Ejercicios Resueltos

Temas del Primer Parcial. La figura representa, en forma simplificada y esquemática, un sistema de izaje

electromecánico utilizado en grúas.

El motor eléctrico se encarga de levantar la carga mediante un cable de acero a través

de un sistema de poleas.

El control del motor se realiza desde un circuito electrónico formado por un

amplificador operacional ideal seguido de un amplificador de potencia, cuya ganancia

en tensión tiene un valor A.

La función del circuito electrónico es poder controlar el torque del motor desde la señal

de referencia Vr. Esto se realiza sensando la corriente del motor a través de la

resistencia Rs.

La carga mecánica en el eje del motor se representa mediante el rozamiento viscoso B

y el momento de inercia J.

La carga a izar se encuentra representada por la masa M2, la masa de la polea móvil es

M1 y el anclaje de la carga a la polea móvil se realiza mediante un sistema de amortiguamiento representado por los

elementos B1 y K.

a) Dibuje un diagrama en bloques para el sistema.

b) Encuentre un modelo de estado que represente al sistema.

c) Determine el valor de las variables de estado, en régimen permanente, para un valor de la tensión de referencia

Vro.

Se va a analizar el circuito electrónico.

Considerando el AOV ideal, la impedancia de entrada es infinita, por lo tanto, la tensión en los terminales de entrada es

la misma, entonces la tensión en la pata inversora es Vr.

De lo anterior resulta:

2

2R

VI r

Esta corriente es la misma que circula por R1,

entonces la tensión en la resistencia de sensado es:

1

2 2

rs r r s

R VV V V Ia R

R R

Despejando la corriente de armadura en función de

Vr, resulta:

RaLa

Kw

Kt

ic

+

_A

J

B M2

M1

K B1

r

RsR1R2

AOV

Vr

Ia

Vo X1

X2

RaLa

Kw

Kt

+

_A

RsR1R2

AOV

Vr

Ia

Vo

Vs

I =Vr/R2 2

I =Vr/R2 2

I =I -Is a 2

Vr

+

+

_

_+

_

1 21

2 2 2

s ss r r r r

R R R RRIaR V V V V

R R R

1 2

2

sr

s

R R RIa V

R R

Por lo tanto, se puede ver que la corriente del motor es

directamente proporcional a la tensión de referencia, y en

consecuencia el torque resulta con la misma característica. Por

esto, el circuito electrónico controla el torque del motor desde la

tensión Vr.

NOTA: el motor es alimentado desde una fuente de corriente.

Por lo tanto, Ia no define una variable de estado.

Para la carga mecánica:

El torque entregado por el motor es:

1 2

2

sm t r t

s

R R RT K Ia V K

R R

Se va a analizar la carga mecánica mediante un circuito eléctrico equivalente.

Sobre el eje del motor se desarrolla un torque que es la diferencia entre el torque motor y el torque proveniente de la

carga lineal. Este torque aparece debido a la fuerza que actúa sobre el cable, afectada por el radio de la polea de inercia

J C CT F r . La velocidad del cable resulta de multiplicar la velocidad angular por el radio CV r .

En la polea móvil, la fuerza con la que se iza la carga F1 es el doble de la fuerza que actúa en el cable y por consecuencia

la velocidad V1 es la mitad de la velocidad con la que se desplaza el cable.

A partir del análisis del circuito electrónico y del circuito eléctrico equivalente de la carga mecánica, se plantea el

diagrama en bloques.

Se eligen como variables de estado: =Velocidad del motor, X=estiramiento del resorte y V2=Velocidad de la carga.

(La velocidad de la polea móvil V1, es proporcional a la velocidad del motor)

Se plantean las ecuaciones de estado:

1 2

2

1sr t

s

R R RV K Tc

R R sJ B

B

Tm

+

_

J M1

M2B1

1/K

r:1 1:2

PoleaFija

PoleaMóvil

VcV1

V2

F2F1FcTc

Tm +

_

R1+R2+RsR2Rs

KtIaVr 1

SJ+Br 1

2

Vc V1

1s

B1

1sM2

V2

F2

sM1r 12

Fc+

+

F1

+

_

Tc

K

V

X

+

+

J

B M2

M1

K B1

r

X1

X2

Tm

Vc

FcFcV1

V2

Tc

1 2 12

2

; 2 2

sr t

s

R R R rMrs J B V K Tc Tc s F

R R

2

1 2 1 21 12 2

2 22 2 4 2

s sr t r t

s s

R R R R R RrM r Mr rs J B V K s F V K s F

R R R R

2

1 212

24 2

sr t

s

R R Rr M rs J B V K F

R R

2 2 12

rF Kx V B

2 2

1 211 1 2

24 2 4 2

sr t

s

R R Rr M r r rs J B V K Kx B BV

R R

2

1 21 1 2

2

2

1

4 2 2

4

st r

s

R R Rr r rB B K x BV K V

R R

r MJ

2

22 ,

2

rV

rx x V

s

2 1 1 2 2 1 1 2

2 2

1 1 ;

2 2

r rV Kx B BV V Kx B BV

sM M

Considerando: 2 2

1 1 y 4 4

eq eq

r rB B B J J M

Finalmente, el modelo matricial se puede escribir como:

11 2

2

2 21 1

2 2 2

2

2

2 2

0 1 02

0

2

0 0 1

eq

t s

eq eq eqeq s

r

B rBrKK R R R

J J JJ R R

rx x V

V VrB BK

M M M

y V x

V

Para determinar la condición de régimen permanente se puede utilizar tanto el modelo de estado como el diagrama en

bloques. En el primer caso, haciendo el vector derivado igual a cero y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante

con Vr=Vro, y en el segundo caso haciendo s =0 y resolviendo por bloques.

