MATEMATIK A

TERMINSPRØVE

3 MATADe første 2 timer er kun med formelsamling.

Herefter alle skriftlige hjælpemidler

MORSØ GYMNASIUM

Torsdag den 3. december 2020kl. 08.30-13.30

Opgavesættet er delt i to dele

Delprøve 1: 2 timer kun med den centralt udmeldte formelsamling.Delprøve 2: 3 timer med alle hjælpemidler.

Delprøve 1 består af opgave 1-10.

Delprøve 2 består af opgave 11-16

Pointtallene er angivet ud for hvert spørgsmål

Der gives i alt 250 point.

En del af spørgsmålene er knyttet til mindstekravene.Disse spørgsmål er markeret med grøn farve.

I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. I bedømmelsen af helhedsindtrykket af besvarelsen af de enkelte opgaver lægges særlig vægt på følgende fire punkter:

Redegørelse og dokumentation for metode Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte løsningsstrategi med dokumentation i form af et passende antal mellemregninger eller matematiske forklaringer på metoden, når et matematisk værktøjsprogram anvendes.

Figurer, grafer og andre illustrationer Besvarelsen skal indeholde hensigtsmæssig brug af figurer, grafer og andre illustrationer, og der skal være tydelige henvisninger til brug af disse i den forklarende tekst.

Notation og layout Besvarelsen skal i overensstemmelse med god matematisk skik opstilles med hensigtsmæssig brug af symbolsprog. Hvis der anvendes matematisk notation, der ikke hører til standardviden, skal der redegøres for betydningen.

Formidling og forklaring Besvarelsen af rene matematikopgaver skal indeholde en angivelse af givne oplysninger og korte forklaringer knyttet til den anvendte løsningsstrategi beskrevet med brug af almindelig matematisk notation.Besvarelsen af opgaver, der omhandler matematiske modeller, skal indeholde en kort præsentation af modellens kontekst, herunder betydning

af modellens parametre. De enkelte delspørgsmål skal afsluttes med en præcis konklusion præsenteret i et klart sprog i relation til konteksten.

Delprøve 1Kl. 8.30 - 10.30

Opgave 1

(10 point)

a) Reducér udtrykket

(2 x− y )2−2 x ∙ ( x−2 y )

Opgave 2

(10 point)

Foto: sneakerfits.com

En tøjbutik tilbyder idrætstøj hvor der kan vælges mellem 4 forskellige sko, 6 forskellige trøjer og 5 forskellige shorts. I et særligt tilbud kan man til nedsat pris vælge mellem to pakker:

Pakke med 2 ting: En trøje og et par shorts.Pakke med 3 ting: En trøje, et par shorts og et par sko.

En idrætsudøver har meget svært ved at vælge mellem de forskellige mulige pakker og vælger derfor at trække lod imellem alle mulige pakker.

a) Bestem sandsynligheden for, at idrætsudøveren ved lodtrækning blandt de forskellige pakker, vælger en pakke med 3 ting.

Opgave 3

(10 point)

En funktion f er bestemt ved

f ( x )=x ∙ e2 x .

a) Bestem f ' (x).

(5 point) b) Løs ligningen f ' ( x )=0.

Opgave 4

(10 point) a) Bestem integralet

∫0

2

( 6 x2+8 x−5 ) dx .

Opgave 5

(10 point)

På figuren ses grafen for funktionen f .

Funktionens forskrift er af typen

f ( x )=A ∙ sin (b ∙ x )+c .

a) Brug figuren til at bestemme konstanterne A, bog c.

Benyt eventuelt vedlagte bilag.

Opgave 6 En vektor v⃗ og en matrix M er givet ved

(10 point) v⃗=(25) og M=(1 6

3 0)a) Bestem M 2 ∙ v⃗ .

Opgave 7

(10 point)

(10 point)

En funktion f er løsning til differentialligninegn

y '=3 ∙ y .

Grafen for f går gennem punktet P(0 , 23 ).

a) Bestem linjeelementet i P, og gør rede for hvad dette fortæller om grafens forløb.

b) Bestem en forskrift for f .

Opgave 8

(10 point)

En vektorfunktion r⃗ er givet ved forskriften

r⃗ ( t )=( t2−92−t ) .

a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem koordinatsystemets akser og parameterkurven for r⃗.

Opgave 9

(10 point)

(5 point)

En binomialfordelt stokastisk variabel X har middelværdi 3,6 og antalsparameter 4.

a) Bestem sandsynlighedsparameteren for X , og bestem P ( X=2 ).

b) Bestem spredningen for X .

Opgave 10 En funktion f er givet ved

f ( x )= (a ∙ x+b )3 ,

hvor a og b er konstanter.

(10 point)

Det oplyses, at f ' (0 )=6 b2 og f (3 )=1000.

a) Bestem a og b.

