Naar een begripvan figuren in een

4D-ruimte

doctoraalscriptiepsychologische functieleer

Reinhard Beskers

Nijmegen, augustus 1989

Deze versie is gemaakt in Microsoft Word 2002.

2

I N H O U D

Samenvatting - Summary 3Inleiding 4Hoe is te verklaren dat mensen driedimensionaal

zien? 5Likelihood-principe 5Minimumprincipe 7Waarom 3D-zien? 94D-zien? 11Ruimtelijk inzicht 15

De experimenten 21Experiment I 21Experiment II 26

Discussie 29Likelihood-principe of minimumprincipe? 31

Appendix (met inhoudsopgave): 32Het afbeelden van meetkundige 4D-figuren 33

Literatuur 51

3

Samenvatting

In deze scriptie werd onderzocht of mensen in staat zijn 4D-interpretaties te maken van visuele stimuli. Hiermee werden twee theoretische standpunten tegenover elkaar gezet: het likelihood-principe en het mini-mumprincipe. Deze laatste sluit niet uit, dat mensen een patroon als 4D kunnen zien.De resultaten waren negatief. Mogelijk waren de gedane experimenten niet langdurig genoeg om het beoogde 4D-inzicht te verwerven. Daarom kan er heden nog geen definitieve conclusie worden getrokken.

Summary

This paper examines, whether humans are capable of building up 4D-interpretations of visual stimuli. In this, two theoretical viewpoints are placed against one another: the likelihood principle and the minimum principle. The latter doesn't forbid, that humans are able to see a pattern as 4D.The results were negative. Possibly the done experi-ments weren't long enough to reach the 4D-insight. Therefor, at this moment a definitive conclusion cannot be drawn.

Resumo

En ĉi tiu skribaĵo estis ekzamenata la demando, ĉu homoj kapablas fari 4D-interpretojn de vidaj stimuloj. Per tio estis metita unu kontraŭ la alia du teoriaj vidpunktoj: la 'likelihood'-principo kaj la minimuma principo. La lasta ne ekskludas, ke homoj povas vidi ŝablonojn 4D-e.La rezultoj estis negativaj. Eble la farataj ekzamenoj estis ne sufiĉe longtempaj por akiri la celatan 4D-komprenon. Tial ĉi-momente ne eblas konkludi defini-tive.

4

Inleiding

Is het mogelijk voor een waarnemer om 4D-spatiële interpretaties te maken? Deze vraag komt voort uit de algemene vraag hoe het waarnemingssysteem komt tot een 3D-interpretatie vanuit een tweedimensionaal netvlies-beeld. Als deze stap (van 2D naar 3D) gezet wordt, waarom zou het dan niet mogelijk zijn om nog een stap te doen: naar 4D?We praten hier over een spatiële 4D-ruimte, dat wil zeggen, dat de vierde dimensie niet een dimensie in de tijd is, maar dat het hier gaat over vier gelijkwaar-dige ruimtelijke dimensies.Als inleiding op de genoemde vraag zal ik hierna eerst ingaan op het waarom en hoe van 3D-interpretaties door het visuele systeem. Daarna kom ik vanzelf op de moge-lijkheid van 4D-interpretaties.De scriptie draait uiteindelijk om de vraag of het likelihood-principe of het minimumprincipe gelijk heeft. Maakt het waarnemingssysteem bij het maken van 3D-interpretaties wel of niet gebruik van organisatie-cues die verankerd liggen in aangeboren kennis over de drie-dimensionaliteit van de wereld? Ik zal van de mogelijke uitkomsten van 4D-experimenten de betekenis bespreken, die deze hebben voor de genoemde theoriën over de visuele waarneming.

5

Hoe is te verklaren dat mensen driedi mensionaal zien?

Zonder twijfel kan een netvliesbeeld zowel 2D als 3D geïnterpreteerd worden. Getekende figuren interpreteren we vaak als zijnde 2D, zie bijvoorbeeld figuur 1. Stimuli uit onze omgeving interpreteren we als zijnde 3D. Ook bij sommige getekende figuren, zoals figuur 2, hebben we onmiddelijk een voorkeur voor een 3D-inter-pretatie (Hochberg en McAlister, 1953).

figuur 1 figuur 2

Er worden in de literatuur voor dit verschijnsel twee verklaringen gegeven: de verklaring volgens het likelihood-principe en de verklaring volgens het mini-mumprincipe. Eerst zal ik de verklaring volgens likeli-hood-principe beschrijven.

Likelihood-principe

Het likelihood-principe zegt, heel in het algemeen, dat een waarnemend systeem bij de ordening van visuele input gebruik maakt van bepaalde, in het systeem opge-slagen, kennis over die buitenwereld. Die kennis be-paalt de voorkeur voor verschillende mogelijke inter-pretaties.Het likelihood-principe is voor het eerst beschreven door Von Helmholtz in 1867 (in Gregory, 1974). Hij

6

beweert dat de waarnemer onbewust conslusies trekt over visuele stimuli en dit doet op grond van individuele ervaringen. Het is op grond van je ervaringen erg onwaarschijnlijk dat een draadkubus net zo gedraaid is dat de voor- en achterpunt precies achter elkaar liggen. Daarom is volgens het likelihood-principe bij figuur 1 een 3D-interpretatie onwaarschijnlijk. Een ander voorbeeld is, dat een tekening van een transparante kubus bij voor-keur wordt geïnterpreteerd als van boven gezien. (Dit effect is zelfs zo sterk dat een lange balk gezien wordt als een onmogelijk figuur, daar beide uiteinden naar voren lijken te komen (Gillam, 1979). Zie figuur 3.)

figuur 3

Veel onderzoek heeft laten zien, dat opgedane erva-ringen de perceptie nauwelijks of niet beïnvloeden (Rock, 1983). De hierboven geschetste ontogenetische versie van het likelihood-principe wordt daarom niet erg serieus genomen.Een andere versie (de filogenetische versie) van dit principe stelt, dat toen het (visuele) waarnemings-systeem in de loop van de evolutie ontstond, er be-paalde kennis over de wereld ingebakken werd. Deze kennis moet zeer algemeen zijn, zoals bijvoorbeeld: de wereld is driedimensionaal, het licht komt van boven, enz. Zo veronderstelt Biederman (1987), dat het systeem kennis heeft van, wat hij noemt, non-accidentele eigen-schappen. Dit zijn eigenschappen die bij een willekeu-rige projectie van 3D naar 2D invariant blijven. Het systeem zou volgens Biederman dus als het ware kennis hebben over een stuk projectiemeetkunde.

7

Volgens het likelihood-principe is het maken van een 3D-interpretatie een voorbeeld van een vaardigheid die stoelt op het gebruik van filogenetisch aangeboren voorkennis, namelijk de aangeboren kennis over de driedimensionaliteit van de wereld. Dit is een zeer voor de hand liggend standpunt. Immers het waarnemings-systeem is in een miljoenen jaren durende evolutie ontstaan om te kunnen omgaan met de wereld waarin die evolutie plaatsvond. Wat is dus meer voor de hand liggend, dan te veronderstellen dat er gebruik werd gemaakt van feitelijke kennis over die wereld?

Minimumprincipe

Een ander uitgangspunt is dat het voordelen heeft om een waarnemingsapparaat te hebben, dat van zo algemeen mogelijke eigenschappen van stimuli gebruikt maakt. En hoe meer kennis een individu van de buitenwereld ge-bruikt, des te minder flexibel is hij. Men kan zich voorstellen dat tijdens het leven van een individu zodanige veranderingen plaatsvinden dat het waarne-mingssysteem zich daaraan aan moet passen. Een dier-soort die al generaties lang in het oerwoud leeft bijvoorbeeld, kan gedwongen worden (door brand of zo) op de steppen te gaan leven. Als het waarnemingssysteem gebruikt maakt van erg specifieke kennis over de omge-ving kan dat problemen geven bij de aanpassing aan de nieuwe omstandigheden. Wellicht is het dus zo dat het waarnemingssysteem zo basaal mogelijke kenmerken probeert op het spoor te komen, zodat het meer adequaat kan reageren op nieuwe situaties. Een principe dat hier vanuit gaat en daarmee haaks staat op het likelihood-principe is het mini-mumprincipe. Het werd voor het eerst genoemd door Kopfermann (1930). Koffka (1935) beschreef vanuit de Gestalt-psychologie de idee van pregnantie. Het mini-mumprincipe werd voor het eerste gekwantificeerd door

8

Hochberg en McAlister in 1953.Het minimumprincipe stelt dat het systeem een stimulus-patroon eerst opdeelt in codecomponenten en vervolgens van deze componenten een beschrijvende code probeert te vinden. Het systeem kiest dan als interpretatie de code, die de minste informatie-eenheden bevat. Een voorbeeld hiervan zijn de twee figuurtjes 1 en 2. Zowel figuur 1 als figuur 2 is op te vatten als een tweedi-mensionaal lijnenpatroon, maar ook als een driedimen-sionaal lijnenpatroon, namelijk een kubus. Alhoewel de beide figuren weinig verschillen is figuur 1 wel als een regelmatig patroon van driehoekjes op te vatten en figuur 2 niet. De tweedimenionale interpretatie van figuur 1 bevat volgens Leeuwenberg (1971) 2 informatie-eenheden, de driedimensionale 4. De twee-dimensionale interpretatie is dus goedkoper, en deze zal daarom door de waarnemer worden gekozen. Bij figuur 2 ligt dat anders. De tweedimensionale interpretatie bevat hier 12 informatie-eenheden, de driedimensionale (net als bij 1) 4 eenheden. De waarnemer kiest daarom voor de drie-dimensionale interpretatie.Het minimumprincipe zegt als het ware, dat de waarnemer uit alle mogelijke interpretaties de eenvoudigste kiest. Als er een koe in de weide ligt, waarom zien we dan in gedachten het groene gras onder de koe doorlopen in plaats van gras rond de koe te zien? Simpelweg omdat die interpretatie het simpelst is. (Voor een overzicht van verschillende gebruikelijke maten van eenvoud zie Hatfield en Epstein, 1985.)

