· web viewteda máme jednu samičku a jedného samca, pričom predpokladajme, že samička bude...

ZLATÝ REZ – UMELO VYTVORENÁ KRÁSA?

AUTORI: KONZULTANTI:

Lucia Lichvárová Ivica Baratková – UK

Michaela Meliorisová Ján Žabka - MAT

Silvia Opaterná Daniel Pollák – BIO

1. Heralds

2016

Zlatý rez – umelo-vytvorená krása? 1.Heralds

Čestné prehlásenie:

Čestne prehlasujem, že som pracoval samostatne v súlade s etickými normami, som autorom tohto projektu a všetku literatúru, z ktorej som čerpal so uviedol v zozname použitej literatúry.

................................ ................................... ..................................Lucia Lichvárová Michaela Meliorisová Silvia Opaterná

2


Poďakovanie:

Týmto by sme chceli poďakovať všetkým našim konzultantom za ich veľmi ochotnú spoluprácu a pozitívnu podporu, ktorá nám veľmi pomohla.

3


ObsahÚvod 6História zlatého rezu 7

Euklides 7

Pytagorejci 8

Platón 8

Luca Pacioli 9

Fibonacci 9

Fibonacciho postupnosť čísel 10

Králiky 10

Kvadratické rovnice 13Zlatý rez v prírode 15

Logaritmická špirála 15

Matematika v zelenine 15

Ľudská božská proporcia 16

Je zlatý rez potrebný pre prežitie v prírode? 16

Zlatý rez v hudbe 17

Proporcie tváre 17

Využitie v súčasnosti 19Sú objekty so zlatým rezom atraktívnejšie? 19

Gustav Fechner 19

Tretinový princíp 20

Umenie 21Vitruviánsky muž 21

Proporcie 21

Freska Zrodenie Adama 22

Modulor 22

. Mona Lisa 23

Madona v skalách 24

Prvý obraz 25

Druhý obraz 25

Posledná večera 26

Kompozícia 26

4


Je zlatý rez v umení kľúčový? 27

Rozmery diel.......................................................................................................27

Záver 29Resumé 30Summary 32Resümee 34Bibliografia 36

5


ÚvodV tomto projekte je naším cieľom zistiť, kde všade sa zlatý rez nachádza, ako

ho spoznáme a či je to naozaj niečo také výnimočné, alebo ho len ľudia takým

urobili. Budeme sa zaoberať Euklidom, Leonardom da Vincim, Fibonaccim a

ďalšími ľuďmi, ktorí sa sami zaujímali o zlatý rez a veľmi prispeli k jeho

objasňovaniu, teda vysvetleniu, čo zlatý rez je. Chceme sa bližšie pozrieť na

slávne umelecké diela a zistiť či v nich zlatý rez hrá naozaj tak veľkú úlohu.

Znamená výskyt zlatého rezu estetickú príťažlivosť? Budeme hľadať spôsob,

ktorým sa dostaneme k žiadanému pomeru a hodnote, ktorá je známa ako zlatý

rez. To, ako je reálne dôležitý, nás zaujíma aj v prírode, pri rastlinách či

živočíchoch. Je teda zlatý rez len niečím, čo ľudia nasilu vidia či hľadajú vo

veciach?

6


História zlatého rezuZlatý rez je číslo s nekonečným počtom desatinných miest, podľa niektorých

symbolizujúce krásu. Tento pomer sa nachádza v mnohých prípadoch, najmä v

prírode a umení. Zlatý rez je číslo, zaokrúhlene 1,61803. Nazýva sa často ako

„phi“ - , čo je dvadsiate prvé písmeno gréckej abecedy. K tomu ako sme saⲪ

dostali práve k číslu 1,618 sa dostaneme neskôr. Toto číslo sa dá najlepšie

definovať pomocou pomerov častí úsečky.

EuklidesAko prvý tento pomer zadefinoval v roku 300 p.n.l. alexandrijský matematik

Euklides (žil od roku 340 p.n.l. do roku 287 p.n.l.) vo svojej knihe Základy, a to ako

krajný a stredný pomer v úsečke.

“Úsečka sa rozdelí v krajnom a strednom pomere vtedy, keď je celá úsečka

k jej dlhšiemu dielu tak, ako je dlhší diel ku kratšiemu.“ Vysvetlené teda na danom

obrázku:

Inak povedané, keď sa pozrieme na obrázok, vidíme, že úsečka AC je dlhšia

než úsečka CB a zároveň je úsečka AB dlhšia než úsečka AC. Ak platí, že pomer

úsečiek AB ku AC je rovnaký, ako pomer úsečiek AC ku CB, je táto úsečka

rozdelená v krajnom a strednom pomere, respektíve, v zlatom reze.

ABAC =

ACCB

7


Pytagorejci

Existenciu tohto čísla - vtedy sa nazývaného “tau” - τvšak úplne prvýkrát

ľudia spozorovali už v staroveku. Vtedy sa mu mimo Euklida venovali aj

Pytagorejci. Keď sa ľudia o čísle dozvedeli, spôsobilo to historicky filozofickú krízu.

Samotní Pytagorejci verili v to, že za jeho existenciu môže chyba v kosme, ktorú je

treba uchovať v tajnosti. Vraví sa, že v bezradnosti po tomto zistení obetovali 100

volov. Čo je však dosť nepravdepodobné, nakoľko bol sám Pytagoras vegetarián a

viedol k tomu aj všetkých svojich učencov.

Platón

Sám Euklides vo svojich Základoch venoval celú poslednú časť výtvoru

najvýznamnejšieho filozofa Grécka - Platóna (žil cca od 427 p.n.l. do 347 p.n.l.).

Platón založil školu, často označovanú za prvú európsku univerzitu, s názvom

Akadémia, kde bola vyučovaná matematika a filozofia. Platón sa mimo iných

podstatných objavov vo svojom živote venoval aj zlatému rezu, konkrétne zlatému trojuholníku. Tento trojuholník je rovnoramenný a je v ňom zlatý rez znázornený

v pomere odvesien ku základni, čo je teda . Pomocou tohto trojuholníka zostrojilⲪ

aj pravidelný päťuholník, ktorý v následne použil v trojrozmernom priestore. Prišiel

na to, že existuje len päť pravidelných trojrozmerných telies: štvorsten, kocka,

osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten, ktorých steny tvoria rovnaké pravidelné n-

uholníky (resp. trojuholníky a päťuholníky). Tieto telesá sa po ich objaviteľovi

nazývajú Platónske telesá. Štvorsten, kocku, osemsten a dvadsaťsten považoval

za predstaviteľov štyroch základných živlov, teda oheň, zem, vzduch a vodu. A

dvanásťsten v jeho očiach predstavoval všetko, čo existuje.

Neskôr v období stredoveku a renesancie (kedy sa umenie a veda opierala o

antiku,) bol pomer nazvaný ako “božský” (divina proportio). Oficiálne bol tak

8

Platónske telesá


nazvaný napríklad v knihe renesančného matematika Luca Pacioliho vydanej roku

1509, menom “O božskom pomere”, ktorá bola ilustrovaná Leonardom da Vincim.

Luca PacioliPacioli bol taliansky matematik, ktorý napísal viacero kníh. Jedna z týchto

kníh bola zameraná na zlatý rez. Volala sa De Divina Proportione, bola

publikovaná v roku 1509 a ilustroval ju sám Leonardo da Vinci. Táto kniha sa delí

na tri časti. Prvá časť Compendio divina proportione (Súhrn Božského podielu) sa

venuje zlatému rezu z matematického hľadiska a má 71 kapitol. Okrem zlatého

rezu sa v nej venuje aj mnohostenom (geometrickým telesám). Druhá časť sa

zaoberá proporciami ľudského tela, aj tváre. Rovnako skúma spojitosti tejto

tématiky medzi matematikou a architektúrou. Táto časť má dvadsať kapitol a volá

sa Rozprava o architektúre, Trattato dell'architettura. V tretej časti Libellus in tres

partiales divisus (Kniha rozdelená na 3 časti) sa venuje aritmetike a geometrii. Pri

zlatom reze môžeme pozorovať prepojenie alebo teda súvis zlatého rezu aj s

Fibonacciho postupnosťou čísel. Fibonacci bol taliansky matematik, ktorý žil na

prelome dvanásteho a trinásteho storočia. Meno Fibonacci bola iba prezývka, jeho

skutočné meno bolo Leonardo Pisano Bogollo. Jeho priezvisko znamená to že bol

pôvodom z Pisy, čo je mesto v Taliansku. Ak by sme preložili jeho prezývku

FibonacciFibonacci, dostali by sme syn Bonacciho, teda syn dobráka. Jeho otca

nazývali jeho priatelia dobrák a preto jeho synovi teda zostala prezývka Fibonacci.

