wilder ejercicios unidad 5
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República bolivariana de VenezuelaMinisterio del poder popular para educación superior
Instituto universitario de tecnologíaAntonio José de sucre
Barquisimeto
Ejercicios unidad 5
AlumnoWilder gallardo CI:24.668.002
1/ Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) f ( x )=x2−4 , g ( x )=x−4
y
y= x2 - 4
1 x
Y= x- 4
Interseccion : x2−4=X−4 → X 2−X=0
X ( X−1 )=0
X=0 ; X=1
A=∫0
1
( x−4 )−(x2¿−4)dx=∫0
1
X−4−x2+4 dx¿
A=∫0
1
X−X2 dx= x2
2− X3
3deo a 1
A=12
2−13
3−[ o2
2−o3
3 ]A=1
6U 2
b) y=x3 , y=4 x
X3=4 X
X3−4 X=0
X ( X ¿¿2−4)=0¿
X ( X+2 )(X−2)❑=0
X=0 ; X=2 ; X=−2
Y=x3 Y=4x
-2 2 Y=
Solución:
AT=2 A1
A1 →0≤ X ≤ 2; X3≤ Y ≤ 4 X
A1=∫0
2
4 X−X3 dx
Integrando
A1=4X2
2− X4
4 de 0 a 2
A1=2¿¿
AT=2∗4 u2; AT=8u2
c) x=12y
, x=0 , y=1 , y=e2
X=12Y
; X=0 ;Y =0 ;Y=e2
Y
X=12/y
y=e2
y=1
x
Tipo II
A=1≤ Y ≤ e2 ;0 ≤ X ≤12Y
A=∫1
e2
12y
dy=12 ln ⟨Y ⟩ de1ae2
A=12 [ ln e2−ln(1)]
A=12∗2
A=24 u2
d) f ( x )=tanx2
, eleje x y las rectas x=0 , x=12
π
A: Tipo I
0 ≤ X ≤π2
;0 ≤ Y ≤ tanX2
y y=tan(x/2)
x=π/2 x
A=∫0
π2
tanX2
dx ;Como∫ tan Kxdx= 1K
ln Sec K X+C
A= 112
ln|Sec12
x| de 0aπ2
A=2[ ln| 1
cosπ4 |−ln| 1
cos (0)|]A=2 ln| 1
√22 |=2 ln2=ln √2
2=ln (2 ) u2
2/ hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por
las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Solución
Método Disco
0 ≤ X ≤π4
;0 ≤ Y ≤ cos2 Y
y y=cos2x
x
π/4
V=π∫0
π4
¿¿¿
V= π2∫0
π4
❑dx+ π2∫
0
π4
cos 4 X dx= π2
X+ π2
sen 4 X4
de 0 aπ4
V=[ π2 ( π
4 )+ π8
sen 4π4 ]−[0+ π
8sen 0]= π2
8
b) x=4 y , x= 3√ y , alrededor de larecta x=8
Método Disco
y
1/8
-1/8
x=8
4 Y=3√Y
(4 Y )3=3√Y3
64 Y 3=Y
64 Y 3−Y=0
Y (64 Y 2−1 )=0 → (Y=0 ); (Y=−18 );(Y =1
8 )
V 1→−18
≤ Y ≤ 0 ;4 Y ≤ X ≤ 3√Y
V 1=π∫−18
0
( 3√Y −8)2−(4 Y−8 )2 dy
V 1=π∫−18
0
Y23−16 Y
13 +64−16 Y 2+64 Y −64 dy
V 1=π [ Y53
53
−16Y
43
43
−16Y 3
3+64
Y 2
2 ] de−18
a 0
V 1=π ¿
V1=¿ π [ 3
160+
34
−196
