuaciones obtenidas,

equiparando los cuatro componentes, son:

1+Q0- Q1 2+2 q1+ q2+ q22+2= q3=0, -q0+q3==0,Q0+q3==0, -1-Q1-q2==0.

Este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones para los cuatro componentes de la fourvector:

Q2  == 1. √ √Q1 = (0 -1 - i/ 2, I/ 2, 0) (49)

Entonces, La fourvector q = (cos(x), √ √

2 -i/Sin(x),0,0), Donde x es cualquier número real esQ2 = (0, 1 + i/ 2, 0) (50)

Una colección de soluciones para esta ecuación porque la norma de q es 1:

Sustitución de q q 1 (o2) por su valor, en la siguiente expresión, que es la mano izquierdaLado de la ecuación dada, q**P+q**j, el

Por lo que la anterior elección para q cumple el valor devuelto es: (-1,0,0,1), ecuación q2 == 1 para todos los valores reales de x.

Cuando hay una solución de una ecuación cuadrática, que puede ser calculada como en el siguiente.Asumir un polinomio cuadrático de la siguiente forma:

Cual es el valor de la derecha.

Para una ecuación cuadrática comparables, pero ahora unffecting fourvector la "j" a la izquierda de "q" en lugar de a la derecha,

P**P+q**J==k

Donde:

Q=(p0,p1,p2,p3) es un desconocido y fourvector

J=(0,-1,1,0) y k=(-1,0,0,1) son constantes

** q q == 1

P**T + j**p==k

Las dos soluciones son:

Q1= (0 -i/√ √

2, 1/2(-2 + i,  2), 0) (51)

√ √

Q

2 = (0, i/ 2, 1/2(-2 - i 2), 0) (52)Que, sustituyendo en Q ** ** q q + j

16

Producir el valor: (-1,0,0,1)Fundación de la moderna orientación inercial sys-Tems en la industria aeroespacial para la orientación

Tenga en cuenta que el formulario fourvectors una división Tation o "actitud" de satélites y aeronaves.

Álgebra ya que tienen una multiplicativa (izquierda) Esta tarea se muestra en la siguienteElemento de identidad 16=0 y Cada no-cero Debe llevarse a cabo por fourvectors.

Muchas aplicaciones gráficas que necesitanUn elemento tiene un inverso multiplicativo (p. ej.Un elemento x con x = x = 1). Efectuar o interpolar las rotaciones de

Objetos en animaciones por ordenador también hanUtiliza cuaterniones porque Evitan El

4 Rotación Fourvector

Ffi dicultades incurridos cuando los ángulos de Euler sonUtilizado. La forma de sustituir por fourvectors esNo se realizan en el presente documento, si bien

Matemáticamente, una rotación es un trans- lineal  Debe ser perfectamente posible.Formación  que deja la norma invariante.Estos se denominan transformaciones ortogonales. El uso de matrices no es ni intuitivo para

La localización del eje de Rotación NiExisten varios métodos para representar Ffi eciente  de cómputo. Pero uno de El

Rotación, además de cuaterniones, Incluidos Las desventajas más importantes es el asso-Los ángulos de Euler, matrices ortonormal, Pauli Ciativity tanto de la matriz y Hamilton'sSpin matrices, parámetros y Cayley-Klein Quaternion productos donde, Por ejemplo,Extended Rodrigues parámetros. A · B · C) es igual a (A  ) · B · C. En realidad

Es bien sabido que la composición de

De las varias maneras de representar elLas rotaciones, cuando cualquiera de las matrices o Hamilton

La actitud de un cuerpo rígido uno de los más Cuaterniones  se utilizan, es asociativo. Este

Es un popular juego de TresLos ángulos de

Euler.Significa que estas herramientas matemáticas producen

Algunos conjuntos de los ángulos de Euler son tan ampliamente

El mismo resultado independientemente de la agrupación

Utilizados que tienen nombres como el En una secuencia de dos o más rotaciones. Este

Roll,  Pitchy  yawDe Un En avión. El Plantea un grave problema técnico a la

Principales Inconvenientes

De

Los ángulos de Euler Son Ingenieros que necesitan distinguir entre

Que determinadas funciones de los ángulos de Euler tienen Dos  secuencias de las mismas rotaciones. ALa ambigüedad o la singularidad de ciertos ángulos. Ilustrar con un ejemplo, supongamosEsto produce, por ejemplo, el llamado Que estás pilotando un avión con un local

"gimbal". Además, son menos precisosMarco de referencia cuyo origen está conectado

Unidad de cuaterniones cuando se utiliza para integrar En el centro del avión. Asumir que, Cambios incrementales de actitud a lo largo del tiempo  [7]. En un determinado instante, el eje "x", que es

Apuntando hacia la parte delantera del avión, es

El manejo de las rotaciones por medio de Según un observador horizontal en elCuaterniones ha constituido El Técnicos La masa, digamos dirigido hacia el norte

17

Polo, el eje "y" apunta a la derecha, que está apuntando hacia el este, y el eje "Z" apunta hacia el centro de la tierra. Si en estas condiciones se maniobra para producir un 90◦ roll (un cuarto de círculo en el sentido de las agujas del reloj la rotación sobre el eje x local) seguido por un 90◦ yaw (giro "a la derecha" alrededor del eje z) local el avión debería estar cayendo perpendicularmente a la tierra; pero si intercambiar el orden de estas rotaciones, que es la primera de la guiñada y luego el rollo, esto debería poner su avión en una línea horizontal hacia el este, aunque con el ala derecha apuntando hacia el centro de la tierra.