Aj napriek tomu, že sa narodil v Taliansku, cestoval so svojím otcom, ktorý bol

diplomatom. Práve kvôli tomuto cestovaniu študoval v Alžírsku v Severnej Afrike v

prístavnom meste Bejaia. Práve tu ho začala inšpirovať matematika natoľko, aby

napísal knihu Liber abaci, v preklade Kniha výpočtov alebo Kniha abakusu. Táto

kniha sa dá rozdeliť do troch sekcií.

V prvej sekcií sa venoval najmä tomu aby vysvetlil prečo sa mu zdá, že

arabská číselná sústava má väčšiu perspektívu a lepšie využitie ako rímska

číselná sústava. Začiatok knihy začína vetami, teraz citujem: „Toto je deväť číslic

Indov: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Týmito číslicami, ako aj znakom 0, ktorý sa v arabčine

nazýva ‘zefirum’ (‘sifr’), môžeme zapísať, ktorékoľvek číslo, ako ukážeme.” Taktiež

si načrtol alebo navrhol ako budú číslice vyzerať, pričom sa inšpiroval stále

arabskými číslicami.

9


V druhej sekcií sa venuje problému mnohých

obchodníkov. Tieto problémy sa vzťahujú najmä na

ceny produktov, profitovaniu z obchodov a ako

správne používať menu, ktorá bola rôzna v

niektorých častiach Stredomoria.

Fibonacciho postupnosť čísel

V tretej sekcií sa venuje problému, ktorý je

najznámejší pre verejnosť. Venuje sa istej

postupnosti čísel, ktorá sa teraz nazýva

Fibonacciho postupnosť a vysvetľuje to na príklade

ideálneho alebo dokonalého párenia králikov.

Predpokladajme, že dáme čerstvo narodený pár

králikov do uzavretého priestoru. Teda máme

jednu samičku a jedného samca, pričom predpokladajme, že samička bude

schopná mať prvé potomstvo vo veku jedného mesiaca. Ďalej predpokladajme, že

potomstvo bude mať rovnako každý mesiac teda jedného samca a jednu samičku

a žiadny králik, či už samec alebo samička neumrie. Taktiež predpokladajme, že aj

potomstvo sa bude rovnako reprodukovať. Otázka teda znie, koľko párov králikov

bude v priestore o rok ak rátame každý jeden počatý pár, či už od prvej samičky

alebo od jej potomstva?

Výsledkom bude istá postupnosť, ktorá má presne dané čísla a dá sa

vypočítať. Táto postupnosť sa začína číslami: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a tak ďalej. Dá sa

to spočítať takým spôsobom, že každé nasledujúce číslo je súčtom dvoch

10

Náčrt Fibonacciho čísel v arabskej číselnej sústave

Rozmnožovanie králikov


predošlých. Ak by sme ďalej skúmali túto postupnosť dostali by sme sa k zlatému

pomeru. Ak by sme vydelili ktorýkoľvek pár v poradí (druhý člen/prvý člen) dostali

by sme čísla, ktoré by mali blízko k pomeru približne 1,62, čo je zlatý rez. Toto

delenie môžeme pozorovať aj v prírode. Ak by sme napríklad vydelili počet

pravotočivých a ľavotočivých špirál semiačok na slnečnici, dostali by sme znovu

hodnotu približne 1,6. K tomu, ako inak dokážeme prísť na zlatý rez sa dostaneme

neskôr. Okrem králikov uvádzal Fibonacci v tretej sekcii príklady ako napríklad:

„Keď pavúk vyšplhá po stene istý počet krokov každý deň a skĺzne sa dole o

presne dané číslo počas noci, ako dlho mu trvá vyšplhať celú stenu?” Ďalší príklad

mal znenie: „Pes, ktorého rýchlosť sa

pravidelne zväčšuje, naháňa zajaca,

ktorého rýchlosť sa tiež pravidelne

zväčšuje. Koľko dráhy prejdú, kým pes

chytí zajaca?”

V tejto knihe si robil Fibonacci aj pár

náčrtov, pri postupnosti si zapísal aj

pomenovanie niektorých začiatočných

čísel z postupnosti. Fibonacci vo svojom

vysvetlení síce uviedol ideálne párenie

králikov, ale otázkou je, či by malo toto

ideálne párenie nejaký pozitívny vplyv na

prírodu alebo naopak, či by to malo práve

negatívny vplyv. V realite je to tak, že

králiky sú síce schopné páriť sa už ako 12

týždňové ale fyzicky sú na to pripravené až od 6 mesiacov. Ich gravidita síce trvá

priemerne 1 mesiac, čo je totožné s

Fibonacciho príkladom, ale ďalšia vec, v ktorej sa jeho príklad líši od reality je fakt,

že nie vždy prežijú každé novonarodené králiky a rozhodne žiadny králik nie je

nesmrteľný. Ak by sa králiky rozmnožovali bez toho, aby umierali, nastal by veľký

problém v prírode. Ak by sme chceli opísať tento problém, môžeme ho porovnať

so situáciou, ktorá vzniká v Austrálii po tom, ako Angličania priniesli na nové

územie jeden pár králikov. Tieto králiky nemali žiadneho prirodzeného nepriateľa a

tak sa mohli rozmnožovať vo veľkých počtoch a ich úmrtnosť nebola až taká

vysoká. Výsledkom celej tejto situácie bolo premnoženie králikov, ktorí sa živili z

11

Pomenovania prvých čísel z Fibonacciho postupnosti


potravy, ktorá bola prvotne pre pôvodnú zver, čo znamenalo, že pôvodná zver

začala chabnúť a postupne zmenšovať svoje zastúpenie. Narušil sa teda

potravinový reťazec, čo spôsobilo problémy v prírode. Preto je toto ideálne párenie

králikov nie tak výhodné a ideálne pre prírodu.

Aby sme to zhrnuli. Fibonacci síce objavil istú

postupnosť/ sekvenciu, ale vysvetlenie na

králikoch nie je tak presné, lebo sa pri ich

rozmnožovaní zlatý rez nemusí vždy vyskytovať.

Postupnosť dokážeme zobraziť aj na

logaritmickej špirále. (obr.13) Ak by sme do

obdĺžniku dali štvorce so stranou, ktorá je vo Fibonacciho postupnosti, prišli by

sme na to, že veľkosti presne pasujú a dá sa do obdĺžnika vložiť špirála, ktorá

nebude vyčnievať. Je to aj kvôli tomu, že vo Fibonacciho postupnosti dostanete

nasledujúce číslo po sčítaní dvoch predošlých. K tomu, na akých iných

predmetoch môžeme nájsť špirálu, sa dostaneme neskôr.

Ďalšia z jeho významnejších kníh s názvom Di minor guisa vyjadruje

Fibonacciho komentár na knihu od Euklida: Základy, ktorá obsahuje číselnú

úpravu iracionálnych čísel, ku ktorým sa vyjadril z geometrickej stránky. Do

iracionálnych čísel patrí napr. √2 či π. Jedna z jeho ďalších kníh Practica

geomertiae sa zaoberá mnohými geometrickými problémami, ktoré sú založené

znova na knihe od Euklida: Základy.

12


Kvadratické rovniceAko môžeme vidieť, Euklides bol naozaj dôležitý pri teórii zlatého čísla

celkovo. Fibonacci nápodobne. Obaja najmä z matematického hľadiska. Vráťme

sa teda na chvíľu ešte k tým matematickým základom, presnejšie k Euklidovej

úsečke. Platí o nej všetko tak isto, ako predtým, iba si celú jej dĺžku označíme ako

1 a jej menšiu časť ako x. Jej väčšiu časť teda budeme znázorňovať ako 1-x.

