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Nürnberg
Vom Einfachen zum Komplexen
Mutfried Hartmann
Mit Übungsformaten arbeiten -von der Grundschule bis zur Oberstufe
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Nürnberg
Vom Übungsformat …
Klimbim?
Klimbim?
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Nürnberg
… zum Aufgabenformat
• Mathematische Reichhaltigkeit• Bezüge zu Standardstoff über Rechentraining hinaus• Eignung zur Realisierung von Bildungszielen
– „Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zuverallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken alsein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“(Bayerischer LP Mathematik RS)
– „Beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen … entwickeln sich Kreativität und Phantasie.“(Bayerischer LP Mathematik Gy)
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Nürnberg
2
1
4
3
6
7
+ + = 12
+
+
= 1
212 = + +
alle Seitensummen haben denselben Wert Z („Zauberzahl“)
Das Zauberdreieck
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Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Operativ vorgehen Algebraisieren
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Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 1Nürnberg
Schenkelsummen
3
5 8
4 7 1
3
5 8
4 7 1
3
5 8
4 7 1
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Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 2Nürnberg
Eck-Gegenmitten-Differenz
3
8
4 7
7-3 = 4
8-4 = 45-1 = 45
1
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Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 3Nürnberg
Teildreieckssummen T
3+5+8 = 16
5+4+7 = 16 8+7+1 = 16
4 7 1
3
5 8
3
8
1
5
4 7
3
5
4
8
7 1
3
5
4
8
7 1
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Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 4Nürnberg
Bruderdreieck
3
5 8
4 7 1 + + = 16
+
+
= 1
6
16 = + +
5
4 3
7 1 8
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Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 5Nürnberg
Zahlenkette M-T-Z-E
Z = 12
T = 16
+4
+4
+4
E = 8
M = 20
3
4 1
5 8
7
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Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Operativ vorgehen Algebraisieren
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Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren
Phänomeneentdecken
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Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberdreieck?
+c
Veränderung einer Eckzahl Veränderung einer Mittenzahl
+c
Zaubereigenschaft geht verloren!
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Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Gibt es zauberinvariante Operationen?
+c
Eckzahl und Mittenzahl
+c
+c
+c
+c
alle Eckzahlen alle Mittenzahlen
+c +c
+c
alle Zahlen
+c
+c+c
+c +c
+c
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Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren
Phänomeneentdecken
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Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen
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Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
Erzeugen von Zauberdreieckendurch zauberinvariante Operationen:
+k
+k +k
Gibt es noch andere Zauberdreiecke?
e
df
b c
a
= b+k
a
a c
c
b
b
= a+k
c+k =
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Analyse von Formaten / Algebraisieren 2Nürnberg
Satz:Jedes Dreieck obiger Form ist ein Zauberdreieckund jedes Zauberdreieck ist von obiger Form.
b a+k c
c+k b+k
a
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Analyse von Formaten / Algebraisieren 3Nürnberg
Phänomene im Licht der Analyse
b a+k c
c+k b+k
a
Eck-Gegenmitten-Differenz k
BruderdreieckZ=a+b+c+2k
c b+k
ab
a+k
c+k
TeildreieckswertT=a+b+c+2k
Kette M-T-Z-EM=a+b+c+3kT=a+b+c+2kZ=a+b+c+1kE=a+b+c+0k
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Nürnberg
„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)
„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)
Zwischenbilanz
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Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
Wie variieren?
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Nürnberg
Benachbartes System
Didaktisches Modell zu Übungsformaten
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Ausgangssystem
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Variieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
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Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
Wie variieren?
