vzorce počítačové grafiky · 2010. 2. 27. · vzorce počítačové grafiky vektorové operace...
TRANSCRIPT
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
součet vektorůrozdíl vektorůopačný vektornásobení vektoru skaláremúhel dvou vektorů
velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky)
Počítačová geometrie Petra Surynková
( )
( ) ( )1 1 2 2
2 21 1 2 2
,u B A b a b a
u b a b a
= − = − −
= − + −
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
skalární součin dvou vektorů a
platí:
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 1 2 2u v u v u v⋅ = +
( )2
u u u
u u u uα α α
= ⋅
= ⋅ =
( )1 2,u u u= ( )1 2,v v v=
( )( ) ( )
u v v uu v w u w v w
u v u vα α
⋅ = ⋅
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
úhel nenulových vektorů
Cauchyova nerovnost
rovnoběžné vektorykolmé vektory
Počítačová geometrie Petra Surynková
cos u vu v
ϕ ⋅=
0,ϕ π∈ ,u v
; ,u v u v u v⋅ ≤ ∀
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
vektorový součin dvou vektorů v prostoru
lze vyjádřit pomocí bázových vektorů kartézské soustavy souřadnic
Počítačová geometrie Petra Surynková
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ,u u u u u u
u vv v v v v v
⎛ ⎞× = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,u v
1 2 3
1 2 3
i j ku v u u u
v v v× =
, ,i j k
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
vektorový součin dvou vektorů v prostoru
Počítačová geometrie Petra Surynková
,u v
( ) ( ),,sin
u v u u v vu v o u vu v o u vu v u v ϕ
× ⊥ ∧ × ⊥
× = ⇔× ≠ ⇔
× =
platí
LZ
LNϕ
v
B
u v×
uA
C
geometrický význam vektorového součinu
Vzorce počítačové grafikyVektorové operace
vektorový součin dvou vektorů v prostoru
Počítačová geometrie Petra Surynková
,u v
ϕ
v
BuA
C
geometrický význam vektorového součinu
u
vϕ
sinv ϕ
sinP u v u v ϕ= × =
obsah rovnoběžníka sestrojeného nad oběma vektory umístěnými do společného bodu
trojúhelník -
u v×
12 P
Vektorové operacesmíšený součin dvou vektorů v prostoru
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
, ,u v w
[ ] ( ), ,u v w u v w= × ⋅
u
v
w
n
AC
B
Dumístění vektorůdo společného počátečního bodu
Vektorové operacesmíšený součin dvou vektorů v prostoru
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
, ,u v w
[ ]1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, ,
1111
u u uu v w v v v
w w w
a a ab b bc c cd d d
= =
= −
u
v
w
n
AC
B
D
geometrický význam smíšeného součinu
[ ], ,V u v w= - objem rovnoběžnostěnu
Geometrie v rovině a v prostorurůzná vyjádření přímky a rovinyvzájemná poloha dvou přímek – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečík), mimoběžnostvzájemná poloha rovin – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečnice)vzdálenost dvou bodůvzdálenost bodu od přímkyvzdálenost bodu od rovinyvzájemná poloha bodu a geometrického útvaruodchylky
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
Vzdálenost bodu od přímky v roviněpřímka – obecná rovnice
vzdálenost bodu
orientovaná vzdálenost bodu od přímky určené dvěma body
přímka – parametrické vyjádření
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,( , ) (0,0)ax by c a b+ + = ≠
1 2[ , ]P p p
1 2
2 2
ap bp cd
a b
+ +=
+
1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠
( ) ,X A B A t t= + − ∈
tj. vzdálenost opatřenáznaménkem ,,+“ nebo ,,-“podle toho, zda je bod nalevo nebo napravo od přímky
orientovaná vzdálenost bodu od přímky určené dvěma body
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠
I
It
B
Ps
A
P
vzdálenost bodu od přímky, význam parametrů t a s
( , )
( , ) ( , )I
P
d A I t B A
d P AB d P I s B A
= −
= = −
00,1
0000
I
I
I
P
P
P
tttsss
<
∈
>>=<
- bod na přímce před body A a B
- bod úsečky AB
- bod na přímce za body A a B
- bod P leží nalevo od přímky AB
- bod P leží na přímce AB
- bod P leží napravo od přímky AB
Vzdálenost bodu od přímky v prostorupřímka určená dvěma body
POZOR – v prostoru nelze přímku popsat jednou obecnou rovnicí
vzdálenost bodu
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2 3[ , , ]P p p p
2( )( ) P A ud P A u
u− ⋅
= − − +
( ) ,X A B A t t
u AB
= + − ∈
=
1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ],A a a a B b b b A B≠
Vzdálenost bodu od přímky v prostorupřímka určená dvěma body
vzdálenost bodu
NEBOpomocí roviny kolmé přímce a procházející daným bodem
NEBOpomocí vektorového součinu
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2 3[ , , ]P p p p
u APd
u
×=
( ) ,X A B A t t
u AB
= + − ∈
=
1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ],A a a a B b b b A B≠
Vzdálenost bodu od úsečkyleží-li bod v pásu vymezeném dvěma kolmicemi na úsečku v jejích koncových bodech
vzdálenost bodu od úsečky = vzdálenosti bodu od přímky
leží-li mimo pás, je výsledek menší ze vzdáleností ke koncovým bodům úsečkyk testování lze využít parametr z předchozích vztahů
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
It
Vzdálenost bodu od úsečky
