Глава III

Векторска алгебра

1. Под орјентисаном дужи подразумева се део праве ограничен двема тачкама, при чему се једна

узима за почетну, а друга за крајњу тачку. Оријентисане дужи зовемо вектори и користимо

ознаке AB , CD ,..., a , b ,... Дужина (интензитет) вектора AB , у ознаци AB је растојање од

његове почетне до његове крајње тачке, правац је права којој он припада, а смер му је одређен

орјентацијом од почетне тачке ка крајњој тачки.

Нула вектор је вектор код кога се поклапају почетна и крајња тачка. Његов интензитет је једнак

нули, а правац и смер су му произвољни. Два вектора су једнака ако су колинеарна (налазе се на

истој правој или на паралелним правама), имају исте интензитете и исте смерове.

2. Збир вектора a и b , у ознаци a + b , је вектор чија се почетна тачка поклапа са почетном тачком

вектора a , а крајња са крајњом тачком вектора b , при чему је вектор b надовезан на вектор a

.

Супротан вектор вектору a , у ознаци - a је вектор који има исту дужину и исти правац као

вектор a , али супротан смер.

3. Производ вектора a и скалара R∈α је вектор ab α= за који важи:

1) ab α= ,

2) b је колинеаран са a ,

3) ако је 0>α , тада a и b имају исти смер, а ако је 0<α , тада a и b имају супротан смер.

4. Скаларни производ вектора ( )321 ,, aaaa = и ( )321 ,, bbbb = је број дат са

( )babababababa ,cos332211 ∠=++=⋅ . Ова релација нам омогућава да се нађу следеће величине:

32

22

21 aaaa ++= , ( )

23

22

21

23

22

21

322211,cosbbbaaa

babababa

++++

++=∠ .

5. Пројекција вектора a на вектор b је скалар

( )b

babaaproj

a

b

⋅=∠= ,cos .

6. Векторски производ вектора a и b је вектор c , у ознаци bac x= , који је одређен на следећи

начин:

1) ( )babac ,sin ∠= , тј. дужина вектора c бројно је једнака површини паралелограма

конструисаног над векторима a и b .

2) ac ⊥ , bc ⊥ ,

3) a , b и c чине десни систем вектора.

Особине векторског простора:

1) abba xx −= ,

2) ( ) ( ) ( )bababa ααα xxx == ,

3) ( ) cabacba xxx +=+ .

Ако су вектори a и b дати преко координата ( )321 ,, aaaa = , ( )321 ,, bbbb = онда је:

321

321

x

bbb

aaa

kji

ba = .

Став: Вектори a и b су колинеарни ако је 0x =ba .

7. Мешовити производ вектора a , b и c је скалар одређен са ( )cba x⋅ .

Ако су вектори дати преко координата ( )321 ,, aaaa = , ( )321 ,, bbbb = , ( )321 ,, cccc = , онда је:

( )321

321

321

x

ccc

bbb

aaa

cba =⋅ .

Запремина паралелепипеда конструисаног над векторима a , b , c једнака је ( )cbaV x⋅= .

Запремина тетраедра конструисаног над векторима a , b , c једнака је ( )cbaVT x6

1 ⋅= .

Став: Вектори a , b и c су компланарни ако је ( ) 0x =⋅ cba .

Задаци:

1. Задата је правилна четворострана пирамида са базом ABCD и врхом V.

Изразити векторе VD , CV , CA , VB преко вектора pAD = , qAV = и rBA = .

Решење:

pqVD +−= ,

rpqCV +−= ,

prCA −= ,

qrVB −−= .

Слика 3.1

2. Дата је коцка 1111 DCBABCDA ивице 4=a . Тачка М је средиште горње основе 1111 DCBA , а N

средиште стране 11BBCC . Наћи дужине вектора AM и AN .

Решење:

⇔

( )4,2,22 24 =++= jikAM ,

62241644 ==++=AM ,

( )2,2,422 4 =++= kjiAN ,

624416 =++=AN .

Слика 3.2

3. Показати да су вектори ( )2,3,1−=a , ( )4,3,2 −−=b и ( )6,12,3−=c компланарни и изразити вектор

c као линеарну комбинацију вектора a и b .

Решење:

a , b , c компланарни ⇔ ( ) 0x =⋅ cba .

Како је

( ) 0364818483618

6123

432

231

x =−−−++=−

−−−

=⋅ cba , то су вектори a , b , c компланарни и тада

је bac βα += , тј.

