1

Unidad de Reforzamiento

Conjunto de los números enteros (Z).

El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z.

Z = ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Números enteros negativos Z– = { ...,–5, –4, –3, –2, –1 }

Números enteros positivos Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Las propiedades en el conjunto de los números enteros son las siguientes:

a) no tiene primer elemento b) es infinito, o sea, no tiene último elemento.c) entre dos números consecutivos, no existe otro. El conjunto es

DISCRETO.d) está ordenado por la relación “menor” o “menor o igual”e) se aplica la propiedad de tricotomía. (Entre dos números , se puede

comparar con una sola de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o “igual”.)

En “Z” se definen las dos siguientes operaciones :

ADICION: Además de las propiedades que se cumplen en los números naturales se agregan

elemento neutro , a Z ! 0 Z a + 0 0 + a a ( Si a todo número entero le sumamos el “cero”, resulta el mismo número )

elemento inverso ( opuesto ) , a Z ! -a Z a + -a -a + a 0

( Si a cada número entero se suma su opuesto el resultado es cero)

2

Ley de signos para la suma de números enteros

MULTIPLICACION: Se cumplen las mismas propiedades que con los números naturales. Ley de signos para la multiplicación y división de números enteros.

USO DE PARÉNTESIS.

Recuerda que :

1. Si hay paréntesis, primero se soluciona las operaciones al interior de aquel.

2. Si no hay paréntesis, la multiplicación y la división son prioritarias.

3

Operaciones combinadas con números Enteros.

4

(-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18] = -19 (-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)] = -85

a) (-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18] b) (-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)]

12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15) = -52 [10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]} = -48

c) 12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15)d) [10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]}

(-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2] = 3 (-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)] = -33

e) (-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2] f) (-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)]

(10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)] = 27 (-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1) = 1

g) (10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)] h) (-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1)

18·4 + 18 - (-2)·11 = 112 (-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)] = 11

i) 18·4 + 18 - (-2)·11 j) (-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)]

17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)] = 75 (-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)] = 37

k) 17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)] l) (-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)]

5

8 - (1 - 12) - [(-6) - 4] = 29 12 - (-16) + 8 - (-3)·14 = 78

m) 8 - (1 - 12) - [(-6) - 4] n) 12 - (-16) + 8 - (-3)·14

17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)] = 55 (-12) - (7 - 17) + 2·(-3) = -8

o) 17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)] p) (-12) - (7 - 17) + 2·(-3)

Conjunto de los Números Racionales (Q)

6

Método del mínimo común múltiplo

Ejemplo:

56

+110

−64

=10 x560

+6 x 160

−15 x 660

=5060

+660

−9060

=

50+6−9060

=56−9060

=−3460

=−1730

- Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

mcm(6,10,4) = 60- Se divide el mcm entre

cada denominador y el resultado se multiplica por cada denominador.

- Se coloca por denominador el mcm.

- Se suman o restan las fracciones, que ahora tienen todas el mismo denominador.

- Se simplifica el resultado, si es posible.

Suma de fracciones (método de los productos cruzados)

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Podemos seguir la siguiente regla para sumarlas:

    a     +   c   =       ad + bc        (se multiplica cruzado y los productos de suman) b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

7

División de fracciones

En la división de fracciones se cambian en la fracción que se divide numerador por denominador y se realiza la multiplicación.

Ejemplo:

3  :   4   =  3  · 3   =  9 5      3       5    4      20

Ejemplo:

3 :  1  =  3 · 2    =  6 7 2    7· 1       7

Fracción compuesta

8

EJERCICIOS OPERATORIA COMBINADA CON FRACCIONES

Calcula las siguientes operaciones combinadas con fracciones, simplificando al máximo:

a)

23×(1− 14 )+ 34=

b)

34÷( 32+1)=

c) 2+

1+ 12

3−34

+ 34=

a)

32×(1+ 13 )+ 34=

b)

25÷( 32−1)=

c) 2+

2−62

3−23

+ 14=

9

Potencias

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

4= Exponente Se puede leer: tres elevado a

cuatro o bien tres elevado a la cuarta.

3 . 3 . 3 . 3 = 3 4

3= Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:2 5 =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.3 2 = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.5 4 =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.Una potencia puede representarse en forma general como:

a n =  a • a • a • ........

