1.1 DEFINICIÓN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Se puede definir de la siguiente manera: “La Investigación de Operaciones es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”.Un modelo de la investigación de operaciones se define como una representación idealizada (simplificada) de un sistema de la vida real. Este sistema puede ya estar en existencia o puede todavía ser una idea en espera de ejecución. En el primer caso el objetivo del modelo es analizar el comportamiento del sistema a fin de mejorar su funcionamiento. En el segundo, el objetivo es diversificar la mejor estructura del sistema futuro.

Desarrollo de la Investigación de Operaciones:  

Durante la segunda guerra mundial, la administración militar en Gran Bretaña llamó a un equipo de científicos para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa aérea y terrestre del país. Su objetivo era determinar la utilización más efectiva de los recursos militares limitados. Las aplicaciones incluían entre otras, estudios de la forma de utilizar el radar y de la efectividad de nuevos tipos de bombas.

El nombre de investigación de operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Desde su nacimiento, este nuevo campo de toma de decisiones se ha caracterizado por el uso del conocimiento científico a través del esfuerzo de equipos interdisciplinarios, con el propósito de determinar la mejor utilización de los recursos limitados

1.1.1 TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES (IO)   ü       Simbólico o matemático ü       De Simulación ü       Heurístico  

1.2. FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Como su nombre lo indica, la formulación directa estriba en pasar directamente del sistema asumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el objetivo, definir las variables de decisión, enseguida las restricciones estructurales y finalmente establecer las condiciones técnicas

Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimización el cual puede ser Maximización o Minimización dependiendo del problema que se desee resolver, el cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de optimización definido se pretende medir la contribución de las soluciones factibles que puedan obtenerse y determinar la óptima.

Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamente consisten en los niveles de todas las Actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantos subíndices como sea requerido.

Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones más comunes son de seis tipos, las cuales se listan a continuación:

Restricción de capacidad: limitan el valor de las variables debido a las disponibilidades de horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.

Restricción de mercado: Surge de los valores máximos y mínimos en las ventas o el uso del producto o actividad a realizar. Restricción de entradas: Son limitantes debido a la escasees de materias primas, mano de obra, dinero, etc.

Restricción de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar.

Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen las salidas de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio.

Restricciones Internas: Son las que definen a una variable dada, en la formulación interna del problema, un ejemplo tipo, es el de inventario.

Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables deben tomar.

1.3EL MÉTODO GRÁFICO

Se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

 EJEMPLO 1:  Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).Cantidad de liquidaciones (X2).

RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones.

 Maximizar

Sujeto a:

  

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima. 

 

1.4 FORMAS ESTANDAR Y CANONICAS:

• FORMA CANONICA: Esta es útil para el manejo del tema que se refiere al problema dual de cualquier problema de programación lineal. La forma canónica aceptable y reconocida en la mayoría de los textos debe cumplir con los siguientes requisitos:

• Función objetivo maximizar.

• Restricciones del tipo “.

• Condiciones de negatividad para variables.

Otra forma legítima para considerar como canónica es cumpliendo con los siguientes requisitos:

• Función objetivo de minimizar.

• Restricciones del tipo “.

• Condiciones de no negatividad para variables.

EJEMPLO: FORMAS CANONICAS.

Maximizar. Minimizar.z = Cx z = Cx

sujeto a: sujeto a:Ax " b Ax " bx " 0 x " 0

Max z = 3x1 + 5x2 (-1) Min z = -3x1 - 5x2

Suj. a: Suj. a:x1 " 4 -x1 " -42x2 " 12 - 2x2 " -123x1 + 2x2 " 18 -3x1 - 2x2 " -18x1 ; x2 " 0

• FORMA ESTANDAR: El modelo de programación lineal para resolverse, necesita arreglarse para igualdades, lo cual se consigue utilizando tanto variables de holgura como variables superfluas. Lo anterior da lugar a la presentación del modelo cumpliendo con los siguientes requisitos:

• Función objetivo para Max. o bien Min.

• Restricciones del tipo =.

• Lado derecho de restricciones no negativo.

• Condiciones de no negativo para variables.

EJEMPLO: Forma estándar.

Max/Min z = Cx

Sujeta a: Ax=bx " 0

Max z = 5x1' - x2 + 3x3' - 3x3'

Sujeta a: (tomando las originales y tomando los arreglos para variables)- x1' + 2x2 + 4x3+ - 4x3- + x4 = 12 ..... (1)x2 + x3+ - x3- = 5 ..... (2)- 2x1' - x2 + 5x3+ - 5x3- - x5 = 6 ..... (3)

SUPERFLUAx1' ; x2 ; x3+ ; x3- ; x4 y x5 " 0......quedando de esta manera la forma estándar.