Interessant in dit verband is de theorie van Bolk, die zegt dat het waarnemingssysteem steeds op algemenere zaken afgaat en steeds minder op specifieke kenmerken van de buitenwereld. Hij komt daarmee op de uitspraak: een volwassen exemplaar van een diersoort lijkt op een jong van de vorige generatie.

9

Waarom 3D-zien?

Om de vraag naar de reden van ons 3D-zien te beant-woorden, vragen we ons eerst af: Kan een individu dan niet omgaan met visuele informatie als hij alleen 2D-interpretaties maakt? Of om het in het licht van 'sur-vival of the fittest' te stellen: Kan een individu zich handhaven in zijn omgeving zonder 3D-interpretaties te maken?

3D-interpretaties zijn volgens het likelihood-principe waarschijnlijk. Er wordt in de waarneming gebruik gemaakt van kennis van objecten, en deze wordt onder andere verkregen door de omgang met objecten via de tastzin.

3D-interpretaties zijn volgens het minimumprincipe vaak eenvoudiger dan 2D-interpretaties. Dit wordt nog eens geïllustreerd door de volgende voorbeelden.Een kleiner wordend retinaal beeld is in zekere mate ambigu, het is namelijk zowel 2D als 3D op te vatten. Echter alleen het laatste impliceert objectconstantie. Door de tastzin is vast te stellen, dat een kleiner wordend retinaal beeld correspondeert met een constant object. Deze interpretatie is mede daarom eenvoudiger: hij vertoont een invariante relatie tussen de visuele interpretatie en de tastzinopvatting omtrent het ob-ject.Verschillende opeenvolgende beelden zijn vaak eenvoudi-ger te beschrijven als één object plus beweging, dan als verschillende 2D-patronen (Restle, 1982). Zie bijvoorbeeld figuur 4.

figuur 4

10

Toch zijn louter visueel beschouwd 3D-interpretaties niet noodzakelijk. De perspectivische vertekeningen zijn in onderlinge samenhang te beschrijven zonder dat er een derde dimensie aan te pas komt.

Een reden dat we 3D-interpretaties maken, kan zijn dat een individu zich pas kan handhaven als hij uit de visuele informatie anderssoortige informatie kan aflei-den. Een object dat er steeds groter uitziet, zal waarschijnlijk botsen. Is er tussen twee objecten ruimte genoeg om ertussen te kruipen? Hoe ver moet ik grijpen om een bepaald object te pakken?Het maken van 3D-interpretaties moeten we waarschijn-lijk in dit verband zien. Louter visueel is er onvol-doende reden om een derde dimensie te veronderstellen, sterker nog: er is onvoldoende reden om te veronder-stellen dat het visuele systeem dit doet. Het visuele systeem is slechts op zoek naar regelmaat, pas in combinatie met andere zintuigen (zoals de tastzin) wordt het noodzakelijk om over een derde dimensie te gaan praten.Het is dus niet uitgesloten, dat het visuele systeem slechts regelmaat vaststelt in twee dimensies, en dat de 3D-interpretaties hogere-ordeprocessen zijn.Het visuele systeem kan echter wel omgaan met patronen die wij als drie-dimensionaal beschouwen. Wat betekent dit? 1. Het kan een voorgrond en achtergrond onderscheiden, waarbij het parallaxbewegingen kan waarnemen (bij een beweging van de waarnemer).2. Bij rotatie treedt er vervorming op en patronen of delen daarvan kunnen elkaar overlappen waarbij er slechts één van zichtbaar is. Een voorbeeld van een gebeurtenis, die zich ook in 2D laat beschrijven is een bal die achter een scherm langs rolt. De waarnemer verwacht dat de verdwenen bal op een bepaald moment te voorschijn komt door die in gedachten te volgen. Wie zegt ons dat hij niet gewoon een opeen-

11

volging van twee-dimensionale beelden voortzet?

Resumerend hebben we hebben te maken met twee verschil-lende zaken: 1. de regelmaat, die de waarnemer ontdekt in visuele patronen (visueel niveau) en 2. de 3D-interpretatie, die de waarnemer opbouwt; wellicht op een hoger niveau.

4D-zien?

Hiervoor stelde ik dat perspectivische vertekeningen in onderlinge samenhang te beschrijven zijn zonder dat daar een derde dimensie aan te pas komt. Zo kan men zien dat figuur 2 hetzelfde voorstelt als iedere andere projectie van een kubus, omdat in het figuur een sterke regelmaat zit. Het zien van deze regelmaat is al een vereenvoudiging van het complexe patroon, echter de aard van deze regelmaat is toch nog tamelijk complex. Pas een 3D-interpretatie buit alle mogelijke regelmaat uit, namelijk de gelijkheid van alle zijden en alle hoeken. Uitgaande van het minimumprincipe is het waar-schijnlijk dat deze manier van interpreteren is in-gebakken in de mogelijkheden van het systeem om vormen van regelmaat te ontdekken. De vraag blijft hoe het waarnemingssysteem weet, dat deze vereenvoudiging van toepassing is. Zo komen we op de volgende vraagstel-ling.

vraagstelling Is het waarnemingssysteem flexibel genoeg om van figu-ren, waarvoor een 3D-interpretatie in termen van infor-matie-eenheden omslachtig is, een adequate vierdimen-sionale representatie tot stand te brengen?

Er worden hiermee de volgende twee uitgangspunten tegenover elkaar gezet: * ofwel het waarnemend systeem maakt gebruik van

12

organisatie-cues die verankerd liggen in aangeboren kennis over de driedimensionaliteit van de wereld. Als dit juist is, dan mist het waarnemend systeem waar-schijnlijk de mogelijkheid om een adequate 4D-represen-tatie te maken. * ofwel het waarnemend systeem maakt geen gebruik van kennis over de drie-dimensionaliteit van deze wereld, doch is enkel in staat om basale vormen van regelmaat vast te stellen. Het impliceert dat het individu tijdens zijn leven ontdekt heeft dat de wereld driedimensionaal is. Als dit juist is, dan is er in principe geen belemmering om van een kunstmatige (plaatjes-)wereld te ontdekken dat die vierdimensionaal is en vervolgens te leren daarmee om te gaan.

We komen op vijf mogelijkheden.Te beginnen met het uitgangspunt, dat een baby oor-spronkelijk 2D ziet, krijgen we twee mogelijkheden:1. Van 2D tot 3D

Een baby interpreteert oorspronkelijk 2D. Later gaat hij over op 3D-interpretaties. Het likelihoodprincipe (ontogenetische versie) laat een dergelijke beïnvloeding door ervaringen toe, maar dat is reeds voldoende gefalcifiëerd (Rock, 1983). Het likelihoodprincipe (filogenetische ver-sie) laat een dergelijke beïnvloeding van ervaringen niet toe. Het minimumprincipe laat een dergelijke beïnvloeding door ervaringen wel toe, mits het niet de invloed van de afzonderlijke ervaringen betreft, maar een invloed die zich doet gelden in algemene interpre-tatiewetten. Deze mogelijkheid impliceert dus het minimumprincipe.

2. Van 2D tot meer D Een baby interpreteert oorspronkelijk 2D. Een hogere dimensie is een vorm van regelmaat, waarvan de vaardigheid in het ontdekken hiervan aangeleerd moet worden. Dit aanleren geschiedt bij alleen 3D, maar

13

kan in beginsel tot iedere hoogte: 3D, 4D, 5D, etcetera; al naar gelang de aangeboden stimuli hiertoe aanleiding geven.Hier geldt hetzelfde als bij mogelijkheid 1. Het likelihoodprincipe (ontogenetisch) laat dit wel toe, het likelihoodprincipe (filogenetisch) niet.Het minimumprincipe laat dit toe met de aantekening, dat een waarnemer niet zonder meer de eenvoudigste code kiest, maar dat een bepaalde manier van eenvoud (bijvoorbeeld 3D-interpretaties maken) wel aange-leerd moet worden.

Gaan we ervan uit, dat een baby oorspronkelijk al 3D ziet, dan komen we op de twee volgende mogelijkheden.3. 3D

Individuen zien vanaf de geboorte al 3D. Interpre-taties geschieden volgens het likelihoodprincipe of volgens het minimumprincipe tot drie dimensies, doordat een 3D-wereld natuurlijk is. In dit geval moet dus aan het minimumprincipe de assumptie worden toegevoegd, dat interpretaties niet hoger kunnen gaan dan 3D.