( ) ( ) ( )4,3,22,3,16,12,3 −−+−=− βα , одакле је

=−−=+−

⇔=−

−=+−⇔

=−=−

−=+−

4

32

3:/1233

32

642

1233

32

βαβα

βαβα

βαβαβα

1

5

1

32

==

⇔

=−=+−

⇔βα

ββα

тј. bac += 5 .

4. Дате су тачке ( )5,3,1A , ( )1,0,2−B , ( )1,1,1C и ( )1,2,3 −−D .

a) Испитати линеарну зависност вектора AB , AC , AD ;

б) Одредити јединични вектор 0a у смеру вектора ACBAa2

1+= ;

ц) Одредити координате тачке Е тако да ABDE буде паралелограм.

Решење:

a) ( )4,3,3 −−−=AB , ( )4,2,0 −−=AC , ( )6,5,2 −−=AD .

Вектори AB , AC и AD су линеарно независни ако из

0 ,0 ,00 ====++ γβαγβα ADACAB .

+

( ) ( ) ( ) 06,5,24,2,04,3,3 =−−+−−+−−− γβα ако је

0644

0523

02 3

=−−−=−−−=+−

γβαγβαγα

.

Како је вредност детерминанте овог система једнака 032 ≠ , то овај хомогени систем има

само тривијално решење, тј. 0 ,0 ,0 === γβα , што значи да су вектори AB , AC и AD

линеарно независни.

б) ( )4,3,3=BA , ( )2,1,02

1 −−=AC ,

( )2,2,32

1 =+= ACBAa , 17449 =++=a ,

( )2,2,317

10 =a .

ц) Да би ABDE био паралелограм мора ABED = .

( )zyxED −−−−−= 1 ,2 ,3 , ( )4,3,3 −−−=AB .

ABED = ако је

3z

tj.,1

6

41

32

33

y

x

z

y

x

===

−=−−−=−−−=−

тј. тражена тачка је Е(6.13).

Слика 3.3

5. Дати су вектори ( )3,4,41 =a , ( )1,2,72 =a , ( )6,1,43 =a и ( )λ,9,5=b .

Одредити λ из услова да се b може приказати као линеарна комбинација вектора 1a , 2a , 3a .

Решење:

Прво покажимо да су вектори вектора 1a , 2a , 3a линеарно независни, тј. да из

0 0, ,00321 ====++ γβαλβα aaa .

( ) ( ) ( ) 06,1,41,2,73,4,4 =++ γβα

ако је

063

024

047 4

=++=++=++

γβαγβαγβα

.

Како је вредност детерминанте система једнака 0111 ≠− , то овај хомогени систем има само

тривијално решење тј.

0 ,0 ,0 === γβα ,

што значи да су вектори 1a , 2a и 3a линеарно независни па чине базу у 3R .

Одатле, било који вектор може се приказати на јединствен начин као њихова линеарна

комбинација, тј. λ може бити произвољан број.

6. Доказати да се све три висине троугла секу у једној тачки.

Доказ:

Треба показати да је вектор c (вектор са почетком у темену C и крајем у пресеку висина

спуштених из темена А односно B на супротну страницу) нормалан на вектор a - b (то је

супротна страница троугла врху C).

Из претпоставке имамо

( ) 0=−⋅ acb , ( ) 0=−⋅ bca .

Одузимањем ових двеју једнакости добијамо

( ) ( ) 0=⋅−⋅=⋅−⋅−⋅−⋅ cacbbacaabcb , тј. ( ) 0=−⋅ bac односно bac −⊥ , што је и требало

доказати.

Слика 3.4

7. Доказати да су радијус вектори

kjia 105 10 +−= , kjib 102 11 +−−= и kjic 514 2 −−−= ивице коцке.

Доказ:

225100251002

=++=a ,

22510041212

=++=b , cba == ,

2252519642

=++=c .

( ) ( ) ( ) baba ⊥=++−=⋅+−⋅−+−⋅=⋅ 0100101101010251110 ,

( ) ( ) ( ) ( ) caca ⊥=−+−=−⋅+−⋅−+−⋅=⋅ 0507020510145210 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cbcb ⊥=−+=−⋅+−⋅−+−⋅−=⋅ 0502822510142211 .

Пошто су дужине ивица једнаке и сваке две ивице су међусобно нормалне, следи да су то ивице

коцке.

8. Одредити параметар λ тако да вектори

kjia 34 3 −+= и kjib 22 +−= λ буду међусобно нормални.

