Ìàòåðèàëû äëÿ ïðîâåäåíèÿçàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïàXXXVIII ÂÑÅ�ÎÑÑÈÉÑÊÎÉÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ2011�2012 ó÷åáíûé ãîäÏåðâûé äåíüÑìîëåíñê,23�28 àïðåëÿ 2012 ã.Ìîñêâà, 2012

Ñáîðíèê ñîäåðæèò ìàòåðèàëû äëÿ ïðîâåäåíèÿ çàêëþ÷èòåëüíîãîýòàïà XXXVIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòè-êå. Çàäàíèÿ ïîäãîòîâëåíû Ôåäåðàëüíîé ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé ïîìàòåìàòèêå Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ.Ñáîðíèê ñîñòàâèëè: Í.Õ. Àãàõàíîâ, À.Â. Àêîïÿí, À.Â. Àíòðîïîâ,Â.Â. Àñòàõîâ, Ñ.Ë. Áåðëîâ, Í.Â. Áîãà÷¼â, È.È. Áîãäàíîâ, Ñ.�. Âîë-÷¼íêîâ, À.À. �àâðèëþê, À.È. �àðáåð, À.Ñ. �îëîâàíîâ, À.Þ. �îëîâ-êî, Î.Þ. Äìèòðèåâ, Â.Ë. Äîëüíèêîâ, Ë.À. Åìåëüÿíîâ, Ô.À. Èâëåâ,�.Í. Êàðàñ¼â, Ï.À. Êîæåâíèêîâ, À.Í. Ìàãàçèíîâ, Ï.Â. Ìàðòû-íîâ, Å.�. Ìîë÷àíîâ, Â.À. Îìåëüÿíåíêî, À.Â. Ïàñòîð, Î.Ê. Ïîäëèï-ñêèé, À.À. Ïîëÿíñêèé, È.À. �åøåòíèêîâ, È.Ñ. �óáàíîâ, Â.À. Ñåí-äåðîâ, À.Á. Ñêîïåíêîâ, Ì.Á. Ñêîïåíêîâ, Ê.À. Ñóõîâ, Ä.À. Òåð¼øèí,Á.Â. Òðóøèí, À.È. Õðàáðîâ, Ä.�. Õðàìöîâ, Ê.Â. ×óâèëèí, Â.Ç. Øà-ðè÷, Â.À. Øìàðîâ. ñêîáêàõ ïîñëå êàæäîé çàäà÷è óêàçàíà �àìèëèÿ åå àâòîðà.Êîìïüþòåðíûé ìàêåò: È.È. Áîãäàíîâ.Æåëàåì óñïåøíîé ðàáîòû!Àâòîðû è ñîñòàâèòåëè ñáîðíèêà

Çàïðåùàåòñÿ ïóáëèêàöèÿ èëè ðàçìåùåíèå â ñåòè Èíòåðíåòóñëîâèé èëè ðåøåíèé çàäà÷ îëèìïèàäû. © Àâòîðû è ñîñòàâèòåëè, 2012 © È.È. Áîãäàíîâ, 2012, ìàêåò.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíüÓñëîâèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷9 êëàññ9.1. Ïóñòü a1, . . . , a11 �ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ìåíü-øèå 2, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 407. Ìîãëî ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî ñóì-ìà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà 22÷èñëà a1, a2, . . . , a11, 4a1, 4a2, . . . , 4a11 ðàâíà 2012? (Í. Àãàõàíîâ)Îòâåò. Íå ìîæåò.�åøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîå ÷èñëî n ñóùåñòâóåò.Çàìåòèì, ÷òî ìàêñèìàëüíûé âîçìîæíûé îñòàòîê îò äåëåíèÿíà íàòóðàëüíîå ÷èñëî m ðàâåí m − 1. Ïîýòîìó ñóììà îñòàòêîâîò äåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íà ÷èñëà a1, . . . , a11 íå áîëüøå,÷åì 407 − 11 = 396, à ñóììà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ åãî íà ÷èñ-ëà 4a1, . . . , 4a11 íå áîëüøå, ÷åì 4 · 407 − 11 = 1617. Èòàê, åñëèáû âñå îñòàòêè áûëè ìàêñèìàëüíûìè âîçìîæíûìè, òî èõ ñóììàðàâíÿëàñü áû 396 + 1617 = 2013. Ïîñêîëüêó ýòà ñóììà äëÿ íà-øåãî ÷èñëà n ðàâíà 2012, òî âñå îñòàòêè, êðîìå îäíîãî, � ìàê-ñèìàëüíûå âîçìîæíûå, à îäèí � íà åäèíèöó ìåíüøå ìàêñèìàëü-íîãî âîçìîæíîãî.Çíà÷èò, ïðè íåêîòîðîì k îäèí èç îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ n íà÷èñëà ak è 4ak � ìàêñèìàëüíûé âîçìîæíûé, à äðóãîé � íà åäè-íèöó ìåíüøå ìàêñèìàëüíîãî âîçìîæíîãî. Òîãäà îäíî èç ÷èñåën+1 è n+2 äåëèòñÿ íà ak, à äðóãîå � íà 4ak, òî åñòü äâà âçàèìíîïðîñòûõ ÷èñëà n+1 è n+2 äåëÿòñÿ íà ak > 2. Ýòî íåâîçìîæíî.9.2. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíû 2012 òî÷åê, äåëÿùèõ å¼ íà ðàâíûå äó-ãè. Èç íèõ âûáðàëè k òî÷åê è ïîñòðîèëè âûïóêëûé k-óãîëüíèêñ âåðøèíàìè â âûáðàííûõ òî÷êàõ. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì kìîãëî îêàçàòüñÿ, ÷òî ó ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà íåò ïàðàëëåëüíûõñòîðîí? (Ä. Õðàìöîâ)Îòâåò. Ïðè k = 1509.�åøåíèå. Ïóñòü A1, A2, . . . , A2012 � îòìå÷åííûå òî÷êè âïîðÿäêå îáõîäà (ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî A2013 = A1, A2014 == A2). �àçîáü¼ì èõ íà ÷åòâ¼ðêè òî÷åê (A1, A2, A1007, A1008),(A3, A4, A1009, A1010), . . . , (A1005, A1006, A2011, A2012). Åñëè ñðå-3

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâäè âûáðàííûõ k òî÷åê âñòðåòÿòñÿ âñå òî÷êè íåêîòîðîé ÷åòâ¼ðêè(A2i−1, A2i, A2i+1005, A2i+1006), òî â ïîëó÷åííîì ìíîãîóãîëüíè-êå íàéäóòñÿ äâå ñòîðîíû A2i−1A2i è A2i+1005A2i+1006, êîòîðûåñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî öåíòðà îêðóæíîñòè è ïîòîìó ïàðàë-ëåëüíû. Ýòî íåâîçìîæíî; çíà÷èò, â êàæäîé èç 503 ÷åòâ¼ðîê áó-äåò îòìå÷åíî íå áîëåå òð¼õ âåðøèí, òî åñòü k 6 503 · 3 = 1509.Îñòàëîñü ïðèâåñòè ïðèìåð 1509-óãîëüíèêà áåç ïàðàëëåëü-íûõ ñòîðîí ñ âåðøèíàìè â îòìå÷åííûõ òî÷êàõ. Ïîäõîäèò, íàïðè-ìåð, ìíîãîóãîëüíèê A1A2 . . . A1006A1008A1010 . . . A2012 (åãî âåð-øèíàìè ÿâëÿþòñÿ âñå òî÷êè ñ íîìåðàìè îò 1 äî 1006 è âñå òî÷-êè ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè îò 2008 äî 2012). Äåéñòâèòåëüíî, ñòî-ðîíû A2012A1, A1A2, . . . , A1005A1006 ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îòäèàìåòðà A2012A1006 è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü ïàðàëëåëüíûìè;àíàëîãè÷íî, ñòîðîíû A1006A1008, . . . , A2010A2012 ïîïàðíî íåïà-ðàëëåëüíû. Íàêîíåö, ìàëåíüêàÿ äèàãîíàëü AjAj+2 ïðàâèëüíî-ãî 2012-óãîëüíèêà íå ïàðàëëåëüíà åãî ñòîðîíàì; çíà÷èò, íèêà-êèå äâå ñòîðîíû âèäà AiAi+1 è AjAj+2 òàêæå íå ìîãóò áûòüïàðàëëåëüíûìè.9.3. Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD ñ òóïûì óãëîì A. Òî÷êà H � îñ-íîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè A íà BC. Ïðî-äîëæåíèå ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ABC, ïðîâåä¼ííîé èç âåðøè-íû C, ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü â òî÷êå K.Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè K, H, C è D ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè.(Ô. Èâëåâ)

A

B C

D

H

E

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMK

ω�èñ. 1�åøåíèå. Ïóñòü E � îñíî-âàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåí-íîãî èç òî÷êè B íà AD. Òîãäà÷åòûð¼õóãîëüíèê AHBE �ïðÿ-ìîóãîëüíèê. Çíà÷èò, ∠HED =

= ∠ABC = 180◦ − ∠BCD, òîåñòü òî÷êè D, C, H, E ëåæàòíà íåêîòîðîé îêðóæíîñòè ω (ñì.ðèñ. 1).Ïóñòü M �òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïðÿìîóãîëüíè-êà AHBE, òî åñòü MA = MB = MH = ME (ïî óñëîâèþ,òî÷êà M ëåæèò íà CK). Ïîñêîëüêó òî÷êè A, K, B, C ëåæàò íà4

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíüîäíîé îêðóæíîñòè, èìååì MK ·MC = MA ·MB = MH ·ME.Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè C, K, H è E ëåæàò íà îä-íîé îêðóæíîñòè. Ýòà îêðóæíîñòü ÿâëÿåòñÿ îïèñàííîé îêðóæ-íîñòüþ òðåóãîëüíèêà CHE, òî åñòü ñîâïàäàåò ñ ω; èòîãî, âñå÷åòûðå òî÷êè K, H, C, D ëåæàò íà ω.9.4. Ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà a1, . . . , an è k òàêîâû,÷òî a1+ . . .+an = 3k, a21+ . . .+a2n = 3k2 è a3

1+ . . .+a3n > 3k3+k.Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî äâà èç ÷èñåë a1, . . . , an îòëè÷àþòñÿáîëüøå, ÷åì íà 1. (Í. Àãàõàíîâ)�åøåíèå. Ïåðåìíîæèâ ðàâåíñòâî

a1 + a2 + . . .+ an = 3k (1)è íåðàâåíñòâîa31 + a32 + . . .+ a3n > 3k3 + k,ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

a41+a42+. . .+a4n+a31a2+a1a32+a31a3+a1a

33+. . .+a3n−1an+an−1a

3n >

> 9k4 + 3k2. (2)Âîçâåäåì òåïåðü â êâàäðàò ðàâåíñòâîa21 + a22 + . . . + a2n = 3k2. (3)Ïîëó÷èì

a41 + a42 + . . . + a4n + 2a21a22 + 2a21a

23 + . . .+ 2a2n−1a

2n = 9k4. (4)Âû÷èòàÿ èç íåðàâåíñòâà (2) ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷àåì

(a31a2− 2a21a22+a1a

32)+ . . .+(a3n−1an− 2a2n−1a

2n+an−1a

3n) > 3k2,èëè

a1a2(a1− a2)2+ a1a3(a1− a3)

