República Bolivariana de Venezuela

Universidad Fermín Toro

Facultad de Ingeniería

Cabudare – Edo Lara

Informe

Interpolación

Integrante: Víctor Rojas

CI: 21243151

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INDICEIntroducción.................................................................................................................................3

INTERPOLACIÓN...........................................................................................................................4

Elección de la interpolación más adecuada..............................................................................4

Polinomio interpolador................................................................................................................5

Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton..........................................6

INTERPOLACION LINEAL...............................................................................................................7

Interpolación lineal de una variable independiente.................................................................8

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)..................................................................................8

Interpolación de Lagrange......................................................................................................10

Ejemplos.....................................................................................................................................11

Interpolación lineal................................................................................................................11

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA...............................................................................................13

CONCLUSION..............................................................................................................................14

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Introducción

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad

en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha

de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para

estimar razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse

usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado

Interpolación

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos

matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más

profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática

aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las

herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos.

Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos

por diferentes razones:

No se adecúan al modelo concreto.

Su aplicación resulta excesivamente compleja.

La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier

interpretación posterior.

Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar

soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de

cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son

siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de

estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de

computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de

la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de

las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos

.

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INTERPOLACIÓN 

El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x),

de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre

entre dos valores consecutivos conocidos.

"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos".

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una

función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de

la misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder

estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos

quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones

más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de

menor grado que pase por la n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio

de grado n:   y= anxn+............+a1x+ao

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Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas

(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los

coeficientes es de Van der monde y por lo tanto distinto de cero)

 Polinomio interpolador

 Correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores

en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados

obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:

         Saber si tiene solución o no.

         En caso de tenerla, ¿dicha solución es ´única o existen varias?

         Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.

 A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado:

 Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto

de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único

polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que

interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.

 La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra)

consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son

los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema

compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde

(con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible.

Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en

imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis

del teorema.

Entonces

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P − Q es otro polinomio de grado n con n + 1 ceros, y eso conduce

inevitablemente a que

P − Q _ 0.

 Completamos este razonamiento con dos respuestas (en las siguientes

secciones) de existencia de solución, ambas constructivas.

Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.

 Cualquier polinomio de <n[x] se puede expresar en forma única como una

combinación lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn}, pues son

evidentemente sistema generador y además linealmente independientes (luego

forman una base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base

canoníca.

 Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de

polinomios como nombrábamos en la sección anterior (derivación e integración

por ejemplo), no es, sin embargo, la más adecuada para construir en principio

el polinomio interpolador.

 Vimos que resultaba útil incluir los propios nodos del problema en los

polinomios a construir, de modo que en este parágrafo adoptamos una solución

intermedia:

 Expresaremos el polinomio P(x) que interpola a las abscisas x0, x1, . . . ,

xn, como una combinación lineal del siguiente conjunto de

polinomios {             0(x),      1(x), . . . ,            n(x)} siendo:

             0(x) = 1,

                1(x) = (x − x0),

                2(x) = (x − x0)(x − x1),

                3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2),

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                n(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1)

 Este conjunto es otra base del espacio de <n[x] por tener n + 1 elementos

linealmente independientes (obsérvese que con este método cada problema

requiere una base distinta, en función de los nodos xi que nos dan, y que el

cálculo de cada sirve para el siguiente.)

INTERPOLACION LINEAL

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos

y cuadrática cuando se tomen tres. 

Interpolación lineal es un método de conexión usando polinomios lineales de

curva. Calcula el desconocido tasa como si se encuentra en una línea recta

entre los dos tipos, es la forma más sencilla para calcular la tasa de

desconocidos. Interpolación lineal y su cálculo profundamente empleadas en

análisis numérico particular de matemáticas y numerosas aplicaciones

incluyendo gráficos por computadora. Es una forma simple de interpolación

Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi

proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha

función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una

estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en cuenta

que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

fórmula general

La interpolación lineal:

x2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1

y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1

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Interpolación lineal de una variable independiente.

Es igual que hacer integrales cerradas. En una tabla se representan algunos

valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la

función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en

la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o

aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos

dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre

será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla,

veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable

independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación

lineal.

Por la tabla sabemos que:

y

Queremos, pues, saber:

Siendo:

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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el

nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se

encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es

preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios

interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa

por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):

EÇl error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea

recta.

Estrategias: 

– Disminuir el tamaño del intervalo. 

– Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos.

Si tres puntos de los datos están disponibles, esto puede realizarse con un

polinomio de segundo grado (parábola).

Puede utilizarse un procedimiento simple para determinar los valores de los

coeficientes.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, y evaluando en x = x1:

Sustituyendo nuevamente, y ahora evaluando en x = x2:

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Interpolación de Lagrange.

Este método es el más explícito para probar existencia de solución ya que la

construye.

Sin embargo su utilidad se reduce a eso: a dar una respuesta formal y

razonada, pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas

operaciones y tiene limitaciones técnicas que después nombraremos).

 Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos (xi,

fi) con i =

0, . . . , n podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si

construimos polinomios

 li(x) de grado n que valgan 1 en el nodo xi y 0 en el resto?

li(xk) = _ik = _ 1 si i = k, 0 si i 6= k.

 Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma

de esa n + 1 polinomios de grado n (con coeficientes adecuados):

 P(x) = Pn k=0 fk · lk(x).

¿Es posible encontrar tales li(x)? Si damos el polinomio facto izado para que

tenga en cada nodo xj (con j 6= i) una raíz, el candidato es:

 (x − x0)(x − x1) ·. . . · (x − xi−1)(x − xi+1) · . . . · (x − xn) = n Yj=0 j6=I (x − xj).

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Ejemplos

Interpolación lineal

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en

hallar una estimación del valor y , para un valor x tal que x1<x <x3.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

De igual forma podemos determinar por ejemplo que:

o lo que es equivalente

Despejando y obtenemos que:

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Algunas propiedades básicas de las proporciones son:

En toda Proporción se cumple que

I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos.

II) Alternar Extremos:

III) Alternar Medios:

IV) Permutar:

V) Invertir:

VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:

 

VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:

 

VIII) Componer y descomponer a la vez:

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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

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Sea la Tabla:• X Y• 1 2• 3 10• 5 26

Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes:

• m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4• m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8• Las pendientes no coinciden. NO hay

Interpolación lineal.• Debe pues hacerse una interpolación

cuadrática.

Interpolación lineal

CONCLUSIONEn numerosos métodos matemáticos observamos una cierta regularidad en la forma de

producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un método en situaciones

que no hemos medido directamente.

Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar

razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que

ajuste los datos. Este tema se le llama Interpolación.

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