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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 03
Assunto: Vetores, Norma e Produto escalar
Palavras-chaves: Vetores, norma, produto escalar, produto interno.
Vetores
• Segmento orientado no plano:
Seja um segmento orientado de reta em um plano
• Comprimento do segmento (ou módulo)
• Direção do segmento
• Orientação do segmento
� Uma extremidade é o ponto inicial
� Outra extremidade é o ponto �nal
Indicação da orientação (ou sentido)
Temos agora um "segmento orientado".
Todo segmento orientado tem comprimento, direção e sentido.
Dois segmentos orientados tem a "mesma direção"se suas retas suportes são paralelas
Dois segmentos orientados que tem a mesma direção, terão o "mesmo sentido"se o segmento de reta que
contém os seus pontos iniciais e o segmento de reta que une os seus pontos �nais não terão intersecção. Se
tiverem intersecção, diremos que os segmentos orientados tem "sentido contrário".
Obs: O conceito de "mesmo sentido"só se aplica a segmentos orientados que tem a mesma direção.
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Esses segmentos orientados tem o mesmo sentido ? Essa pergunta é impertinente, pois os segmentos ori-
entados não tem a mesma direção.
Dizemos que dois segmentos orientados são equipolentes se eles tem o mesmo módulo, a mesma direção e
o mesmo sentido
A relação de equipolência é:
• Re�exiva
• Simétrica e
• Transitiva
Portanto, é uma relação de equivalência.
Convenções:
• Vamos considerar que cada ponto do plano são segmentos orientados (são degenerados).
• Dois pontos do plano são sempre equipolentes
De�nição de vetor:
Dado um segmento orientado
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o vetor, que tem como representante esse segmento, é o conjunto de todos os segmentos orientados equi-
polentes a esse segmento. Denotamos tal vetor por−−→AB.
Se escrevermos −→v =−−→AB, o vetor será denotado por −→v .
O módulo, a direção e o sentido de um vetor −→v são, respectivamente, iguais ao módulo, direção e sentido,
dos segmentos orientados que o representa.
O módulo de um vetor −→v é denotado por |−→v |. O número |−→v | é também chamado de norma de −→v .
Como todos os pontos do plano são equipolentes, eles representam um mesmo vetor, chamado de vetor
nulo e denotado por−→0 .
Dado um vetor −→v , denotamos por −−→v o vetor que tem o mesmo módulo e a mesma direção de −→v , mas
sentido contrário ao de −→v .
Denotaremos por V o conjunto de todos os vetores do plano.
Soma de vetores
Sejam −→u e −→v vetores.
Consideraremos o representante de −→v localizado no ponto �nal de um representante de −→u .
Outra maneira de de�nir o vetor −→u +−→v é considerar o representante que está sobre a diagonal de parale-
logramo da seguinte �gura
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Propriedades da soma de vetores
Sejam −→u ,−→v ,−→w ∈ V . Então, teremos que:
• (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )
• −→u +−→v = −→v +−→u
• −→u +−→0 = −→u
• −→u + (−−→u ) = −→0
Multiplicação por escalar
Dados λ ∈ R e −→v ∈ V . De�nimos o vetor λ−→v com o sendo o vetor que tem a mesma direção de −→v , temnorma igual a |λ|.||−→v || e tem o mesmo sentido de −→v se λ > 0, caso λ < 0, λ−→v tem sentido contrário ao de −→v .
A multiplicação por escalar em V satisfaz as seguintes propriedades
• 1.−→v = −→v
• α(β−→v ) = (αβ)−→v
• (α+ β)−→v = α−→v + β−→v
• α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v
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Correspondência entre V e R2
Existe um correspondência biunívoca entre os elementos de V e os elementos do R2.
Escreveremos −→v = (a, b) e dizemos que a e b são coordenadas (ou componentes) do vetor −→v .
