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GUÍA DE APRENDIZAJE – SEGUNDO MEDIO 2020 – ETAPA RETROALIMENTACIÓN
INSTRUCCIONES GENERALES
Estimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje, la que considera los contenidos fundamentales, seleccionados para esta etapa de retroalimentación y preparación para la evaluación de síntesis.
Esta etapa es formativa, por lo que no se envía guía evaluada, sin embargo, los contenidos abordados en esta etapa serán considerados en la evaluación de síntesis.
El desarrollo de esta guía NO la debes enviar a tu respectivo profesor de matemática, ya que, los objetivos planteados en esta retroalimentación serán medidos en la evaluación de síntesis
CORREOS ELECTRÓNICOS PARA RECEPCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO
Patricio Undurraga
Valeria Artigas
Erick Ferreira
FECHA DE TERMINO ETAPA RETROALIMENTACION
04 DE DICIEMBRE DE 2020
PÁGINAS DEL TEXTO ESCOLAR A UTILIZAR
No olvides de revisar tu libro del estudiante, el cual podrá apoyarte en los distintos ejercicios presentes en esta guía. Página desde la 38 a la 75.
OBJETIVOS A EVALUAR Y ETAPA EN QUE SE TRABAJÓ:
1. Comprender la representación de las raíces enésimas como potencias de exponente fraccionario y viceversa. Además de realizar operaciones entre ellas.
2. Comprender qué es un logaritmo y su relación con las potencias y las raíces enésimas.
3. Conocer y comprender las propiedades de las operaciones con logaritmos.
4. Utilizar los logaritmos para modelar situaciones, y calcular valores en situaciones relacionadas con ellos.
Objetivo:comprender la representación de las raíces enésimas como potencias de exponente fraccionario y viceversa. Además de realizar operaciones entre ellas.
Una cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad sub-radical es la base de la potencia elevada al exponente que indica el numerador.
Ejemplo:
Liceo Técnico Bicentenario B- 63 “Juanita Fernández Solar”
Departamento de Matemática.
2º año Medio.
a)
b)
c)
I. Expresar en forma de raíz las siguientes potencias fraccionarias.
1.R: 5.
2.6.
3.7.
4.8.
II. Expresar con exponente fraccionario cada una de las siguientes raíces.
Ejemplo:
a)
b)
c)
1.5.
2.6.
3.7.
4.8.
III. Simplificar los siguientes radicales: (recordar que para ello debes descomponer la cantidad sub-radical en sus factores primos).
Ejemplo:
a)
=
b)
=
1.
=R:
2.
=R:
3.
=R:
4.
=R:
5. =R:3
6.
= R:
7.
=R:
8. =R:
IV. Suma y resta de radicales. No olvidar de simplificar los radicales dados si es posible y luego efectúe la adición o sustracción. Recordar que para dos o más raíces se puedan sumar o restar es necesario que estén definidas en los números reales y que sean semejantes, es decir, deben tener el mismo índice y la misma cantidad subradical.
Ejemplos:
a)
b) semejantes.
c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Objetivos:
1. Comprender qué es un logaritmo y su relación con las potencias y las raíces enésimas.
2. Conocer y comprender las propiedades de las operaciones con logaritmos.
LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES.
DEFINICIÓN DE LOGARITMO:
Por ejemplo:
a)
log16 = 4 (porque 2= 16)
b)
log = – 2(porque 3 )
Casos particulares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1. Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes logaritmos aplicando la definición y los casos particulares.
2. Determina el valor de x aplicando la definición de logaritmo, y si es necesario utiliza las propiedades de raíces y potencias
Ejemplos:
1.
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
El 125 lo dejamos expresado en forma de potencia, con base 5 y exponte 3. Puedes observar que los exponentes son iguales, entoncesutilizando propiedades de potencia podemos igualar las bases, y obtener nuestro resultado:
El valor de la base corresponde a 5
2.
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Al existir una potencia con exponente negativo, podemos invertir numerador con denominador, y el exponente cambia de signo, en éste caso cambia a positivo:
El valor del argumento corresponde a 1/49
3.
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
(1/512) lo dejamos expresado en forma de potencia con base 1/8 y exponente 3, luego invertimos numerador por denominador y cambiamos el signo del exponente. En éste caso pasa a ser negativo.
(el 1 no es necesario escribirlo en el denominador).
Ahora que las bases son iguales, igualamos los exponentes utilizando propiedades de potencia.
El valor del logaritmo corresponde a -3
Resolver:
LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES:
Si la base del logaritmo es 10 se llama logaritmo decimal y se puede escribir log sin indicar la base.
