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Paolo Ermanni
28. Oktober 2015
Vorlesung 151-3207-00L Leichtbau, HS 2015
Stabförmige Tragwerke: Schubfluss in dünnwandigen
zylindrischen Querschnitten
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 1
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Allgemeine Beziehungen
Schubfluss in offenen Profilen
Schubfluss in einzelligen geschlossenen Profilen
Beispiel: Dreiwandträger
Leitfaden
Übung 5: Schub
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 2
||
Mit: folgt:
Normalspannungen:
Folgt:
Schubfluss infolge Querkraft
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 3
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Allgemeine Beziehungen
Schubfluss in offenen Profilen
Qualitative Ermittlung des Schubflusses
Einfaches Beispiel
Schubmittelpunkt offener Profile
Dreiwandträger (Teil 1)
Schubfluss in einzelligen geschlossenen Profilen
Dreiwandträger (Teil 2)
Leitfaden
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Übung 5: Schub
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 4
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Anwendungsbeispiel: T-Träger
1
2
3
4
5
30
60
10
z s=
41
3
3
1
A B B‘
C
D
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 5
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Anwendungsbeispiel: T-TrägerHöhe Breite Dicke
60 60 3
Bereich Breite Höhe Fläche y is z is yi*Ai zi*Ai Ai*y2
i Ai*z2
i J y J z xi*yi*Ai
1 3.00 10.00 30 -28.50 55.00 -855.00 1650.00 24367.50 90750.00 250.00 22.50 -47025.00
2 30.00 1.00 30 -15.00 60.00 -450.00 1800.00 6750.00 108000.00 2.50 2250.00 -27000.00
3 3.00 60.00 180 0.00 30.00 0.00 5400.00 0.00 162000.00 54000.00 135.00 0.00
4 30.00 1.00 30 15.00 60.00 450.00 1800.00 6750.00 108000.00 2.50 2250.00 27000.00
5 3.00 10.00 30 28.50 55.00 855.00 1650.00 24367.50 90750.00 250.00 22.50 47025.00
300 0 12300 62235 559500 54505 4680 0
Koordinate des Schwerpunktes 0.00 41.00 Q z M y N
0.00 0.00 5.00E+03 -3.00E+06 -1.14E+05
Flächenträgheitsmomente Jy 1.10E+05 1.10E+05
Jz 6.69E+04 6.69E+04
Jyz 0.00E+00 0.00E+00
Stelle t z i Fläche S y (s i ) S y (s i )/J y t Von Mises
A 3.00 19.00 3.00E+02 420.00 1.28E-03 6.4 -899.6 899.6
B 1.00 19.00 3.00E+02 990.00 9.02E-03 45.1 -899.6 903.0
B' 3.00 19.00 3.00E+02 1980.00 6.02E-03 30.1 -899.6 901.1
S 3.00 0.00 3.00E+02 2521.50 7.66E-03 38.3 -380.0 385.7
D 3.00 -41.00 3.00E+02 0.00 0.00E+00 0.0 741.2 741.2
Geometrische Daten (cm)
1
2
3
4
5
30
60
10
z s=
41
3
3
1
A B B‘
C
D
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 6
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Aus dem Schubfluss resultierende
Drehmoment 𝑀𝑡 :
Gleichgewichtsbedingung am Schwerpunkt:
Daraus folgt:
Schubmittelpunkt für offene Profile
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 7
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Schubmittelpunkt des offenen Profils
2 3
4
1
SM
y
z
s
67.26
33.13
20 40
20Q
S
y~
z~
SMy~
SMz~
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 8
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Dreiwandträger: Schubmittelpunkt des offenen Profils
iy~ iz~
SMy~
SMz~
Stelle Breite Höhe A i y i z i A i. y i A i z i
1 2 2 4 0 40 0 160 0 6400 1.33 1.33 0
2 3 2 6 0 0 0 0 0 0 2.00 4.50 0
3 2 2 3 60 0 180 0 10800 0 1.00 0.56 0
4 1 2 2 60 20 120 40 7200 800 0.67 0.17 2400
8 8 15 300 200 18000 7200 5.00 6.56 2400
Flächenträgheitsmoment am Schwerpunkt
Schwerpunkt 20.00 13.33
-11.6 -0.202
Flächenträgheitsmomente
Bestimmung des Schubmittelpunktes
yi-y0 z-z0 rt(s) si w t(s)ds
1-2 -20.00 26.67 -24.95 22.10 20 40 800 4
