véletlen bolyongások (1d 2d 3d) - elte · 2017. 5. 15. · •végtelen bolyongás •például...

2017.05.15.

1

1 / 35 oldal

Véletlen bolyongások (1D 2D 3D)

Késztette: Bereczki Zoltán

Véletlen bolyongások 1D


Definíció:• Egy egyenesen (1 dimenziós tér)• Jobbra, vagy balra lépünk• Minden lépés független a

korábbiaktól• P(jobbra)=p; P(balra)=q• Nincs „helyben maradási" lépés, azaz

P(jobbra)= 1-P(balra)

2 / 35 oldal

3 / 35 oldal



Példák:• Numerikus közelítés (diszkrét eset)• Részecskék mozgásának modellezése

(ütközések elég nagy sugarú körön)• Szerencsejátékban a pénzmennyiség • Választások, szavazatszám• Bolha ugrál a számegyenesen

matekfeladatok :D

Lehetséges vizsgálatok I:• Korlátos bolyongás:

• Egy vagy mindkét irányba definiálunk egykorlátot, melynek elérése esetén terminál abolyongás

• Például szerencsejátékoknál véges apénzmennyiségünk (nem tudunk 0 alá menni),esetleg a kaszinónak is véges a pénzmennyisége,azaz nem nyerhetünk egy bizonyos összegnéltöbbet

4 / 35 oldal



Lehetséges vizsgálatok II:• Nem korlátos bolyongás:

• Nem definiálunk korlátot, azaz akármennyirekicsi, vagy nagy értékeket is elérhet a bolyongás

• Például szerencsejátékoknál lehet negatívpénzünk (tartozás)

5 / 35 oldal



• Aszimmetrikus bolyongás:• P(jobbra) ≠ P(balra)• Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő NMB

Lehetséges vizsgálatok III:• Szimmetrikus bolyongás

• Jobbra => +1; Balra => -1•P(jobbra) = P(balra) = ½•

• Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:

6 / 35 oldal



2017.05.15.

2

7 / 35 oldal



Szimmetrikus bolyongás• Ábrázoljuk értékét n függvényében:

8 / 35 oldal



Stein – tétel

Ha P(|X|>0)>0, akkor minden a<0<b-re:

1 valószínűséggel véges, így minden korlátos intervallumból kilép a bolyongás

9 / 35 oldal



Tükrözési-elv

A és B egész koordinátájúak, de mindkettő a pozitív oldalán van az x-tengelynek . Legyen A’ az A pont tükörképe az x-tengelyre. Ekkor:|A-B út : {A-B út ∩ x-tengely} ≠ Ø| = |A’-B út| Biz.: Tükrözzük az első metszéspontig tartó útrészt

10 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata INyilván csak páros lépés után térhet vissza:

11 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata IISoha nem tér vissza a 0-ba (valami nagy n-ig)

P(pozitív irányba indul, 2r-be jut)

12 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata IIIPozitív irányba indulva a 2r-be ér 0-ból, de átmegy

hasonlóan: ezeket összerakva és

szummázva teleszkópikus összeget kapunk:

2017.05.15.

3

13 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata IV

Ezeket összerakva már látjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n lépés alatt nem térünk vissza = 2n lépés után értünk vissza, innen:

14 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata V(2n az első visszatérés) = (2n lépés során valamikor járunk a 0-ban) - (2n-2 lépés során valamikor járunk 0-ban)Ha kihasználjuk azt is, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n során valamikor visszatérünk = 1 – annak a valószínűsége, hogy 2n alatt egyszer sem térünk vissza, akkor adódik, hogy:

15 / 35 oldal



Visszatérés vizsgálata VI

Ebből az, hogy valaha visszatér úgy számolható, hogy n szerint szummázzuk, de ekkor megint teleszkópikus összeget kapunk és csak u0 marad, ami 1, így azt kaptuk, hogy 1 dimenzióban a szimmetrikus bolyongás 1 valószínűséggel visszatérő, viszont ennek várható ideje nem véges

16 / 35 oldal



Generátor függvények

Aszimmetrikus bolyongás I

•Jobbra => +1; Balra => -1• p=P(jobbra) ≠ P(balra)=1-p• Nincs helyben maradás (lépni kell)

•Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:

17 / 35 oldal



Aszimmetrikus bolyongás II

• Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő• Nyilván ilyenkor is csak páros lépés után térhet

vissza• Ilyenkor a visszatérésre:

18 / 35 oldal



2017.05.15.

4

Aszimmetrikus bolyongás III

• Ennek p = ½ -ben nyilván maximuma van, így hap ≠ ½, akkor a „[…]”-ben lévő rész kisebb, mint 1,így az exponenciális alap kisebb 1, vagyis ez a sorkonvergens, így a generátorfüggvényeknél látott

szumma kisebb 1-nél, mert U(1) nem végtelen,így az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő!