Pomer úsečiek z obrázku vieme: celá úsečka k jej väčšej časti je v rovnakom

pomere, ako jej väčšia časť k jej menšej časti, teda 11−x=

1−xx . Toto môžeme

vyriešiť ako kvadratickú rovnicu. Dostaneme sa k výsledku, ktorý nám hovorí aká

dlhá je kratšia úsečka, ktorú sme si pomenovali ako x. Výsledok tejto rovnice výjde

3−√52

, čo sa rovná približne 0,38. Zapísať pomer tejto úsečky sa dá však aj inak,

respektíve 1x=

x1−x . Toto vyriešime ako kvadratickú rovnicu:

1x=

x1−x ¿ ⋅ x ⋅(1−x )

1−x = x2 ¿−(1−x)

0 = x2−(1−x)

0 = x2−1+x

Postupujeme ako pri bežnej kvadratickej rovnici, teda vyjadrením a,b,c:

a=1 ;b=1 ;c=−1. A následne:

x1,2¿−1∓√1−(4 ⋅ 1⋅(−1))

2 ⋅1

13


x1,2¿−1∓√1−(−4 )

2

x1,2¿−1∓√52

Teda:

x1¿−1+√52

=0,618

x2¿−1−√52

=−1,618

A v tomto momente je rovnica vyriešená a takto sa dá dopracovať k zlatému

rezu ako konkrétnemu číslu. Výsledky sme zaokrúhlili na 3 desatinné miesta. Pri

prvej rovnici nám x vyšlo okolo 0,38, toto číslo sa rovná kratšej časti úsečky.

Výsledok, ktorý nám vyšiel podľa druhej rovnice a rovná sa číslu okolo 0,618 je

dlhšia časť úsečky. Ak teda obe čísla sčítame, vyjde nám číslo 1, dĺžka celej

rovnice. 0,16 sa však stále nerovná číslu 1,618, resp. zlatému rezu. Ako znova

pripomíname, tak zlatý rez je pomer. Teda pomer tejto úsečky je 1:0,168, čo sa

rovná číslu 1,168. Zaujímavosťou je, že pokiaľ by sme 1 pripočítali ku 0,618 tiež

by sa to rovnalo číslu 1,618. To, či sa zlatý rez vyskytuje v danom objekte sa dá

zistiť aj inými spôsobmi.

14


Zlatý rez v prírode Logaritmická špirála Na to aby sme si overili, prípadne zistili, či je dielo na základe zlatého rezu,

môžeme použiť logaritmickú špirálu, ktorú umiestnime správne do obrazu.

Logaritmická špirála sa však nemusí umiestniť len do obrazov.

Nájdeme ju aj v prírode. Najlepším príkladom bude

zrejme ulita nautilus. Aj napriek tomu, že na pohľad

vyzerá táto ulita ako dokonalý príklad logaritmickej

špirály v skutočnosti to tak nie je. Ak by sme chceli

umiestniť logaritmickú špirálu v “zlatom obdĺžniku” do

ulity nautilus tak vyvrátime teóriu, že je to podľa

zlatého rezu. Ak by sme ale použili špirálu založenú

na Fibonacciho postupnosti, tak by sme mohli

povedať, že ulita nautilus je na základe zlatého rezu. Táto špirála

sa od stredu zväčšuje každých 90 stupňov práve podľa Fibonacciho postupnosti.

Práve táto špirála pasuje presne do ulity. Otázkou teraz je, je podstatné

umiestňovať špirálu do ulity na to aby sme mohli povedať, že istý predmet je

esteticky príťažlivý. Je potrebné hľadať vo všetkom matematiku a umelo vytvárať

ideálnu krásu. Je pravda, že každý človek si pod pojmom dokonalá krása pomyslí

niečo iné.

Matematika v zelenine

U obrazov sa dá teorizovať o tom, či maliar alebo

architekt využili božskú proporciu alebo tvorili

inštinktívne. V prírode je menej pravdepodobné, že je

niečo umelo vytvorená krása. Tým sa dostávame k

tomu, že aj v bežnej zelenie, či kvetoch sa zlatý rez

nachádza. Najčastejším príkladom je slnečnica. Zrná v

slnečnici rastú do ľavotočivých a pravotočivých špirál. Ak vydelíme tieto dva počty,

dostaneme hodnotu približne 1,6. Túto hodnotu dostaneme taktiež ak vydelíme

počty ľavotočivých a pravotočivých špirál pri šiške zo smreka alebo pri ananáse.

Vo všetkých týchto príkladoch platí Fibonacciho postupnosť. A to zďaleka nie je

všetko. Postavenie listov, postavenie kvetov, špirály v karfiole, v keli alebo v

brokolici a mnoho iných. Taktiež môžeme pozorovať logaritmickú špirálu pri kloch

15

Ulita nautilus – Logaritmická špirála

Ulita Nautilus – Fibonacciho postupnosť

Šiška zo smreka


mastodonta, rohu barana, pazúre mačky, tesákoch tigra šablozubého alebo pri

ľudských perách, ktoré sú jemne zakrivené. Všetky tieto príklady sú spôsobené

tým, že vnútorné tkanivo rastie rýchlejšie než vonkajšie.

Ľudská božská proporciaOkrem rastlín a zvierat môžeme pozorovať božskú proporciu v DNA. DNA je

34 Angströmov dlhá a 21 Angströmov široká. Pre vysvetlenie 1 Angström je

desatina nanometra. 21 a 34 sú znovu po sebe idúce čísla vo Fibonacciho

postupnosti. Keď už sme sa dostali k človeku je treba podotknúť že aj ukazovák

na ruke má svoju božskú proporciu. Ak by

sme zobrali ukazovák od končeku prsta až

po zápästie a ak jeden dielik sa rovná

nechtu tak počet dielikov každej kosti by

išiel ideálne postupne 2, 3, 5 a 8, čo sú čísla Fibonacciho postupnosti, tak máme

božskú proporciu. Taktiež ak by sme dali dlaň do päste tak by sme

mohli vytvoriť logaritmickú špirálu. Je potrebné hľadať túto ideálnu

krásu v ľuďoch? Čo keď táto ideálna krása nie je vôbec ideálna.

Mohla byť umelo vytvorená na potreby iného človeka, preto si

netreba robiť ťažkú hlavu z toho ak niekto nespĺňa dĺžky božskej

proporcie. Zaujímavosť, ktorá nie je úplne potvrdená je, že muchy,

ktoré sa pohybujú v našom uhle pohľadu veľmi nekoordinovane a

šialene sa v skutočnosti hýbu po trajektórii logaritmickej špirály.

Je zlatý rez potrebný k prežitiu? Snažili sme sa prísť na zistenie, či zlatý rez poskytuje nejaké výhody

respektívne nevýhody k prežitiu, či už rastlín alebo ľudí. Je veľmi náročné zistiť, či

zlatý rez ovplýva svojou existenciou život. Odpoveďou zisťovania bude fakt, že

môžeme a dokážeme dokázať prítomnosť zlatého rezu v prírode, ale často je jeho

prítomnosť iba estetickým faktom, ktorý nie je natoľko potrebný k prežitiu.

Dôkazom tohto tvrdenia je fakt, že sa vyskytli Fibonacciho čísla postupnosti vo

vzdialenostiach medzi konári topoľa, taktiež pri vzdialenosti medzi tŕňami na ruži

alebo dokonca vo vzdialenosti medzi žilkami v liste. Tieto pomery sú dôkazom

božskej proporcie, ale slúžia len na to aby okrášlili rastlinu zatiaľ čo geometria

bude napomáhať rastline natočiť sa k slnku a dostať čo najväčšiu výživu pre bunky

rastliny. Ak by sme chceli spomenúť presné pomery usporiadaných špirál tak by to

16

Ukazovák s božskou proporciou

Päsť s božskou proporciou


boli: borovicové šušky a ananás = 8:13, chryzantémy = 13:21, sedmokrásky =

21:34 a slnečnice = 21:34 a 55:89 a 144:233. Na všetky tieto pomery prišiel britský

botanik Peter Stevens, ktorý svoju analýzu začal s tým, že skúmal vrcholky zväzku

zelerových stoniek.

Zlatý rez v hudbeĎalším naším záujmom bolo zistiť ako súvisí hudba so zlatým rezom. Istý

maďarský skladateľ Béla Bartók zložil hudbu, ktorá je podľa zlatého rezu. Béla

Bartók bol taktiež klavirista a hudobný vec - etmomuzikológ. Ako jeden z mála

čerpal inšpiráciu z ľudovej hudby. Nevie sa, či bolo zámerom to, že v jeho hube sa

vyskytuje zlatý rez a preto sa sústredil maďarský teoretik Ernő Lendvai na to aby

odhalil pravdu. Ernő Lendvai bol prvým hudobným teoretikom, ktorý sa ako prvý

sústredil na hľadanie zlatého rezu a Fibonacciho postupnosti v hudbe. Na to aby

potvrdil, že Bartók skladal piesne podľa zlatého rezu napísal viac kníh, pričom v

každej sa venuje Bartókovi a jeho tvorbe. Zistil, že je možné, že Bartók skladal

podľa zlatého rezu lebo sa venoval štúdií rastlín a postaveniu listov, čo sú príklady

zlatého rezu. Taktiež našiel, že hlavný bod kulminačnej krivky v jeho skladbách bol

kúsok vychýlený teda kúsok za stredom alebo pred stredom respektívne v jednej

tretine, čo je bod zlatého rezu. Hlavná kulminácia, vyvrcholenie v bode zlatého

rezu je najpresvedčivejšia, čo je pre niektoré skladby dôležité.

