1

Određivanje Centra gravitacionih sila između homogene materijalne lopte i materijalne tačke

Autor: Zoran M. Ilinčić

Gravitaciona sila privlačenja između dvije materijalne tačke definisana je Njutnovom formulom:

Fg=M mGL2

(1)

Ovdje su:

Fg – sila gravitacionog privlačenja između materijalnih tačaka mase M i mase m;

G – gravitaciona konstanta;

L – rastojanje između materijalnih tačaka mase M i mase m.

Iz formule (1) se jasno vidi da se gravitaciona sila Fg koja se javlja između dvije materijalne tačke mase M i mase m mijenja u funkciji kvadrata njihovog rastojanja L.

Računanje sila gravitacionog privlačenja Fg između materijalne homogene lopte prosječne specifične gustine g i mase M, prema materijalnoj tački mase m, u dosadašnjim proračunima je bilo svedeno na izračunavanje gravitacione sile privlačenja između dvije tačkaste mase, tj. između materijalne tačke koja se nalazi u centru forme materijalne homogene lopte i koja ima masu materijalne lopte M i materijalne tačke mase m na udaljenosti L od centra forme materijalne lopte M.

Sa pozicije veličine ukupne sile gravitacionog privlačenja između materijalne homogene lopte mase M i tačkaste mase m , koje su na međusobnom rastojanju L između centra forme homogene materijalne lopte mase M i materijalne tačke m , ovaj proračun je tačan.

Međutim, sa pozicije tačke iz koje djeluje rezultanta gravitacionih sila svih elementarnih masa koje čine homogenu materijalnu loptu mase M , a prema materijalnoj tački mase m , imajući u vidu oblik Njutnove formule (1), dosadašnji proračuni ne mogu biti tačni.

Proračun koji slijedi je egzaktan dokaz za predhodnu tvrdnju.

2

Kada se u koordinatnom sistemu Oxyz računa položaj težišta nekog tijela ukupne mase M, onda se, po poznatim formulama, traži težište skupa elementarnih materijalnih tačaka koje čine to tijelo.

U tim formulama se smatra da se masa M nalazi u homogenom gravitacionom polju, tj. da su ubrzanja gravitacionog polja ista i paralelna u svakoj tačci gdje se nalaze pojedine elementarne mase posmatranog materijalnog tijela M. Međutim, u realnom svijetu ne postoji homogeno gravitaciono polje, već je njegova vrednost u svakoj tački prostora različita, a i gravitaciono ubrzanje u različitim tačkama djeluje po smjerovima, koji po pravilu, nijesu paralelni.

U tom slučaju, koordinate Centra gravitacionih sila koje postoje između materijalnog tijela mase M i materijalne tačke mase m koja se nalazi u tački O koja je početak koordinatnog sistema Oxyz, ili negdje drugo, po analogiji sa jednačinama za određivanje težišta, trebale bi da se računaju po formulama u kojima se umjesto masa elementarne čestice koje čine masu M, pišu veličine gravitacionih sile između tih elementarnih čestica koje čine masu M i mase m koja se nalazi u koordinatnom početku ili negdje drugo.

Računajući na ovaj način, koordinate Težišta mase M i koordinate Centra gravitacionih sila mase M u odnosu na položaj mase m neće biti u istoj tački.

Takođe, prema opštoj elementarnoj definiciji, Centar sila bilo kog definisanog skupa sila koje djeluju po nekoj pravoj liniji je tačka u kojoj zbir svih projekcija vektora sila tog definisanog skupa na tu pravu liniju sa jedne strane Centra sila, treba da bude jednak zbiru svih projekcija vektora sila tog definisanog skupa na tu pravu liniju sa druge strane Centra sila.

Predhodni princip važi i kod određivanja tačke u kojoj se nalazi Centar gravitacionih sila.

Određivanje položaja Centra gravitacionih sila za Sistem elementarnih masa kojima taj Sistem djeluju na neku elementarnu tačkastu masu van tog sistema, je traženje tačke u kojoj bi se mogla smjestiti ukupna gravitaciona sila kojom taj Sistem djeluje na elementarnu tačkastu masu van tog sistema, pri čemu bi efekti djelovanja u oba slučaja bili isti.

Ako je Sistem elementarnih masa simetričan po tri ose, kao što je slučaj sa loptom, onda će Centar gravitacionih sila, kojima elementarne mase koje čine taj Sistem oblika homogene materijalne lopte mase M djeluju gravitacionim silama prema elementarnoj tačkastoj masi m koja se nalazi van lopte, biti na pravoj koja prolazi kroz Centar forme lopte i kroz tačkastu materijalnu masu m koja se nalazi van lopte i taj Centar gravitacionih sila će se nalaziti na rastojanju l od tačkaste mase m.

