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VI. TEORIA ESPECTRALEN ESPACIOS DEHILBERT
La teorıa espectral de cierta clase de operadores en espaciosde Hilbert fue iniciada por el propio Hilbert en 1904; tiene impor-tantes aplicaciones a problemas de analisis clasico, especialmenteen ecuaciones diferenciales. Tambien es una herramienta indis-pensable en el estudio de algebras de operadores en espacios deHilbert, que son los que forman la base matematica de la Mecani-ca Cuantica. Probaremos en este capıtulo el teorema espectral deoperadores autoadjuntos y normales sobre espacios de Hilbert.Dicho teorema sera una generalizacion del teorema de diagona-lizacion de las matrices hermıticas y representa la introduccionmas natural a la teorıa espectral de operadores arbitrarios enespacios de Hilbert.
SECCIONES
1. Introduccion.
2. Propiedades espectrales de operadores normales y autoadjuntos.
3. Teorema espectral de operadores normales compactos.
4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos compactos.
5. Operadores positivos.
6. Operadores proyeccion.
7. Funciones de operadores acotados autoadjuntos.
8. Teorema espectral de operadores autoadjuntos.
9. Teorema espectral de operadores autoadjuntos: segunda version.
10. Ejercicios.
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1. INTRODUCCION.
En este capıtulo ilustraremos el desarrollo de la teorıa espectral en espa-cios de Hilbert probando el teorema espectral de operadores autoadjuntos ynormales. Recordamos que, dado un operador lineal acotado T ∈ L(H1,H2)entre dos espacios de Hilbert complejos H1 y H2, se define el adjunto de Tcomo el operador T ∗ : H2 → H1 tal que ∀x ∈ H1, y ∈ H2 : 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉y se prueba que T ∗ ∈ L(H2,H1) y ‖T ∗‖ = ‖T‖. Un operador T ∈ L(H) esautoadjunto cuando T ∗ = T .
Los operadores autoadjuntos son una generalizacion directa de las matri-ces hermıticas, pues si T : Cn → Cn es un operador autoadjunto y (aij)la matriz asociada a T respecto de una base ortonormal de Cn, sabemosque aij = aji, i, j = 1, . . . , n, es decir la matriz es hermıtica. Recorda-remos en primer lugar el teorema de factorizacion de matrices hermıticasque se generalizara posteriormente con el teorema espectral de operadoresautoadjuntos.
Teorema. Sea H el espacio euclıdeo n-dimensional y T : H → H un opera-dor autoadjunto. Existe entonces una base ortonormal {u1, . . . , un} de H for-mada por vectores propios de T , es decir ∃λ1, . . . , λn ∈ C : Tuj = λjuj , j =1, . . . , n.
Para motivar los conceptos que se aplicaran a lo largo del capıtulo, damosotros enunciados equivalentes y consecuencias inmediatas del teorema ante-rior.
1.- Si llamamos Hi = 〈{ui}〉, i = 1, . . . , n, entonces THi ⊂ Hi; por tan-to,
H = H1 ⊕ · · · ⊕Hn suma directa ortogonal.
Todo espacio de dimension finita se puede descomponer como suma directaortogonal de subespacios de dimension 1 cada uno de ellos T -invariante.
2.- Si llamamos ahora Ti = T |Hi , i = 1, . . . , n, entonces
T = T1 + · · ·+ Tn.
3.- El teorema tambien se puede enunciar ası:
Existe una base {u1, . . . , un} de H respecto de la cual la matriz asociada es
diagonal Λ =
λ1 0. . .
0 λn
.
4.- Dada una base {u1, . . . , un} deH, si definimos la transformada de Fourierde un elemento x = c1u1 + · · · + cnun ∈ H como x = (x(1), . . . , x(n)) =
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(c1, . . . , cn), se tiene:
x = x(1)u1 + · · ·+ x(n)un〈x, y〉 = x(1) y(1) + · · ·+ x(n) y(n)
Tx =n∑i=1
λix(i)ui.
Si definimos la funcion a : {1, . . . , n} → C por a(i) = λi, entonces
y = Tx⇐⇒ y(i) = a(i)x(i),
es decir, aplicar el operador T a un elemento x equivale a multiplicar por ala transformada de Fourier x de x.
5.- Como toda funcion x definida en {1, . . . , n} es la transformada de Fourierde algun x ∈ H y |x(1)|2+· · ·+|x(n)|2 <∞, llamando µ a la medida discretadefinida en R y concentrada en los puntos {1, . . . , n}, se puede pensar x comoun elemento de L2(µ) siendo la correspondencia x 7→ x un isomorfismo entreH y L2(µ). El resultado de 3.- se puede expresar ahora como:
Existe un isomorfismo x 7→ x de H en L2(µ) en el que el operador T setransforma en la multiplicacion por a.
6.- Si llamamos S al espacio de los n primeros numeros naturales S ={1, . . . , n} con la topologıa discreta, se puede pensar la funcion real a comoun elemento de Cr(S) = {f : S → R : f continua}.
Si B = c0I + c1T + · · ·+ ckTk y definimos b(i) = c0 + c1a(i) + · · ·+ cka(i)k,
entoncesy = Bx⇐⇒ y(i) = b(i) · x(i), i = 1, . . . , n.
Mas generalmente, ∀b ∈ Cr(S), se puede definir un operador B por la formu-la anterior. Como la base {u1, . . . , un} es ortogonal,
‖x‖2 =∑
|x(i)|2, ‖Bx‖2 =∑
|b(i)|2 · |x(i)|2
=⇒ ‖B‖ = supi∈S
|b(i)| = ‖b‖∞.
En particular, si bn(i) → b(i), entonces Bn → B en norma.
7.- Supongamos ahora que a(i) 6= 0, ∀i ∈ S y a(i) 6= a(j) si i 6= j. Elconjunto de los operadores B correspondientes a los posibles b ∈ Cr(S)coincide con el algebra a = a(T ) generada por T , es decir el algebra deoperadores B = lımn
∑nk=1 ckT
k.
Ademas, si B ≥ 0, entonces b(i) ≥ 0 pues b(i) = 〈Bui, ui〉. Se tiene enton-ces:
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Existe un isomorfismo B 7→ b de a en Cr(S) tal que ‖B‖ = ‖b‖∞ y siB ≥ 0, entonces b(i) ≥ 0. En particular a T le corresponde la funciona(i) = λi.
8.- Para cada ∆ intervalo de R, se puede definir el operador P (∆) : H → Hpor y = P (∆)x si y(i) = ϕ∆(i)x(i), siendo ϕ∆ la funcion caracterıstica de∆. Dicho operador verifica:
i) P (∆) es un proyector en H.
ii) P (∅) = 0 y P (R) = I.
iii) Si ∆ =⋃n∈N
∆n, union disjunta, P (∆) =∑n∈N
P (∆n) = lımn
n∑k=1
P (∆k).
iv) Si ∆ = ∆1 ∩∆2, P (∆) = P (∆1) · P (∆2).
Se dice que P (∆) es la medida espectral de T pues P (∆) tiene las propie-dades de una medida comun salvo que no es un numero sino un proyec-tor.
9.- Si ∆j ∩ S = {j}, entonces P (∆j)x = x(j)uj , es decir, P (∆j) es laproyeccion sobre el autoespacio Hj = 〈{uj}〉 correspondiente a λj . Se tieneası la descomposicion I = P (∆1) + · · ·+ P (∆n) y
(∗) T = a(1)P (∆1) + · · ·+ a(n)P (∆n).
En definitiva:
A todo operador autoadjunto T le corresponde una medida espectral P (∆)con las propiedades i) a iv) de modo que se cumple (∗), formula llamadadescomposicion espectral de T .
Esta forma tan sencilla de expresar la imagen por T de cualquier elementox ∈ H es lo que hace atractiva la descomposicion. Otra forma de escribirla representacion anterior, mas adecuada para su generalizacion al caso dedimension infinita, se obtiene de la siguiente forma:
Suponemos como antes que los autovalores λ1, . . . , λn del operador T sondiferentes y que λ1 < . . . < λn; llamamos nuevamente {u1, . . . , un} a labase ortonormal de autovectores asociada y ∆i un intervalo en R tal que∆i ∩ S = {i} (i = 1, . . . , n).
Si Pi = P (∆i) : H → H es la proyeccion definida por Pix = x(i)ui =〈x, ui〉ui, se definen las proyecciones
E0 = 0, Ek =∑i≤k
Pi, k = 1, . . . , n
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Entonces, para todo x ∈ H se tiene la descomposicion
x =n∑i=1
(Ei − Ei−1)x y Tx =n∑i=1
λi(Ei − Ei−1)x.
Mas generalmente, si definimos
Eλ =∑λi≤λ
Pi, λ ∈ R,
tenemos que P1 = Eλ1 , Pi = Eλi− Eλi−1
(i = 2, . . . , n).
Como Eλ es constante si λ ∈ [λj−1, λj) (j = 2, . . . , n), podemos escribirtambien Pj = Eλj
−Eλj−0 (j = 1, . . . , n), con lo que, para todo x ∈ H,
x =n∑j=1
Pjx =n∑j=1
(Eλj−Eλj−0)x y Tx =
n∑j=1
λjPjx =n∑j=1
λj(Eλj−Eλj−0)x.
Si llamamos dEλ = Eλ − Eλ−0, podemos escribir T =∑n
j=1 λjdEλj, que es
la llamada representacion espectral de T . De esta representacion se obtieneademas que 〈Tx, y〉 =
∑nj=1 λjd〈Eλj
x, y〉, expresion que puede escribirsetambien como integral de Riemann-Stieltjes 〈Tx, y〉 =
∫∞−∞ λdµ(λ), donde
µ(λ) = 〈Eλx, y〉.
Debido a lo anterior se pueden hacer operaciones algebraicas numericas conel operador y tener informacion sobre el nuevo espectro. Por ejemplo, siT =
∑nk=1 λkPk, T
3 =∑n
k=1 λ3kPk y σ(T 3) = {λ3
1, . . . , λ3n}. Recıprocamente,
se pueden definir nuevos operadores como funciones del operador conocido.Por ejemplo, cosT = (cosλ1)P1 + · · ·+ (cosλn)Pn.
2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES NOR-MALES Y AUTOADJUNTOS.
Los operadores autoadjuntos pueden estudiarse como caso particular de losoperadores normales. Recordamos que un operador A ∈ L(H), donde H unespacio de Hilbert complejo, es normal cuando AA∗ = A∗A. Un ejemplotıpico lo forman los operadores de multiplicacion Mϕ ∈ L(L2(R)) definidospor Mϕf = ϕ · f , con ϕ ∈ L∞(R) fija. En este caso σr(Mϕ) = ∅, σp(Mϕ) ={λ ∈ C : m(ϕ−1(λ)) > 0}, ρ(Mϕ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}.En conclusion σ(Mϕ) = ϕ(R).
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Estudiaremos en esta seccion algunas propiedades de estas clases de opera-dores, que permitiran simplificar los argumentos en el desarrollo posteriorde la teorıa.
2.1.- Teorema. Un operador A ∈ L(H) es normal si y solo si ‖A∗x‖ =‖Ax‖, ∀x ∈ H.
Demostracion. Basta observar que ∀x ∈ H,
‖Ax‖2 = 〈Ax,Ax〉 = 〈A∗Ax, x〉 y ‖A∗x‖2 = 〈A∗x,A∗x〉 = 〈AA∗x, x〉. ♦
Una consecuencia inmediata de este resultado es que los nucleos N(A) yN(A∗) coinciden si A es normal.
En cuanto a la estructura de los operadores autoadjuntos, probaremos lossiguientes resultados.
2.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) operadores autoadjuntos y α, β ∈ R.Entonces αS + βT es autoadjunto. Ademas ST es autoadjunto si y solo siTS = ST .
Demostracion. De las propiedades del producto escalar, es evidente que
〈(αS + βT )x, y〉 = α〈Sx, y〉+ β〈Tx, y〉 = α〈x, Sy〉+ β〈x, Ty〉= 〈x, αSy〉+ 〈x, βTy〉 = 〈x, (αS + βT )y〉.
Con respecto a la segunda parte, si TS = ST , entonces
〈(ST )x, y〉 = 〈Tx, Sy〉 = 〈x, TSy〉 = 〈x, STy〉.
Recıprocamente, si ST es autoadjunto,
〈STx, y〉 = 〈x, STy〉 = 〈Sx, Ty〉 = 〈TSx, y〉, ∀x, y =⇒ TS = ST. ♦
2.3.- Teorema. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto si y solo si 〈Tx, x〉es real, ∀x ∈ H.
Demostracion. Si T es autoadjunto, 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉 de donde〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ H.
Recıprocamente, si 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ H, entonces, por definicion de adjun-to,
〈Tx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈T ∗x, x〉 =⇒ 〈(T − T ∗)x, x〉 = 0, ∀x ∈ H.
Como H es un espacio complejo, T − T ∗ = 0 (ver ejercicio 36 del capıtuloIII), es decir T es autoadjunto. ♦
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Veremos posteriormente otras similitudes entre ciertas clases de operadoresy algunos subconjuntos del campo complejo, que motivaran algunas propie-dades importantes de aquellos.
2.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, entonces ‖T‖ = sup‖x‖=1
|〈Tx, x〉|.
Demostracion. Llamemos α = sup‖x‖=1
|〈Tx, x〉|. Por la desigualdad de Cauchy-
Schwarz,∀x ∈ H, |〈Tx, x〉| ≤ ‖Tx‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖2.
Esto indica por un lado que α ≤ ‖T‖.
Para probar la desigualdad contraria, sean x, y ∈ H. Entonces
〈T (x+ y), x+ y〉 − 〈T (x− y), x− y〉 = 4Re〈Tx, y〉.
Si aplicamos la desigualdad triangular y la identidad del paralelogramo,obtenemos:
4|Re〈Tx, y〉| ≤ |〈T (x+ y), x+ y〉|+ |〈T (x− y), x− y〉|≤ α
(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2
)= 2α
(‖x‖2 + ‖y‖2
).
En particular, si tomamos x ∈ H con ‖x‖ = 1 y Tx 6= 0, y = ‖Tx‖−1Tx,resulta
‖Tx‖ = Re〈Tx, ‖Tx‖−1Tx〉 ≤ 12α(1 + 1) = α.
Obtenemos ası que ‖T‖ = sup‖x‖=1
‖Tx‖ ≤ α. ♦
2.5.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y M un subespacio de H inva-riante bajo T , entonces M⊥ es tambien invariante bajo T .