Proporcie tváreLeonardo da Vinci meral proporcie tváre a dospel k zisteniu: Priestor medzi

ústnym otvorom a základňou nosa predstavuje jednu sedminu tváre...Priestor od

úst k brade je štvrtinou tváre. Rovnako aj šírka úst… Priestor medzi bradou a

základňou nosa je tretina tváre, rovnako aj priestor od nosa k čelu. Priestor od

stredu nosa k brade je polovica tváre… Ak rozdelíte dĺžku nosa, teda konca po

koreň, na štyri rovnaké časti, zistíte, že prvá z častí sa zhoduje s priestorom

začínajúci pod nosnými dierkami a končiacim na končeku nosa. Horná časť sa

zhoduje s priestorom od slzného kanálika vo vnútornom rohu oka po bod, v ktorom

začína obočie. Dve stredné časti majú veľkosť rovnajúcu sa vzdialenosti od

vnútorného k vonkajšiemu kútiku oka.1Leonardo da Vinci nebol jediný, ktorý sa

venoval proporciám na ľudskom tele. Proporcie človeka boli hlavným záujmom

sochárov. Pri sochách z obdobia klasického Grécka a Ríma sa dá všimnúť že

1 Atalay B.: Matematika a Mona Lisa. Bratislava: SLOVART, spol. s. r. o., 2007. ISBN 978-80-8085-265-8, str. 95

17


pomer celkovej výšku k pupku je práve phí. Neskôr v 20.storočí skúmal tieto

proporcie švajčiarsky architekt Le Corbusier a vytvoril Modulor, pri ktorom sú

najmä božské proporcie na človeku. K Moduloru sa dostaneme neskôr. Zlatý rez

by sa v dnešnej dobe mal vyskytovať aj v iných veciach, ako sú len rastliny či

živočíchy. Vieme ho nájsť od obyčajne používaných vecí, až po tie menej

obyčajné.

18


Využitie v súčasnostiSú objekty so zlatým rezom atraktívnejšie?

Síce sme zlatý rez spomenuli veľa krát v oblastiach

matematiky, biológie aj umenia, všetko sa týkalo dávnej

minulosti. Zlatý rez sa však využíva dodnes ako esteticky

príjemný faktor. Môžeme ho stále nájsť v dizajne ako takom,

teda interiérovom aj vonkajšom. Jedným z týchto príkladov by

mohla byť špeciálna karafa (nádoba na vodu či víno). Karafa

je špeciálna aj tým, že na jej dne je kvet života, ktorý

pozostáva z navzájom prekrývajúcich sa kruhov. Taktiež

karafa má stupňovitý tvar, teda skladá sa zo šiestich častí,

pričom objem každej by mal zodpovedať Fibonacciho

postupnosti. Teda prvých 6 čísel postupnosti.

Inde sa stále využíva pri známom športovom a nie tak

lacnom aute Aston Martin. Jeho model DB9 je rozhodne

krásne auto. Či je to spôsobené len zlatým rezom je už na

vás. Taktiež je ho možné nájsť v bežných veciach ako je

ipod. Už len v samotnom logu značky Apple je

zakomponovaný.

Gustav Fechner

Viac krát sme už spomenuli, že sa božská proporcia nachádza v mnohých

prípadoch predmetov a vo veľa z nich je tam kvôli tomu, že sa očakáva, že objekty

so zlatým rezom, by mali byť väčšou pastvou pre oči a atraktívnejšie. Toto však

nie je pravda objekty v sebe nemusia mať zakomponovaný zlatý rez na to, aby boli

krajšie a naopak objekty so zakomponovaným zlatým rezom nemusia byť vždy tie

čo upútajú najväčšiu pozornosť. Ešte v

roku 1876 urobil istý nemecký filozof

Gustav Fechner súpis bežných vecí

obdĺžnikových tvarov. Patrili medzi ne

okná, hracie karty, obaly na knihy a aj

bežné písacie bloky. Zistil, že väčšina má

tvar zlatého obdĺžnika. Urobil preto štúdiu a

prieskum o obľúbenosti obdĺžnikov rôznych veľkostí. Pomery dĺžok ku šírke boli

19

Karafa

Ipod s logaritmickou špirálou

Logaritmická špirála


nasledovné: 1:1, 6:5, 5:4, 4:3, 10:7, 3:2, 1:1,618, 23:12, 2:1 a 5:2. Potom všetky

výsledky dal do grafu a vyšiel mu výsledok, že najväčšie percento ľudí označila

obdĺžnik s božským pomerom za najkrajší.

Tretinový princípV súčasnosti môžeme využívať zlatý obdĺžnik napríklad pri fotografiách. Tam

okrem veľkosti obdĺžnika platí tretinový princíp. Tretinový princíp znamená to, že

pre väčšinu ľudí príde príťažlivejšie keď je najdôležitejší prvok, na ktorý sa

sústredíme niekde približne v tretine obrázku ako keď je najdôležitejší prvok v

strede. Táto tretina nemusí byť geometricky presná, ale stačí ak je to niekde

približne v tretine. je to aj kvôli tomu, že sa do zlatého obdĺžnika vkladá

logaritmická špirála.

20

Tretinový princípTretinový princíp + Logaritmická špirála


UmenieČlovek, ktorý už čo to vie o Zlatom reze si ho okamžite spojí s umením. Ako

prvý by vám asi napadol Leonardo da Vinci (renesančný umelec) a jeho

preslávený Vitruviánsky muž. Pokiaľ sa dlhšie zamyslíte, napadne vám určite aj

Mona Lisa (taktiež Leonardo) či Michelangelova časť fresky Zrodenie Adama. Vo

všetkých dielach sa podľa odborníkov vyskytuje zlatý rez, teda číslo 1,618.

Vitruviánsky mužZačneme najznámejším - Vitruviánskym mužom. Je to

kresba na papieri, pomenovaná po architektovi Vitruviovi.

Leonardo týmto spojil matematiku a umenie, dve témy o

ktoré sa veľmi zaujímal. Je na nej nakreslený muž vo

štvorci a v kruhu - Vitruvius veril, že človek môže byť

symetrický. Jeho pupok je presne v strede a jeho ruky

(prsty), ktoré sú v horizontálnej polohe, sa dotýkajú obvodu

štvorca a tie natiahnuté sa dotýkajú obvodu kruhu. Muž na

kresbe teda vyzerá akoby bol v pohybe.

ProporcieVeľmi často

používaným obrazcom

pri zlatom reze sú tieto proporcie: Je tam teda

štvorec so stranami a a obdĺžnik so stranami

b,a. S tým, že (a+b):a=a:b=1,61803, teda

číslo Φ (phi). Tento proporčný obrazec je

možné vidieť napríklad v antickom chráme

Parthenon, ktorý sa nachádza v Aténach, v

Grécku.

V portréte

Mony Lisy, kde sa

porovnávajú

proporcie jej tváre,

celého obrazu a aj

jej ruky sa špirála

21

Logaritmická špirála

Vitruviánsky muž

Mona Lisa

Parthenon v Aténach


začína pri jej nose a pokračuje po obvode jej tváre, po okraji obrazu až po jej

palec.

Freska Zrodenie AdamaNamaľovaná freska na strope Sixtínskej kaplnky vo Vatikáne tiež obsahuje

takzvaný zlatý rez. Presnejšie časť Zrodenie Adama.

Je tam zobrazený Boh, ktorého obklopujú anjeli, ktorí

ale nemajú krídla a predsa lietajú. Boh je zobrazený

ako muž so šedivou bradou a vlasmi, s pomerne

mohutným telom a výraznými svalmi. To, že sa tak

podobá na Adama, človeka, ukazuje, že Boh stvoril

človeka k obrazu svojmu. Boh sa načahuje, aby sa

Adama mohol dotknúť. Tento dotyk mu dáva život.

