w v p w o propriedade elástica do meio po propriedade...
TRANSCRIPT
Cap 17 (8a edição)
Ondas Sonoras – II
Ondas mecânicas: necessitam de um meio de propagação.
Elas podem ser transversais e longitudinais.
Onda sonora: Longitudinal (som, sonar, radar)
Neste capítulo: ondas se propagam no ar e são audíveis
Velocidade do som:
_
_ / _
_ _ _
_
( _ )/
Variação pressão
Mudança volume volume inicial
v
propriedade elástica do meio
propriedade inercial
pB módulo compressão
V V
=
→
→
− =
Meios mais moles significa B pequenos (oscila muito) e B grandes incompressível.
Então: B → e → , com isso podemos escrever:
Bv
=
Exercícios
01) Ultrassom para diagnostico na frequência de 4,50 MHz e usado para examinar
tumores em tecidos moles. (a) Qual o comprimento de onda no ar de uma onda sonora
deste tipo? (b) Se a velocidade do som no tecido for de 1500 m/s, qual será o comprimento
de onda desta onda no tecido?
6
4,5
)
343
4,5 10
76, 22
f MHz
a
v vf
f x
m
=
= → = =
=
6
)
1500
4,5 10
333,33
b
v
f x
m
= =
=
02) A pressão em uma onda sonora progressiva e dada pela equação
Determine (a) A amplitude da pressão, (b) a frequência, (c) o
comprimento de onda e (d) a velocidade da onda
( )
( )
1,5sin 0,9 315
sin
2
m
p t
p p kx t
f
= −
= −
=
)
1,5m
a
p Pa =
)
2 315
315
2
157,5
b
f
f
f Hz
= =
=
=
)
2 2
0,9
2,22
c
k
m
= =
=
)
2,22 157,5
349,65 /
d
v f x
v m s
= =
=
Ondas Sonoras progressivas.
Deslocamento
Variações
Dp =1,5sen 0,9p - 315pt( )
( )( , ) cos
_
_ _
_
m
m
S x t S kx t
S amplitude deslocamento
k Número onda angular
frequência angular
= −
→
→
→
Quando a onda se move a pressão varia
( )( , )
0 exp
0
mp x t p sen kx t
p ansão
p compressão
= −
→
→
E ( )m mp v S = , o deslocamento e a variação da pressão estão com uma diferença de fase
de 900. Quando um aumenta o outro diminui. (o máximo de um é o mínimo do outro).
Interferência.
Tomemos duas ondas sonoras idênticas (mesma fase e mesmo comprimento de onda) na
mesma direção.
Quando a distância entre o ponto P e as fontes de som for muito maior que a distância entre as
fontes sonoras (d>>y) teremos que L1 é aproximadamente paralelo a L2. Se 1 2L L= , teremos
uma interferência construtiva. Mas se 1 2L L no ponto P elas não vão estar em fase, e com isso
uma diferença de fase ( )entre elas aparecerá, e vai depender da diferença entre L1 e L2.
Para:
2
22
L
L L
= =
= =
Para interferências construtivas, temos:
Pr __
2
2 2
0 , 1 ,2,...imeio máximoMáximo central
m
Lm
L m
m
=
=
=
=
Para interferências destrutivas, temos:
12
2
12 2
2
1
2
0,1,2,...
m
Lm
L m
m
= +
+ =
= +
=
Intensidade e Nível sonoro.
Som não é apenas, frequência, comprimento de onda e velocidade, mas temos também a
intensidade (I). Ela mede a taxa média por área com que se transfere energia pela onda.
24
S
potência PI
Área A
PI
r
= =
=
2
1, 0I r I
r → →
A intensidade também depende da amplitude máxima do som ( mS ):
2 21
2m
meio fonte
I v S =
Exercícios
03) Uma fonte pontual de 1,0 W emite ondas sonoras isotropicamente. Supondo que a
energia das ondas se conserva, ache a intensidade a (a) 1,0 m da fonte e (b) 2,5 m da fonte.
1,0P W= 2 2
2 2
)
1,0
4 4 3,14 1
7,95 10 /
a
PI
r x x
I x W m
−
= =
=
( )22
2 2
)
1,0
4 4 3,14 2,5
1,27 10 /
b
PI
r x x
I x W m
−
= =
=
Escala Decibel
Vimos que mI S então teremos uma escala muito grande. O ouvido humano consegue ouvir
uma faixa enorme de intensidades (1012). Por isso usamos a escala logarítmica para diminuir
esta escala.