−12 ]= 31
120π ¿
V 2→0 ≤ Y ≤18
; 3√Y ≤ X ≤ 4Y
V 2=π∫0
18
(4Y −8 )2−( 3√Y−8)2dy
V 2=π∫0
18
16 Y 2−64 Y +64−Y23−16 Y
13−64 dy
V 2=π∫0
18
16 Y 2−64 Y −Y23−16 Y
13 dy
V 2=π [16Y 3
3−64
Y 2
2−Y
53
53
+16Y
43
43
] de0a18
V 2=π ¿
V2=¿ π [ 1
96−
12−
3160
+34 ]= 29
120π ¿
VT =¿ 31
120π+ 29
120π=π
2u2¿
c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la
elipse x2
a2 + y2
b2 =1
Capa Cilíndricas
Por Simetría
y
b
x
-a a
V T=2V 1
dondeV 1esta dado por
0 ≤ Y ≤ b ;0 ≤ X ≤ab
√b2−Y 2
Despejando X :
X2
a2 =1−Y 2
b2
X2=a2[ b2−Y 2
b2 ]X=√( a2
b2( b2−Y 2 ))=a
b√ (b2−Y 2)
V 1=2 π∫0
by∗a
b√b2−Y 2 dy=2
ab
π∫0
b
y√b2−Y 2dy
Cambio de Variable
u=b2−Y 2 ;du=−2 Y dy→−du2
=Ydy
SiY=b →u=0
SiY=0→ u=b2
V 1=2ab
π ( 12 )∫
b2
0
u12 du=¿−a
bπ [ u
32
32
]de b2 a 0¿
V 1=−ab
π∗23
¿
V T=2[ 23
ab2 π ]= 43
ab2 π
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.
y=4−x2 , eje x , al girar alrededor de larecta x=3
y
x
X=3
SiY=0 ;4−X2=0→ X 2=4 →√ X2=√4 →|X|=2→ ( X=−2 ); (X=2)
Radio R(X )=3−X M é todo decortezas Cilindrica
V=2 π∫a
b
R (X ) [F (X )−G( X )]dx
V=2 π∫−2
2
(3−X ) [(4−X2)−0 ] dx
V=2 π∫−2
2
(3−X )(4−X2)dx
V=2 π∫−2
2
12−3 X 2−4 X+X3 dx
V=2 π [12 X−3X3
3−4
X2
2+ X4
4 ]de−2 a2
V=2 π ¿
V=2 π [12−(−20)]
V=64 π u3
3/ Hallar la longitud de la curva dada
a) y= x3
6+ 1
2 x, desde x=1 hasta x=3
L=∫a
b
√1+F ' x2 dx
y
1 2 3
Derivando
y '=3 x2
6+1
2 (−1x2 )= x2
2− 1
2 x2=2 x4−2
4 x2
L=∫1
3
√1+( 2 x4−2
4 x2)
2
dx
L=∫1
3
√1+ 4 x8−8x4+4
16 x 4dx
L=∫1
3
√ 16 x4−4 x8−8 x4+4
16 x4dx
L=∫1
3 √4 x8+8 x4+44 x2 dx
L=∫1
3 √(2 x4+2)2
4 x2 dx=∫1
32x4+2
4 x2 dx
L=∫1
312
x2+12
x−2dx=12
x3
3+ 1
2x−1
−1de 1a 3
L=16
x3− 12 x
de1 a3
L=[ 16
33− 12(3) ]−[ 1
6−1
2 ]=143
b) y=lnsecx , desde x=0 , hasta x=π3
y=ln ¿¿
y
L=∫0
π3
√1+¿¿¿¿
L=∫0
π3 √1+[ 1
sec x∗( Sec x∗tgx )]
2
dx
L=∫0
π3
√1+tg2 x dx
L=∫0
π3
√ sec2 x dx
L=∫0
π3
sec2 x dx=ln|Sec x∗tgx|de oaπ3
L=ln| 1
cosπ3
+sen
π3
cosπ3|−ln| 1
cos0+ sen0
cos0|
L=ln| 112
+
√3212
|−ln(1)
L=ln ¿¿)