ModulorAko môžete vidieť, zlatý rez sa vyskytuje vo viacerých svetoznámych

umeleckých dielach. Čo sa ale týka samotného zámeru umelca, to je už iná

kapitola. Je potrebné položiť si otázku či je zlatý rez naozaj istý záhadný pomer

proporcií, alebo ho tam len ľudia vidieť chcú. Existuje viac takýchto ideálnych

proporcií, ktoré by teda mali zaručiť krásu danej veci. Napríklad takzvaný modulor.

S týmto harmonickým pomerom prišiel Le Corbusier (celým menom Charles-

Édouard Jeanneret-Gris), švajčiarsko francúzsky architekt, ktorý sa hlavne

zameriaval na architektúru zaľudnených miest, teda urban architecture. Považuje

sa za jedného z kľúčových architektov funkcionalizmu. Takisto sa ale venoval

sochárstvu, maliarstvu a písaniu. Tento pomer znázornil na postave (figuríne)

človeka. Pôvodne mal byť tento pomer univerzálnym. Postava má často zdvihnutú

ruku pre lepšie znázornenie.

22

Freska Zrodenie Adama


Le Corbusier pri tejto dokonalej proporčnosti človeka využil Fibonacciho

postupnosť, teda aj zlatý rez. Postava má od zeme, prstov na nohách, až po

pupok 113 centimetrov. Od pupku po vrch hlavy má 70 cm. Pokiaľ číslo 113

vynásobíme číslom 1,61803 bude sa to rovnať číslu 183, čo je výška od zeme po

vrch hlavy postavy. Ak znova číslo 70, čo je rozdiel výšok od hlavy po pupok a od

pupku po zem, vydelíme číslom 1,61803 bude sa to rovnať číslu 43. Teda číslu,

ktoré je rozdielom výšok od zeme po vrch hlavy a od zeme po prsty na zdvihnutej

ruke.

Takáto symetria je ale nemožná. Človek v skutočnosti nie je ani zďaleka

perfektne symetrický. Dokonca ani obidve polovice tváre nie sú rovnaké. Tento

pomer je teda v reálnom živote na ľuďoch neaplikovateľný.

Mona LisaAko už bolo skôr spomenuté, zlatý rez sa dá nájsť aj v Mone Lise, portréte

namaľovanom Leonardom da Vinci. Madonna Lisa di Antonia Maria Gherardini,

neskôr známa ako Lisa del Giocondo bola aristokratka pochádzajúca z Talianska.

Vo veku pätnástich rokov sa vydala za Francesca Gioconda. Stala sa tak jeho

piatou ženou, ktorá mu porodila 5 detí. Celá rodina bola milovníkmi umenia a tak

Francesco prišiel k Leonardovi da Vincimu s prosbou, aby namaľoval portrét jeho

ženy Lisy. Obraz si kvôli tomu vyslúžil taktiež meno La Gioconda.

Leonardova práca je často vyznačovaná gestikuláciou postáv. Len podľa

držania ich rúk je možné zistiť isté veci o postave. Takzvaná, Leonardova reč rúk.

Pri Mone Lise jej gestikulácia naznačuje, že je aristokratkou. Jej ruky pôsobia ako

jemné a nežné, nič nenaznačuje, že by robievala ťažkú prácu. Pokojne spočívajú

v lone a dokumentujú jej vyrovnanosť. Keď sa už pozeráte na oblasť rúk, je

23

Modulor


fascinujúce zamerať sa na rukávy. Ak sa pozeráme priamo na obraz, tak na

rukáve napravo sú jemnejšie a mäkšie záhyby, narozdiel do rukáva naľavo, ktorý

má výrazne tvrdšie a ostrejšie záhyby. Práve tento detail svedčí o tom, že

Leonardo maľoval tento obraz dlhšiu dobu, od roku 1503 až 1507 a to ako sa mu

menil štýl maľby sa na tomto obraze odzrkadľuje. Na okraji obrazu môžeme vidieť

pätky zo stĺpov. Pôvodne bolo vidieť celé stĺpy. Nie je to tak teraz, lebo drevená

doska, na ktorú bola Mona Lisa namaľovaná bola orezaná. Ak sa zameriame na

tvár Mony Lisy, prvé čo si všimneme je jej chýbajúce obočie. S najväčšou

pravdepodobnosťou domaľoval Leonardo Da Vinci obočie až po nalakovaní

celého obrazu, teda neskôr. Keď sa teda dostal k obrazu istý zberateľ, snažil sa ho

reštaurovať, lenže pri čistení zmazal obočie. Potom sa už neodvážil ho späť

domaľovať lebo nechcel porušiť Leonardovu prácu. Často sa tvrdí, že oči Mony

Lisy vyjadrujú nadpozemskú múdrosť. Sám Leonardo opísal oči ako “okná

ľudského tela”, kvôli tomu, že oči vnímajú a zobrazujú krásu a výnimočnosť sveta.

Ďalším zaujímavým prvkom obrazu je práve úsmev na jej tvári. Je často nazývaný

záhadným. Vyvoláva dojem, že Mona Lisa sa chce usmiať. Je istá povera o tom,

že ak sa človek zadíva pravým okom na scenériu napravo a zároveň ľavým okom

na scenériu naľavo a dokáže to vnímať naraz bez žmurknutia, Mona Lisa by sa

mala usmiať. Zatiaľ sa ale nepotvrdilo, či je to naozaj skutočné. Scenérie nemajú v

tejto povere čisto náhodné miesto. Ak sa sústredíme postupne na každú z dvoch

scenérií, zistíme, že nie sú totožné a odlišujú sa. Scenéria napravo sa javí ako

keby bola z vtáčej perspektívy a skrýva v sebe akvadukt, ktorý mal byť známkou

prítomnosti človeka. Nesúvisí s ľavou perspektívou a miesto, kde by sa mali

stretnúť je ukryté za hlavou Mony Lisy. Scenéria naľavo sa javí ako keby na ňu

človek hľadel z nižšieho uhlu pohľadu a ukrývajú v sebe cestu, čo má byť taktiež

znakom prítomnosti človeka. V tejto scenérií môžeme vidieť aj skalnatú krajinu,

ktorá bola zrejme do obrazu vložená kvôli tomu, že Leonardo mal takúto krajinu v

obľube. Kompozične umiestnil Leonardo portrét do trojuholníka, ktorého vrcholom

je hlava Mony Lisy.

Madona v skaláchĎalším kompozične zaujímavým obrazom je oltárny obraz Madona v skalách.

Pôvodne bol objednaný do milánskeho kostola San Francesco. Tento obraz si od

Leonarda objednalo Bratstvo Nepoškvrneného počatia. Leonardo ani túto

24


objednávku - podobne ako Monu Lisu neodovzdal objednávateľovi. Našla sa však

kópia tohto obrazu, taktiež namaľovaná Leonardom da Vincim. Hovorí sa teda, že

pôvodný obraz dal francúzskemu kráľovi. Namaľoval potom teda jeho kópiu, aby

tým splnil objednávku bratstva. Originálny obraz je vystavený v Louvri, vo

Francúzsku. Druhý obraz je vystavený v Národnej galérií v Londýne. Kompozícia

je umiestnená do ihlanu, pričom vrch ihlanu je tam kde je hlava Madony. Maľba

má rozmery 198,1cm x 122 cm, teda pomer výšky ku šírke je približne 1,62.

Prvý obraz

Na prvom, pôvodnom obraze môžeme vidieť štyri postavy.

Pannu Máriu, Jána Krstiteľa, Ježiša a anjela. Panna Mária má ruku

okolo pliec Jána Krstiteľa v ochrannom geste. Po jej ľavici sedí

Ježiš a za ním je anjel. Ako môžeme vidieť, tak všetci sedia na

zemi. Nemajú výnimočné ošatenie, ani šperky či iné bohatstvá.

Autor ich ani neglorifikuje. Márne by ste hľadali náboženské

symboly. Leonardo ich tu vykresľuje ako normálnych ľudí, teda tým

čím naozaj boli. Leonardo sa naozaj venoval detailom. Kučeravé

vlasy samotného anjela sú veľmi detailné. V pozadí môžeme vidieť

skaly a ich presnú štruktúru. Zoskupenie postáv v obraze je do

tvaru ihlanu, teda veľmi stabilného geometrického útvaru. Ján

Krstiteľ ma ruky zopäté v modlitbe smerom ku Ježišovi. Ten Jána žehná pravou

rukou, akoby mu dával silu. Ján bol podľa Nového zákona ten, ktorý pripravil cestu

Ježišovi a jeho poslaniu. Sám pritom žil asketickým životom a zomrel mučeníckou

smrťou. Anjel vedľa Ježiša ukazuje na Jána Krstiteľa a tým naznačuje, kto pôjde a

zomrie ako prvý. Anjel sa díva von z obrazu a tvorí tak pojivo medzi dianím na

plátne a divákom. Reč rúk je aj v tomto diele majstrovská. Mária pravou rukou

drží Jána za pliecko a pobáda ho, aby sa nebál naplniť svoj osud. Ľavú ruku drží

nad svojim synom v ochraniteľskom geste.