Se va a utilizar la primera opción:

11 2

20

0 0

201 1

2 2 2

2 20

0 0 1 02

0 0

2

eq

t s

eq eq eqeq s

r

B rBrKK R R R

J J JJ R R

rx V

VrB BK

M M M

De la segunda fila sale: 0 202

rV

De la tercera fila queda: 1 1 10 0 20 0

2 2 2 2

0 =2 2

rB B rBKx V

M M M M 1

0 0

2 22

rBKx

M M 0 ; 0x

De la primera fila resulta:

2

1 21 10 20 0 0

22 4

seq eq t r

s

R R RrB r BB V B K V

R R

2

1

4

r BB

2

1

4

r B 1 2

0 0

2

st r

s

R R RK V

R R

; 1 20 0

2

t sr

s

K R R RV

B R R

1 220 0

22

t sr

s

K r R R RV V

B R R

Para el circuito de la figura:

a) Encuentre una representación por modelo de estados.

b) Determine, si existe, un valor de K para la fuente de corriente controlada que haga que el sistema hallado resulte

no controlable.

c) En caso de existir un valor de K, interpretar que es lo que sucede en el circuito.

Se va a desarrollar el modelo tomando como variables de estado a las tensiones en los capacitores. Utilizando las

ecuaciones de nodo queda:

1 1 21 1

1 2

1 21 2 2

2

inV V V VV C

R R

V VKV V C

R

Reordenando las ecuaciones se llega a:

1 2

11 1 1 2 1 21 1

22 2

2 2 2 2

1

0

2

11

1 10

0 1

in

R R

VV C R R C RC R V

VV KR

C R C R

VV

V

R1 R2

C1 C2K.V1Vin

V1

+

_

Se calcula la matriz de controlabilidad:

1 2

2 2

1 1 1 1 2

2

1 1 2 2

1

10

R R

C R C R RU B AB

KR

C R C R

Para que el sistema sea no controlable el determinante de U debe ser igual a cero.

2

2 2

1 1 2 2 2

1 1det 0 ;

KRU K

C R C R R

Para el valor de K calculado la corriente que circula por la resistencia R2 ingresa al generador controlado, por lo tanto

no carga al capacitor C2.

La figura muestra en forma esquemática el control de posición horizontal de un colector solar.

Sobre el colector se encuentran los fotodiodos que proporcionan una señal proporcional a la diferencia entre la posición

del sol y la posición del colector. Esta señal es convenientemente amplificada para alimentar un motor de corriente

continua controlado por armadura que se encarga de apuntar al colector en la dirección del sol.

Sobre el colector aparece una fuerza de perturbación provocada por el viento, que actúa directamente sobre la pantalla

del colector (J2) y produce un error en la posición.

Hallar un circuito eléctrico equivalente para la carga mecánica en donde aparezcan como entradas la cupla entregada

por el motor y la cupla de perturbación del viento (Tv).

Hallar un modelo de estado para el sistema cuyas entradas sean la posición del sol (s) y la cupla de perturbación (Tv)

y como salida la posición del colector( 3).

Solución:

Para dibujar el diagrama en bloques es importante conocer de antemano que variables se desea representar, en este

caso como se pretende llegar a un modelo de estado lo que se busca representar en el diagrama son esas variables.

En este caso las variables de estado y el elemento asociado son:

La Corriente del motor (Ia) La

Velocidad del motor o proporcionales (1 o 2)J1

Desplazamiento angular de K1 o torque sobre K1 (2-3) K1

Velocidad del colector (3)J2

El motor debe proveer el torque para impulsar la carga mecánica, el diagrama en bloques simplificado del motor será:

La carga mecánica se puede representar mediante un circuito eléctrico análogo de la siguiente forma:

Las ecuaciones que debo representar son las que resultan de resolver el circuito. (se pueden plantear las ecuaciones y

luego representarlas en el diagrama o trabajar directamente sobre el diagrama)

1 1 1 1mT T sJ B

2 12 1 2 1

1 2

; N N

T TN N

s

KTk

132

2 2 2 kT B T

33 3

2

k vT T

sJ s

Uniendo los diagramas queda:

Las variables indicadas en rojo son las que se designan como variables de estado y las de color azul son las entadas.

Las ecuaciones a partir de las cuales se hallará el modelo de estado son:

3 1

3 1

s w a a

s w a a a a

a

A K I RA K I R sL I

L

1sLa+Ra

+

Vm

Eg

Kt+-

CargaMecánica

Kw

-

IaTm

As

3

B2

T2T1Tm 1/K1

J2

32

Engranaje

Tv

B1J1

Tk

+

B2

+

-

-

Tm

T1

N

N1

2

1sJ +B1 1

1s

+

+

N

N1

2

Tk

T2

+ - Tv

1s

1sLa+Ra

+

Vm

Eg

Kt+-

Kw

-

IaAs

K1

X

+

B2

+

-

-

Tm

T1

N

N1

2

1sJ +B1 1

K

s1

+

+

N

N1

2

Tk

T2

+ - Tv

1s

1 121 2 1

2 2 1 1 1 11 1 2 3

1 1 1 2 1 1 2

t a

ta

N NK I K X B

N N K N K NI X B B

sJ B J N J J N

1 11 3 1 3

2 2

1N NX X

N s N

1 1

3 3

2 2

v VK X T K X T

sJ J

33 3 3

s

Escrito en forma matricial:

2

31 2 1 1

1 2 1 1 2 1 1

1

1

32

23

31

2

0 0

0

0 0 0 0

0 0

10 0 1 0 0

0 00 0 0 0

0 0 0 1 0

a w

a a a

a

t a

a

k

R K A

L L L

LK B IN B N K

IJ N J J N J

XNTN J

K

J

S

VT

1

3

3

3

( ) ( ) 0 0 0 0 1

aI

y t t X

4) Para el circuito de la figura:

a) Halle el modelo de estado considerando [x1 x2 ]T como el

vector de estado.

b) Tomando como salida y(t)=VR(t), determine la

observabilidad del modelo.

c) Determine los autovalores del modelo.

d) En el modelo hallado, para u = 0 y estado inicial

x(0) = [1 0]T, halle x2 (t) para t 0.

Solución:

a) Analizando las corrientes en el circuito se plantean las

siguientes ecuaciones:

1 2 3I I I

12 1

dxI C x C

dt

03

VI

R

La tensión de salida, resulta ser la suma de las tensiones en los

capacitores cambiada de signo.

0 1 2V x x

Ahora la corriente de entrada es:

1 2

1 1

x xI x C

R

La tensión de entrada U es:

1 1 1 2U I R x CR x x

Se puede despejar la primera ecuación de estado:

1 21

x x Ux

CR CR CR

En el circuito T, se puede ver:

2 1 4 2I x C I x C

14

xI

R

Reemplazando se llega a la segunda ecuación de estado:

1

1 1 2 1 22 1

x

x x x x xU Ux x

RC CR CR CR RC CR CR

El modelo de estado matricial es:

1 1

2 2

0 1

2

1 1 1

1 10

1 1( )

1 0R

x xCR CR CRu

x x

CR CR

V xy t

V x

b) Considerando la salida VR(t):

1

2

( ) ( ) 1 0R

xy t V t

x

La matriz observabilidad se calcula como:

1 0

1 1c

Vc A

CR CR

El determinante de la matriz observabilidad es: 1

det 0VCR

. Por lo tanto el sistema es observable desde VR.

c) Los autovalores del sistema se hallan resolviendo la ecuación : det 0sI A

1 1

10

sCR CR

sI A

sCR

2

1det sI A s

CR

, el sistema tiene 2 autovalores en

1s

CR .

d) Para el modelo de estado, la respuesta de las variables se puede calcular como sigue:

1

0( ) ( )X s sI A x B U s

, en este caso U(s)=0.

2

1

2

1 11 1

11 10

det 1 10

1

sCR CR

ss CR sCRAdj sI A CR CR

sI AsI A

sCR

sCR

2

1 1

0

2

1 1

1 11( )1 1

( )( )01

0 01

s CR sX sCR CR sX s sI A x

CR X s

sCR

2 ( ) 0X s

Entonces 2 ( ) 0 0x t t

Para el circuito eléctrico de la figura:

a) Halle un modelo de estado que lo represente, con salidas I1 e I2.

b) Considere la situación en la cual se venía aplicando, durante un

largo tiempo, una corriente constante de valor 6 [Amp] y en el

instante t=0 se aplica una tensión V en forma de escalón de amplitud

75 [Volt]. Encuentre la expresión de i1(t) a partir del momento en el

que se aplica el escalón.

Datos:

R1 = 10 [].

R2 = 5 [].

L = 2.5 [H].

C = 0.2 [F].

Solución:

Por simplicidad se van a plantear como variables de estado la corriente que circula por el inductor IL y a la caída de

tensión en el capacitor VC.

Se plantean las ecuaciones de malla:

1 LI I I

1 1 1 0L C L C LI sL V I R I sL V I I R

Entonces queda:

1 1

1 1

0L C L

L CL

I L V IR I R

I R V IRI

L

Ahora:

2 1 2C L CI I I I I I sV C

2 C LI sV C I I

2 2 2C C C LV V I I R V I sV C I I R

2C C LV V V C I R

2

2

C LC

V V I RV

CR

2 22

2 2

C L CL

V V I R V V IRI I I

R R

El modelo matricial queda:

1 1

1

2

2 22 2

11 0 1 00

; 1 11 1 1 0 1

0

L LL

C CC

R R

I III II L L L

V VIV VVR R

C CR CR

b) Al circuito se le venía aplicando una corriente I=Io=6 Amp. y una tensión V=0 ya que el escalón se aplica en t=0.

En t=0 se supone que el circuito llegó a régimen permanente, entonces calculo el valor de las variables en este instante

haciendo las derivadas iguales a cero con las entradas planteadas.

1 1

0 0

0

2 2

10

0

1 1 10 00

L

C

R R

I IL L L

V

C CR CR

0 00 0 2

2

0 L CC L

I VV I R

C CR

1 0

0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0

1 2

0 L C L L L

R II R V R I I R I R R I I

R R

1 2 0

0

1 2

C

R R IV

R R

Reemplazando los valores de los parámetros queda:

1

2

4 0.4 4 0 1 0 1 0 ;

5 1 0 1 0 0.2 1 0.2

L LL

C CC

I III II

V VIV VV

El vector de condiciones inciales en t=0 es:

0

0

0

4

20

L

C

IX

V

Ahora se debe encontrar la solución del vector de estado.