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
IB
A
P
d B
A
P
d
Poloha bodu vůči přímce a úsečceúloha má smysl pouze v rovině (v prostoru vůči rovině)lze použít předchozí vztah pro výpočet
stačí zjistit znaménko čitatelepro bod a přímku (úsečku) určenou dvěma body
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
Ps
1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠
2 2 1 1 1 1 2 2( )( ) ( )( )p a b a p a b a− − − − −
000
>=<
- bod P leží nalevo od přímky AB
- bod P leží na přímce AB
- bod P leží napravo od přímky AB
Vzdálenost dvou rovnoběžných přímekpřevedení na předchozí případ
Vzdálenost dvou mimoběžných přímekrovná se délce jejich nejkratší příčky (k oběma mimoběžkám kolmá)nebo odvození pomocí vektorového součinu
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
( )u v ABd
u v
× ⋅=
×
obecná rovnice roviny zadané třemi nekolineárními body
analogicky lze zapsat i pro přímku
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2 3
1 2 3
1 2 3
11
011
x y za a ab b bc c c
=
1 2 3 1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ], [ , , ]A a a a B b b b C c c c
Vzdálenost bodu od rovinyrovina – obecná rovnicevzdálenost bodu
analogicky k přímce v rovině - orientovaná vzdálenost bodu od roviny určené třemi nekolineárními body
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,( , , ) (0,0,0)ax by cz d a b c+ + + = ≠
1 2 3[ , , ]P p p p
1 2 3
2 2 2
ap bp cp dd
a b c
+ + +=
+ +
1 2 3[ , , ]P p p p
1 2 3 1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ], [ , , ]A a a a B b b b C c c c
Poloha bodu vůči roviněrovina – obecná rovnicepoloha bodů
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,( , , ) (0,0,0)ax by cz d a b c+ + + = ≠
1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ]P p p p Q q q q
1 1 2 3
2 1 2 3
h ap bp cp dh aq bq cq d= + + +
= + + +
1 2 0( 0) ,h h P Q> < ⇒ leží ve stejné (opačné) polorovině
Svazek rovinspolečná průsečnice
Trs rovinspolečný bod
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
( ) ( )2
1 21
0, , (0,0)i i i i ii
a x b y c z dλ λ λ=
+ + + = ≠∑
( ) ( )3
1 2 31
0, , , (0,0,0)i i i i ii
a x b y c z dλ λ λ λ=
+ + + = ≠∑
Odchylka dvou přímeksměrové vektory přímek –
Odchylka přímky a roviny
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
cosu vu v
ϕ⋅
=0,ϕ π∈
,u v
cos sinu nu n
ψ ϕ⋅
= =
ρ
n u
p
ϕψ
Odchylka dvou rovinnormálové vektory rovin –
Vzájemné polohy přímek, rovinprůsečíky, průsečnicevzájemná poloha tří rovin
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
cosn n
n nα β
α β
ϕ⋅
=
,n nα β
Poloha bodu vůči mnohoúhelníkulokalizace bodu v konvexním a nekonvexním mnohoúhelníkukonvexní mnohoúhelník – orientace vrcholů, použití determinantůnekonvexní mnohoúhelník – paprskový algoritmus
určení polohy bodu vzhledem k množině mnohoúhelníků
viz minulý semestr
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
Poloha bodu vůči kružnicisnadné – dosazení do rovnice kružnicepro střed a poloměr a bod
nebo - z porovnání vzdálenosti bodu a středu s poloměrem
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2[ , ]S s s r 1 2[ , ]P p p
( ) ( )2 2 21 1 2 2p s p s r− + − −
000
>=<
- bod P leží vně kružnice
- bod P leží na kružnici
- bod P leží uvnitř kružnice
( , ) ( , )d P k d P S r= −S
P
Poloha bodu vůči koulipro střed a poloměr a bod
nebo – opět z porovnání
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2 3[ , , ]S s s s r 1 2 3[ , , ]P p p p
( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 2 3 3p s p s p s r− + − + − −
000
>=<
- bod P leží vně koule
- bod P leží na povrchu koule
- bod P leží uvnitř koule
Poloha přímky a kružnicepřímkakružnice
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
y kx q= +2 2 2x y r+ =
( )2 2 2 21 2 0k x kqx q r+ + + − =
D
000
>=<
- přímka protíná kružnici ve dvou bodech
- přímka je tečnou kružnice
- přímka neprotíná kružnici
Kružnice zadaná třemi body
rovnice kružnice
určení středu
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2 1 2 1 2[ , ], [ , ], [ , ]A a a B b b C c c
2 2
2 21 2 1 22 21 2 1 22 21 2 1 2
11
011
x y x ya a a ab b b bc c c c
++
=++
1 1
2 2
a b ab b a= −= −
1 1
2 2
c c ad c a= −= −
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
e a a b b a b
f c a c d a c
= + + +
= + + +
Kružnice zadaná třemi body
je-li , leží zadané body na přímce a kružnice neexistujejinak
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 1
2 2
a b ab b a= −= −
1 1
2 2
c c ad c a= −= −
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
e a a b b a b
f c a c d a c
= + + +
= + + +
( ) ( )( )2 2 1 12g a c b b c b= − − −
( )( )
1
2
/
/
s de bf g
s af ce g
= −
= −
0g =
( ) ( )2 221 1 2 2r a s a s= − + −
Plocha trojúhelníkas vrcholy
Plocha mnohoúhelníkatriangulace, součet ploch trojúhelníků
Vzorce počítačové grafiky
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 2
1 2
1 2
11 12
1
a aP b b
c c=
1 2 1 2 1 2[ , ], [ , ], [ , ]A a a B b b C c c