Si la base es el número e (e= 2,718….), se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se escribe ln. Se denomina “neperiano” en honor a John Neper (1550-1617), matemático escocés a quien se atribuye el concepto de logaritmo.
Tanto los logaritmos naturales como los decimales aparecen en las calculadoras científicas.
Ejercicios: Calcular sin la ayuda de la calculadora, aplicando los casos particulares.
a) log 10 =b) log 0,001=c) log
d) ln e =e) lnf) ln
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
Ejemplo:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)=
5) =
Resolver aplicando las propiedades de logaritmos
a)
f)
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
j)
3.- Reduce a un solo logaritmo, aplicando en reversa las propiedades
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
Resolver aplicando las propiedades en reversa
a)
f)
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
j)
Objetivo:
Utilizar los logaritmos para modelar situaciones, y calcular valores en situaciones relacionadas con ellos.
Resolución de problemas:
Al conocer y comprender las propiedades de las operaciones con logaritmos nos permite aplicarlas y utilizarlas en ecuaciones que contengan logaritmos, como en el caso de los siguientes problemas cotidianos:
Ejemplo 1.- Ciencias Naturales: Para describir la intensidad del sonido y relacionarla con su magnitud en watts por metro (W/m2) se utilizan los decibeles.
La intensidad en decibeles y la magnitud se relaciona mediante la fórmula:
Analiza las siguientes situaciones y completa la tabla con la magnitud del sonido correspondiente.
Situación
Intensidad del sonido (dB)
Magnitud del sonido (W/m2)
Pasos en el suelo
10
Viento en los árboles
20
La tabla anterior podrá completarse de la siguiente manera:
Situación
Intensidad del sonido (dB)
Magnitud del sonido (W/m2)
Procedimiento que se debe realizar.
Pasos en el suelo
10
· Fórmula que nos dan.
· Reemplazamos el valor de dB que nos dan en la fórmula. En este caso es 10.
· Comenzamos a despejar nuestra ecuación. El 120 pasa restando al otro lado de la igualdad.
· Debemos despejar log(l), por lo tanto, el 10 que está multiplicando pasaría dividiendo al otro lado de la igualdad.
· Cuando la base de un logaritmo no está escrita significa que corresponde a un 10.
· Aplicamos definición de logaritmo.
El número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Reemplazar los valores:
Viento en los árboles
20
· Fórmula que nos dan.
· Reemplazamos el valor de dB que nos dan en la fórmula. En este caso es 20.
· Comenzamos a despejar nuestra ecuación. El 120 pasa restando al otro lado de la igualdad.
· Debemos despejar log(l), por lo tanto, el 10 que está multiplicando pasaría dividiendo.
· Cuando la base de un logaritmo no está escrita significa que corresponde a un 10.
· Aplicamos definición de logaritmo.
El número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Reemplazar los valores:
Ejemplo 2.-Un médico detecta que un paciente requiere mantener los niveles de un medicamento en la sangre. La cantidad c de miligramos que hay presentes en ella va disminuyendo con el tiempo t en horas de acuerdo a la relación:
a. ¿Cuál es la dosis que se administra del medicamento?
· Fórmula que nos dan.
· Para conocer la dosis nuestro tiempo tendrá que ser cero (antes de comenzar).
· Reemplazamos el valor de cero en t, en la fórmula.
· Resolvemos.
· Aplicamos definición de logaritmo.
El número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Reemplazar los valores:
Nuestra base no aparece escrita, eso significa que corresponde a 10.
El 1 corresponde al número que se debe elevar la base, que en este caso es 10.
El c corresponde argumento, y en este ejercicio era nuestra incógnita.
b.- ¿Al cabo de cuántas horas quedan 0,8 mg del medicamento?
· Fórmula que nos dan.
· Los 0,8 mg corresponden al valor de c en nuestra fórmula, entonces la reemplazamos.
· Comenzamos a despejar la ecuación. El 1 estaba sumando, entonces pasará restando al otro lado de la igualdad.
· Obtenemos por calculadora el valor de log 0,8= -0,09691
· Realizamos la operación de resta.
· Multiplicamos por (-1) para que nuestra incógnita (t) al despejarla quede positiva.
· El valor de 0,087 está multiplicando, pasaría dividiendo al otro lado de la igualdad.
· Se realiza la división y se obtiene el valor de la incógnita t.
Actividad:
1.- Para describir la intensidad del sonido y relacionarla con su magnitud en watts por metro (W/m2) se utilizan los decibeles.
La intensidad en decibeles y la magnitud se relaciona mediante la fórmula:
Analiza las siguientes situaciones y completa la tabla con la magnitud del sonido correspondiente.