Na osnovu predhodno rečenog, veličina poluprečnika l, koji predstavlja rastojanje od mase m do Centra gravitacionih sila kojima homogena

3

materijalna lopta mase M i poluprečnika R djeluje prema tačkastoj masi m, može da se odredi iz uslova da vektorski zbir svih gravitacionih sila između elementarnih masa homogene materijalne lopte mase M koje se nalaze obuhvaćene sferom poluprečnika l i sferom poluprečnika R i tačkaste mase m, bude jednak vektorskom zbiru svih gravitacionih sila između tačkaste mase m i dijela elementarnih masa od ukupne mase M koje se nalaze u sferi poluprečnika R a izvan su sfere poluprečnika l.

Znači, ako loptu mase M podijelimo sferom poluprečnika l, onda ta dva dijela lopte treba da imaju istu veličinu zbira gravitacionih sila od njihovih elementarrnih masa prema tačkastoj masi m.

Očigledno je da je zapremine ta dva dijela homogene materijalne lopte mase M nijesu iste.

To je iz razloga što pojedinačne elementarne mase iz dijela zapremine lopte mase M koja se nalazi bliže tačkastoj masi m, imajući u vidu oblik formule (1), imaju pojedinačne gravitacione sile između tih elementarnih masa i tačkaste mase m veće nego što su pojedinačne gravitacione sile između tačkaste mase m i pojedinačnih elementarnih masa iz dijela zapremine lopte mase M koja se nalazi dalje od tačkaste mase m.

Simboli koji se nalaze na priloženoj slici 1. i u tekstu predstavljaju:

L – rastojanje između centra forme homogene materijalne lopte mase M i tačkaste mase m;

R – poluprečnik homogene materijalne lopte mase M;

I – tačka iz koje djeluje rezultanta gravitacionih sila homogene materijalne lopte mase M prema materijalnoj tačci mase m;

l – rastojanje između tačke I i tačkaste mase m;

S – rastojanje između tačke I i centra homogene materijalne lopte O;

r – poluprečnik sfere sa centrom u materijalnoj tački m, pri čemu se r kreće u granicama; r e (L - R; L + R);

h – rastojanje tankog materijalnog diska mase md od materijalne tačke m, pri čemu se h kreće u granicama (L – R; r);

g – specifična gustina materijalne lopte;

V – dio mase homogene materijalne lopte M koji se nalazi između sfere poluprečnika R i sfere poluprečnika r.

4

Slika 1.

Položaj tačke I, iz koje djeluje rezultanta gravitacionih sila Fg od svih elementarnih masa dm homogene materijalne lopte ukupne mase M, prema materijalnoj tačci m, koja se nalazi izvan materijalne lopte M, imajući u vidu simetričan oblik homogene materijalne lopte M, dobićemo tako što ćemo izračunati za koju veličinu poluprečnika r, gravitaciona sila Fgv mase obuhvaćene zapreminom V, koja djeluje prema materijalnoj tačci m, ima vrijednost polovine ukupne gravitacione sile privlačenja Fg između homogene materijalne lopte mase M i materijalne tačke mase m.

5

Gravitacionu silu Fgv, kojom se privlače materijalna tačka mase m i dio mase M homogene materijalne lopte koji se nalazi u zapremini V, tj, dio mase homogene materijalne lopte M koji se nalazi između sfere poluprečnika R i sfere poluprečnika r (šrafirani dio mase M na slici 1.), dobićemo na način kako slijedi.

Tako odabranu zapreminu V podijeliti ćemo na dva dijela sa ravni p koja prolazi kroz presjek sfera poluprečnika R i poluprečnika r.

Prema elementima sa slike 1. proizilazi da je;

b= r2−(L−R )²2 L

(2)

Iz zapremine V izdvojimo tanki materijalni disk poluprečnika ro čija je masa md, a koji se nalazi na rastojanju h od matarijalne tačke m, pa zatim iz tog materijalnog diska izdvojimo prsten poluprečnika ρ i mase mp.