Druhý obraz

Pri druhom obraze, teda tom, ktorý bol neskôr

zhotovený, je vidno že farby sú svetlejšie. Zadná scenéria nie

je vôbec tak detailná ako na prvom obraze. Celá pôsobí priam

tvrdo a sekane oproti prvému obrazu. Na obraze je vidno, že

autor sa ho snažil rýchlo zhotoviť. Anjelova ľavá ruka je

nedokončená, pravá už neukazuje na Jána Krstiteľa a anjel sa

25

Madona v skalách – prvý obraz


nedíva z obrazu. Dolný okraj

diela je viditeľne nedokončený.

Okrem ďalších farebných zmien

(ako sú napríklad šaty Panny

Márie či anjelov plášť), tam

primaľoval aj ďalšie veci, a to kríž

z trstiny, ktoré drží Ján Krstiteľ,

alebo odev oboch detí. Panna

Mária, Ježiš aj Ján Krstiteľ majú

na hlave svätožiaru. Na tomto

obraze sú už všetci zobrazení glorifikovne a divákovi sa tak vzďaľujú.

Posledná večeraĎalším dielom, v ktorom môžeme vidieť ako Leonardo využíva expresívnosť

rúk je Posledná večera.

Toto dielo je nielen po umeleckej stránke veľmi zaujímavé. Najlepšie je však

začať od začiatku. Ako sme už spomenuli, bol namaľovaný Leonardom da Vincim

medzi rokmi 1495 a 1497, má rozmery 460cm x 880cm a Leonardo ho maľoval

temperou a olejom na vápencovom podklade. Maľba bola zadaná objednávateľom

ako nástenná maľba v refektári (jedálni) kláštora Santa Maria della Grazia v

Miláne. Leonardo majstrovsky stvárnil perspektívu interiéru, ktorou dodal

miestnosti hĺbku. Vieme však, že z historickej stránky je to nekorektné, pretože

Ježiš Kristus so svojimi apoštolmi večerali posledný krát v záhrade vonku. Rozdelil

medzi nich chlieb a víno ako telo a krv, ktoré sa obetujú a oznámil im svoju

predpoveď, že ho jeden z nich zradí. Samotná maľba je vyobrazenie ich reakcií na

túto novinu. Postavy na obraze sú rozdelené do štyroch skupín po troch ľuďoch.

Niektorých ruky znázorňujú ich zhrozenie, iné akoby sa bránili a vraveli, že sú

nevinní. Iní sa čudujú, čo to Kristus vraví. A potom je tam Judáš, s čiernymi vlasmi

napravo od Krista, ktorý Kristovi mierne hrozí, na znázornenie toho, že mu hovorí,

že Kristus vie, že to bude on, kto ho zradí.

Kompozícia

Čo sa kompozície týka, ako

prvú vec by sme mali všimnúť, že

Kristus sa nachádza v strede

26


obrazu, respektíve je jeho poloha v súlade s pomerom zlatého obdĺžnika. To

môžeme vidieť znázornené na danom obrázku. Jeho postoj je určený stranami

rovnostranného trojuholníka. Na jeho čele sa stretávajú takzvané úbežnice, ktoré

robia jeho čelo úbežníkom. Úbežník je bod, v ktorom sa stretávajú paralelné línie z

obrazu. Tieto línie sú v Poslednej večeri línie znázornenej perspektívy, alebo

konkrétne pomyselné čiary spájajúce vrchy tmavých obdĺžnikov na stenách a

takisto aj zlomy medzi stenami a stropom na oboch stranách. Úbežník

nachádzajúci sa na Kristovom čele tu znázorňuje nekonečno. Kompozične však

Leonardo umiestnil Ježiša ako centrum a stredobod diela v pretínajúcich sa

diagonálach obrazu.

Je zlatý rez kľúčový?Ako ale nakoniec môžeme vidieť, ani v jednom z týchto diel nie je zlatý rez

kľúčový faktor pri úrovni ich estetickej krásy. Podobne to bolo aj v prírode, kde

neznamenal žiadne významné evolučné výhody pre rastliny, či živočíchy, pri

ktorých ho vieme spozorovať. Potvrdzuje to náš názor, že zlatý rez je z podstaty

vec pridávajúca na kráse, no rozhodne nie určujúca, ako sa vraví. Jeho výskyt je

vágny a môžeme povedať, že všade, kde ho dosiaľ ľudia boli schopní nájsť, ho v

princípe vytvorili umelo, inak povedané, nie je to žiadne prirodzené pravidlo.

Rozmery diel

P

ravda

Te

ória

‘Virgin of the

Rocks‘

1

22

1

99

12

2,26

19

9,13

Vitruvian man 3

4,4

2

4,5

34

,52

24,

66

Louvre Mona

Lisa

5

3

7

6,8

53

,14

76,

77

27


Earlier Mona

Lisa

6

4

8

6

64

,11

85,

51

V tabuľke sú ukázané pomery, teda čísla, ktoré by sa mali nachádzať (napr.

ako rozmery) v uvedených dielach. V kolónke teória sú čísla pozmenené tak ,aby

sa po ich vzájomnom vydelení rovnali číslu 1,6.

28


ZáverV našom projekte nás zaujímalo, či si človek vôbec všimne zlatý rez, alebo

jeho možnú existenciu - zo strany umelca vedomú, alebo podvedomú a či ovplyvní

jeho vnímanie umeleckého diela. Túto otázku sme si chceli preto nastoliť do

záverečnej diskusie. Umenie sa totiž vymyká akémukoľvek spútavaniu a žije si

svojim vlastným životom. Každé dielo je vnímané subjektívne a preto umenie

poskytuje ten zvláštny rozmer, ktorý by sme mohli nazvať intuícia, zmysel pre

detail, schopnosť vnímať symboliku, farebnosť, hru svetla atď. V neposlednom

rade si tzv. “konzument” umenia musí uvedomiť, že pre vnímanie diela musí

poznať historický kontext, či napr. biblický príbeh námetu, spoločenské dianie i

estetiku v období, kedy bolo dielo vytvorené.

Podľa podrobného skúmania zlatého rezu sme sa si utvorili názor, že nie je

tak podstatný ani v jednej zo spomínaných vecí. Príroda si všetko zariadi sama a

nepotrebuje na to číslo 1,62. Umenie je umením nie kvôli matematike, ale kvôli

iným dôležitejším veciam ako je kompozícia, námet či farby. Ľudia sa však napriek

tomu snažia hľadať zlatý rez všade, kde sa dá a jeho výskytom odôvodňovať

krásu, alebo výnimočnosť danej veci.

29


ResuméV našom projekte sme sa venovali téme zlatý rez. Je to geometrický pomer,

ktorý znázorňuje číslo 1,61803. Vyskytuje sa v prírode, matematike a v umení. V

našom projekte sa vyskytuje šesť kapitol a to: História zlatého rezu, Fibonacciho

postupnosť, Zlatý rez v prírode, Kvadratické rovnice, Využitie v súčasnosti,

Umenie.

Jeho výskyt je často veľmi silený a preto je témou nášho projektu úvaha o

jeho prirodzenosti. Táto proporcia, nazývaná aj božská, má byť umelou,

dokonalou krásou. Ľuďom by sa teda mali viac páčiť predmety, či objekty, kde sa

tento pomer nachádza.

Chceli sme si to preveriť vo viacerých aspektoch a prísť tým na to, či je zlatý

rez naozaj tak výnimočný a krásny ako sa o ňom hovorí.

Prvýkrát sa informácia o zlatom čísle vyskytuje u Platóna, ale až neskôr ho

definoval Euklides vo svojej knihe Základy. Toto číslo malo veľký zásah do

vtedajšej filozofie, kde sa orientovali aj Pytagorejci - tí nazvali existenciu čísla za

“chybu v kozme”. Fibonacci sa inšpiroval Euklidom natoľko, že napísal vlastnú

knihu. Táto sa venovala aj arabskej číselnej sústave, aj istej postupnosti, ktorá sa

opakovala vo viacerých prípadoch. Po vydelení dvoch hociktorých po sebe

nasledujúcich čísel v postupnosti vyšlo číslo, ktoré malo hodnotu približne 1,6.