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Nürnberg
Das Zauberviereck
0 8 2
6 7
4 5 110 = + +
+ + = 10
+
+
= 1
0+
+ =
10
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Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauerdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
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Nürnberg
Phänomene des Zaubervierecks
Gleiche Phänomene– Entdeckung durch Identifizieren
Analoge Phänomene– Entdeckung durch Analogisieren
Neue Phänomene– Entdeckung durch Probieren
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Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg
3
5 8
4 7 1
Phänomene entdecken durch Identifizieren
Schenkelsummen
99 99
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Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg
Identisches Phänomen im Zauberviereck
0 8 2
6 7
4 5 1
8 2
6
4
0 8
7
1
0
6
5 1
2
7
4 5
Schenkelsummen
88
88 1010
1010
66
66
99
99
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Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
3
8
4 7
7-3 = 4
8-4 = 45-1 = 45
1
Eck-Gegenmitten-Differenz
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Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
0
7
5 1
7
5 1
7
5
1313
Erster Analogisierungsversuch
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Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
Eck-Gegendreiecks-Differenz
1313 1313
1313 1313
Erster Analogisierungsversuch
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Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Zweiter Analogisierungsversuch
8
54 14 1
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Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Zweiter Analogisierungsversuch
8 - (4+1) = 38 - (4+1) = 3
6-(2+1) = 36-(2+1) = 3
5-(0+2) = 35-(0+2) = 3
7-(4+0) = 37-(4+0) = 3
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
Mitte-Gegenecken-Differenz
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Phänomene im Zauberviereck: ProbierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Gegenmitten
Neues Phänomen
8
5
1313
6 7 1313
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Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
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Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberviereck?
+c
Veränderung einer Eckzahl
Veränderung einerMittenzahl
+c
Zaubereigenschaft geht verloren!
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Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Zauberinvariante Operationen
Zwei Eckzahlen
+c
+c
Eckzahl und zwei Mittenzahlen
+c
+c
+c
+c
+c +c
+c
Alle Mittenzahlen
-c +c
-c
Kombinationen solcher Operationen
![Page 38: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/38.jpg)
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Propädeutik des Vektorraumbegriffs
0 8 2
6 7
4 5 1
7 6 4
9 8
1 11 5
7 14 6
15 15
5 16 6
+ =
0 8 2
6 7
4 5 1
0 24 6
18 21
12 15 3
=
10 17 27
10 303
![Page 39: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/39.jpg)
Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
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Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
a
a
a
a+b
b
b
c
b+c
c
d
a+d
c+d
a+ b+k
c+b+k
a+d+k
d+c+k
Ist jedes Zauberviereck von dieser Form?
![Page 41: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/41.jpg)
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
d g c
h f
a e b
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
a
a
a
a+b
b
b
c
b+c
c
d
a+d
c+d
a+ b+k
c+b+k
a+d+k
d+c+k
= c+d+k
Zauberzahl=
a+b+c+d+k= a+d+k
= a+b+k
b+c+k =
Satz:Jedes Viereck obiger Form ist ein Zauberviereckund jedes Zauberviereck ist von obiger Form.
![Page 42: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/42.jpg)
Nürnberg
Das Zaubertetraeder
8
5
0
4
1
2
4
3
76
Zauberzahl = 9Zauberzahl = 9
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Nürnberg
![Page 44: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/44.jpg)
Nürnberg
Verbindung zwischen Geometrie und Arithmetik
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Geometrie/
Symmetrie
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Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
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Nürnberg
Zauberwürfel
Zauberwert = 20
1
28
7 3
4
6
9
![Page 47: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/47.jpg)
Nürnberg
Phänomene im Zauberwürfel
Zauberwert = 20
1
28
7 3
4
6
91
4
7
6
![Page 48: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/48.jpg)
Nürnberg
3
4
1
28
7
6
9
4-34-3
2-12-1
9-89-8
7-67-6
Phänomen 1: Raumdiagonalen
![Page 49: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/49.jpg)
Nürnberg
Phänomen 2: Gegenkanten
1010
1010
1010
101055
551515
1515
88
88
1212
1212
![Page 50: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/50.jpg)
Nürnberg
Phänomen 3: Gegenflächendiagonalen
33 332222 - 2- 2
- 2- 2
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Nürnberg
1
28
7 3
4
6
91
7
4
9
2121
2
4
6
9
2121
27 3
9
2121
28
7
4
2121
2121
2121
Phänomen 4: Dreibeinsumme
2121
![Page 52: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/52.jpg)
Nürnberg
1
28
7 3
4
6
91
4
6
8
1919
1
3
6
9
19
28
3
6
1919
1
8
7 31919
1919
1919
19191919
2121
2121
2121
2121
Phänomen 4: Dreibeinsumme
![Page 53: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/53.jpg)
Nürnberg
1919
1919
19191919
2121
2121
2121
27
4
1
8
3
6
9
Phänomen 4: Dreibeinsumme
![Page 54: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/54.jpg)
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 1
![Page 55: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/55.jpg)
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 2
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Nürnberg
Struktur des Zauberwürfels
b
b
d
d
a
a
c
c
Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel!