Sila gravitacionog privlačenja između tog tankog prstena mase mp i tačkaste mase m je:

F p=Gm1

ρ2+h2. h

(ρ2+h2)12

m p (3)

Sila gravitacionog privlačenja između tankog materijalnog diska mase md i materijalne tačke mase m je:

Fd=−∫0

r 0

F p (4)

Kako je:

m p=2mdr0 ²

ρdρ (5)

to je:

Fd=−Gmmdhr0 ²

∫0

r0 2 ρ dρ

(ρ2+h2 )32 (6)

6

Poslije integraljenja dobijamo:

Fd=−2Gmmdr02 [1− h

(r02+h2 )12 ] (7)

Gravitaciona sila Fgv je:

Fgv=∫L−R

r

Fd (8)

Prema detaljima na slici 1. slijede formule:

r02=R2−(L−h )2 za he (L−R ;r−b)

r02=r2−h2 za he (r−b;r )

Masa diska md je:

md=r0 ²π gdh (9)

Rešavanjem integrala (8) dobijamo formulu:

Fgv=2Gmg π [ ∫L−Rr−b

hdh

(R2−L2+2hL)12

+∫r−b

rhdhr

− ∫L−R

r

dh] (10)

Slijedi:

Fgv=2Gmg π { R33 L2+ r R22L2+ r2+

[R2− (L−r )2 ]2

8 rL2− r3

6 L2−L3−R2− (L−r )2

2L }(11)

Jednačina (11) je ključna jednačina ovog proračuna i ona pokazuje kako se sa promjenom veličine poluprečnika r mijenja vrijednost F gv.

U slučaju kada je r = L – R, tada je veličina:

Fgv = 0.

7

U slučaju kada je r = L, tada se jednačina (11) svodi na oblik:

Fgv=GmgπR3

L2 (23 + R4 L ) (12)

U slučaju kada je r = L + R, tada se jednačina (11) svodi na jednačinu (1).

Iz formule (12) se vidi da je gravitaciona sila privlačenja FgV između materijalne tačke m i mase koja se nalazi u zapremini V, koja je dio homogene materijalne lopte M obuhvaćen sferom poluprečnika L i sferom poluprečnika R, veća od polovine gravitacione sile privlačenja ukupne mase homogene materijalne lopte M i mase m za veličinu:

Fgvl=Gmg πR3

L2 ( R4 L ) (13)

Za istu veličinu je gravitaciona sila privlačenja Fgv između materijalne tačke m i mase koja se nalazi u zapremini koja je dio homogene materijalne lopte M obuhvaćen sferom poluprečnika R, a van je sfere poluprečnika L, manja od polovine gravitacione sile privlačenja ukupne mase homogene materijalne lopte M i mase m.

To znači da rezultanta gravitacionih sila Fg cijele mase M prema tačkastoj masi m ne djeluje iz centra lopte O, već iz neke tačke I koja se nalazi na pravoj koja prolazi kroz materijalnu tačku m i tačku O, a tačka I se nalazi na nekom rastojanju l od tačkaste mase m, pri čemu je l manje od L za veličinu S.

Ako računamo po formuli (11) koliko treba da bude radijus l da bi veličina gravitacionog privlačenja Fgv između dijela homogene materijalne lopte mase M i poluprečnika R, koji dio te lopte se nalazi unutar sfere radijusa R i unutar sfere radijusa l koji polazi iz materijalne tačke m koja se nalazi na površini te lopte, i te materijalne tačke mase m, dobiti ćemo da za taj slučaj treba da bude:

l = 0,695 R

Ako uzmemo da po formuli (12) izračunamo kolika je veličina gravitacionog privlačenja između dijela homogene materijalne lopte mase M i poluprečnika R koji se nalazi unutar sfere radijusa veličine R koji polazi iz materijalne tačke m, i materijalne tačke mase m, koja se nalazi na površini te lopte, dobićemo da njihove međusobne gravitacione sile koje potiču od tog dijela lopte i materijalne tačke m, iznose 68,7 % ukupnih gravitacionih sila između mase M i mase m, tj.

FgvR = 0,687 Fg

8

Predhodni proračuni jasno kažu da Centar gravitacionih sila od homogene materijalne lopte mase M prema tačkastoj masi m ni u kom slučaju ne može biti u centru forme mase M ( slika 2.).

Slika 2.

Koristeći formulu (11) možemo izračunati veličinu l, a samim tim i položaj tačke I, tako što ćemo za poznato L i poznato R, vrijednost Fgv po formuli (11) za

r = l

izjednačiti sa vrijednošću polovine ukupne gravitacione sile privlačenja Fg između mase M i mase m date formulom (1).

Fgv=F g2

(14)Veličina l nije konstanta za datu homogenu materijalnu loptu M i datu materijalnu tačku m, već se njena veličina mijenja sa promjenom rastojanja L između centra forme mase M i mase m.