Ejercicio:

Min z = 4x1 + 3x2 - x3

Sujeta a:2x1 - x2 + 2x3 = 14 ..... (1)x1 + x2 + 3x3 " 8 ..... (2)3x2 + 2x3 " 4 ..... (3)x1 LIBRE ; x2 " 0 ; x3 " 0

1.5 MÉTODO SIMPLEX

Los problemas reales de programación lineal generalmente tienen variables de decisión y muchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos tales como el simplex. El método simplex es un procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas de programación lineal. Existen numerosos programas tanto para computadoras centrales como para personales. Aunque el método simplex es especialmente útil en problemas de gran escala (resueltos con una computadora), en seguida se practicará en el caso del mismo problema que fue resuelto gráficamente en el ejemplo sobre la empresa química “Chemical”.

Procedimiento general del simplex1. Establézcase la tabla inicial de simples. Formular la función objetivo y las

restricciones e introducir las variables de decisión, variable en la solución, valor en solución (LD), C (contribución de la variable), Z (costo de introducir la variable), C – Z (contribución neta de la variable).

2. Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo más grande en el renglón inferior (C - Z). Esta se convierte en la nueva variable de la solución.

3. Selecciónese el renglón pivote. Éste es el renglón con la razón más pequeña del valor LD dividido por el valor de la columna pivote. Úsense sólo números positivos. Esto identifica la variable que deja la solución.

4. Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección del renglón y la columna pivotes.

5. Conviértase al elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor del renglón pivote entre el valor pivote. Métase este renglón en una tabla nueva.

6. Genérense los demás renglones de la nueva tabla con ceros en la columna pivote. Esto se hace multiplicando el nuevo renglón (del paso 5) por el negativo del elemento en la columna pivote. El resultado será sumado al antiguo renglón. Introdúzcase este renglón revisado en la nueva tabla, y continúese este procedimiento en cada renglón de la sección central de la tabla.

7. Prueba de optimización. Calcúlense los valores de Z y C – Z. Los valores de Z de cada columna son (elementos de la columna) ( C ). Si todos los valores de C – Z son ≤ 0, la solución es óptima. Léanse los valores de las variables en la solución de la columna de LD y el valor de la función objetivo del renglón de Z en la columna de LD. Si la solución no es óptima, regrese al paso 2.

Variables de holgura- El método simples empieza con el planteamiento de una función objetivo y ecuaciones de restricción. Las rutinas computarizadas de programación lineal (PL) automáticamente arreglarán esos datos iniciales, pero tratándose de soluciones manuales, debe construirse en cada paso la tabla de simples. Esto requiere que las restricciones sean establecidas como igualdades. En los problemas de maximización se logra esto añadiendo variables de holgura (s) a cada restricción. La holgura representa una cantidad no utilizada, o la diferencia entre lo que es usado y el límite de lo que puede usarse.

Por ejemplo añadiendo variables de holgura a las desigualdades del ejemplo de la industria “Chemical”; se tienen las nuevas ecuaciones que se muestran en la siguiente tabla. Nótese que S1 está relacionada con la restricción de la máquina A y S2 lo está con la máquina B.

Restricción Desigualdad Ecuación con holguraMáquina A h 4x + 6y ≤ 12 4x + 6y + S1 = 12Máquina B h 8x + 4y ≤ 16 8x + 4y + S2 = 16

La restricción de la máquina A ahora indica cuatro horas por el número de unidades de X producidas más seis horas por el número de unidades de Y producidas, más las horas de holgura = 12. Así, pues, si una unidad de X y una Y son producidas, se tienen dos horas de tiempo de holgura S en la máquina A, dado que 4(1) + 6(1) + 2 = 12. Si ni X ni Y son producidas, “se produce” una holgura total, y S1 = 12.

El método simplex siempre comienza con una solución factible dentro de la cual sólo se produce holgura. Esto corresponde al origen en la solución gráfica, dónde X y Y son iguales a cero. Se empieza con una solución inexacta, pero factible, que corresponde a una esquina de la región factible. Se empieza con una solución inexacta, pero factible, que corresponde al origen, donde sólo se produce holgura, es decir, cero utilidad. Por tanto, las variables de holgura (por ejemplo S1 y S2 están en la solución, y las otras variables de decisión (X y Y) no están en la solución (así, tienen valores de cero).

Preséntense la función objetivo y las restricciones del siguiente ejemplo en una tabla inicial de simplex:

Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z?.