Para rotar un vector u alrededor de un vector Euler n a través de un ángulo θ, uno tiene que aplicar la siguiente ecuación (ver Fig. 2). 1 y referencias  [24], [28]):

V = n(n + ucosθ · u)(1 - cosθ) + (n × u)sinθ(53)

Las rotaciones en un espacio de cuatro dimensiones puede ser effected por medio de un par de cuaterniones aplicado, uno como prefactor, y el otro como postfactor, el quaternion u cuyo com-ponentes son las cuatro coordenadas de un punto del espacio, es decir v = u b". Esta frase se aplica directamente a fourvectors si "quaternion(s)" se sustituye por "fourvector(s)".En el caso de rotación pura, a y b debe ser de unidad fourvectors o la norma de su producto debe ser 1: |A|  B| | ∗ = 1.

De lo anterior se deduce que, a partir de la regla:

|Un ∗ ∗ b| = |A| B| | ∗, (54).

La multiplicación de los fourvector siendo ro-dijeron por fourvectors unitario a y b, effects una transformación ortogonal.Este formulario puede ser simplificado así en lugar de dos different fourvectors unitario se selecciona sólo uno, permítanos nombre r.

Una posible fourvector r que produce la rotación de cualquier fourvector V sobre un determinado eje "n", a través de un ángulo θ, tiene la forma  ([24],  [5],  [12] [15], [19], [9]):

R = (cos(

Θ Θ Θ Θ), nx  pecado(

), ny  pecado(

), nz  pecado(

)).2 2 2 2

(55).O simplemente

R = (cos(

Θ Θ), n pecado( )). (56)2 2

La rotación se realiza con las siguientes

Figura 1: Gráfico de una rotación Producto:

V' = r ∗ ∗ ∗ ∗ r (V) (57)Según Silberstein,  [26]: "Se ha observado

por Cayley, en fecha tan temprana como la de 1854, que

La rotación operando debe ser conjugados. Esto es dierent ff con respecto a la rotación

18

Usando cuaterniones de Hamilton  [26], donde la inversa o el conjugado del segundo rotor es necesaria.Fig. 2 muestra el vector V gira alrededor del vector unitario k, a través de un ángulo θ con rotor r. El operador de rotación es lineal. Ella

Qi ∗ ∗ qi = 1, y causar rotaciones sobre el  eje x:

Q1 = (±cos(α/2) ±pecado(α/2), 0, 0) (60)Q

2 = (±COSH(α/2) ±i sinh(α/2), 0, 0) (61)r R 

Q3  = ( Γ + 1 , i Γ - 1 , 0, 0) (62)2 2

Donde γ es el factor de contracción de Lorenz.

La rotación fourvector q3 fue obtenida mediante la transformación de la siguiente fourvector

(± γ, ± i β, γ 0, 0)De tal manera que se produce una rotación

de la mitad el ángulo hiperbólico, como con q2.

Permítanos multiplicar cualquiera de las anteriores por las siguientes fourvectors uno que repre-mandará un differential de intervalo:

Ds = (c dt,  dx,  dy, dz i i)

Figura 2: Ejemplo de rotación

Puede demostrarse que la rotación del producto o la suma de dos fourvectors s y t con el rotor r, es el mismo como, respectivamente, el producto o la suma de las rotaciones de cada fourvector:

Gire[s ∗ ∗ t,  gire ≡ R][s, r] * * Gire[t, r](58)

Girar la[s] r + t,  gire ≡[s] r + t, gire[r](59)

Nos permiten definir el siguiente ejemplo rotación fourvectors o rotores, cuya norma es

la unidad:

Los productos son de la forma:

Gire[ds, qi] = qyo ∗ ∗ (ds ∗ ∗ qi) (63)

Donde qi es la persona de la lista de arriba de la unidad fourvectors.Entonces, la norma del resultado es el cuadrado

de la differential de intervalo:Ds2  = c2  DT2  -2  -2 dx, dy  , dz2

Esto significa que cualquiera de estas trans-formaciones (rotaciones) conserva el intervalo invariante.

Pero primero la rotación de un verdadero fourvector un = (t,x, y ,z ) con el rotor q1 produce fórmulas clásicas para la rotación de un vector

19

Sobre el  eje x:

Gire[a, q1] = (t,x,Unay cos(α) - un pecado z(α), (64)Unz cos(α) + unay pecado(α)

La rotación opuesta puede hacerse utilizando como el inverso del rotor q1, que cambia el signo del ángulo α. Por ejemplo, si bajamos el último resultado con el conjugado, o la inversa de q1 , entonces el original fourvector a se recupera.