Ist jeder Zauberwürfel aber auch von diesem Typ?
b+k a-k
c-kd+k
![Page 57: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/57.jpg)
Nürnberg
ab
cd
hf
ge
Beliebiger Zauberwürfel
= b+k= c-k
= a-k= d+k
Satz:Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel und jeder Zauberwürfel ist von diesem Typ!
ab
cd
b+kd+k
a-k
c-k
Operativ erzeugter Zauberwürfel
Struktur des Zauberwürfels
Zauberwert = a+b+c+d
![Page 58: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/58.jpg)
Nürnberg
Zauberdodekaeder
Zauberwert = 33
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Nürnberg
Zahlenpaare
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13
11
3
4
8
3
5 17
2
![Page 60: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/60.jpg)
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13
11
3
17
23
5 17
Zahlenpaare
2
![Page 61: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/61.jpg)
Nürnberg
Drei Summanden
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
172525
2525
2
![Page 62: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/62.jpg)
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
17
1414
1414
![Page 63: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/63.jpg)
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
17
1414
1414
![Page 64: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/64.jpg)
Nürnberg
![Page 65: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/65.jpg)
Nürnberg
Fünf Summanden
3333
3333
3333
3333
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Nürnberg
![Page 67: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/67.jpg)
Nürnberg
Zauberinvariante Operation
![Page 68: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/68.jpg)
Nürnberg
Operative Erzeugung einer Lösung
a
a
aa
b
bb
b
c
cc
c
d
d
d
d
e
e
e
e
![Page 69: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/69.jpg)
Nürnberg
Zweite operative Lösung
![Page 70: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/70.jpg)
Nürnberg
Zweite operative Lösung
![Page 71: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/71.jpg)
Nürnberg
Zweite operative Lösung
a
a
aa
b
bb
b
c
cc
c
d
d
d
d
e
e
e
e
a‘
e‘
d‘b‘
a‘
b‘c‘
e‘
d‘
a‘b‘
c‘
c‘
e‘
d‘
b‘
d‘
e‘
a‘
c‘
![Page 72: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/72.jpg)
Nürnberg
Zweite spezielle Lösung
![Page 73: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/73.jpg)
Nürnberg
a+a‘
a+e‘
a+d‘
a+b‘
b+a‘
b+b‘b+c‘
b+e‘
c+d‘
c+a‘
c+b‘
c+c‘
d+c‘
d+e‘
d+d‘
d+b‘
e+d‘
e+e‘
e+a‘
e+c‘
Struktur des gesamten Innentetraeder-Raums
![Page 74: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/74.jpg)
Nürnberg
Vektorraum der Zahlendodekaeder
Lassen sich mit den Innentetraedern alle Zauberdodekaeder erzeugen?