1

( ) ( )oX s sI A X BU s

Se calcula (sI-A):

R2

C

R1

L

=

+V(t)

+

+

+

+

-

--

-

24 0.4

; Det 4 1 2 5 6 2 35 1

ssI A sI A s s s s s s

s

Se calcula (sI-A)-1:

1

1 0.4

5 4

Det 2 3

s

Adj sI A ssI A

sI A s s

A partir de t=0 se sigue aplicando la corriente de 6 Amp y además se ingresa con una tensioón V=75 Volt.

Se calcula (X0+BU(s)):

4 246

4 4 0( )

20 0 1 75 20 75o

s

s sX BU s

ss

s

Finalmente:

2

2

1 4 24 0.4 20 751 0.4 4 245 4 24 4 20 755 4

( )20 752 3 2

4 20 54

20 25 180

3 2 3

s s ss ss s ss s

X sss s s s s s s s

s s

s s

s

Ahora I1(s) vale:

22

1

6 2 3( ) ( ) 6 1 0 1 0 ( ) (

4 20 544 20 54)

( ) ( ) 2 3 2 3

L

L

C

s sI s I sI I s I s

V s V s s s

s ss s

s s s s s

Entonces:

2

1

3 15 10 ( )

2

2 10

3

18

3 2I s

s s s s

s s

s s

Antitransformando queda: 2 3

1 ( ) 3 15 10t ti t e e

En la Figura 2b se muestra un sistema electro-mecánico de posición.

El mismo se encuentra formado por un amplificador operacional de potencia en cuya salida se encuentra conectado un

actuador tipo solenoide (como el mostrado en la figura 2a) y una carga mecánica vinculada a través de una palanca.

La corriente entregada por el amplificador produce en el solenoide una fuerza

0fF K I .

La impedancia del solenoide se puede representar como una inductancia de valor

Ls en serie con una resistencia de valor Rs .

El eje del solenoide se encarga de mover mediante una palanca la carga mecánica.

Esta carga se encuentra formada por la masa M1 (que representa la masa de la

palanca) y la masa M2 que se encuentra acoplada a la palanca mediante el resorte

K1 y el amortiguador B1.

a) Encuentre un diagrama en bloques que represente al sistema.

b) Halle un modelo de estados, tomando como entrada a la tensión Vi y como salida a la posición de la masa M2.

c) Determine el valor de la señal Vi, tal que la salida del sistema se ubique en la posición x2F.

Notas:

Considere el amplificador operacional con características ideales.

Se suponen desplazamientos verticales pequeños en la palanca, comparados con la longitud de la misma.

Figura 2b

Solución:

Parte eléctrica: el esquema de la parte eléctrica se muestra a continuación. Las ecuaciones del circuito quedan:

1

1

IVI

R

1 2 0 1 3 1 2 3 0 3 0I R I I R I R R I R

2 3 2 3

0 1

3 1 3

I

R R R RI I V

R R R

En consecuencia, la corriente del solenoide no depende de su

impedancia sino que está impuesta por el amplificador operacional.

Parte Mecánica: La fuerza generada en el solenoide es 0fF K I

.

Esta fuerza se aplica a la barra y se transfiere mediante la palanca a la masa M1. Entonces

1

2

2X

LF F

L L

Para analizar la carga se plantea un circuito eléctrico equivalente.

Las ecuaciones del circuito son:

1 2 1X YF F sM B V

1 2 YV V V

11 1 1Y Y Y

KB V F B s K X

s

2 22 2 2

2

Y YF sFV

K s M KsM

s

2 2

2 2

YFX

s M K

Con las ecuaciones construyo el diagrama en bloques:

+

VI

VI-(R +R )2 3

R R1 3

I0

L +L2 1

L2Kf

F

sM +B1 2

1FX V1

sB +K1 1

VY 1

s

XY

s M +K2

2 2

FY 1s

X2 V2

++--

+

VI

F

M1 M2B2

B1

1/K1

1/K2FX

FY

V1 V2

VY

F

Las variables de estado serán: V1, XY, V2 y X2

2 321

1 2 1 3 1 2

1I f Y

AK

R RLV V K F

L L R R sM B

1 21 1 1 2 1

1

A I Y

A I Y

V B K V FV M V B K V F V

M

1 21 2Y Y

V VX X V V

s

; 1 1 1 1 1 2 1 1Y Y Y Y YF X sB K V B K X V V B K X

1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1

1

1 1

A I Y A I YV B K V V V B K X V B B K V V B K XV

M M

2 2X V ; 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2

YY

FX X M X K V M X K F

s M K

;

1 2 1 1 2 2

2

2

YV V B K X K XV

M

El modelo matricial queda:

2 1 1 1

1 11 1 1 11

2 22

2 22 1 1 2 1

2 2 2 2

0

1 0 0 10 ; y 0 0 1 0

0 0 0 10

0

A

Y YY

I

B B K BK

V VV M M MM

X XXV

X XX

V VV B K K B

M M M M

Análisis de régimen permanente

Para esta condición se cumple que las derivadas son iguales a cero. Por lo tanto:

2 1 1 1

11 1 11

2

21 1 2 1

2 2 2 2

00

0 1 0 0 10

0 0 0 0 10

00

A

Y

I

B B K BK

VM M MM

XV

X

VB K K B

M M M M

Se cumpla que: 2 0V y 1 0V entonces

22

1

Y

KX X

K y 1 2 2 A I YK V K X K X

2 1 3 1 22 2

2 2 2

2 2 32 32

1 2 1 3

I

A f

f

K R R L LK KV X X X

K K L R RR RLK

L L R R

2 1 3 1 2

2

2 2 3

I F

f

K R R L LV X

K L R R

1) El siguiente diagrama representa un sistema de control de velocidad.