4. Van 3D tot meer D Men ziet van nature 3D. Hogere dimensies zien is een vorm van regelmaat, die in principe niet onmogelijk is, maar gewoonweg nooit aangeleerd is.Hier geldt hetzelfde als bij de mogelijkheden 1 en 2. Het likelihoodprincipe (ontogenetisch) laat dit wel toe, het likelihoodprincipe (filogenetisch) niet.Het minimumprincipe laat dit toe met de aantekening, dat een waarnemer niet zonder meer de eenvoudigste code kiest, maar dat een bepaalde manier van eenvoud (bijvoorbeeld 4D-interpretaties maken) wel aange-leerd moet worden.

Als laatste hebben we nog mogelijkheid

14

5. Het minimumprincipe sec Je kiest de eenvoudigste code. Deze kan 2D zijn zoals in figuur 1, deze kan ook 3D zijn zoals in figuur 2, hij kan natuurlijk ook 4D zijn, of 5D, etcetera.Deze mogelijkheid kunnen we als gefalsifiëerd be-schouwen. Mensen maken niet spontaan 4D-interpreta-ties.

Ik zal de laatste mogelijkheid verder achterwege laten.

Wanneer het onmogelijk is om 4D-interpretaties te maken, dan hebben we te maken met de mogelijkheden 1 en 3.Mogelijkheid 1 impliceert de juistheid van het mini-mumprincipe. Mogelijkheid 3 laat open welke van de twee juist is.Wanneer het wel mogelijk is om 4D-interpretaties te maken, dan hebben we te maken met de mogelijkheden 2 en 4.Deze impliceren allebei de juistheid van het minimum-principe.

15

Ruimtelijk inzicht

Alvorens ik over vierdimensionaliteit verder ga, wil ik eerst nog uitweiden over iets dat direct verband houdt met ruimtelijke interpretaties: namelijk ruimtelijk in-zicht.Het zal blijken, dat er tal van vaardigheden bestaan, die hiermee te maken hebben. Verder hoop ik de lezer ervan te overtuigen, dat de mogelijkheid van 4D-inter-pretaties niet zo absurd is als het op het eerste gezicht wellicht lijkt.

In de jaren dertig deed de Amerikaan Kohler een experi-ment met een zogenaamde omkeerbril. Door deze bril zag de wereld er ondersteboven uit. Het beeld dat normaal gesproken ondersteboven op het netvlies staat, stond nu dus rechtop. Hij hield deze bril permanent op. In het begin kon hij met deze omkeerbril niet overweg. Hij keek bijvoorbeeld naar boven in plaats van naar beneden, of hij hield een koffiekopje op de kop, enzovoort. Na ongeveer een week deze bril gedragen te hebben raakte hij er aan gewend alles op z'n kop te zien en kon er mee omgaan. Na enige tijd kon hij zich zelfs door het drukke verkeer van een stad bewegen. Toen hij na lange tijd de bril weer afzette, was hij het gewone kijken "verleerd": hij moest weer wennen de wereld rechtop te zien.

Een vraag die dit experiment oproept is: "Zag Kohler, toen hij aan de bril gewend was, de wereld weer recht-op, net zoals voor dat hij met het experiment begon; of zag hij de wereld nog steeds op de kop, maar was hij er zo aan gewend dat hij ermee om kon gaan?" Het feit dat hij na afloop van het experiment gewoon rechtop zien verleerd was, doet vermoeden dat de hersenen inderdaad de netvliesbeelden omgekeerd hadden en dat ze dat na het experiment nog een keer moesten doen. Men kan ook zeggen, dat hij alles nog steeds

16

ondersteboven zag, maar dat hij geleerd had hiermee om te gaan. Dus bijvoorbeeld: als hij iets boven zag, dan wist hij dat het in werkelijkheid beneden was en omgekeerd. Evidentie hiervoor is het gegeven, dat de adaptatie terug naar normaal sneller verliep dan de aanvankelijke adaptatie.Het is dus niet duidelijk wat er precies gebeurde.

Inzicht is geen absoluut iets, het is gradueel. Is inzicht bij perceptie, in dit geval het inzicht waar objecten zich in werkelijkheid bevinden, hetzelfde als de vaardigheid adequaat te reageren op stimuli; of is inzicht bij perceptie meer dan dat. Dat blijft in feite onduidelijk.

Nu kom ik terug op het begrip ruimtelijk inzicht. Iemand die ruimtelijk inzicht bezit, is in staat bepaalde taken te verrichten (bijvoorbeeld een test voor ruimtelijk inzicht). Is ruimtelijk inzicht meer dan alleen deze vaardigheid? Uiteraard zullen er taken of vaardigheden zijn die niet door deze test gedekt worden.

Hieronder zal ik een aantal taken bespreken, die met ruimtelijk inzicht te maken hebben en ik zal tevens aangeven hoe deze taken, die betrekking hebben op een 3D-ruimte, uit te breiden zijn tot een 4D-ruimte.

1. Classificatie Men kan proefpersonen vragen om een veelheid van afbeeldingen te classificeren in twee (of meer groepen), zoals Bongard (1970) dat heeft gedaan. (Zie figuur 5: Bongard probleem nr. 70) Dit is uit te breiden tot een 4D-experiment door proefpersonen een serie afbeeldingen aan te bieden, die op grond van 2D- of 3D-interpretaties niet juist geclassificeerd kunnen worden, maar op grond van een 4D-interpretatie wel. Proefpersonen zonder

17

figuur 5: Bongard probleem no. 70

4D-training moeten dit slechter doen dan proefper-sonen met een dergelijke training.Als waarnemingsexperiment heeft dit echter het nadeel, dat men zich kan concentreren op één ken-merk. Hierdoor hoeft er nauwelijks sprake te zijn van een begripvolle interpretatie: Waarnemen is niet hetzelfde als classificeren.

2. Imagery 2D: Stel je voor hoeveel het maximale aantal snij-punten bedraagt tussen de contouren van een kruis en een lijn. (Figuur 6)3D: Stel je voor: Als een lijn een kubus binnen-dringt -midden in het linker zijvlak en -vanuit de loodrechtstand gedraaid over een hoek van 45 graden evenwijdig met het voorvlak; door welk vlak verlaat die lijn de kubus dan? (Figuur 7)4D: Stel je een hyperkubus voor (= het 4D-equivalent van een 3D-kubus) waarvan vier ribben gelegen zijn op de positieve x-as, y-as, z-as en v-as (= de vierde as). Een lijn snijdt het voorste xy-vlak.

figuur 6 figuur 7 figuur 8

18

Deze lijn is ten opzichte van de loodrechtstand gedraaid over 45 graden in het yv-vlak. Door hoeveel vlakken en door welke verlaat de lijn de hyperkubus? (Figuur 8)

3. Mentale transformatie 2D: Wat is het minimale aantal transformaties (ro-tatie, spiegeling) om van A B te maken? (Figuur 9)3D: Wat is het minimale aantal transformaties (ro-tatie, spiegeling) om van A' B' te maken? (Figuur 10)4D: Wat is het minimale aantal transformaties (ro-tatie, spiegeling) om van A" B" te maken? (Figuur 11)

figuur 9 figuur 10 figuur 11

4. Deel het onderstaande figuur op in vier gelijkvor-mige stukken.

figuur 12

5. Zie in figuur 13 het kleine vierkant A en het grote vierkant B. Hoe verhouden zich hun oppervlaktes? Iets dergelijks zou men ook kunnen construeren van 4D-figuren.

figuur 13

19

6. Mental imagery 3D: Hoeveel lijnen en vlakken zie je minimaal en maximaal van een opake kubus?4D: Hoeveel lijnen, vlakken en kubbussen zie je minimaal en maximaal van een opake hyperkubus?

7. Differentiatie tussen mogelijke en onmogelijke figuren Zie de figuren 14 en 15. Figuur 15 wordt door mensen vaak geïnterpreteerd als figuur bestaande uit louter rechte vlakken. Dit is echter onmogelijk. Drie willekeurige vlakken, die niet parallel lopen, snijden elkaar altijd in één punt. Dat dit hier niet zo is, blijkt als men de ribben buiten het object doortrekt. Het is een voorbeeld van een onmogelijk figuur, die niet als zodanig gezien wordt.

figuur 14 figuur 15

Als men deze taak met 2D-mogelijke/3D-onmogelijke figuren wil uitbreiden naar 4D, dan moet men dus een aantal 3D-mogelijke/4D-onmogelijke figuren hebben en proefpersonen leren daartussen te discrimineren.

8. Massa/inhoud 3D: Blok A en blok B (figuur 16) hebben dezelfde op-pervlakte. Welke heeft de grootste massa of inhoud?

figuur 164D: Men maakt afbeeldingen van twee 4D-figuren, die naar een 3D-interpretatie dezelfde inhoud hebben. Welke van de twee heeft de grootste hyperinhoud?

20

9. 3D: In een kubus (figuur 17) zijn lijnen getrokken van hoekpunt naar hoekpunt. Welke heeft de grootste lengte?4D: In een hyperkubus (figuur 18) zijn lijnen ge-trokken van hoekpunt naar hoekpunt. Welke heeft de grootste lengte?

figuur 17 figuur 18

Er bestaan een groot aantal vaardigheden, die met perceptie, met motoriek en met cognitie te maken hebben. Iemand die een groot ruimtelijk inzicht heeft, is in staat om dit soort taken adequaat te verrichten. Welke vaardigheden bewijzen nu een 4D-ruimtelijk in-zicht? en Zijn proefpersonen in staat dergelijke vaar-digheden aan te leren? Dat zijn de vragen waar het hier om gaat.

