vje zbe 10darija/matematikai/mai_v10.pdf · aritmeti cki i geometrijski niz 5.u nekom je aritmeti...
TRANSCRIPT
Vjezbe 10
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojeva
1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:
a)
(2n
3n − 2
),
b)
(n2 − 1
n2 + 1
),
c) (n!),
d)
(1 + (−1)n
2
),
e)
(sin nπ
2
n
).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
2. Zadan je aritmeticki niz
2, 5, 8, 11, 14, . . .
Odredite 2008−ti clan tog niza.
3. Odredite aritmeticki niz ako je:
a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21
b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60
4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?
6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.
7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom
sn =19
2n2 − 179
2n.
Dokazite da je taj niz aritmeticki.
8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz
9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:
a) a6, ako je a2 =2
3, a4 =
8
27
b) a4, ako je a3 =4− 2
√3
4, a5 =
28− 16√
3
16
10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.
11. Za koje su x brojevi1
x + 2,
1
x − 2,
1
x − 4uzastopni clanovi
geometrijskog niza?
12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Gomiliste niza
Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).
Bolzano– Weierstrassov teorem
Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Gomiliste niza
Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).
Bolzano– Weierstrassov teorem
Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza
Limes niza
Realni broj a je limes ili granicna vrijednost niza realnih brojeva(an) ako za svaki realni broj ε > 0 postoji prirodan broj n0 takav da
(n > n0) =⇒ (|an − a| < ε)
– oznake: limn→∞
an = a, an → a kada n→∞
Kazemo da je niz realnih brojeva konvergentan ako ima granicnuvrijednost. Za niz koji nije konvergentan kazemo da je divergentan.
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova
Svojstva konvergentnih nizova
Konvergentni niz ima samo jedno gomiliste.
Konvergentni niz je omeden.
Ogranicen i monoton niz je konvergentan.
Ako je limn→∞
an = a onda je i niz (|an − a|) konvergentan i
limn→∞
|an − a| = 0.
Ako je limn→∞
an = limn→∞
bn i an ≤ cn ≤ bn tada konvergina i niz
(cn) ilim
n→∞cn = lim
n→∞an = lim
n→∞bn
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova
Svojstva konvergentnih nizova
Ako je limn→∞
an = a i limn→∞
bn = b onda je
limn→∞
(an ± bn) = a± b
limn→∞
(an · bn) = a · b
limn→∞
an
bn=
a
b, bn 6= 0 ∀n ∈ N, b 6= 0
limn→∞
|an| = |a|
limn→∞
aαn = aα, α > 0, ako je an > 0 ∀n ∈ N
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaNeki znacajni limesi
1 limn→∞
1
n= 0
2 limn→∞
n√
n = 1
3 limn→∞
n√
a = 1, a > 0
4 limn→∞
an = 0, |a| < 1
5 limn→∞
(1 +
1
n
)n
= e
6 limn→∞
qn =
0, 0 ≤ |q| < 11, q = 1
+∞, q > 1
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
13. Izracunajte sljedece limese:
a) limn→∞
(√n + 1−
√n),
b) limn→∞
√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1
,
c) limn→∞
10n ·(√
n2 + 1− n),
d) limn→∞
3n + 2√4n2 − 2n + 1
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
e) limn→∞
(√n2 + n + 1−
√n2 − n + 1
),
f) limn→∞
√n2 + 4n
3√
n3 − 3n2,
g) limn→∞
(1 +
3
n
)·(
2− 4
n
)2
·(
5
n2− 1
),
h) limn→∞
(2n2 + n − 1
5n2 − 7n + 12
)3
,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
i) limn→∞
(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)
n + 3− n
),
j) limn→∞
(3− n)2 + (3 + n)2
(3− n)2 − (3 + n)2,
k) limn→∞
6n3 −√
n5 + 1√4n6 + 3− n
,
l) limn→∞
(2n + 2)!− (2n + 3)!
(2n + 4)!,
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10
Nizovi realnih brojevaLimes niza
m) limn→∞
(n +
3√
4− n3)
,
n) limn→∞
3√
n2 − 1 + 7n3
4√
n12 + n + 1− n,
o) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n
n − n2 + 3
),
p) limn→∞
(3n − 1)! + (3n + 1)!
(3n)!(n − 1).
Vjezbe 10