Demostracion. Es evidente pues, dados x ∈M, y ∈M⊥ arbitrarios,
0 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 =⇒ Ty⊥M. ♦
Estudiaremos a continuacion las propiedades espectrales de estas clases deoperadores. Ası como en los espacios de dimension finita el espectro nopuntual es vacıo, en los operadores normales probaremos que este se reduceal espectro continuo. Esto permite simplificar el estudio del espectro paraestos operadores, que son ademas los que se presentan en los ejemplos mascomunes.
2.6.- Teorema. Si A ∈ L(H) es normal, σr(A) = ∅.
Demostracion. Sea λ ∈ σr(A), λ 6= 0. Entonces (A− λI)H es un subespaciopropio de H. Por el teorema de proyeccion, existe un elemento v ∈ H no nulotal que 〈(A− λI)h, v〉 = 0, ∀h ∈ H. Entonces 〈h, (A∗ − λI)v〉 = 0, ∀h ∈ H
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lo que implica que (A∗− λI)v = 0 ası como ‖(A∗− λI)v‖2 = ‖(A−λI)v‖2 =0.
Deducimos ası que λ es autovalor, lo que contradice la suposicion inicial.♦
2.7.- Teorema. Si A es normal, rσ(A) = ‖A‖. Ademas, existe λ ∈ σ(A)tal que |λ| = ‖A‖.
Demostracion. a) Por ser A normal, ∀x ∈ H
‖Ax‖ = ‖A∗x‖ =⇒ ‖A(Ax)‖ = ‖A∗(Ax)‖=⇒ ‖A2‖ = sup
‖x‖=1‖A2x‖ = sup
‖x‖=1‖A∗Ax‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2.
Utilizando el hecho de que si A es normal, entonces Ak es normal, ∀k ∈ N,se prueba por induccion que ‖A2k‖ = ‖A‖2k
, ∀k ∈ N.
Si ahora aplicamos la formula del radio espectral de Gelfand,
rσ(A) = lımn→∞
n√‖An‖ = lım
k→∞2k√‖A2k‖ = lım
k→∞2k√‖A‖2k = ‖A‖.
b) Como la funcion | · | : σ(A) → R+ es continua y σ(A) es compacto, sealcanza el valor maximo en dicho conjunto, es decir existe λ ∈ σ(A) talque
|λ| = maxµ∈σ(A)
|µ| = supµ∈σ(A)
|µ| = rσ(A) = ‖A‖. ♦
2.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es un operador normal compacto, σp(A) 6= ∅y existe algun λ ∈ σp(A) tal que |λ| = ‖A‖.
Demostracion. Sea λ ∈ σ(A) tal que |λ| = ‖A‖.
- Si λ = 0, entonces T = 0, de modo que λ ∈ σp(A).
- Si λ 6= 0, entonces λ ∈ σp(A) (teorema 4.11, capıtulo V). ♦
2.9.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces:
a) Todos los autovalores de T (si existen) son reales.
b) Autovectores correspondientes a distintos autovalores son ortogonales.
Demostracion. a) Si λ es autovalor y Tx = λx con x 6= 0, entonces
λ〈x, x〉 = 〈λx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = λ〈x, x〉.
Esto implica que λ = λ, es decir λ es real.
b) Si λ y µ son autovalores y λ 6= µ, con Tx = λx y Ty = µy, entonces
λ〈x, y〉 = 〈λx, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 = 〈x, µy〉 = µ〈x, y〉.
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Esto implica que 〈x, y〉 = 0. ♦
2.10.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto,
λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖, ∀x ∈ H.
Demostracion. =⇒: Si λ ∈ ρ(T ), ∃Rλ = (T − λI)−1 y es acotado. Sillamamos ‖Rλ‖ = k > 0, entonces
‖x‖ = ‖RλTλx‖ ≤ ‖Rλ‖ · ‖Tλx‖ = k‖Tλx‖.
Esto implica que ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖ con c = 1/k.
⇐=: a) Veamos en primer lugar que Tλ : H → Tλ(H) es biyectiva:
Tλx = 0 =⇒ ‖Tλx‖ = 0 =⇒ c‖x‖ = 0 =⇒ x = 0.
b) Ademas Tλ(H) es denso en H:
x0⊥Tλ(H) =⇒ x0⊥Tλ(H) =⇒ 0 = 〈Tλx, x0〉 = 〈Tx, x0〉 − λ〈x, x0〉, ∀x ∈ H=⇒ 〈Tx, x0〉 = 〈x, Tx0〉 = 〈x, λx0〉, ∀x ∈ H =⇒ Tx0 = λx0.
Si x0 6= 0, λ es autovalor de T , por lo que λ = λ y Tλx0 = 0; entonces
0 = ‖Tλx0‖ ≥ c‖x0‖ > 0
lo que es absurdo. De aquı concluimos que x0 = 0 y Tλ(H)⊥
= {0}.
c) Por ultimo, Tλ(H) es cerrado:
Sea y ∈ Tλ(H); entonces existe una sucesion (yn)n∈N ⊂ Tλ(H) tal queyn → y. Si llamamos Tλxn = yn, entonces
‖xn − xm‖ ≤1c‖Tλxn − Tλxm‖ =
1c‖yn − ym‖ → 0
lo que implica que (xn)n∈N es de Cauchy. Como H es completo, existe x ∈ Htal que xn → x. De la continuidad de Tλ deducimos que yn = Tλxn → Tλx.Por la unicidad del lımite, Tλx = y.
Debido a b) y c), se deduce que Tλ(H) = H. Esto significa que Rλ = T−1λ
esta definido en todo H y es acotado, por la hipotesis, con lo que concluimosque λ ∈ ρ(T ). ♦
2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador autoadjunto T ∈ L(H) enun espacio de Hilbert H complejo es real. Mas aun, si m = ınf‖x‖=1〈Tx, x〉y M = sup‖x‖=1〈Tx, x〉, entonces σ(T ) ⊂ [m,M ].
Demostracion. a) Sea λ = α+ iβ, con β 6= 0. Si x ∈ H,
〈Tλx, x〉 = 〈Tx, x〉 − λ〈x, x〉〈Tλx, x〉 = 〈Tx, x〉 − λ〈x, x〉.
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Restando miembro a miembro,
−2i Im〈Tλx, x〉 = 〈Tλx, x〉 − 〈Tλx, x〉 = (λ− λ)〈x, x〉 = 2iβ‖x‖2.
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
|β| · ‖x‖2 = | Im〈Tλx, x〉| ≤ |〈Tλx, x〉| ≤ ‖Tλx‖ · ‖x‖.
Esto implica que |β| · ‖x‖ ≤ ‖Tλx‖. Como β 6= 0, del teorema anterior sededuce que λ ∈ ρ(T ).
b) Probaremos que si λ = M+c, con c > 0, es real, entonces λ ∈ ρ(T ):
Dado cualquier x 6= 0, llamamos v = ‖x‖−1x. Ası:
〈Tx, x〉 = ‖x‖2〈Tv, v〉 ≤ ‖x‖2 sup‖ev‖=1
〈T v, v〉 = 〈x, x〉 ·M.
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
‖Tλx‖ · ‖x‖ ≥ −〈Tλx, x〉 = −〈Tx, x〉+ λ〈x, x〉 ≥ (−M + λ)〈x, x〉 = c‖x‖2.
Dividiendo por ‖x‖, ‖Tλx‖ ≥ c‖x‖ =⇒ λ ∈ ρ(T ).
Analogamente se prueba que si λ < m, tambien λ ∈ ρ(T ). ♦
Las constantes m y M tienen una interesante relacion con la norma deT :
2.12.- Corolario. Si T es autoadjunto, ‖T‖ = max{|m|, |M |}.
Demostracion. Es consecuencia del teorema anterior y el teorema 2.4.
Se puede probar tambien que las cotas m y M de σ(T ) no pueden mejorarse,es decir:
2.13.- Teorema. Si H 6= {0} y T ∈ L(H) es autoadjunto, m,M ∈ σ(T ).
Demostracion. Debido a la equivalencia
M ∈ σ(T ) ⇐⇒M + k ∈ σ(T + kI) con k ∈ R,
podemos suponer sin perdida de generalidad que 0 ≤ m ≤M .
Por el teorema anterior, como M = sup‖x‖=1〈Tx, x〉 = ‖T‖, entonces dadacualquier sucesion (δn)n∈N de numeros reales no negativos, con δn → 0,
∃(xn)n∈N : ‖xn‖ = 1, 〈Txn, xn〉 ≥M − δn.
Entonces ‖Txn‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn‖ = ‖T‖ = M y, como T es autoadjunto,
‖Txn −Mxn‖2 = 〈Txn −Mxn, Txn −Mxn〉= ‖Txn‖2 − 2M〈Txn, xn〉+M2‖xn‖2
≤ M2 − 2M(M − δn) +M2 = 2Mδn → 0.
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Por tanto, no existe ningun c > 0 tal que
‖TMxn‖ = ‖(T −MI)xn‖ ≥ c = c‖xn‖
lo que quiere decir que M no puede estar en ρ(T ).
La demostracion de que m ∈ σ(T ) es similar. ♦
2.14.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, ‖T‖ = sup{|λ| : λ ∈σ(T )}.
Si un operador autoadjunto es ademas compacto, podemos precisar el resul-tado del teorema 2.13.
2.15.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces m,M ∈σp(T ) siempre que sean no nulos.
Demostracion. El teorema 4.11 del capıtulo V afirma que todo punto espec-tral no nulo de un operador compacto es un autovalor. De aquı se deduceinmediatamente el resultado. ♦
2.16.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces suespectro puntual es no vacıo.
Demostracion. Si alguno de los valores m,M es no nulo, pertenece a σp(T )segun el resultado anterior. Por otra parte, sim = M = 0, entonces 〈Tx, x〉 =0, ∀x ∈ H. Esto implica que T = 0 y λ = 0 es autovalor. ♦
A continuacion definimos el espectro aproximado de un operador, muy utilpor poderse describir bajo condiciones poco rigurosas y, que en el caso deoperadores normales, es especialmente simple.
2.17.- Definicion. Dado A ∈ L(H), se dice que λ es un autovalor aproxi-mado de A si
∀ε > 0, ∃x ∈ D(A) : ‖x‖ = 1, ‖(A− λI)x‖ < ε.
Llamaremos espectro aproximado de A al conjunto Π(A) de autovaloresaproximados de A.
A continuacion, enunciamos sin demostrar algunas propiedades basicas delespectro aproximado.
2.18.- Teorema. λ ∈ Π(A) ⇐⇒ A− λI no tiene inversa acotada.
Esto implica en particular que Π(A) ⊂ σ(A). En el caso de operadoresnormales, es cierto tambien el recıproco. Tenemos ası:
2.19.- Teorema. Si A es normal, Π(A) = σ(A).
Este resultado nos proporcionara una forma mas conveniente de caracterizarlos valores espectrales de un operador normal.
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2.20.- Teorema. Sea A ∈ L(H). Son equivalentes:
i) ∃λ ∈ Π(A) : |λ| = ‖A‖;
ii) ‖A‖ = sup‖x‖=1 |〈Ax, x〉|.
De los resultados anteriores se desprende que la condicion i) siempre severifica para operadores normales, de modo que ii) permite calcular la normade un operador normal.
3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES NORMALESCOMPACTOS.
En esta seccion damos el primer paso en la generalizacion del teorema es-pectral de operadores en espacios euclıdeos pues la descomposicion que seobtiene en el caso de operadores compactos viene dada en forma de serieinfinita. Mas proxima aun es la descomposicion de los operadores de rangofinito, de modo que empezaremos estudiando este caso.
Los operadores normales de rango finito poseen una gran similitud con losoperadores lineales definidos en espacios de dimension finita: por ejemplo,su espectro puntual consiste tambien en un numero finito de autovalores.Ademas, su espectro residual es vacıo y su espectro continuo contiene alo sumo el cero. Ahora bien, si 0 ∈ σc(A), A(H) = H y, al ser A(H) dedimension finita, es cerrado con lo que no puede ser igual a H si la dimensionde H es infinita.
Veremos pues que el teorema espectral tiene una forma completamenteanaloga al caso finito-dimensional. El resultado que obtengamos nos ser-vira de guıa para tratar de extenderlo a casos mas generales. Por ultimo,queremos indicar que estos operadores poseen su propio interes pues con fre-cuencia en las aplicaciones practicas aparecen, o bien operadores de rangofinito, o bien operadores que se pueden expresar como lımites de sucesionesde estos operadores.
En la prueba del teorema espectral necesitaremos el siguiente lema.
3.1.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) un operador compactonormal. Entonces
⋂λ∈C N(T − λI)⊥ = {0}.
Demostracion. Si llamamos L =⋃λ∈C N(Tλ), debemos probar que L⊥ =
{0}, lo que se deduce de las siguientes propiedades elementales:
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- TTλ = TλT y T ∗Tλ = TλT∗, ∀λ ∈ C.
- T (N(Tλ)) ⊂ N(Tλ) y T ∗(N(Tλ)) ⊂ N(Tλ).
- T (L) ⊂ L y T ∗(L) ⊂ L.
- T (L⊥) ⊂ L⊥ y T ∗(L⊥) ⊂ L⊥.
Si suponemos que L⊥ 6= {0}, podemos considerar el operador A = T |L⊥ , quees normal y compacto. Entonces existe algun λ ∈ σp(A) tal que |λ| = ‖A‖.Sea x 6= 0 algun autovector asociado a λ. Entonces
Aλx = Tλx = 0 =⇒ x ∈ N(Tλ) ⊂ L =⇒ x ∈ L ∩ L⊥ = {0}
lo que es absurdo. ♦
3.2.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal. Son equivalentes:
i) T tiene rango finito.
ii) T es compacto y σp(T ) es un conjunto finito.
En cualquier caso, si σp(T ) = {λ1, . . . , λn} y Ei es la proyeccion orto-gonal sobre N(T − λiI) (i = 1, . . . , n), entonces:
a) T =∑n
i=1 λiEi.
b) Ei⊥Ej para i 6= j.
c)∑n
i=1Ei = I.
Demostracion. i) =⇒ ii): Por ser T de rango finito, es compacto y su es-pectro puntual es a lo sumo numerable. Supongamos pues que σp(T ) ={λ1, . . . , λn, . . . } con λi 6= λj , ∀i 6= j. Entonces
∃xi ∈ H : xi 6= 0, Tλixi = 0, ∀i ∈ N.
