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Mathematik-Repetitorium Funktionen Stand 2013ws 1
Mathematik-Repetitorium
Funktionen4.1 Funktionen einer reellen Vernderlichen
4.2 Eigenschaften von Funktionen
4.3 Die elementaren Funktionen
4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 2
Funktionen Exkurs (1)
Rechnen mit Betrgen
Dreiecksungleichung
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 3
Funktionen Exkurs (2)
Rechnen mit Ungleichungen
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 4
4. Funktionen
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 5
4. Funktionen
4.1 Funktionen einer reellen Vernderlichen
Argument
unabhngige Variable
Definitions-bereich
Zuordnungabhngige Variable
Funktionswert
Bild-bereich
Definitionsbereich meist Intervall:oder natrlicher (=grtmglicher) Definitionsbereich
Beispiel 4.1:
Werte-bereich
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4. Funktionen Funktionen einer reellen Vernderlichen
kartesisches Koordinatensystem
Schaubild, Kurve, Graph
Veranschaulichung:
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 7
4. Funktionen Funktionen einer reellen Vernderlichen
Beispiele von Funktionen (1):
1)
lineare Funktion
konstante Funktion
2)
Parabel
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4. Funktionen Funktionen einer reellen Vernderlichen
Beispiele von Funktionen (2):
3)
Dirichlet-Funktion
4)
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4. Funktionen
4.2 Eigenschaften von Funktionen
eindeutigEindeutigkeit:
eindeutig, umkehrbar
Symmetrie:
ungerade: gerade:
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4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen
Monotonie:
monoton steigend:monoton fallend:
streng monoton steigend:streng monoton fallend:
streng monoton umkehrbar
Beschrnktheit:nach oben
nach unten
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4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen
Extremwerte:Maximum:
Minimum:
Nullstellen:
Ordinatenschnittpunkt:
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4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen
Periodizitt:
Periode T
T
Bemerkung zur Umkehrfunktion:
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4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen
Verknpfungen:
Verkettung: Reihenfolge beachten!
Beispiele:
a)
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4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen
b)
c)
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4. Funktionen
4.3 Die elementaren Funktionen
4.3.1 Signumfunktion, Betragsfunktion:
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4. Funktionen die elementaren Funktionen
4.3.2 Potenzfunktion:
Umkehrfkt.:
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4. Funktionen
Exkurs: Potenzen und Wurzeln (1)
Potenzgesetze:
a : Basis
n : Exponentn Faktoren
k n
n
n n
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4. Funktionen
Negative Exponenten:
Wurzeln:
Potenzgesetze gelten fr beliebige
(reelle) Exponenten!
Exkurs: Potenzen und Wurzeln (2)
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4. Funktionen die elementaren Funktionen
4.3.3 rationale Funktionen:
endlich viele Additionen, Multiplikationen, (Divisionen)
a) ganze rationale Funktionen = Polynome:
Grad Koeffizient
Verhalten fr groe
Nullstellen:
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4. Funktionen rationale Funktionen
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4. Funktionen rationale Funktionen
Beispiel:Polynom vom Grad 4 mit Nullstellen bei 1 und -2:
Faktorzerlegung (Polynomdivision):
Satz: Ein Polynom vom Grad n hat hchstens n Nullstellen.
Beispiele:
doppelte Nullstelle
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4. Funktionen rationale Funktionen
b) echte rationale Funktionen:
Zhlerpolynom
Nennerpolynom
unechte rationale Funktion
echte rationale Funktion
Unechte rationale Funktion:
Beispiel:
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4. Funktionen rationale Funktionen
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4. Funktionen rationale Funktionen
=> Beispiele an der Tafel
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4. Funktionen rationale Funktionen
Nullstellen: Nullstellen des Zhlers, Nenner 0
Pole: Nullstellen des Nenners; Zhler 0
Verhalten in Polnhe: vertikale Asymptote
Verhalten fr groe |x|: echte rationale Funktion 0
mit VZWohne VZW
Beispiele:
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4. Funktionen die elementaren Funktionen
4.3.4 trigonometrische Funktionen:
Gradma: Bogenma:
Umrechnung:
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
beide Funktionen periodisch mit Periode 2
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
Wichtige Beziehungen trigonometrischer Funktionen.
Additionstheoreme:
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
Umkehrung:
arcsin(x)
sin(x)
cos(x)
arccos(x)
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
Ergnzung:
Umkehrung:
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
Zusammenfassung: Wissenswertes ber trigononmetrische Funktionen (1):
Gradma Bogenma
Schaubilder
trigonometrische Formeln
Umkehrung:
berlagerung trigonometrischer Funktionen
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4. Funktionen trigonometrische Funktionen
Zusammenfassung: Wissenswertes ber trigononmetrische Funktionen (2):
allgemeine SinusfunktionAmplitude
Frequenz
Phase
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4. Funktionen die elementaren Funktionen
4.3.5 Exponentialfunktion:
Potenzfunktion:
Exponentialfunktion:: Basis
Eigenschaften:
Sonderfall:
Bem.:
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4. Funktionen Exponentialfunktion
Umkehrung: Logarithmusfunktion:
Rechenregeln fr Logarithmusfunktionen:
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4. Funktionen
4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Verhalten bei Annherung an
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Definition 4.1: Grenzwert
Eine Funktion mit Definitionsbereich strebt frgegen einen Grenzwert ,
wenn entweder1) fr jede gegen konvergierende Zahlenfolge aus stets
gilt, oder2) zu jedem ein gefunden werden kann, so dass
fr alle x aus mit stets
gilt.
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
in stetig
hat fr Grenzwert ,
in stetig; stetig
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Bemerkungen:
Zur Erklrung eines Grenzwertes von fr muss gelten, selbst muss nicht zum Definitionsbereich gehren.
Zur Erklrung der Stetigkeit von in muss und in sein.
Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft (Verhalten in ).
Andere Schreibweise:
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Rechenregeln fr Grenzwerte:
Annahme:
dann gilt:
Annahme: stetig in , stetig in
dann gilt: ist stetig in
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Unstetigkeiten:
Unstetigkeitsstelle
ist unstetig in
ist unstetig in , hebbar
ist unstetig in , Unendlichkeitsstelle
Dirichlet-Funktion ist in keinem Punkt stetig!
hebbare Unstetigkeit, d.h. Grenzwert existiert(der fehlende Punkt kann ergnzt werden)
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4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
Beispiel 4.2:
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Mathematik-Repetitorium Funktionen 42
4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
alle Polynome stetig
alle rationalen Funktionen stetig
Konsequenz:
eindeutig und umkehrbar: Mit ist auch stetig
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4. Funktionen
4.6 Funktionen von mehreren Variablen
eindeutige Zuordnung,
z.B.:
Grenzwert: Annherung
Stetigkeit:
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4. Funktionen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiele:
GeradeEbene
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Aufgaben im Tutorium
Buch:
1
2
5 [1. , 2.]
6 [3. , 4. , 6.]
7 [a) , c)]
8