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u S~itze iiber Kreisvierseitnetze

Yon

WOLFGANG B 5S2r

Eine Vielzahl yon S~tzen yon CHASLES [4], REYE [8], S. 182s PLUCKER [6], S. 266f., DA~BOUX [5] und anderen fiber konfokale Kegelschnitte hs mit dem folgenden Satz [3] und seiner Umkehr [7] zusammen:

(1) Die Tangenten aus einem Punktepaar eines Kegelschnitts K an einen zu K ~on- ]o/calen Kegelschnitt C beri~hren einen Kreis.

Daraus kann man leicht folgern [2]:

(l') Die Tangenten eines Kegelschnitts C bilden mit den zu C kon/o]calen Kegel- schnitten ein Diagonalgewebe, dessen geradlinige Diagonalvierseite Kreisen um- schrieben 8ind.

Es entsteht die Frage, ob diese Vierseitnetze die einzigen sind, deren Vierseite Kreisen umschrieben sind, und die Frage nach verwandten Figuren im Raum, Sie sollen im folgenden beantwortet werden.

1. Vierseitnetze~ deren u Kreisen umschrieben sind. Ich gebe zun~chst einen einfachen Beweis des Satzes:

(2) Eine unterteilbare geradlinige Einteilung der Ebene in Vierseite, die Kreisen um- schrieben sind, besteht notwendig aus den Tangenten eines Kegelschnittes.

Dabei heil3t ein Kreisvierseit unterteilbar, wenn es durch 2 ( n - 1) Geraden des Netzes in n 2 Kreisvierseite unterteilt werden kann.

Zum B e w e i s betrachte ich eine Unterteilung (in der Figur strichpunktiert) eines einem Kreis K1346 umschriebenen Vierseits in vier Kreisvierseite, die den Kreisen K1245, K1256, K2356 und K2sa5 umschrieben sind. Die Indizes bezeichnen die Seiten der umschriebenen Vierseite. Nach einem Satz von G. Mo~oE [10], S. 8, liegen die drei ~ul~eren ~hnlichkeitspunkte yon drei Kreisen auf einer Geraden. Fiir die Kreis- tripel K1256, K2345 und K12a5 bzw. K2s56 bzw. K1s46 gibt das drei Geraden (in der Figur punktiert). Sie verbinden die gegenfiberliegenden Schnittpunkte benachbarter Seiten des Sechsseits 1 2 3 4 5 6 und gehen alle drei durch den auBeren Ahnlichkeits- punkt der Kreise K1256 und K~345. Daher ist nach dem bekannten Satz yon Brianchon das Sechsseit Tangentensechsseit eines (evtl. zerfallenden) Kegelschnitts C.

Welter gilt:

Vol. XX[, 1970 Verwandte Siitze fiber Kreisvierseitnetze 327

(2') Ein unterteilbares geradliniges Vierseitnetz ist dutch zwei benachbarte Kreisvier- seite bestimmt.

U m das zu zeigen genfigt es, etwa die gemeinsame Tangente 7 der Ankreise K2367 und K1267 (Figur) zu betraehten. Nach Satz (2) geht 6 an den yon 1, 2, 3, 4, 5 be- s t immten Kegelschnitt C und 7 an den yon 1, 2, 3, 5, 6 best immten Kegelschnitt. Das ist aber derselbe, da er mit dem vorigen ffinf Tangenten gemein hat. Dieses Verfahren kann fiber das ganze Vierseitnetz fortgesetzt werden. Damit ist (2') be- wiesen.