Como T es normal, el conjunto {x1, . . . , xn, . . . } es ortogonal. Entonces elconjunto {T (λ−1
n xn) : λn 6= 0} es linealmente independiente e infinito; estoimplica que dimR(T ) = ∞ lo que es absurdo.
ii) =⇒ i): Supongamos que σp(T ) = {λ1, . . . , λn}, con λi 6= λj (i 6= j).Por ser T normal, autovectores correspondientes a autovalores distintos sonortogonales, lo que implica que N(T −λiI)⊥N(T −λjI)) (i 6= j) y podemosformar la suma directa ortogonal M =
⊕ni=1N(T − λiI); veamos que M =
H.
El espacio M es cerrado por ser suma directa ortogonal de subespacioscerrados. Ademas, si llamamos L =
⋃ni=1N(T − λiI), teniendo en cuenta
que L⊥ = M⊥, basta probar que L⊥ = {0} para deducir que M = H.
251
En efecto, si λ 6∈ σp(T ), N(Tλ) = {0}, por lo que podemos escribir L =⋃λ∈C N(Tλ). Aplicando el lema anterior, L⊥ =
⋂λ∈C N(Tλ)⊥ = {0}.
De lo anterior se obtiene tambien que, ∀x ∈ H, existe xi ∈ N(T − λiI) (i =1, . . . , n), tal que x =
∑ni=1 xi y la descomposicion es unica. Entonces
Tx =n∑i=1
Txi =n∑i=1
λixi ∈n⊕i=1
N(T − λiI).
Por ser T compacto, N(T − λiI) tiene dimension finita, de lo que se deduceque R(T ) tiene dimension finita, es decir que T es de rango finito.
Para probar la ultima parte, supongamos que T es un operador compactoy σp(T ) = {λ1, . . . , λn}. Si llamamos Ei a la proyeccion ortogonal sobreN(T − λiI) (i = 1, . . . , n), debido a que
N(T − λiI) ⊂ N(T − λjI)⊥, (i 6= j),
se deduce que Ei⊥Ej (i 6= j).
De la descomposicion x =∑n
i=1 xi, con xi ∈ N(T − λiI), resulta:
Ekx =n∑i=1
Ekxi = Ekxk = xk,
de donde x =∑n
i=1Eix, es decir∑n
i=1Ei = I. Ademas
Tx =n∑i=1
Txi =n∑i=1
λixi =n∑i=1
λiEix =⇒ T =n∑i=1
λiEi. ♦
Probaremos por ultimo que la descomposicion anterior es unica.
3.3.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal que verifica las condiciones a), b) y c) del teorema anterior. Entoncesσp(T ) = {λ1, . . . , λn} y Ei es la proyeccion ortogonal sobre N(T − λiI)(i = 1, . . . , n).
Demostracion. Aplicando Ek en la igualdad c) y teniendo en cuenta queEiEk = 0 si i 6= k, obtenemos que
Ek =n∑i=1
EkEi = E2k ,
lo que prueba que Ek es un operador proyeccion.
Sea ahora x ∈ R(Ei). Entonces Eix = x, de donde TEix = Tx pero, por a),resulta tambien que
EiTx = λiEix = λix = Tx.
252
Esto indica a su vez que x es autovector asociado al autovalor λi. Paraver que T no tiene mas autovalores, supongamos que Tx = µx (x 6= 0).Entonces, de a) y c), deducimos que
∑ni=1(λi − µ)Eix = 0. Aplicando Ek y
teniendo en cuenta b), resulta que (λk − µ)Ekx = 0, k = 1, . . . , n.
Si µ 6= λk, ∀k, entonces Ekx = 0, ası como∑n
i=1Ekx = 0, lo que es absur-do.
Comprobaremos por ultimo que Ei es la proyeccion ortogonal sobre N(T −λiI). Sea para ello x ∈ N(T − λiI); entonces (T − λiI)x = 0, de dondenuevamente
∑nk=1(λk−λi)Ekx = 0. Aplicando ahora Ej , tenemos que (λj−
λi)Ejx = 0, es decir Ejx = 0, si j 6= i.
Por tanto, x =∑n
k=1Ekx = Eix lo que implica que x ∈ R(Ei).
Recıprocamente, si x ∈ R(Ei), ya probamos que x es autovector de T aso-ciado al autovalor λi, es decir x ∈ N(T − λiI). ♦
Si el operador no tiene rango finito pero es compacto, la descomposicionespectral presenta la unica diferencia de que la suma no sera finita, peroaparece en forma de serie infinita, pues sabemos que el espectro puntualtiene como maximo un conjunto numerable de puntos.
Para obtener la correspondiente descomposicion, se debe introducir en pri-mer lugar el concepto de convergencia de una familia de operadores {Tα}α∈Ia un operador T como extension de la idea de convergencia fuerte de suce-siones de operadores.
Para ello, sea H un espacio de Hilbert complejo y {Mα : α ∈ I} una familiade subespacios cerrados de H. Definimos
∑α∈IMα como el conjunto de
sumas conmutativamente convergentes∑
α∈I xα, con xα ∈Mα, introducidasen el capıtulo III (definicion 4.4). Las caracterısticas de este conjunto semuestran en los siguientes resultados.
3.4.- Proposicion. Si llamamos M =∑
α∈IMα, entonces
a) 〈⋃α∈IMα〉 = M .
b) Si Mα⊥Mβ, α 6= β, entonces 〈⋃α∈IMα〉 = M
(en lo sucesivo utilizaremos la notacion⊕
α∈IMα para indicar la clausu-ra del espacio generado por
⋃α∈IMα, donde {Mα}α∈I es una familia de
subespacios cerrados y ortogonales dos a dos).
3.5.- Proposicion. Sea {Mα}α∈I una familia ortogonal de subespacios cerra-dos de H. Entonces:
(x⊥⋃α∈I
Mα =⇒ x = 0) ⇐⇒ H = 〈⋃α∈I
Mα〉 =⊕α∈I
Mα
253
(en similitud al concepto de conjunto ortonormal completo definido en elcapıtulo III).
La prueba es en algun sentido similar a su analoga relativa a las basesortonormales.
3.6.- Proposicion. Las sumas convergentes y los operadores lineales aco-tados conmutan, es decir, si T ∈ L(H), entonces
x =∑α∈I
xα =⇒ Tx =∑α∈I
Txα.
Una extension del concepto de convergencia fuerte de una sucesion de ope-radores es la siguiente:
3.7.- Definicion. Una familia {Tα}α∈I de operadores en L(H) es sumablea T cuando
∑α∈I Tαx = Tx, ∀x ∈ H. Escribiremos en este caso
∑α∈I Tα =
T .
3.8.- Proposicion. Si {Eα}α∈I es una familia de proyecciones ortogonalescon Eα⊥Eβ si α 6= β, entonces
∑α∈I Eα es la proyeccion ortogonal sobre⊕
α∈IMα, donde Mα = R(Eα), ∀α.
Demostracion. Sea E la proyeccion ortogonal sobre M =⊕
α∈IMα que esun subespacio cerrado.
Todo z ∈ H tiene la descomposicion unica z = x + y con x ∈ M , y ∈ M⊥,y x =
∑α∈I xα con xα ∈Mα. Por otro lado, si β ∈ I, Eβx = xβ y Eβy = 0,
∀y ∈M⊥ ⊂M⊥β .
Esto implica que Eβz = Eβx+ Eβy = xβ. Entonces
Ez = x =∑α∈I
xα =∑α∈I
Eαz, ∀z ∈ H =⇒ E =∑α∈I
Eα. ♦
Con la notacion y conceptos anteriores, obtenemos el teorema espectral paraoperadores normales compactos.
3.9.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operadornormal compacto. Entonces σp(T ) es finito o numerable. Ademas
i) H = N(T )⊕⊕
λ∈σp(T )λ6=0
N(T − λI) =⊕λ∈C
N(T − λI).
Tambien H =⊕λ∈C
N(T ∗ − λI).
ii) R(T ) = R(T ∗) =⊕λ6=0
N(T − λI) =⊕λ6=0
N(T ∗ − λI).
254
iii) T =∑λ∈C
λEλ =∑
λ∈σp(T )
λEλ, I =∑λ∈C
Eλ, donde Eλ representa la pro-
yeccion ortogonal sobre N(T − λI).
De este modo, el espacio H se descompone en subespacios en cada uno delos cuales el operador T es simplemente la multiplicacion de un elementopor un numero particular.
Demostracion. i) Como los autovectores asociados a distintos autovaloresson ortogonales y si λ 6∈ σp(T ), N(Tλ) = {0}, tenemos que {N(Tλ) : λ ∈ C}es una familia ortogonal de subespacios cerrados de H.
Al ser T normal y compacto,
x⊥N(Tλ), ∀λ ∈ C =⇒ x = 0.
Por la proposicion 3.5, esto equivale a
H = 〈⋃λ∈C
N(Tλ)〉 =⊕λ∈C
N(Tλ) = N(T )⊕⊕λ∈Cλ6=0
N(Tλ) = N(T )⊕⊕
λ∈σp(T )λ6=0
N(Tλ).
ii) Como T es normal, N(T ) = N(T ∗), de donde R(T ) = N(T ∗)⊥ = N(T )⊥.De aquı se obtiene la descomposicion
H = N(T )⊕ R(T ).
Por otra parte,H = N(T )⊕
⊕λ6=0
N(Tλ).
De estas dos descomposiciones y debido a que el complemento ortogonal deun subespacio es unico, resulta que R(T ) =
⊕λ6=0N(Tλ).
iii) El conjunto {Eλ : λ ∈ C} es una familia de proyecciones ortogonales talque Eλ⊥Eµ (λ 6= µ). Por la proposicion 3.8, la suma E = E0 +
∑λ∈σp(T )λ6=0
Eλ
es la proyeccion ortogonal sobre N(T ) ⊕⊕
λ∈σp(T )λ6=0
N(Tλ) = H. Pero la
proyeccion sobre todo el espacio H es la identidad, de modo que
I = E0 +∑
λ∈σp(T )λ6=0
Eλ.
Si escribimos para cada x ∈ H,
x = x0 +∑
λ∈σp(T )λ6=0
xλ, x0 ∈ N(T ), xλ ∈ N(Tλ),
255
entonces
Tx = Tx0 +∑
λ∈σp(T )λ6=0
Txλ =∑
λ∈σp(T )λ6=0
λxλ =∑
λ∈σp(T )λ6=0
λEλx. ♦
Observaciones. a) Como T es compacto, como maximo un conjunto nu-merable de espacios de la forma N(T − λI) sera no trivial.
b) Si T es un operador compacto arbitrario, se tiene la descomposicionT = A+ iB, con A y B operadores normales compactos. Ası pues, conocidaslas descomposiciones espectrales A =
∑j∈N λjPj y B =
∑k∈N µkQk, se
obtiene que T =∑
j∈N λjPj+i∑
k∈N µkQk, pero como Pj y Qk no conmutan,la descomposicion espectral no se puede mejorar.
4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS COMPACTOS.
En esta seccion estudiaremos el caso particular de los operadores autoad-juntos compactos y obtendremos una representacion concreta de los mis-mos. Ası pues, H sera un espacio de Hilbert complejo de dimension infinita,T ∈ L(H) un operador autoadjunto compacto con infinitos autovalores, loscuales como sabemos forman un conjunto numerable de numeros reales cuyounico posible punto de acumulacion es el cero.
Ordenamos el conjunto de autovalores {λn}n∈N de modo que |λn| ≥ |λn+1|, n =1, 2, . . . , y llamamos Nn = N(T−λnI) = {x ∈ H : Tx = λnx}, n = 1, 2, . . . ,es decir, el autoespacio correspondiente al autovalor λn.
Como Nn tiene dimension finita, tiene una base ortonormal de autovectoresque designaremos por {umn−1+1, umn−1+2, . . . , umn} (donde m0 = 0) y, sin 6= m, cada punto de Nn es ortogonal a Nm. Se deduce de ello que {un}n∈Nes ortonormal.
4.1.- Lema. Si llamamos F al subespacio generado por la familia {un}n∈N,entonces T (F ) ⊂ F y T |F⊥ = 0.
Demostracion. Como cada punto de {un : n ∈ N} es autovector de T , esevidente que T (F ) ⊂ F de lo que se deduce ademas que T (F⊥) ⊂ F⊥.
Es claro que T |F⊥ es autoadjunto por lo que existe λ ∈ σ(T |F⊥) con |λ| =‖T |F⊥‖.
256
Si suponemos que T |F⊥ 6= 0, es facil comprobar que T |F⊥ es compacto, demodo que λ debe ser autovalor de T |F⊥ .
Sea x 6= 0 un autovector asociado a λ. Entonces Tx = (T |F⊥)x = λx con loque λ es tambien autovalor de T . Entonces λ = λn para algun n y x ∈ Nn.Como Nn ⊂ F y x ∈ F⊥, entonces x = 0, lo que es absurdo. ♦
Siguiendo la notacion anterior, es facil ver ademas que F⊥ = N(T ). Lla-mamos ahora µn = λk si n = mk−1 + 1, . . . ,mk y k = 1, 2, . . . EntoncesTun = µnun, n = 1, 2, . . . , lo que permite obtener la siguiente generaliza-cion del teorema de diagonalizacion de matrices simetricas.
4.2.- Teorema. En las condiciones y notacion anteriores, para cualquierx ∈ H, Tx =
∑n∈N
µn〈x, un〉un.
Demostracion. Sea x ∈ H y hacemos x = y + z con y ∈ F, z ∈ F⊥. Por ellema anterior, Tx = Ty + Tz = Ty ∈ F .
Como {un : n = 1, 2, . . . } es base ortonormal de F ,
Tx =∑n∈N
〈Tx, un〉un =∑n∈N
〈x, Tun〉un =∑n∈N
µn〈x, un〉un. ♦
El siguiente resultado permite calcular numericamente los autovalores deciertos operadores autoadjuntos compactos.
4.3.- Corolario. ∀n ∈ N, |µn| = sup{|〈Tx, x〉| : ‖x‖ = 1 y 〈x, um〉 = 0 para1 ≤ m ≤ n− 1}.
Demostracion. Es obvio que 〈Tun, un〉 = µn. Ademas si x ∈ H y 〈x, um〉 =0, ∀m = 1, . . . , n− 1, entonces
Tx =∞∑m=n
µm〈x, um〉um y 〈Tx, x〉 =∞∑m=n
µm|〈x, um〉|2.
