vettori: definizionibartolo/corso_fisica... · le grandezze fisiche possono essere di due pi:...
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VETTORI:DEFINIZIONI
SeadunagrandezzafisicaGsiassociaunadirezioneedunversosiparladive?ori:✔LegrandezzefisichepossonoesseredidueBpi:SCALARE:numeroconlesueunita`dimisura(es:latemperatura,l’energiaetc.)VETTORIALE:grandezzadefinitadaunadirezione,unversoedaunmodulo(ointensita`)Esempio:ve?orespostamento,ve?orevelocita`,ve?oreaccelerazione;leforzesonograndezzefisicheve?oriali.
€
! G (oG)
✔ Graficamenteive?orisiindicanocondeisegmenBorientaBdire?e(delle``freccie’’):direzione:datadaunare?averso:unodeidueversipossibililungolare?amodulo:corrispondeallalunghezzadellafreccia,e`unnumerosempre>0(conunaunita`dimisuraopportuna)
A
B
N.B.:ilpuntoacuisi``a?acca’’l’origine(o``coda’’)delve?oresichiamapuntodiapplicazione.A.enzionecheve.orichehannolastessadirezione,lostessoversoelostessomodulorappresentanoinrealta`lostessove.oreQuindisipuo`liberamentetraslareunve?oreparallelamenteasestessoedapplicarloaqualsiasipuntosivoglia
€
vettore ! vdimodulo|! v|= v
AA’�
�
✔ Graficamenteive?orisiindicanocondeisegmenBorientaBdire?e(delle``freccie’’):direzione:datadaunare?averso:unodeidueversipossibililungolare?amodulo:corrispondeallalunghezzadellafreccia,e`unnumerosempre>0(conunaunita`dimisuraopportuna)
A
B
N.B.:ilpuntoacuisi``a?acca’’l’origine(o``coda’’)delve?oresichiamapuntodiapplicazione.A.enzionecheve.orichehannolastessadirezione,lostessoversoelostessomodulorappresentanoinrealta`lostessove.oreQuindisipuo`liberamentetraslareunve?oreparallelamenteasestessoedapplicarloaqualsiasipuntosivoglia
€
vettore ! vdimodulo|! v|= v
AA’�
�
COMPONENTIDEIVETTORI
Supponetediaversceltounsistemadicoordinate(osistemadiriferimento)
x
y
0
LecomponenBdiunve?oresonolesueproiezionisugliassi:
rx=rcosθry=rsinθScomposizionedelve.orenellesuecomponen:
€
vettore ! rdimodulo|! r|= r
€
! r
θ
rx
ry
COMPONENTIDEIVETTORI
IdenBficareilve?oreconunmodulo,unadirezioneedunverso,oppurea?raversolesuecomponenBrxedrye`equivalente.Infa[:daBreθ,o?engolesuecomponenBdalleformuleprecedenB;viceversadatelesuecomponenBo?engoilmoduloreladirezione(datadaθseilve?oregiacesulpianox-y)dalleformule:
€
r = rx2 + ry
2
tgθ =ryrx→θ = arct
ryrx
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ o θ = arccos rx
r⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Possiamoquindiscriverecomeunacoppiaordinatadinumeri
€
! r≡ (rx ,ry )
COMPONENTIDEIVETTORI
N.B.:rxerypossonoessereposiBvionegaBvi.Esempio:
x
y
0rx<0
ry>0
rx = r cosθ = r cos(180-θ ) = − r cos θ = < 0
θ
€
θ
€
! r
OPERAZIONICONIVETTORI:SOMMA
Lasomma(orisultante)didueve?oriee`unve?ore:
€
! a
€
! b
€
! c = ! a +! b
✔ Metodograficodelparellogramma:me?oive?oriconl’originenellostessopuntoOecostruiscoilparallelogrammachelihacomelaB;lasommae’ladiagonalechepartedaO.
€
! a
€
! b
€
! c
Oppure:me?oilve?oreconlasuaorigine(o``coda’’)sullapuntadi:lasommae`ilve?orechecongiungel’originediconlapuntadi
€
! b
€
! a
€
! a
€
! b
€
! a
€
! a +! b
€
! b
€
O
OPERAZIONICONIVETTORI:SOMMA
Lasomma(orisultante)didueve?oriee`unve?ore:
€
! a
€
! b
€
! c = ! a +! b
✔ Metodograficodelparellogramma:me?oive?oriconl’originenellostessopuntoOecostruiscoilparallelogrammachelihacomelaB;lasommae’ladiagonalechepartedaO.
€
! a
€
! b
€
! c
Oppure:me?oilve?oreconlasuaorigine(o``coda’’)sullapuntadi:lasommae`ilve?orechecongiungel’originediconlapuntadi
€
! b
€
! a
€
! a
€
! b
€
! a
€
! a +! b
€
! b
€
O
€
! a
€
! c
€
! a +! b
€
! b
✔ Sehopiu`ve?ori(peresempiotre):
SOMMA
€
! d = ! a +
! b + ! c
€
! a
€
! c
€
! a +! b
€
! b
✔ Sehopiu`ve?ori(peresempiotre):
SOMMA
€
! d = ! a +
! b + ! c
€
! a
€
! c
€
! a +! b
€
! b
✔ Sehopiu`ve?ori(peresempiotre):
SOMMA
€
! d = ! a +
! b + ! c
!a +!b + !c
PROPRIETA`DELLASOMMA
€
! a +! b =! b + ! a 1.(proprieta`commutaBva).