Donde: a = base     n = exponente “ n” factores igualesFinalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente naturalSi la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a   Z ) (léase a pertenece a zeta ) significa que puede tomar valores positivos y negativos . Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales , significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:Si la base a es positiva , la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

10

( + a) n = + a n

Ejemplos:( + 4) 3 =   4 3 =  4 • 4 • 4  =  64  = + 64                    Exponente impar( + 3) 4 =   3 4 =  3 • 3 • 3 • 3  =  81  = + 81                   Exponente par

Potencia de base entera negativa:Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.a) Si el exponente es par , la potencia es positiva.

( _ a) n  (par) = + a n

Ejemplos:( _ 5) 2 = _ 5 • _ 5  = + 25  =  25 _ · _ =  +( _ 2) 8 = _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2  = + 256  =  256b) Si el exponente es impar , la potencia es negativa.

( _ a) n (impar) = _ a n

Ejemplos:( _ 2) 3 = _ 2 • _ 2 • _ 2  = _ 8( _ 3) 3 = _ 3 • _ 3 • _ 3  = _ 27En resumen:

Base Exponente

Potencia

Positiva Par PositivaPositiva Impar PositivaNegativa Par PositivaNegativa Impar Negativa

Multiplicación de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos:

11

1) 

2) 

3) 

División de potencias de igual basePara dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Multiplicación de potencias de igual exponenteSe multiplican las bases y se conserva el exponente.

Ejemplo:

División de potencias de igual exponenteSe dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo:

12

Potencia elevada a potenciaSe eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1) 

2) 

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base   (fracción) perteneciente al conjunto de los Números

Racionales (     Q ),donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n   Z).  Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Potencia de exponente negativo

13

Si   es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:Resolver la ecuación 2x – 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 32x = 56

14

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  56 • ½Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Problemas con ecuaciones de primer grado

Problemas con ecuaciones de primer grado. Pasos a seguir para plantear y resolver problemas de ecuaciones.Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones- Leer y comprender el enunciado- Designar la incógnita- Plantear la ecuación- Resolver la ecuación- Discusión e interpretación de los resultados

Problema de mezclasUn comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $6 el litro y la segunda de $7,2 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $7 el litro?

1. Planteamiento      

  Clase A Clase B Mezcla

Precio por litro en $   6   7,2   7

Número de litros   x   60 - x   60

2. Ecuación6x + 7,2 ( 60 - x ) = 7.60 =>    x = 10

3. Solución Clase A   =>   10 litros   Clase B   =>   60 - 10 = 50 litros

15

Actividades Reforzamiento. Guía de síntesis

I.- Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios de operatoria combinada con números enteros y resuelve. Compara tus respuestas.

1) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =2) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =3) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =4) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =5) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 =6) - { 3 - 8 - [ 4 - 3 + ( 5 + 2 - 10 ) - ( 4 - 5 ) - 3 ] + 4 - 8 } + 2 =

Respuestas:

1) 19 2) 13 3) 4 4) -9 5) 8 6) 7

II. Resolver en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas de números enteros. Compara tus respuestas.

1) ( + 5 ) · ( - 12 ) : ( + 4 ) =2) ( - 15 ) · ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =3) ( - 3 ) · ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =4 ) ( - 2 + 7 ) · ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3) · (- 2)=5) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=6) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 · 3 + 1 ) =7) ( - 5 ) - ( + 4 ) : [ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] = 8) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) · ( - 2 ) =

Respuestas:

1) -15 2) 5 3) -4 4) 4 5) 9 6) 13 7) -9 8) 17

III. EJERCICIOS DE OPERATORIA CON NÚMEROS RACIONALES.

16

1. Tengo $20 y pierdo 1/4 de esa cantidad ¿con cuánto dinero quedo?

2. Si le resto 3 a la mitad de 2, ¿Cuánto obtengo?

3. Con cuántos litros de agua se llenarían 12 botellas de 3/4 de litros:

CALCULA:

1) 23+ 12=

2) 57+ 914

=3) 59+ 712

+1 34=

4) 98+1 14=

5) 2 14+3 12+1 35=

6) 23+ 12=

7) −25− 710

=8)

− 924

−−1112

=

Resuelve las siguientes operaciones combinadas, considerando el orden de operación:

1) 14+ 32⋅23 =

2) 56⋅ 415

−35⋅2018 =

3) 38:1824

−56 =

4) ( 35+ 110

) :−1415 =

5) −45

⋅( 73−54) =

17

6) ( 12− 34) : 56 =

7) 1218:(−12

+ 38

) =

8) (−1 1

3−2 12) :125 =

9) −3 310:(7 56−4 910

) =

10) 1 38−( 73− 112

) =

11) (4 12−5 1

3)−78 =

12) )