Então falamos em nível sonoro e não intensidade sonora, com isso podemos escrever a
relação matemática para o , da seguinte forma:
12 2
10log
10 / _ lim _ inf _
_( )
o
o
I
I
I W m padrãi ite erior humano
dB decibel
−
=
= →
=
Fontes de som musical.
Gerados por: Cordas (violão); membranas (tambor); Colunas de ar (flautas); blocos de madeira
(xilofone) entre outras.
São ondas estacionárias (vistas no capítulo anterior).
Pode-se gerar ondas estacionárias de som em tubos cheios de ar de modo semelhante. Ondas
sonoras se propagando através do ar no tubo são refletidas, mesmo que a extremidade do tubo
esta aberta (apesar da reflexão não ser tão completa como se o tubo estivesse fechado). Se o
comprimento de onda das ondas sonoras coincidir adequadamente com o comprimento do tubo,
a superposição de ondas se propagando em sentido contrário através do tubo gera uma onda
estacionária.
O padrão mais simples que pode ser gerado em um tubo aberto dos dois lados é o seguinte.
2
1,2,3.....
L
n
n
=
=
Com isso podemos determinar a frequência das ondas no tubo com duas extremidades abertas:
2
2
v vf
L
n
nvf
L
= =
=
Para um tubo com apenas uma extremidade aberta, temos
4
1,3,5.....
4
4
L
n
n
v vf
L
n
nvf
L
=
=
= =
=
Para L grandes temos frequências pequenas o que implica em sons mais graves. Para L
pequenos temos frequências grandes o que implica em sons mais graves.
Exercícios
04) Uma corda de violino com 15,0 cm de comprimento e fixada nas duas extremidades
oscila em seu primeiro modo (n=1). A velocidade das ondas na corda e de 250 m/s e a
velocidade do som no ar e de 348 m/s. Qual (a) a frequência e (b) o comprimento de onda
da onda sonora emitida?
15
1
250 /
348 /
c
s
L cm
n
v m s
v m s
=
=
=
=
)
2 2 0,15
1
0,3
250
0,3
833
c
c
a
L x
n
m
vf
f Hz
= =
=
= =
=
)
348
833
0,418
ss
s
b
v
f
m
= =
=
05) Tubo de órgão A, com as duas extremidades abertas, possui uma frequência
fundamental de 300 Hz. O terceiro harmônico do tubo de órgão B, com uma extremidade
aberta possui a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A. Qual o
comprimento (a) do tubo A e (b) do tubo B?
)
343
2 2 2 300
0,572
A
A
a
vL
f x
L m
= = =
=
,2
,2
,3 ,2
,3
)
343600
0,572
6004
5
5 343
4 600
0,715
A
A A
B A
BB
B
B
b
v vf Hz
L
v vf f Hz
L
L x
L m
= = = =
= = = =
=
=
06) Nível de água em um tubo de vidro vertical com 1,00 m de comprimento pode ser
ajustado a qualquer posição no tubo, um diapasão vibrando a 686 Hz e mantido logo
acima da extremidade mais alta do tubo, para gerar uma onda sonora estacionária na
porção mais alta cheia de ar do tubo. (Essa porção mais alta cheia de ar age como um tubo
com uma extremidade fechada e a outra extremidade aberta.) Em que posições do nível
de água ocorre ressonância?
1,0
686
/
3430,125
4 4 686
( 1,3,5,.....)
l m
f Hz
Onda estacionaria
nv nL n
f x
n
=
=
= = =
=
1 0,125
tan
1 1 0,125 0,875
3 1 0,375 0,625
5 1 0,625 0,375
7 1 0,875 0,125
9 1 1,125 0,125
l L h
h l L
h n
por to
n h m
n h m
n h m
n h m
n h m proibido
= +
= −
= −
= → = − =
= → = − =
= → = − =
= → = − =
= → = − = −
07) Encontre a velocidade das ondas em uma corda de violino com massa de 800 mg e
22,0 cm de comprimento se a frequência fundamental for de 920 Hz. (b) Qual a tração na
corda? Para o modo fundamental, qual o comprimento de onda (c) das ondas na corda e
(d) das ondas sonoras emitidas pela corda?