Se −→u = (a1, b1),−→v = (a2, b2) e λ ∈ R, então
• −→u +−→v = (a1 + a2, b1 + b2)
• λ−→u = (λa1, λa2)
Exemplo 1 Represente geometricamente no R2 os vetores abaixo.
(a) −→u = (4, 2),−→v = (2, 3) e −→u +−→v
(b) −→u = (1, 2), 2−→u e −2−→u
Resolução:
(a) −→u +−→v = (6, 5)
6
(b) −→u = (1, 2), 2−→u = 2(1, 2) = (2, 4) e −2−→u = −2(1, 2) = (−2,−4)
Exemplo 2 Considere o vetor −→v = (3, 1) e o ponto P = (2, 4). Desenhe no R2 o segmento orientado com
ponto inicial em P e que representa −→v .
Resolução:
−→v +−→P = (3, 1) + (2, 4) = (5, 5)
Vamos sempre proceder assim quando precisarmos "localizar"um representante de um vetor dada em um
ponto dado P0 ∈ R2 e −→v um vetor.
Norma de um vetor
Seja −→v = (x, y).
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A norma de −→v é dada por
||−→v || =√x2 + y2
Propriedades da norma
• ||−→v || ≥ 0. E −→v = 0⇔ −→v =−→0
• ||λ−→v || = |λ|||−→v ||, (∀λ ∈ R)
• ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v || (desigualdade triangular)
Diferença entre vetores
Sejam −→u e −→v vetores do plano. De�nimos a diferença entre vetores como
−→u −−→v := −→u + (−−→v )
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Exemplo 3 Represente gra�camente os seguintes vetores
−→u = (3, 2) , −→v = (2, 5) e −→u −−→v
Resolução:
Temos que
−→u −−→v = (3, 2)− (2, 5) = (1,−3)
Representação geométrica
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Ângulo entre vetores
O ângulo entre dois vetores é o menor ângulo entre dois segmentos orientados que representam esses ve-
tores e que tem pontos iniciais coincidentes.
Se θ é o ângulo entre −→u e −→v , então 0 ≤ θ ≤ π.
Se o ângulo entre dois vetores não nulos −→u e −→v éπ
2, dizemos que eles são ortogonais e indicamos por
−→u ⊥ −→v .
Produto escalar (ou produto interno)
Sejam −→u ,−→v vetores do plano e θ o ângulo entre −→u e −→v . Se de�nirmos −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2), a
diferença entre eles será dada por
−→u −−→v = (x1 − x2, y1 − y2)
Pela leis dos cossenos, temos que
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||−→u −−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒(√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
)2=
(√x21 + y21
)2
+
(√x22 + y22
)2
− 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒
��x21 − 2x1x2�
�+x22��+y21 − 2y1y2�
�+y22 = ��x21�
�+y21��+x21�
�+y22 − 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒
−2(x1x2 + y1y2) = −2||−→u ||||−→v || cos θ ×(−1
2
)
Portanto,
(x1x2 + y1y2) = ||−→u ||||−→v || cos θ
Esse número é chamado de produto escalar (ou produto interno) de −→u por −→v e é denotado por −→u .−→v .Assim,
−→u .−→v = x1x2 + y1y2
ou
−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ
Exemplo 4 Calcule o produto escalar indicado
(a) −→u = (2, 7), −→v = (5, 3),−→u .−→v
(b) −→u = (2, 4), −→v = (8,−4),−→u .−→v
(c) −→u = (3, 5), −→u .−→u
Resolução:
(a) −→u .−→v = (2, 7).(5, 3) = 10 + 21 = 31
(b) −→u .−→v = (2, 4).(8,−4) = 16− 16 = 0
(c) −→u .−→u = (3, 5).(3, 5) = 9 + 25 = 34
Sejam −→u 6= −→0 ,−→v 6= −→0 e suponhamos que −→u ⊥ −→v .