21

De experimenten

Bij de keuze van een experimentele taak speelden twee overwegingen mee. Hoe meer inzicht de taak vereist, hoe overtuigender men hiermee natuurlijk conclusies kan trekken met betrekking tot de waarneming.Tevens moet men met de meest eenvoudige taak beginnen. Stel dat de taak niet lukt, dan zegt dat bij de keuze van een eenvoudige taak meer dan bij de keuze van een complexere taak.Als eerste werd daarom een classificatie-experiment gedaan. Als tweede werd een experiment gedaan met het omzetten van 4D-objectprojecties in een voorafgegeven andere stand van hetzelfde 4D-object.

Experiment I

Materiaal Er werd gebruik gemaakt van een PC, waarmee de proef-personen moesten werken. Op het scherm verscheen één afbeelding, die met behulp van het toetsenbord gemani-puleerd kon worden.De objecten (Notabene: een object is de vierdimensionale configuratie, een afbeelding is de tweedimensionale projectie van een object.) bestonden uit drie aan elkaar geplaatste vlakjes. Kan men in een 3D-ruimte hiermee slechts enkele verschillende objecten construeren, in een 4D-ruimte heeft men iets meer mogelijkheden. Zo werden er acht verschillende objecten gemaakt, die in het experiment als vier paren gebruikt werden. Ze leken

22

namelijk twee aan twee erg veel op elkaar.Deze 4D-objecten werden transparant geprojecteerd op een plat vlak. Hierdoor ontstaat wel een ambiguïteit omtrent voor en achter, die echter niet bezwaarlijk is, omdat voor en achter in dit experiment niet van belang zijn voor de identificatie van de getoonde objecten.Deze acht verschillende objecten, waarvan de vlakjes allemaal evenwijdig waren met de vier ruimtelijke assen, werden over dertig graden gedraaid in achtereenvolgens de xy, xz, xv, yz, yv en zv-richting, zodat alle vlakjes zichtbaar waren. (NB.: Bij een draaiing over vijfenveertig graden vallen er ook bepaalde lijnen samen, vandaar dat er geroteerd werd over 90/3 graden.) De zo ontstane plaatjes vormden de acht basisfiguren. (Zie de figuren 19 tot en met 26.)De stimuli waren geroteerde versies van deze basisfigu-ren. Er werd over vier richtingen geroteerd; niet over de xy-richting, omdat dat een rotatie in het vlak van het scherm is en er dus niets wezenlijks verandert, en niet over de zv-richting: doordat zowel z als v lood-recht op het projectievlak staan is bij een loodrechte projectie geen direct effect te zien van een dergelijke rotatie.De stimuli waren rotaties van de basisfiguren over een range van 180 graden. Meer heeft niet veel zin, omdat een rotatie van honderdtachtig graden het spiegelbeeld oplevert. De rotatie van nul graden werd vermeden, omdat de herkenning hiervan triviaal zou zijn.Er werden een aantal formulieren gebruikt met op ieder formulier 24 afbeeldingen van 4D-objecten. Per formulier kwamen er afbeeldingen van elementen van één paar voor.Er werden vier stapeltjes kaarten gebruikt. Per stapel-tje kwamen er afbeeldingen van elementen van één paar voor.

23

figuur 19: object a figuur 20: object b

figuur 21: object c figuur 22: object d

figuur 23: object e figuur 24: object f

figuur 25: object g figuur 26: object h

24

Subjecten Er was geen voorselectie. Er waren twee groepen van proefpersonen. De ene groep kreeg eerst tweemaal een identificatietaak en daarna tweemaal een sorteertaak; de andere groep omgekeerd.

Opzet en instructie Het experiment bestond uit twee verschillende taken, die door alle proefpersonen uitgevoerd werden: de identificatietaak en de sorteertaak. In de identificatietaak kreeg de proefpersoon één afbeelding aangeboden op het beeldscherm van de PC. De proefpersoon kon dat object zelf met behulp van het toetsenbord laten draaien. De proefpersoon kreeg de instuctie tien minuten lang de verschillende knoppen uit te proberen, en daarmee het object van zoveel mogelijk verschillende kanten te bekijken. Na tien minuten kreeg de proefpersoon een formulier. De afbeeldingen die hetzelfde object voorstelden als het object, dat men bekeken had, moest men op een antwoord-formulier aankruisen. In de sorteertaak kreeg de proefpersoon een stapel van 24 kaartjes. Dit waren afbeeldingen van twee verschil-lende vierdimensionale figuren, steeds vanuit een andere hoek van de vierdimensionale ruimte gezien. De proefpersoon kreeg de opdracht de gelijke figuren bij elkaar te leggen, dus te sorteren in twee stapeltjes. Er waren vier verschillende basisfiguren (a,c,e,g) met voor ieder basisfiguur een alternatief figuur, zo hadden we dus de paren figuren (a,b), (c,d), (e,f) en (g,h). De volgorde van figuren werd volledig gematched. Het experiment werd afgenomen bij in totaal vierentwintig personen.

Verwachting De hypothese was 1. dat voor ieder van de vier (paren) gebruikte figuren de scores op de tweede identificatie-taak (scores I-2) hoger zouden zijn dan die op de eerste

25

(scores I-1) en 2. dat voor ieder van de vier (paren) gebruikte figuren de scores op de sorteertaak vooraf-gaande aan de identificatietaak (scores SV) lager zouden zijn dan de scores op de sorteertaak na de identificatietaak (scores SN).

ident.taak ident.taak sort.taak sort.taak pp-groep 1: scores I-1 scores I-2 scores SN scores SN

sort.taak sort.taak ident.taak ident.taak pp-groep 2: scores SV scores SV scores I-1 scores I-2

Hypotheses: scores I-1 < scores I-2 scores SV < scores SN

Resultaten De hieronderstaande gegevens zijn uitgesplitst over de vier paren objecten. Het verschil is zodanig berekend, dat een minteken duidt op een verschuiving van de scores in de verkeerde richting.

26

objec ten

a, bc, de, fg, h____

gemiddeld

scores I-1

22.5019.5018.8320.83_____20.42

scores I-2

21.3323.0016.6722.17_____20.79

ver schil I-2 - I-1

-1.17 3.50-2.16 1.34_____ 0.37

signifi - cantie

----___-

objecten

a, bc, de, fg, h____

gemiddeld

scores SV

21.1722.3314.0019.33_____19.21

scores SN

21.0022.1718.6720.50_____20.58

verschilSN - SV

-0.17-0.16 4.67 1.17_____ 1.37

signi - ficantie

--+-___-

27

Discussie Experiment I Over het geheel genomen treedt het verwachte effect dus niet op. Proefpersonen bleken de taak over het algemeen niet accuraat uit te voeren. Het is mogelijk dat, wanneer de instructie meer de nadruk zou leggen op het vinden van invarianten, de proefpersonen deze beter hadden ontdekt. Dit is bewust niet gebeurd, omdat een nadruk van te voren op classificatie kan leiden tot het zoeken van één of enkele onderscheidende kenmerken. Juist het kennen van één of enkele kenmerken is geen perceptie.Het is ook mogelijk, dat de aanleerfase te kort is geweest of te eenzijdig. Proefpersonen hadden hierin geen duidelijke taak, ze hoefden slechts het figuur te bewegen en ernaar (wellicht wat passief) te kijken.Hierom werd er nog een experiment gedaan: Experiment II.

Experiment II

Materiaal Er werd gebruik gemaakt van een PC, waarmee de proef-persoon moest werken. Op het scherm verscheen een stereoscopische afbeelding (in feite dus twee afbeel-dingen), die met behulp van het toetsenbord gemani-puleerd kon worden en nog een stereoscopische afbeelding als voorbeeld.Voor het scherm was een stereoscoop opgehangen, zodat de proefpersoon diepte zag in de afbeelding.Er werden slechts twee objecten gebruikt. Beide objecten waren ook in Experiment I gebruikt. Bij dit experiment was het object stereoscopisch en perspectivisch afgebeeld. Hierdoor was de ambiguïteit omtrent voor en achter, die er in het eerste experiment was, verdwenen.

Subjecten Ikzelf was de enige proefpersoon.

28

Opzet De proefpersoon kreeg het object te zien in een wil-lekeurige stand. Dat wil zeggen het object was over zes richtingen (xy, xz, xv, yz, yv, zv) geroteerd over zes random aantallen graden. Deze rotaties waren in een range van 360 graden.De opdracht was om het object in zo weinig mogelijk stappen terug te brengen in de voorbeeldstand. Het programma gaf aan, wanneer deze stand (binnen een marge van een halve stap) bereikt was.Daarna gaf het programma nog aan wat de oorspronkelijke rotatiehoeken waren.Het experiment werd vaak herhaald, echter nooit tweemaal kort achter elkaar.

Verwachting De hypothese was 1. dat de gemiddelde score aan het einde van de reeks met het eerste object hoger zou zijn dan de gemiddelde score aan het begin van die reeks en 2. dat de gemiddelde score bij de reeks met het tweede object hoger zou zijn dan de gemiddelde score bij de reeks met het eerste object.