1
800
22
920
m mg
l cm
f Hz
=
=
=
11
)
2 2 0,22 920
2 1,0
404,8 /
a
Lfnv x xf v
L n
v m s
= = =
= ( )
2
622
)
800 10404,8
0,22
595,87
b
v v
m xv x
l
N
−
= =
= =
=
)
2 2 0,22
1,0
0,44
n
n
c
L x
n
m
= =
=
)
343
920
0,37
s s
s
d
vv f
f
m
= = =
=
08) Um poço com laterais verticais e água no fundo entra em ressonância em 7,00 Hz e
em nenhuma frequência abaixo desta. A porção do poço cheia de ar atua como um tubo
com uma extremidade fechada e uma extremidade aberta. O ar no poço possui uma massa
específica de 1,10 kg/m3 e um módulo de compreensão de 1,33 x 105 Pa. Qual a
profundidade da superfície da água no poço?
1
3
5
7
1,10 /
1,33 10
?
f Hz
kg m
B x Pa
L
=
=
=
=
5
/
4 4
1 1,33 10
4 4 7 1,10
12, 42
tubo fechado
nv n Bf
L L
n B xL
f x
L m
= =
= =
=
Batimentos.
Dois sons com frequências muito próximas (a) 552 Hz e (b) 564 Hz são difíceis de serem
distinguidas. Quando emitidas ao mesmo tempo as ondas se sobrepõem e geram uma
frequência média de 558 Hz (c). Na figura (c) ainda será ouvido uma variação na intensidade do
som. Essa variação é conhecida por batimento e é dada pela diferença entre as frequências.
Essa frequência de batimento é dada por:
1 2batf f f= −
Se 0batf = o instrumento está afinado com uma determinada frequência.
Exercícios
09) Dois sons diferem em nível sonoro por 1,00dB. Qual a razão entre a maior intensidade
e a menor intensidade?
1
10log 1
1log
10
loglog ln
2,3
o
o
dB
I
I
I
I
=
= =
=
→
0,23
lnln0,1
2,3 2,3
ln 0, 23
1, 26
o
o
o
o
entao
II
I
I
Ie
I
I
I
− =
=
=
=
10) Encontre as razões (da maior para menor) (a) entre as intensidades, (b) as amplitudes
de pressão e (c) as amplitudes de deslocamentos da partícula para os dois sons cujos níveis
sonoros diferem de 37 dB.
1 2
1 2
1 2
)
10log
10log 10log
10 log log
o
o o
o o
a
I
I
I I
I I
I I
I I
= −
=
= −
= −
1
2
1
2
3,71
2
1
2
10log 37
log 3,7
10
2,34
I
I
I
I
I
I
I
I
= =
=
=
=
11 1
2 22
1
2
)
2,34
1,53
m m
m
m
m
m
b
p S I
Ip I
p II
p
p
= = =
=
11 1
2 22
)
2,34 1,53m
m
c
IS I
S II= = = =
11) A corda lá de um violino está um pouco mais esticada do que deveria. Quatro
batimentos por segundo são ouvidos quando a corda e tocada junto com um diapasão que
está vibrando precisamente na nota lá (440 Hz). Qual o período de oscilação da corda do
violino?
4
440
?
bat
la
c d
f Hz
f Hz
T
esticada maior f maior
f f
=
=
=
→ = → =
4 440 444
bat c d
c bat d
c
f f f
f f f
f Hz
= −
= +
= + =
3
1 1
444
2, 25 10
Tf
T x s−
= =
=
12) Um diapasão de frequência desconhecida produz três batimentos por segundo com
um diapasão padrão de frequência igual a 384 Hz. A frequência de batimento diminui
quando um pequeno pedaço de cera e colocado em ramo do primeiro diapasão. Qual a
frequência deste diapasão?
?
384
3
dim /
d
dp
bat
bat
d dp
f
f Hz
f Hz
cera inui f
f f
=
=
→
384 3
387
bat d dp
d dp bat
d
d
f f f
f f f
f
f Hz
= −
= +
= +
=
Efeito Doppler.
Quando a ambulância se aproxima do pedestre o mesmo ouve a sirene com uma frequência
diferente da emitida. O mesmo acontece quando a ambulância se afasta dele. Essa variação na
frequência é o efeito Doppler. Este efeito foi descoberto por Johann Doppler em 1842. O efeito
Doppler também vale para ondas eletromagnéticas.
Quando o detector se aproxima da fonte S a distância entre as frentes de ondas diminuem e
quando eles se afastam a distância aumenta. Com isso a frequência detectada é alterada.
Essa nova frequência é dada por:
'
_ _
_ _ det
_ _
s D
s F
s
D
F
v vf f
v v
v velocidade do som
v velocidade do ector
v velocidade da fonte
=
→
→
→
Quando existe uma aproximação entre a fonte e o detector temos um som mais agudo, ou seja,
a nova frequência se torna maior. Quando existe um afastamento entre a fonte e o detector temos
um som mais grave, ou seja, a nova frequência se torna menor. Então podemos usar o seguinte
jogo de sinais.