2.(proprieta`associaBva)3.Sidefiniscecon(oppostodi)unve?orechehalostessomoduloelastessadirezionedimaversoopposto:Allorasiha:
€
(! a +! b ) +! c = ! a + (
! b + ! c )
€
−! a
€
! a
€
! a
€
! a
€
−! a
€
! a + (−! a ) =! 0
SOMMATRAVETTORIINTERMINIDELLECOMPONENTI
x
y
€
! a
€
! b
€
! c = ! a +! b
SiconsideriInterminidellecomponenBrisulta:ovverosidevonosommarelerispe@vecomponen:deidueve.orie
€
! c = (cx,cy ) = (ax + bx, ay + by )
€
cx = ax + bxcy = ay + by
€
! a
€
! b
€
! c = ! a +! b
DIFFERENZATRAVETTORI
Ladifferenzatradueve?oriee`unve?ore:
€
! a
€
! b
€
! c = ! a −! b ≡ ! a + (−
! b )
€
! a
€
! b
€
! b
€
−! b
€
! a
Oppure,piu`semplicemente:dallapuntadiallapuntadi
€
! b
€
! a
DIFFERENZATRAVETTORIINTERMINIDELLECOMPONENTI
✔SiconsideriInterminidellecomponenBrisulta:ovverosifaladifferenzatralerispe@vecomponen:deidueve.orie✔ N.B.1:ScrivereequivaleascrivereequindicompenentepercomponentequestoequivaleadueequazioniN.B.2:Laespressionesipuo`riscriverecome
€
! c = (cx,cy ) = (ax − bx, ay − by )
€
! a
€
! b
€
! c = ! a −! b
€
! c = ! a
€
(cx,cy ) = (ax,ay )
€
! d +! b = ! a
€
! d = ! a −
! b
€
cx = ax, cy = ay
PRODOTTOTRAUNOSCALAREEDUNVETTORE
Ilprodo?odiunve?oreperunoscalarec(cioe`unnumero),e`unve?ore
c1.Halastessadirezionedi2.modulodatoda:a×|c|3.verso:ugualeaquellodisec>0,versooppostoaquellodisec<0
€
! a
€
! a
€
! a
€
! a
€
c ! a (c > 0)
€
c ! a (c < 0)
€
! a
€
! a
PRODOTTOTRAUNOSCALAREEDUNVETTOREINTERMINIDELLECOMPONENTI
€
c ! a ≡ (c ax,c ay )
VETTORIUNITARI(OVERSORI)
✔Datounqualsiasive?orepossoconsiderareilve?ore:e`unve?orechehastessadirezioneeversodiemodulopariaduno(ede`senzadimensioni):✔Pertantoilve?orevieneanchechiamatoilversoredi,perche`neindicasemplicementeladirezioneedilverso.Possiamoinfa[scrivere:
€
! a
€
ˆ a =! a ! a
€
! a
€
ˆ a =! a ! a
=1
€
ˆ a
€
! a
€
ˆ a
!a = !a a
VETTORIUNITARI(OVERSORI)
Allora,datoilsistemadiriferimentoconassicoordinaBxeysipossonoindividuaredueversori,unochepuntaversol’asseposiBvodellexeunochepuntaversol’asseposiBvodelley:
x
y
€
ˆ x
€
ˆ y
€
ˆ x ehannomodulounitarioesonoadimensionali
€
ˆ y
Inmodoanalogonelle3dimensionispaziali
y
z
€
ˆ x
€
ˆ y
€
ˆ x ,ehannomodulounitario(esonoadimensionali)eindicanoladirezioneeversodegliassicoordinaBchehofissato
€
ˆ z €
ˆ z
€
ˆ y x
VETTORIUNITARI(OVERSORI)
COMPONENTIVETTORIALIDEIVETTORI
Supponetediaversceltounsistemadicoordinate(osistemadiriferimento)
x
y
0
€
vettore ! adimodulo|! a|= a
€
! a
θ
Possiamoscivereilve?orenelseguentemodo:
€
! a
€
! a = ax ˆ x + ay ˆ y = ! a x +! a y
! a x = ax ˆ x ! a y = ay ˆ y
€
! a x = ax ˆ x
€
! a y = ay ˆ y
Sistaproie?andolungogliassixey
€
! a
COMPONENTIVETTORIALIDEIVETTORI
Alloraperlasomma(oladifferenza)sipotra`scivere:
€
! c = ! a +! b = (ax ˆ x + ay ˆ y ) + (bx ˆ x + by ˆ y )
= (ax + bx ) ˆ x + (ay + by ) ˆ y
PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI
DaBdueve?oriesiindicacomeprodo.oscalaretrae:,doveθe`l’angolocompresotraidueve?ori(eaebsonoimodulideidueve?ori).E`unnumero(chepuo`essere>0o<0:imodulisonosempreposiBvi,mailcosenodell’angolopuo`essereposiBvoonegaBvo)
€
! a
€
! b
€
! a
€
! b
€
! a •! b
€
! a •! b = a bcosθ
€
! a
€
! b
€
θ
N.B.:L’operazionediprodo?oscalareequivaleaproie?arelungoladirezionedi
€
! a
€
! b
PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI
Infa@:casipar:colari1.2.