2+ . . .+ an−1an(an−1− an)2 > 3k2.(5)Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ëþáûå äâà ÷èñëà îòëè÷àþòñÿ íåáîëüøå, ÷åì íà 1. Òîãäà êâàäðàò èõ ðàçíîñòè íå áîëüøå 1, èèç (5) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî

a1a2 + a1a3 + . . .+ an−1an > 3k2. (6)Íî, åñëè âû÷åñòü èç êâàäðàòà ðàâåíñòâà (1) ðàâåíñòâî (3), ïîëó-÷èòñÿ ðàâåíñòâî2a1a2 + 2a1a3 + . . . + 2an−1an = 6k2, 5

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (6). Çíà÷èò, íàéäóòñÿ äâà ÷èñëà, îòëè÷àþùè-åñÿ áîëüøå, ÷åì íà 1. 10 êëàññ10.1. Ïóñòü a1, . . . , a10 �ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ìåíü-øèå 3, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 678. Ìîãëî ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî ñóì-ìà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà 20÷èñåë a1, a2, . . . , a10, 2a1, 2a2, . . . , 2a10 ðàâíà 2012? (Í. Àãàõàíîâ)Îòâåò. Íå ìîæåò.�åøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîå ÷èñëî n ñóùåñòâóåò.Çàìåòèì, ÷òî ìàêñèìàëüíûé âîçìîæíûé îñòàòîê îò äåëåíèÿíà íàòóðàëüíîå ÷èñëî m ðàâåí m − 1. Ïîýòîìó ñóììà îñòàòêîâîò äåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íà ÷èñëà a1, . . . , a10 íå áîëüøå,÷åì 678 − 10 = 668, à ñóììà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ åãî íà ÷èñ-ëà 2a1, . . . , 2a10 íå áîëüøå, ÷åì 2 · 678 − 10 = 1346. Èòàê, åñëèáû âñå îñòàòêè áûëè ìàêñèìàëüíûìè âîçìîæíûìè, òî èõ ñóì-ìà ðàâíÿëàñü áû 668 + 1346 = 2014. Ïîñêîëüêó ýòà ñóììà äëÿíàøåãî ÷èñëà n ðàâíà 2012, âîçìîæíû òîëüêî äâà ñëó÷àÿ:Ñëó÷àé 1, êîãäà ðîâíî îäèí èç îñòàòêîâ íà 2 ìåíüøå ìàê-ñèìàëüíîãî âîçìîæíîãî, à îñòàëüíûå �ìàêñèìàëüíûå âîçìîæ-íûå, èÑëó÷àé 2, êîãäà ðîâíî äâà îñòàòêà íà 1 ìåíüøå ìàêñèìàëü-íûõ âîçìîæíûõ. ñëó÷àå 1 ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k îäèí èç îñòàò-êîâ îò äåëåíèÿ n íà ÷èñëà ak è 2ak � ìàêñèìàëüíûé âîçìîæ-íûé, à äðóãîé � íà 2 ìåíüøå ìàêñèìàëüíîãî âîçìîæíîãî. Òî-ãäà îäíî èç ÷èñåë n + 1 è n + 3 äåëèòñÿ íà ak, à äðóãîå � íà2ak, òî åñòü îáà äåëÿòñÿ íà ak. Ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê ÷èñëî(n+ 3)− (n+ 1) = 2 íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà ak > 2.Ñëó÷àé 2 òàêæå íåâîçìîæåí. Äåéñòâèòåëüíî, ñðåäè îñòàòêîâîò äåëåíèÿ n íà ÷åòíûå ÷èñëà 2a1, 2a2, . . . 2a10 ïî êðàéíåé ìå-ðå âîñåìü �ìàêñèìàëüíûå âîçìîæíûå, òî åñòü íå÷¼òíûå. Çíà-÷èò, n�íå÷¼òíîå ÷èñëî, è ïîòîìó âñå îñòàòêè îò äåëåíèÿ åãî íà÷èñëà 2a1, . . . , 2a10 íå÷¼òíû. Òàêèì îáðàçîì, îíè �ìàêñèìàëü-íûå âîçìîæíûå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî n + 1 äåëèòñÿ íà âñå ÷èñëà6

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíü2a1, . . . , 2a10 è, ñëåäîâàòåëüíî, íà âñå ÷èñëà a1, . . . , a10, òî åñòüâñå 20 îñòàòêîâ � ìàêñèìàëüíûå âîçìîæíûå. Ïðîòèâîðå÷èå.Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îòâåò îñòà¼òñÿ îòðèöà-òåëüíûì, åñëè ïðåäïîëîæèòü òîëüêî, ÷òî âñå ÷èñëà ai áîëüøå 1.10.2. Îêðóæíîñòü ω, âïèñàííàÿ â îñòðîóãîëüíûé íåðàâíîáåäðåííûéòðåóãîëüíèê ABC, êàñàåòñÿ ñòîðîíû BC â òî÷êå D. Ïóñòü òî÷-êà I �öåíòð îêðóæíîñòè ω, à O�öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàí-íîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëîòðåóãîëüíèêà AID, ïåðåñåêàåò âòîðè÷íî ïðÿìóþ AO â òî÷êå E.Äîêàæèòå, ÷òî äëèíà îòðåçêà AE ðàâíà ðàäèóñó îêðóæíîñòè ω.(Ë. Åìåëüÿíîâ)�åøåíèå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè AB < AC. Ïóñòü ëó÷DI ïåðåñåêàåò îòðåçêè AO è AC â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî.Èìååì ∠AIP = ∠DQC − ∠IAC = 90◦ − ∠C − ∠A/2 è ∠IAP == ∠OAB−∠IAB = (180◦−∠AOB)/2−∠A/2 = 90◦−∠C−∠A/2.Òàêèì îáðàçîì, òðåóãîëüíèê API ðàâíîáåäðåííûé (AP = PI),òî åñòü òî÷êà P ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ℓ ê AI, èëó÷è PA è PI ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ℓ. Îïèñàííàÿ îêðóæ-íîñòü òðåóãîëüíèêà AID òàêæå ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ℓ.Ïîëó÷àåì, ÷òî îòðåçêè AE è ID òîæå ñèììåòðè÷íû, ïîýòîìóîíè ðàâíû.

A

B CD

E

IO

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

Q

ω

ℓ

�èñ. 2Çàìå÷àíèå 1. Èç ïðèâåä¼ííîãî ðåøåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ñëå-äóåò, ÷òî òî÷êà E âñåãäà ëåæèò íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà OA çàòî÷êó A.Çàìå÷àíèå 2. Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ñòåïåíü òî÷-êè O îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè a, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíè-7

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâêà AID, ðàâíà R(R + r), ãäå R è r�ðàäèóñû îïèñàííîé è âïè-ñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC. ßñíî, ÷òî ñòåïåíè òî÷-êè O îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòåé b è c, ïîñòðîåííûõ àíàëîãè÷-íî a, áóäóò òàêèìè æå. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî IO ÿâëÿåòñÿ îáùåéðàäèêàëüíîé îñüþ òð¼õ îêðóæíîñòåé a, b è c, è ýòè îêðóæíîñòèèìåþò äâå îáùèå òî÷êè: îäíà � ýòî òî÷êà I, à äðóãàÿ ëåæèò íàïðÿìîé IO. Èñïîëüçóÿ �îðìóëó Ýéëåðà äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæ-äó I è O, íåòðóäíî íàéòè ïîëîæåíèå âòîðîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿóêàçàííûõ îêðóæíîñòåé.10.3. Ëþáûå äâà èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a1, a2, a3, a4, a5 îòëè÷àþò-ñÿ íå ìåíåå, ÷åì íà 1. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî äåéñòâè-òåëüíîãî k âûïîëíåíû ðàâåíñòâàa1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 2k è a21 + a22 + a23 + a24 + a25 = 2k2.Äîêàæèòå, ÷òî k2 > 25/3. (È. Áîãäàíîâ)�åøåíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

a1 < . . . < a5. Ïî óñëîâèþ, ai+1 − ai > 1 ïðè âñåõ i = 1, 2, 3, 4.Çíà÷èò, aj − ai > j − i ïðè âñåõ 1 6 i < j 6 5. Âîçâåä¼ì êàæäîåèç ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâ â êâàäðàò è ñëîæèì èõ âñå. Ïîëó÷èì∑

16i<j65

(aj−ai)2>

∑

16i<j65

(j−i)2 = 4 ·12+3 ·22+2 ·32+42 = 50,òî åñòü4

5∑

i=1

a2i − 2∑

16i<j65

aiaj > 50. (1)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ èìååì5∑

i=1

a2i + 2∑

16i<j65

aiaj = (a1 + . . .+ a5)2 = 4k2. (2)Ñêëàäûâàÿ (1) è (2), ïîëó÷àåì

5

5∑

i=1

a2i = 10k2 > 50 + 4k2,îòêóäà 6k2 > 50, èëè k2 > 25/3.Çàìå÷àíèå. Óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò, íàïðèìåð,÷èñëà ai = (3− i) + 2/√3, k = 5/

√3. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî 25/3â óñëîâèè íåëüçÿ çàìåíèòü íà áîëüøåå.8

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíü10.4. Èçíà÷àëüíî íà äîñêå áûëè íàïèñàíû n + 1 îäíî÷ëåíîâ 1, x,x2, . . . , xn. Äîãîâîðèâøèñü çàðàíåå, k ìàëü÷èêîâ êàæäóþ ìèíó-òó îäíîâðåìåííî âû÷èñëÿëè êàæäûé ñóììó êàêèõ-òî äâóõ ìíî-ãî÷ëåíîâ, íàïèñàííûõ íà äîñêå, è ðåçóëüòàò äîïèñûâàëè íà äîñ-êó. ×åðåç m ìèíóò íà äîñêå áûëè íàïèñàíû, ñðåäè ïðî÷èõ, ìíî-ãî÷ëåíû S1 = 1 + x, S2 = 1 + x + x2, S3 = 1 + x + x2 + x3, . . . ,Sn = 1 + x+ x2 + . . .+ xn. Äîêàæèòå, ÷òî m > 2n/(k + 1).(À. Øàïîâàëîâ)�åøåíèå. �àññìîòðèì êîíå÷íóþ ñèòóàöèþ íà äîñêå. Åñëèìíîãî÷ëåí P ïîÿâèëñÿ êàê ñóììà ìíîãî÷ëåíîâ Q è R, òî ïðîâå-ä¼ì ñòðåëêè èç P â Q è R. Äàëåå, åñëè èç ìíîãî÷ëåíà F âåä¼ò(îðèåíòèðîâàííûé!) ïóòü â G, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî G ó÷àñòâóåòâ F (â ÷àñòíîñòè, ñàì F ó÷àñòâóåò â F ). Íåòðóäíî âèäåòü â ýòîìñëó÷àå, ÷òî âñå êîý��èöèåíòû ìíîãî÷ëåíà F −G íåîòðèöàòåëü-íû. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ìíîãî÷ëåí íà äîñêå � ñóììàðàçëè÷íûõ ñòåïåíåé x; äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàêîé-òî êîý��è-öèåíò ìíîãî÷ëåíà íå ìåíüøå 2, òî è ó âñåõ, â êîòîðûõ îí ó÷àñò-âóåò, ñîîòâåòñòâóþùèé êîý��èöèåíò òàêæå áóäåò íå ìåíüøå 2.Çíà÷èò, îí íå ó÷àñòâóåò â ñóììàõ âèäà Si.Ìû ñîáèðàåìñÿ îöåíèòü îáùåå êîëè÷åñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íàäîñêå. Êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ S1, . . . , Sn íàçîâ¼ì �èíàëüíûì.Êàæäûé èç ìíîãî÷ëåíîâ, ó÷àñòâóþùèõ â Sn (òî åñòü â ñóììåâñåõ èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ), íàçîâ¼ì ñóùåñòâåííûì. ßñíî, ÷òîåñòü n �èíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ.Ïîêàæåì èíäóêöèåé ïî p, ÷òî â ìíîãî÷ëåíå ñ p íåíóëåâûìèêîý��èöèåíòàìè ó÷àñòâóþò ðîâíî 2p− 1 ìíîãî÷ëåíîâ (èç êîòî-ðûõ p îäíî÷ëåíîâ); îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ñó-ùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ðàâíî 2n+1. Áàçà ïðè p = 1 î÷åâèäíà.Ïóñòü òåïåðü ìíîãî÷ëåí P áûë ïîëó÷åí íà íåêîòîðîì øàãå êàêñóììà Q è R, è êîëè÷åñòâà íåíóëåâûõ êîý��èöèåíòîâ â P , Qè R ðàâíû p, q è r ñîîòâåòñòâåííî; òîãäà p = q+ r. Ïî ïðåäïîëî-æåíèþ èíäóêöèè, â Q è R ó÷àñòâóþò 2q − 1 è 2p − 1 ìíîãî÷ëå-íîâ, ñðåäè êîòîðûõ íåò ñîâïàäàþùèõ (ïîñêîëüêó â Q è R íåòîáùèõ îäíî÷ëåíîâ). Òîãäà â P , ñ ó÷¼òîì ñàìîãî P , ó÷àñòâóþò(2q − 1) + (2r − 1) + 1 = 2p− 1 ìíîãî÷ëåíîâ. 9