La rotación de la differential de intervalo con q2 ofrece el complejo fourvector:

Gire[ds, q2] = (c dt,  dx,Dz sinh(α) + i dy COSH(α), (65)

-dy sinh(α) + i dz COSH(α)Las rotaciones con q3  producir Lorentz

Aumenta. Apliquemos a DS:

Gire[ds, q3] = (CDT, me dx,

Yo γ (dy -  i β dz), (66).Yo γ (dz +  i β dy)

(at, unx cos(2α) - Unaño sin(2α),(67)

Unay cos(2α) + unax sin(2α),z )

4.1 Composición de rotaciones 

La rotación a través de un ángulo α, seguido por otro giro a través de un ángulo β es equivalente a una sola rotación a través de un ángulo α + β:

Supongamos, por ejemplo que las rotaciones son producidos por la aplicación de la siguiente ro-tores:

Roth1 = (COSH(α/2), i sinh(α/2), 0, 0) (68)Roth2 = (COSH(β/2), i sinh(β/2), 0, 0) (69)

Apliquemos estos rotores durante el fourvec-tor M=(a,b,c,d) con la operación:

M1 = Girar, Roth[M1] (70)

Seguida por la rotación siguiente:

M2 = Girar[M1, Roth2]

(71).

Si el fourvector girarse es la anterior a y el rotor es fourvector

R = (cos(α/2), 0, 0 sin(α/2))

Obtenemos el siguiente resultado:

(a, b,i c COSH(α + β) + d sinh(α + β), (72)

A continuación, el doble giro:

R ∗ ∗(r ∗ ∗ ∗ ∗ (r) ∗ ∗r)

Es igual a un solo giro a través de la doble ángulo 2α. El resultado es:

I d COSH(α + β) - c sinh(α + β)

Que es idéntico a la rotación producidos aplicando directamente sobre M el rotor:

Roth = cosh(Α + β ), me

sinh(Α + β

), 0, 0...

2 2(73).

20

4.2 Reflexiones 

Vamos a mostrar cómo la reflexión en un avión de la unidad con un normal se puede hacer (ver figura siguiente)

Figura 3: Reflexión

El vector normal, que define la dirección del avión, genera un reflejo del vector x si hacemos girar x alrededor del vector a través de un ángulo π radianes y luego cambiar cada signo de x (de lo contrario acabaremos con una flecha apuntando al mismo punto x). Esta rotación se hace mediante la fijación a π radianes el ángulo α de rotación de un rotor del formulario P1 de la sección 4, es decir,

Q[Cos[α/2],un pecado[α/2]].

Por consiguiente, el término coseno desaparece y el sine plazo pasa a ser igual a 1, con el que nos hemos quedado con el vector a solas, ya que el rotor.

El vector x, después de la reflexión, es: X' = -un ∗ ∗ ∗ ∗una (x)Para simplificar esta expresión, tengamos en

cuenta que la rotación a través de π radianes en sentido horario es el mismo que el de la rotación a través de π radianes

A la izquierda, para que pudiéramos incluir conju-tivas del vector. Además, la conjugación del vector x se puede cancelar con el neg-adores firmar y, al final, la ecuación es:

X' =**(x**a).

Como se sugirió en el final de la sección previ organizativas, las rotaciones pueden ser compuestas. De modo que, por solicitud múltiple de esta nueva fórmula de reflexión es posible calcular el vector x' que describe la dirección de emer-gencia de un rayo de luz se propaga inicialmente con la dirección x y reflejando off una secuencia de superficies planas con las normales de la unidad a1;2;. . . ;aN :

X' = aN **(...(2**((1**(x**1))**2)...unN )

Figura 4: Reflexiones

Hestenes [15] muestra otros AplicacionesPara las rotaciones y reflexiones, Por ejemploEn cristales. Nota que en su "álgebra geométrica" Hestenes necesita el signo negativo que no necesitamos.

21

5 Conclusiones

La estructura matemática de cuaterniones siempre ha sido considerado como más apro-piadas que las simples vectores que representan las variables físicas reales. No obstante, los cuaterniones fueron despedidos por elffi dicultades y complicaciones producidas por sus quaternion producto. Con el nuevo producto, sugeridos en el presente documento para fourvectors, todas las dicultades ffi desaparecen. Por supuesto, debe de haber un equilibrio delicado entre la correcta herramientas matemáticas y los objetos físicos reales estudiados y manipulados. Uno también tiene que ser consciente de que las matemáticas claramente unffects la ontología de la física  [11].

El álgebra fourvector propuesto en el presente documento parece ser la correcta herramienta matemática para el estudio de las variables fundamentales de la física y su descripción de equa-ciones.

Esta nueva estructura matemática es una extensión de la clásica de vectores. Su sim-plicity contribuye a la posibilidad de más amplia y provechosa de utilizar en todas las ramas de la ciencia.

Las aplicaciones de la Hamilton quater-nions para rotaciones en tres dimensiones, han sido las más extendidas en la física actual. Tales usos, así como reflexiones, todavía están permitidas por el fourvectors. Las aplicaciones de Lorentz impulsa tuvo problemas con el viejo cuaterniones, así esta área se abre para los científicos.

Referencias

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22

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