Como la serie∑∞
n=1 |〈x, un〉|2 converge y∑∞
n=1 |〈x, un〉|2 ≤ ‖x‖2, resultaque, como ademas |µm| ≤ |µn| para m ≥ n,
|〈Tx, x〉| ≤∞∑m=n
|µm| · |〈x, um〉|2 ≤ |µn| ·∞∑m=n
|〈x, um〉|2 ≤ |µn| · ‖x‖2. ♦
Otra direccion en la que puede obtenerse la teorıa espectral de operadoresautoadjuntos compactos es debida a Riesz y no utiliza la teorıa de Riesz-Schauder. El primer paso consiste en probar directamente que existe λ auto-valor de T tal que |λ| = ‖T‖ (corolario 2.8). A continuacion, un argumentoinductivo prueba que existen dos sucesiones (µn)n∈N ⊂ R y (un)n∈N ⊂ Htales que Tun = µnun, ∀n, y se satisface el corolario anterior. Por ultimo se
257
ve que todos los autovalores de T aparecen al menos una vez en (µn)n∈N yque se cumple el teorema de descomposicion anterior.
El ultimo resultado de esta seccion proporciona una caracterizacion de laresolvente de los operadores en estudio.
4.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto compacto y λ unelemento no nulo de la resolvente de T , entonces
(T − λI)−1x = − 1λx− 1
λ
∑n∈N
µnλ− µn
〈x, un〉un,∀x ∈ H.
Demostracion. Sean x ∈ H, y = (T − λI)−1x. Entonces
x = (T − λI)y =∞∑n=1
µn〈y, un〉un − λy,
de donde y + 1λx =
∑∞n=1
µn
λ 〈y, un〉un. Resulta que
〈y, um〉+1λ〈x, um〉 = 〈y +
1λx, um〉 =
∞∑n=1
µnλ〈y, un〉〈un, um〉
=µmλ〈y, um〉 =⇒ 〈y, um〉 =
1µm − λ
〈x, um〉.
En definitiva, y = (T − λI)−1x = − 1λx− 1
λ
∑n∈N
µnλ− µn
〈x, un〉un. ♦
5. OPERADORES POSITIVOS.
La situacion en el caso de operadores autoadjuntos no necesariamente com-pactos es mas complicada. En primer lugar, el espectro, aunque es un subcon-junto de R, puede no ser numerable. Ası, mientras un operador autoadjuntocompacto se representa por una serie, un operador autoadjunto general serepresenta por una integral, la cual involucra operadores que son proyec-cion ortogonal. En la construccion de estos son importantes los operadorespositivos. Por tanto, el estudio de los operadores positivos y sus raıces cua-dradas sera una herramienta util para deducir una representacion espectralde los operadores autoadjuntos. El metodo que se desarrolla aquı se debe aF. Riesz (1934).
258
En el conjunto de operadores autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert com-plejo H, debido a que 〈Tx, x〉 es real, se puede introducir una relacion deorden ası:
T1 ≤ T2 si 〈T1x, x〉 ≤ 〈T2x, x〉, ∀x ∈ H.Esto nos lleva en particular a definir los operadores positivos.
5.1.- Definicion. Un operador autoadjunto T ∈ L(H) es positivo, y seescribe T ≥ 0, si 〈Tx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.
Los siguientes resultados describen la estructura de los operadores positi-vos.
5.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) dos operadores positivos. Entonces
a) S + T es positivo.
b) Si α ∈ R+, αS es positivo.
c) Si ST = TS, ST es positivo.
Demostracion. La demostracion de a) y b) es evidente. Veamos pues el apar-tado c).
Si S = 0, es trivial.
Si S 6= 0, definimos la sucesion S1 = ‖S‖−1S, Sn+1 = Sn − S2n, n =
1, 2, . . .
*) Se prueba por induccion que 0 ≤ Sn ≤ I:Como S ≥ 0, S1 ≥ 0. Ademas S1 ≤ I pues
〈S1x, x〉 =1‖S‖
〈Sx, x〉 ≤ ‖Sx‖ · ‖x‖‖S‖
≤ ‖x‖2 = 〈x, x〉 = 〈Ix, x〉, ∀x ∈ H.
Si hacemos la hipotesis inductiva de que 0 ≤ Sk ≤ I, es decir 0 ≤I − Sk ≤ I, como Sk es autoadjunto, para todo x ∈ H, y = Skx,tenemos:
〈S2k(I − Sk)x, x〉 = 〈(I − Sk)Skx, Skx〉 = 〈(I − Sk)y, y〉 ≥ 0,
de modo que S2k(I − Sk) ≥ 0.
Analogamente se prueba que Sk(I − Sk)2 ≥ 0.Aplicando a), 0 ≤ S2
k(I − Sk) + Sk(I − Sk)2 = Sk − S2k = Sk+1.
Por otra parte, como S2k ≥ 0, I − Sk ≥ 0, sumando:
0 ≤ S2k + I − Sk = I − Sk+1 =⇒ Sk+1 ≤ I.
*) Veamos por ultimo que 〈STx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.De lo anterior se deduce que
S1 = S21 + S2 = S2
1 + S22 + S3 = · · · = S2
1 + S22 + · · ·+ S2
n + Sn+1.
259
Como Sn+1 ≥ 0, S21 + · · ·+ S2
n = S1 − Sn+1 ≤ S1.Por la definicion de la relacion “≤”tenemos:
n∑j=1
‖Sjx‖2 =n∑j=1
〈Sjx, Sjx〉 =n∑j=1
〈S2j x, x〉 ≤ 〈S1x, x〉.
Esto indica que∑
n ‖Snx‖2 es una serie convergente, de donde ‖Snx‖ →0 ası como Snx→ 0. Entonces
( n∑j=1
S2j
)x = (S1 − Sn+1)x→ S1x.
Todos los Sj conmutan con T pues son combinaciones lineales de S1 =‖S‖−1S. Por ello y de la continuidad del producto escalar deducimosque, para todo x ∈ H, si llamamos yj = Sjx,
〈STx, x〉 = ‖S‖〈TS1x, x〉
= ‖S‖ lımn
n∑j=1
〈TS2j x, x〉 = ‖S‖ lım
n
n∑j=1
〈Tyj , yj〉 ≥ 0. ♦
5.3.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces T es positivo si ysolo si σ(T ) ⊂ [0,∞).
Demostracion. Recordamos que σ(T ) ⊂ [m,M ], donde
m = ınf{〈Tx, x〉 : ‖x‖ = 1} y M = sup{〈Tx, x〉 : ‖x‖ = 1}.
Si T ≥ 0, entonces m ≥ 0 y σ(T ) ⊂ [0,∞).
Recıprocamente, si σ(T ) ⊂ [0,∞), como m ∈ σ(T ), entonces m ≥ 0, dedonde 〈Tx, x〉 ≥ 0, para todo x de norma uno. Esto implica que T ≥ 0.♦
La relacion de orden definida en los operadores autoadjuntos sugiere tambienel siguiente concepto.
5.4.- Definicion. Una sucesion {Tn} de operadores autoadjuntos en un
espacio de Hilbert H es monotona
{creciente
decreciente
}si
{T1 ≤ T2 ≤ . . .T1 ≥ T2 ≥ . . .
}.
Una propiedad interesante de las sucesiones monotonas, que sera crucialen el resultado final, generaliza el hecho de que toda sucesion monotona yacotada de numeros reales es convergente. Es la siguiente:
5.5.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y {Tn}n∈N una su-cesion monotona creciente de operadores autoadjuntos en H tal que TiTj =TjTi, ∀i, j. Sea K ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que T1 ≤ T2 ≤
260
· · · ≤ K y TiK = KTi, ∀i. Entonces existe T ∈ L(H) autoadjunto tal queTnx→ Tx, ∀x ∈ H y T ≤ K.
Nota. Este teorema fue demostrado por Nagy (1942) pero una prueba ge-neral sin la condicion de permutabilidad es debida a Vigier (1946).
Demostracion. Llamamos Sn = K−Tn; claramente Sn es autoadjunto.
Primer paso. Probaremos que (〈S2nx, x〉)n∈N es una sucesion convergente
para todo x ∈ H.
Observamos en primer lugar que, si m < n, Tn−Tm y K−Tm son positivos.Como ambos conmutan, su producto es positivo. Entonces
S2m − SnSm = (Sm − Sn)Sm = (Tn − Tm)(K − Tm) ≥ 0 =⇒ S2
m ≥ SnSm
y, analogamente,
SnSm − S2n = Sn(Sm − Sn) = (K − Tn)(Tn − Tm) ≥ 0 =⇒ SnSm ≥ S2
n.
Ambos resultados indican que S2n ≤ SnSm ≤ S2
m para m < n.
Ademas
〈S2mx, x〉 ≥ 〈SnSmx, x〉 ≥ 〈S2
nx, x〉 = 〈Snx, Snx〉 = ‖Snx‖2 ≥ 0,
por lo que la sucesion(〈S2nx, x〉
)n∈N, con x fijo, es decreciente y acotada
inferiormente por cero. Entonces converge.
Segundo paso. Veamos ahora que (Tnx)n∈N converge.
Como los Sn son autoadjuntos y conmutan y −2〈SmSnx, x〉 ≤ −2〈S2nx, x〉
cuando m < n, obtenemos que
‖Smx− Snx‖2 = 〈(Sm − Sn)x, (Sm − Sn)x〉 = 〈(Sm − Sn)2x, x〉= 〈S2
mx, x〉 − 2〈SmSnx, x〉+ 〈S2nx, x〉 ≤ 〈S2
mx, x〉 − 〈S2nx, x〉.
De la convergencia de(〈S2nx, x〉
)n∈N se deduce que la sucesion (Snx)n∈N es de
Cauchy y, por tanto, convergente. Como Tn = K −Sn, la sucesion (Tnx)n∈Ntambien converge y podemos escribir Tnx→ y, ∀x ∈ H.
Esto define un operador T : H → H por Tx = y, que es lineal y autoad-junto porque Tn son autoadjuntos y el producto escalar es continuo. Como(Tnx)n∈N converge, esta acotada para todo x ∈ H. Por el teorema de acota-cion uniforme, T esta acotado. Por ultimo, de Tn ≤ K se deduce que T ≤ K.♦
Es claro que si T ∈ L(H) es autoadjunto, T 2 es positivo, pues 〈T 2x, x〉 =〈Tx, Tx〉 ≥ 0, pero ahora nos planteamos el problema inverso: dado un
261
operador T positivo, encontrar un operador autoadjunto A tal que A2 = T .Esto sugiere el siguiente concepto.
5.6.- Definicion. Dado T ∈ L(H) positivo, un operador A ∈ L(H) autoad-junto se llama raız cuadrada de T si A2 = T . Si ademas A ≥ 0, A se llamaraız cuadrada positiva de T y se denota por A = T 1/2.
El siguiente teorema muestra que la raız cuadrada de T puede representarsecomo lımite de una sucesion de polinomios en T y, en consecuencia, conmutacon todos los operadores que conmuten con T .
5.7.- Teorema. Todo operador T ∈ L(H) positivo tiene una raız cuadradapositiva A y esta es unica. Ademas A conmuta con todo S ∈ L(H) tal queST = TS.
Demostracion. Si T = 0, entonces existe A = T 1/2 = 0.
Sea pues T 6= 0. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
〈Tx, x〉 ≤ ‖Tx‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖2.
Si llamamos Q = ‖T‖−1 · T , entonces 〈Qx, x〉 ≤ ‖x‖2 = 〈Ix, x〉, es decir,Q ≤ I.
Si logramos probar que Q tiene una unica raız cuadrada positiva B = Q1/2,entonces ‖T‖1/2 ·B es raız cuadrada de T pues
(‖T‖1/2B)2 = ‖T‖ ·B2 = ‖T‖ ·Q = T.
Ademas es facil probar que la unicidad de Q1/2 implica la unicidad de laraız cuadrada positiva de T .
Basta pues probar el teorema bajo la suposicion adicional de que T ≤I.
(•) Existencia de la raız cuadrada (Visser, 1937). Definimos la sucesion
A0 = 0, An+1 = An +12(T −A2
n), n = 0, 1, . . .
Como cada An es un polinomio en T , es autoadjunto y todos conmutanentre sı, por lo que tambien conmutan con todo operador que conmutecon T . Probaremos las siguientes propiedades:
(1) An ≤ I, ∀n.Por induccion; es evidente que A0 ≤ I y si An−1 ≤ I, (I −An−1)2 ≥ 0. Tambien I − T ≥ 0. Entonces:
0 ≤ 12(I−An−1)2+
12(I−T ) = I−An−1−
12(T−A2
n−1) = I−An =⇒ An ≤ I.
262
(2) An ≤ An+1, ∀n.Por induccion: como T ≥ 0, (1/2)T ≥ 0. Entonces A1 ≥ A0.Si suponemos que An−1 ≤ An, entonces
An+1 −An = An +12(T −A2
n)−An−1 −12(T −A2
n−1)
= (An −An−1)[I − 1
2(An +An−1)
].
Por (1), I − (1/2)(An + An−1) = (1/2)(I − An + I − An+1) ≥ 0y, por hipotesis, An −An−1 ≥ 0, de modo que An+1 −An ≥ 0.
(3) Anx→ Ax, con A = T 1/2.Como (An)n∈N es monotona creciente y acotada superiormentepor I, aplicando el teorema 5.5, existe A ∈ L(H) autoadjunto talque Anx→ Ax, ∀x ∈ H. Ademas, por ser (Anx)n∈N de Cauchy,
An+1x−Anx =12(Tx−A2
nx) → 0 =⇒ Tx−A2x = 0, ∀x =⇒ T = A2.
Como 0 = A0 ≤ An, resulta que 〈Anx, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H. Toman-do lımites, obtenemos que 〈Ax, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H, es decir A espositivo.
(4) Si S ∈ L(H) conmuta con T , entonces S conmuta con A.Debido a que ST = TS =⇒ AnS = SAn =⇒ AnSx = SAnx, ∀x ∈H. Tomando lımites se deduce el resultado.
(•) Unicidad de la raız cuadrada (Nagy, 1938). Sea B otra raız cuadradapositiva de T . Como A2 = B2 = T y BT = BB2 = B2B = TB,entonces AB = BA por (4).Dado x ∈ H, llamamos y = (A−B)x. Entonces 〈Ay, y〉 ≥ 0 y 〈By, y〉 ≥0. Ademas
〈Ay, y〉+ 〈By, y〉 = 〈(A+B)y, y〉= 〈(A2 −B2)x, y〉 = 0 =⇒ 〈Ay, y〉 = 〈By, y〉 = 0.
Como A es autoadjunto y positivo, existe C ≥ 0 autoadjunto tal queC2 = A. Entonces
0 = 〈Ay, y〉 = 〈C2y, y〉 = 〈Cy,Cy〉 = ‖Cy‖2 =⇒ Cy = 0 =⇒ Ay = C2y = 0.