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâÏîêàæåì, íàêîíåö, ÷òî â êàæäóþ ìèíóòó íà äîñêå ïîÿâ-ëÿëîñü íå áîëåå îäíîãî �èíàëüíîãî ñóùåñòâåííîãî ìíîãî÷ëåíà.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â íåêîòîðóþ ìèíóòó ïîÿâèëèñü îäíîâðå-ìåííî ñóùåñòâåííûå ìíîãî÷ëåíû Sp è Sq (p < q). �àññìîòðèìïåðâûé ìîìåíò, êîãäà íà äîñêå ïîÿâèëñÿ ìíîãî÷ëåí P , â êîòî-ðîì îäíîâðåìåííî ó÷àñòâóþò è Sp, è Sq; òîãäà îí ïîÿâèëñÿ êàêñóììà äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò îäíî-÷ëåí xp. Íî òîãäà êîý��èöèåíò ïðè xp â P íå ìåíüøå 2, ÷òîíåâîçìîæíî.Èòàê, íà äîñêå åñòü n �èíàëüíûõ è 2n + 1 ñóùåñòâåííûõìíîãî÷ëåíîâ, ïðè ýòîì íå áîëüøå m èç íèõ ÿâëÿþòñÿ è òåìè,è äðóãèìè. Çíà÷èò, îáùåå êîëè÷åñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íà äîñêå íåìåíüøå, ÷åì n + (2n + 1) − m. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñõîäíî íàäîñêå áûëî n+1 ìíîãî÷ëåíîâ, à äîáàâèëîñü íå áîëüøå, ÷åì mk.Çíà÷èò, (n+1) +mk > n+ (2n+ 1)−m, èëè m(k+ 1) > 2n, ÷òîè òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå. Åñëè çà�èêñèðîâàòü íàòóðàëüíîå k, òî ïðèâñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n îöåíêà â çàäà÷å òî÷íà.11 êëàññ11.1. Èçíà÷àëüíî íà ñòîëå ëåæàò 111 êóñêîâ ïëàñòèëèíà îäèíàêîâîéìàññû. Çà îäíó îïåðàöèþ ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî ãðóïï ïîîäèíàêîâîìó êîëè÷åñòâó êóñêîâ è â êàæäîé ãðóïïå âåñü ïëàñòè-ëèí ñëåïèòü â îäèí êóñîê. Çà êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî îïå-ðàöèé ìîæíî ïîëó÷èòü ðîâíî 11 êóñêîâ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõèìåþò ðàçëè÷íûå ìàññû? (È. Áîãäàíîâ)Îòâåò. Çà äâå îïåðàöèè.�åøåíèå. Ïóñòü ìàññà îäíîãî èñõîäíîãî êóñêà ðàâíà 1. Åñ-ëè ïðè ïåðâîé îïåðàöèè â êàæäîé ãðóïïå k êóñêîâ, òî ïîñëå íå¼êàæäûé êóñîê áóäåò èìåòü ìàññó 1 èëè k; çíà÷èò, îäèííàäöàòèêóñêîâ ðàçëè÷íîé ìàññû çà îäíó îïåðàöèþ ïîëó÷èòü íå óäàñòñÿ.Ïîêàæåì, ÷òî çà äâå îïåðàöèè òðåáóåìîå ñäåëàòü ìîæíî. Íàïåðâîé îïåðàöèè âûáåðåì 37 ãðóïï ïî 2 êóñêà; ïîñëå îïåðàöèèïîëó÷àòñÿ ïî 37 êóñêîâ ñ ìàññàìè 1 è 2. Íà âòîðîé îïåðàöèèâûáåðåì 9 ãðóïï ïî 8 êóñêîâ: â i-é ãðóïïå (1 6 i 6 9) áóäåò i− 110

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíüêóñêîâ ìàññû 2 è 9 − i êóñêîâ ìàññû 1. Òîãäà îñòàíóòñÿ íåèñ-ïîëüçîâàííûìè äâà êóñêà ìàññ 1 è 2, à èç i-é ãðóïïû ïîëó÷èòñÿêóñîê ìàññû 9 − i + 2(i − 1) = 7 + i. Èòàê, ïîëó÷àòñÿ 11 êóñêîâñ ìàññàìè 1, 2, 8, 9, . . . , 16, ÷òî è òðåáîâàëîñü.Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðèâåä¼ííûé ñïîñîá �åäèíñòâåííûé âîçìîæíûé.11.2. Ëþáûå äâà èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a1, a2, a3, a4, a5 îòëè÷àþò-ñÿ íå ìåíåå, ÷åì íà 1. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî äåéñòâè-òåëüíîãî k âûïîëíåíû ðàâåíñòâàa1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 2k è a21 + a22 + a23 + a24 + a25 = 2k2.Äîêàæèòå, ÷òî k2 > 25/3. (È. Áîãäàíîâ)�åøåíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

a1 < . . . < a5. Ïî óñëîâèþ, ai+1 − ai > 1 ïðè âñåõ i = 1, 2, 3, 4.Çíà÷èò, aj − ai > j − i ïðè âñåõ 1 6 i < j 6 5. Âîçâåä¼ì êàæäîåèç ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâ â êâàäðàò è ñëîæèì èõ âñå. Ïîëó÷èì∑

16i<j65

(aj−ai)2 >

∑

16i<j65

(j−i)2 = 4 ·12+3 ·22+2 ·32+42 = 50,òî åñòü4

5∑

i=1

a2i − 2∑

16i<j65

aiaj > 50. (1)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ èìååì5∑

i=1

a2i + 2∑

16i<j65

aiaj = (a1 + . . .+ a5)2 = 4k2. (2)Ñêëàäûâàÿ (1) è (2), ïîëó÷àåì

5

5∑

i=1

a2i = 10k2 > 50 + 4k2,îòêóäà 6k2 > 50, èëè k2 > 25/3.Çàìå÷àíèå. Óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò, íàïðèìåð,÷èñëà ai = (3− i) + 2/√3, k = 5/

√3. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî 25/3â óñëîâèè íåëüçÿ çàìåíèòü íà áîëüøåå.11.3. Êëåò÷àòàÿ ïëîñêîñòü ðàñêðàøåíà â øàõìàòíîì ïîðÿäêå â ÷¼ð-íûé è áåëûé öâåòà. Çàòåì áåëûå êëåòêè ñíîâà ðàñêðàøåíû âêðàñíûé è ñèíèé öâåòà òàê, ÷òîáû êëåòêè, ñîñåäíèå ïî óãëó, áû-11

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâëè ðàçíîöâåòíûìè. Ïóñòü ℓ�ïðÿìàÿ, íå ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðî-íàì êëåòîê. Äëÿ êàæäîãî îòðåçêà I, ïàðàëëåëüíîãî ℓ, ïîñ÷èòà-åì ðàçíîñòü ñóìì äëèí åãî êðàñíûõ è ñèíèõ ó÷àñòêîâ. Äîêàæè-òå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî C (çàâèñÿùåå òîëüêî îò ïðÿìîé ℓ) òà-êîå, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå ðàçíîñòè íå ïðåâîñõîäÿò C.(È. Áîãäàíîâ, Ê. Ñóõîâ)�åøåíèå. Ëåììà. �àñêðàñèì êëåòêè ïëîñêîñòè â äâà öâå-òà: íå÷¼òíûå ñòîëáöû â çåë¼íûé öâåò, à ÷¼òíûå� â æ¼ëòûé.Òîãäà äëÿ ëþáîãî îòðåçêà, ïàðàëëåëüíîãî ïðÿìîé ℓ, ðàçíîñòüñóìì äëèí åãî çåë¼íûõ è æ¼ëòûõ ó÷àñòêîâ íå ïðåâîñõîäèòíåêîòîðîãî ÷èñëà D, çàâèñÿùåãî òîëüêî îò ℓ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðÿìàÿ ℓ ðàçáèâàåòñÿ âåðòèêàëüíûìèñòîðîíàìè êëåòîê íà îòðåçêè îäèíàêîâîé äëèíû; îáîçíà÷èì ýòóäëèíó ÷åðåç F . Òîãäà äëÿ ëþáîãî îòðåçêà äëèíû 2F , ïàðàëëåëü-íîãî ℓ, ñóììû äëèí åãî çåë¼íûõ è æ¼ëòûõ ÷àñòåé ðàâíû F . Àëþáîé îòðåçîê, ïàðàëëåëüíûé ℓ, ðàçáèâàåòñÿ íà òàêèå îòðåçêèè îñòàòîê äëèíû, ìåíüøåé 2F ; ïîýòîìó ðàçíîñòü ñóìì äëèí åãîçåë¼íûõ è æ¼ëòûõ ÷àñòåé íå ïðåâîñõîäèò D = 2F . �Ê � Ê �� Ñ � ÑÊ � Ê �� Ñ � Ñ�èñ. 3Ïåðåéä¼ì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. �àñêðàñèì âñå÷¼ðíûå êëåòêè â ðîçîâûé è ãîëóáîé öâåòà òàê,÷òîáû ðîçîâûå êëåòêè áûëè â òåõ æå ñòîëáöàõ,÷òî è êðàñíûå, à ãîëóáûå � â òåõ æå, ÷òî è ñè-íèå (ñì. ðèñ. 3). �àññìîòðèì ëþáîé îòðåçîê, ïà-ðàëëåëüíûé ℓ, è îáîçíà÷èì ÷åðåç r, b, r′, b′ ñóì-ìû äëèí åãî êðàñíûõ, ñèíèõ, ðîçîâûõ è ãîëóáûõ ÷àñòåé, ñîîòâåò-ñòâåííî. Òîãäà ïî ëåììå ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëàD1,D2, çàâèñÿ-ùèå òîëüêî îò ℓ, ÷òî |(r+r′)−(b+b′)| 6 D1, |(r+b′)−(r′+b)| 6 D2.Çíà÷èò,2|r − b| = |(r + r′)− (b+ b′) + (r + b′)− (r′ + b)| 6