La función objetivo es:Max Z = $10X + $30Y

Las restricciones son:h maquina A : 4X + 6Y = 12h máquina B : 8X + 4Y =16X,Y ≥ 0

Formato simplexC 10 30 0 0 Valores de solución

Variables de la solución Variables de decisiónX Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 120 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0C-Z 10 30 0 0 0

Elementos de la tabla simplex :

La parte central de la tabla simplex consta de los coeficientes de las restricciones de:

4X + 6Y + 1S1 + 0S2 = 128X + 4Y + 0S1 + 1S2 =16

Nótese que se ha asignado un uno (1) a la variable de holgura asociada con su propia restricción, y un cero (0) a la otra variable de holgura

La columna de variables en la solución indica cuáles variables están en la solución (en este caso, sólo las de hoguera) y la columna de valores solución indica las cantidades de solución. Los números vienen del lado derecho LD de las restricciones (en este caso, 12 horas de holgura para la máquina A y 16 horas para la B)

La C en la esquina superior izquierda encabeza a la vez un renglón y una columna. Especifican la cantidad de contribución a la función objetivo de cada unidad de las variables a que se refiere. Esto es, cada unidad de X (limpiador) contribuye con $10 a las utilidades y cada unidad de Y (pulidor) lo hace con $30. El tiempo de holgura de la maquina A y B proporciona $0 de contribución tanto de S1 como de S2.

El renglón de Z en la tabla muestra el costo de oportunidad, o la cantidad de contribución que debe ser introducida o (producida) por unidad (o por unidad extra) de la variable en cada columna. Esto se calcula para cada columna multiplicando los elementos de la columna por la contribución en la columna C y sumándolos despuésEsto es, el valor de Z para la columna X es (4 x 0) + (8 x 0) = 0.

Esto significa que para introducir una unidad de X (limpiador) en la solución, deben darse cuatro horas de tiempo de holgura en la máquina A, con un costo de $0, y ocho horas de holgura en la máquina B, también con un costo de $0.

El valor de Z para la columna LD representa la contribución total de las variables en la solución, debido a que esta solución (inicial) es “producir” 12 horas de holgura en la máquina A (con $0 de contribución) y 16 horas de holgura en la máquina B con ($0 de contribución), la utilidad total de esta solución inicial es cero. El renglón de Z en la solución inicial siempre tiene ceros, pero cambia al progresar la solución.

Los valores del renglón inferior (C-Z) representan la contribución neta de introducir una unidad de la columna variable en la solución. En la tabla inicial aparecen simplemente los coeficientes de la función objetivo seguidos por ceros en las columnas de las variables de holgura. Es decir, se puede incrementar el valor de la función objetivo en un total de $10 por cada unidad de X producida y en $30 por cada unidad de Y producida, y debido a que la holgura no tiene ningún valor deben introducirse X o Y en esta etapa. Produciendo más holgura obviamente no se incrementan las utilidades.

1.6 TECNICAS CON VARIABLES ARTIFICIALES.

Ésta construye un problema artificial más conveniente introduciendo una variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restricción que lo requiera. Esta nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica inicial para esa ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también se aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para  que imponga una penalización exorbitante en  el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las iteraciones del método simplex automáticamente fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta  que todas quedan fuera  de  la solución; después de esto se resuelve el problema real. 

1.6.1 METODO DE LA M O DE PENALIZACION

Restricciones en forma de igualdad.En realidad, cualquier restricción en forma de igualdad: 

ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi 

es equivalente a dos restricciones de desigualdad: 

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi,

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥bi 

            Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitución e incrementar con ello el

número de restricciones, es más conveniente usar la técnica de la variable

artificial. Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado y resuelto

en la sección anterior. El único cambio que sufre el modelo de programación lineal

es que la tercera restricción, 3x1 + 2x2 ≤ 18, se convierte en una restricción de

igualdad: 

3x1 + 2x2 = 18 

 Aplicando la técnica de las variables artificiales se introduce una variable artificial

no negativa (denotada por  x5) en la última ecuación, como si fuera una variable

de holgura: 

3x1 + 2x2 + x5 =18 

En resumen si tenemos una restricción funcional en forma de igualdad y

deseamos “pasarla a su forma de igualdad”, únicamente debemos sumar una

variable artificial. 

Restricciones funcionales de la forma

Para ilustrar la manera en que la técnica de las variables artificiales maneja las

restricciones de la forma ³ usaremos el siguiente ejemplo: 

Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2    sujeta a     0.3x1 + 0.1x2 ≤ 2.7      0.5x1 + 0.5x2 = 6      0.6x1 + 0.4x2 ≥ 6      x1≥0,   x2≥ 0    

             Notemos que la tercera restricción es del tipo ≥, por lo que para cambiarla

a su forma de igualdad tendríamos que restar una variable de superávit (o de

excedente), quedando de la siguiente manera: 