19 / 35 oldal


Késztette: Bereczki Zoltán 20 / 35 oldal

Véletlen bolyongások 2D- 3D


Definíció:• Egy síkon (2 dimenziós tér)• Jobbra, balra, előre vagy hátra lépünk• Minden lépés független a korábbiaktól• P(jobbra)=p; P(balra)=q; P(előre)=r;

P(hátra)=s• Nincs helyben maradás, azaz ezek

összege 1• Hasonlóan magasabb dimenziókra

21 / 35 oldalKésztette: Bereczki Zoltán

Lehetséges vizsgálatok I:• Korlátos bolyongás:

• néhány irányba definiálunk egykorlátot, melynek elérése esetén terminál abolyongás

• Például diffúzióval történő fraktálépítés bizonyos fraktáldimenziók esetén

• Végtelen bolyongás• Például végtelen ellenállásláncok eredő

ellenállása stb.



A diffúziólimitált aggregáció „fraktáltermészetű” növekedési folyamat, mely növekedési magokból indul ki. A „növekedési magok”-hoz a tér véletlenszerű irányaiból érkeznek szabad diffúzióval

részek, melyek a növekedési maghoz, majd egymáshoz tapadva aggregátumot (nanorészecskét) képeznek. A titán-oxidok a legjellegzetesebb példa erre (TiOx)




ahol zo egy normálásifaktor, r a növekedési magtól mért távolság,p a gáznyomásℓref = 3,92 cm éspref = 1 Pa pedig konstansok. CNx film.


Végtelen bolyongás (bankrabló) I

Jelölje p(a,b) annak a valószínűségét, hogy a bankrabló egy (a,b) koordinátákkal megadható belső* pontból indulva megmenekül*. Az (a,b) pontba a bankrabló valamelyik szomszédos pontból jutott, azaz (a-1,b), (a+1,b), (a,b+1), (a,b-1) pontok valamelyikéből, de mindegyikből ¼ valószínűséggel:


2017.05.15.

5


Végtelen bolyongás (bankrabló) IITekintsünk egy négyzetrács-hálózatot, ahol az élek azonos R ellenállásokból állnak. A (k,l) koordinátájú pontba kívülről befolyó áram I(k,l), a (k,l)-edikcsomópont potenciálja Φ(k,l). A csomóponti törvény alapján:




Végtelen bolyongás (bankrabló) III



Végtelen bolyongás (bankrabló) IVHa a rabló megszökési esélye 0, akkor előbb tér vissza az origóba, mint hogy megszökne. Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re



Végtelen bolyongás (bankrabló) VIgazából ezen ellenállást „könnyű” számolni egy trükkel (koncentrikus négyzetek)

29 / 35 oldal

Véletlen bolyongások 2D-3D


Lehetséges vizsgálatok II:• Szimmetrikus bolyongások:

•P(jobbra) = P(balra) = P(előre) = P(hátra) = ¼

• Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így:•Hasonlóan magasabb dimenziókban

30 / 35 oldal



Szimmetrikus bolyongások I

Generátorfüggvényekből már láttuk, hogy ilyenkor visszatérő

2017.05.15.

6

31 / 35 oldal



Szimmetrikus bolyongások II

32 / 35 oldal



Szimmetrikus bolyongások III

Pólya – tétel:

A szimmetrikus bolyongások 1D-ben és 2D-ben 1 valószínűséggel visszatérők, DE 3 vagy több dimenzióban 1-nél kisebbvalószínűséggel térnek vissza.Ez NEM azt jelenti, hogy 1 valószínűséggel ne lenne visszatérő…

33 / 35 oldal

Véletlen bolyongások Háromszögrácson


Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács I:Két elemi rácsvektort veszünk a1 és a2, egybeesnek a ráccsal és 120°-os szöget zárnak be; és ezeknek n ésm szereseivel jelöljük az elmozdulásokat, figyelve, hogy 6 különböző van: (1;0),

(0;1), (-1;0), (0;-1), (1;1), (-1;-1)


Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács II:Kivételesen nem a fizikai interpretációt fogunk csinálni, a matematikai eredményből, hanem fordítva:

Giles Atkinson (1976): legyen cosh(s)=2sec(x)-cos(x)



Szabályos sokszögrácsokon:Háromszögrács III:Most is Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re (koncentrikus hatszögek):

Így a véletlen bolyongás háromszögrácson is visszatérő


Köszönöm a megtisztelő figyelmet!

-Q&A-

Véletlen bolyongások

2017.05.15.

7

Véletlen bolyongások

Tesztkérdés:Hazaérsz-e részegen? És ha te vagy Superman (részegen)?

A: igen igen B: igen nemC: nem igen D: nem nem

véletlen bolyongások (1d 2d 3d) - elte · 2017. 5. 15. · •végtelen bolyongás •például...

Documents