65

83()2

54(

=

13) −78: 12−[−3

8+( 35− 23) =

14) (−38+1 ):(−7

3⋅34+1)

=

15) 34⋅−29

−1 12+78: 73 =

IV. Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios de operatoria combinada con números enteros y resuelve.

m)1 − 1

3

1 + 35

−3 + 1

614

− 2n )

34

− 13: (1 − 2

5 )37

− 12· (23 + 7

2 )

18

ñ )7 − 2

3· (1 − 1

2 )3 + 5

2· (1 − 2

3 )o )3 · (−25 + 1) − 3

4: 12

12

− 13: 4

p)(3 − 1

4 ) : (145 − 2)(8 − 2

3 ) : (4 − 54 )

q )(1 + 1

2 ) · 23 − ( 14 + 1) · 2(2 − 5

3 ) · 13 + (12 + 14 ) · 2

r ) 1 + 2

3 + 4

5 − 16

s )

32

12

+ 1

1 +13

V. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) x + 9 = 16 2) x – 6 = 4 3) x + 10 = 21 4) x – 8 = 12

5) 7 = x + 1 6) 40 – x = 29 7) 1 – x = 1 8) 12 – x = 4

9) 10 + 2x = 2 10) 9 + 2 = 2x – 10 11) 41 – z = 82 12) 63 = 3 – 6n

13) 4x – 2x = 44 14) 3 – x + 6x = 18 15) 4y – 1 = y – 4 16) 5b – 2 = 3b + 6

17) 2k – 1 = k – 5 + 3k 18) 45 = 52 – x 19) 7x – 15 – 6x = 31 20) 2x + 6 – x = 23

19

21) 3x – 17 = 13 22) 3x – 52 – 9x = 80 23) 4x – 16 – 7x = 20 24) 15x – 73 = 6x + 35

25) 23x – 52 – 17x = 80 – 6x – 12 26) 45 – 17x – 15 = 32x – 40 – 54x

VI. Plantear y Resolver las siguientes ecuaciones:

1. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son?

2. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado será tres veces el menor. Encontrar los números.

3. Si a 288 se le suma un cierto número el resultado es igual a tres veces el exceso del número sobre 12. Encontrar el número.

4. Dividir 105 en dos partes una de las cuales disminuida en 20 sea igual a la otra disminuida en 15.

5. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84.

6. Dividir $380,000 entre A, B y C de modo que B tenga $30.000 mas que A, y C tenga $20.000 más que B.

7. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años mas el tendrá el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades.

VII. Resuelve aplicando las propiedades de las potencias:

1) x2⋅x3⋅x6

2) 2ab⋅(a2+b2 )

3) nk−3⋅n4−k

4) pn+1⋅pn−2

5) a6(a+1+a2 )

6) m5(m3−m2+m)

7) 9⋅3n−2⋅3n+1

8) am−3 (am−2−a3−m)

9) −3⋅an−2⋅bn−3⋅6⋅a3⋅b−4

10) 10−4(105+106 )

20

11) x6 : x2

12) a12 :a−14

13) b−3 :b−3

14) (a−8−a−3 ) :a−11

15) (ax−a−x ): ax

16) −3a2 : 6a3

17) m6−c:mc−6

18) x2n−1 : xn−1

19) (a6−a5 ): a5

20) am⋅bm

21) (−2a)4 x⋅(3b)4 x

22) ( 34

)2· (−23

)2

23) 166 :86

24) ( 23)4 :( 4

9)4

25) (3m)a :ma

26) (a2 )2 :(a−2 )3

27) (22 )−2

28) (2a2b )3

29) (ax+2)5

30) (a−a2+a3−a4 )⋅a−1

31) 3−2+5−2

32) (−3)−2+(−5)−2

33) ( 23)−2+( 3

2)−2

34) (2−0 ,75−1)−2

35) 5−2+5−1

5−3

36) 2−2+2−1

2−1−2−2

VIII. Resuelve utilizando operatoria en Z y potencias

1) -45 : 32 + ( 23 – 32 ) + 7 =

2) 5 . ( 110 + 10 ) – 36 : ( 72 – 5 . 8 ) + 1 =

3) – [ ( 2 + 42 + 9 ) : ( 52 – 42 ) ] – { ( 102 – 92 - 10 ) : -3 } =