Ra=1

La = 10mH

Kt = 0,2 Nw.m/A

Kw = 0,2 V.s/rad.

K = 250

Nw.m/rad.

B1 = 4.10-4

Nw.m.s

B2 = 36 Nw.m.s

Kg = 0.4 V.s/rad

J = 4.10-3 Nw.m.s2

N2/N1 = 100

K1= 10

A = 10

Una señal de error resultante de la comparación entre una referencia y la señal proporcional a la

velocidad del generador es amplificada para controlar un motor de corriente continua.

La carga mecánica del motor está compuesta por un momento de inercia J y un rozamiento B1 solidario

al eje y a través de una reducción se acopla, mediante un elemento elástico, el generador cuya carga

está representada por el rozamiento B2. La tensión entregada por el generador es proporcional a la

velocidad del eje Vg= Kg 2.

Dibuje un diagrama en bloques, en donde queden explicitadas las variables de estado del sistema.

Halle un modelo de estado para el sistema con entrada Vr y salidas =velocidad del motor y Vg=

tensión del generador.

Determine el desplazamiento angular entre los extremos del acople elástico para una tensión de

referencia constante, considerando al sistema en régimen permanente.

Para determinar las ecuaciones de la parte mecánica se dibuja el circuito eléctrico equivalente.

El diagrama en bloques queda:

Las ecuaciones de estado se pueden extraer del diagrama en bloques.

Las variables de estado son: 2, y aI T

B2T2 1/K

2

J B1

T1T

N1:N2

1

1sJ+B1 -

T1

T2

+NN

1

2

-+ 1

s

1B2

1K

KT

Kw

NN

1

2

2

1sL +Ra a

Ia

-

+Kt

K1 Kg

+A

-

VR

Vg

Vr(t)RaLa

Kw

Kt

ia(t)

ic

(t)(t)

N1

N2

K

B1

B2

J

Vg(t)=Kg2Acople

elástico

Reducción

Motor

-

+A

K1

21

12

2

2

R g W

ga Wa a a R

a a a a a a

TV K K A K

AK KB R K AI I I T V

sL R L B L L L

(1)

12

2 1 12

1 2

T a

Ta

NK I T

N K B NI T

sJ B J J JN

(2)

1 2

2 2 12 2 2

2 2

N TK

N B KN KT T T

s N B

(3)

El modelo matricial queda:

1

11 1

22

2 2 22

1

2 2

0 1 0

0 0 0

0

0

ga W

a a aaa a a

TgR

g

AK KR KA

L L LLI I I

yK B NKV

VyJ J JNT T TB

KN K

N B

Para determinar las condiciones de régimen permanente se deben hacer las derivadas igual a cero.

1 22 2

2 2 2 1

0 KN NK

T TN B B N

1 1 1 2 12 2

2 2 1 2

0 Ta a

T

K B N B N NJI T I T

J J JN K J B N JN

11 2 1 22

2 1 2 2 2 1

0ga W

R

a T a a a

AK KR KB N N NJ AT V

L K J B N JN B L L B N L

2

11 2 1 2

2 1 2 2 2 1

1R

a ga W

a T a a

AT V

L AK KR KB N N NJ

L K J B N JN B L L B N

2

2

2 211 2 1

2 1 2 1

k R

a Wg

T

T AV

K R N K NNKB B AK K

B K N N N

Para el circuito de la figura, halle un modelo de estado con entrada Vi y salida Vo, que lo represente.

Considere al amplificador operacional con características ideales.

Datos:

R.C = 10

Ra = 2 Rb

A partir del modelo de estado halle la función de transferencia del circuito.

Las ecuaciones del circuito son:

0 2V X

1 1I X C

1 0 1 1 2 1IV X V X CR X X X CR

1 21

IX X VX

CR CR CR

1 0 1 2X a aV X CR V X CR X

22

XI

R

2 2 2 2 21b bX b b

VRb

R RV X CR X X X CR X

R R

1 22 2 22 1 2

11 1 1b a b a bX

b b b b b b b

R X CR X R R RV X X XX X X

CR R CR CR R CR R CR R CR

2 1 2 1 2 2

1 1a a a aI

b b b b

R R R RX X X X X V X

R CR CRR CRR CRR CR

2 1 2

11a a a

I

b b b

R R RX X X V

CRR CR R CRR

El modelo de estado queda:

0 2

1 1 1

; 0 11

1I

aa a

bb b

CR CR CRX X V Y V X X

RR R

CRRCRR CR R

Ra Rb

R

R

C

C

Vi Vo

Reemplazando valores resulta:

0.1 0.1 0.1

; 0 10.2 0.1 0.2

IX X V Y X

La Función de transferencia se calcula como:

1

( )G s C sI A B

20.1 0.1

det 0.1 0.1 0.02 0.010.2 0.1

ssI A sI A s s s

s

1 1

2 2

0.1 0.1 0.1

0.2 0.1 0.2

0.01 0.01

s s

s ssI A sI A B

s s

1

2

0.2( )

0.01

sG s C sI A B

s

Para el control de velocidad de motores de corriente continua de potencias elevadas, se suele utilizar el control por

campo. Este tipo de control permite manejar la velocidad del motor a partir de señales de mucha menor potencia que

el control por armadura. En la figura se muestra un esquema del sistema de control propuesto.

