vít tuček: aplikace abstraktní matematiky #blokexpertu
TRANSCRIPT
Vít Tuček — MFF UK
Aplikace abstraktní matematiky
aneb co všechno se dá násobit
Abstract mathematics…
–John von Neumann
“In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.”
❖ Takže co všechno můžeme násobit?
Konečné okruhy Zn
❖ prvky jsou celá čísla od 0 do n - 1
❖ násobení a sčítání modulo n
❖ 2 + 3 = 5 = 1 mod 4
❖ 2 * 3 = 6 = 2 mod 4
A co Z24?
To bylo Z12
Co s tím? RSA!
Co s tím? RSA!
❖ šifrování
❖ dešifrování
Příklad p=7, q = 13n = 7*13 = 91,
ϕ(n) = 6 * 12 = 72
e = 5, d = 29e*d = 5*29 = 145 145 = 1 mod 72
a h o j 1, 8, 15, 10
1^5 = 1 mod 918^5 = 8 mod 91
15^5 = 71 mod 9110^5 = 82
1, 8, 71, 82
1^29 = 1 mod 918^29 = 8 mod 91
71^29 = 15 mod 9182^29 = 10 mod 91
1, 8, 15, 10
Co s tím? RSA!
Velká čínská věta o zbytcích
Sun Tzu (孙⼦子)
3. — 5. AD
Velká čínská věta o zbytcích
Nastoupeni v trojstupech, zbyde jeden. Nastoupeni v řadách po pěti, zbydou dva.
Nastoupí-li v sedmi řadách, zbydou tři.
Kolik vojáků je v armádě Han Xina?
Velká čínská věta o zbytcích
– Ludwig Wittgenstein
“Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.”
Minimální kostra
❖ computer networks, telecommunications networks, transportation networks, water supply networks, and electrical grids
❖ http://en.wikipedia.org/wiki/Borůvka's_algorithm
Minimální kostra❖ Taxonomy.[19]
❖ Cluster analysis: clustering points in the plane,[20] single-linkage clustering (a method of hierarchical clustering),[21] graph-theoretic clustering,[22] and clustering gene expression data.[23]
❖ Constructing trees for broadcasting in computer networks.[24] On Ethernet networks this is accomplished by means of the Spanning tree protocol.
❖ Image registration[25] and segmentation[26] — see minimum spanning tree-based segmentation.
❖ Curvilinear feature extraction in computer vision.[27]
❖ Handwriting recognition of mathematical expressions.[28]
❖ Circuit design: implementing efficient multiple constant multiplications, as used in finite impulse response filters.[29]
❖ Regionalisation of socio-geographic areas, the grouping of areas into homogeneous, contiguous regions.[30]
❖ Comparing ecotoxicology data.[31]
❖ Topological observability in power systems.[32]
❖ Measuring homogeneity of two-dimensional materials.[33]
❖ Minimax process control.[34]
Komplexní čísla❖ součin dvou záporných reálných čísel je vždy kladný
❖ i2 = -1
Komplexní čísla polární souřadnice
z = r ei α
w = s ei β
z w = r s ei(α + β)
Komplexní číslaEulerova formule
❖ Fourierova transformace:
Komplexní čísla Fourierova transformace
frekvence —> amplituda
čas —> hodnota signálu
❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif
❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
Fourierova transformace Nukleární magentická rezonance
❖ In 1983, Ljunggren[8] and Twieg[9] independently introduced the k-space formalism, a technique that proved invaluable in unifying different MR imaging techniques. They showed that the demodulated MR signal S(t) generated by freely precessing nuclear spins in the presence of a linear magnetic field gradient G equals the Fourier transform of the effective spin density.
❖ Continuous wave spectroscopy is inefficient in comparison with Fourier analysis techniques (see below) since it probes the NMR response at individual frequencies in succession.
Umíme násobit body v prostoru?Sir William Rowan Hamilton
(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)
Umíme násobit body v prostoru?Sir William Rowan Hamilton
(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)
Násobení čtveřic
Gimbal lock
https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno&t=38
Gimbal lock"How about sending me a fourth gimbal for Christmas?"
— Michael Collins, Apollo 11 Command Module Pilot
Quaternions to the rescue!
Prostor dyád
tón = frekvence až na oktávu = “kružnice”
dva tóny = součin dvou kružnic
dyáda = zapomenu pořadí
(ko)homologie
perzistentní topologie
perzistentní homologie
perzistentní topologie
perzistentní topologie
perzistentní topologie
perzistentní topologie
perzistentní topologie
kolaborační sítě
Za každý článek, který spolu dva autoři napsali přidám k jejich vzdálenosti 1/(n-1) kde n je celkový počet autorů článku.
kolaborační sítě
Kempe’s theorem
❖ http://www.koutschan.de/data/link/index.html
❖ Kempe 1876
Wir müssen wissen.Wir werden wissen.
— David Hilbert