0.6x1 + 0.4x2 - x5 = 6 

            Se ha restado la variable de excedente x5 (se utilizó x5 porque en la

primera restricción agregamos una variable de holgura que sería x3 y en la

segunda restricción agregamos también una variable artificial que sería x4; todo

esto con el fin de convertir las desigualdades a su forma de igualdades) para que

consuma el exceso de 0.6x1 + 0.4x2, o sea, lo que se pasa de 6. No obstante en

este caso debe agregarse otra variable. Esta variable extra, llamada variable

artificial se aumenta como sigue: 0.6x1 + 0.4x2 - x5 + x6 = 6 

 La razón de esto es que, si no se agrega la variable artificial, no se estarían

cumpliendo las restricciones de no negatividad. Para comprenderlo, se dejará sin

aumentar. El método símplex comienza por hacer todas las variables reales

(originales) iguales a cero. Entonces: 

0.6x1 + 0.4x2 - x5 = 6 

Sea x1 = 0 y x2 = 0, entonces: 

-x5 = 6

ó                                                                             

x5 = -6  (que no cumple la restricción de no negatividad)

La variable artificial opera para mantener todas las variables no negativas cuando

0.6x1 + 0.4x2 es menor que 6. Si x1 = 0 y x2 = 0, entonces x5 = 0 y

0.6x1 + 0.4x2 - x5 + x6 = 6

x6 = 6 

En resumen, una restricción de la forma ³ se convierte a su forma de igualdad restando una variable  de excedente y sumando una variable artificial.             Consideremos el siguiente problema: 

Maximizar Z = 3x1 + 5x2    sujeta a     x1     ≤ 4          2x2 ≤ 12      3x1 + 2x2 = 18      x1≥0,   x2≥0    

Como explicamos anteriormente, para resolver este problema, debemos construir un problema artificial que tiene la misma solución óptima que el problema real, haciendo dos modificaciones a este problema real. 

1.   Se aplica la técnica de las variables artificiales introduciendo una variable artificial no negativa (denotada por x5) en la última ecuación, como si fuera una

variable de holgura: 

3x1 + 2x2 + x5 =18

2.   Se asigna una penalización enorme al hecho de tener x5 > 0, cambiando la

función objetivo

Z = 3x1 + 5x2 a:

Z = 3x1 + 5x2 - Mx5,

Donde M simbólicamente representa un número positivo muy grande. Este método

que fuerza a x5 hasta el nivel de x5 = 0 en la solución óptima se llama método de la M.

1.6.2 METODO DE LAS DOS FASES.

Paso inicial: Se revisan las restricciones del problema original introduciendo

variables artificiales según se necesite para obtener una solución básica factible

inicial obvia para el problema artificial.

 Fase 1: uso del método símplex para resolver el problema de programación lineal:

Minimizar  Z = S de todas las variables artificiales, sujeta a las

restricciones revisadas.

 La solución óptima que se obtiene para este problema (con Z = 0) será una

solución básica factible para el problema real.

 Fase 2: se eliminan las variables artificiales (de todas formas, ahora todas valen

cero). Comenzando con la solución básica factible que se obtuvo al final de la fase

1, se usa el método símplex para resolver el problema real.

 Enseguida se resumen los problemas que deben resolverse por el método

simplex en las fases respectivas para el ejemplo.

            Problema para la fase 1:

Minimizar         W = x4 + x6,Sujeta a:

0.3x1 + 0.1x2 + x3             = 2.70.5x1 + 0.5x2     + x4         = 60.6x1 + 0.4x2         - x5 + x6 = 6

yx1³≥0   x2³≥0   x3³≥0   x4³≥0   x5³≥0   x6³≥0    

           

  Problema para la fase 2:

Minimizar    Z = 0.4x1 + 0.5x2,Sujeta a:

0.3x1 + 0.1x2 + x3     = 2.70.5x1 + 0.5x2         = 60.6x1 + 0.4x2     - x5 = 6

yx1³≥0   x2³≥0   x3³≥0   x5³≥0

Las únicas diferencias entre estos dos problemas se encuentran en la función

objetivo y en la inclusión (fase 1) o exclusión (fase 2) de las variables artificiales x4

y x6. Sin las variables artificiales, el problema para la fase 2 no tiene una solución

básica factible inicial obvia. El único propósito de resolver el problema para la fase

1 es obtener una solución básica factible con x4 = 0 y x6 = 0 que se pueda usar

como la solución básica factible inicial para la fase 2. 

BIBLIOGRAFIA:http://www.ilustrados.com/tema/7352/Desarrollo-Investigacion-Operaciones.html

http://www.investigacion-operaciones.com/Historia.htm

http://antiguo.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/formulacion.html

http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/industrial/invoperaciones1/UIb.HTML

http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_investigacion-de-operaciones.html

http://www.mitecnologico.com/Main/FormasEstandarYCanonicasInvestigacionDeOperaciones

http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper1/tema22.htm

Taha Hamdy. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Séptima edición, México D.F., Prentice Hall. p.p 71 - 90