La velocidad angular de la carga es sensada por un tacómetro que entrega una tensión proporcional (Eg=Kg.w2).

Considere para el modelado que el flujo magnético generado por el bobinado de campo es proporcional a la corriente

que circula por dicho bobinado (F=Kf.If ). Además, tenga en cuenta que el par entregado en el eje del motor es función

del flujo magnético y la corriente de armadura; y que la fuerza contra-electromotriz es dependiente de la velocidad del

eje del motor y del flujo magnético de la máquina.

a) Encuentre un modelo de estado para el sistema.

b) Determine el punto de funcionamiento estacionario para una corriente de campo If = 2 A y una tensión de

armadura Ea = 440 V .

c) Halle un modelo de estado lineal para el punto de equilibrio hallado en b).

Datos:

Tensión nominal del motor : 440 V.

Potencia del nominal del motor : 12.5 Kw.

Resistencia del bobinado de campo : Rf = 10 W.

Inductancia del bobinado de campo : Lf = 0.15 Hy.

Resistencia del bobinado de armadura : Ra=1.96 W.

Inductancia del bobinado de armadura : La=0.01 Hy.

Constante de par del motor : Ktf = 2.5 Nw.m/A2;

Constante de generación : Kwf = 2.5 V.seg/rad.A;

Momento de inercia del motor : J1 = 0.3 Nw.m.seg2.

Rozamiento del motor : B1 = 0.2 Nw.m.seg.

Relación de engranajes : N2/N1=20.

Momento de inercia de la carga : J2=240 Nw.m.seg2.

Rozamiento de la carga : B2=100 Nw.m.seg.

Constante del tacómetro : Kg=0.48 V.seg/rad.

Ganancia del amplificador diferencial : A=10.

Resolución:

En un motor de corriente continua el funcionamiento depende, en gran medida, del campo magnético inducido a partir

del bobinado correspondiente.

Por un lado, la FEM inducida en el circuito de armadura, puede ser determinado a partir de la ley de Faraday y resulta

proporcional al producto del flujo magnético y de la velocidad del eje del motor. Por lo tanto, debido a que el flujo es

F=Kf.If , se puede escribir La fuerza electromotriz como: Eg=Kwf..If .

Por otro lado, el par generado en el eje del motor debido a las fuerzas de Lorentz, resulta proporcional al producto de

la corriente que circula por el bobinado de armadura y el flujo magnético. Entonces la cupla en el eje del motor se

puede escribir como: TM=Ktf.Ia.If .

Ya establecidas las relaciones entre las partes eléctrica y mecánica del motor se procede al modelado del mismo.

En primer lugar, se establecen las variables de estado a partir de los elementos que almacenan energía. La variable

asociada a la inductancia de campo es la corriente If, la variable asociada a la inductancia de armadura es la corriente

Ia y si bien hay 2 momentos de inercia, las velocidades a las que se mueven son proporcionales y por lo tanto definen

una sola variable de estado 1. Las entradas del sistema son Vr y Ea .

Para el bobinado de campo se puede establecer la siguiente ecuación:

2g f f f fA Vr K I L I R

Para el circuito de armadura resulta:

1a w f a a a aE K I I L I R

Para analizar la parte mecánica se va a utilizar un circuito eléctrico equivalente:

2 2 1 1 1' 'M t a fT T K I I T sJ B

12 2

2

'N

T TN

2 2 2 2T sJ B

12 1

2

N

N

Agrupando las distintas expresiones resulta:

12 1 1 1

2

t a f

NK I I T sJ B

N

12 2 2 1

2

NT sJ B

N

2

12 2 1 1 1 1

2

t a f

NK I I sJ B sJ B

N

2 2

1 11 2 1 2 1

2 2

t a f

Jeq Beq

N NK I I s J J B B

N N

Pasando al tiempo:

1 1t a f eq eqK I I J B

Se pueden escribir las ecuaciones de estado de la siguiente forma:

11

2

g f

f f

f f f

AK RNAI Vr I

L L N L

1w fa aa a

a a a

K IE RI I

L L L

1 1

t a f eq

eq eq

K I I B

J J

El modelo de estado resulta no lineal debido al producto cruzado de variables.

Para hallar el punto de equilibrio se debe hacer cero las derivadas de las variables y resolver el sistema. Se considera

para el punto de equilibrio una corriente de campo If = 2 A y una tensión de armadura Ea = 440 V . Por lo tanto, se

deben calcular las variables Vr, Ia y 1.

El modelo a resolver es:

10 10 0

2

10 000

0 0

10

0 (1)

0 (2)

0 (3)

g f

r f

f f f

w fa aa

a a a

t a f eq

eq eq

AK RNAV I

L L N L

K IE RI

L L L

K I I B

J J

De la última expresión (3) se calcula:

0

0 10

t f

a

eq

K II

B

Remplazando en (2):

2

000 0

w t fa aa

a a eq a

K K IE RI

L L B L

entonces,

0

02

0

a eq

a

w t f a eq

E BI

K K I R B

Por lo tanto:

0 0

102

0

t f a

w t f a eq

K I E

K K I R B

Finalmente la variable restante se calcula como:

0 01

0 022 0

g t f a f

f r

w t f a eq

K K I E RNI V

N AK K I R B

Reemplazando por los valores numéricos el punto de equilibrio resulta:

0

0

0

0

10

2.0440

7.65 y 4.04

85 /

f

a

a

r

I AE V

I AV V

r s

Para llegar al modelo linealizado se deben calcular las matrices jacobianas:

1

1 2

; 0 ; f f f f g

f f a f

I R I I AK N

I L I L N

y 0 ;

f f

a r f

I I A

E V L

010

1

; ; w fwa a a a

f a a a a

K IKI I R I

I L I L L

y

1 ; 0a a

a a r

I I

E L V

001 1 1

1

; ; t f eqt a

f eq a eq eq

K I BK I

I J I J J

y 1 10 ; 0

a rE V

Definiendo las variables referidas al punto de equilibrio:

* *

0 0 0

* *

0 0

*

1 1 10

f f f a a a

a a a r r r

I I I E E E

I I I V V V

El modelo linealizado queda:

1

2* *

*010* *

*

* *

1 1

00

0 0

10

0 0

f g

f f f

f f

w fw aaa a

a a a a r

t f eqt a

eq eq eq

R AK N A

L L N LI I

K IK ERI I

L L L L V

K I BK I

J J J

Reemplazando los valores resulta:

* *

*

* 4 *

*

* *

1 1

66.67 0 1.6 0 66.67

2.125 10 196 500 100 0

21.25 5.556 0.5 0 0

f f

a

a a

r

I IE

I IV

El esquema representa en forma simplificada, un sistema de control de posición para un cabezal de impresión.

El control se encarga de llevar el cabezal de impresión a una posición proporcional a la tensión de referencia Vr.

El cabezal de masa Mc, está montado sobre una guía a través de rodamientos que determinan un rozamiento Bc. El

movimiento del cabezal se realiza mediante una correa dentada elástica cuya constante es K, a partir de un sistema de

poleas de radio Rp que es accionado desde un motor de corriente continua.

La carga mecánica sobre el eje del motor está representada por el rozamiento B y por la inercia J.

El motor es controlado desde un amplificador de potencia clase A implementado con un transistor Darlington. Las

ecuaciones que caracterizan al transistor son las siguientes: B BEB

IE

V VI

h

y C FE BI h I

Los parámetros

, y IE FE BEh h V son intrínsecos del transistor Darlington.

El controlador del tipo PI , diseñado a partir de un amplificador operacional, evoluciona con el error entre tensión de

referencia y una tensión entregada por un potenciómetro multivuelta colocado en una de las poleas, que sensa la posición

del cabezal. Considere que no existe error de inserción en el potenciómetro y por lo tanto se puede considerar que Vs =

Ks .q .

Considere para el análisis un amplificador operacional con características ideales y que el modelo de estado del

controlador puede ser extraído de su transferencia sin perder precisión.

Encuentre un modelo de estado lineal para el sistema con entrada Vr y salidas X y q.

Considere un punto de equilibrio que ubique al cabezal en la mitad de su recorrido (L/2).

Solución:

CARGA MECÁNICA

Se analiza la carga mecánica a partir del circuito eléctrico equivalente.

El diagrama en bloques queda:

Las ecuaciones que resultan son:

; = px

p K K

R KB TT TT R K x xxsJ B J J J

(1)

2

2 p

K K p

R Vx R V

sx

(2)

2 2 2 cKK

cc c c

BKx Kx

sM B M MV V V

(3)

s

(4)

22 x V

s

Vx (5)

S SKV (6)

CONTROLADOR PI

CASO 1: Para el amplificador operacional se definen como variables de estado a las tensiones en los capacitores.

22 1 2 2 2 2 1 2

1 1 2

; C rr C C C

V VV I R R V I V C V

C R R

(7)

1 1 1 1

2

; S xC

V VI I V C

R

2 12 1 1 2 2

1 2 1 2

X C C C r

R RV V C R V V V

R R R R

2

1 1 2 2 1 1 2 1 1 2

1 1 2

C rC C C S C S

V VV C R V C R V V C R V V

C R R

2 1

1 1 2 2

1 2 1 2

C C S r

R RV C R V V V

R R R R

2 1

1

1 1 2 1 2 1 2 1 2

C SC r

V V RV V

C R R C R C R R R

(8)

2 11 1 1 1 1 1 1 2

1 2 1 2

+ + C C X C C C r

R RV I R V V V C R V V V

R R R R

2 1 2 1

1 1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

+ C SC r C C r

V V R R RV V C R V V V

C R R C R C R R R R R R R

2

1 2 1 1 2 11 2

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

+ C S rC C C r

RV RV R V R RV V V V

R R R R R R R R R R

1 11 2

2 2

+C C C r S

R RV V V V V

R R (9)

CASO 2: Analizando el modelo a partir de la función de transferencia.

1 1

1 1 2

1

1x r

sC RV V

sC R R

1 1 1 1

1 2 1 2

1 11c S x

sC R sC RV V V

sC R sC R

1 1 21 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 1 2 1 2

11 1 1

1c S r r S

sC R RsC R sC R sC RV V V V V

sC R sC R sC R R sC R

El modelo a partir de la transferencia queda:

1 2

1 2 1 2

1 ; ;

r S

A r S A r S A

V VV V V V C R V V V

sC R C R

(10)

1 11 1

2 2

c A A r S A

R RV V C R V V V V

R R (11)

AMPLIFICADOR CLASE A

c BEB

IE B

V VI

h R

; FE FE BE

C FE B c

IE B IE B

h h VI h I V

h R h R

El transistor actúa como una fuente de corriente.