Portanto,
θ =π
2⇒ cos θ = 0⇒ −→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ = 0
Consideremos novamente −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 , mas agora suponhamos que −→u .−→v = 0. Então,
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−→u .−→v = 0⇒ ||−→u ||||−→v || cos θ = 0
Como ||−→u || 6= −→0 e ||−→v || 6= −→0 , pois −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 , temos que
cos θ = 0⇒ θ =π
2, pois 0 ≤ θ ≤ π
Logo, −→u ⊥ −→v .
Proposição 1 O vetor −→u é ortogonal ao vetor −→v (−→u ⊥ −→v ) se, e somente se, o produto escalar (ou interno)
entre eles for igual a 0 (−→u .−→v = 0). E para dois vetores −→u e −→v não nulos, teremos
cos θ =−→u .−→v
||−→u ||.||−→v ||
Propriedades do produto interno
Sejam −→u ,−→v e w vetores e α, β ∈ R. Então, vale as seguintes propriedades
1. (α−→u ).−→v = −→u .(α−→v ) = α(−→u .−→v )
2. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w
3. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w
4. −→u .−→v = −→v .−→u
5. −→u .−→u = ||−→u ||2
6. |−→u .−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
A de�nição de vetores no R3 é feita de maneira totalmente análoga. Por exemplo, se de�nirmos −→u =
(x1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2) teremos que
• −→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = ||−→u ||||−→v || cos θ
• ||−→u || =√x21 + y21 + z21
No Rn, para n ≥ 4, não podemos desenhar segmentos de reta. Fazemos então tudo analiticamente
• −→u = (x1, x2, ..., xn)
• −→v = (y1, y2, ..., yn)
• −→u .−→v = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn
• ||−→u || =√x21 + x22 + ...+ x2n
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O ângulo entre dois vetores não nulos −→u e −→v é de�nido como sendo o número que satisfaz
0 ≤ θ ≤ π e cos θ =−→u .−→v||−→u ||||−→v ||
Assim, temos
−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 04
Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R2 e R3, produto vetorial, produto misto, equa-
ção da reta no R2
Palavras-chaves: Produto escalar, determinante, produto vetorial, produto misto, equação
da reta.
Vetores(continuação)
No R2, a norma de −→v = (x, y) é dada por
||−→v || =√x2 + y2
O produto escalar de dois vetores −→u = (x1, y1) e (x2, y2) é dado por
−→u .−→v = x1x2 + y1y2
e temos que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
Semelhante ao R2, no R3 a norma de −→v = (x, y, z) é dada por
||−→v || =√x2 + y2 + z2
O produto escalar de −→u = (x1, y1, z1) com−→v = (x2, y2, z2) será
−→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2
e temos também que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
Agora, Rn, tudo é feito com o uso de coordenadas. Logo, a norma de −→u = (x1, x2, ..., xn) é dada por
||−→u || =√x21 + x22 + ...+ x2n
O produto escalar de −→u = (x1, x2, ..., xn) e−→v = (y1, y2, ..., yn) será
−→u .−→v = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn
De�nimos como ângulo entre dois vetores não nulos do Rn o número θ ∈ R que satisfaça
0 ≤ θ ≤ π e
cos θ =−→u .−→v||−→u ||||−→v ||
Assim,
−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ
e também temos que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
As propriedades do produto escalar, considerando −→u , v−→v ∈ Rn, com n = 2, 3, 4, ... e α, β ∈ R, são
1. (α−→u ).−→v = −→u .(α−→v ) = α(−→u .−→v )
2. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w
3. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w
4. −→u .−→v = −→v .−→u
5. −→u .−→u = ||−→u ||2
6. |−→u .−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Bases Canônicas do R2 e R3
Base Canônica do R2
Sejam−→i = (1, 0) e
−→j = (0, 1) vetores do R2.