6 |(r + r′)− (b+ b′)|+ |(r + b′)− (r′ + b)| 6 D1 +D2,òî åñòü |r − b| 6 D1 +D2

2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå â ëåììå ìîæíî ïîëîæèòü D == F .11.4. Äàíà ïèðàìèäà SA1A2 . . . An, îñíîâàíèå êîòîðîé � âûïóêëûéìíîãîóãîëüíèê A1 . . . An. Äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n â ïëîñêî-12

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Ïåðâûé äåíüñòè îñíîâàíèÿ ïîñòðîèëè òðåóãîëüíèê XiAiAi+1, ðàâíûé òðå-óãîëüíèêó SAiAi+1 è ëåæàùèé ïî òó æå ñòîðîíó îò ïðÿìîéAiAi+1, ÷òî è îñíîâàíèå (ìû ïîëàãàåì An+1 = A1). Äîêàæè-òå, ÷òî ïîñòðîåííûå òðåóãîëüíèêè ïîêðûâàþò âñ¼ îñíîâàíèå.(È. Ïàê)Ïåðâîå ðåøåíèå. �àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P îñ-íîâàíèÿ è äîêàæåì, ÷òî îíà ïîêðûòà îäíèì èç òðåóãîëüíèêîâ.�àññìîòðèì ìàëåíüêóþ ñ�åðó, ëåæàùóþ âíóòðè ïèðàìèäû èêàñàþùóþñÿ îñíîâàíèÿ â òî÷êå P (òàêàÿ, î÷åâèäíî, íàéä¼òñÿ).Íà÷í¼ì óâåëè÷èâàòü å¼ ðàäèóñ, ñîõðàíÿÿ óñëîâèå êàñàíèÿ; òî-ãäà â íåêîòîðûé ìîìåíò îíà âïåðâûå êîñí¼òñÿ áîêîâîé ïîâåðõ-íîñòè ïèðàìèäû. Ïóñòü, ñêàæåì, îíà êîñíóëàñü ãðàíè SA1A2 âòî÷êå Q (ñì. ðèñ. 4). Òîãäà PA1 = QA1, PA2 = QA2 êàê êà-ñàòåëüíûå èç îäíîé òî÷êè; ñòàëî áûòü, òðåóãîëüíèêè PA1A2 èQA1A2 ðàâíû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè ïîâîðîòå ãðàíè SA1A2 âî-êðóã A1A2, ïåðåâîäÿùåì å¼ â X1A1A2, òî÷êà Q ïåðåõîäèò â P ,òî åñòü P ëåæèò âíóòðè X1A1A2.

A1

A2

A3

X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1X1

S

P

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

Ai

Ai+1

Ai+2

XiXi+1

PKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKiKi

Ki+1

�èñ. 4 �èñ. 5Âòîðîå ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà Pîñíîâàíèÿ íå ïîêðûòà òðåóãîëüíèêàìè. Åñëè ∠PA1A2 6

6 ∠X1A1A2 è ∠PA2A1 6 ∠X1A2A1, òî òðåóãîëüíèê X1A1A2íàêðûâàåò P . Çíà÷èò, áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷è-òàòü, ÷òî ∠PA2A1 > ∠X1A2A1.Åñëè α, β, γ �ïëîñêèå óãëû òð¼õãðàííîãî óãëà, òî α < β ++ γ; ïîýòîìó ∠A1A2A3 < ∠A1A2S + ∠A3A2S = ∠X1A2A1 ++ ∠X2A2A3 < ∠PA2A1 + ∠X2A2A3. Çíà÷èò, ∠PA2A3 == ∠A1A2A3−∠PA2A1 < ∠X2A2A3. Åñëè âäîáàâîê è ∠PA3A2 613

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ6 ∠X2A3A2, òî òðåóãîëüíèê X2A2A3 íàêðûâàåò P , ÷òî íåâåðíî.Çíà÷èò, ∠PA3A2 > ∠X2A3A2.Èòàê, èç íåðàâåíñòâà ∠PA2A1 > ∠X1A2A1 ìû ïîëó÷è-ëè, ÷òî ∠PA2A3 < ∠X2A2A3 è ∠PA3A2 > ∠X2A3A2. Ïðî-äîëæàÿ òàêèå ðàññóæäåíèÿ äàëüøå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ëþáîìi = 1, 2, . . . , n âåðíû íåðàâåíñòâà ∠PAiAi+1 < ∠XiAiAi+1 è∠PAi+1Ai > ∠XiAi+1Ai. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îòðåçêè XiAi+1 èPAi ïåðåñåêàþòñÿ (ñì. ðèñ. 5). Îáîçíà÷èâ òî÷êó èõ ïåðåñå-÷åíèÿ ÷åðåç Ki, èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àåì, ÷òîXiAi+PAi+1 < (XiKi+KiAi)+(PKi+KiAi+1) = XiAi+1+PAi,òî åñòü SAi+PAi+1 < SAi+1+PAi. Íî, ñêëàäûâàÿ òàêèå íåðà-âåíñòâà ïðè âñåõ i = 1, 2, . . . , n, ïîëó÷àåì (SA1 + . . . + SAn) ++ (PA1 + . . .+ PAn) < (SA1 + . . . + SAn) + (PA1 + . . .+ PAn),÷òî íåâåðíî. Ïðîòèâîðå÷èå.

14

Ìàòåðèàëû äëÿ ïðîâåäåíèÿçàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïàXXXVIII ÂÑÅ�ÎÑÑÈÉÑÊÎÉÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉÎËÈÌÏÈÀÄÛ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ2011�2012 ó÷åáíûé ãîäÂòîðîé äåíüÑìîëåíñê,23�28 àïðåëÿ 2012 ã.Ìîñêâà, 2012

Ñáîðíèê ñîäåðæèò ìàòåðèàëû äëÿ ïðîâåäåíèÿ çàêëþ÷èòåëüíîãîýòàïà XXXVIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòè-êå. Çàäàíèÿ ïîäãîòîâëåíû Ôåäåðàëüíîé ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé ïîìàòåìàòèêå Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ.Ñáîðíèê ñîñòàâèëè: Í.Õ. Àãàõàíîâ, À.Â. Àêîïÿí, À.Â. Àíòðîïîâ,Â.Â. Àñòàõîâ, Ñ.Ë. Áåðëîâ, Í.Â. Áîãà÷¼â, È.È. Áîãäàíîâ, Ñ.�. Âîë-÷¼íêîâ, À.À. �àâðèëþê, À.È. �àðáåð, À.Ñ. �îëîâàíîâ, À.Þ. �îëîâ-êî, Î.Þ. Äìèòðèåâ, Â.Ë. Äîëüíèêîâ, Ë.À. Åìåëüÿíîâ, Ô.À. Èâëåâ,�.Í. Êàðàñ¼â, Ï.À. Êîæåâíèêîâ, À.Í. Ìàãàçèíîâ, Ï.Â. Ìàðòû-íîâ, Å.�. Ìîë÷àíîâ, Â.À. Îìåëüÿíåíêî, À.Â. Ïàñòîð, Î.Ê. Ïîäëèï-ñêèé, À.À. Ïîëÿíñêèé, È.À. �åøåòíèêîâ, È.Ñ. �óáàíîâ, Â.À. Ñåí-äåðîâ, À.Á. Ñêîïåíêîâ, Ì.Á. Ñêîïåíêîâ, Ê.À. Ñóõîâ, Ä.À. Òåð¼øèí,Á.Â. Òðóøèí, À.È. Õðàáðîâ, Ä.�. Õðàìöîâ, Ê.Â. ×óâèëèí, Â.Ç. Øà-ðè÷, Â.À. Øìàðîâ. ñêîáêàõ ïîñëå êàæäîé çàäà÷è óêàçàíà �àìèëèÿ åå àâòîðà.Êîìïüþòåðíûé ìàêåò: È.È. Áîãäàíîâ.Æåëàåì óñïåøíîé ðàáîòû!Àâòîðû è ñîñòàâèòåëè ñáîðíèêà

Çàïðåùàåòñÿ ïóáëèêàöèÿ èëè ðàçìåùåíèå â ñåòè Èíòåðíåòóñëîâèé èëè ðåøåíèé çàäà÷ îëèìïèàäû. © Àâòîðû è ñîñòàâèòåëè, 2012 © È.È. Áîãäàíîâ, 2012, ìàêåò.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüÓñëîâèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷9 êëàññ9.5. Ïî êðóãó ñòîèò 101 ìóäðåö. Êàæäûé èç íèõ ëèáî ñ÷èòàåò, ÷òîÇåìëÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã Þïèòåðà, ëèáî ñ÷èòàåò, ÷òî Þïèòåðâðàùàåòñÿ âîêðóã Çåìëè. Îäèí ðàç â ìèíóòó âñå ìóäðåöû îä-íîâðåìåííî îãëàøàþò ñâîè ìíåíèÿ. Ñðàçó ïîñëå ýòîãî êàæäûéìóäðåö, îáà ñîñåäà êîòîðîãî äóìàþò èíà÷å, ÷åì îí, ìåíÿåò ñâî¼ìíåíèå, à îñòàëüíûå � íå ìåíÿþò. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç íåêîòî-ðîå âðåìÿ ìíåíèÿ ïåðåñòàíóò ìåíÿòüñÿ. (È. Áîãäàíîâ)�åøåíèå. Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ìóäðåöó ñ íåêîòîðûì ìíå-íèåì çíàê ¾+¿, à ñ ïðîòèâîïîëîæíûì � çíàê ¾−¿. Òîãäà ðàññòà-íîâêå ìóäðåöîâ ñîîòâåòñòâóåò ðàññòàíîâêà 101 çíàêà ïî êðóãó.Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò äâà îäèíàêîâûõ çíàêà ñòîÿò ïîä-ðÿä. Òîãäà â ñëåäóþùóþ ìèíóòó îíè íå èçìåíÿòñÿ, è ïîýòîìóîñòàíóòñÿ îäèíàêîâûìè. Çíà÷èò, íè â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ ìî-ìåíòîâ îíè òàêæå íå èçìåíÿòñÿ.Íàçîâ¼ì òåïåðü çíàê ñòàáèëüíûì, åñëè ðÿäîì ñ íèì ñòîèòõîòÿ áû îäèí òàêîé æå. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî çíàêîâ íå÷¼òíî,ñòàáèëüíûé çíàê íàéä¼òñÿ. Êðîìå òîãî, ëþáîé ñòàáèëüíûé çíàêóæå íå èçìåíÿåòñÿ è îñòà¼òñÿ ñòàáèëüíûì, à ëþáîé íåñòàáèëü-íûé çíàê â î÷åðåäíóþ ìèíóòó ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò êàêîé-òî çíàê èçìåíèë-ñÿ. Òîãäà íå âñå çíàêè áûëè ñòàáèëüíûìè, è íàéä¼òñÿ ñòàáèëü-íûé çíàê a, ñîñåäíèé ñ íåñòàáèëüíûì çíàêîì b. Ýòî çíà÷èò, ÷òîâ ñëåäóþùóþ ìèíóòó a íå èçìåíèòñÿ, à b èçìåíèòñÿ, òî åñòü ñòà-íåò òàêèì æå, êàê a è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòàáèëüíûì.Èòàê, ïîêà çíàêè ìåíÿþòñÿ, êîëè÷åñòâî ñòàáèëüíûõ çíàêîâñòðîãî óâåëè÷èâàåòñÿ. Çíà÷èò, ðàíî èëè ïîçäíî îíî ñòàíåò ðàâ-íûì 101, è ïåðåìåíû çíàêà çàêîí÷àòñÿ.Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çíàêè ìîãóò èçìåíÿòüñÿâ òå÷åíèå ëèøü ïåðâûõ 50 ìèíóò.9.6. Òî÷êè A1, B1, C1 âûáðàíû íà ñòîðîíàõ BC, CA è AB òðå-óãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Îêàçàëîñü, ÷òî AB1 −AC1 =3