:
:
aproximação
afastamento
+
−
−
+
Exercícios
13) Vigilante rodoviário B está perseguindo o motorista A em excesso de velocidade em
um trecho reto de uma estrada. Os dois estão se movendo a 160 km/h. O vigilante
rodoviário B, não conseguindo alcançar o infrator, soa a sua sirene novamente. Tome a
velocidade do som no ar como sendo de 343 m/s e a frequência da fonte como sendo de
500 Hz. Qual a mudança Doppler na frequência ouvida pelo infrator A?
160 /
160 /
343 /
500
B
A
s
v km h
v km h
v m s
f Hz
=
=
=
=
A e B estão em repouso entre si, portanto: ' 0f f f= =
14) Um detector de movimento estacionário envia ondas sonoras na frequência de 0,150
MHz em direção a um caminhão que se aproxima a uma velocidade de 45,0 m/s. Qual a
frequência das ondas refletidas de volta para o detector?
'
' 6
'
0,150
( .) 45 /
0
343 /
.
343 450,150 10
343 0
0,169
c
F
s
s D
s F
f MHz
v aprox m s
v
v m s
v vaprox f f
v v
f x
f MHz
=
=
=
=
++ =
− −
+ =
−
=
15) Um submarino francês e um submarino norte-americano movem-se um em direção
ao outro durante manobras em águas paradas no Atlântico Norte (Fig.01). O submarino
francês envia um sinal de sonar (onda sonora na água) a 1000 Hz. As ondas de sonar se
propagam a 5470 km/h. (a) Qual a frequência do sinal quando detectado pelo submarino
norte-americano? (b) Qual a frequência detectada pelo submarino francês do sinal
refletido de volta para ele pelo submarino norte-americano?
( )
( )
1000
70 /
50 /
5470 /
D americano
F frances
s
f Hz
v km h
v km h
v km h
=
=
=
=
'
'
'
)
.
5470 701000
5470 50
1022,14
s D
s F
a
v vaprox f f
v v
f
f Hz
++ =
− −
+ =
−
=
'
''
''
)
.
5470 501022,14
5470 70
1044,85
s D
s F
b
v vaprox f f
v v
f
f Hz
++ =
− −
+ =
−
=
16) Uma pedra e largada dentro de um poço. O som da pedra batendo na água e ouvido
3,0 s depois. Qual a profundidade do poço?
1( ) 2( )
2
2
2
1 1
2
1
2
2
1
1 2 2 1
3
343
1
2
1
2
343
1
2
3 3
descida subida
o o
t t s
s Hv H t
s t
y y v t gt
H gt
H t
H gt
t t t t
+ =
= = =
= + −
=
=
=
+ = → = −
( )
( )
1 1
2 2
1 1 1 1
22
1
1
2
343 3 1029 343
1029 343 4,9 70 210 0
70 70 4 70 ( 210)4
2 2 1
2,88
tan
4,9 2,88
40,68
substituindo
H x t t
igualando
t t t t
x xb b act
a x
t s
por to
H x
H m
= − = −
− = + − =
− − −− −= =
=
=
=
17) Uma ambulância com uma sirene emitindo um som alto e contínuo a 1600 Hz
ultrapassa um ciclista pedalando uma bicicleta a 2,44 m/s. Após ser ultrapassado, o
ciclista ouve uma frequência de 1590 Hz. Com que velocidade está se movendo a
ambulância?
'
'
343 /
2,44 /
?
1600
1590
tan : .
s
b
A
A
s D
s F
v m s
v m s
v
f Hz
f Hz
v vafas do f f
v v
=
=
=
=
=
−− =
+ +
''
/ Re 0
.
1590 3432,16 / ( . / )
1600 343
tan
2,16 2,44
4,60 /
D
s s
s F s F
F
F
A F C
A
A
ciclista pouso v
v vff f
v v f v v
v m s veloc relação ciclistav
por to
v v v
v
v m s
=
= =
+ +
= =
+
= +
= +
=
18) Um alarme acústico contra roubos e formado por uma fonte emitindo ondas na
frequência de 28,0 kHz. Qual a frequência de batimentos entre as ondas da fonte e as
ondas refletidas em um intruso caminhando a uma velocidade média de 0,950 m/s se
afastando do alarme em linha reta?
343 /
0,950 /
0 /
28,0
?
s
D
F
bat
v m s
v m s
v m s
f kHz
f
=
=
=
=
=
'
' 3 '
'
tan : .