Toto zistenie sa vyskytuje aj v prírode, keď sa vydelí počet pravotočivých a

ľavotočivých špirál. Toto číslo sa taktiež dá vyjadriť pomocou kvadratickej rovnice.

Konkrétne je to príklad: . Ak by sme ho správne vyriešili dostaneme výsledok

približne 1,6.

Ďalšia kniha, ktorá sa venovala zlatému rezu je La Divina Proportione, ktorú

napísal Luca Pacioli. Venoval sa tam umeleckým a matematickým proporciám.

Veľkú časť tvoril zlatý rez a jeho výskyt. Túto knihu mu pomohol ilustrovať

Leonardo Da Vinci.

V Leonardových maľbách môžeme zadefinovať zlatý rez, napr. v preslávenej

Mone Lise. Leonardo sa priamo venuje zlatému rezu, teda čísle 1,6 na ľudskom

tele v kresbe Vitruviánsky muž. Ukázal tým, že toto číslo sa netýka len čistej

matematiky. Porovnáva teda proporcie muža na obrázku.

Čo sa týka architektúry v minulosti, zlatý rez inšpiroval budovy najmä v

staroveku, renesancii a klasicizme ( Napr. Parthenon v Aténach).

30


Využíva sa aj v dnešnej dobe a to v architektúre, mechanike a dizajne. Od

praktických vecí ako sú karafy a autá až po interiérové dizajny a logá.

Ak by sme sa chceli venovať výskytu zlatého rezu v prírode, asi najlepší

príklad bude na slimačej ulite, konkrétne ulite nautilus. Taktiež sa Fibonacciho

postupnosť dá nájsť aj v karfiole, v keli, v brokolici, na ananáse, ale aj v DNA.

Týmto zistením sme si potvrdili fakt, že zlatý rez nemusí byť len v obrazoch alebo

v sochách môže byť aj v živých organizmoch a rastlinách. Jediný rozdiel je v tom,

že v umení sa zlatý rez javí ako umelo vytvorená krása a v prírode môžeme len

povedať, že nie je treba nič vytvárať silene a príroda to sama zariadi. Po

spracovaní našich informácií o božskom reze sme dospeli k názoru, že zlatý rez

je ako merítko krásy umelo dosadzovaný a v prírode náhodný.

Otázkou teda je, je naozaj nutné hľadať symetrickosť a matematiku v

obrazoch a je treba robiť si ilúzie o ideálnej kráse?

31


SummaryIn our project we have been interested in the so-called Golden Ratio. The

Golden Ratio is a geometric proportion, which is basically the number 1,61803. It

can be seen in nature, mathematics and art. In our project we have six chapters:

The History of the Golden Ratio, Fibonacci´s Sequence, The Existence of the

Golden Ratio in Nature, The Quadratic Equation, The Present Use of the Golden

Ratio and Art. Its appearance is often forced and that´s why the main topic of our

project is a deliberation about its nature. This proportion, also called the ratio of

God, is supposed to be an artificial, ideal beauty. People should be more attracted

to objects where this Golden Ratio appears.

We wanted to check many different aspects and find out if the Golden Ratio

is making many different objects really that beautiful and special as people say.

The first time information about this number appeared was at the time of

Plato, but it was defined later by Euclid in his book Elements. This number had a

big influence into their philosophy, where Pythagoras´s students were present.

They decided to call the existence of this number 'a mistake in the universe'.

Fibonacci was so inspired by Euclid that he wrote his own book. This book has

also been dedicated to the Arabic numeral system, and to a specific sequence,

that has been repeated many times.

After dividing any two numbers, that follow each other we get a value that

equals around 1,6, which is the value of the Golden Ratio. This discovery occurs in

the nature when dividing the number of clockwise and anticlockwise spirals.

This number can also be expressed as a quadratic equation. (Specific

example: . If we had correctly solved this, we would get a value around 1,6.)

Another book that is about the Golden Ratio, is La Davina Proportione by

Luca Pacioli. He wrote about mathematics and artistic proportions. A big part was

about the golden number and its occurrence. Leonardo da Vinci helped him

illustrate this book.

We can identify the Golden Ratio in Leonardo´s paintings, such as the

famous Mona Lisa. Leonardo is directly dealing with the golden ratio, therefore

number 1,6 on the human body in his drawing of the Vitruvian man. Thanks to this,

he proved that this number doesn´t evolve entirely around mathematics. He

compares the proportions of the man in the picture.

32


As regards architecture, the Golden Ratio is mainly used in the ancient era,

renaissance and classicism (for example Parthenon in Athens). It´s commonly

used in modern architecture, mechanics, and design, as well. From the practical

things such as carafes and cars to interior designs and logos.

If we wanted to think about the golden ratio in nature, the best example

would probably be a snail shell, specifically the shell nautilus. We can also find

Fibbonaci´s sequence in sunflowers, cauliflower, cabbage, broccoli, pineapples,

but also in DNA. Thanks to this discovery, we can confirm the fact that the Golden

Ratio does not have to be only in paintings or sculptures; it can also be in living

organisms and plants. The only difference is that the Golden Ratio occurs in art as

an artificially made beauty. About nature we can only say that nothing has to be

forcefully made and nature will find its own way.

After processing all of the information about the Golden Ratio, we have come

to the view that the Golden Ratio is as a measure of beauty, artificially used, and

accidental in nature.

The question is, is it really necessary to be looking for symmetry and math in

paintings and is it a must to make illusions about ideal beauty?

33


ResümeeDer Titel unseres Projektes ist der goldene Schnitt. Goldener Schnitt ist

geometrisches Verhältnis, das als 1,61803 dargestellt ist. Unser Projekt besteht

aus mehreren Teilen. Die Teile beziehen sich auf die geschichtlichen,

mathematischen, biologischen und kunsthistorischen Aspekte des Problemes. Wir

haben sechs Kapiteln geschrieben.

Im ersten Teil haben wir uns mit dem historischen Problem befasst. Das

zweite Kapitel heißt Fibonacci-Folge, das dritte Kapitel ist Der goldene Schnitt in

der Natur, das vierte Kapitel ist Quadratische Gleichungen, das fünfte Kapitel heißt

Die Nutzung im Präsens und das letzte Kapitel befasst sich mit der Kunst. Sein

Vorkommen ist oft unnatürlich, so dass unser Thema die Erwägung über sein

Naturell ist. Die Proportion, auch göttlich genannt, sollte unnatürliche, ideale

Schönheit sein. Die Menschen sollen die Sachen lieben, wo sich dieses Verhältnis

befindet.

Wir wollten in mehreren Aspekten beweisen und erfahren ob der goldene

Schnitt tatsächlich besonders und schön ist.

Die Information über den goldenen Schnitt kommt bei Platon vor. Später hat

Euklid den goldenen Schnitt in seinem Buch 'Gründe' definiert. Die Nummer übte

großen Einfluss auf die damalige Philosophie aus. Die Studenten von Pythagoras

haben die Nummer 'den Fehler im Kosmos' genannt. Fibonacci inspirierte sich an

Euklid und er hat eigenes Buch geschrieben. Das Buch hat sich mit arabischem

numerischem System befasst, und mit spezifischen Nachfolge, welche sich in

mehreren Fällen wiederholt hat. Wenn wir beliebige nachfolgende Nummer von

Fibonacci-Folge rationieren, erhalten wir den Wert ungefähr 1,6. Dies erscheint

auch in der Natur, wenn man die Anzahl linksdrehenden und rechtsdrehenden

Spiralen rationiert wird. Die Nummer kann durch Quadratische Gleichungen erklärt

werden. Ein konkretes Exempel: 1x= x1−x . Wenn das Exempel richtig gelöst

würde, dann würde das Ergebnis zirka 1,6 sein. Das andere Buch, dass sich dem

goldenen Schnitt gewidmet hat, war La Divina Proportione. Das Buch hat Luca

Pacioli geschrieben. Er hat sich künstlerischen und mathematischen Proportionen

gewidmet. Großen Teil hat der goldene Schnitt und seine Erscheinung dargestellt.

Leonardo da Vinci hat ihm geholfen. In den Malereien von Leonardo kann man

den goldenen Schnitt sehen, wie zum Beispiel bei Mona Lisa. Leonardo hat sich

34


dem goldenen Schnitt in der Zeichnung Vitruvianer Mann gewidmet. Er hat damit

gezeigt, dass die Nummer nicht immer nur in der Mathematik sein muss. Er hat

die Proportionen von dem Mann kompariert. Der goldene Schnitt wurde besonders

in der Renaissance, in dem Altertum und in dem Klassizismus in der Architektur

benutzt (z.B. Parthenon ins Athen).