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ= CA1 − CB1 = BC1 −BA1. Ïóñòü IA, IB è IC �öåíòðûîêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â òðåóãîëüíèêè AB1C1, A1BC1 èA1B1C, ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, îïè-ñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà IAIBIC , ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îêðóæ-íîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC. (À. Ïîëÿíñêèé)

A

B

C

A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0

B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0B0

C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0C0

A1

B1

C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1

IA

IB

ICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICICIC

I�èñ. 1�åøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Iöåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé âòðåóãîëüíèê ABC, à ÷åðåç A0, B0,

C0� òî÷êè å¼ êàñàíèÿ ñî ñòîðîíà-ìè BC, CA, AB, ñîîòâåòñòâåííî.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà A1 ëå-æèò íà îòðåçêå A0B (ñì. ðèñ. 1).Çàìåòèì, ÷òî CA0 +AC0 = CB0 ++ AB0 = CA. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò,÷òî CA1+AC1 = CB1+AB1 = CA.Îòñþäà CA0 − CA1 = AC1 − AC0;ýòî çíà÷èò, ÷òî A1A0 = C1C0, èòî÷êà C1 ëåæèò íà îòðåçêå C0A. Òîãäà ïðÿìîóãîëüíûå òðå-óãîëüíèêè IA0A1 è IC0C1 ðàâíû ïî äâóì êàòåòàì, ïîýòîìó∠IA1C = ∠IC1B. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷åòûð¼õóãîëüíèê BC1IA1âïèñàí. Àíàëîãè÷íî, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè AB1IC1 è CA1IB1 òàê-æå âïèñàíû.Òî÷êè B, IB è I ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (áèññåêòðèñå óãëàA1BC1), ïîýòîìó ∠A1IBI = ∠BA1IB + ∠A1BIB = ∠IBA1C1 ++ ∠C1BI = ∠IBA1C1 + ∠C1A1I = ∠IBA1I. Çíà÷èò, òðåóãîëü-íèê IIBA1 ðàâíîáåäðåííûé, òî åñòü IIB = IA1. Àíàëîãè÷íûìîáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî IIB = IC1 = IIA = IB1 = IIC == IA1. Ñëåäîâàòåëüíî, I �öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêî-ëî IAIBIC .9.7. Èçíà÷àëüíî íà äîñêå çàïèñàíû 10 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëü-íûõ ÷èñåë. Çà îäíó îïåðàöèþ ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü ëþáûå äâà÷èñëà íà äîñêå (îáîçíà÷èì èõ a è b) è çàìåíèòü èõ íà ÷èñëàa2 − 2011b2 è ab. Ïîñëå íåñêîëüêèõ òàêèõ îïåðàöèé íà äîñêå íåîñòàëîñü íè îäíîãî èç èñõîäíûõ ÷èñåë. Ìîãëè ëè òàì îïÿòü îêà-çàòüñÿ 10 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë? (Í. Àãàõàíîâ)4

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüÎòâåò. Íå ìîãëè.�åøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëå íåñêîëüêèõ îïåðàöèéñíîâà ïîëó÷èëèñü äåñÿòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,ïðè÷¼ì êàæäîå èç èñõîäíûõ ÷èñåë ó÷àñòâîâàëî õîòÿ áû â îäíîéîïåðàöèè.Ëåììà. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k, ïðè ïðîâåäåíèè îïå-ðàöèè êîëè÷åñòâî ÷èñåë íà äîñêå, äåëÿùèõñÿ íà k, íå óìåíüøà-åòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â îïåðàöèè ó÷àñòâîâàëè ÷èñëà a è b,îäíî èç êîòîðûõ äåëèòñÿ íà k, òî è èõ ïðîèçâåäåíèå òàêæå äå-ëèòñÿ íà k. Áîëåå òîãî, åñëè îáà èñõîäíûõ ÷èñëà äåëÿòñÿ íà k, òîè ÷èñëî a2−2011b2 äåëèòñÿ íà k. Îòñþäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèåëåììû. �Çàìåòèì, ÷òî â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ñèòóàöèÿõ åñòü ïîïÿòü ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 2, è ïî îäíîìó ÷èñëó, äåëÿùåìóñÿíà 10. Çíà÷èò, ââèäó ëåììû, êîëè÷åñòâî ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 2,â ïðîöåññå äîëæíî íå èçìåíÿòüñÿ, è òî æå âåðíî äëÿ ÷èñåë, äå-ëÿùèõñÿ íà 10.Ñðåäè èñõîäíûõ 10 ÷èñåë áûëî ÷èñëî a, îêàí÷èâàþùååñÿíà 5. �àññìîòðèì òåïåðü ïåðâóþ îïåðàöèþ, â êîòîðîé îíî ó÷àñò-âîâàëî; ïóñòü b� âòîðîå ÷èñëî, ó÷àñòâîâàâøåå â ýòîé îïåðàöèè.Åñëè b íå÷¼òíî, òî îäíî èç ïîëó÷åííûõ ÷èñåë áóäåò ÷¼òíûì, èêîëè÷åñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë óâåëè÷èòñÿ, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò,b ÷¼òíî, è íà äîñêå ïîÿâèòñÿ ÷èñëî ab, äåëÿùååñÿ íà 10. Åñëèïðè ýòîì b íå äåëèòñÿ íà 10, òî êîëè÷åñòâî ÷èñåë, êðàòíûõ 10,óâåëè÷èëîñü, ÷òî íåâîçìîæíî.Èòàê, b äåëèòñÿ íà 10, è â íàøåé îïåðàöèè ó÷àñòâîâàëè äâà÷èñëà, äåëÿùèõñÿ íà 5. Òîãäà â å¼ ðåçóëüòàòå íà äîñêå ïîëó÷è-ëèñü äâà ÷èñëà, êðàòíûõ 25. Ïî ëåììå, è â êîíå÷íîé ñèòóàöèèíàéäóòñÿ äâà òàêèõ ÷èñëà; íî ýòî íåâîçìîæíî äëÿ 10 ïîñëåäî-âàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïðîòèâîðå÷èå.9.8.  íåêîòîðîì ãîðîäå ñåòü àâòîáóñíûõ ìàðøðóòîâ óñòðîåíà òàê,÷òî ëþáûå äâà ìàðøðóòà èìåþò ðîâíî îäíó îáùóþ îñòàíîâêó, èíà êàæäîì ìàðøðóòå åñòü õîòÿ áû 4 îñòàíîâêè. Äîêàæèòå, ÷òîâñå îñòàíîâêè ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ìåæäó äâóìÿ êîìïàíèÿìè5

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâòàê, ÷òî íà êàæäîì ìàðøðóòå íàéäóòñÿ îñòàíîâêè îáåèõ êîìïà-íèé. (Â. Äîëüíèêîâ)�åøåíèå. �àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå äâà ìàðøðóòà ℓ1 è ℓ2;ïóñòü A�èõ îáùàÿ îñòàíîâêà. Åñëè îñòàíîâêà A íàõîäèòñÿ íàâñåõ ìàðøðóòàõ, òî ìîæíî îòäàòü å¼ îäíîé êîìïàíèè, à âñåîñòàëüíûå îñòàíîâêè � äðóãîé; ÿñíî, ÷òî ïðè ýòîì íà êàæäîììàðøðóòå áóäóò îñòàíîâêè îáåèõ êîìïàíèé.Ïóñòü òåïåðü íàéä¼òñÿ ìàðøðóò ℓ3, íå ïðîõîäÿùèé ÷åðåçîñòàíîâêó A. Ïóñòü B è C � åãî îáùèå îñòàíîâêè ñ ℓ1 è ℓ2 ñîîò-âåòñòâåííî. ßñíî, ÷òî B è C îòëè÷íû îò A; çàìåòèì, ÷òî B 6= C,ïîñêîëüêó èíà÷å ó ℓ1 è ℓ2 íàéäóòñÿ äâå îáùèõ îñòàíîâêè.A

B C

ℓ1ℓ2

ℓ3 �èñ. 2�àñïðåäåëèì òåïåðü îñòàíîâêè ïîêîìïàíèÿì òàê: îñòàíîâêè A, B è C îò-äàäèì ïåðâîé êîìïàíèè, âñå îñòàëüíûåîñòàíîâêè ìàðøðóòîâ ℓ1, ℓ2, ℓ3� âòî-ðîé êîìïàíèè, à âñå îñòàíîâêè, íå ëåæà-ùèå íè íà îäíîì èç ìàðøðóòîâ ℓ1, ℓ2,

ℓ3� ñíîâà ïåðâîé (ñì. ðèñ. 2). Ïîêàæåì,÷òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå � òðåáóåìîå. ßñ-íî, ÷òî êàæäûé èç ìàðøðóòîâ ℓ1, ℓ2, ℓ3 ïðîõîäèò ÷åðåç îñòàíîâ-êè îáåèõ êîìïàíèé.�àññìîòðèì ëþáîé èç îñòàâøèõñÿ ìàðøðóòîâ ℓ. Ñ êàæäûìèç ìàðøðóòîâ ℓ1, ℓ2, ℓ3 ó íåãî ëèøü îäíà îáùàÿ îñòàíîâêà. Çíà-÷èò, íà ℓ åñòü íå áîëåå òð¼õ îñòàíîâîê âòîðîé êîìïàíèè; ïîýòîìóòàì åñòü îñòàíîâêà ïåðâîé. Äàëåå, ℓ íå ìîæåò ïðîõîäèòü ÷åðåçäâå èç îñòàíîâîê A, B, C, èíà÷å îí áóäåò èìåòü äâå îáùèõ îñòà-íîâêè ñ îäíèì èç ìàðøðóòîâ ℓ1, ℓ2, ℓ3. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííî-ñòè ℓ íå ïðîõîäèò ÷åðåç B è C. Òîãäà ℓ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ℓ3 ïî íåêî-òîðîé îñòàíîâêå X, îòëè÷íîé îò B è C, òî åñòü ïðèíàäëåæàùåéâòîðîé êîìïàíèè. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.10 êëàññ10.5. Ïî êðóãó ñòîèò 101 ìóäðåö. Êàæäûé èç íèõ ëèáî ñ÷èòàåò, ÷òîÇåìëÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã Þïèòåðà, ëèáî ñ÷èòàåò, ÷òî Þïèòåðâðàùàåòñÿ âîêðóã Çåìëè. Îäèí ðàç â ìèíóòó âñå ìóäðåöû îä-6

