Catedra: Dinmica

Catedrtico: Ing. Manuel Herrera Robledo

Trabajo: Unidad 6 Vibraciones Mecnicas

Nombre: Ahbdelay Gloria Rodriguez

No. De Control: 10480276

Carrera: Ingeniera Mecatrnica Semestre: 10

Das: L-J Hora: 18:00 a 19:00 Saln: 22C

Fecha: Junio 3 del 20156.1 Vibraciones Sin Amortiguamiento

1. INTRODUCCIN Movimiento vibratorio o vibracin es la variacin o cambio de configuracin de un sistema en relacin al tiempo, en torno a una posicin de equilibrio estable, su caracterstica fundamental es que es peridico, siendo frecuente el movimiento armnico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios. Los sistemas mecnicos al ser sometidos a la accin de fuerzas variables con el tiempo, principalmente peridicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuracin que perturban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida til de los mecanismos. Actualmente, el estudio y anlisis de las vibraciones mecnicas ha adquirido gran importancia en la supervisin de los sistemas mecnicos, sobre todo de elementos de tipo rotativo. Independientemente de los planes de mantenimiento correctivo y preventivo, el plan de mantenimiento predictivo se basa, principalmente, en el estudio de las vibraciones mediante la instalacin de sensores que permiten detectar vibraciones fuera de rango. En general, se suponen vibraciones de pequea amplitud porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio.

Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento recuperador elstico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c.

Se consideran las siguientes hiptesis:

a) La masa tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite nicamente desplazamientos verticales, e impide otros desplazamientos y giros.

b) El muelle tiene masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elstica es proporcional a su deformacin.

c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas mviles despreciables frente a la masa principal del sistema y est basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella.

d) El sistema se supone situado en el vaco. La ecuacin del equilibrio dinmico permite establecer la ecuacin diferencial del movimiento,

mx' '+cx'+kx = F

siendo F la fuerza aplicada directamente al sistema, -mx la fuerza de inercia , -cx la fuerza amortiguadora de tipo viscoso y -kx la fuerza elstica, con las condiciones m>0, c>0 y m>0 .

2. CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES.

Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, adems de las fuerzas o momentos internos.

Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en: Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema. Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.

3. VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO.

La ecuacin diferencial del movimiento es mx' '+kx = 0, su ecuacin caracterstica es

mr2 + k = 0, siendo sus races imaginarias conjugadas;

La solucin general es de la forma

donde a (amplitud) y (fase inicial) son constantes que se pueden determinar, en cada caso particular, con las condiciones iniciales.

La frecuencia natural de la vibracin y el periodo son

En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservacin de la energa mecnica, es decir, la suma de la energa cintica y el potencial elstico es constante e igual a la energa total comunicada inicialmente al sistema, por lo que se verifica la ecuacin:

VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO.

Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energa al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibracin es forzada. Si se introduce energa en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energa aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energa se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.

La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo peridico, es

donde F0 es la amplitud y la frecuencia de la fuerza excitadora. La solucin general de la ecuacin diferencial se obtiene aadiendo a la solucin general de la homognea una solucin particular de la completa

La ecuacin caracterstica es mr2+k= 0 , las races de esta ecuacin son imaginarias

conjugadas y la solucin general de la homognea es La solucin particular de la completa es xp = Acost. As, la solucin general tiene por la expresin:

En todo sistema no amortiguado y forzado armnicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armnicos, uno de frecuencia natural n y otro de 6 frecuencia de la fuerza exterior . La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a travs de la expresin denominada factor de resonancia:

BATIMIENTO. Fenmeno producido cuando la frecuencia natural del sistema (n) toma un valor muy prximo a la frecuencia de la fuerza exterior () , es decir, en el caso particular en que n = + . Para perturbacin inicial nula se obtiene

Se trata de un movimiento armnico de frecuencia n y de amplitud tambin armnica, sta crece hasta un mximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo este ciclo de forma peridica.RESONANCIA. Una caracterstica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, producindose cambios de configuracin de los sistemas mecnicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeas ya que depende de las caractersticas del material sometido a vibracin. Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del sistema es decir, cuando 0, se produce la resonancia, la ecuacin que rige dicho fenmeno es,

Expresin que corresponde a un movimiento armnico de frecuencia n y cuya amplitud tiende a infinito cuando t .

6.2 Vibraciones Amortiguadas

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTOEn todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energa mecnica debido a algn tipo de friccin o rozamiento, de forma que dejado libremente a s mismo, un muelle o pndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energa mecnica disminuyen con el tiempo. La ecuacin diferencial que describe el movimiento es mx''+cx'+kx = 0; la ecuacin caracterstica es mr2+cr+k = 0, cuyas races son:

Se presentan tres casos posibles:

a) Amortiguamiento supercrtico:

Las races r1 y r2 son reales y distintas. La solucin de esta ecuacin, amortiguada pero no armnica, es de la forma

donde C1 y C2 son las constantes de integracin. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posicin de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, ms tiempo tarda el sistema en alcanzar la posicin de equilibrio.

b) Amortiguamiento crtico:

La raz de la ecuacin caracterstica es doble e igual a

La solucin, amortiguada pero no armnica, es de la forma

c) Amortiguamiento subcrtico:

Las races son imaginarias conjugadas e iguales a,

y la frecuencia de la vibracin amortiguada es

La solucin es de la forma

Esta solucin es aproximadamente armnica, es decir, existe una cierta periodicidad en el movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T ' , que se puede expresar en funcin del periodo T correspondiente a la vibracin no amortiguada a travs de la relacin

Elevando al cuadrado la expresin de la frecuencia de la vibracin amortiguada, se tiene

Relacin que permite la determinacin del coeficiente de amortiguamiento para unas frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente.

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO. La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo peridico, F =F0 sent , es de la forma mx' '+cx'+kx = F.La ecuacin caracterstica correspondiente a la ecuacin diferencial homognea esSe supone amortiguamiento inferior al crtico para que resulte una vibracin, la solucin general se obtiene aadiendo a la solucin de la ecuacin diferencial de la homognea una solucin particular de la completa resultando

esta solucin consta de dos partes, una solucin transitoria, en la que el primer trmino ( xh ), al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la solucin estacionaria (xp) , en la que el sistema oscila con frecuencia , amplitud A constante y desfase cuyas expresiones son:

Bibliografa:http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/contenidos/tema-4/VIBRACIONESMECANICAS.pdf