2-3 -20.00 -13.33 -16.91 -17.08 13 60 800 6
3-1 40.00 -13.33 41.86 -5.02 40 20 800 3
S
-8.60
-24.43
-23294
36185
h.w.t(s)ds
-79848
-161002
-60529
-301379
0
z.w.t(s)ds
70725
-11246
Geometrische Daten
4.54E+03
1.20E+04
-1.60E+03
4.21E+03
1.23E+04
2
ii zA2
ii yA iyI , izI ,
yI
zI
yzI
yI~
zI~
iA itii ssrAy )(~itii ssrAz )(~
z0iy0i Aiy0i Aiz0i Aiy20i Aiz
20i
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 9
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Offenes Profil: Querkraft läuft über den Schubmittelpunkt
2 3
4
1
SM
y
z
S
s
67.26
33.13
20 40
20Q
kNQkNQ zy 5.177
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 10
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Allgemeine Beziehungen
Schubfluss in offenen Profilen
Schubfluss in einzelligen geschlossenen Profilen
Beispiel: Dreiwandträger
Leitfaden
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 11
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Bestimmung des Anfangsschubflusses
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 12
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Bestimmung des Anfangsschubflusses
Der Schubfluss q(s) ergibt sich aus:
und damit:
Daraus ergibt sich für q0 :
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 13
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Schubmittelpunkt des geschlossenen Profils im
Hauptachsensystem
Im Hauptachsensystems ergibt sich für q(s):
Mit:
Folgt:
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 14
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Allgemeine Beziehungen
Schubfluss in offenen Profilen
Schubfluss in einzelligen geschlossenen Profilen
Beispiel: Dreiwandträger
Leitfaden
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 15
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1. Offenes Profil: Die Querkraft läuft über den
Schubmittelpunkt.
2. Geschlossenes, unsymmetrisches Profil: Die Querkraft
läuft über den Schwerpunkt.
3. Geschlossenes, unsymmetrisches Profil: Die Querkraft
läuft über den Schubmittelpunkt des geschlossenen
Profils.
4. Geschlossenes, unsymmetrisches Profil: Die Querkraft
läuft über den Schubmittelpunkt des offenen Profils.
Aufgabenstellung
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 16
||
Offenes Profil: Querkraft läuft über den Schubmittelpunkt
2 3
4
1
SM
y
z
S
s
67.26
33.13
20 40
20Q
kNQkNQ zy 5.177
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 17
||
Geschlossenes Profil: Querkraft läuft über den Schwerpunkt
2 3
4
1
SM
y
z
SP
s
67.26
33.13
20 40
20
Q
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 18
||
Geschlossenes Profil: Querkraft läuft über den Schubmittelpunkt
2 3
4
1
SM
y
z
SP
s
67.26
33.13
20 40
20
Q
gSM
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 19
𝑞12 = −364.96 N/cm
𝑞23 = 114.97 N/cm
𝑞34 = 146.44 N/cm
𝑞41 = −2.47 N/cm
𝜃 = 0 °/cm
||
Geschlossenes Profil: Querkraft läuft über den Schubmittelpunkt
des offenen Profils
2 3
4
1
SM
y
z
SP
s
67.26
33.13
20 40
20
Q
gSM
21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 20
𝑞12 = −362.53 N/cm
𝑞23 = 116.56 N/cm
𝑞34 = 148.91 N/cm
𝑞41 = 0 N/cm
𝜃 = 0.23 °/cm
|| 21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 21
𝑞12 = −362.53 N/cm
𝑞23 = 116.56 N/cm
𝑞34 = 148.91 N/cm
𝑞41 − N/cm
𝜃 = 0 °/cm
𝑞12 = −340.97 N/cm
𝑞23 = 138.93 N/cm
𝑞34 = 170.47 N/cm
𝑞41 = 21.56 N/cm
𝜃 = 2.26 °/cm
|| 21.10.2015PAOLO ERMANNI - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 22
𝑞12 = −364.96 N/cm
𝑞23 = 114.97 N/cm
𝑞34 = 146.44 N/cm
𝑞41 = −2.47 N/cm
𝜃 = 0 °/cm
𝑞12 = −362.53 N/cm
𝑞23 = 116.56 N/cm
𝑞34 = 148.91 N/cm
𝑞41 = 0 N/cm
𝜃 = 0.23 °/cm