Resultaten De score wordt in eerste instantie uitgedrukt in het aantal stappen. De score moet dus zo laag mogelijk zijn.De score wordt beïnvloedt door de beginstand van het object. Vandaar dat ik de korst mogelijke weg steeds heb vastgelegd (uiteraard achteraf, want ik was zelf proefpersoon). Als we de scores delen door de lengte van de korste weg, dan kunnen we de verkregen quotiënten vergelijken. Deze variëren sterk: van 1.2 tot ruim 20. Ook in het begin komen er af en toe al vrij lage scores voor. Over het geheel (50 trials) is geen significante verbetering te bespeuren. Overigens werd de taak aan het eind waarschijnlijk wel in een korter tijdsbestek verricht, maar het aantal stappen verbeterde niet significant.

29

De scores in de tweede reeks zijn niet significant hoger dan de scores in de eerste reeks.

Discussie Experiment II Dit experiment behoeft waarschijnlijk meer inzicht. Ook hier ondersteunden de uitkomsten de hypothese niet. Intuïtief had ik het idee, dat de taak probeerwerk bleef. Het is zeer wel mogelijk, dat voor deze taak een veel langere leerfase nodig is.

30

Discussie

Hoewel de uitkomsten van de twee uitgevoerde experi-menten geen ondersteuning van de hypothese waren, wil ik nog niet de conclusie trekken dat het onmogelijk is om een menselijk waarnemer 4D-interpretaties te laten maken.Het kan zijn dat de 4D-leerfase toch nog te kort is geweest, maar bovendien zijn er misschien andere ex-perimenten te verzinnen, die meer kans van slagen hebben. Op dit laatste wil ik nog even doorgaan.

De resultaten van de twee experimenten doen de vraag rijzen, of de proefpersonen misschien meer gestimuleerd moeten worden tot het maken van een echte 4D-represen-tatie. Dat dit misschien mogelijk is zal ik met het volgende betoog aangeven.

Als je met twee ogen naar een afbeelding kijkt, dan leidt je uit de verschuiving van punten ten opzichte van elkaar (= dispariteit) af, hoe ver een punt ligt. Je hebt met je ogen een tweedimensionale afbeelding, die aangeeft in welke richting een punt ligt, en je hebt een aanduiding op welke afstand een punt ligt. De representatie, die je tot je beschikking hebt, is dus driedimensionaal en het is daarom vrij logisch dat je het ook zo ziet.In het experiment zag ik dus een driedimensionaal figuur voor me. Het was zo, dat lengtes en hoeken variëerden. Bij een rotatie zag ik lijnen op een prachtige manier door elkaar heen fietsen. Vooral bij een complex figuur als de hyperkubus was dit een fantastisch effect.

31

Alhoewel de verschillende delen van het figuur door elkaar heen gingen, deed de beweging toch denken aan een rotatie. Beschouwing van de hyperkubus leerde mij, dat ieder punt voor de waarnemer een ellips beschreef. Dit is bij een monoculaire 2D-projectie van een roterende 3D-figuur ook het geval. In een 3D-interpretatie van dit laatste beschrijft ieder punt een cirkel en het is dus een ontdekking dat niet opgaat in een 4D-ruimte. Het bleek dat je de punten verschillende ellipsen kon laten beschrijven, en bij iedere andere ellips veranderde het figuur op een andere manier van vorm. Zo laat een rotatie in het xz-vlak een horizontale ellips zien en een rotatie in het xv-vlak ook. Dit zijn verschillende horizontale ellipsen. Soms bleek een bepaald gedeelte van het figuur zich te gedragen als een 3D-object. Dit moet ook inderdaad zo zijn: Als ik een (deel)figuur in de xyz-ruimte weet te manouvreren, dan moet deze zich bij rotaties, waarbij de v-coördinaat constant blijft (xy, xz, yz), als een 3D-object gedragen. De punten be-schrijven dan cirkels. Zo bedacht ik dat de aard van de ellips iets zegt over de richting waarin je een bepaald punt moet zoeken. Naarmate de baan van een punt bij bijvoorbeeld een xz-rotatie meer op een cirkel gaat lijken, ligt het punt meer in de z-richting ten opzichte van het draaicentrum. Een andere hypothese was, dat als een xz-rotatie horizontale cirkelbanen toont, een yz-rotatie verticale cirkelbanen moet tonen. Ook dit klopte. Hieruit volgt dat wanneer van alle punten de ellipsen bij een enkele rotatie bekend zijn, in principe de figuur 4D-gedefiniëerd is en daarmee alle vervormingen door rotaties voorspelbaar zijn.Uit een klein stukje van de baan van een punt is de hele ellips af te leiden. En dat betekent dat een kleine beweging heen en weer in principe aan de waarnemer de laatste nog ontbrekende informatie over het 4D-object aanreikt.

32

Als men nu een taak construeert, waarbij de proefpersoon deze gegevens (dispariteit, ellipsvorm) moet gebruiken om de taak te kunnen verrichten, dan wordt hij of zij gestimuleerd om een representatie te maken, waarin de informatie over alle vier dimensies aanwezig is.

Likelihood-principe of minimumprincipe?

Het minimumprincipe volgens Leeuwenberg (1971) stelt dat je bepaalde 2D-patronen 3D interpreteert, omdat dat goedkoper is in termen van informatie-eenheden.Het is denkbaar, dat er patronen zijn, die naar een 4D-interpretatie minder informatie-eenheden bevatten, dan naar een 3D-interpretatie. Strict genomen zouden volgens het minimumprincipe deze patronen dan ook daadwerkelijk 4D-geïnterpreteerd moeten worden. Dit gebeurt niet. In mijn experiment kregen proefpersonen te maken met bewegende figuren op een scherm, die op te vatten waren als 1. 3D-figuren, die roteerden en van vorm verander-den, of als 2. 4D-figuren, die roteerden. Het zal duidelijk zijn, dat de tweede mogelijkheid zuiniger is met informatie-eenheden. Proefpersonen zien de eerste mogelijkheid. Is ons waarnemingssysteem zo gewend aan een 3D-wereld, dat het niet mogelijk is om een 4D-wereld adequaat te interpreteren?

Het is gebleken, dat het minimumprincipe-sec, zoals ik het heb genoemd, niet houdbaar is.In het algemeen gesproken, heb ik in deze scriptie niet tot een uiteindelijke keuze voor het likelihood-principe of het minimumprincipe kunnen komen.

A P P E N D I X

Het afbeelden van meetkundige 4D-figuren

Wat is 4D? 33Het verschil tussen ruimtelijke dimensies en een tijdsdimensie 334D - ruimtelijk 34Projecties 38Opake 4D-figuren 41Een opake hyperkubus 434D-wezens met een twee-dimensionale retina 49

Het afbeelden van meetkundige 4D-figuren

Wat is 4D?

4D staat voor vierdimensionaal. Een lijn is 1D. Een plat oppervlak is 2D. Objecten zijn 3D. Maar bestaat er ook een vierde dimensie? Of is de vierde dimensie de tijd? We leven in een 3D-ruimte. Dat wil - wiskundig gezien - zeggen dat we ieder punt in onze ruimte (of in een bepaald gedefinieërd stuk van die ruimte) kunnen aanduiden door middel van drie coördinaten: door drie reële getallen. Hiermee kunnen natuurkundigen bijvoor-beeld de plaats van een deeltje eenduidig aangeven. De verstrijkende tijd is ééndimensionaal: een bepaald tijdstip kan men met behulp van één reëel getal aan-geven. Om de plaats van een deeltje op een bepaald tijdstip te beschrijven heeft men vier coördinaten nodig: (x,y,z,t). We leven dus in een vierdimensionale tijd-ruimte.Door deze idee wordt er vaak gedacht: de vierde dimen-sie is de tijd. In mijn onderzoek echter ga ik van iets anders uit: een (mathematisch geconstrueerde) ruimte met vier ruimtelijke dimensies. Wat het verschil is tussen een (gewone) ruimtelijke dimensie en een tijdsdimensie, zal ik hier uiteenzetten.

Het verschil tussen ruimtelijke dimensies en een tijdsdimensie

Allereerst: de tijd verstrijkt, de ruimte niet. Ons tijdsbesef houdt in dat de dingen in onze driedimen-

sionale ruimte op het ene tijdstip anders kunnen zijn dan op het andere. Bovendien zijn bepaalde processen onomkeerbaar, ze verlopen in een bepaalde richting in de tijd. Een belangrijk voorbeeld hiervan zijn geheu-genprocessen: we herinneren ons alleen gebeurtenissen uit één tijdsrichting: het verleden. Ten tweede: we zijn gebonden aan de tijd, niet aan de ruimte. We ervaren, dat we in principe naar ieder punt in de ruimte kunnen gaan en weer terug, maar we kunnen niet heen en weer in de tijd reizen. Bovendien kunnen we niet op één tijdstip op verschillende punten van een ruimtelijke dimensie zijn. Of om het iets wiskundiger te zeggen: Als we over een deeltje praten, dan hoort bij iedere t precies één x, één y en één z; echter niet bij iedere x, y of z is een t-coördinaat te vinden.Tenslotte nog een paar woorden over de zienswijze van de moderne fysica. Men praat hierin over een tijd-ruimte met zuiver mathematische dimensies. Gebeurte-nissen worden beschreven aan de hand van mathematische vergelijkingen, die op zich los staan van onze er-varingen met het begrip tijd. Ook dan echter is er een fundamenteel mathematisch verschil tussen ruimtelijke dimensies en een tijdsdimensie. Het is voor mijn onderzoek niet van belang om daar dieper op in te gaan.