Решење:

0=⋅ba даје 0683 =−−λ тј. 3

14=λ .

9. Дати су вектори . ( )5,3,5 −−=a и ( )3,2,7=b .

Израчунати: а) ba ⋅ ; б) ( ) ( )baba +⋅− 223 ; ц) ( )2ba − .

Решење:

a) ( ) ( ) 1415635352375 =−−=⋅−+⋅−+⋅=⋅ba ;

б) ( )15,9,153 −−=a , ( )6,4,142 =b , ( )21,13,123 −−=− ba

( )10,6,102 −−=a , ( )7,4,172 −−=+ ba ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2161475217721413171223 =++=−⋅−+−⋅−+⋅=+⋅− baba .

ц) ( )8,5,2 −−−=− ba ,

( ) ( ) ( ) ( ) 93642548522222

=++=−+−+−=− ba .

10. Извести векторски Питагорину теорему.

Доказ:

Слика 3.5

cba −=+

Ако квадрирамо скaларно ову једначину, из нормалности вектора a и b ( )0=⋅ba следи

( ) 222222

2 cbabbaaba =+=+⋅+=+ .

11. Одредити угао α између вектора kjia −+= 3 5 и kjib 47 2 ++= .

Решење:

( )( )

⋅

=++⋅−++

⋅−+⋅+⋅=⋅=6935

27

472135

417325cos

222222ba

baα6935

27arccos

⋅=α .

12. Дата су темена четвороугла ( )2,2,1 −A , ( )0,4,1B , ( )1,1,4−C и ( )3,5,5 −−D .

Доказати да су дијагонале AC и BD нормалне.

Доказ:

( )1,3,5 −−=AC , ( )3,9,6 −−=BD .

Како је

032730 =−−=⋅ BDAC , то је BDAC ⊥ .

13. Одредити угао између дијагонала паралелограма чија су темена ( )0,2,3 −−A , ( )1,3,3 −B , ( )2,0,5C

и ( )1,1,1−D .

Решење:

Слика 3.6

( ) ( )DBACdd ,, 21 ∠=∠ ,

( )2,2,8=AC , ( )0,4,4 −=DB .

Како је

( ) ( )( ) 2

1

3272

24

044228

024248,cos

222222=

⋅=

+−+⋅++

⋅+−⋅+⋅=∠ DBAC .

то је ( ) o60, 21 =∠ dd .

14. Одредити λ тако да вектор ( )kjia λλ −++= 1 2 заклапа једнаке углове са векторима:

jib 3 +−= и kjic 8 5 +−= .

Решење:

( ) ( )caba ,, ∠=∠ тј. ca

ca

ba

ba ⋅=⋅ одатле је

( )64125

18110

91

32

++−+−=

++− λλλ

тј. 90

72

10

32 +=+− λλ одакле је

7296 +=+− λλ ,

λ82 = , тј. 4

1=λ .

15. Одредити вектор x из услова 1=⋅ ax , 2=⋅bx , 3=⋅cx где је ( )3,4,2 −=a , ( )5,1,3 −=b и

( )4,2,1 −=c .

Решење:

( )zyxx ,,=

( )( )⇔

−−

=+−=+−=+−

⇔

=+−=⋅=+−=⋅=+−=⋅ 32

253

1342

342

3423

2532

13421

zyx

zyx

zyx

zyxcx

zyxbx

zyxax

1

0

1

775

55

342

==

−=⇔

−=−−=−=+−

⇔z

y

x

zy

z

zyx

( )1,0,1−=x .

16. Одредити угао између вектора a и b ако је

nma += 2 , nmb 32 −= , 2== nm , ( )3

,π=∠ nm .

Решење:

( ) 4,cos2

==∠=⋅ mmmmmmm

( ) 4,cos2

==∠=⋅ nnnnnnn

( ) 22

14,cos =⋅=∠=⋅ nmnmnm ,

( ) ( ) =⋅−⋅+⋅−⋅=−⋅+=⋅ nnmnnmmmnmnmba 3264322

443222644 −=⋅−⋅+⋅−⋅= ,

( ) ( ) 2844416224222

=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+= nnmnnmmmnmnma ,

( ) ( ) 2836121216966432322

=+−−=⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅−= nnmnnmmmnmnmb

( ) ( )

−=∠−=−=−=⋅=∠7

1arccos,

7

1

28

4

2828

4,cos ba

ba

baba .