Predhodni proračun objašnjava razloge za primijećena neslaganja između niza izmjerenih podataka i računski dobijenih veličina po dosadašnjim metodama proračuna kod putanja satelita, rastojanja dvojnih zvijezda i drugih sličnih problema u astrofizici.

Centar gravitacije sistema Zemlja – Mjesec

9

Kao najizrazitiji primjer za potvrdu navoda iz predhodnog stava može se navesti sledeće:

- NASA je objavila da je na osnovu njihovih mjerenja utvrđeno da je centar mase Mjeseca pomjeren iz centra forme Mjeseca za oko 2 km u pravcu Zemlje (slika 3).

Pri tom, ni NASA, ni neko drugi, nije do sada dao adekvatno objašnjenje za tu pojavu.

Kao moguće objašnjenje data je hipoteza da je to posledica neravnomjernog rasporeda masa po zapremini Mjeseca.

Po klasičnoj teoriji bi bilo sledeće: Ako materijalnu tačku mase M i materijalnu tačku mase m posmatramo kao izolovani sistem u kom je masa M nepokretna a masa m kruži oko mase M konstantnom brzinom Ѵ, na rastojanju L od mase M, onda, da bi to kruženje bilo stabilno, potrebno je da gravitaciona sila privlačenja mase m od strane mase M bude jednaka veličini centrifugalne sile koja djeluje na masu m usled njenog kružnog kretanja brzinom Ѵ oko mase M:

MmGL2

=mν2

L (15)

U ovom slučaju se smatra da je trenutni pol rotacije mase m tačka u kojoj se nalazi masa M. ( Slika 3. ).

Međutim, ako je masa M materijalna homogena lopta poluprečnika R, a masa m materijalna tačka koja kruži oko mase M brzinom Ѵ na rastojanju L od centra forme te homogene materijalne lopte mase M, onda se na bazi predhodnog proračuna izvodi zaključak:

Trenutni pol rotacije tačkaste mase m oko homogene materijalne lopte mase M se nalazi u tačci I, čija pozicija se određuje po formuli (11), iz koje djeluje rezultanta gravitacionih sila od svih elementarnih masa koje čine homogenu materijalnu loptu mase M prema materijalnoj tačci mase m ( Slika 4. ).

Tačka I se nalazi na rastojanju l od tačkaste mase m, pri čemu:

L = l + S

10

Slika 3.

Što znači da je:

L > l

Kako je veličina ukupne sile gravitacionog privlačenja Fg od mase M prema masi m i u ovom slučaju ista kao prema klasičnoj teoriji po formuli (1), to, uz korekciju na bazi ovog proračuna, formula za računanje rastojanja za stabilno kruženje tačkaste mase m oko homogene materijalne lopte mase M, glasi:

Fg = Fc

Gdje je: Fc – centrifugalna sila koja se djeluje na masu m usled njene rotacije oko tačke I brzinom ν.

11

MmGL2

=mν2

l (16)

Slika 4.

Ako posmatramo Zemlju kao materijalnu tačku mase m, (što će u ovom proračunu dati grešku od nekoliko metara,) a Mjesec zamislimo kao homogenu materijalnu loptu mase M poluprečnika R = 1738 km, čiji centar forme se nalazi na rastojanju L = 384400 km od Zemlje kao predpostavljene tačkaste mase m, koristeći formulu (11), dobićemo rezultat za veličinu S kod Mjeseca u odnosu na Zemlju:

SME = 1,990 km.

Znači, rezultat dobijen mjerenjima NASE i razultat dobijen ovim proračunom se skoro u potpunosti poklapaju.

Ako uzmemo slučaj da Mjesec posmatramo kao materijalnu tačku, a Zemlju kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika R = 6378 km, pri čemu izimamo da je rastojanje centra forme Zemlje i tačkaste mase m jednako L = 384400 km, koristeći formulu (11), dobijamo rezultat:

SEM = 23 km.

12

Ovdje Sem predstavlja veličinu rastojanja trenutnog pola rotacije Mjeseca oko Zemlje od centra Zemlje, po pravoj koja prolazi kroz centar forme Zemlje i kroz Mjesec kao materijalnu tačku.

Centar gravitacije sistema Zemlja – G eostacionarni satelit

Predhodno dobijeni rezultati su približni, posebno iz razloga što je prilikom računanja uvedena pretpostavka da su Zemlja i Mjesec homogena materijalna tijela oblika lopte, što je samo približno tačno.

Prilikom proračuna putanje i rastojanja od Zemlje geostacionarnih satelita, primijećeno je da stabilna putanja geostacionarnih satelita mora biti na većem rastojanju od proračunate velićine po standardnoj formuli koja iznosi L = 42157 km.