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüíîâðåìåííî îãëàøàþò ñâîè ìíåíèÿ. Ñðàçó ïîñëå ýòîãî êàæäûéìóäðåö, îáà ñîñåäà êîòîðîãî äóìàþò èíà÷å, ÷åì îí, ìåíÿåò ñâî¼ìíåíèå, à îñòàëüíûå � íå ìåíÿþò. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç íåêîòî-ðîå âðåìÿ ìíåíèÿ ïåðåñòàíóò ìåíÿòüñÿ. (È. Áîãäàíîâ)�åøåíèå. Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ìóäðåöó ñ íåêîòîðûì ìíå-íèåì çíàê ¾+¿, à ñ ïðîòèâîïîëîæíûì � çíàê ¾−¿. Òîãäà ðàññòà-íîâêå ìóäðåöîâ ñîîòâåòñòâóåò ðàññòàíîâêà 101 çíàêà ïî êðóãó.Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò äâà îäèíàêîâûõ çíàêà ñòîÿò ïîä-ðÿä. Òîãäà â ñëåäóþùóþ ìèíóòó îíè íå èçìåíÿòñÿ, è ïîýòîìóîñòàíóòñÿ îäèíàêîâûìè. Çíà÷èò, íè â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ ìî-ìåíòîâ îíè òàêæå íå èçìåíÿòñÿ.Íàçîâ¼ì òåïåðü çíàê ñòàáèëüíûì, åñëè ðÿäîì ñ íèì ñòîèòõîòÿ áû îäèí òàêîé æå. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî çíàêîâ íå÷¼òíî,ñòàáèëüíûé çíàê íàéä¼òñÿ. Êðîìå òîãî, ëþáîé ñòàáèëüíûé çíàêóæå íå èçìåíÿåòñÿ è îñòà¼òñÿ ñòàáèëüíûì, à ëþáîé íåñòàáèëü-íûé çíàê â î÷åðåäíóþ ìèíóòó ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò êàêîé-òî çíàê èçìåíèë-ñÿ. Òîãäà íå âñå çíàêè áûëè ñòàáèëüíûìè, è íàéä¼òñÿ ñòàáèëü-íûé çíàê a, ñîñåäíèé ñ íåñòàáèëüíûì çíàêîì b. Ýòî çíà÷èò, ÷òîâ ñëåäóþùóþ ìèíóòó a íå èçìåíèòñÿ, à b èçìåíèòñÿ, òî åñòü ñòà-íåò òàêèì æå, êàê a è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòàáèëüíûì.Èòàê, ïîêà çíàêè ìåíÿþòñÿ, êîëè÷åñòâî ñòàáèëüíûõ çíàêîâñòðîãî óâåëè÷èâàåòñÿ. Çíà÷èò, ðàíî èëè ïîçäíî îíî ñòàíåò ðàâ-íûì 101, è ïåðåìåíû çíàêà çàêîí÷àòñÿ.Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çíàêè ìîãóò èçìåíÿòüñÿâ òå÷åíèå ëèøü ïåðâûõ 50 ìèíóò.10.6. Ñóùåñòâóþò ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c, áîëüøèå 1010 è òà-êèå, ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ëþáîå èç íèõ, óâåëè÷åííîåíà 2012? (Â. Ñåíäåðîâ)Îòâåò. Ñóùåñòâóþò.Ïåðâîå ðåøåíèå. Âûáåðåì íåêîòîðîå t > 1010 è ïîëîæèìa = b = 2012t, c = 2012(t2 − 1). Òîãäà c

... 2012(t+1) = a+2012 == b + 2012, è ab = 20122t2

... 2012t2 = c + 2012. Îòñþäà ñëåäóåò,÷òî a, b, c îáðàçóþò èñêîìóþ òðîéêó.Âòîðîå ðåøåíèå. Äîñòàòî÷íî ïîäîáðàòü ÷èñëà a′, b′, c′ òà-êèå, ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ëþáîå èç íèõ, óâåëè÷åííîå7

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâíà 1. Óìíîæèâ êàæäîå èç íèõ íà 2012, ìû ïîëó÷èì òðåáóåìûéïðèìåð.�àññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå t > 1010. Ïóñòü c′ = 2t, b′ = 2c′ ++ 1 = 4t+ 1, a′ = b′c′ − 1 = 8t2 + 2t− 1 = (4t− 1)(2t + 1). Òîãäàa′b′c′

... b′c′ = a′+1, a′b′c′ ... a′c′ ... (2t+1) · 2 = b′+1 = 2(c′+1), ÷òîè òðåáîâàëîñü.Çàìå÷àíèå.  ýòîì ïðèìåðå âñå ÷èñëà ðàçëè÷íû. Ñóùå-ñòâóþò è äðóãèå ïðèìåðû.10.7. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íàðèñîâàíî n ïàðàáîë, ÿâëÿþùèõ-ñÿ ãðà�èêàìè êâàäðàòíûõ òð¼õ÷ëåíîâ; íèêàêèå äâå èç íèõ íåêàñàþòñÿ. Îíè äåëÿò ïëîñêîñòü íà íåñêîëüêî îáëàñòåé, îäíà èçêîòîðûõ ðàñïîëîæåíà íàä âñåìè ïàðàáîëàìè. Äîêàæèòå, ÷òî óãðàíèöû ýòîé îáëàñòè íå áîëåå 2(n− 1) óãëîâ (òî åñòü òî÷åê ïå-ðåñå÷åíèÿ ïàðû ïàðàáîë). (�. Êàðàñ¼â)�åøåíèå. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå çàäà÷è èíäóêöèåé ïî n.Ïðè n = 1 îíî î÷åâèäíî. Ïóñòü òåïåðü f1(x), f2(x), . . . , fn(x)�äàííûå êâàäðàòíûå òð¼õ÷ëåíû (n > 2), ïðè÷¼ì fn(x)� òð¼õ-÷ëåí ñ ìèíèìàëüíûì ñòàðøèì ÷ëåíîì (åñëè òàêèõ íåñêîëüêî,òî ëþáîé èç íèõ). Îáîçíà÷èì ãðàíèöó íàøåé îáëàñòè ÷åðåç T .Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî T ñîäåðæèò ó÷àñòêè âñåõ ãðà�èêîâ.Ïóñòü S �ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ÷èñåë a, ÷òî òî÷êà ìíîæå-ñòâà T ñ àáñöèññîé a ëåæèò íà ãðà�èêå òð¼õ÷ëåíà fn(x). Èíà÷åãîâîðÿ, ÷èñëî a ïðèíàäëåæèò S òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âû-ïîëíåíû íåðàâåíñòâà fn(a) > fi(a) ïðè âñåõ i = 1, 2, . . . , n − 1.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Si ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé i-ãî íåðàâåíñòâà;òîãäà S = S1∩S2 ∩ . . .∩Sn−1. Ïîñêîëüêó òð¼õ÷ëåí fn(x)− fi(x)ëèáî îáëàäàåò îòðèöàòåëüíûì ñòàðøèì êîý��èöèåíòîì, ëèáîÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ëèíåéíûì, Si� ýòî ëèáî îòðåçîê (âîç-ìîæíî, âûðîæäåííûé), ëèáî ëó÷, ëèáî âñÿ ïðÿìàÿ. Çíà÷èò, è Sÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì òàêîãî æå âèäà.Èòàê, ó T íå áîëåå äâóõ óãëîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ãðà�è-êó fn(x). Åñëè ìû óäàëèì ýòîò ãðà�èê, èñ÷åçíóò ýòè óãëû (è,âîçìîæíî, ïîÿâÿòñÿ íîâûå). Ïðè ýòîì ïî ïðåäïîëîæåíèþ èí-äóêöèè íîâàÿ îáëàñòü áóäåò èìåòü íå áîëåå 2(n − 2) óãëîâ; çíà-÷èò, èñõîäíàÿ èìåëà íå áîëåå 2(n − 2) + 2 = 2(n − 1) óãëîâ, ÷òîè òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.8

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüÇàìå÷àíèå 1. Îöåíêà, óêàçàííàÿ â óñëîâèè çàäà÷è, äîñòè-ãàåòñÿ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü êâàäðàòíûå òð¼õ÷ëåíû2x2, 2x2−(x−1)(x−2), 2x2−(x−3)(x−4), 2x2−(x−5)(x−6), . . . .Çàìå÷àíèå 2. Ïðèâåäåì ñõåìó äðóãîãî ïîäõîäà ê çàäà÷å,êîòîðûé ãîäèòñÿ íå òîëüêî äëÿ êâàäðàòíûõ òð¼õ÷ëåíîâ, íî èäëÿ ëþáûõ íåïðåðûâíûõ �óíêöèé f1, f2, . . . , fn, ãðà�èêè ëþáûõäâóõ èç êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå, ÷åì â äâóõ òî÷êàõ.Ïóñòü T ðàçáèâàåòñÿ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ �óíêöèé íàó÷àñòêè I0, I1, . . . , Ik ãðà�èêîâ �óíêöèé fm0

, fm1, . . . , fmk

(ñ÷è-òàåì, ÷òî ó÷àñòêè çàíóìåðîâàíû ñëåâà íàïðàâî). Âûïèñàâ ïîä-ðÿä èíäåêñû, ìû ïîëó÷èì ñëîâî M = (m0,m1,m2, . . . ,mk) â àë-�àâèòå èç n áóêâ {1, 2, . . . , n}.ßñíî, ÷òî â ñëîâå M íåò äâóõ ïîäðÿä èäóùèõ îäèíàêî-âûõ áóêâ (óñëîâèå 1). Òàêæå íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èç ñëî-âà M íåëüçÿ, âû÷åðêíóâ íåñêîëüêî áóêâ, ïîëó÷èòü ñëîâî âè-äà (a, b, a, b), ãäå a 6= b (óñëîâèå 2)*. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è òåïåðüìîæíî ïîëó÷èòü, äîêàçàâ, ÷òî äëèíà ñëîâà, óäîâëåòâîðÿþùåãîóñëîâèÿì 1 è 2, íå ïðåâîñõîäèò 2n − 1. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ðàç-ëè÷íûìè ìåòîäàìè.10.8. Òî÷êà E � ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿâûñîò íåðàâíîáåäðåííîãî îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ñåãî âåðøèíîé A. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â ýòîò òðåóãîëüíèê,êàñàåòñÿ ñòîðîí AB è AC â òî÷êàõ C ′ è B′ ñîîòâåòñòâåííî. Äî-êàæèòå, ÷òî òî÷êà F , ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå E îòíîñèòåëüíî ïðÿ-ìîé B′C ′, ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðû âïèñàí-íîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC. (Ë. Åìåëüÿíîâ)Ïåðâîå ðåøåíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî AB > AC (ñì.ðèñ. 3). Ïóñòü BB1 è CC1� âûñîòû òðåóãîëüíèêà △ABC, H �òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ, O è I �öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàí-íîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC, à r�ðàäèóñ åãî âïèñàí-íîé îêðóæíîñòè; ïîëîæèì ∠BAC = α. Çàìåòèì, ÷òî AB1 == AB cosα, AC1 = AC cosα. Çíà÷èò, òðåóãîëüíèê AB1C1 ïîäî-áåí òðåóãîëüíèêó ABC ñ êîý��èöèåíòîì k = cosα.Ïóñòü òî÷êà L ñèììåòðè÷íà òî÷êå I îòíîñèòåëüíî B′C ′.*Ñëîâà, óäîâëåòâîðÿþùèå òàêèì óñëîâèÿì, íàçûâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòÿìè Äýâåíïîðòà�Øèíöåëÿ. 9