4

3 ,

2 i ' ' ~ 'x 6

/t( ..................... 2. Kreisvierseitnetze und Achtttaehgewebe. Auf die Forderung, dal3 aueh das Vier-

seit 1 3 4 6 einem Kreis umsehrieben sei, kann verziehtet werden. Es gilt nS~mlieh :

(3) Jede~ Vierseit, d~s dutch zwei Geraden in vier Kreisvier~eite unterteilt werden kann, ist selbst Kreisvierseit.

g u m B e w e i s betraehte ieh die gemeinsamen Tangentialebenen des dureh die Ge- raden 1, 2, 3, 4 und 5 in der Ebene e best immten Kegelsehnitts C und des allen Drehkegeln fester Neigung gegen e gemeinsamen (unendlieh fernen) Kegelsehnitts R. Sie bilden eine Torse vierter Klasse. ,Je vier Ebenen dieser Torse dutch einen Punkt des Raumes sehneiden aus e ein Kreisvierseit aus. Umgekehrt bflden die Ebenen- paare der Torse etwa dutch die Seiten 1, 2, 4, 5 und 2, 3, 4, 5 je ein Oktaeder, gehen also zu je vier dureh je zwei Punkte auBerhalb e.

Naeh einem Ergebnis yon R. SAvv.~ [9] ist die Torse dureh aeht Ebenen eines Oktaeders und einer neunten bestimmt. Es gelingt jeder Versuch, aus den Ebenen der Torse ein Aehtflaeh zu bilden und zu einem sogenannten Acht]laehgewebe zu er- g~nzen. So best immen die Ebenenpaare (gleicher Neigung) durch 1, 2, 5, durch 2, 3, 5 und dureh 1, 3, 4 unter anderem je ein Oktaeder desselben Gewebes, die das Ebenen- paar durch 6 gemeinsam haben. Jedes dieser drei Oktaeder ist einem Kreis in e um- schrieben. Damit sind Satz (3) und zugleieh erneut die S~tze (2) und (2') bewiesen.

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Welter gilt :

(2") Jedes Kreisvierseitnetz ist in ein /eineres Kreisvierseitnetz unterteilbar und kann (/alls es geni~gend Kreisvierseite entMilt) als Unterteilung eines gr6beren Netzes au/ge/aflt werden.

Zum B e we i s betrachte ieh wieder das Achtflachgewebe yon oben. Einer Unter- teilung des Kreisvierseitnetzes entspricht eine solche des Achtflachgewebes. lkTach dem t tauptsatz fiber Achtflachgewebe [1], S. 42--49, ist jedes Achtflachgewebe topologi- sches Bild yon vier Bfisehein paralleter Ebenen und daher unterteilbar bzw. zu- sammenfaBbar. Damit ist alles bewiesen.

3. Kreisvierseitnetze auf der Kugel. Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich auf die Kugel fibertragen:

(4) Jede Einteilung der Kugel durch Grofl]creise in Vierseite, die Klein]creisen um- schrieben sind, besteht aus den Tangenten eines spMirischen Kegelschnitts c.

(4') Sie ist durch zwei benachbarte Kreisvierseite bestimmt.

(4") Sie ist beliebig o/t unterteilbar und kann (/alls sie geniigend viele Vierseite enthdlt) al8 Unterteilung eines grSberen Netzes au]ge/a/3t werden.

Zum B e w e i s projiziere ich die Kugel aus dem Mittelpunkt 0 auf eine Ebene ~. Dabei gehen die Kleinkreise in Kegelschnitte fiber, die einem nullteiligen Kegel- schnitt k in e (dem UmriB der Kugel) umschrieben sind. Anstelle yon R verwende ich eine Quadrik Q (etwa symmetriseh ~), die s in/c schneider. Dann lassen sich a11e Uberlegungen yon oben (in denen Q in den Kegelsehnitt R entartet war) fiber- nehmen. So folgt: (2), (2'), (2") und (3) gelten auch auf der Kugel.

Start yon einem Kreisvierseitnetz auf der Kugel kann ich auch yon einem Dreh- kegelvierseitnetz sprechen~ das yon den Ebenen eines Kegels aus 0 gebfldet wird und aus der Kugel das sph~rische Kreisvierseitnetz ausschneidet.

4. Ebenfl~ichige l~etze, deren Zellen-Kugeln-umsehrieben sind. Fragen wir nun nach den analogen Figuren im Raum! I

u XXI, 1970 Verwandte S~itze fiber Kreisvierseitnetze 329

Ich betrachte zun~chst eine Einteilung des Raumes durch drei Ebenenseharen in Sechsflache. Da die gemeinsamen Tangentialebenen je zweier Kugeln zwei Bfindeln angehSren, folgt leicht:

(5) Eine Einteilung des Raumes durch lauter Ebenen in Sechs]lache, die Kugeln um- schrieben sind, besteht notwendig aus den Ebenen dreier Bigschelo die ]e eine Seite eines Dreiecks zJ gemein haben.