343 0,9528 10 . 27,92
343 0
28 27,92 80
s D
s F
bat bat
v vafas do f f
v v
f x f kHz
f f f kHz kHz f Hz
−− =
+ +
− = =
+
= − = − =
19) O som alto contínuo de 16000 Hz das turbinas em um motor a jato de uma aeronave
movendo-se com uma velocidade de 200 m/s e ouvido em que frequência pelo piloto de
uma segunda aeronave que está tentando ultrapassar a primeira a uma velocidade de 250
m/s?
16000
200 /
250 /
A
B
f Hz
v m saproximação
v m s
=
=
=
Como a aeronave ainda não ultrapassou, consideramos que esteja se aproximando. Então
250 200
50 /
relativa
relativa
v
v m s
= −
=
'
'
0 343. . 16000
343 50
18730,4
s D s
s F s relativa
v v vf f f x
v v v v
f Hz
+ + = = =
− − −
=
20) Dois espectadores em um jogo de futebol no Estádio Montjuic veem, e em um
momento posterior escutam, a bola sendo chutada no campo de futebol. O tempo de atraso
para um espectador e de 0,23 s e para o outro e de 0,12 s. As linhas de visão dos dois
espectadores ate o jogador chutando a bola formam um ângulo de 90o. (a) Qual a distância
de cada espectador ao jogador? (b) Qual a separação entre os espectadores?
1
1
2
2
0, 23
?
0,12
?
?
343 /s
t s
d
t s
d
d
v m s
=
=
=
=
=
=
1 1
2 2
2 2 2 2
1 2
343 0,23 78,89
343 0,12 41,16
78,89 41,16 88,98
s
s
s
d v t x ms
vt
d v t x m
d d d m
= = =
= = = =
= + = + =
21) Terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de um gás, a Terra
pode experimentar tanto ondas sonoras transversais (S) quanto longitudinais (P).
Tipicamente, a velocidade das ondas do tipo S e de cerca de 4,5 km/s, e as ondas do tipo
P de 8,0 km/s. Um sismógrafo registra ondas P e S de um terremoto. As primeiras ondas
P chegam 3,0 minutos antes das primeiras ondas S (Fig.02). Supondo que as ondas se
propagam em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto?
4,5 /
8,0 /
3min
s
p
v km s
v km s
t utos
=
=
=
Vamos chamar de L a distância entre o ponto onde aconteceu o terremoto e a posição do
observador; tS o tempo para uma onda S percorrer esta distância e tP o tempo para
uma onda P percorrer esta distância.
1 1
. 8 4,5. 180
8 4,5
1851,43
s
s
s p
s pp
p
p s
p s
Lt
vt t t L
L v vt
v
v v xL t x
v v
L km
=
= − = − =
= = − −
=
22) Na Fig.03 dois alto-falantes, separados por uma distância de 2,00 m, estão em fase.
Suponha que as amplitudes do som vindo dos alto-falantes são aproximadamente as
mesmas na posição de um outro ouvinte, que está a 3,75 m em linha reta em frente de um
dos alto-falantes. (a) Para que frequências na faixa audível (20 Hz a 20 k/Hz) o ouvinte
escuta um sinal mínimo?(b) Para que frequências o sinal e máximo?
2
4, 25
3,75
20 20
d m
L m
D m
Hz f kHz
=
=
=
a) Para que tenhamos um mínimo, a interferência entre as ondas deve ser destrutiva,
e isso acontece quando a diferença de percurso for igual a meio comprimento de onda:
( )( )
( )( )
2
22 1
2 2 1
2 12
n
n
n
L D n
L DL D n
n
mas
v vf n
L D
− = +
−− = + =
+
= = +−
( )( )
( )
0
1
2
3
:
3432 1 343 2 1
2 4,25 3,75
:
343 (2 0 1) 343
343 (2 1 1) 1029
343 (2 2 1) 1715
343 (2 3 1) 2401
n
como
f n x n
então
f x x Hz
f x x Hz
f x x Hz
f x x Hz proibido
= + = +−
= + =
= + =
= + = = + =
b)
Para que tenhamos um máximo, a interferência entre as ondas deve ser construtiva, e
isso acontece quando não existir diferença de percurso. Ou de modo geral, for igual a
um número inteiro de comprimentos de onda:
n
L D n
L D
n
− =
−=
n
n
mas
v vf n
L D= =
−
( )
1
6862
n
vHz
L D
=
=−
1
2
3
686
2 686 1372
3 686 2058
f Hz
f x Hz
f x Hz
=
= = = =