2
Seja −→v um vetor genérico do R2. Note que, o vetor −→v pode ser escrito como combinação linear de−→i e−→j
como segue
−→v = (x, y)
= (x, 0) + (0, y)
= x(1, 0) + y(0, 1)
= x−→i + y
−→j
Por exemplo,
(5, 7) = 5−→i + 7
−→j
(3,−2) = 3−→i − 2
−→j
O conjunto {−→i ,−→j } é chamado de base canônica do R2
Base Canônica do R3
Sejam−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0) e
−→k = (0, 0, 1) vetores do R3.
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Seja −→v = (x, y, z) um vetor genérico do R3. Note que, o vetor −→v pode ser escrito da forma
−→v = (x, y, z)
= (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)
= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
= x−→i + y
−→j + z
−→k
Por exemplo,
(5, 2, 7) = 5−→i + 2
−→j + 7
−→k
(−1, 4,−2) = −1−→i + 4−→j − 2
−→k
O conjunto {−→i ,−→j ,−→k } é chamado de base canônica do R3
Produto Vetorial
Revisão: Cálculo de determinante de matrizes 3× 3.
Consideremos a matriz
A =
a b c
α β γ
x y z
O determinante de A é a soma de três parcelas obtidas como segue
4
Portanto,
detA = aβz − yγa+ bγx− zαb+ cαy − xβc
Exemplo 1 Calcule o determinante da matriz
1 3 2
2 5 4
2 1 5
Resolução:
∣∣∣∣∣∣∣1 3 2
2 5 4
2 1 5
∣∣∣∣∣∣∣ = 25− 4 + 24− 30 + 4− 20 = 21− 6− 16 = −1
O produto vetorial é um conceito exclusivo do R3.
Sejam −→u = (z1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2). Consideremos o vetor
−→w = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)
Temos que
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−→w ⊥ −→u e −→w ⊥ −→v
De fato,
−→u .−→v = x1(y1z2 − y2z1) + y1(z1x2 − z2x1) + z1(x1y2 − x2y1)
= ����x1y1z2����−x1y2z1����+y1z1x2����−y1z2x1����+z1x1y2����−z1x2y1= 0
Portanto, −→u ⊥ −→w
−→v .−→v = x2(y1z2 − y2z1) + y2(z1x2 − z2x1) + z2(x1y2 − x2y1)
= ����x2y1z2����−x2y2z1����+y2z1x2����−y2z2x1����+z2x1y2����−z2x2y1= 0
Portanto, −→v ⊥ −→w
O vetor −→w é chamado de produto vetorial de −→u por −→v e é denotado por −→u ×−→v .
Método prático para o cálculo de −→u ×−→v
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣ = y1z2−→i − y2z1
−→i + z1x2
−→j − x2z1
−→j + x1y2
−→k − x2y1
−→k
= (y1z2 − y2z1)−→i + (z1x2 − x2z1)
−→j + (x1y2 − x2y1)
−→k
O sentido de −→u ×−→v é obtido pela regra da mão direita
Exemplo 2 Calcule os produtos vetoriais indicados
(a) −→u = (2, 1, 3),−→v = (−3, 2, 1),−→u ×−→v e −→v ×−→u .