Er wird oft in der Architektur, in der Mechanik und in dem Design benutzt.

Zum Beispiel in praktischen Sachen wie Karaffen und Autos oder in interior Design

und in den Logos.

Das beste Beispiel von dem goldenen Schnitt in der Natur ist eine

Schneckenmuschel, konkret ulite nautilus. Die Fibonacci-Folge kann man im

Karfiol, im Kohl, an der Ananas, im Brokkoli oder in der DNA finden. Wir haben

erfahren, dass der goldene Schnitt sich nicht nur in Gemälden oder Skulpturen

befinden muss, er kann in lebenden Organismen und Pflanzen sein. Der goldene

Schnitt ist künstlich geschöpfte Schönheit in der Kunst. In der Natur muss es nicht

erzwungen geschöpft werden, die Natur wird selbst eine Lösung finden. Nachdem

wir alle Informationen verarbeitet haben, sind wir zu der Meinung gelangt, dass

der goldene Schnitt als Maßstab der Schönheit künstlich besetzt wird, und in der

Natur zufällig zu finden ist.

Also, es stellt sich die Frage - ist es notwendig Symmetrie und Mathematik in

Gemälden zu suchen, und ist es nötig sich Ideale über die Schönheit zu machen?

35


BibliografiaKnihy

Atalay B.: Matematika a Mona Lisa. Bratislava: SLOVART, spol. s. r. o., 2007.

ISBN 978-80-8085-265-8

Livio M.: Zlatý řez. Praha: Dokořán, 2006. ISBN 80-7363-064-8

Cumming R.: Slávne obrazy. Bratislava: Fortuna Print, 1996. ISBN 80-7153-106-5

Cumming R.: Veľký umelci. Bratislava: Ikar, a. s., 2003. ISBN 80-551-0592-8

Kentová S.: Umenie zblízka – kompozícia. Martin: NEOGRAFIA, a. s., 1996. ISBN

80-8046-044-2

Linky

http://www.goldennumber.net/nautilus-spiral-golden-ratio/

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Fibonacci.html

https://sk.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci

http://www.mlynarcikova-gpohkk.yw.sk/Fibonacciho%20postupnost%20a%20zlaty

%20rez.ppt

http://www.gjar-po.sk/~kurtyova4d/zlaty_rez1.pdf

http://antika.avonet.cz/article.php?ID=1908

http://fim-science.blogspot.sk/2013/05/platonske-telesa.html

http://www.era.topindex.sk/files/s273.pdf

http://www.zajac.estranky.cz/clanky/zhrnutie.html

http://www.trpasliciezajace.estranky.cz/clanky/rozmnozovanie---chov-a-

odchov.html

http://www.sbpprogram.com/sk/skola-algebra/iracionalne-cisla.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Ern%C5%91_Lendvai

http://www.ta3.com/clanok/1077721/je-v-hudbe-matematika.html

http://referaty.atlas.sk/vseobecne-humanitne/kultura-a-umenie/56105/bela-bartok

https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html

http://www.goldennumber.net

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitruvian_Man

https://sk.wikipedia.org/wiki/Vitruvi%C3%A1nsky_mu%C5%BE

http://rouleauc.blogspot.sk/2009/04/more-you-know-golden-ratio.html

http://www.italianrenaissance.org/michelangelo-creation-of-adam/

https://en.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli

36


https://en.wikipedia.org/wiki/Le_Corbusier

https://sk.wikipedia.org/wiki/Le_Corbusier

http://www.marcus-frings.de/bilder/nnj-abb7.gif

https://www.khanacademy.org/humanities/renaissance-reformation/high-ren-

florence-rome/leonardo-da-vinci/a/leonardo-virgin-of-the-rocks

http://monalisa.org/2012/09/12/leonardo-and-mathematics-in-his-paintings/

https://www.macblog.sk/2011/perfekcionizmus-dizajnu-apple-na-kazdej-urovni/

Obrázky

(Platónske telesá) http://fim-science.blogspot.sk/2013/05/platonske-telesa.html

(Náčrt Fibonacciho čísel v arabskej číselnej

sústave

)https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Ms.Thott.290.2%C2%BA_1

50v.jpg

(Rozmnožovanie králikov)http://tomason.free.fr/kvazi/kralici.jpg

(Rozmnožovanie

králikov)http://absolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava/obrazky/kralik.jpg

(Rozmnožovanie

králikov)http://fyzika.jreichl.com/data/dejiny/stredovek/image033.jpg

(Pomenovania prvých čísel Fibonacciho

postupnosti

)http://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/76/Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg

(Pomenovania prvých čísel Fibonacciho

postupnosti)https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-

abaci.html

(Ulita nautilus – Logaritmická

špirála)http://www.goldennumber.net/wp-content/uploads/2013/08/nautilus-spiral-

vs-golden-spiral.gif

(Ulita nautilus – Fibonacciho postupnosť)http://www.goldennumber.net/wp-

content/uploads/2013/08/nautilus-shell-with-golden-ratio-spiral-overlay.gif

(Päsť s božskou

proporciou)http://www.goldennumber.net/wp-content/uploads/finger-golden-

spiral.png

37


(Karafa)http://www.purefontaine.com/im/articles/1_3-gold-2-verres.jpg

(Šiška zo smreka)http://solomonsmusic.net/ex85.gif

(Logaritmická špirála,

str.12)https://www.mathsisfun.com/numbers/images/fibonacci-spiral.gif

(Logaritmická

špirála)http://i0.wp.com/www.ad1.sk/wp-content/uploads/2013/03/Zlaty_Rez-

01.jpg

(Tretinový princíp)https://cdn.megapixel.cz/images/w1024h1024/6/39176.jpg

(Tretinový princíp s logaritmickou

špirálou)http://digineff.cz/obrdg2012/pojmy/120321zlatyrez/120321zlatyrez_07.jpg

(Logaritmická špirála,

str.21)http://1.bp.blogspot.com/_lM2gX_pgwUQ/SfTOML3217I/AAAAAAAAFs0/

VbxF5aDE6eE/s1600-h/golden+rectangle+low+res.jpg

(Mona Lisa)http://monalisa.org/wp-content/uploads/2012/09/02-ml-ps-

emlgoldenspiral-03-940x1234-228x300.jpg

(Ipod s logaritmickou

špirálou)http://1.bp.blogspot.com/_lM2gX_pgwUQ/SfTNoHhyv7I/AAAAAAAAFss/

NhKIrBztVaw/s400/(golden+ipod.png

(Modulor)http://www.iconeye.com/404/item/3815-modulor-man

(Parthenon)http://ud.lugus.cz/UserFiles/zlaty%20rez(1).jpg

(Madona v skalách – Prvý obraz)https://www.google.sk/url?

sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjA0r

fR7dzPAhVIkRQKHY7dB4oQjRwIBw&url=%2Furl%3Fsa%3Di%26rct%3Dj%26q

%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dimages%26cd%3D%26cad%3Drja%26uact

%3D8%26ved%3D0ahUKEwjA0rfR7dzPAhVIkRQKHY7dB4oQjRwIBw%26url

%3Dhttps%253A%252F%252Fsk.wikipedia.org%252Fwiki%252FMadona_v_skal

%2525C3%2525A1ch%26psig%3DAFQjCNGJ8tz5bRRnbxn40dMm1AVV-gNkYw

%26ust%3D1476622477853119&psig=AFQjCNGJ8tz5bRRnbxn40dMm1AVV-

gNkYw&ust=1476622477853119

(Madona v skalách – Druhý obraz)https://www.google.sk/url?

sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=0ahUKEwjG95aOi93PAhWBtB

oKHf6pBloQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.mathematicianspictures.com

%2FLEONARDO_DA_VINCI_SHOP

38

http://1.bp.blogspot.com/_lM2gX_pgwUQ/SfTNoHhyv7I/AAAAAAAAFss/NhKIrBztVaw/s400/(golden+ipod.png

http://1.bp.blogspot.com/_lM2gX_pgwUQ/SfTNoHhyv7I/AAAAAAAAFss/NhKIrBztVaw/s400/(golden+ipod.png


%2Fdav_madonnaoftherocks_nat.htm&psig=AFQjCNF3YmthRoqKrEG_9naUcu2

FIxrumQ&ust=1476630412992686

39

· web viewteda máme jednu samičku a jedného samca, pričom predpokladajme, že samička bude...

Documents