Analogamente se prueba que By = 0, de donde (A−B)y = 0. Resultaque para todo x ∈ H,
‖Ax−Bx‖2 = 〈(A−B)2x, x〉 = 〈(A−B)y, x〉 = 0 =⇒ Ax−Bx = 0,
de lo que se deduce en definitiva que A = B. ♦
263
5.8.- Corolario. Sean A,B ≥ 0.
a) Si A2 = B2, entonces A = B.
b) Si A ≥ B y C es un operador positivo que conmuta con A y B, entoncesAC ≥ BC.
6. OPERADORES PROYECCION.
Un ejemplo importante de operadores positivos lo constituyen los operadoresproyeccion, que fueron definidos en capıtulos anteriores: cuando un espaciode Hilbert se representa como suma directa de un subespacio cerrado M y sucomplemento ortogonal M⊥, por la unicidad de la descomposicion x = y+zcon y ∈ M, z ∈ M⊥, queda definida la proyeccion ortogonal P : H → Hpor Px = y, con lo que se puede escribir x = Px+(I −P )x, ∀x ∈ H.
Debido a la simplicidad de estos operadores, es un problema interesanteexpresar operadores mas generales en terminos de proyecciones. En esteapartado estableceremos algunas propiedades de las proyecciones.
A veces se usa como definicion de proyeccion la siguiente caracterizacion.
6.1.- Teorema. Un operador lineal y acotado P : H → H es proyeccion or-togonal si y solo si P es autoadjunto e idempotente (es decir, P 2 = P ).
Observacion. En realidad, basta que P sea lineal pues, como probaremosen el capıtulo siguiente, si un operador es autoadjunto, es cerrado y, por elteorema del grafico cerrado, es acotado.
Demostracion. a) Sea P una proyeccion en H y llamamos M = P (H). Seax ∈ H y Px = y. Entonces P 2x = Py = y = Px =⇒ P 2 = P .
Si x1 = y1 + z1, x2 = y2 + z2, con y1, y2 ∈ M y z1, z2 ∈ M⊥, entonces esclaro que 〈y1, z2〉 = 〈y2, z1〉 = 0. Ası pues
〈Px1, x2〉 = 〈y1, y2 + z2〉 = 〈y1, y2〉 = 〈y1 + z1, y2〉 = 〈x1, Px2〉.
b) Recıprocamente, si P 2 = P = P ∗, llamamos tambien M = P (H). Dadox ∈ H, escribimos x = Px+ (I − P )x.
∀x, y ∈ H, 〈Px, (I − P )y〉 = 〈x, P (I − P )y〉 = 〈x, Py − P 2y〉 = 〈x, 0〉 = 0.
Esto quiere decir que P (H)⊥(I − P )(H).
264
Ademas M = N(I − P ) pues
y ∈M =⇒ y = Px, x ∈ H =⇒ (I−P )Px = Px−P 2x = 0 =⇒ y ∈ N(I−P );x ∈ N(I − P ) =⇒ (I − P )x = 0 =⇒ x = Px =⇒ x ∈M.
Esto quiere decir que M es cerrado. Ademas P |M es la identidad en M puessi y = Px, entonces Py = P 2x = Px = y. ♦
Otras propiedades basicas de las proyecciones son:
6.2.- Teorema. Si P ∈ L(H) es una proyeccion ortogonal,
a) 〈Px, x〉 = ‖Px‖2;
b) P ≥ 0;
c) ‖P‖ ≤ 1 y ‖P‖ = 1 si P (H) 6= {0}.
d) R(P ) = {y ∈ H : Py = y}, N(P ) = R(P )⊥.
e) ‖Px‖ = ‖x‖ =⇒ Px = x.
La demostracion es directa.
A continuacion damos condiciones para que la composicion de proyeccionessea proyeccion.
6.3.- Teorema. a) Si P1, P2 son proyecciones sobre H, P = P1P2 es pro-yeccion si y solo si P1P2 = P2P1. En este caso, si Mi = Pi(H) (i = 1, 2),P (H) = M1 ∩M2.
b) Dos subespacios cerrados M1,M2 de H son ortogonales si y solo si P1P2 =0, donde Pi es la proyeccion de H sobre Mi, i = 1, 2 (en este caso se diceque P1 y P2 son proyecciones ortogonales entre sı).
Demostracion. a) Supongamos que P = P1P2 es proyeccion; por ser P auto-adjunto,
P1P2 = (P1P2)∗ = P ∗2P∗1 = P2P1.
Recıprocamente, si P1P2 = P2P1, entonces P es autoadjunto pues
P ∗ = (P1P2)∗ = P ∗2P∗1 = P2P1 = P1P2 = P.
Ademas es idempotente pues
P 2 = (P1P2)(P1P2) = P 21P
22 = P1P2 = P.
Por ultimo, si x ∈ P (H), entonces x = Px = P1(P2x) = P2(P1x). ComoP1(P2x) ∈M1 y P2(P1x) ∈M2, entonces x ∈M1 ∩M2. Recıprocamente, siy ∈M1 ∩M2, entonces Py = P1P2y = P1y = y, de donde y ∈ P (H).
265
b) Si M1⊥M2, entonces M1 ∩M2 = {0} y P1P2x = 0, ∀x ∈ H, pues
〈P1P2x, z〉 = 〈P2x, P1z〉 = 0, ∀z ∈ H.
Esto indica que P1P2 = 0.
Si P1P2 = 0, ∀y ∈M1, z ∈M2, tenemos
〈y, z〉 = 〈P1y, P2z〉 = 〈y, P1P2z〉 = 〈y, 0〉 = 0 =⇒M1⊥M2. ♦
El siguiente resultado establece condiciones para que la suma de proyeccionessea proyeccion.
6.4.- Teorema. Dadas dos proyecciones P1, P2 en H,
a) la suma P = P1+P2 es proyeccion si y solo si M1 = P1(H) y M2 = P2(H)son ortogonales;
b) si P = P1 + P2 es proyeccion, P proyecta H sobre M = M1 ⊕M2.
Demostracion. a) Si P = P1 + P2 es proyeccion, P = P 2, es decir
P1 + P2 = (P1 + P2)2 = P 21 + P1P2 + P2P1 + P 2
2 = P1 + P1P2 + P2P1 + P2.
Esto implica que P1P2 + P2P1 = 0 de donde
P2P1P2+P2P1 = 0 =⇒ P2P1P2+P2P1P2 = 0 =⇒ P2P1P2 = 0 =⇒ P2P1 = 0.
Por el teorema anterior, M1⊥M2.
Recıprocamente, si M1⊥M2,
P1P2 = P2P1 = 0 =⇒ P1P2 + P2P1 = 0 =⇒ P 2 = P.
Como P1 y P2 son autoadjuntos, tambien lo es P . Esto implica que P esproyeccion.
b) Si llamamos M = P (H), dado y ∈M , existe x ∈ H tal que
y = Px = P1x+ P2x ∈M1 ⊕M2 =⇒M ⊂M1 ⊕M2.
Sea ahora z ∈M1 ⊕M2 =⇒ z = y1 + y2 con yi ∈Mi, i = 1, 2.
P z = P1(y1 + y2) + P2(y1 + y2) = P1y1 + P2y2 = y1 + y2 = z.
Esto implica que z ∈M y M1 ⊕M2 ⊂M .
De lo anterior se deduce la igualdad buscada. ♦
Las siguientes propiedades de las proyecciones nos permitiran obtener una re-presentacion espectral de los operadores autoadjuntos. Una propiedad basicase refiere a la relacion de orden que se define entre proyecciones.
266
6.5.- Teorema. Sean P1, P2 proyecciones definidas en H y denotamos porM1 = P1(H), M2 = P2(H) y N1 = N(P1), N2 = N(P2) a los rangos ynucleos de P1 y P2, respectivamente. Las siguientes condiciones son equiva-lentes:
i) P2P1 = P1P2 = P1.
ii) ‖P1x‖ ≤ ‖P2x‖, ∀x ∈ H.
iii) P1 ≤ P2.
iv) N1 ⊃ N2.
v) M1 ⊂M2.
Demostracion.
i) =⇒ ii). Como ‖P1‖ ≤ 1, ‖P1x‖ = ‖P1P2x‖ ≤ ‖P1‖ ·‖P2x‖ ≤ ‖P2x‖, ∀x ∈H.
ii) =⇒ iii). ∀x ∈ H, 〈P1x, x〉 = ‖P1x‖2 ≤ ‖P2x‖2 = 〈P2x, x〉 =⇒ P1 ≤P2.
iii) =⇒ iv). Sea x ∈ N2 = N(P2). Entonces
P2x = 0 =⇒ ‖P1x‖2 = 〈P1x, x〉 ≤ 〈P2x, x〉 = 0 =⇒ x ∈ N(P1).
iv) =⇒ v). Es evidente pues Mi es el complemento ortogonal de Ni, i =1, 2.
v) =⇒ i). ∀x ∈ H,
P1x ∈M1 =⇒ P1x ∈M2 =⇒ P2(P1x) = P1x =⇒ P2P1 = P1.
Como P1 es autoadjunto, P1 = P2P1 = (P2P1)∗ = P ∗1P∗2 = P1P2. ♦
Como aplicacion se puede probar un resultado sobre diferencia de proyec-ciones.
6.6.- Teorema. Sean P1, P2 dos proyecciones definidas en H. Entonces:
a) P = P2−P1 es proyeccion si y solo si M1 ⊂M2, donde Mi = Pi(H), i =1, 2.
b) Ademas, si P = P2 − P1 es proyeccion y P (H) = M , entonces M es elcomplemento ortogonal de M1 en M2, M = M2 M1.
Demostracion. a) Si P = P2 − P1 es proyeccion, P = P 2, es decir
P2 − P1 = P 22 − P2P1 − P1P2 + P 2
1 = P2 − P2P1 − P1P2 + P1
=⇒ 2P1 = P1P2 + P2P1. (∗)
267
Multiplicando a derecha e izquierda por P2, tenemos
2P2P1 = P2P1P2 + P2P1 =⇒ P2P1P2 = P2P1,
2P1P2 = P1P2 + P2P1P2 =⇒ P2P1P2 = P1P2.
Aplicando (∗), resulta que P1 = P2P1P2 = P2P1 = P1P2.
Por el teorema anterior se deduce que M1 ⊂M2.
Recıprocamente, si M1 ⊂ M2, de nuevo por el el teorema anterior P2P1 =P1P2 = P1, de donde, invirtiendo el proceso anterior, P es idempotente.Ademas P es autoadjunto por serlo P1 y P2.
b) Si y ∈ M , y = Px = P2x − P1x, como M1 ⊂ M2, P2P1 = P1, de modoque
P2y = P 22 x− P2P1x = P2x− P1x = y =⇒ y ∈M2.
Por otra parte, como P1P2 = P1,
P1y = P1P2x− P 21 x = P1x− P1x = 0 =⇒ y ∈ N(P1) = M⊥
1 .
De lo anterior se deduce que M ⊂ M2 ∩M⊥1 . Veamos ahora la inclusion
contraria.
Sea pues v ∈M2 ∩M⊥1 ;
Pv = (P2 − P1)v = P2v − P1v = v − 0 = v =⇒ v ∈M. ♦
De los dos ultimos teoremas se deduce un resultado basico sobre convergenciade sucesiones crecientes de proyecciones.
6.7.- Teorema. Sea (Pn)n≥1 una sucesion creciente de proyecciones defini-das en un espacio de Hilbert H. Entonces:
a) (Pn)n≥1 converge en sentido fuerte a una proyeccion P definida en H.
b) P proyecta H sobre P (H) =⋃n∈N Pn(H).
c) El nucleo de P es N(P ) =⋂n∈N N(Pn).
Demostracion. a) Sea m < n. Por hipotesis Pm ≤ Pn, de donde Pm(H) ⊂Pn(H) y Pn − Pm es una proyeccion. Entonces, ∀x ∈ H,(∗)‖Pnx−Pmx‖2 = 〈(Pn−Pm)x, x〉 = 〈Pnx, x〉−〈Pmx, x〉 = ‖Pnx‖2−‖Pmx‖2.
Como ‖Pn‖ ≤ 1, ‖Pnx‖ ≤ ‖x‖, ∀n. Es decir (‖Pnx‖)n∈N es una sucesionacotada. Como tambien es monotona creciente, es convergente. De (∗) de-ducimos que (Pnx)n∈N es de Cauchy y, como H es de Hilbert, existe y ∈ H
268
tal que Pnx→ y. Definimos el operador P ∈ L(H) por Px = y, y probemosque P es una proyeccion:
〈P ∗x, y〉 = 〈x, Py〉 = 〈x, lımnPny〉 = lım
n〈x, Pny〉 = lım
n〈Pnx, y〉 = 〈Px, y〉;
〈P 2x, x〉 = 〈Px, Px〉 = lımn〈PnxPnx〉 = lım
n〈Pnx, x〉 = 〈Px, x〉.
b) Si m < n, Pm ≤ Pn, de modo que 〈(Pn − Pm)x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ H.Haciendo n → ∞, resulta 〈(P − Pm)x, x〉 ≥ 0, es decir Pm ≤ P . EntoncesPm(H) ⊂ P (H), ∀m. Esto prueba que
⋃m∈N Pm(H) ⊂ P (H); ahora bien,
al ser P (H) = N(I − P ), P (H) es cerrado, por lo que⋃m∈N Pm(H) ⊂
P (H).
Por otro lado, como Pmx ∈ Pm(H) ⊂⋃m∈N Pm(H) y Pmx→ Px, deducimos
que Px ∈⋃m∈N Pm(H), de donde P (H) ⊂
⋃m∈N Pm(H).
En definitiva, P (H) =⋃m∈N Pm(H).
c) De las relaciones N(P ) = P (H)⊥ ⊂ Pn(H)⊥, ∀n, se deduce que
N(P ) ⊂⋂n∈N
Pn(H)⊥ =⋂n∈N
N(Pn).
Por otro lado, si x ∈⋂n∈N N(Pn), Pnx = 0, ∀n, de donde Px = 0. Esto
prueba que⋂n∈N N(Pn) ⊂ N(P ). ♦
7. FUNCIONES DE OPERADORES ACOTADOS AUTOADJUN-TOS.
En esta seccion se introduce un calculo funcional para un operador autoad-junto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H y se desarrollan los resultadosfundamentales que constituyen las herramientas necesarias para probar elteorema espectral de operadores autoadjuntos, en la lınea de las ideas mos-tradas por F. Riesz en 1934.
