PROGRAMACIN LINEAL

PROGRAMACIN LINEAL

Dr. Jos Emilio Martnez Varilla

jemvarilla@gmail.com

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 2 de 40

TEMA 2.0

2.5. ALGORITMO DEL TRANSPORTE:MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE;

MATRIZ DEGENERADA;MTODO DE VOGEL;

MTODOS DE OPTIMIZACIN.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 3 de 40

MODELOS EN REDES

Una red consiste en una serie de nodos conectados por arcos que tambin se denominan conexiones o lneas.

Existen redes fsicas (carreteras, comunicaciones, oleoductos, etc.) y sistemas que pueden representarse como redes:

Los nodos representan estados de un sistema, finalizacin de unaoperacin, un perodo de tiempo,

Los arcos representan rdenes de precedencia entre operaciones,

Grficamente, las redes se representan:

Nodos mediante crculos.

Arcos mediante lneas.

Direccin del arco mediante puntas de flecha.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 4 de 40

EJEMPLO DE RED

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 5 de 40

RED GENERALIZADA

Existe una red generalizada cuando:

En cada columna existen nicamente dos coeficientes mas el

correspondiente a la funcin objetivo.

A estos coeficientes se les suele llamar ganancia o perdida, ya que

representan la ganancia o perdida que experimenta el flujo al pasar por

el correspondiente arco.

Todas las restricciones son de tipo igualdad, representando la condicin

de equilibrio del flujo en cada nodo: el flujo que llega al nodo final es igual

al que sale mas las ganancias menos las perdidas.

Las variables del problema pueden tener limitaciones de flujo mnimo y

mximo.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 6 de 40

MODELO DE TRANSPORTE

Consiste en enviar una cierta cantidad de mercancas desde unos almacenes

(orgenes), en los que se dispone de cantidades limitadas, a unos puntos

finales (destinos) en donde es preciso servir una cierta demanda.

La formulacin terica del problema es:

0x

Dxj

Oxi

:a sujeto

xc(z)Min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ijij

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 7 de 40

MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.Costes y disponibilidades

Orgenes Destinos Oferta

4 5 6 7

1 132 --- 97 103 135

2 85 91 --- --- 56

3 106 89 100 98 93

Demanda 62 83 39 91 ---

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 8 de 40

MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.

Orgenes (i) Destinos (j)

4 62

135 1

5 83

56 2

6 39

93 3

7 91

Orgenes 4 5 6 7 Oferta

1 132 x 97 103 135

2 85 91 x x 56

3 106 89 100 98 93

Demanda 62 83 39 91

Grafo del problema

Costes y disponibilidades

Destinos

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 9 de 40

MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.

El planteamiento quedara:

Definicin de variables: xij - Cantidad de producto que se transporta desde el

origen i, (i = 1,2,3), hasta el destino j, ( j = 4,5,6,7)

Funcin Objetivo:

14 16 17 24 25

34 35 36 37

Min (z) = 132 x + 97 x + 103 x + 85 x + 91 x +

+106 x + 89 x + 100 x + 98 x

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 10 de 40

MODELO DE TRANSPORTE: EJEMPLO 1.

Sujeto a:

Restricciones de oferta:14 16 17

24 25

34 35 36 37

x + x + x 135

x + x 56

x + x + x + x 93

Restricciones de demanda: 14 24 34

25 35

16 36

17 37

x + x + x = 62

x + x = 83

x + x = 39

x + x = 91

No negatividad: xij 0

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 11 de 40

MODELO DE ASIGNACIN

Consiste en asignar un conjunto de recursos (personas o mquinas) a una

serie de trabajos, de forma que se minimice el tiempo o coste empleado en

llevar a cabo las tareas.

El planteamiento general es el siguiente:

m n

ij iji 1 j 1

Min (z) c x

Sujeto a: Cada trabajo slo puede efectuarse una vez:

m

ij

i 1

j x 1

Cada persona o mquina puede efectuar un solo trabajo:n

ijj 1

i x 1

Las variables slo pueden tomar valores cero o uno.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 12 de 40

MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2

Vendedor 1 2 3 4 Puntos totales

A 3 7 4 1 15

B 2 6 5 2 15

C 3 5 5 2 15

D 1 4 6 4 15

rea

Puntuaciones de cada vendedor a cada rea

El planteamiento quedara:

Definicin de variables: xij Variable binaria que tomar el valor 1 cuando se

asigne el vendedor i, (i =A,B,C,D), al rea de venta j, (j = 1,2,3,4); o el valor 0

en caso contrario.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 13 de 40

MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2

Funcin objetivo:

A1 A2 A3 A4 B1 B2

B3 B4 C1 C2 C3 C4

D1 D2 D3 D4

Max (z) = 3x + 7x + 4x + 1x + 2x + 6x

+ 5x + 2x + 3x + 5x + 5x + 2x

+ 1x + 4x + 6x + 4x

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 14 de 40

MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2

Sujeto a:

Cada vendedor slo puede estar asignado a un rea:

A1 A2 A3 A4

B1 B2 B3 B4

C1 C2 C3 C4

D1 D2 D3 D4

x + x + x + x =1

x + x + x + x =1

x + x + x + x =1

x + x + x + x =1

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 15 de 40

MODELO DE ASIGNACIN: EJEMPLO 2

Cada rea solo puede tener asignado un vendedor:

A1 B1 C1 D1

A2 B2 C2 D2

A3 B3 C3 D3

A4 B4 C4 D4

x + x + x + x =1

x + x + x + x =1

x + x + x + x = 1

x + x + x + x =1No negatividad: xij 0

En este problema en concreto, aunque las variables, en teora, podran tomar valores

diferentes de uno, en el ptimo siempre sern cero o uno.

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 16 de 40

MODELO DE TRANSBORDO

Se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envo

de recursos entre las distintas fuentes (oferta) y destinos (demanda)

Se construye una malla con orientacin desde las fuentes (nodos de inicio)

hacia los destinos (nodos de llegada), utilizando amortiguadores (nodos

transitorios) que permiten recibir y transferir recursos. Las flechas que unen

los nodos de la malla representan los eventuales flujos de recursos en la

secuencia de distribucin

16

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 17 de 40

MODELO DE TRANSBORDO

Luego, la malla permite convertir un modelo de transbordo en un modelo de

transporte regular y resolverse como tal, utilizando los amortiguadores

As, la malla reconoce tres tipos de nodos:

Nodos puros de Oferta: solo transfieren recursos

Nodos de Transbordo: entregan y reciben recursos

Nodos puros de Demanda: solo reciben recursos

El amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir que los

recursos se transfieran desde las fuentes hacia los destinos

17

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 18 de 40

ESQUEMA DE TRANSBORDO

Un esquema simple del modelo de transbordo se expresa como una red

de modelo de asignacin:

D1

D2

Nodos puros de

Oferta

Nodos puros de

Demanda

A1

A2

Nodos de

Transbordo

F1

F2

F3

18

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 19 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

Dos fbricas de automviles, P1 y P2, estn conectadas a tres distribuidores,

D1, D2 y D3, por medio de dos centros de trnsito, T1 y T2, de acuerdo con la

red que se muestra en la siguiente diapositiva

Las cantidades de la oferta en las fbricas P1 y P2, son de 1000 y 1200

automviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3,

son de 800, 900 y 500 automviles. El costo de envo por automvil (en

cientos de pesos) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones

(arcos) de conexin de la red

19

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 20 de 40

800

900

500

1200

1000

D3

D2

D1

T1

T2

P1

P2

3

4

42

5

8

6

5

39

RED - MODELO DE ASIGNACION

20

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 21 de 40

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Cada vez que se plantea un problema de programacin lineal, se procede

cumpliendo las siguientes etapas:

1.- Comprensin del problema (lectura en detalle)

2.- Definicin de las variables de decisin

3.- Descripcin de la funcin objetivo

4.- Identificacin de las restricciones del problema

21

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 22 de 40

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Se plantea identificando como variables de decisin a todas las posibilidades

de flujos de asignacin, a transferir entre los nodos de la red de transbordo

Se define como funcin objetivo la minimizacin de los costos de transporte

asociados al transbordo

Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades

para cada nodo de la red de asignacin, sin olvidar la condicin de no

negatividad

22

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 23 de 40

800

900

500

1200

1000 T1

T2

P1

P2

XP1T1

XP2T2

XD

1D

2XD

2D

3

D2

D1

D3

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALRed para plantear el PPL:

23

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 24 de 40

F.O. Mn Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 +

4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3

s.a. : 1000 = XP1T1 + XP1T21200 = XP2T1 + XP2T2

XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2XP1T2 + XP2T2 = XT2D2 + XT2D3

XT1D1 = XD1D2 + 800

XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900

XT2D3 + XD2D3 = 500

Xij 0

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

24

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 25 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200)

automviles en los nodos P1 y P2, requiere pasar a travs de los nodos de

transbordo de la red (T1 y T2) ,antes de llegar a sus puntos de destino en los

nodos D1, D2 y D3

El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis

puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2) y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y

D3)

Nodos puros de Oferta

Nodos de Transbordo

Nodos puros de Demanda

P1, P2

D3

T1, T2, D1, D2

25

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 26 de 40

NODOS PUROS DE OFERTA

Y NODOS PUROS DE DEMANDA

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros

de demanda, queda:

Oferta en un Nodo puro de Oferta

Demanda en un Nodo puro de Demanda

Oferta Original

Demanda Original

Un nodo puro de oferta no posee amortiguador

Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 27 de 40

NODOS DE TRANSBORDO

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se

establece de acuerdo a:

Oferta en un Nodo de Transbordo

Demanda en un Nodo de Transbordo

Oferta Original

Amortiguador

Demanda Original

Amortiguador

+

+

La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se

encuentra oferta original

La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en

ocasiones hay demanda original

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 28 de 40

NODOS DE TRANSBORDO

La oferta del nodo de transbordo T1 s posee oferta original, mientras que la

oferta del nodo de transbordo T2 no posee oferta original

400

400

200

300

500

200

P1

P2

T1

T2

D1

D2

D3

28

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 29 de 40

NODOS DE TRANSBORDOLa demanda del nodo de transbordo T1 no posee demanda original, mientras

que la demanda del nodo de transbordo T2 s posee demanda original

300

200

300

600

400

200

P1

P2

T1

T2

D1

D2

D3

29

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 30 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO: Se obtiene la 1 solucin mediante mtodo de Vogel

P1

T1 Oferta

Demanda

1000

1200

B1

900+B4800+B3B1 B2500

3

T2 D1 D3D2

P2

T1

B2

B3

B4

T2

D1

D23

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

M

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 31 de 40

800

900

500

1200

1000 T1

T2

P1

P2

XP1T1

XP2T2

XD

1D

2XD

2D

3

D2

D1

D3

MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSBORDO

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 32 de 40

800

900

500

1200

1000

T1

P1

D1

P2

T1

T2

T2

D2

D1

D2

D3

MODELO DE ASIGNACION PROBLEMA DE TRANSPORTE

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 33 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

Obtener la primera solucin factible mediante Vogel, implica asignar el

mximo nmero de unidades posible en las celdas de menor costo marginal,

segn los sucesivos gradientes

No obstante, en ocasiones, la celda de menor costo marginal puede asociarse

con un mximo nmero de unidades determinado por los amortiguadores.

Luego, se requiere definir los rangos posibles para cada amortiguador

800 < B1 < 2200 0 < B3 < 1400

0 < B2 < 1400 0 < B4 < 500

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 34 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

P1

T1 Oferta

Demanda

1000

1200

500

3

T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D23

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

1

3

M

5

M

1 1 M 1 6

800

*

800

1000

1400

400

500

B1

B2

B3

B4B1 B2 800+B3 900+B4

2

*

MM

*M

3

* *

*

MM

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 35 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

Al calcular los gradientes del mtodo de Vogel, se van obteniendo los valores

de los amortiguadores

Valores de los amortiguadores:

B1 = 800

B2 = 1400

B3 = 0

B4 = 500

Si es que hay 2 o ms gradientes de igual valor (como sucede con los

gradientes + M ), entonces se asigna el mximo nmero de unidades posibles

en aquella celda de menor costo unitario de transporte

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 36 de 40

1 asignacin: XD2D3 = 500, gradiente fila D2 = M

2 asignacin: XT1D2 = 1400, gradiente fila T2 = M

3 asignacin: XT1D1 = 800, gradiente fila T1 = M

4 asignacin: XP2T1 = 800, gradiente fila P2 = 3

5 asignacin: XP1T2 = 1000

6 asignacin: XP2T2 = 400Asignacin

manual

As, Vogel determina la 1 solucin bsica factible, sin embargo falta verificar

la condicin de optimalidad e iterar va simplex si es que se requiere

EJEMPLO DE TRANSBORDO

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 37 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO

m + n - 1 = 10Sin embargo, la asignacin inicial mediante mtodo de

Vogel tiene solamente 6 variables bsicas

Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base

XT1T2 = 0, XT2T2 = 0, XD1T2 = 0, XD2T2 = 0

Luego, se deben calcular los precios sombra

para verificar si la solucin bsica factible es o

no es ptima

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 38 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDO: Se deben calcular todos los precios sombra

Oferta

Demanda

1000

1200

500

3

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

800

800

1000

1400

400

500

0

0

0

0

P1

T1 T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D2

B1

B2

B3

B4

B1 B2 800+B3 900+B4

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 39 de 40

Oferta

Demanda

1000

1200

500

3

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

800

800

1000

1400

400

500

0

0

0

0

E

E

E

+M

+M

+M

+M +M

+M

+2

E E

E

EE

EE

E

E

E

P1

T1 T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D2

B1

B2

B3

B4

B1 B2 800+B3 900+B4

Ya que ij > XJ0 i,j

A

Solucin ptima

PROGRAMACIN LINEAL

Tema 2.5 - 40 de 40

EJEMPLO DE TRANSBORDOSolucin ptima del ejemplo de transbordo:

XJ = ( XP1T2, XP2T1, XP2T2, XT1T2, XT1D1,

XP1T2

XP2T1

XP2T2

XT1T2

XT2T2

XT2D2

XD1T2

= 1400

= 1000

= 800

= 0

= 400

La solucin no es

nica, pues es una

solucin

degenerada

XT2T2, XT2D2, XD1T2, XD2T2, XD2D3 )

XT1D1

XD2T2

XD2D3= 800 = 500

= 0

= 0

= 0

Z = (1000*4) + (800*2) + (400*5) + (800*8) +

(1400*4) + (500*3) = 21.100 ($100)