4D - ruimtelijk

Aangezien we in een 3D-wereld leven kunnen we ons niet voorstellen wat een vierde dimensie is of zou moeten zijn. Men zou zeggen, dat het onmogelijk is dat er een vierde vector bestaat die loodrecht staat op de drie vectoren lengte, breedte en hoogte. Het is logisch dat we ons dat niet voor kunnen stellen, net zoals het logisch is, dat een wezentje, dat in een 2D-universum zou leven, zich absoluut niet voor zou kunnen stellen, dat er een derde vector bestaat, die loodrecht staat op de twee vectoren lengte en breedte. Dit is treffend beschreven in de roman 'Flatland' van Abbott (1884).

Toch kunnen we door logisch te redeneren zinvol praten over een 4D-ruimte. Uitgangspunt in de redenering is, dat je om punten in een 4D-ruimte te beschrijven, vier coördinaten nodig hebt. En verder dat deze coördinaten gekozen worden aan de hand van een orthogonaal 4D-assenstelsel, dat wil zeggen dat er vier assen zijn, die onderling loodrecht op elkaar staan.Laten we eens beginnen in een 1D-ruimte. We nemen een object (een lijnstuk) in deze ruimte met de grenzen 0 en 1. Vervolgens gaan we dit object uitbreiden naar een 2D-ruimte. In de x-richting hadden we al de grenzen 0 en 1, in de y-richting kiezen we ook de grenzen 0 en 1. We hebben dan een vierkant met de hoekpunten (0,0), (0,1), (1,0) en (1,1). Het vierkant kunnen we vervolgens uitbreiden tot zijn 3D-equivalent. Parallel aan het vierkant trekken we nog een vierkant, we verbinden de vier hoekpunten van het ene vierkant met die van het andere en we hebben een kubus. De kubus heeft acht hoekpunten; merk op dat de coördinaten van de hoekpunten bestaan uit alle mogelijke drietallen van nullen en enen. Er zijn dus 2 tot de macht 3 hoekpunten. Een kubus heeft 12 ribben. Tweemaal het aantal zijden van een vierkant plus het aantal verbindingen tussen de twee vierkanten (2 x 4 + 4 = 12). Het aantal ver-bindingslijnen is gelijk aan het aantal hoekpunten van een vierkant.

Figuur 27: de constructie van een hyperkubus(Davis & Hersh, 1981)

Parallel aan onze kubus maken we nu nog een kubus. We trekken de verbindingslijnen tussen de acht hoekpunten

van de ene kubus en die van de andere kubus en we krijgen het 4D-equivalent van een kubus: een hyper-kubus. De hyperkubus heeft tweemaal zoveel hoekpunten als een kubus. De coördinaten hiervan zijn alle moge-lijke viertallen van nullen en enen. (Er zijn er dus: 2 tot de macht 4 = 16). Het aantal lijnen van een hyperkubus is gelijk aan het aantal ribben van twee kubussen plus het aantal verbindingslijnen hiertussen (is gelijk aan het aantal hoekpunten van één kubus). Dit wordt dus 2 x 12 + 8 = 32. Het aantal vlakjes dat een hyperkubus bevat is gelijk aan: het aantal vlakjes van twee kubussen plus het aantal vlakjes tussen die twee kubussen. Het is niet zo moeilijk in te zien, dat het aantal verbindingsvlakjes gelijk is aan het aantal ribben van een kubus (zie figuur). Zo krijgen we dus een totaal van 2 x 6 + 12 = 24 vlakjes. Tenslotte bevat een hyperkubus acht kubussen; op ieder vlak van onze oorspronkelijke kubus zien we een kubus staan, die "reikt" naar de parallelle kubus. Zo kunnen we natuurlijk ook doorredeneren naar de 5D-equivalent van een hyperkubus. In het algemeen kunnen we stellen, dat:Stel we hebben een "vierkant" figuur, dat n-dimensio-naal is, Fn (met "vierkant" bedoel ik dat het figuur net als hierboven beschreven wordt door alle mogelijke n-tallen van twee getallen);Dan geldt voor het aantal (#) hoekpunten R[0]:

#(R[0]) = 2n .R komt overigens van "rand". Een R[0] is een nul-dimensionale rand: een hoekpunt. Een R[1] is een 1D-rand: een lijnstuk. Een R[2] is een randvlak, enzo-voort.Het aantal p-dimensionale randen R[p] van F[n] is gelijk aan tweemaal het aantal R[p] van F[n-1] plus het aantal p-dimenionale "verbindingsranden". Deze laatsten zijn in aantal gelijk aan het aantal R[p-1] van F[n-1].(Mits natuurlijk * p-1 niet kleiner dan 0 wordt en

* p kleiner is dan n.)

In formule:

#( R[0] F[n] ) = 2n

#( R[p] F[n] ) = 2 . #( R[p] F[n-1] ) +

#( R[p-1] F[n-1] )

#( R[n] F[n] ) = 1

( 0 < p < n , p, n ε N )

De resultaten worden opgesomd in de volgende tabel.

──────────────────────────────────────────────────────nD Object # R[0] # R[1] # R[2] # R[3] # R[4] # R[5]────────────────────────────────────────────────────── 0 punt 1 1 lijnstuk 2 1 2 vlak 4 4 1 3 kubus 8 12 6 1 4 hyperkub. 16 32 24 8 1 5 - 32 80 80 50 10 1

Projecties

Als we een drie- of meerdimensionaal object willen projecteren op een plat vlak, kunnen we dat op ver-schillende manieren doen. Eén manier is de loodrechte projectie. Zo kunnen we bijvoorbeeld een punt in een 3D-ruimte (x, y, z) afbeelden door middel van een loodrechte projectie op het xy-vlak. We laten een loodlijn neer en het snijpunt van deze loodlijn met het xy-vlak levert ons dan de loodrechte projectie. Het punt (p, q, r) bijvoorbeeld wordt zo afgebeeld op het punt (p, q). We nemen nu een kubus met als hoekpunten de coördinaten {(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)}. Als we deze kubus op

Figuur 28: Een kubus vanuit drie gezichtspunten

genoemde wijze projecteren, dan blijken er steeds twee punten samen te vallen. Als we echter deze kubus eerst een eindje draaien om bijvoorbeeld de x-as en daarna een eindje om een andere as en we projecteren daarna de hoekpunten met de verbindingslijnen daartussen op het xy-vlak, dan zien we de welbekende kubus getekend staan. (Zie figuur 28.)Een 4D-figuur kunnen we analoog op een 3D-ruimte afbeelden. Het punt (p, q, r, s) wordt door een loodr-echte projectie op de xyz-ruimte afgebeeld op (p, q, r). Door een loodrechte projectie op het xy-vlak wordt het punt (p, q, r, s) afgebeeld op (p, q). We nemen als voorbeeld de hyperkubus met als hoekpunten de coördi-naten {(0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) ... (1,1,1,1)}. Als we deze op genoemde wijze projecteren, zien we een

vierkant doordat er steeds vier hoekpunten samenvallen. We kunnen nu op deze 4D-configuratie draaiïngen uitvoeren. Hoe dit gaat leggen we uit aan de hand van een draaiïng in een plat vlak. (Figuur 29)

Figuur 29: draaiïng in het xy-vlak

We zien daar twee punten (1,0) en (0,1), die over een hoek alpha gedraaid worden. We zien in de figuur dat (1,0) afgebeeld wordt op (cos α, sin α) en (0,1) op (-sin α, cos α). Merk op dat dit ook opgaat voor hoeken groter dan negentig graden. Omdat roteren een lineaire afbeelding is, geldt voor een willekeurige vector p.(1,0) + q.(0,1) , dat de resultante na rotatie gelijk is aan p maal de resultante van (1,0) na rotatie plus q maal de resultante van (0,1) na rotatie.Rot alpha (p.e1 + q.e2) = p . Rotα(e1) + q . Rotα(e2)(NB.: "e" is een éénheidsvector. )We kunnen deze rotatie in matrixvorm als volgt weer-geven:

cos α -sin α x (cos α).x - (sin α).y=  

sin α cos α y (sin α).x + (cos α).yIn een 4D-ruimte is een rotatie in het xz-vlak een rotatie, waarbij de x- en de z-coördinaten veranderen en de y- en de v-coördinaten gelijk blijven. (Het is als het ware een draaiïng om de yv-hyperas. Net zoals bij een 3D-draaiïng om een as, blijven de coördinaten van de as ongewijzigd.) In matrixvorm:

cos α 0 -sin α 0 x 0 1 0 0 ysin α 0 cos α 0 z 0 0 0 1 v

Als we onze hyperkubus achtereenvolgens over 30 graden draaien in het xz-vlak, het xv-vlak, het yz-vlak en het