Dicho calculo funcional consiste en estudiar las propiedades de la aplicacionf 7→ f(T ), definida en un espacio adecuado de funciones acotadas, comoextension de la aplicacion natural p 7→ p(T ), definida en el espacio de lospolinomios con coeficientes reales y dominio en el intervalo [m,M ], dondemI ≤ T ≤MI, y m < M .
269
Llamaremos
P = {p : [m,M ] → R : p(t) = α0 + α1t+ · · ·+ αntn, αi ∈ R, ∀i}
al espacio de los polinomios con coeficientes reales y denotaremos por P+ alsubespacio de P formado por los polinomios no negativos.
Si p ∈ P , escribiremos p(T ) = α0I + α1T + · · ·+ αnTn, que es autoadjunto.
La aplicacion p 7→ p(T ) es lineal y multiplicativa, es decir p(T ) + q(T ) =(p + q)(T ), (λp)(T ) = λ · p(T ) y (pq)(T ) = p(T )q(T ), ∀p, q ∈ P . Del lemasiguiente se deduce ademas que es monotona.
7.1.- Lema. Si p ∈ P+, entonces p(T ) es un operador positivo.
Demostracion. Basta probar que σ(p(T )) ⊂ [0,∞).
Por el teorema de la aplicacion espectral, σ(p(T )) = p(σ(T )). Como p espositivo, p(σ(T )) ≥ 0. ♦
Probaremos a continuacion dos resultados que permitiran obtener la exten-sion deseada de la aplicacion p 7→ p(T ).
7.2.- Lema. Sea (pn)n∈N ⊂ P+, con pn+1 ≤ pn para n ∈ N. Entonces(pn(T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador positivo.
Demostracion. Por el lema anterior, 0 ≤ pn+1(T ) ≤ pn(T ), n ∈ N. Si apli-camos el teorema 5.5 a la sucesion (−pn(T ))n∈N, deducimos que (pn(T ))n∈Nconverge en sentido fuerte a un operador autoadjunto S. Ademas,
〈Sx, x〉 = lımn→∞
〈pn(T )x, x〉 ≥ 0,
es decir S es positivo. ♦
7.3.- Lema. Sean (pn)n∈N, (qn)n∈N ⊂ P+ sucesiones decrecientes y S1, S2
los lımites fuertes de (pn(T ))n∈N, (qn(T ))n∈N, respectivamente. Si lımn→∞ pn(t) ≤lımn→∞ qn(t) para m ≤ t ≤M , entonces S1 ≤ S2.
Demostracion. Fijamos un entero positivo k. Para cada t ∈ [m,M ],
lımn
(pn(t)− qk(t)) ≤ lımnpn(t)− lım
nqn(t) ≤ 0.
Si llamamos rn = max{pn − qk, 0}, para n ∈ N, entonces lımn rn(t) = 0, ∀t.Ademas rn+1 ≤ rn, n ∈ N.
Por el teorema de Dini, la sucesion (rn)n∈N converge uniformemente a 0 en[m,M ]. Dado pues ε > 0, existe N tal que 0 ≤ rn(t) < ε, ∀t ∈ [m,M ], ∀n ≥N . Esto implica que pn(t)− qk(t) < ε, ∀t ∈ [m,M ], ∀n ≥ N .
Por el lema 7.1, pn(T ) ≤ qk(T ) + εI, ∀n ≥ N . Entonces S1 ≤ qk(T ) + εI.Como k es arbitrario, S1 ≤ S2 + εI de donde S1 ≤ S2. ♦
270
7.4.- Definicion. Denotaremos por L+ al conjunto de funciones reales fdefinidas en el intervalo [m,M ] tales que existe una sucesion (pn)n∈N ⊂ P+
con las propiedades:
a) 0 ≤ pn+1 ≤ pn, n ∈ N.
b) lımn pn(t) = f(t), ∀t ∈ [m,M ].
Es claro que si f ∈ L+, entonces f es acotada; definimos pues f(T ) como eloperador positivo que es lımite fuerte de (pn(T ))n∈N, donde (pn)n∈N ⊂ P+
es una sucesion decreciente tal que lımn pn(t) = f(t), ∀t ∈ [m,M ]. Del lemaanterior se deduce que f(T ) esta bien definida.
Las propiedades de la aplicacion p 7→ p(T ) son tambien validas en L+ comose demuestra a continuacion.
7.5.- Lema. Dado f ∈ L+, la aplicacion anterior f 7→ f(T ) verifica:
a) (f + g)(T ) = f(T ) + g(T ), ∀f, g ∈ L+.
b) (αf)(T ) = αf(T ), ∀f ∈ L+, α ≥ 0.
c) (fg)(T ) = f(T )g(T ), ∀f, g ∈ L+.
d) f ≤ g =⇒ f(T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L+.
Demostracion. (a) Si f(t) = lımn pn(t), g(t) = lımn qn(t), entonces (f +g)(t) = lımn(pn + qn)(t) de donde
(f + g)(T ) = lımn
(pn + qn)(T ) = lımn
(pn(T ) + qn(T )) = f(T ) + g(T ).
(b) Si f(t) = lımn pn(t),
(αf)(t) = lımn
(αpn)(t) =⇒ (αf)(T ) = lımn
(αpn)(T ) = α lımnpn(T ).
(c) Si f(t) = lımn pn(t), g(t) = lımn qn(t), con (pn)n∈N, (qn)n∈N ⊂ P+ decre-cientes, entonces pn+1qn+1 ≤ pnqn, ∀n y
lımn
(pnqn)(t) = lımnpn(t)qn(t) = f(t)g(t) = (fg)(t), ∀t ∈ [m,M ],
es decir (fg)(T ) es lımite fuerte de ((pnqn)(T ))n∈N. Entonces, ∀x, y ∈ H,
〈(f(T )g(T ))x, y〉 = 〈f(T )(g(T )x), y〉 = 〈g(T )x, f(T )y〉= lım
n〈qn(T )x, pn(T )y〉 = lım
n〈pn(T )(qn(T )x), y〉
= lımn〈(pn(T )qn(T ))x, y〉 = lım
n〈(pnqn)(T )x, y〉 = 〈(fg)(T )x, y〉,
de donde f(T )g(T ) = (fg)(T ).
(d) Se deduce del lema 7.3. ♦
271
7.6.- Definicion. Si denotamos por
L = {f : [m,M ] → R : f acotada y f = f1 − f2 con f1, f2 ∈ L+},
es tambien evidente que las funciones de L estan acotadas y que P ⊂ L. Seprueba de forma analoga a la anterior que la aplicacion p 7→ p(T ) se puedeextender a todo L de modo que se mantengan las propiedades de la misma.Para ello, dado f ∈ L, definimos f(T ) = f1(T )−f2(T ), donde f = f1−f2 conf1, f2 ∈ L+; es claro que f(T ) es un operador autoadjunto, que la definicionno depende de la descomposicion de f y coincide con la definicion 7.4 en elcaso particular de que f ∈ L+.
7.7.- Teorema. La aplicacion anterior tambien es lineal y verifica:
a) (fg)(T ) = f(T )g(T ), ∀f, g ∈ L.
b) f ≤ g =⇒ f(T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L.
La demostracion es directa a partir del lema 7.5.
8. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS.
Como ya hemos indicado, vamos a desarrollar una version del teorema es-pectral con ayuda del calculo funcional comentado en la seccion anterior.Al igual que antes, T sera un operador lineal acotado y autoadjunto en unespacio de Hilbert H, m,M ∈ R son numeros tales que mI ≤ T ≤ MI ym < M . El objetivo es aproximar T por combinaciones lineales de proyec-ciones ortogonales sobre H, obtenidas por un calculo funcional. Para ello,definimos para cada s ∈ R una funcion es : [m,M ] → R por:
- Si s < m, es = 0.
- Si m ≤ s < M, es(t) =
{1 si m ≤ t ≤ s,
0 si s < t ≤M.
- Si s ≥M, es = 1.
8.1.- Lema. Para todo s ∈ R, es ∈ L+.
Esto permite definir para cada t ∈ R un operador positivo por E(t) =et(T ).
Demostracion. Si s < m o s ≥M , es evidente.
272
Sea pues m ≤ s < M y denotamos por N al menor entero positivo tal ques+N−1 ≤M .
Para n ≥ N , sea fn(t) =
1 si m ≤ t ≤ s,
−nt+ ns+ 1 si s < t < s+ 1/n,0 si s+ 1/n ≤ t ≤M.
Es facil ver
que fn es continua y que lımn fn(t) = es(t), ∀t ∈ [m,M ]. Tambien es claroque 0 ≤ fn+1 ≤ fn para n ≥ N.
Por el teorema de aproximacion de Weierstrass, existe una sucesion (pn)n∈Nde polinomios tal que, para n ≥ N :
fn(t) + 2−n−1 < pn(t) < fn(t) + 2−n, ∀t ∈ [m,M ].
De este modo, pn ∈ P+, pn+1 ≤ pn, para n ≥ N , y lımn pn(t) = es(t), ∀t ∈[m,M ]. Esto implica que es ∈ L+. ♦
8.2.- Lema. Para todo t ∈ R, E(t) es una proyeccion ortogonal en H queconmuta con T . Ademas
a) E(s) ≤ E(t), para s ≤ t.
b) E(t) = 0, para t < m.
c) E(t) = I, para t ≥M.
Demostracion. Es consecuencia del lema 7.5 y del hecho de que e2t = et, es ≤et cuando s ≤ t, et = 0 para t < m y et = 1 para t ≥M . ♦
Una aplicacion E : R → L(H) que cumple las condiciones a), b) y c) del lemaanterior recibe el nombre de resolucion de la identidad o descomposicion dela unidad.
Sugeridos por la integral de Riemann-Stieltjes, damos sentido al siguienteconcepto.
8.3.- Definicion. Dados m,M ∈ R con m < M y E : R → L(H) una resolu-cion de la identidad, diremos que un funcion f : [m,M ] → R es E−integrablecuando existe un operador autoadjunto S tal que:
∀ε > 0, ∃δ > 0 :∥∥∥S − n∑
k=1
f(tk)[E(sk)− E(sk−1)]∥∥∥ < ε
para cualquier particion {s0, s1, . . . , sn} de [m,M ] de diametro menor que δ(es decir, con sk − sk−1 < δ, ∀k = 1, 2, . . . , n) y cualesquiera t1, . . . , tn consk−1 ≤ tk ≤ sk, k = 1, . . . , n.
Es claro que si f es E-integrable, solo existe un operador autoadjunto S queverifica la definicion. Bajo estas condiciones, escribiremos S =
∫Mm f(t)dE(t).
273
8.4.- Teorema (espectral). En las condiciones y notacion anteriores, dadosa, b ∈ R, con a < m y b ≥ M , la aplicacion identidad I : [a, b] → R es E-integrable y T =
∫ ba tdE(t).
Demostracion. Si s, u ∈ R con s < u, entonces
eu(t)− es(t) =
{1 si t ∈ (s, u] ∩ [m,M ],0 si t ∈ [m,M ] \ (s, u].
Por lo tanto, s(eu(t)−es(t)) ≤ t(eu(t)−es(t)) ≤ u(eu(t)−es(t)), ∀t ∈ [m,M ],de donde
s(E(u)− E(s)) ≤ T (E(u)− E(s)) ≤ u(E(u)− E(s)).
Sean ahora ε > 0 y {s0, s1, . . . , sn} una particion de [a, b] de diametro menorque ε. Tenemos
n∑k=1
sk−1(E(sk)−E(sk−1)) ≤ Tn∑k=1
(E(sk)−E(sk−1)) ≤n∑k=1
sk(E(sk)−E(sk−1)).
Como∑n
k=1(E(sk) − E(sk−1)) = E(b) − E(a) = I, si ahora t1, . . . , tn sonnumeros reales tales que sk−1 ≤ tk ≤ sk, obtenemos
n∑k=1
(sk−1 − tk)(E(sk)− E(sk−1)) ≤ T −n∑k=1
tk(E(sk)− E(sk−1))
≤n∑k=1
(sk − tk)(E(sk)− E(sk−1)).
Como sk−1 − tk > −ε y sk − tk < ε y debido a que E(sk) − E(sk−1) ≥ 0,resulta que
−εn∑k=1
(E(sk)− E(sk−1)) = −εI ≤ T −n∑k=1
tk(E(sk)− E(sk−1))
≤ εI = ε
n∑k=1
(E(sk)− E(sk−1)).
Esto prueba que T =∫ ba tdE(t). ♦
Recordamos que, si T es ademas compacto, las proyecciones ortogonales E(t)tienen una forma especialmente simple, lo que lleva de nuevo al teoremademostrado en la seccion 4.
El teorema espectral es una herramienta util en el estudio de operadoreslineales acotados en espacios de Hilbert, pues permite reducir cuestiones
274
sobre cierto tipo de operadores a cuestiones similares sobre proyeccionesortogonales.
9. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS: SEGUNDA VERSION.
Recordamos que nuestro objetivo es obtener una representacion de opera-dores acotados autoadjuntos en un espacio de Hilbert en terminos de ope-radores mas simples (como son las proyecciones) cuyas propiedades son masfaciles de determinar y las mismas dan informacion sobre el operador departida. Dicha representacion recibira el nombre de representacion espectraly la familia de proyecciones asociada se llamara familia espectral o descom-posion de la unidad. El uso de esta representacion para el caso de dimensionfinita servira de motivacion para obtener la generalizacion a este caso.
Sea pues H un espacio de Hilbert complejo de dimension infinita. Recorda-mos que, si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto y compacto, el conjun-to de autovalores {λj}j∈N es finito o numerable, cuyo unico posible puntode acumulacion es el cero. Si Pλ representa la proyeccion ortogonal sobreN(T −λI), definimos, para cada λ ∈ R, Eλ =
∑λi≤λ Pλi
. Por la proposicion3.8, Eλ es la proyeccion ortogonal sobre el espacio generado por los autova-lores correspondientes a autovalores λi ≤ λ. Ademas, se prueba facilmenteque
EλEµ = EµEλ = Eλ si λ < µ;Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥M ;Eλ+ = lım
µ→λ+Eµ = Eλ.
Lo anterior sugiere la siguiente definicion.
9.1.- Definicion. Una familia espectral real o descomposicion de la uni-dad es una familia uniparametrica de proyecciones (Eλ)λ∈R definidas en unespacio de Hilbert H y que verifica las propiedades:
(1) Eλ ≤ Eµ si λ < µ;(2) lım
λ→−∞Eλx = 0 y lım
λ→∞Eλx = x;
(3) lımµ→λ+
Eµx = Eλx, ∀x ∈ H.