17. Ако је 2=a и 5=b , ( )3

2,

π=∠ ba . Одредити за коју ће вредност коефицијента α вектори

bap 17+= α и baq −= 3 бити узајамно нормални.

+

+

Решење:

Из ( )( ) ( ) ( ) 01751331722

=−⋅−⋅+=−+=⋅ bbabaababaqp ααα ,

следи ( ) 04253

2cos525112 =−⋅⋅−+ παα , тј. 68017 =α , одакле је 40=α .

18. Наћи дужину краће дијагонале паралелограма конструисаног над векторима qpa 25 += и

qpb 3−= , ако је 22=p , 3=q и ( )4

,π=∠ qp .

Решење::

( ) ( ) =−⋅−=−⋅+=⋅22

6135325 qqppqpqpba

92547840964

cos32213245 −=−−=⋅−⋅⋅−⋅⋅= π.

Слика 3.7

( ) ( ) ( ) 356420252525222

=+⋅+=+⋅+= qqppqpqpa ,

( ) ( ) ( ) 539633222

=+⋅−=−⋅−= qqppqpqpb ,

( ) ( )2

,35653

92,cos

π>∠−=⋅=∠ ba

ba

baba ,

па је краћа дијагонала

qpbac −=+= 6 .

( ) ( ) ( ) 1522512366622

==+⋅−=−⋅−=⋅ cqqppqpqpcc .

19. Дати су вектори nma 32 += и nmb 2+= при чему је 1=m , 2=n , ( )3

2,

π=∠ nm . Одредити

пројекцију вектора b на вектор a .

Решење:

( ) ( ) =+⋅+⋅+=+⋅+=⋅22

6342232 nnmnmmnmnmba

192472462

12172 =+−=⋅+

−⋅⋅⋅+= ,

( ) ( ) =+⋅+⋅+=+⋅+=222

96643232 nnmnmmnmnma

2836124492

121124 =+−=⋅+

−⋅⋅+=

727428 =⋅==a ,

72

19=⋅=a

baproj

b

a.

20. Израчунати ba 2x ако је 6=a , 5=b и ( )6

,π=∠ ba .

Решење:

302

1106

6sin22x =⋅⋅=⋅= π

baba

21. Наћи површину паралелограма конструисаног над векторима jia 3 2 += и kjb 23 += .

Решење:

( )6,4,664 6

230

032

x −=+−== kji

kji

ba ,

22288361636x ==++== baP .

22. Дата су темена троугла ( )2,1,1 −A , ( )2,6,5 −B , ( )13,1 −C . Одредити дужину његове висине

спуштене из врха B на страницу AC.

Решење:

( )0,5,4 −=AB , ( )3,4,0 −=AC ,

( )16,12,151612 15

340

054

x =++=−

−= kji

kji

ACAB

Слика 3.8

2

25625

2

1256144225

2

1x

2

1 ==++==∆ ACABP ,

59160 =++=AC ,

55

252

2===⋅= ∆

∆AC

Ph

hACP .

23. Дати су вектори nma 32 += и nmb 2+= при чему је 1=m , 2=n , ( )3

2,

π=∠ nm .

Израчунати површину паралелограма одређеног векторима a и b .

Решење:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nmnnnmnmmmnmnmba xx6x3x4x22x32x =+−+=++= ,

sinxx nmnmba == ( ) 32

321, =⋅⋅=∠ nm .

24. Дате су тачке ( )2,1,0A , ( )1,0,2B , ( )0,1,3C . Одредити четврто теме паралелограма ABCD.

Израчунати површину паралелограма и угао између његових дијагонала.

Решење:

Слика 3.9

Да би ABCD био паралелограм мора DCAB = .

( )1,1,2 −−=AB , ( )z- ,1 ,3 yxDC −−= . DCAB = ако је

( )1,2,1D je tačta tražena

1z

tj.,2

1

1

11

23

===

−=−−=−

=−y

x

z

y

x

( )1,1,2 −−=AB , ( )1,1,1 −=AD ,

( )3,1,23 2

111

112

x =++=−−−= kji

kji

ADAB ,

14914x =++== ADABP .

( )2,0,3 −=AC , ( )0,2,1 −=DB ,

( )513

3

041409

003,coscos =

++++++=⋅=∠=

DBAC

DBACDBACϕ .

25. За коју вредност коефицијента α ће вектори bap 5+= α и baq −= 3 бити колинеарни ако

вектори a и b нису колинеарни.

