volumen intersección de superficies
DESCRIPTION
Se obtiene el volumen correspondiente a la intersección de superficies utilizando integrales múltiples y el programa Mathematica.TRANSCRIPT
Prácticas de Matemáticas con Mathematica .
Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil.
Práctica nº 9. Integrales múltiples.
Departamento de Matemática Aplicada.E.P.S. de Zamora
Universidad de Salamanca
Ejemplo 1: Calcule el volumen limitado por las superficies cuyas ecuaciones cartesianas son: z = x2+ y2,
z = 4 x2+ 4 y2, y = x2, y = 3 x .
La región limitada por los dos parabolides, el cilindro recto de base la parábola, y el plano dado está dibujadaa continuación.
curvas = ParametricPlot3D@88t, t^2, t^2 + t^4<, 8t, t^2, 4 Ht^2 + t^4L<, 8t, 3 t, 10 t^2<,
8t, 3 t, 40 t^2<<, 8t, 0, 3<, BoxRatios ® 81, 1, 1.5<,
PlotStyle ® 88Red, [email protected]<<D;
lineas1 = Graphics3D@8Red,
Table@Line@88t, t^2, t^2 + t^4<, 8t, t^2, 4 Ht^2 + t^4L<<D,
8t, 0, 3, 0.1<D<D;
lineas2 = Graphics3D@8Red, Table@Line@88t, 3 t, 10 t^2<, 8t, 3 t, 40 t^2<<D, 8t, 0, 3, 0.1<D<D;
lineafinal = Graphics3D@8Red, [email protected],
Line@88t, 3 t, 10 t^2<, 8t, 3 t, 40 t^2<< �. t ® 3D<D;
Show@curvas, lineas1, lineas2, lineafinalD
0
1
2
30
2
4
6
8
0
100
200
300
En el plano OXY la región proyectada consiste en la zona limitada por la recta y la parábola
Plot@83 x, x^2<, 8x, 0, 3<D
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
2
4
6
8
Resulta así, que la región cuyo volumen queremos calcular se puede expresar como una región elemental enel espacio dada por :
0 £ x £ 3, x2£ y £ 3 x, x2
+ y2£ z £ 4 x2
+ 4 y2
y por tanto el volumen se obtiene mediante una integral triple
à0
3
àx2
3 x
àx2+y2
4 x2+4 y2
1 âz ây âx
9477
35
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Ejemplo 2: Calcule el volumen en el primer octante limitado por las superficies cuyas ecuaciones carte-sianas son: z = x2
+ y2, z = 2 x2+ 2 y2, x y = 1, x y = 4, y = x, y = 5 x .
La proyección sobre el plano OXY de la región cuyo volumen queremos calcular está dada por la zonacomprendida entre dos rectas y dos hipérbolas:
d1 = RegionPlot@y £ 4 � x && y £ 5 x && y ³ 1 � x && y ³ x, 8x, 0, 2.5<, 8y, 0, 5<D;
d2 = Plot@8x, 5 x, 1 � x, 4 � x<, 8x, 0, 2.5<D;
Show@d1, d2D
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
1
2
3
4
5
Por tanto, la región cuyo volumen queremos calcular no se puede expresar como una única región elementalen el espacio de la forma
a £ x £ b, F1 HxL £ y £ F2 HxL, Y1 Hx, yL £ z £ Y2 Hx, yLResulta más fácil calcular el volumen pedido tras hacer una cambio de variables. Por la forma que tienen las
ecuaciones de las superficies es fácil proponer un cambio de la forma
z
x2+ y2
= u, x y = v,y
x= w
La región de integración se simplifica enormemente, pero a cambio, hay que calcular el determinantejacobiano de la transformación. Para ello despejamos las variables x,y,z en términos de las nuevas variables u,v,w:
SolveB: z
x2 + y2� u, x y � v,
y
x� w>, 8x, y, z<F
::x ® -v
w, y ® - v w , z ®
u v I1 + w2Mw
>,
:x ®v
w, y ® v w , z ®
u v I1 + w2Mw
>>
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El determinante de la matriz jacobiana es
OuterBD, : v
w, v w ,
u v I1 + w2Mw
>, 8u, v, w<F �� MatrixForm
0 1
2 v w-
v
2 w3�2
0 w
2 v
v
2 w
v I1+w2Mw
u I1+w2Mw
2 u v -u v I1+w2M
w2
DetBOuterBD, : v
w, v w ,
u v I1 + w2Mw
>, 8u, v, w<FFv
2+
v
2 w2
Y el volumen pedido se obtiene mediante la integral triple
à1
2
à1
4
à1
5
1v
2+
v
2 w2âw âv âu
18
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