La familia (Eλ)λ∈R es familia espectral del intervalo [a, b] si Eλ = 0 paraλ < a y Eλ = I para λ ≥ b. Estas familias tendran un interes especial
275
pues el espectro de operadores acotados autoadjuntos es un intervalo realfinito.
Mas adelante veremos que a todo operador acotado autoadjunto se le puedeasociar una familia espectral que permitira representar el operador medianteuna integral de Riemann-Stieltjes (y se llamara representacion espectral deloperador) generalizando lo obtenido en casos anteriores.
9.2.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y A,B ∈ L(H) opera-dores autoadjuntos tales que AB = BA y A2 = B2. Si llamamos Q a laproyeccion ortogonal de H sobre N(A+B), entonces:
a) Todo operador C ∈ L(H) que conmuta con A+B conmuta tambien conQ.
b) Si Ax = 0, entonces Qx = x.
c) A = (I − 2Q)B.
Demostracion. a) Sea x ∈ H; entonces CQx ∈ N(A+B) pues, debido a queQx ∈ N(A+B), (A+B)CQx = C(A+B)Qx = 0.
Por tanto, QCQx = CQx.
Analogamente, se prueba que QC∗Qx = C∗Qx, ∀x ∈ H.
Deducimos ası que QC = (C∗Q)∗ = (QC∗Q)∗ = QCQ = CQ.
b) Supongamos que Ax = 0. Entonces
‖Bx‖2 = 〈Bx,Bx〉 = 〈B2x, x〉 = 〈A2x, x〉 = ‖A2‖2 = 0.
Por tanto, Bx = 0, con lo que (A + B)x = 0, es decir x ∈ N(A + B). Pordefinicion de Q, Qx = x.
c) Por ultimo, como A2 = B2,
(A+B)(A−B)x = (A2 −B2)x = 0, ∀x ∈ H,
de donde (A − B)x ∈ N(A + B), es decir Q(A − B)x = (A − B)x, ∀x ∈H.
Como, por otra parte, Q(A + B) = (A + B)Q y Qx ∈ N(A + B), ∀x ∈ H,resulta que Q(A+B)x = (A+B)Qx = 0.
De las relaciones QA + QB = 0 y QA − QB = A − B, deducimos que2QB = B −A, es decir A = (I − 2Q)B. ♦
9.3.- Teorema. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, existe un proyector E− talque
a) todo C ∈ L(H) que conmuta con A conmuta tambien con E−;
276
b) Ax = 0 =⇒ E−x = x;
c) A(I − E−) ≥ 0, −AE− ≥ 0.
Demostracion. a) Definimos E− como la proyeccion sobre N(A+B), dondeB es la raız cuadrada positiva de A2. Si C conmuta con A, conmuta con A2
y, por tanto, con B. Por el lema anterior se deduce a).
b) Se deduce tambien del lema anterior.
c) Teniendo en cuenta el apartado c) del lema anterior, resulta:
A(I − E−) = B − 2E−B −BE− + 2E−BE− = B −BE− = B(I − E−) ≥ 0,−AE− = −BE− + 2E−BE− = BE− ≥ 0,
pues la composicion de dos operadores positivos que conmutan es un opera-dor positivo. ♦
9.4.- Definicion. Dado A ∈ L(H) autoadjunto, los operadores positivosA+ = A(I−E−) y A− = −AE− reciben el nombre de parte positiva y partenegativa de A, respectivamente. Del teorema anterior se deduce que
A+ =12(A+B), A− =
12(B −A),
ası como A = A+ −A−.
Ejemplos. 1) Sea A una matriz simetrica de orden n y λ1, λ2, . . . , λn el con-junto de sus autovalores ordenados de modo que λ1, . . . , λk < 0 y λk+1, . . . , λn >0. Es conocido el hecho de que A es unitariamente equivalente a la matriz dia-gonal formada por los autovalores, A = U diag(λ1, . . . , λn)U−1. En este caso,A+ = U diag(0, . . . , 0, λk+1, . . . , λn)U−1 yA− = U diag(λ1, . . . , λk, 0, . . . , 0)U−1.
2) Sea A ∈ L(L2[−1, 1]) el operador definido por Ax(t) = tx(t). EntoncesA+x(t) = (1/2)(t+ |t|)x(t) y A−x(t) = (1/2)(|t| − t)x(t).
9.5.- Lema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto y llamemos E a la proyeccionortogonal sobre N(A+). Entonces
a) A+E = EA+ = 0.
b) A−E = EA− = A−.
c) AE = EA = −A−, (I − E)A = A(I − E) = A+.
Demostracion. a) Por definicion, Ex ∈ N(A+), ∀x ∈ H. Entonces A+E = 0.Ademas, EA+ = (A+E)∗ = 0∗ = 0.
b) Como
A+A− =14(B +A)(B −A) =
14(B2 −A2) = 0,
277
entonces A−x ∈ N(A+), lo que implica que EA−x = A−x. Ademas,
A−E = (EA−)∗ = A∗− = A−.
c) Como A = A+ −A−,
AE = A+E −A−E = −A−,(I − E)A = A−AE = A+A− = A+. ♦
9.6.- Definicion. Dado A ∈ L(H), se llama valor absoluto de A al operador|A| = A+ +A−.
Del lema anterior se deduce que
E|A| = |A|E = A− e (I − E)|A| = A+.
Es evidente tambien que
|A| ≥ A, |A| ≥ −A, A+ ≥ A, A− ≥ −A.
Estas acotaciones son optimas en el sentido que indican los resultados si-guientes.
9.7.- Lema. Con los datos anteriores, |A| es el menor operador autoadjuntoque conmuta con A y es cota superior de A y −A.
Demostracion. Debemos probar que, si C ∈ L(H) es un operador autoad-junto tal que CA = AC, C ≥ A y C ≥ −A, entonces C ≥ |A|.
Ahora bien,
C ≥ A =⇒ C(I − E) ≥ A(I − E) = A+,
C ≥ −A =⇒ CE ≥ −AE = A−.
Sumando miembro a miembro, deducimos que C ≥ A+ +A− = |A|.♦
9.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, entonces A+ y A− son losmenores operadores positivos que conmutan con A y son cotas superiores deA y −A, respectivamente.
Demostracion. En el lema anterior se probo que C(I − E) ≥ A+. Ademas,si C ≥ 0, entonces CE ≥ 0. Por tanto, C ≥ A+ + CE ≥ A+.
Analogamente se procede con el otro caso. ♦
Estamos ya en condiciones de probar el teorema espectral de operadoresautoadjuntos.
278
9.9.- Teorema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto. Existe entonces una descom-
posicion de la unidad {Eλ}λ∈R tal que A =∫ b
aλdEλ, donde a < m < M ≤
b.
Demostracion. Dado λ ∈ R, llamamos Aλ = A− λI.
Si λ < µ, es evidente que Aµ ≤ Aλ ≤ A+λ . Como A+
λ ≥ 0, ∀λ ∈ R, por elcorolario 9.8 deducimos que A+
µ ≤ A+λ .
En particular, si λ < m, como Aλ ≥ 0, entonces A+λ = Aλ ≥ (m− λ)I y, si
λ ≥M , entonces Aλ ≤ 0, de donde A+λ = 0.
(•) Llamamos ahora Mλ = N(A+λ ). Ası definidos, {Mλ}λ∈R es una familia
creciente de subespacios tal que Mλ = {0} si λ < m y Mλ = H siλ ≥M .
En efecto, si λ < µ,
A+µ ≤ A+
λ =⇒ (A+µ )2 ≤ A+
λA+µ =⇒ ‖A+
µ x‖2 ≤ 〈A+λA
+µ x, x〉, ∀x ∈ H.
En particular, si x ∈Mλ, entonces ‖A+µ x‖2 = 0, es decir x ∈Mµ.
(•) Definimos ahora Eλ como la proyeccion ortogonal sobreMλ. Ası, {Eλ}λ∈Res una familia creciente de operadores, tal que
Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥M.
(•) Para λ < µ, definimos Eλµ = Eµ − Eλ. Entonces
EµEλµ = Eµ − EµEλ = Eµ − Eλ = Eλµ,
(I − Eλ)Eλµ = Eλµ − EλEµ + (Eλ)2 = Eλµ.
Como A+λ , A+
µ y Eλµ son operadores positivos y conmutan, entonces
(µI −A)Eλµ = −AµEλµ = −AµEµEλµ = A−µEλµ ≥ 0,
(A− λI)Eλµ = AλEλµ = Aλ(I − Eλ)Eλµ = A+λEλµ ≥ 0,
o bien
(∗) λEλµ ≤ AEλµ ≤ µEλµ.
(•) Sea ahora el conjunto {µ0, µ1, . . . , µn} una particion del intervalo [a, b]tal que
a = µ0 < m < µ1 < . . . < µn−1 < M ≤ µn = b
y escribimos la desigualdad (∗) para cada par de puntos consecutivos.Llegamos ası a
n∑k=1
µk−1Eµk−1µk≤ A
n∑k=1
Eµk−1µk≤
n∑k=1
µkEµk−1µk.
279
Si max1≤k≤n(µk−µk−1) ≤ ε, la diferencia entre los extremos es menor oigual que εI. Ademas, el termino central es A. Eligiendo pues cualquierλk ∈ (µk−1, µk), 1 ≤ k ≤ n, obtenemos:∥∥∥∥∥A−
n∑k=1
λk(Eµk− Eµk−1
)
∥∥∥∥∥ ≤ ε,
lo cual escribimos como A =∫ ba λdEλ, o bien, como A =
∫Mm− λdEλ.
(•) Queda unicamente probar que {Eλ}λ∈R es continua por la derecha,como funcion de λ, es decir Pλ = lımµ→λ+ Eλµ = 0.Tomando lımites en la desigualdad (∗), obtenemos que λPλ ≤ APλ ≤λPλ, de donde APλ = λPλ o bien AλPλ = 0.Como A+
λ Pλ = (I − Eλ)AλPλ = 0, entonces Pλx ∈ Mλ, ∀x ∈ H, dedonde EλPλ = Pλ.Analogamente, de (I−Eλ)Eλµ = Eλµ, se obtiene que (I−Eλ)Pλ = Pλ,de donde Pλ − EλPλ = 0 = Pλ. ♦
Observacion. Como la convergencia uniforme implica la convergencia fuer-te y la convergencia debil, del teorema anterior se deducen tambien lasformulas Ax =
∫Mm− λdEλx y 〈Ax, x〉 =
∫Mm− λd〈Eλx, x〉, ∀x ∈ H.
Ejemplos. 1) Sea A = U diag(λ1, λ2, . . . , λn)U−1 una matriz simetrica deorden n, donde λ1 < λ2 < . . . < λn y sea ei un vector propio asociado alautovalor λi. Entonces, si t ∈ [λi, λi+1), el operador Et es un proyector sobreel subespacio de dimension i generado por e1, e2, . . . , ei. Si t < λ1, Et = 0 ysi t ≥ λn, Et = I.
2) Si A : L2[−1, 1] → L2[−1, 1] es el operador definido por Af(x) = xf(x),entonces Etf(x) = φt(x) donde φt(x) = 0 para x > t y φt(x) = 1 para x ≤ t.Es evidente que Et = 0 si t < −1 y Et = I si t > 1.
280
EJERCICIOS.
1. Sea M : L2(R) → L2(R) el operador definido por (Mf)(x) =eixf(x). Probar que M es unitario, que no tiene valores propiosy sin embargo, σ(M) = T.
Resp.: Veamos en primer lugar que M es isometrıa: si f ∈ L2(R),entonces
‖Mf‖2 =∫
R|Mf(x)|2dx =
∫R|eix|2|f(x)|2dx =
∫R|f(x)|2dx = ‖f‖2.
Ademas M es sobre:
M(e−ixf(x)) = f(x) =⇒ (M−1f)(x) = e−ixf(x).
Para probar que M no tiene autovalores, supongamos que, para algunλ ∈ C, existe fλ ∈ L2(R) no nula tal que Mfλ = λfλ. Esto equivale ala igualdad eixfλ(x) = λfλ(x) c.s. En los puntos x tales que fλ(x) 6= 0,debe ser eix = λ, igualdad que solo es posible a lo sumo en un conjuntonumerable. Ası pues, fλ(x) = 0 c.s., es decir ‖fλ‖ = 0 y M no tieneautovalores.
Para calcular el espectro de M , resolvemos la ecuacion (M−ρI)f = g.Resulta ası:
(eix − ρ)f(x) = g(x) c.s. =⇒ f(x) =1
eix − ρg(x) c.s.
con lo que [(M − ρI)−1g](x) = 1eix−ρg(x) define un operador lineal.
Veamos bajo que condiciones (M − ρI)−1g ∈ L2(R), ∀g ∈ L2(R).
Si |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., entonces
‖(M − ρI)−1g‖2 ≤ c2∫
R|g(x)|2dx = c2‖g‖2 =⇒ ‖(M − ρI)−1‖ ≤ c
por lo que (M − ρI)−1 es acotado.
Ahora bien, si |ρ| 6= 1, entonces |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., lo que prueba queC \ T ⊂ ρ(M).
Por el contrario, si |ρ| = 1, ρ = eix0 , veamos que el operador
[(M − ρI)−1g](x) =1
eix − eix0g(x) c.s.
no es acotado en L2(R). Para ello, sea ε > 0 arbitrario; existe entoncesδ > 0 tal que
|x− x0| < δ =⇒ |eix − eix0 | < ε.
281
Si llamamos g a la funcion caracterıstica de (x0 − δ, x0 + δ), entonces
‖g‖2 =∫
R|g(x)|2dx = 2δ y ‖(m− ρI)−1g‖ >
√2δε
=‖g‖ε,
lo que implica que ‖(M − ρI)−1‖ > 1/ε. Al ser cierta esta desigualdadpara cualquier ε > 0, se deduce que (M − ρI)−1 no esta acotado.
En definitiva, resulta que σ(M) = T.
����
2. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que un operador A ∈ L(H)es compacto si y solo si
∀ε > 0, ∃Aε de rango finito : ‖A−Aε‖ < ε.