Besvarelsen afleveres kl. 10.30

Delprøve 2Kl. 8.30 - 13.30

Opgave 11

(10 point)

(5 point)

(10 point)

En TV-udbyder tilbyder to TV-pakker A og B. Én gang hver måned kan kunderne skifte TV-pakke. Det antages at hver måned skifter 7% af kunderne med pakke A til pakke B, mens 16 % med pakke B skifter til pakke A. Antallet af kunder med henholdsvis pakke A og pakke B efter n måneder betegnes henholdsvis an og bn.

a) Gør rede for, at udviklingen i fordelingen mellem antal kunder, der har valgt pakke A og pakke B, kan beskrives ved

(an+1

bn+1)=(0,93 0,160,07 0,84)∙(an

bn)

b) Bestem egenværdierne for matricen (0,93 0,160,07 0,84).

c) Bestem en egenvektor for matricen (0,93 0,160,07 0,84), når egenværdien er 1, og forklar,

hvad egenvektoren fortæller om forholdet mellem antallet af kunder der vælger pakke A henholdsvis B.

Opgave 12

Opgave 13

(10 point)

I forbindelse med et slag i en krig forsøges et fjendtligt kampfly skudt ned med en kanon. I en model i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser kan kanonens projektil og det angribende flys bevægelser beskrives ved

O⃗P ( t )=( 140∙ t−4,91 ∙t 2+69,6 ∙t +3,0)O⃗F ( t )=(1455−210∙ t

208 ) ,

hvor O⃗P ( t ) og O⃗F ( t ) betegner stedvektorer til kanonens projektils henholdsvis flyets position til tidspunktet t (målt i sekunder efter skudet).

a) Tegn banekurven for kanonens projektils og flyets bevægelse i samme koordinatsystem.

(10 point)

(5 point)

b) Benyt modellen til at bestemme kanonens projektils fart til tidspunktet t=2.

c) Benyt modellen til at afgøre, om kanonens projektil rammer flyet.

Opgave 14

(10 point)

(10 point)

(5 point)

I en sø lever en bestand af aborrer. I en model kan udviklingen i antallet af aborrer i søen beskrives ved en løsning til differentialligningen

dydt

=0,45 ∙ y ∙(1− y138 )−s ∙ y

hvor y betegner antallet af aborrer i søen (målt i tusinde) til tidspunktet t (målt i år), og s betegner andelen af aborrer, der bliver fanget om året.

a) Tegn et hældningsfelt når s=0,03 i vinduet [ 0 ;20 ] × [ 0 ;150 ].

Det oplyses, at bestanden af aborrer er 100 tusinde til tidspunktet t=0.

b) Bestem en løsning til differentialligningen når s=0,03.

Man ønsker at bestanden af aborrer holdes konstant på 100 tusinde.

c) Benyt modellen til at bestemme antallet af aborrer, der skal fanges årligt.

Opgave 15

For et bestemt hus opvarmet ved hjælp af fjernvarme viser nedenstående tabel sammenhørende værdier af den gennemsnitlige afkøling af fjernevarmevandet i løbet af året og det årlige forbrug af fjernevarmevand målt i m3.

Gennemsnitlig afkøling af fjernvarmevand målt i ℃. 11 19 32 44

Årligt forbrug af fjernvarmevand målt i m3. 1554 777 518 388

Udviklingen i det årlige forbrug af fjernvarmevand som funktion af den gennemsnitlige afkøling af fjernvarmevandet kan i en model beskrives ved sammenhængen

(10 point)

(10 point)

ln (V )=a ∙ ln (K )+b ,

hvor V betegner det årlige forbrug af fjernevarmevand (målt i m3), og K betegner den gennemsnitlige afkøling af fjernvarmevandet (målt i ℃).

a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. (vink: tag ln til variablene inden du foretager en regression)

b) Benyt modellen til at bestemme det årlige forbrug af fjernvarmevand, når den gennemsnitlige afkøling af fjernvarmevandet er 25℃.

Opgave 16

(10 point)

10 point

Indgangen til en berømt mexicansk kirke har form som en parabel. På figuren er parablen indlagt i et koordinatsystem, med enheden meter på begge akser. Det oplyses at porten er 14,4 meter bred nederst og har en højde på 16,9 meter.

a) Opstil en regneforskrift for den funktion, hvis graf beskriver parablen.

Porten er inddelt i en række felter. Det skraverede felt M på figuren er afgrænset af parablen, førsteaksen og linjerne med ligningerne y=11,4 og x=10,4.

b) Bestem arealet af feltet M .

BILAG

Bilaget kan indgå i besvarelsen (løsgør bilaget fra opgavesættet og aflevér med besvarelsen)

Skole Hold ID

Navn Ark nr. Antal ark i alt Tilsynsførende

Opgave 5