yv-vlak, dan verkrijgen we de volgende coördinaten: (0, 0, 0, 0) -> ( 0 , 0 , 0 , 0 ) A(0, 0, 0, 1) -> (-0.5 , -0.43, 0 , 0.75) I(0, 0, 1, 0) -> (-0.43, -0.25, 0.75, -0.43) E(0, 0, 1, 1) -> (-0.93, -0.68, 0.75, 0.32) M(0, 1, 0, 0) -> ( 0 , 0.75, 0.5 , 0.43) D(0, 1, 0, 1) -> (-0.5 , 0.32, 0.5 , 1.18) L(0, 1, 1, 0) -> (-0.43, 0.50, 1.25, -0 ) H(0, 1, 1, 1) -> (-0.93, 0.07, 1.25, 0.75) Q(1, 0, 0, 0) -> ( 0.75, -0.43, 0.43, 0.25) B(1, 0, 0, 1) -> ( 0.25, -0.87, 0.43, 1.00) J(1, 0, 1, 0) -> ( 0.32, -0.68, 1.18, -0.18) F(1, 0, 1, 1) -> (-0.18, -1.12, 1.18, 0.57) N(1, 1, 0, 0) -> ( 0.75, 0.32, 0.93, 0.68) C(1, 1, 0, 1) -> ( 0.25, -0.12, 0.93, 1.43) K(1, 1, 1, 0) -> ( 0.32, 0.07, 1.68, 0.25) G(1, 1, 1, 1) -> (-0.18, -0.37, 1.68, 1.00) PDeze figuur beelden we af door simpelweg de x- en de y-coördinaten te tekenen. (Zie figuur 30.) (Vergelijk deze figuur nog eens met figuur 27.)

Figuur 30: hyperkubus

Opake 4D-figuren

Tot nu toe hebben we transparante figuren getekend, maar we kunnen natuurlijk ook opake figuren tekenen. Hierbij doet zich een probleem voor in het geval van 4D-figuren.Ter oriëntatie kijken we eerst naar een 3D-figuur: een kubus. (Zie figuur 31.) Welke punten tekenen we wel en welke niet? Het antwoord luidt: Indien twee punten na projectie samenvallen, dan laten we het punt weg, dat de grootste afstand tot het projectievlak heeft.

Figuur 31In de tekening zien we dat punt P op de stippellijn samenvalt met een punt op het vlak rechts-voor. Punt P dient dus niet te worden getekend. Zo vallen alle punten op de stippellijnen weg en ook de punten die op de vlakjes liggen (die sowieso niet getekend worden). Op dezelfde wijze kunnen we een 4D-figuur afbeelden op een 3D-ruimte. We krijgen dan een ruimtelijk figuur, waarin alle punten staan, waarvoor geldt dat het punt vbanuit een bepaald punt in de projectieruimte zicht-baar is. Dit figuur kunnen we op delfde wijze op een vlak afbeelden, waarmee er weer een aantal punten (dus ook lijnstukken) wegvallen. Geen probleem. We projec-teren indirect: van 4D naar 3D en van 3D naar 2D. Kunnen we ook direct projecteren van 4D naar 2D. Ja, want we kunnen van ieder willekeurig 4D-punt een loodlijn neerlaten op een projectievlak. Loodlijn l van P(p1 p2 p3 p4) naar het xy-vlak:

p1 0   p2 0  l = p3 + μ * p3  p4 p4 

Nu doet zich het genoemde probleem voor. Stel dat er twee punten na projectie samenvallen, is het dan altijd zo dat de een achter de ander ligt? Nee, want het kan zijn dat ze in verschillende richtingen liggen.

Figuur 32

Ter vergelijking zien we in figuur 32 een projectie van 3D naar 1D. Hoewel bijvoorbeeld de lijnstukken BC en AD elkaar gedeeltelijk overlappen zijn ze beide volledig zichtbaar vanuit de 1D-projectieruimte. Bij een projectie via een 2D-ruimte, zien we dat er veel meer punten wegvallen. En bovendien: hadden we een andere tussenruimte gekozen, dan hadden we andere punten overgehouden. Probeer maar.Deze 3D-waarnemer met een ééndimensionaal netvlies ziet door middel van een indirecte projectie veel minder dan door middel van een directe projectie. Hij kijkt als het ware door een 2D-venster. Bij onze proefpersonen, die 4D moeten waarnemen, kunnen we dus ook kiezen, of we ze laten kijken door een 3D-venster of via een directe projectie. Het meest logische is het laatste, want met een 3D-venster gooi je immers informatie weg, bovendien is de keuze van de 3D-tussenruimte nogal arbitrair.We moeten dan uitrekenen welke punten onzichtbaar worden. Hiervoor zou men het volgende moeten doen: Bepaal van ieder tweetal punten, dat na projectie

samenvalt, de loodlijnen. Slechts als deze samenvallen, valt één van de twee punten weg, en dat is het punt dat de grootste afstand heeft tot het projectievlak.

Een opake hyperkubus

Laten we dit eens toepassen op de hyperkubus, getekend in figuur 30. Omdat het projectievlak in dit geval het object gedeeltelijk snijdt, verschuiven we deze: we hogen de z- en de v-coördinaten met 1 op. We krijgen dan:

A( 0 , 0 ,1 ,1 )B( 0.75,-0.43,1.43,1.25)C( 0.75, 0.32,1.93,1.68)D( 0 , 0.75,1.5 ,1.43)E(-0.43,-0.25,1.75,0.57)F( 0.32,-0.68,2.18,0.82)G( 0.32, 0.07,2.68,1.25)H(-0.43, 0.50,1.25,1.00)

I(-0.5 ,-0.43,1 ,1.75)J( 0.25,-0.87,1.43,2.00)K( 0.25,-0.12,1.93,2.43)L(-0.5 , 0.32,1.5 ,2.18)M(-0.93,-0.68,1.75,1.32)N(-0.18,-1.12,2.18,1.57)P(-0.18,-0.37,2.68,2.00)Q(-0.93, 0.07,2.25,1.75)

Lijnstuk AB kunnen we aangeven als:

AB = α.B + (1-α).A (0 α 1)

of in coördinaten:

0 0.75   0 -0.43  AB = + α . (0 α 1) 1 0.43   1 0.25  

De vector OA dient hier als steunvector, de vector AB is de richtingsvector. Het vlak ABCD kunnen we aangeven met behulp van de richtingsvectoren AB en CD. 0 0.75 0 0 -0.43 0.75 (0 α 1)

ABCD = + α . + ß . 1 0.43 0.50 (0 ß 1)

1 0.25 0.43

Op dezelfde wijze kunnen we deze hele hyperkubus beschrijven:

ABCD EFGH IJKL MNPQ =

0 0.75 0 -0.43 -0.50 0 -0.43 0.75 -0.25 -0.43= + α. + ß. + Γ. + δ. 1 0.43 0.50 0.75 0

1 0.25 0.43 -0.43 0.75

(0 α 1), (0 ß 1), (0 Γ 1), (0 δ 1)

Is punt A zichtbaar? We trekken nu een lijn van punt A naar zijn projectie A':

0 0 0 0A'A = + λ .  

0 1 0 1

Nu moeten we kijken of er punten zijn op de lijn AA', die ook element zijn van de hyperkubus ABCD EFGH IJKL MNPQ. Voor λ = 1 krijgen we punt A. Vinden we van deze punten voor λ < 1, dan liggen deze punten dus ruimtelijk voor punt A en dan is punt A dus niet zichtbaar.Dus de vraag is: Is ABCD EFGH IJKL MNPQ = AA' oplos-baar, met als voorwaarden (0 α,ß,Γ,δ 1)? We krijgen de volgende vier vergelijkingen:

0.75.α -0.43.Γ -0.50.δ = 0-0.43.α + 0.75.ß -0.25.Γ -0.43.δ = 0 0.43.α + 0.50.ß + 0.75.Γ - l + 1 = 0 0.25.α + 0.43.ß -0.43.Γ + 0.75.δ - l + 1 = 0

met de restricties:

(0 α 1), (0 ß 1), (0 Γ 1), (0 δ 1)

Korter geschreven als:

(1) 0.75 0 -0.43 -0.50 | 0 0 (2) -0.43 0.75 -0.25 -0.43 | 0 0 (3) 0.43 0.50 0.75 0 | -1 1 (4) 0.25 0.43 -0.43 0.75 | -1 1

Om te zien welke oplossingen dit stelsel van vergelij-kingen heeft, willen we het omvormen tot:

1 0 0 0 | ? ?0 1 0 0 | ? ?0 0 1 0 | ? ?0 0 0 1 | ? ?

Doen we 0.50/0.43 . (2) - (1), dan krijgen we:(5) -1.25 0.87 0.14 0 | 0 0

0.14/0.75 . (3) - (5) geeft:(6) 1.33 -0.78 0 0 | -0.19 0.19

0.50/0.75 . (4) + (1) geeft:(7) 0.92 0.29 -0.72 0 | -0.67 0.67

0.72/0.75 . (3) + (7):(8) 1.33 0.77 0 0 | -1.63 1.63

Nu doen we 0.77/0.78 . (6) + (8):(9) 2.64 0 0 0 | -1.82 1.82

en dit is gelijk aan:(10) 1 0 0 0 | -0.69 0.69

α - 0.69 l + 0.69 = 0 <=>α + 0.69 = 0.69 l ) 0 α 1 )

=> 0.69 0.69 λ 1.69 <=>1 λ 2.45

Er zijn geen oplossingen voor λ < 1. Hieruit volgt dat als de lijn AA' de hyperkubus doorsnijdt, dit zal zijn bij λ-waarden van groter of gelijk één. Dat λ =1 een oplossing geeft, wisten we al, want dat is punt A zelf. De punten bij λ >1 liggen allemaal achter A. Dus A is zichtbaar vanuit het projectievlak.