Resp.: Supongamos que A es compacto. Si llamamos B a la bolaunidad en H, A(B) es relativamente compacto. Por tanto, se puederecubrir con una familia finita de bolas de centro bi y radio ε, A(B) ⊂⋃ni=1B(bi, ε). Sea M = 〈{b1, . . . , bn}〉 y P la proyeccion ortogonal
sobre M . Ası, PA tiene rango finito. Ademas, ∀x ∈ B, Ax ∈ B(bi, ε),de donde d(Ax,M) < ε, lo que implica que ‖Ax−PAx‖ < ε, y esto asu vez que ‖A−PA‖ ≤ ε. Basta llamar Aε = PA para probar la tesis.
El recıproco es evidente pues A es lımite de una sucesion de operadoresde rango finito.
����
3. Sea Mϕ : L2(R) → L2(R) el operador de multiplicacion definidopor Mϕf = ϕ · f .
a) Probar que Mϕ es acotado si y solo si ϕ ∈ L∞(R).
b) Probar que σr(Mϕ) = ∅, σp(Mϕ) = {λ ∈ C : m(ϕ−1(λ)) > 0},ρ(Mϕ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s.}.
Resp.: a) Supongamos que ϕ ∈ L∞(R). Entonces
‖Mϕ‖ = sup‖f‖2=1
‖ϕf‖2 = sup‖f‖2=1
(∫R|ϕ(x)|2|f(x)|2dx
)1/2
≤ ‖ϕ‖∞ <∞.
282
Recıprocamente, si ϕ 6∈ L∞(R), entonces ∀k > 0, ∃Ak ⊂ R medibley acotado tal que m(Ak) > 0 y ϕ(x) > k, ∀x ∈ Ak. Si definimos
f(x) =
{1 si x ∈ Ak0 si x 6∈ Ak,
entonces
‖Mϕf‖22 =
∫R|ϕ(x)|2·|f(x)|2dx =
∫Ak
|ϕ(x)|2dx > k2·m(Ak) = k2·‖f‖22
de lo que se deduce que Mϕ no es acotado.
b) Sea λ ∈ C; por definicion,
λ ∈ σp(Mϕ) ⇐⇒ ∃f 6= 0 : Mϕf = λf ⇐⇒ ∃f 6= 0 : (ϕ(x)−λ)f(x) = 0 c.s.
Como f 6= 0, lo anterior es equivalente a la existencia de un conjunto∆ ⊂ R medible, con m(∆) > 0, tal que ϕ(x) = λ, ∀x ∈ ∆, es decir, quem(ϕ−1(λ)) > 0. Un vector propio asociado al autovalor λ es f = 1∆.
Para calcular el conjunto resolvente, recordemos que λ ∈ ρ(Mϕ) si ysolo si ∃(Mϕ − λI)−1 acotado. Ahora bien, g ∈ R(Mϕ − λI) si ∃f ∈L2(R) tal que ϕf − λf = g c.s. o bien, si f(x) = g(x)
ϕ(x)−λ c.s. (siempreque ϕ(x) 6= λ c.s.)
Por tanto, existe (Mϕ − λI)−1f(x) = 1ϕ(x)−λf(x) si ϕ(x) 6= λ c.s.
Ademas,
(Mϕ − λI)−1f ∈ L2(R), ∀f ∈ L2(R) ⇐⇒ ∃k > 0 : |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s.
En este caso, ‖(Mϕ − λI)−1f‖ ≤ k−1‖f‖. Ası pues,
ρ(Mϕ) = {λ ∈ C : ∃k > 0 : |λ− ϕ(x)| ≥ k c.s.}.
Por ultimo, para probar que σr(Mϕ) = ∅, veamos que Mϕ es normal:
Debido a que
〈Mϕf, g〉 =∫
Rϕ(x)f(x) g(x)dx =
∫Rf(x) ϕ(x)g(x)dx = 〈f,Mϕg〉,
resulta que (Mϕ)∗ = Mϕ.
Como ademas (MϕMψ)f = Mϕ(ψ ·f) = ϕ ·ψ ·f = Mϕψf , ∀f ∈ L2(R),deducimos que
Mϕ(Mϕ)∗ = MϕMϕ = M|ϕ|2 = (Mϕ)∗Mϕ,
es decir Mϕ es un operador normal. Basta aplicar el teorema 2.6 paraconcluir que σr(Mϕ) = ∅.
����
283
4. Sea H un espacio de Hilbert y S, T, U, V operadores autoadjuntos.Probar:
a) S ≤ T , U ≤ V =⇒ S + U ≤ T + V .
b) S ≤ T, T ≤ U =⇒ S ≤ U .
c) S ≥ 0, ∃S−1 =⇒ S−1 ≥ 0.
Resp.: Los apartados a) y b) son triviales. Para probar c), sea y ∈R(S) y llamemos x = S−1y. Por ser S autoadjunto,
〈S−1y, y〉 = 〈x, Sx〉 = 〈Sx, x〉 ≥ 0.
����
5. Sea A ∈ L(H) un operador autoadjunto. Probar:
a) ‖A‖ ≤ a⇐⇒ −aI ≤ A ≤ aI.
b) Si A ≥ 0, entonces |〈Ax, y〉|2 ≤ 〈Ax, x〉 · 〈Ay, y〉, ∀x, y ∈ H.
c) Si A ≥ 0, entonces ‖Ax‖2 ≤ ‖A‖ · 〈Ax, x〉, ∀x ∈ H.
Resp.: a) Por una parte,
‖A‖ ≤ a =⇒ |〈Ax, x〉| ≤ a, ∀x ∈ H con ‖x‖ = 1=⇒ −a ≤ 〈Ax, x〉 ≤ a =⇒ 〈−ax, x〉 ≤ 〈Ax, x〉 ≤ 〈ax, x〉.
Sea z ∈ H, z 6= 0, y llamamos x = z/‖z‖. Entonces
〈−az, z〉 = ‖z‖2〈−ax, x〉 ≤ ‖z‖2〈Ax, x〉 = 〈Az, z〉≤ ‖z‖2〈Ax, x〉 = 〈az, z〉 =⇒ −aI ≤ A ≤ aI.
Recıprocamente, ‖A‖ = sup‖x‖=1 |〈Ax, x〉| ≤ sup‖x‖=1〈ax, x〉 = a.
b) Si definimos la forma sesquilineal f(x, y) = 〈Ax, y〉, la desigualdadbuscada se reduce a la desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizadaprobada en el capıtulo III (proposicion 6.12).
c) Si en el apartado anterior hacemos y = Ax, obtenemos:
|〈Ax,Ax〉|2 ≤ 〈Ax, x〉 · 〈A2x,Ax〉.
284
Ahora bien, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la acota-cion
〈A2x,Ax〉 ≤ ‖A2x‖ · ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖Ax‖2,
lo que, al sustituir en la desigualdad anterior, da lugar al resultadopropuesto.
����
6. Sea H un espacio de Hilbert y sean {An}n≥1 y B operadores aco-tados y autoadjuntos en H tales que A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ B.
a) Verificar que‖Anx−Amx‖4 ≤ |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| · (‖An‖+ ‖Am‖)3 · ‖x‖2.
b) Deducir que existe un operador autoadjunto A ∈ L(H) tal quelımn→∞
Anx = Ax, ∀x ∈ H.
Resp.: a) Para n > m, llamamos Anm = An −Am. Entonces:
‖Anx−Amx‖4 = |〈Anx−Amx,Anx−Amx〉|2 = |〈Anmx,Anmx〉|2
≤ 〈Anmx, x〉 · 〈AnmAnmx,Anmx〉 (por el ejercicio anterior)≤ 〈Anmx, x〉 · ‖Anm‖ · ‖Anmx‖2
≤ |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| · (‖An‖+ ‖Am‖)3 · ‖x‖2.
b) Para cada x ∈ H, la sucesion numerica {〈Anx, x〉}n∈N es crecientey acotada pues 〈Amx, x〉 ≤ 〈Anx, x〉 ≤ 〈Bx, x〉, ∀m < n. Por tanto, esuna sucesion de Cauchy, es decir |〈Anx, x〉 − 〈Amx, x〉| → 0 si m,n→∞. Aplicando la desigualdad obtenida en el apartado a), deducimosque
‖Anx−Amx‖ → 0 si m,n→∞.
Como H es completo, la sucesion {Anx}n∈N converge y podemos de-finir el operador A ∈ L(H) por Ax = lımn→∞Anx, ∀n ∈ H. Como〈A1x, x〉 ≤ 〈Ax, x〉 ≤ 〈Bx, x〉, ∀x ∈ H, entonces A ≤ B. Ademas A esautoadjunto, pues
〈Ax, y〉 = 〈 lımn→∞
Anx, y〉 = lımn→∞
〈Anx, y〉
= lımn→∞
〈x,Any〉 = 〈x, lımn→∞
Any〉 = 〈x,Ay〉.
����
285
7. Sea T ∈ L(H). Probar que T es invertible si y solo si las cotas in-feriores ınf
‖x‖=1〈(T ∗T )x, x〉 e ınf
‖x‖=1〈(TT ∗)x, x〉 son estrictamente po-
sitivas.
Resp.: Sean m1 y m2 las cotas inferiores de T ∗T y TT ∗, respectiva-mente, ası como M1 y M2 las correspondientes cotas superiores.
a) Supongamos que m1 > 0 y m2 > 0. Si elegimos constantes c1 y c2tales que ci < 2/Mi (i = 1, 2) y definimos los operadores A′1 = c1T
∗T ,A′2 = c2TT
∗, entonces es facil comprobar que
(∗) 0 < m′i ≤M ′
i < 2 (i = 1, 2),
donde, para cada i = 1, 2, m′i y M ′
i denotan las cotas inferior y superiorde A′i, respectivamente.
Por ser A′i autoadjunto, para cada i = 1, 2, la condicion (∗) equivale ala acotacion ‖I − A′i‖ < 1. Esto significa que existe (A′i)
−1 (i = 1, 2)y, en consecuencia, existen (T ∗T )−1 y (TT ∗)−1. Ası pues, como
I = (T ∗T )−1T ∗T = TT ∗(TT ∗)−1,
T tiene inverso a izquierda y a derecha. Por tanto, existe T−1 =(T ∗T )−1T ∗ = T ∗(TT ∗)−1.
b) Recıprocamente, si T es un operador invertible y suponemos quem1 ≤ 0, entonces existe una sucesion {xn}n∈N tal que ‖xn‖ = 1, ∀n, y‖Txn‖2 = 〈T ∗Txn, xn〉 → 0. Esto quiere decir que
‖xn‖ = ‖T−1Txn‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖Txn‖ → 0,
lo que contradice lo anterior.
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8. H un espacio de Hilbert, M1 y M2 subespacios de H y P1 y P2 lasproyecciones sobre M1 y M2, respectivamente, tales que P1P2 =P2P1. Probar que P1 +P2−P1P2 es una proyeccion sobre M1 +M2.
Resp.: Si escribimos P1 +P2 −P1P2 = P1 + (I −P1)P2, tenemos, porun lado, que
P1(I − P1)P2 = (P1 − P 21 )P2 = 0,
lo que significa que P1 e (I−P1)P2 son proyecciones ortogonales entresı. Por otra parte, como (I − P1)P2 = P2(I − P1), deducimos que lacomposicion (I−P1)P2 es la proyeccion sobre M⊥
1 ∩M2 (teorema 7.3).
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Ası pues, la suma P1 + (I − P1)P2 es la proyeccion ortogonal sobreM1 + (M⊥
1 ∩M2) = M1 +M2.
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9. Sean A y B dos operadores autoadjuntos que conmutan entre sı.Probar que (1/2)(A+B+|A−B|) es el menor operador autoadjuntoque conmuta con A y B y es cota superior de ambos. [Dichooperador se denota por sup{A,B}.]
Resp.: Como |A−B| ≥ A−B, sup{A,B} ≥ (1/2)(A+B+A−B) = A.Como, ademas, |A−B| ≥ B−A, sup{A,B} ≥ (1/2)(A+B+B−A) =B.
Si C ∈ L(H) es autoadjunto y CA = AC, CB = BC, C ≥ A, C ≥ B,entonces
C − 12(A+B) ≥
{A− 1
2(A+B) = 12(A−B)
B − 12(A+B) = −1
2(A−B).
Por tanto,
C − 12(A+B) ≥ 1
2|A−B| =⇒ C ≥ 1
2(A+B + |A−B|),
pues C conmuta con A−B.
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10. Se dice que un operador V : H → H es isometrıa parcial si H =
H1⊕H2 con ‖V x‖ =
{‖x‖ si x ∈ H1
0 si x ∈ H2.Probar que todo operador
T ∈ L(H) es de la forma T = V A con V isometrıa parcial, A =(T ∗T )1/2 ≥ 0 y ‖V x‖ = ‖x‖, ∀x ∈ A(H) (descomposicion polar devon Neumann).
Resp.: Si T ∈ L(H), entonces T ∗T es positivo pues 〈T ∗Tx, x〉 =〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2 ≥ 0. Ası pues, existe un operador A ≥ 0 tal queA2 = T ∗T y A conmuta con todo operador que conmute con T ∗T .
Ademas,
‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉= 〈A2x, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖Ax‖2 =⇒ ‖Tx‖ = ‖Ax‖, ∀x ∈ H.
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Si definimos el operador V1y = Tx, ∀y = Ax, entonces:
i) V1 esta bien definida pues, si Ax1 = Ax2, entonces A(x1 − x2) = 0,de donde ‖T (x1 − x2)‖ = 0, es decir Tx1 = Tx2.
ii) V1 es isometrıa en R(A) pues
‖V1y‖2 = ‖Tx‖2 = 〈(T ∗T )x, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖y‖2.
Ası pues, el operador V : H → H definido por V y =
{V1y si y ∈ R(A)0 si y ∈ R(A)⊥,
(observemos que R(A) es cerrado, pues N(A)⊥ = R(A)) es isometrıaparcial. En efecto, si y = Ax, entonces ‖V y‖ = ‖Tx‖ = ‖Ax‖ = ‖y‖,pero ‖V y‖ = 0, ∀y ∈ R(A)⊥.
Basta, para completar la demostracion, comprobar que T = V A, locual es evidente, pues ∀x ∈ H, Tx = V y = V Ax.
Observacion. Si dimH < ∞, A(H) y T (H) tienen la misma codi-mension, entonces V es una isometrıa definida en A(H) y se puedeextender a un operador unitario sobre H. La descomposicion polartoma ahora la forma T = V A con V unitario y A ≥ 0, lo cual es unageneralizacion a operadores de la descomposicion polar de un numerocomplejo λ = r · eiϑ, con r ≥ 0 y |eiϑ| = 1.
TEMAS COMPLEMENTARIOS.
1. Teorıa de funciones casi-periodicas ([AG]).
2. Teorema espectral de operadores normales ([RN], [He]).
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