€
! a
€
! b
€
! a •! b = a bcos90" = 0
€
! a
€
! b
€
! a •! b = ab cos0" = a b
PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI:PROPRIETA`
1.(proprieta`commutaBva)(proprieta`distribuBva)2.Interminidellecomponen3:3.InparBcolarecorrispondequindialmoduloalquadratodelve?ore(teoremadiPitagora)
€
! a •! b =! b • ! a
€
! a •! b = (ax ˆ x + ay ˆ y ) • (bx ˆ x + by ˆ y ) = axbx + ayby
€
! a • ! a = ax2 + ay
2 = a2
(!a +!b)•(!c +
!d ) = !a• !c + !a•
!d +!b • !c +
!b •!d
PRODOTTOVETTORIALE
DaBdueve?orieilprodo?ove?orialee`unve6orechesiindicaede`cosi`definito:- modulo:c=absinθ,doveθe`l’angolominoreformatodaidueve?oriθIlmodulorappresental’areadelparallelogrammaformatodaidueve?orie
€
! a
€
! b
€
! c = ! a ×! b
€
! a
€
! b
€
! a
€
! b
- direzioneeverso:e`unve?oreortogonale(cioe`perpendicolare)alpianoindividuatodaidueve?orie;ilversosideterminaconla``regoladellamanodestra’’
€
! c = ! a ×! b
€
! a
€
! b
PROPRIETA`DELPRODOTTOVETTORIALE
ü Seesonoparalleli:θ=0esinθ=0,allorailprodo?ove?orialee`zeroü Seesonoortogonali:θ=90°,sinθ=1allorac=abü ü (proprieta`distribuBva)ü (prodo?operunoscalare)
€
! a
€
! b
€
! c = ! a ×! b = 0
€
! a
€
! b
€
! a ×! b = −
! b × ! a
€ (!a +!b)× (!c +
!d ) = !a× !c + !a×
!d +!b × !c +
!b ×!d
€
s (! a ×! b ) = (s ! a ) ×
! b = ! a × (s
! b )
PROPRIETA`DELPRODOTTOVETTORIALE
€
! a ×! b = (ax ˆ x + ay ˆ y + az ˆ z ) × (bx ˆ x + by ˆ y + bz ˆ z ) =
= (aybz − byaz) ˆ x + (azbx − bzax ) ˆ y + (axby − bxay ) ˆ z
ü InterminidellecomponenB:
Es.:
€
ax ˆ x × bx ˆ x = axbx ( ˆ x × ˆ x ) = 0ax ˆ x × by ˆ y = axby ( ˆ x × ! y ) = axby ˆ z
VETTORI,LEGGIDELLAFISICAESISTEMIDIRIFERIMENTO
Lasceltadiunsistemadiriferimentoconlesuecoordinatee`completamentearbitraria.Peresempio,datounsistemadiriferimentopossiamobenissimopensarediscerglieneunaltrochee`ruotatodiuncertoangolorispe?oaquelloiniziale.
NelsistemaruotatolecomponenBdelve?oreasarannodiverse(a’x,a’y).Tu?aviailve?oreae`unogge?obendefinito,noncambia;lesuecomponenBsonosoloilmododirappresentarlo,di``vederlo’’neiduesistemidiriferimento.Tantoe`verochelesuecomponenBnelcasodiunarotazionesonolegatedallaleggeditrasformazione(nell’esempioconsideratounarotazione):
6 THE AUTHOR
(33) a
0x
= a
x
cos ✓ + a
y
sin ✓
(34) a
0y
= �a
x
sin ✓ + a
y
cos ✓
6 THE AUTHOR
(33) a
0x
= a
x
cos ✓ + a
y
sin ✓
(34) a
0y
= �a
x
sin ✓ + a
y
cos ✓
x
y
X’Y’
θ
a
VETTORI,LEGGIDELLAFISICAESISTEMIDIRIFERIMENTO
Cheilve?oreanoncambilosipuo`capireperesempioseunosicalcolailsuomoduloaparBredallesuecomponenBneiduesistemidiriferimento;sitrovaElasuaorientazionenellospazioe`semprelastessa.Inmodoanalogoleleggidellafisicanondipendonodalladirezionedegliassi(ovveroseilsistemadiriferimentoe`ruotato).Nondipendononemmenodadovee`l’originedelsistemadiriferimento.Comegia`so?olineato,nondipendonodallasceltadellaunita`dimisura.
6 THE AUTHOR
(33) a
0x
= a
x
cos ✓ + a
y
sin ✓
(34) a
0y
= �a
x
sin ✓ + a
y
cos ✓
(35) a =
qa
2x
+ a
2y
=
qa
0x
2+ a
0y
2
O