Ako geostacionarni satelit posmatramo kao materijalnu tačku, pri čemu on stoji iznad Zemlje na rastojanju od centra forme Zemlje za oko L = 42157 km, a Zemlju posmatramo kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika R = 6378 km, primjenom formule (11) u ovom slučaju dobijamo rezultat:

SSE = 242 km.

Navedeno upućuje da klasični proračun stabilne putanje geostacionarnih satelita treba korigovati na način da dobijenu vrednost rastojanja geostacionarnog satelita od Zemlje treba računati tako što se za njegov trenutni pol rotacije treba uzeti tačka koja je od centra forme Zemlje, za koju smatramo da je homogena lopta, udaljena za oko 242 km u pravcu satelita, a sve po pravoj koja prolazi kroz centar forme Zemlje i kroz satelit.

13

Centar gravitacije sistema Zemlja – Sunce

Ako se uzme sistem Sunce – Zemlja (slika 5.), pa ako kao aproksimaciju uzmemo da posmatramo Sunce kao materijalnu tačku a Zemlju kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika 6378 km, čiji centar forme se nalazi na rastojanju od Sunca za L = 149600000 km, onda primjenom formule (11) dobijamo da je, po pravoj koja koja prolazi kroz materijalnu tačku koja predstavlja Sunce i prolazi kroz centar forme Zemlje, tačka I1 kod Zemlje na rastojanju od centra forme Zemlje prema Suncu za približnu veličinu:

S1 = 477 km.

Slika 5.

Ako se opet uzme sistem Sunce – Zemlja, pa ako kao aproksimaciju uzmemo da posmatramo Zemlju kao materijalnu tačku a Sunce kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika 695000 km, čiji centar forme se nalazi na rastojanju od Zemlje za L = 149600000 km, onda dobijamo, da je po pravoj koja koja prolazi kroz materijalnu tačku koja predstavlja Zemlju i centar forme Sunca, primjenom formule (11), tačka

14

I2, koja predstavlja trenutni pol rotacije Zemlje oko Sunca biti unutar Sunca na rastojanju od centra forme Sunca prema Zemlji za približnu veličinu:

S2 = 10017 km.

Prostorni položaj tačke I2 se neprestano mijenja tokom rotacije Zemlje oko Sunca.

Centar gravitacije sistema Sunce – Merkur

Primjenom računa kao u predhodnim primjerima, za sistem Sunce-Merkur, koji se nalaze na prosječnom rastojanju centara forme od L = 58000000 km, pa ako kao aproksimaciju uzmemo da posmatramo Sunce kao materijalnu tačku a Merkur kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika 2439 km, onda primjenom formule (11) dobijamo da je, po pravoj koja koja prolazi kroz materijalnu tačku koja predstavlja Sunce i prolazi kroz centar forme Merkura, tačka I1 kod Merkura na rastojanju od centra forme Merkura prema Suncu za približnu veličinu:

S1 =390 km.

Ako se opet uzme sistem Sunce – Merkur, pa ako kao aproksimaciju uzmemo da posmatramo Merkur kao materijalnu tačku a Sunce kao homogenu materijalnu loptu poluprečnika 695000 km, čiji centar forme se nalazi na rastojanju od Merkura za L = 58000000 km, onda dobijamo, da je po pravoj koja koja prolazi kroz materijalnu tačku koja predstavlja Merkur i centar forme Sunca, primjenom formule (11), tačka I2, koja predstavlja trenutni pol rotacije Merkura oko Sunca, biti će unutar Sunca na rastojanju od centra forme Sunca prema Merkuru za približnu veličinu:

S2 = 50100 km.

Položaj tačke I2 u prostoru se neprestano mijenja tokom rotacije Zemlje oko Sunca.

15

Korekcija mase Sunca i druge korekcije

Predhodno dobijeni rezultati pokazuju da sada važeća veličina mase Sunca treba biti korigovana, tj. da bi Zemlja, a i sve druge planete Sunčevog sistema, mogle rotirati na izmjerenim putanjama i sa izmjerenim brzinama, masa Sunca je u stvarnosti manja od sada kao tačne prihvaćene veličine.

Preliminarni proračun pokazuje da je potrebno napraviti korekcije putanja svih planeta u Sunčevom sistemu, posebno putanje planete Merkur.

Takođe, ovo izračunavanje daje jasniju sliku i objašnjenje razloga primijećenih odstupanja od do sada računatih i izmjerenih putanja dvojnih zvijezda.

Ključne riječi: Centar gravitacionih sila planeta, Trenutni pol rotacije planeta, masa Sunca.