6
Resolução:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
2 1 3
−3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (1− 6)−→i + (−9− 2)
−→j + (4− (−3))
−→k
= −5−→i − 11−→j + 7
−→k
= (−5,−11, 7)
−→v ×−→u =
∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
−3 2 1
2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣ = (6− 1)−→i + (2− (−9))−→j + (−3− 4)
−→k
= 5−→i + 11
−→j − 7
−→k
= −1(−5,−11, 7)
= −1−→u ×−→v
Portanto, −→u ×−→v = −−→v ×−→u
(b) −→u = (1, 3, 4),−→v = (−2,−6,−8),−→u ×−→v
−→v ×−→u =
∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j
−→k
1 3 4
−2 −6 −8
∣∣∣∣∣∣∣ = (−24 + 24)−→i + (−8 + 8)
−→j + (−6 + 6)
−→k
= 0−→i + 0
−→j + 0
−→k
=−→0
Obs: −→v = −2(1, 3, 4) = −2−→u
Norma do produto vetorial
Seja −→u = (x1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2). Temos que
−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)
Portanto,
7
||−→u ×−→v ||2 = (y1z2 − y2z1)2 + (z1x2 − z2x1)2 + (x1y2 − x2y1)2
= y21z22 − 2y1z1y2z2 + y22z
21 + x22z
21 − 2x1x2z1z2 + x21z
22 + x21y
22 − 2x1x2y1y2 + x22y
21
= x21(y22 + z22) + y21(x
22 + z22) + z21(x
22 + y22)− 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2
= x21(x22 + y22 + z22) + y21(x
22y
22 + z22) + z21(x
22 + y22 + z22)− x21x22 − y21y22 − z21z22 − 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2
= (x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22)− (x1x‘2 + y1y2 + z1z2)
2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − (−→u .−→v )2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − (||−→u ||||−→v || cos θ)2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − ||−→u ||2||−→v ||2 cos2 θ
= ||−→u ||2||−→v ||2(1− cos2 θ)
= ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ
Assim,
||−→u ×−→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ 0 ≤ θ ≤ π
Logo,
||−→u ×−→v || = ||−→u ||||−→v || sin θ
Quando os vetores −→u e −→v são paralelos escrevemos −→u //−→v . Neste caso existem duas possibilidades:
Suponhamos que −→u //−→v . Logo,
θ = 0 ou θ = π ⇒ sin θ = 0⇒ ||−→u ×−→v || = 0⇒ −→u ×−→v = 0
Suponhamos agora que −→u ×−→v = 0 com −→u 6= 0 e −→v 6= 0. Portanto,
||−→u ×−→v || = 0⇒ ||−→u ||||−→v ||︸ ︷︷ ︸6=0
sin θ = 0⇒ sin θ = 0⇒ θ = 0 ou θ = π, (pois 0 ≤ θ ≤ π)⇒ −→u //−→v
Assim, teremos
Proposição 1 Sejam −→u e −→v vetores não nulos do R3. Então
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−→u //−→v ⇔ −→u ×−→v
Produto misto
Sejam −→u e −→v vetores do R3 e θ o ângulo entre eles
Queremos determinar a área do paralelogramos acima
Área = ||−→u ||h
onde h é a altura do paralelogramo. Assim,
sin θ =h
||−→v ||⇒ h = ||−→v || sin θ
Portanto,
Área = ||−→u ||||−→v || sin θ ⇒ ||−→u × ||−→v ||
Obs: Se −→u //−→v , então −→u e −→v não formam um paralelogramo.
Consideremos agora três vetores não nulos −→u ,−→v e −→w do R3
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Queremos determinar o volume do paralelepípedo acima
Volume = (área da base) h
onde h é a altura do paralelepípedo. Temos que,
Área da base = ||−→v ×−→w ||
e
| cos θ| = h
||−→u ||⇒ h = ||−→u ||| cos θ|
Portanto,
Volume = ||−→v ×−→w ||||−→u ||| cos θ|
= ||−→u ||||−→v ×−→w ||| cos θ|
=
∣∣∣∣||−→u ||||−→v ×−→w || cos θ∣∣∣∣= |−→u .(−→v ×−→w )|
O produto |−→u .(−→v ×−→w )| é chamado de produto misto ou produto triplo escalar.
Se −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e
−→w = (x3, y3, z3), então
−→u .(−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣Obs: Se os vetores são coplanares o produto misto é nulo.
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Propriedades do produto vetorial
Sejam −→u ,−→v e −→w vetores do R3 e α ∈ R. As seguintes propriedades valem
1. −→u ×−→v = −−→v ×−→u
2. (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v ) = α(−→u )×−→v
3. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w
4. (−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w
5. −→u .(−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ).−→w
6. −→u × (−→v ×−→w ) = (−→u .−→w )−→v + (−→u .−→v )−→w
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