Situación
Intensidad del sonido (dB)
Magnitud del sonido (W/m2)
Tráfico en horas de congestión
80
Motocicleta
100
Despegue de un avión
150
Explosión
180
2.- El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración de moles de hidrógeno utilizando la fórmula:
Donde corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.
a) Calcula el pH de una sustancia cuya concentración de iones de hidrógeno es de 0,00000038 moles por litro.
b) En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómeno llamado “lluvia ácida”. Calcula la concentración de iones de hidrógeno de una lluvia ácida cuyo pH es 2,8.
c) Calcula la concentración de iones de hidrógeno de las siguientes sustancias, conociendo su pH aproximado.
Sustancia
pH
Vinagre
2,9
Jugo gástrico
1,5
Jugo de naranja
4,5
Orina
6,5
Jabón de manos
9,5
4
32
80
45
3
54
3
32
35
+
35
R
=+
32863
-
37
R
=
2232
+
2
3
2
3
3
224
==
52
R
=
352045
++
85
R
=
658575
++
215
R
=
124875
++
113
R
=
3520
+
55
R
=
4300192243
++
4
5
4
5
5
3381
==
573
R
=
33
3525
+
3
55
R
=
1227
+
53
R
=
1850
+
82
R
=
33
16250
+
3
72
R
=
333
23252
++
1
3
3
3
92
R
=
33
5416
-
3
2
R
=
2
4
3
9
1
9
1
2
=
-
log1253
x
=
3
3
3
33
125
5
x
x
=
=
5
x
=
7
log2
x
=-
2
(7)
x
-
=
2
2
7
1
1
7
1
49
x
x
x
-
æö
=
ç÷
èø
æö
=
ç÷
èø
=
8
1
log
512
x
æö
=
ç÷
èø
3
1
8
512
1
8
8
x
x
=
æö
=
ç÷
èø
3
8
8
1
x
-
æö
=
ç÷
èø
3
88
x
-
=
3
x
=-
2
5
7
=
3
100
=
e
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
e
1
log
abc
=
logloglog
abc
=++
4
log
x
y
=
log4log
log4loglog
xy
xy
=-
=+-
log
ab
=
5
49
R
=
3
3
log
ab
c
1
3
1
3
log3log
log3logloglog
1
log3logloglog
3
abc
abc
abc
=-
=++-
=++-
2
4
5
log
2
abc
xy
1
2
4
1
2
4
log5(log2)
log5logloglog(log2loglog)
1
log52loglogloglog2loglog
4
abcxy
abcxy
abcxy
=-
=+++-++
=+++---
(
)
log2
ab
=
log
ab
=
3
log
4
a
=
log
2
x
y
=
2
2
log
3
a
=
log2
ab
=
2
5
2
54
log
ab
=
3
3
log
ab
c
=
2
log
ab
=
(
)
333
4
log
abc
=
logloglog
abc
++
log8loglog
pq
+-
(
)
(
)
1
log53log125
2
+
(
)
(
)
2
log45log2
3
-
(
)
2log2log2log
abab
+--
loglog
ab
+=
5
4
R
=
log2log3log4
++=
loglog
xy
-=
111
logloglog
322
abc
--=
11
loglog
22
xy
+=
35
loglog
22
ab
+=
logloglog
axy
--=
111
logloglog
234
xyz
-+=
loglogloglog
pqrs
+--=
1
log3logloglog
3
abc
++-=
(
)
l
2
3
5
-
(
)
12010log
dBl
=+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11
12010log
1012010log
1012010log
11010log
110
log
10
11log
10
dBl
l
l
l
l
l
l
-
=+
=+
-=
-=
-=
-=
=
log
c
b
acba
=«=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
10
12010log
2012010log
2012010log
10010log
100
log
10
10log
10
dBl
l
l
l
l
l
l
-
=+
=+
-=
-=
-=
-=
=
log10,087
ct
=-
1
log110
cc
=«=
3
25
R
=-
2
3
5
3
25
R
=
3
4
6
4
216
R
=
3
4
2
-
4
8
R
=-
2
5
11
5
121
R
=
5
5
3
3
88
=
2
3
2
3
22
=
3
1
2
3
R
=
6
3
3
1
2
3
R
=
3
2
5
-
2
3
5
R
-
=
7
5
2
5
7
2
R
=
4
3
2
3
4
2
R
=
8
4
2
1
2
2
R
=
5
4
2
4
5
2
R
=
5
11
7
-
5
11
7
R
-
=
20
32
3
24
3
23
5
2
52
213
4
162