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâËåììà. Òî÷êè L è I � ñîîòâåòñòâåííûå òî÷êè â òðå-óãîëüíèêàõ AB1C1 è ABC.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó AI ⊥ B′C ′, òî÷êà L ëåæèòíà áèññåêòðèñå AI. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ALAI =

= k. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M ñåðåäèíó îòðåçêà B′C ′. Çàìåòèì, ÷òîïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè AC ′I è C ′MI ïîäîáíû, ïîýòîìó∠MC ′I = ∠C ′AI = α/2.Èìååì AI = r

sin(α/2), AL = AI−LI = AI−2MI = r

sin(α/2)−

− 2r sin(α/2), çíà÷èò, ALAI = 1 − 2 sin2(α/2) = cosα = k, ÷òî èòðåáîâàëîñü äîêàçàòü. �

A

B C

O IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEL

B1

C1

B′

C ′

H

MF

A

B C

IOHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

O′

ℓ1

�èñ. 3 �èñ. 4Òî÷êè A, B1, C1 è H ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ äèàìåò-ðîì AH, ïîýòîìó E �öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè. Çíà÷èò, òî÷êèE è O â òðåóãîëüíèêàõ AB1C1 è ABC òàêæå ñîîòâåòñòâåí-íû; ïîýòîìó ∠OIA = ∠ELA. Òàê êàê òî÷êà F ñèììåòðè÷íà Eîòíîñèòåëüíî B′C ′, îòðåçêè FI è EL òàêæå ñèììåòðè÷íû, è∠FIA = ∠ELI. Èòàê, ∠OIA+ ∠FIA = ∠ELA + ∠ELI = 180◦,÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè O, I, F ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.Âòîðîå ðåøåíèå. Ìû èñïîëüçóåì òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òîè â ïåðâîì ðåøåíèè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ℓ1, ℓ2 è ℓ3 âíåøíþþ áèñ-ñåêòðèñó óãëà BAC, ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó AIè ïðÿìóþ B′C ′ ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ïðÿìûå ℓ1, ℓ2 è ℓ3ïàðàëëåëüíû. Ïóñòü O′ � òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå O îòíîñè-òåëüíî ℓ1. Äîêàæåì ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ: (1) òî÷êè O′,A, E ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; (2) îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé ìåæäó10

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüòî÷êàìè O′, A, E ðàâíî îòíîøåíèþ ðàññòîÿíèé ìåæäó ïðÿìû-ìè ℓ1, ℓ2, ℓ3.H

A

B C

O I

K

L

T

B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′B′C ′

A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2

A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3A3

O′

ℓ1

ℓ2

ℓ3

A

O′

E

I

O

F ′

X

S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1S1

A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2

S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3S3

A3

ℓ1

ℓ2

ℓ3

�èñ. 5 �èñ. 6(1). Çàìåòèì, ÷òî ∠OAB = (180◦ − ∠AOB)/2 = 90◦ −− ∠ACB = ∠CAH. Çíà÷èò, ëó÷è AO è AH îáðàçóþò ñ ïðÿ-ìîé ℓ1 óãëû, ðàâíûå ∠OAB + (180◦ − ∠BAC)/2; ïîýòîìó ëó÷èAO′ è AH ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû (ñì. ðèñ. 4).(2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç A2 è A3 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé AIñ ℓ2 è ℓ3 ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç T , K, L ñåðåäèíû ñòîðîíû BCè äóã BC, BAC îïèñàííîé îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâåííî (ñì.ðèñ. 5). Èìååì ∠LBK = ∠AB′I = 90◦, ∠BLK = ∠BAK == ∠B′AI, ïîýòîìó ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè LBK è AB′Iïîäîáíû.  ýòèõ òðåóãîëüíèêàõ òî÷êè T è A3 � îñíîâàíèÿ ñî-îòâåòñòâóþùèõ âûñîò, à òî÷êè O, A2 � ñåðåäèíû ãèïîòåíóç, ïî-ýòîìó OL

OT = A2AA2A3

. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òî÷êè T è O ïåðåõîäÿòñîîòâåòñòâåííî â A è H ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â òî÷êå ïåðåñå-÷åíèÿ ìåäèàí è êîý��èöèåíòîì −2; ïîýòîìó OT = AH2 = AE,è èç ñèììåòðèè AO′ = AO = OL. Òàêèì îáðàçîì, AO′

AE = OLOT =

= A2AA2A3

. 11

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâÒåïåðü íåòðóäíî çàâåðøèòü óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Ïîêàæåì,÷òî òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå òî÷êàì O′, A è E îòíîñèòåëüíî ïðÿ-ìûõ ℓ1, ℓ2, ℓ3 ñîîòâåòñòâåííî (à ýòî è åñòü òî÷êè O, I, F ) ëåæàòíà îäíîé ïðÿìîé. Ïóñòü ïðÿìûå OI è AO′ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷-êå X. Ïóñòü F ′ � òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ EF è OI. Íàêîíåö,ïóñòü S1 è S3� ñåðåäèíû îòðåçêîâ OO′ è F ′E ñîîòâåòñòâåííî(ñì. ðèñ. 6). Òðåóãîëüíèêè XOO′, XIA è XF ′E ãîìîòåòè÷íû,ïîýòîìó èõ ìåäèàíû XS1, XA2, XS3 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé,è èç ïîäîáèÿ ïîëó÷àåì S1A2

A2S3= O′A

AE = A2AA2A3

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîA3S3 ‖ AS1. Çíà÷èò, S3 ëåæèò íà ïðÿìîé ℓ3, îòêóäà F ′ = F , ÷òîè òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå.  ïîñëåäíåé ÷àñòè ðåøåíèÿ, ïî ñóòè, äîêàçàíñëåäóþùèé �àêò. Ïóñòü òî÷êà X äâèæåòñÿ ïî íåêîòîðîé ïðÿ-ìîé m ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, à ïðÿìàÿ ℓ äâèæåòñÿ ïî ïëîñêî-ñòè, îñòàâàÿñü ïàðàëëåëüíîé ñàìîé ñåáå. Òîãäà òî÷êà, ñèììåò-ðè÷íàÿ X îòíîñèòåëüíî ℓ, òàêæå äâèæåòñÿ ïî íåêîòîðîé ïðÿ-ìîé. 11 êëàññ11.5. Äàíû ìíîãî÷ëåí P (x) è ÷èñëà a1, a2, a3, b1, b2, b3 òàêèå, ÷òîa1a2a3 6= 0. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî x âû-ïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

P (a1x+ b1) + P (a2x+ b2) = P (a3x+ b3).Äîêàæèòå, ÷òî P (x) èìååò õîòÿ áû îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü.(À. �îëîâàíîâ, Î. Äìèòðèåâ, Ê. Ñóõîâ)Ïåðâîå ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P (x) íå èìååò äåé-ñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Òîãäà P (x) èìååò ÷åòíóþ ñòåïåíü, íå ìåíü-øóþ 2. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ìíîãî÷ëåí íå÷åòíîé ñòåïåíè èìå-åò õîòÿ áû îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü, à åñëè P (x) = const, òîèç óñëîâèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî P (x) ≡ 0.Òàê êàê P (x) íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, òî îí ïðèíè-ìàåò çíà÷åíèÿ îäíîãî çíàêà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî P (x) ïðèíèìàåòòîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ (èíà÷å óìíîæèì P (x) íà −1),òî åñòü äëÿ ëþáîãî x âûïîëíÿåòñÿ P (x) > 0. Òàê êàê P (x) èìååò12

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíü÷åòíóþ ñòåïåíü, íàéäåòñÿ òî÷êà t0, â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ (ãëî-áàëüíûé íåñòðîãèé) ìèíèìóì P (x), òî åñòü äëÿ ëþáîãî x âûïîë-íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî P (x) > P (t0) = A > 0. �àññìîòðèì x0 òàêîå,÷òî t0 = a3x0+ b3. Íî òîãäà P (a1x0+ b1) +P (a2x0+ b2) > 2A >> A = P (t0) = P (a3x0 + b3). Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,P (x) èìååò õîòÿ áû îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü.Âòîðîå ðåøåíèå. Ïóñòü a1 6= a3; òîãäà ñóùåñòâóåò òà-êîå x0, ÷òî a1x0 + b1 = a3x0 + b3. Ïîäñòàâëÿÿ x = x0 â äàí-íîå ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ P (a2x0 + b2) = 0,òî åñòü ó P (x) åñòü êîðåíü. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àéa2 6= a3.Îñòàëñÿ ëèøü ñëó÷àé a1 = a2 = a3 = a 6= 0. Åñëè P (x) ≡ 0,óòâåðæäåíèå çàäà÷è î÷åâèäíî. Èíà÷å ïóñòü p0 6= 0� ñòàðøèéêîý��èöèåíò ìíîãî÷ëåíà P (x), à n� åãî ñòåïåíü. Òîãäà ñòàð-øèå êîý��èöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ äàí-íîãî ðàâåíñòâà åñòü p0(a

n + an) è p0an, ò.å. îíè ðàçëè÷íû. Ýòîíåâîçìîæíî.11.6. Òî÷êè A1, B1, C1 âûáðàíû íà ñòîðîíàõ BC, CA è AB òðå-óãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Îêàçàëîñü, ÷òî AB1 −AC1 =

= CA1 − CB1 = BC1 −BA1. Ïóñòü OA, OB è OC �öåíòðûîêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ AB1C1, A1BC1 èA1B1C, ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, âïè-ñàííîé â òðåóãîëüíèê OAOBOC , ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îêðóæíî-ñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC. (À. Ïîëÿíñêèé)

A

B

C

A0

B0

C0

A1

B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1B1

C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1

OA

OB

OCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOC

I�èñ. 7�åøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Iöåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðå-óãîëüíèê ABC, à ÷åðåç A0, B0, C0�òî÷êè å¼ êàñàíèÿ ñî ñòîðîíàìè BC,

CA, AB, ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ñ÷è-òàòü, ÷òî òî÷êà A1 ëåæèò íà îòðåç-êå A0B. Çàìåòèì, ÷òî CA0 + AC0 == CB0 +AB0 = CA. Èç óñëîâèÿ ñëå-äóåò, ÷òî CA1+AC1 = CB1+AB1 == CA. Çíà÷èò, CA0 − CA1 = AC1 −−AC0; ýòî çíà÷èò, ÷òî A1A0 = C1C0,è òî÷êà C1 ëåæèò íà îòðåçêå C0A. Çíà÷èò, ïðÿìîóãîëüíûå òðå-13