Решење:

Пошто су p и q колинеарни мора бити 0=qxp , тј.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=−−−=−+= bbbabaaababaqp x5x15xx33x5x ααα

( )( ) 0x15 =+−= baα .

Како a и b нису колинеарни следи да је 015 =+α тј. 15−=α .

26. Израчунати запремину паралелепипеда чија су четири суседна врха у тачкама ( )2,1,1A , ( )1,3,2 −B

, ( )4,2,2 −D , ( )3,1,1−E .

Решење:

Слика 3.10

( )3,2,1 −=AB , ( )2,3,1 −=AD , ( )1,0,2−=AE .

( ) 5

102

231

321

x =−

−−

=⋅ AEADAB ,

па је запремина паралелепипеда 5=V .

27. Дати су вектори ( )1,0,1 −=a и ( )3,3,1 −=b .

a) Одредити вектор ( ) abax 2x −= ;

б) Израчунати запремину тростране пирамиде конструисане над векторима a , b и x .

Решење:

a) ( )3,2,332 3

331

101

x =++=−−= kji

kji

ba , ( )5,2,1=x ;

б) ( ) 22

521

331

101

x =−−

=⋅ xba .

Запремина тетраедра је

( )3

11

6

22x

6

1 ==⋅= xbaVT .

28. Доказати да су тачке ( )1,2,1 −A , ( )5,1,0B , ( )1,2,1−C и ( )3,1,2D компланарне.

Доказ:

Довољно је показати да су вектори AB , AC и AD компланарни.

( )6,1,1 −−=AB , ( )2,0,2−=AC , ( )4,1,1 −=AD .

Пошто је ( ) 0

411

202

611

x =−

−−−

=⋅ ADACAB то су тачке A, B, C, D компланарне.

29. Одредити висину паралелепипеда конструисаног над векторима kjia 3 2 −+= , kjb +−= 2 ,

kjic −+= 4 где је основа паралелепипеда паралелограм конструисан над векорима a и b .

Решење:

( ) 9

141

120

312

x −=−

−−

=⋅ cba , 99 =−=V ,

( )4,2,542 5

120

312

x −−−=−−−=−

−= kji

kji

ba ,

534516425x ==++== baP ,

5

53

5

3

53

9 ====P

VH .

30. Дата су темена тетраедра ( )1,3,2A , ( )2,1,4 −B , ( )7,3,6C и ( )8,4,5 −−D . Наћи дужину његове висине

спуштене из темена D.

Решење:

( )3,2,2 −−=AB , ( )6,0,4=AC , ( )7,7,7 −−=AD .

Слика 3.11

( ) 308

777

604

322

x =−−

−−=⋅ ADACAB ,

6

308=V ,

( )8,24,12824 12

604

322

x −−=+−−=−−= kji

kji

ACAB ,

14282

1784

2

164576144

2

1x

2

1 =⋅==++== ACABP ,

1114

154

14

6

3083

3

3==

⋅==

⋅=P

VH

HPV , 11=H .

31. Израчунати запремину паралепипеда конструисаног над векторима rqpa +−= 3 ,

rqpb 32 −+= и rqpc ++= 2 где су p , q и r узајамно нормални ортови.

Решење:

( )cbaV x⋅=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++−+⋅+−=⋅ rqprqprqpcba 2x323x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+++++⋅+−= qqpqrpqppprqp x2xx2x4x23

( ) ( ) ( ) ( )=−−−+ rrqrprrq x3x6x3x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅ pqrqprprqrpqqrprqp xx4x9x6x6x

( ) ( ) ( ) ( )rqpqprprqrqp x25x3x15x7 ⋅=⋅+⋅+⋅=

25=V (јер су p , q и r јединични).

32. Дати су вектори ( )0,1,1 λ−−=a , ( )λ,2,0=b , ( )1,2,2=c

a) Одредити λ тако да дати вектори буду компланарни;

б) За нађено λ испитати да ли су вектори b и c узајамно нормални.

Решење:

a) ( ) ( ) ( ) =−−−−+−+−=−−−−

=⋅ 0200122

22

20

11

122

20

011

x λλλλ

λλ

cba

02422222 22 =−+−=−++−= λλλλλ ,

0122 =+− λλ ,

12

4422,1 =−±=λ ;

б) ( )1,2,0=b , ( )1,2,2=c .

Како је 05112220 ≠=⋅+⋅+⋅=⋅cb , то b и c нису узајамно нормални.