We maken ter controle de berekening even af.(6) - (8):

(11) 0 1.55 0 0 | -1.44 1.44

Dit is gelijk aan:(12) 0 1 0 0 | -0.93 0.93

(3) - 0.43 . (10) - 0.50 . (12) :(13) 0 0 0.75 0 | -0.24 0.24(14) 0 0 1 0 | -0.32 0.32

(1) - 0.75 . (7) + 0.43 . (14) :(15) 0 0 0 0.50 | -0.38 0.38(16) 0 0 0 1 | -0.76 0.76

Zo verkrijgen we uiteindelijk:(10) 1 0 0 0 | -0.69 0.69(12) 0 1 0 0 | -0.93 0.93(14) 0 0 1 0 | -0.32 0.32(16) 0 0 0 1 | -0.76 0.76

0 α 1 => 1 λ 2.45 )0 ß 1 => 1 λ 2.08 )0 Γ 1 => 1 λ 4.13 )

0 δ 1 => 1 λ 2.32 )

=> 1 λ 2.08

Volgen we de lijn te beginnen bij A', dan komen we bij λ=1 op punt A, daarna zitten we in het inwendige van de hyperkubus en bij λ=2.08 verlaten we de hyperkubus aan de achterzijde.

Zo kunnen we dit voor ieder punt doen. Ik wil me hier echter beperken tot het enige punt dat blijkt weg te vallen: punt P.

-0.18 0   -0.37 0  P'P = + λ   0 2.68  0 2.00 

Dit leidt tot de volgende vier vergelijkingen:

(1) 0.75 0 -0.43 -0.50 | 0 0.18(2) -0.43 0.75 -0.25 -0.43 | 0 0.37(3) 0.43 0.50 0.75 0 | -2.68 1  (4) 0.25 0.43 -0.43 0.75 | -2.00 1  

We voeren de volgende twee bewerkingen uit:(1) - 50/43 . (2) + 14/75 . (3) : (5)(1) + 50/75 . (4) + 72/75 . (3) : (6)

resulterend in:(5) 1.33 -0.78 0 0 | -0.50 -0.06(6) 1.33 0.77 0 0 | -3.91 1.81

Tenslotte doen we:1/2.68 . ( (5) + 78/77 . (6) ) : (7)

-1/1.55 . ( (5) - (6) ) : (8)1/0.75 . ( (3) - 0.43 . (7) - 0.50 . (8) ) : (9)-1/0.50 . ( (1) - 0.75 . (7) + 0.43 . (9) ) : (10)

en verkrijgen daarmee de matrix: (7) 1 0 0 0 | -1.66 0.66 (8) 0 1 0 0 | -2.20 1.21 (9) 0 0 1 0 | -1.15 0.15(10) 0 0 0 1 | -1.50 0.50

0.40 λ 1 ) 0.55 λ 1 ) 0.13 λ 1 ) 0.33 λ 1 )

=> Er zijn meerdere oplossingen ( 0.55 λ 1 ). Alle oplossingen voor λ < 1 liggen ruimtelijk voor punt P. P is dus niet zichtbaar.

figuur 33: een opake hyperkubus

4D-wezens met een twee-dimensionale retina

Beelden we een figuur uit een 4D-ruimte af op een plat vlak, dan zien we dat bepaalde punten in de projectie samenvallen, terwijl ze vanuit de projectieruimte (in casu het projectievlak) niet achter elkaar liggen en daardoor dus allebei zichtbaar zijn. Als we bijvoor-beeld een (drie-dimensionale) kubus, geplaatst in een 4D-ruimte, afbeelden, dan vallen de inwendige punten van dit lichaam - uiteraard - in de projectie samen met punten van de "begrenzende" vlakken. (Bij een 3D-lichaam in een 4D-ruimte kunnen we eigenlijk niet van begrenzende delen spreken.) Trekken we echter een loodlijn van een willekeurig punt binnen het lichaam naar het projectievlak, dan blijkt die lijn geen enkel ander punten van de kubus te snijden. Met andere woorden: ieder inwendig punt is zichtbaar. Dit is niet vreemd als we bedenken, dat in een 4D-ruimte de door-snede van een lijn met een (3D-) hypervlak een punt is; net zoals in een 3D-ruimte de doorsnede van een lijn met een vlak een punt is. Al met al betekent dit, dat bij een 4D -> 2D -projectie altijd een aantal punten over elkaar worden aftgebeeld (behalve natuurlijk als de dimensie van de af te beelden lichamen kleiner of gelijk de dimensie van de projectieruimte is). De afbeelding ziet er dus uit als een transparante figuur, ook al stelt het een opaak afgebeelde 4D-figuur voor.Eén belangrijk verschil is er tussen een transparante afbeelding en een overlappende afbeelding, zoals waar ik het hier over heb.

Stel dat er een vier-dimensionaal wezen bestaat, die uitgerust is met een twee-dimensionaal netvlies. Het 4D-wezentje leeft in een 4D-wereld, hetgeen zo bepaalde specifieke problemen met zich mee brengt, die wij in onze 3D-wereld niet kennen. Zo wordt het 4D-wezentje bijna overdonderd met informatie op zijn retina, aangezien er ontzettend veel punten over elkaar heen worden geprojecteerd. Dit wordt nog eens bemoeilijkt als het 4D-wezentje kijkt naar een transparant voor-werp, zoals een glas 4D-bier. Niet alleen wordt er dan nog meer over elkaar heen geprojecteerd, maar bovendien moet hij dan maar zien het onderscheid te maken tussen samenvallende punten, die in werkelijkheid naast elkaar staan en samenvallende punten, die in werkelijkheid achter elkaar liggen een dus onzichtbaar zouden zijn als het betreffende voorwerp niet transparant zou zijn. Toch is dit niet zo moeilijk als het lijkt. Het wordt namelijk versimpeld door het volgende feit. Als meerdere punten op elkaar worden geprojecteerd, dan neemt de lichtintensiteit toe; als meerdere punten door elkaar worden geprojecteerd (zoals bij transparantie) dan neemt de lichtintensiteit van de achterliggende punten af. Bij kleuren wordt dit heel erg duidelijk: kijkt het 4D-wezentje naar een 4D-lichaam met rode, blauwe en groene delen, dan zal hij vanuit bepaalde gezichtspunten soms wit zien (additieve kleurenmenging); kijkt hij naar een transparant 4D-figuur, dan ziet hij veelal een grauwe of bruine kleur (subtractieve kleurenmenging).

L i t e r a t u u r

Abbott, E.A. (1884, 1984). Flatland: [A Romance of Many Dimensions]. New American Library.

Biederman, I. (1987). Recognition-by-components: A theory of human image understanding. Psychological Review, 94, 115-147.

Bongard, M. (1970). Pattern Recognition. Rochelle Park, N.J.: Hayden Book Co., Spartan Books.

Davis, P.J., & Hersh, R. (1981). Four dimensional intuition. In P.J. Davis & R. Hersh, The Mathematical Experience(pp 400-405). Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser.

Gillam, B. (1979). Even a possible figure can look impossible! Perception, 8, 229-232.

Gregory, R.L. (1974). Choosing a paradigm for perception. In E.C. Carterette & M.P. Friedman (Eds.), Handbook of Perception(Vol. 1, pp. 255-283). New York: Academic Press.

Hatfield, G., & Epstein, W. (1985). The status of the minimum principle in the theoretical analysis of visual perception. Psychological Bulletin, 97, 155-186.

Helmholtz, H. von. (1867, 1962). Treatise on Physiological Optics (Vol. 3, Trans. from the 3rd German edition). New York: Dover Publications.

Hochberg, J., & McAlister, E. (1953). A quantitative approach to figural "goodness". Journal of Experimental Psychology, 46, 361-364.

Koffka, K. (1935). Principles of Gestalt Psychology, New York: Harcourt, Brace.

Kohler, I. (1956). Die Methode des Brillenversuchs in der Wahrnemungspsychologie mit Bemerkungen zur Lehre von der Adaptation. Zeitschrift für experi - mentelle und angewandte Psychologie, 3, 381-417.

Kopfermann. (1930). Psychologische Untersuchungen über die Wirkung zweidimensionaler Darstellungen korperlicher Gebilde. Psychologische Forschung, 13, 293-364.

Leeuwenberg, E.L.J. (1971). A perceptual coding language for visual and auditory patterns. American Jounal of Psychology, 84, 307-350.

Restle, F. (1982). Coding theory as an integration of Gestalt psychology and information processing theory (Ch. 2). In J. Beck & L. Lawrence Erlbaum (Eds.), Organization and representation in perception (pp.31-56), Hillsdale, N.J. etc.: L. Erlbaum Associates.

Rock, I. (1983). The logic of perception. Cambridge London: Bradfordbook - MIT-press.