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâóãîëüíèêè IA0A1 è IC0C1 ðàâíû ïî äâóì êàòåòàì, ïîýòîìó∠IA1C = ∠IC1B è IA1 = IC1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷åòûð¼õóãîëü-íèê BC1IA1 âïèñàí. Àíàëîãè÷íî, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè AB1IC1è CA1IB1 òàêæå âïèñàíû, è IA1 = IB1 = IC1.Ëèíèè öåíòðîâ OBOC , OCOA, OAOB ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèííû-ìè ïåðïåíäèêóëÿðàìè ê îáùèì õîðäàì IA1, IB1, IC1 ñîîòâåò-ñòâåííî; äëèíû ýòèõ õîðä ðàâíû. Çíà÷èò, ðàññòîÿíèÿ îò I äîñòîðîí òðåóãîëüíèêà OAOBOC ðàâíû IA1

2 = IB1

2 = IC1

2 . Íà-êîíåö, ïîñêîëüêó óãëû ∠IBA1, ∠IAC1, ∠ICB1 îñòðûå, òî îò-ðåçêè OBOC , OCOA, OAOB ïåðåñåêàþò ëó÷è IA1, IB1, IC1, ñî-îòâåòñòâåííî. Çíà÷èò, I ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà OAOBOC ;çíà÷èò, ýòî è åñòü öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíè-êà OAOBOC .11.7. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíî 2n + 1 òî÷åê, äåëÿùèõ å¼ íà ðàâíûåäóãè (n > 2). Äâîå ïî î÷åðåäè ñòèðàþò ïî îäíîé òî÷êå. Åñëè ïî-ñëå õîäà èãðîêà îêàçàëîñü, ÷òî âñå òðåóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìèâ åù¼ îòìå÷åííûõ òî÷êàõ � òóïîóãîëüíûå, îí íåìåäëåííî âû-èãðûâàåò, è èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîéèãðå: íà÷èíàþùèé èãðó èëè åãî ïðîòèâíèê? (Ô. Èâëåâ)Îòâåò. Ïðîòèâíèê.�åøåíèå. Ïðèâåä¼ì ñòðàòåãèþ äëÿ âòîðîãî èãðîêà, ïîçâî-ëÿþùóþ åìó âûèãðàòü. Äëÿ ýòîãî îí áóäåò äîáèâàòüñÿ âûïîë-íåíèÿ ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ: ïåðåä êàæäûì õîäîì ïåðâîãî, åñëèîñòàëîñü 2k+1 > 5 òî÷åê, òî íà ëþáîé ïîëóîêðóæíîñòè îñòàëîñüíå ìåíåå k îòìå÷åííûõ òî÷åê.Ïîêàæåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó õîäîâ, ÷òî ýòî âîçìîæíî. Âíà÷àëå èãðû ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî. Ïóñòü ïåðåä õîäîì ïåð-âîãî îíî âûïîëíåíî; ïðîíóìåðóåì îñòàâøèåñÿ òî÷êè ïî ïîðÿä-êó A0, . . . , A2k. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ïåðâûé ñâîèì õîäîìóäàëÿåò òî÷êó A0; çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèê Ak+1A1Ak+2 îñò-ðîóãîëüíûé, òàê ÷òî èãðà åù¼ íå çàêîí÷èëàñü. Âòîðîìó äîñòà-òî÷íî óäàëèòü òî÷êó Ak. Òåïåðü, åñëè ñ íåêîòîðîé ïîëóîêðóæ-íîñòè óäàëåíî íå áîëåå îäíîé òî÷êè, òî íà íåé îñòàëîñü íå ìåíååk−1 òî÷êè; èíà÷å ñ íå¼ ñò¼ðòû îáå òî÷êè A0 è Ak, ïîýòîìó íà íåéîñòàëèñü ëèáî òî÷êè A1, . . . , Ak−1, ëèáî òî÷êè Ak+1, . . . , A2k ; âëþáîì ñëó÷àå äëÿ íå¼ òðåáóåìîå óñëîâèå âûïîëíåíî.14

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 2011�2012 ó÷åáíûé ãîä. Âòîðîé äåíüÈòàê, åñëè ïåðâûé íå ïðîèãðàåò ðàíüøå, òî ïîñëå 2n− 4 õî-äîâ íà äîñêå îñòàíåòñÿ ïÿòü òî÷åê A0, A1, A2, A3, A4. Ïóñòü äëÿîïðåäåë¼ííîñòè ïåðâûé óäàëèò òî÷êó A0; òîãäà åù¼ îñòàíåòñÿîñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê A1A2A4. Âòîðîé æå ïîñëåäíèì õî-äîì óäàëèò A4, è îñòàâøèéñÿ òðåóãîëüíèê A1A2A3 áóäåò òó-ïîóãîëüíûì (èíà÷å íàøëàñü áû ïîëóîêðóæíîñòü, ñîäåðæàùàÿëèøü A2). Çíà÷èò, âòîðîé âûèãðàåò.Çàìå÷àíèå 1. Åñòåñòâåííî, âìåñòî òî÷êè Ak âòîðîé ìîæåòâûáèðàòü òàêæå òî÷êó Ak+1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè îïèñàí-íîé ñòðàòåãèè â êîíöå èãðû îñòàíóòñÿ èìåííî òðè îòìå÷åííûõòî÷êè.Çàìå÷àíèå 2. Ïî ñóòè òó æå ñòðàòåãèþ ìîæíî î�îðìèòüïî-äðóãîìó. Ñîåäèíèì êàæäóþ èç èñõîäíûõ òî÷åê ñ äâóìÿ íàè-áîëåå óäàë¼ííûìè îò íå¼. Âñå ïðîâåä¼ííûå îòðåçêè îáðàçóþò îä-íó (2n + 1)-çâåííóþ ëîìàíóþ. Òîãäà âòîðîé ìîæåò õîäèòü òàê,÷òîáû ïîñëå êàæäîãî åãî õîäà (êðîìå ïîñëåäíåãî) âñå ñò¼ðòûåòî÷êè ðàçáèâàëèñü íà ïàðû òî÷åê, ñîåäèí¼ííûõ îòðåçêîì. Ìîæ-íî ïîêàçàòü, ÷òî ñîáëþäåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ òàêæå äîñòàòî÷íîäëÿ âûèãðûøà.11.8. Äëÿ íàòóðàëüíîãî n îáîçíà÷èì Sn = 1!+2!+ . . .+n!. Äîêàæèòå,÷òî ïðè íåêîòîðîì n ó ÷èñëà Sn åñòü ïðîñòîé äåëèòåëü, áîëü-øèé 102012. (Ô. Ïåòðîâ)�åøåíèå. Äëÿ ïðîñòîãî p è íàòóðàëüíîãî n îáîçíà÷èì ÷å-ðåç νp(n) ñòåïåíü, â êîòîðîé p âõîäèò â ðàçëîæåíèå n íà ïðî-ñòûå ìíîæèòåëè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè νp(n) 6= νp(k), òî νp(n±k) == min(νp(n), νp(k)).Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå; îáîçíà÷èì P = 102012. Òîãäà âñåïðîñòûå äåëèòåëè ÷èñåë âèäà Sn íå ïðåâîñõîäÿò P .Ëåììà. Ïóñòü νp(Sn) < νp((n+1)!) ïðè íåêîòîðîì n. Òîãäàνp(Sk) = νp(Sn) ïðè âñåõ k > n.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì a = νp(Sn), b = νp((n + 1)!);òîãäà b > a+1. Çàìåòèì, ÷òî Sk = Sn+(n+1)!+ . . .+ k!; â ýòîéñóììå âñå ñëàãàåìûå, êðîìå ïåðâîãî, äåëÿòñÿ íà pa+1, à ïåðâîåäåëèòñÿ ëèøü íà pa, íî íå íà pa+1. Çíà÷èò, è Sk äåëèòñÿ íà pa,íî íå íà pa+1. ��àññìîòðèì íåêîòîðîå ïðîñòîå p 6 P . Ââèäó ëåììû, åñëè15

XXXVIII Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâνp(Sn) < νp((n + 1)!) ïðè íåêîòîðîì n, òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî apòàêîå, ÷òî νp(Sn) 6 ap ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n. Íàçîâ¼ì òà-êîå ïðîñòîå ÷èñëî p ìàëåíüêèì; âñå îñòàëüíûå ïðîñòûå ÷èñëà,ìåíüøèå P , íàçîâ¼ì áîëüøèìè. Òàê êàê ìàëåíüêèõ ïðîñòûõ êî-íå÷íîå êîëè÷åñòâî, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå M , áîëüøåå ëþáîãî÷èñëà âèäà pap , ãäå p�ìàëåíüêîå.Ïóñòü òåïåðü p� áîëüøîå ïðîñòîå ÷èñëî, à n� òàêîå ÷èñëî,÷òî n+ 2

... p. Òîãäà èç ëåììû èìååì νp(Sn+1) > νp((n+ 2)!) >> νp((n+ 1)!); çíà÷èò, νp(Sn) = νp(Sn+1 − (n+ 1)!) == νp((n+ 1)!) = νp(n!) (ïîñëåäíèé ïåðåõîä âåðåí, èáî n + 1 íåêðàòíî p).�àññìîòðèì òåïåðü ÷èñëî N = MP ! − 2. Ïî äîêàçàííîìó,νp(SN ) = νp(N !) äëÿ ëþáîãî áîëüøîãî ïðîñòîãî p. Êðîìå òîãî,ïîñêîëüêó N > M , òî νp(SN ) 6 νp(p

ap) 6 νp(N !) äëÿ ëþáîãîìàëåíüêîãî ïðîñòîãî p. Ïîñêîëüêó âñå ïðîñòûå äåëèòåëè ÷èñëàSN �ëèáî áîëüøèå, ëèáî ìàëåíüêèå, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî SN 6

6 N !, ÷òî, î÷åâèäíî, íåâåðíî. Ïðîòèâîðå÷èå.Çàìå÷àíèå. Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû ìîæíî çàâåð-øèòü ðåøåíèå è ïî-äðóãîìó. Íàïðèìåð, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîνp(Sn−1) = νp(n!) äëÿ ëþáîãî n, êðàòíîãî áîëüøîìó ïðîñòîìó p.Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà νp(Sn−1) > νp(n!). �àññìîòðèì÷èñëî

Sn+p−1 = Sn−1 + n! · (1 + (n+ 1) + (n+ 1)(n + 2)+

+ . . .+ (n+ 1) . . . (n+ p− 1)).Îáîçíà÷èì ÷åðåç An âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè; òîãäàAn ≡ 1 + 1! + 2! + . . .+ (p− 1)! = 1 + Sp−1 (mod p). ÏîñêîëüêóSp−1

... p ïî ëåììå, ïîëó÷àåì, ÷òî An íå äåëèòñÿ íà p è ïîòîìóνp(Sn+p−1) = min(νp(Sn−1), νp(n!)) = νp(n!) < νp((n + p)!). Ýòîïðîòèâîðå÷èò ëåììå.Îòñþäà, ïîëàãàÿ N = kP ! − 1 ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëü-íîì k > M , ïîëó÷àåì νp(SN ) 6 νp((N+1)!) äëÿ ëþáîãî p 6 P . Âòî æå âðåìÿ, ó ÷èñëà (N+1)! åñòü ïðîñòûå äåëèòåëè, á�îëüøèå P ,è íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì k èõ âêëàäáîëüøå, ÷åì N + 1; çíà÷èò, Sk 6 (N + 1)!/(N + 1) = N !, ÷òîíåâåðíî.16