Untervektorraum der ZauberdodekaederUntervektorraum der
Innentetraederraum
Vektorraum der
Zauberdodekaederraum
= Innentetraederraum
z.a
z.n
z.r
z.j
z.o
z.b
z.f
z.s
z.c
z.k
z.t
z.g
z.p
z.l
z.h
z.d
z.q
z.i
z.m
z.e
a
n
r
j
o
b
f
s
c
k
t
g
p
lh
d
q
im
e
Z. =
a‘
n‘
r‘
j‘
o‘
b‘
f‘
s‘
c‘
k‘
t‘
g‘
p‘
lh‘
d‘
q‘
i‘m‘
e‘a
n
r
j
o
b
f
s
c
k
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p
lh
d
q
im
e
+
a+a‘
n+n‘
r+r‘
j+j‘
o+o‘
b+b‘
f+f‘
s+s‘
c+c‘
k+k‘
t+t‘
g+g‘
p+p‘
l+l‘
h+h‘
d+d‘
q+q‘
i+i‘m+m‘
e+e‘
=
a‘
n‘j‘
o‘
b‘
f‘
c‘
k‘
t‘p‘
h‘
d‘
q‘
i‘
e‘a
nj
o
b
f
c
k
tp
h
d
q
i
e
+
a+a‘
n+n‘
j+j‘
o+o‘
b+b‘
f+f‘
c+c‘
k+k‘
t+t‘p+p‘
h+h‘
d+d‘
q+q‘
i+i‘
e+e‘
=r‘ s‘
g‘
l m‘
r s
g
l m
r+r‘ s+s‘
g+g‘
l+l‘ m+m‘
A B A+B
z.a
z.nz.j
z.o
z.b
z.f
z.c
z.k
z.tz.p
z.h
z.d
z.q
z.i
z.e
a
nj
o
b
f
c
k
tp
h
d
q
i
e
Z .
=Z.A
z.r z.s
z.g
z.l z.m
s
g
l m
r
AHat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?
Hat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?
![Page 75: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/75.jpg)
Nürnberg
a b c d e z
a b g h m z
p q r s t z
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
M M
Dimension des Zauberdodekaeder-Raums
21 Variable12 Gleichungen
![Page 76: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/76.jpg)
Nürnberg
Zauberbedingung als Matrizengleichung
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
•
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
=
![Page 77: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/77.jpg)
Nürnberg
1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 13 3
1 20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 13 3
1 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 13 3
1 20 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 13 3
2 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 03 3
1 20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 03 3
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
− − −
− − − − − − −
− − −
− − −
0 1 1 0 0 0 1 1
2 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 13 3
2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 03 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
− − − − − − − − −
−
Rang
12 unabhängige Gleichungen
= 12
![Page 78: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/78.jpg)
Nürnberg
Dimension des Lösungsraumes:
D = 21 – 12 = 9
Gleichungssystem mit 21 Variablen
12 unabhängige Gleichungen
Dimension des Zauberdodekaeder-Raums
![Page 79: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/79.jpg)
Nürnberg
Innentetraeder-Raum
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
1
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0
1
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0
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0
1
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0
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0
0
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0
0
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1
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0
0
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0
0
0
1
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0
1
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0
0
0
0
0
1
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0
0
0
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0
1
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0
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0
0
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0
0
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1
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0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!
Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!
Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!
Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!
![Page 80: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/80.jpg)
Nürnberg
Der Vektorraum der Zauberdodekaeder hat
die Dimension 9
Der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum hat die Dimension 9
Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.
Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.
![Page 81: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/81.jpg)
Analyse von Formaten / Algebraisieren 2Nürnberg
Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.
Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.
a+a‘
a+e‘
a+d‘a+b‘
b+a‘
b+b‘b+c‘
b+e‘
c+d‘
c+a‘c+b‘
c+c‘
d+c‘
d+e‘
d+d‘
d+b‘
e+d‘
e+e‘
e+a‘
e+c‘
![Page 82: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/82.jpg)
Nürnberg
Zusammenfassung
• Übungsformate aus der Grundschule können aufgrund ihrer mathematischen Reichhaltigkeit in der Sekundarstufe eingesetzt werden zum Erreichen – mathematischer Lernziele in verschiedenen Bereichen
(Algebra, Gleichungslehre, Vektorraumbegriff,…) und– allgemeiner Bildungsziele ( beobachten lernen, nach
Gesetzmäßigkeiten suchen, strukturieren, variieren)• Als fruchtbar erweist sich dabei das Methodentripel:
– Phänomene entdecken– Operativ vorgehen – Algebraisieren
• Systematisches Variieren und Analogisieren zeigen sich als schlagkräftiges Instrument kreativen Arbeitens in der Mathematik
![Page 83: Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b = a+k c+k = Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 Nürnberg Satz: Jedes Dreieck](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050801/5b9f9a1b09d3f2857a8b5ebe/html5/thumbnails/83.jpg)
Nürnberg