(5') Da~ Netz ist dutch eines seiner Sechs/lache bestimmt.

Weiter bilden die ~Tetzebenen dureh je eine Ecke yon zJ je ein (spezielles) ~Tetz, dessen Vierseite Drehkegeln umsehrieben sind. Aus der oben bewiesenen Unterteil- barkeit dieser Netze kann man dann schlieJ3en:

(5") Jedes Kugelsechs/lachnetz ist in ein /eineres unterteilbar und kann als Unterteilung eines gr6beren Netzes au/ge/aflt werden.

Insbesondere ist darin in Analogie zu Satz (3) enthalten:

(6) Ein Sechs/lach, dais dutch drei Ebenen in acht Sechs/lache unterteilt werden kann, die Kugeln umschrieben sind, ist selbst einer Kugel umschrieben.

Aus der Umkehr des zu Satz (1) analogen Satzes ffir konfokale Kegel aber fotgt :

(7) Die zu ]e einem Seitenpaar des Dreieeks zJ kon/okalen Kegel sind Diagonal/ldchen des Kugelseehs/lachnetzes.

Ieh betrachte endlich eine Einteilung des Raumes durch vier Ebenenscharen in Aehtflaehe und Tetraeder, die Kugeln umsehrieben sind. Es gilt:

(8) Die eben/lSehigen Acht/lachgewebe, deren Aeht/lache Kugeln umsehrieben sind, be- 8tehen aus vier Parallelebenenscharen, deren drei Scharen yon Diagonalebenen paarweise orthogonal sind.

Das folgt ganz einfach aus den beiden Tatsaehen, dal~ je drei Ebenenseharen des Achtflaehgewebes je ein Kugelsechsflaehnetz bilden, und dab die Ebenen durch eine Gewebeecke entspreehend den betefligten Oktaedern drei Drehkegeln umsehrieben sind.

Die Unterteflbarkeit jedes dieser Aehtflaehe ist wegen der Symmetrie evident. Alle Aehtflache sind kongTuent.

Literaturverzeichnis

[1] W. BnASC~tKE und G. BOL, Geometrie der Gewebe. Berlin 1938. [2] W. B S ~ , Ein geomctrischer Beweis des Satzes yon Ivory. Arch. Math. 16, 135--137 (1965). [3] M. CHASLES, Propri6t~s g6n6rales des arcs d'une section coniques, dont la diff6rence est

rectifiable. C. R. Acad. Sci. 17, 838--844 (1843). [4] M. CHASL~.S, Resum6 d'une th6orie des coniques sph~riques homofocales. C. R. Acad. Sci.

Paris 50, 623--633 (1860). [5] G. D~Boux, Sur les th6or~mes d'Ivory relatifs aux surfaces homofocales du second degr~.

M6m. phys. nat. Bordeaux 8, 197--280 (1870). [6] J. PLffCK~, System der Geometric des Raumes in analytischer Behandlungsweise ins-

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330 W. B6HIVl ARCH. MATH.

[7] T. REzcE, Beweis einiger Sgtze yon Chasles fiber konfokale Kegelschnitte. Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zfirich 41, 65--75 (1896).

[8] T. Rv.yE, Geometrie der Lage. Leipzig 1899. [9] R. SAVER, Die Raumeinteilungen, welche durch Ebenen erzeugt werden, yon denen je vier

sieh in einem Punkte sehneiden. S.-Ber. Bayr. Aead. Wiss. nat. math. 1925, 41--56. [10] J. STrainER, Allgemeine Theorie der Kreise und Kugeln. Zfirich 1931.

Eingegangen am 26.8. 1969

Ansehrift des Autors: Wolfgang B5hm Institut fiir Angewandte Mathematik Technische Universit~t Braunschweig 33 Braunschweig, Poekelsstral3e 14