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

La corriente del motor es independiente de la impedancia eléctrica, es decir que la inductancia del motor no tiene

asociada ninguna variable de estado. Por tal motivo la cupla del motor es directamente:

T FE T FE BET C c

IE B IE B

K h K h VT K I V

h R h R

(13)

MODELO DE ESTADO

p

K

R KB Tx

J J J (1)

2K px R V (2)

2 2c

K

c c

B Kx

M MV V (3)

(4)

2x V (5)

Usando el Caso 2 del controlador con S SV K

1 2 1 2

1 SA r

KV V

C R C R (10)

De las ecuaciones (11) y (13) queda:

1 1

2 2

T FE T FE BEr S A

IE B IE B

K h R R K h VT V V V

h R R R h R

(14)

Reemplazando la ecuación (14) en la ecuación (1)

11

2 2

p T FE ST FE T FE T FE BEK r A

IE B IE B IE B IE B

CTE

R K K h R KK h R K h K h VBx V V

J J JR h R JR h R J h R J h R

(15)

El término constante determina que la ecuación (15) es no lineal, el resto de las ecuaciones de estado son lineales.

Por lo tanto, la expresión a linealizar es solamente la (15) y la expresión lineal es la misma sin el término constante.

PUNTO DE EQUILIBRIO (xe)

Se considera un punto de equilibrio en 2

e

Lx .

Se cumple cuando las derivadas son igual a cero.

De (4) y (5) se determina 0e y 2 0eV y de (3) resulta 0Kex .

De la ecuación (10) se puede ver que re S eV K .

De (15) se calcula Ae BEV V .

El valor e no puede extraerse de las ecuaciones de estado, pero debido a la polea no puede ser otro que 2

ee

P P

x L

R R

. Por lo tanto 2

Sre

P

K LV

R .

Se definen las variables en el entorno del punto de equilibio:

*

*

2

*2 2* 2

*

*

*

( )

( )

( )( )

( ) 2

( )

2( )

e K

K KeK

e

e P

e

A AeA

A BE

t x

x xx t V

V VV t Lx t

t R

x xx t Lx

V VV t

V V

y *( )

2

Sr r re r

P

K LV t V V V

R

El modelo lineal es:

11

22

* * *

1 2

1 2

0 0

0 1 0 0 00

0 0 0 0 0( ) ( ) ( )

01 0 0 0 0 0

00 0 1 0 0 0

1

0 0 0 0 0

p T FE S T FET FE

IE B IE BIE B

p

c

rc c

S

R K K h R K K hBK h R

J J JR h R J h RJR h R

R

BK

x t x t V tM M

KC R

C R

1) Considere el siguiente filtro activo de segundo orden.

a) Encuentre un modelo de estado con entrada Vi y salida Vo.

b) A partir del modelo hallado; determine el valor de las variables de estado, en régimen permanente, cuando se aplica en

la entrada un escalón de tensión de 1 volt.

c) Halle la función de transferencia del filtro.

Considere los siguientes valores para los parámetros:

R1=5 KW C1=1 mF

R2=10 KW C2=0.1 mF

R3=1 KW

R4=1 KW

R5=100 KW

Solución

a) Se van a definir las corrientes y tensiones sobre el circuito

electrónico.

Las corrientes se representan en azul y las tensiones en

verde.

Debido a que el amplificador operacional se considera

ideal las tensiones en las entradas inversora y no inversora deben ser iguales, por tal motivo aparecen una serie de

tensiones impuestas por esta condición que se representan en color rojo.

Se plantean como variables de estado las tensiones de los capacitores.

La tensión de salida en este circuito es 0 1V X .

Entonces se cumple que:

0 15

5 5

V XI

R R y

1 4 5

1 5 4 5

5

X R RV I R R

R

La corriente I3 se calcula como:

4 51

51 1 43 1

3 3 5 3

( )1

R RX

RX V RI X

R R R R

La corriente por el capacitor C2 es:

42 2 2 3 1

5 3

C

RI X C I X

R R

De la anterior ecuación se conoce una ecuación de estado:

42 1

2 5 3

RX X

C R R

La corriente I2 se puede calcular como:

1 1 21 2 22

2 2 2

X X XX V XI

R R R

Para la entrada se cumple que:

1 21 1 2 1 1

1 2

iC

V X XI I I X C

R R

De la anterior ecuación se conoce una ecuación de estado:

1 21

1 1 1 2 1 1

iVX XX

C R C R C R

El modelo matricial queda:

1 1 1 2 1 111 1 0 1

2 242

2 5 3

1 11

; 1 0

0 0

i

C R C R X XXC R V y V X

X XRX

C R R

Reemplazando los valores:

R1=5 KW C1=1 mF

R2=10 KW C2=0.1 mF

R3=1 KW

R4=1 KW

R5=100 KW

1 11

0 1

2 22

200 100 200 ; 1 0

100 0 0i

X XXV y V X

X XX

b) Para la condición de régimen permanente evalúo las derivadas de las variables iguales a cero.

1

2

0 200 100 2001 volt

0 100 0 0

X

X

entonces:

1

2

0

2

X

X

c) La función de transferencia se calcula como 1

( )G s C sI A B

En este caso 200 100

100

ssI A

s

Por lo tanto, 22det 200 10000 100sI A s s s .

La matriz inversa es:

1

2

100

100 200Adj

det 100

s

ssI AsI A

sI A s

Entonces,

1

2 2

100 200 200

100 200 0 200

100 100

s s

ssI A B

s s

Finalmente,

1

2 2

2001 0

200 200( )

100 100

s

sG s C sI A B

s s

Como el sistema es pasa-banda es lógico que la condición de régimen permanente para X1 sea igual a cero.